Калькулятор систем уравнений с решением: Решение систем уравнений · Калькулятор Онлайн

3 x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Метод Гаусса

x - y - 1 = 0
nx + y + 2 = 0

Метод Крамера

2*x - 3*y = 5
n5*x + y = 4

Прямой метод

2*x - y = 3
n2*x + y = 9

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

DiracDelta(x)

Дельта-функция Дирака

Heaviside(x)

Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от

x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Калькулятор системы уравнений — MathCracker.com

Инструкции: Используйте этот калькулятор системы уравнений для решения предоставленной вами общей системы уравнений с тем же количеством уравнений и переменных, показывающим все шаги. Сначала нажмите на одну из кнопок ниже, чтобы указать размерность системы (количество уравнений и переменных). Например, «2×2» означает «2 уравнения и 2 переменные».

Затем заполните коэффициенты, связанные со всеми переменными и правым размером, для каждого из уравнений. Если переменная отсутствует в одном конкретном уравнении, введите «0» или оставьте поле пустым.

Подробнее об этом решателе системы уравнений

Этот калькулятор позволяет вычислить решение системы линейных уравнений при условии, что количество уравнений совпадает с количеством переменных, и вы можете определить систему до пяти переменных и пяти уравнений.

Решение системы уравнений может быть трудоемким и требует большого количества вычислений, особенно для больших систем.

Как решить систему уравнений

Существует несколько стратегий, но чаще всего используются следующие:

• графический метод
• метод замены
• метод исключения

Эти методы широко используются, особенно для системы 2×2 (это системы с 2 переменными и 2 уравнениями).

Проблема с этими методами заключается в том, что они становятся громоздкими для больших систем.

А графический метод применим только для систем 2х2. Для больших систем можно использовать более систематические правила, такие как исключение Гаусса и Метод Крамера .

Существует несколько методов, которые можно использовать для вычисления решений систем линейных уравнений, но мы предпочитаем использовать Правило Крамера подход, так как это один из самых простых способов вспомнить расчет решений системы.

Как решить систему уравнений с помощью этого калькулятора

1. Определите размер системы (количество переменных и количество уравнений). Варианты: системы 2×2, 3×3, 4×4 и 5×5.
2. После того, как размер указан, вам нужно указать коэффициенты, связанные с каждой переменной.
3. Если коэффициент не используется, оставьте его пустым или введите 0
4. Нажмите «Рассчитать», и этот решатель покажет вам все шаги и решения.

Правило Крамера тесно связано с этим калькулятор решений системы уравнений с использованием матриц , так что вы также можете использовать этот маршрут.

Это решатель системы 5 уравнений?

Да, с помощью этого решателя вы можете получить решения систем, содержащих до 5 уравнений и 5 переменных. Методика для большего количества переменных и уравнений на самом деле не меняется, но ручные вычисления становятся очень длинными. Таким образом, для более чем 5 уравнений вы можете решить их с помощью компьютера.

Как решить систему уравнений с помощью этого решателя?

Шаг 1: Вам нужно указать систему уравнений, которую вы хотите решить, заполнив пропуски коэффициентами системы. Обратите внимание, что если в уравнении нет переменной, ее коэффициент должен быть равен нулю.

Шаг 2: Просто нажмите «Рассчитать», и этот решатель сделает все остальное. Сначала калькулятор найдет форму матрицы.

Шаг 3: Решатель вычислит определитель матрицы A. Если det(A) = 0, мы знаем, что система не будет иметь единственного решения.

Шаг 4: Калькулятор вычислит сопряженную матрицу.

Шаг 5:

Решатель использует формулу правила Крамера для вычисления соответствующих решений:

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Итак, как бы вы решили уравнение с 6 переменными?

Это был бы точно такой же подход, только вычисление сопряженной матрицы было бы потенциально очень трудоемким. Вам было бы лучше использовать CAS, такую как Mathematica или Matlab, чтобы получать решения, пропуская все шаг за шагом, что может быть слишком обширным.

Можно ли использовать Excel для решения системы уравнений?

Технически вы можете, используя некоторые специальные групповые функции, такие как «=MMULT», но обычно средний пользователь Excel обычно не знает, как это сделать.

Преимущество этого решателя системы уравнений с шагами заключается в том, что все, что вам нужно сделать, это указать Система уравнений вы хотите решить, используя визуально интуитивно понятный из. С этого момента все, что вам нужно сделать, это нажать «Рассчитать», чтобы получить пошаговый расчет.

Пример решения системы уравнений

Рассмотрим следующую систему уравнений

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Решите приведенную выше систему, используя правило Крамера, показав все шаги.

Отвечать: Была предоставлена система линейных уравнений \(3 \times 3\).

Шаг 1: Найдите соответствующую матричную структуру

Первый шаг состоит в нахождении соответствующей матрицы \(A\) и вектора \(b\), которые позволяют записать систему в виде \(A x = b\).

В этом случае и исходя из коэффициентов приведенных уравнений получаем, что

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

и

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0. 6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: вычислить определитель матрицы

Теперь нам нужно вычислить определитель \(A\), чтобы узнать, можем ли мы использовать правило Крамера:

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) — 1 \cdot \left(4 \right) \right) — 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) — 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) — 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) — 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

Поскольку \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), мы заключаем, что матрица обратима, и мы можем продолжить использование правила Крамера. j\) точно соответствует матрице \(A\), за исключением того, что столбец j заменен на \(b\).

Для \(x\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) — 1 \cdot \left(4 \right) \right) — 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) — 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) — 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) — 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(x\) вычисляется как

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0. 6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

Для \(y\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) — 2 \cdot \left(4 \right) \right) — 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) — 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) — 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) — 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(y\) вычисляется как

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0. 6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

Для \(z\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) — 1 \cdot \left(1 \right) \right) — 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) — 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) — 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) — 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(z\) вычисляется как

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0. 6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

Следовательно, и резюмируя, решение

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

что завершает вычисление решений для данной линейной системы.

Калькулятор системы уравнений

Выберите метод, введите линейные уравнения и нажмите кнопку расчета, чтобы решить линейные уравнения с помощью калькулятора системы линейных уравнений

Калькулятор системы уравнений

Калькулятор системы уравнений — это решить систему линейных уравнений одновременно. Для решения системы линейных уравнений этот калькулятор использует метод подстановки и метод исключения.

Что такое система уравнений?

Система уравнений — это набор линейных уравнений, которые необходимо решать одновременно. Значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям в системе, будут оцениваться путем решения системы линейных уравнений.

Известны два метода решения системы линейных уравнений.

• Метод исключения
• Метод замены

Что такое метод замены?

Этот метод используется для решения системы линейных уравнений путем замены значения одной переменной. Найдите значение одной переменной (скажем, «х»), которая зависит от другой переменной (скажем, «у») по одному уравнению, и подставьте его в другое уравнение. Чтобы решить систему линейных уравнений подстановкой, выполните следующие шаги.

• Возьмите одно уравнение из линейной системы и решите его для одной переменной через другую.
• Подставьте вышеуказанное значение переменной в другие уравнения и исключите значение переменной, используя некоторые арифметические операции.
• Решите уравнение, сформированное на первом этапе, используя любое из значений переменных, уже найденных на предыдущих этапах.

Пример метода подстановки

Решите следующую систему линейных уравнений методом подстановки.

x + 3y = -4

4x — y = 1

Решение:

Шаг 1: напишите приведенное выше уравнение и дайте имя eq (i) & eq (ii).

x + 3y = -4 ——> (i)

4x — y = 1———> (ii)

Шаг 2: Решите уравнение (i) для «х».

x + 3y = -4

x = -4 -3y

Шаг 3: Подставьте приведенное выше значение в уравнение (ii) и упростите вместо «y».

Поместите x = -4 -3y в (4x — y = 1)

4(-4 -3y) – y = 1

-16 – 12y — y = 1

-16 – 13y = 1

– 13y = 1 + 16

– 13y = 17

3  /(-13)

y = — 17/13

Шаг 4: Поместите указанное выше значение «y» в шаге 2 и упростите.

y = — 17/13 дюйма (x = -4 -3y)

x = — 4 – 3 (-17/13)

x = — 4 + (51/13)

Решите, взяв ЛКМ правой стороны.

х = (-52 + 51)/13

х = -1 / 13

Отсюда

x = -1/13, y = — 17/13 является решением данной системы линейных уравнений.

Каков метод устранения?

В этом методе мы исключаем переменную, дающую один и тот же коэффициент, с помощью некоторой алгебраической операции (умножения или деления). Некоторые шаги по устранению значения переменной приведены ниже.

• Возьмите переменные, которые вы хотите исключить из уравнения, и сделайте коэффициенты переменных одинаковыми.
• Найдите НОК выбора переменной, выбрав коэффициенты из всех уравнений.
• Умножьте обе части всех уравнений с помощью НОК, чтобы получить одинаковые коэффициенты.
• В зависимости от ситуации добавьте или вычтите уравнение, чтобы отменить выбранную переменную.
• На предыдущем шаге мы получаем значение одной переменной и используем это значение в любом уравнении, чтобы найти значение исключенной переменной.

Пример метода исключения

Решите следующую систему линейных уравнений методом исключения.

2x – y = 3, x + 2y = 2

Решение:

Шаг 1: Выберите переменную, которую нужно исключить, и запишите приведенное выше уравнение, присвоив ей имя.

2x – y = 3——> (i)

x + 2y = 2——> (ii)

Удалите «y», чтобы получить решение системы в виде Простой способ.

Шаг 2: Умножьте на «2» с уравнением (i) с обеих сторон, и мы получим.

2(2x – y) = 2(3)

4x – 2y = 6

Шаг 3: Вычтите приведенное выше уравнение из уравнения (ii) и упростите, чтобы исключить «y».

 4x – 2y = 6

 x + 2y = 2

5x + 0y = 8

5x = 8

x = 8/5 = 1,6

944:330 значение шага 3 выше 94:0930 в уравнении (ii) и упростить, чтобы найти значение «y».

x = 8/5

x + 2y = 2

8/5 + 2y = 2

 2y = 2 – (8/5)

Возьмите LCM с левой стороны.

2y = 2 – (8/5)

2y = (10 – 8) / 5

2y = (2) / 5

y = (2) / (5)(2)

y = 2 /10

y = 0,2

Следовательно,

x = 1,6, y = 0,2 является решением данной системы уравнений.

Калькулятор метода построения графиков системы уравнений

Решатели Алгебра Калькуляторы

---

Инструкции: Используйте этот калькулятор для решения системы двух линейных уравнений графическим методом. Введите два допустимых линейных уравнения в соответствующие поля. ниже:

Введите линейное уравнение (Пример: y = 2x + 3, 3x — 2y = 3 + 2/3 x и т. д.)

Введите другое линейное уравнение (Пример: y = 2x + 3, 3x — 2y = 3 + 2 /3 x и т. д.)

(дополнительно) Минимум x =

(дополнительно) Максимум x =

---

Системы линейных уравнений очень часто встречаются в различном контексте алгебры. Наиболее часто встречающиеся системы в базовых курсах алгебры представляют собой системы 2 на 2, которые состоят из двух прямых уравнений и двух переменных.

Такие системы «два на два» часто появляются при решении задач со словами, задач на пропорции и задач на присваивание с ограничением. Естественно, крупнее системы (с большим количеством переменных и уравнений) также распространены, здесь сосредоточьтесь только на системах 2×2, потому что их мы можем изобразить графически.

Как пользоваться графическим методом

Графический метод состоит в представлении каждого из линейных уравнений в виде линии на графике. Затем нам нужно найти пересечение точки между двумя линиями, используя наблюдение, что точка пересечения линии (если она существует) будет решением системы.

Что произойдет, если перекрестка не существует? Это было бы в том случае, если бы линии были параллельны, но не были бы одной и той же линией, и в этом случае нет пересечение. Правило понятно: когда между линиями нет пересечения, у системы нет решения.

Возможен и третий случай: линии могут быть параллельны, но на самом деле идентичны (это одна и та же линия). Итак, сколько перекрестков баллы у тебя есть? Да, вы правы: у вас бесконечные точки пересечения, а значит, у вас есть бесконечные решения.

Решение систем уравнений путем графического отображения ответов

Итак, методология проста: вы начинаете с линейной системы, и первое, что вы делаете, это рисуете две линейные уравнения.

Затем вы смотрите на график и оцениваете, пересекаются ли линии только в одной точке (что происходит, если линии имеют разные наклоны, и в этом случае у вас есть уникальное решение.

Если нет, посмотрите, параллельны ли они и различны, и в этом случае решений нет. В противном случае, если два прямые равны, то у нас есть бесконечные решения.

Как решить систему уравнений на графическом калькуляторе?

Все системы работают по-разному. В этом случае с этим графическим калькулятором все, что вам нужно сделать, это ввести два линейных уравнения, даже если они не совсем упрощенный. Калькулятор сначала попытается перевести линии в точку пересечения наклона и предоставит вам график и приближенная оценка решения.

Разные калькуляторы дают разные результаты, но большое преимущество этого калькулятора в том, что он обеспечивает все этапы процесса.