Учебный проект. Решение уравнений высших степеней.
Алгебраические уравнения высших степеней
Выполнила:
Ученица 8б класса
Усс Ангелина
Руководитель:
Затеева Валентина Павловна
Цели работы : Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.
Задачи:
1.Подобрать необходимую литературу
2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию
4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней
5.Классифицировать исследуемые уравнения
Уравнения с одной переменной степени выше второй
Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.
Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.
Основные методы решения уравнений высших степеней :
1.Метод введения новой переменной
Одинаковые составляющие части уравнения, содержащие переменные заменить на новую переменную.
Примеры решения уравнения методом введения новой переменной:
(x 2 +4x)(x 2 +4x-17)=-60
Пусть х²+4х=t, тогда t(t-17)=-60
T²-17t=-60
t²-17t+60=0
t₁=5
t₂=12
При t=5, х²+4х=5
Х₁=1
Х₂=-5
При t=12, х²+4х=12
Х₁=2
Х₂=-6
Ответ: -6;-5;1;2
2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения
Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель.
Пример 1.
х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.
Решение.
Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:
(х 4 – 2x 2 ) – (x 2 – 4х + 3) = 0.
(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.
(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.
(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.
х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.
Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов
Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.
Пример 1.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.
Решение.
Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.
Решив систему:
{b – a = 4, {c – ab = 5, {-ac = 2,
получим
{a = -1, {b = 3, {c = 2, т.е.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).
Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.
Ответ: -1; -2.
4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту
Метод опирается на применение теорем:
1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.
Пример 1.
6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.
Решение:
2 : p = ±1, ±2
6 : q = 1, 2, 3, 6.
Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.
Ответ: -2; 1/2; 1/3.
вывод
В ходе исследовательской работы я познакомилась с основными методами решения уравнений высших степеней. Так же рассмотрела их решение. По-моему мнению, интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора уравнений при помощи достаточно простого алгоритма
Список Литературы:
- Ерёмин М.А. Уравнения высших степеней-Арзамас,2003
- Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней
- Шафаревич И.Р. Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней
Решение уравнений высших степеней | Презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс) на тему:
Слайд 1
Решение уравнений высших степеней Желтова О.
Н., учитель МАОУ «Лицей № 6» г. Тамбов
Слайд 2
Уравнение Р( x)=0 , где Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , Степенью уравнения Р( х ) = 0 называется степень многочлена Р( х ) стандартного вида, т.е. наибольшая из степеней его членов .
Слайд 3
(х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 х 5 – 2х 3 + 3 = 0 х 3 =10 – х (х-2)(х+1)(х+4)(х+7) = 63 (х 2 -2х-1) 2 + 3(х-1) 2 = 16 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0
Слайд 4
Способы решения уравнений высших степеней Разложение многочлена на множители Функционально-графический метод Метод замены переменн ой
Слайд 5
Решить уравнение: x 3 -2x 2 -6x+4=0 Проблема: Возможно ли многочлен третьей степени x 3 -2x 2 -6x+4 разложить на множители ? №1
Слайд 6
Как разложить на множители многочлен х 2 — 5х — 6? х 2 — 5х — 6 = (х – 6)(х + 1) Вывод: Корни трехчлена являются делителями свободного члена . .
Слайд 7
. x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2
Слайд 8
Схема Горнера . x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2 1 -2 -6 4 1 1 -4 2 0 -2 остаток умножить сложить x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2) x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=
Слайд 9
Значения Схема многочлена Горнер а Р(х)=x 3 -2x 2 -6x+4 Гипотеза: Значение многочлена при х=а равно остатку от деления многочлена на х — а.
х Р(х) 1 -3 -1 7 2 -8 -2 0 4 12 -4 -68 1 -2 -6 4 1 1 -1 -7 -3 -1 1 -3 -3 7 2 1 0 -6 -8 -2 1 -4 2 0 4 1 2 2 12 -4 1 -6 18 -68
Слайд 10
Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — а) равен Р(а ). Следствие : Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0 . О Безу Этьенн БЕЗУ Этьенн Безу (1730 — 1783)
Слайд 11
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x — а)∙Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0 . Иногда этим приемом — он называется понижением степени — можно найти все корни многочлена. В начало
Слайд 12
Если уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена а n Теорема 1
Слайд 13
х 4 – 4х 3 + 5х 2 -2х – 12 = 0, х = -1 — целый корень уравнения.
По схеме Горнера: (х+1)(х 3 — 5х 2 + 10х — 12)=0 х 3 — 5х 2 + 10х – 12=0, х = 3 –целый корень уравнения По схеме Горнера: (х+1)(х – 3)(х 2 -2х + 4) = 0. уравнение х 2 -2х + 4 = 0 корней не имеет. 1 -5 10 -12 3 1 -2 4 0 1 -4 5 -2 -12 -1 1 -5 10 -12 0 Ответ: -1; 3. №2
Слайд 14
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: х 4 — x 3 — 6x 2 — x + 3 = 0 . Ответ: -1; 3; №3
Слайд 15
2 3 5 4 -1 Схема Горнера 2 1 4 0 Найти все значения параметра а, при каждом из которых число р является корнем уравнения. а= -2 а=1 Если а=-2 №4
Слайд 16
При а=1 уравнение принимает вид: 1 -3 -5 -1 -1 1 -4 -1 0 Ответ: -1;
Слайд 17
Для того, чтобы уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имело рациональный корень р/ q , необходимо и достаточно,чтобы p являлось делителем свободного члена а n , а q являлось делителем старшего коэффициента а 0 . Теорема 2
Слайд 18
№5 12 х 5 — 44 x 4 +23 x 3 +4 x 2 — 3 x = 0 . Делители свободного члена: 1 ,-1,3,-3 Делители старшего коэффициента: 1,2,3,4,6,12 Ожидаемые корни: X=0 12 х 4 — 44 x 3 +23 x 2 +4 x – 3 = 0.
Ответ: 0; ½, ½, -1/3, 3.
Слайд 19
№6 12 х 4 — 44 x 3 +39 x 2 +8 x — 12 = 0 . Ответ:-1/2; 2/3; 1,5;2
Слайд 20
№7 Метод неопределенных коэффициентов х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2 = 0 . х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2= = ( x 2 -4 x + 1) ( x 2 -6 x + 2)
Слайд 21
6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0 . Самостоятельная работа Ответ: -2; 1/2; 1/3 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0 Ответ: 1,1,
Слайд 22
Способы решения уравнений высших степеней Разложение на множители Введение новой переменной Фукционально-графический группировка формулы сокращённого умножения понижение степени вынесение за скобки деление «уголком» схема Горнера разложение квадратного трёхчлена на множители Метод неопределенных коэффициентов
Слайд 23
Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности. Альберт Эйнштейн
Слайд 24
Домашнее задание: §2-6, №304,305,314, 316(1,3),317,319, 321,324(1)
Калькулятор квадратных уравнений Архивы — Самый быстрый помощник в задачах в США
Введение:
Китайские, вавилонские и египетские инженеры придумали первую формулу около 2000 г.
до н.э. Около 700 г. н.э. общее решение квадратного уравнения, на этот раз с использованием чисел, было предложено индийским математиком по имени Брахмагупта, который, среди прочего, использовал иррациональные числа; он также распознал два корня в решении. Бхаскара был первым, кто обнаружил, что номер сообщения имеет два квадратных корня.
Эта формула позволяет нам найти корень квадратного уравнения. Развитие или вывод математической идеи обычно логично, выводимо и прямолинейно, насколько это возможно. Над этой так называемой квадратичной формулой веками работали, чтобы примерить нынешнюю форму, которую мы сейчас изучаем в школах.
Значение:
Калькулятор квадратных уравнений определяет, меньше, больше или равно 0 дискриминант. QEC сделал уравнения очень простыми для решения, потому что обычно детям и подросткам требуется время для решения критических уравнений. . Тем не менее, калькулятор сделал их жизнь проще и быстрее, потому что калькулятор никогда не ошибается и может быть надежным.
Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второго порядка с одной переменной ax2 +bx+c = 0, где a = 0. Это полиномиальное уравнение второго порядка, теорема алгебры утверждает, что оно имеет два решения. Эти решения могут быть, а могут и не быть реальными или сложными.
Определения:
Калькулятор квадратного уравнения позволяет нам шаг за шагом решать квадратное уравнение либо путем завершения квадрата, либо с помощью квадратной формулы. Он найдет как действительные, так и мнимые корни данного квадратного уравнения.
Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, в котором используется квадрат переменной, но без высших степеней. В этом правиле мы можем найти решения квадратных уравнений. Иногда решения могут быть действительными числами, а иногда — недействительными.
Цели:
- Решите уравнения, используя разложение на множители, квадратный корень, завершение квадрата.
Важным методом решения таких уравнений является использование факторизации или квадратных корней, когда форма уравнения предполагает один из этих методов, а в противном случае использование квадратичной формулы.
- Он предназначен для работы в любом браузере и ОС.
QEC работает во всех типах веб-браузеров, и разобраться в программе решения квадратных формул несложно. Это удобное программное обеспечение, которое помогает многим пользователям. Кроме того, он очень быстро решает задачи и дает правильный ответ.
- Он предназначен для использования всех видов методов, чтобы дать точный ответ.
а. Метод факторинга.
б. Метод квадратного корня.
в. Завершение метода квадрата.
- Используйте дискриминант для классификации решений квадратного уравнения.
Выражение, стоящее в радикале квадратной формулы, называется дискриминантом выражения.
Плюсы использования Калькулятора квадратных уравнений и Решателя квадратных формул:
Таким образом, калькулятор позволяет нам быстрее решать сложные задачи, в том числе с точным ответом.
2.Всегда прав
Как люди, мы часто можем ошибаться в ответах на задачи, которые вычисляем. Мы можем быть несовершенными или пропустить некоторые расчеты, формулы и т. д. Однако калькуляторы никогда не ошибаются, потому что машина не может лгать, что заставляет нас полагаться на нее для правильного ответа.
3. Это быстрее и удобнее.
Поскольку это машина, она работает быстро и выполняет множество сложных вычислений всего за несколько мгновений, потому что Решатель квадратичных формул помогает решить поставленную задачу.
4. Не только ответы, но и решения!
Лучшая часть Решателя квадратных формул заключается в том, что он просто не дает ответа, а также помогает нам решить проблему и дает нам шаги, методы и решения. Большинство лекторов в наши дни не сосредотачиваются на правильном ответе. Вместо этого они хотят видеть наш подход к проблеме.
Много раз, когда мы используем простой подход, учитель может подумать, что либо мы не знаем о сложном, либо мы откуда-то скопировали ответ. Чтобы избежать этого, мы также должны знать шаги, необходимые для получения ответа, который у нас есть.
Минусы калькулятора квадратных уравнений и решателя квадратных формул:
Недостатки использования этого калькулятора могут быть незначительными для тех, кто уже закончил обучение, хотя он имеет немало недостатков для студентов.
1.Зависимость.
Несмотря на то, что калькуляторы могут выполнять основные операции мгновенно, учащиеся не должны использовать такие калькуляторы, так как это делает их неспособными решать основные уравнения и более зависимо, затуманивая мозг.
2. Отсутствие творчества.
Есть некоторые исследования, которые утверждают, что в последнее время многие люди очень часто используют калькуляторы квадратных уравнений.
Это может быть проблемой, потому что вскоре нам может не хватать квалифицированных ученых с отличными вычислительными навыками. Это может быть серьезной проблемой, потому что учащиеся чрезмерно зависят от этих веб-сайтов и портативных калькуляторов, и они не могут решить задачи без этих устройств.
3. Отсутствие навыков понимания:
Из-за увеличения зависимости люди пытаются копировать вместо того, чтобы понять, что это такое. Им не хватает навыков понимания. Если это продолжается и дальше, шансы выше, что они могут даже забыть основы предмета.
Заключение:
В конце концов, все, что мы можем понять, это то, что у всего есть свои плюсы и минусы, мы должны ладить с каждым шагом на этом пути. Калькулятор квадратных уравнений сделал нашу жизнь намного более управляемой. Это не только помогает нам решать проблемы, но и показывает каждый шаг решения проблемы.
Решатель квадратичных формул является важной частью решения задач, поскольку он использует те формулы, которые необходимы для решения задач.
Калькулятор полиномиального дискриминанта — Online Delta Δ Solver
Поиск инструмента
Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:Просмотрите полный список инструментов dCode
Дискриминант полинома
Инструмент для вычисления дискриминанта полинома для вывода его корней (значения или выражение равны нулю, равно 0). 92 = \Delta $$
$$ x_1 = \frac {-b + \delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b — \delta}{2a} $$
Для уравнений высших степеней расчеты намного сложнее, но важно знание определителей.
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Дискриминант многочлена». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Дискриминант многочлена», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Дискриминант функций многочлена (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанных на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т.