Когда можно делить на косинус: Решаем однородные тригонометрические уравнения

Содержание

Решение однородных тригонометрических уравнений

В этой статье мы рассмотрим способ решения однородных тригонометрических уравнений.

Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида. Напомню способ решения однородных уравнений второй степени:

Рассмотрим однородные  уравнения вида
A{{({f(x)})}^2}+B{{f(x)}{g(x)}}+C{{({g(x)})}^2}=0

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на {({g(x)})}^2 (можно разделить на {f(x)}{g(x)} или на {({f(x)})}^2)

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Если является, то мы выписываем этот корень, чтобы потом про него не забыть, а затем делим на это выражение.

Вообще, первым делом, при решении любого уравнения, в правой части которого стоит ноль, нужно попытаться разложить левую часть уравнения на множители любым доступным способом. А затем каждый множитель приравнять к нулю. В этом случае мы точно не потеряем корни.

Итак, осторожно разделим  левую часть уравнения на выражение {({g(x)})}^2 почленно. Получим:

A{{({f(x)})}^2}/{{({g(x)})}^2}+B{{f(x)}{g(x)}}/{{({g(x)})}^2}+C{{({g(x)})}^2}/{{({g(x)})}^2}=0

Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

A({{{f(x)}/{{g(x)}})}^2}+B({{{f(x)}/{{g(x)}})}}+C=0

Введем замену:

t={{f(x)}}/{{g(x)}},

Получим квадратное уравнение:

At^2+Bt+c=0

Решим квадратное уравнение, найдем значения t,  а затем вернемся к исходному неизвестному.

При решении  однородных тригонометрических уравнений, нужно помнить несколько важных вещей:

1. Свободный член можно преобразовать к квадрату синуса и косинуса с помощью основного тригонометрического тождества:

5=5(cos^2{x}+sin^2{x})=5cos^2{x}+5sin^2{x}

2. Синус и косинус двойного аргумента являются одночленами второй степени —  синус двойного аргумента легко преобразовать к произведению синуса и косинуса, а косинус двойного аргумента — к квадрату синуса или косинуса:

sin2{alpha}=2sin{alpha}cos{alpha}

cos2{alpha}=cos^2{alpha}-sin^2{alpha}

 

Рассмотрим несколько примеров решения однородных тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение:

sin{x}+2cos{x}=0

Это классический пример однородного тригонометрического уравнения первой степени: степень каждого одночлена равна единице, свободный член равен нулю.

Прежде чем делить  обе части уравнения на cos{x}

, необходимо проверить, что корни уравнения cos{x}=0 не являются корнями исходного уравнения. Проверяем: если cos{x}=0, то sin{x}<>0sin{x}<>0, следовательно их сумма не равна нулю.

Разделим обе части уравнения на cos{x}.

Получим: {sin{x}}/{cos{x}}+2{cos{x}}/{cos{x}}=0sin{x}<>0

tg{x}+2=0

tg{x}=-2

x=arctg{(-2)} +{pi}k

, где k{in}{bbZ}

x=-arctg(2) +{pi}k, где k{in}{bbZ}

Ответ: x=-arctg(2) +{pi}k, где k{in}{bbZ}

2. Решим уравнение:

sqrt{3}cos^2{x}+cos{x}sin{x}=0

Это пример однородного тригонометрического уравнения второй степени. Мы помним, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то желательно это сделать. В этом уравнении мы можем вынести за скобки cos{x}. Сделаем это:

cos{x}(sqrt{3}cos{x}+sin{x})=0

Приравняем каждый множитель к нулю:

delim{[}{matrix{2}{1}{{cos{x}=0} {sqrt{3}cos{x}+sin{x}=0} }}{ }

Решение первого уравнения: x={pi}/2+{pi}k, где k{in}{bbZ}

Второе уравнение — однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на cos{x}. Получим:

sqrt{3}{cos{x}}/{cos{x}}+{sin{x}}/{cos{x}}=0

tg{x}=- sqrt{3}

x=-{pi}/3 +{pi}k, где k{in}{bbZ}

Ответ:  x={pi}/2+{pi}k, где k{in}{bbZ},

x=-{pi}/3 +{pi}k, где k{in}{bbZ}

3. Решим уравнение:

4cos^2{x}+0,5sin{2x}+3sin^2{x}=3

Чтобы это уравнение «стало» однородным, преобразуем sin{2x} в произведение, и представим число 3 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:

4cos^2{x}+0,5*2sin{x}cos{x}+3sin^2{x}=3(cos^2{x}+sin^2{x})

Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

cos^2{x}+sin{x}cos{x}=0

Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю:

delim{[}{matrix{2}{1}{{cos{x}=0} {cos{x}+sin{x}=0} }}{ }

Отсюда:

x={pi}/2  +{pi}k, где k{in}{bbZ},

x=-{pi}/4  +{pi}k, где k{in}{bbZ}

Ответ: x={pi}/2  +{pi}k, где k{in}{bbZ},

x=-{pi}/4  +{pi}k, где k{in}{bbZ}

4. Решим уравнение:

sin^3{3x}-4sin^2{3x}cos{3x}+3sin{3x}cos^2{3x}=0

Мы видим, что можем вынести за скобки sin{3x}. Сделаем это:

sin{3x}(sin^2{3x}-4sin{3x}cos{3x}+3cos^2{3x})=0

Приравняем каждый множитель к нулю:

delim{[}{matrix{2}{1}{{sin{3x}=0} {sin^2{3x}-4sin{3x}cos{3x}+3cos^2{3x}=0} }}{ }

Решение первого уравнения:

x={{pi}k}/3, где k{in}{bbZ}

Второе уравнение совокупности представляет собой классическое однородное уравнение второй степени. Корни уравнения cos{3x}=0 не являются корнями исходного уравнения, поэтому разделим обе части уравнения на  cos^2{3x}=0 :

{sin^2{3x}}/{cos^2{3x}}-4{sin{3x}cos{3x}}/{cos^2{3x}}+3{cos^2{3x}}/{cos^2{3x}}=0

tg^2{3x}-4tg{3x}+3=0

Отсюда:

delim{[}{matrix{2}{1}{{tg{3x}=1} {tg{3x}=3} }}{ }

Решение первого уравнения:

3x={pi}/4+{pi}k, где k{in}{bbZ}

Решение второго уравнения:

3x=arctg{3}+{pi}k, где k{in}{bbZ}

Ответ: x={pi}/12+{{pi}k}/3, где k{in}{bbZ},

x={arctg{3}}/3+{{pi}k}/3, где k{in}{bbZ},

x={pi}k, где k{in}{bbZ}.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1»

k{in}{bbZ}

sin{x}<>0

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ по математике.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет самый умный и самый лучший ученик во вселенной!

Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические.

И станем на шаг ближе к заветной цели — сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Чтобы освоить тему мы с тобой решим 11 простейших тригонометрических уравнений, 3 чуть более сложных и ты сам решишь еще 3 самостоятельно.

И этого будет достаточно чтобы добавить до 5 баллов из 32 на ЕГЭ!

Услышал новое слово? И, дай догадаюсь, это новое слово «тригонометрические»?

Ну, не беда! Если ты не знаком с этим понятием, повтори следующие разделы и ты будешь знать про них все что нужно!

  1. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа
  2. Тригонометрическая окружность
  3. Формулы тригонометрии.

Ну что, всё усвоил? 🙂

Ну да ладно, совсем всё и не потребуется, мне важно лишь, чтобы ты знал…

Необходимый минимум для того, чтобы решать тригонометрические уравнения

— что такое синус, косинус, тангенс, котангенс.

— какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности,

— какие из этих функций нечётные, а какая – чётная,

— также совершенно необходимо знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

Уравнения вида Уравнения, сводящиеся к виду:

Что ещё?

Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял.

Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

Решение тригонометрический уравнений

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

 

тригонометрическим?

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции   в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

 

и опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа: оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную ( ). Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих статьях по данной тематике. Но вернёмся к вопросу:

Что же такое тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

Однако в данной статье мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

Где   – некоторое постоянное число. Например:  и т. д.

  – некоторая функция, зависящая от искомой переменной  , например   и т. д.

Такие уравнения называются простейшими! 

И основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии»

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.

Более того, простейшие тригонометрические уравнения могут встретиться ДО ЧЕТЫРЕХ РАЗ в заданиях ЕГЭ:

это может быть задача №5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени),

  • Задача №12 (она на производную, но в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ),
  • Задача №10 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка),
  • Задача №13 — даёт 2 первичных балла — (решение тригонометрического уравнения средней или высокой сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!).

Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 БАЛЛОВ ЕГЭ из 32!

Круто, да? 

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу. Мы будем решать через формулы.

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

Уравннения вида: 

 ,   

имеют смысл только тогда, когда  


Уравнения вида: 

 ,  

имеют смысл уже при всех значениях  .

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

Корней не имеют!!!

Почему?

Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!!

Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.

Таблица тригонометрических формул

         
         
         
         
         

 

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца

, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?

У меня бы возникли вот какие:

Что такое   и что такое, например  ?

Отвечаю на все по порядку:

  – Это любое целое число  .

В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?

ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ!!! И число   и служит для обозначения этой «бесконечности».

Конечно, вместо   можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе:   – что означает, что   – есть любое целое число.

Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем,   надо как «угол, синус которого равен  )

  •  – угол, синус которого равен  
  •   – угол, косинус которого равен  
  •   – угол, тангенс которого равен  
  •    – угол, котангенс которого равен  

Например,

То есть алгоритм вычисления арксинусов и других «арок» такой: 

  • Первое — смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число.
  • Второе – смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса…
  • Третье – смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой.
  • Четвёртое – записываем ответ.

Вот простой пример вычисления аркосинуса:

 

  1. Под аркой число  
  2. Арка для функции косинус!
  3. Косинус какого угла равен  ?
  4. Угла   (или   градусов!)
  5. Тогда  

Сам посчитай:

Ответы:   и  .

Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.

Что делать, если «арка» берётся от отрицательного числа?

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

  1.  
  2.  

И внимание!!!

  1.  
  2.  

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

11 примеров решения простейших тригонометрических уравнений — прочитай их и ты решишь любое такое уравнение (+ на ЕГЭ!)

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Основные виды тригонометрических уравнений

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[{\Large{af^2(x)+bf(x)+c=0}}\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm{tg}\,x, \mathrm{ctg}\, x\),
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.

 

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} && 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}\]
формулы двойного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha} && & \mathrm{ctg}\, 2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\, \alpha-1}{2\mathrm{ctg}\, \alpha}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)

 

С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\). Сделаем замену \(t=\sin x\). Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\), то \(t\in[-1;1]\). Получим уравнение:

 

\(6t^2+13t+7=0\). Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\).

 

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

 

Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)

 

С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\). Сделаем эту подстановку и получим:

 

\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\). Сделаем замену \(t=\sin 2x\). Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\), то \(t\in[-1;1]\). Получим уравнение:

 

\(2t^2+5t+2=0\). Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\).

 

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:   \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac{\pi}{12}+\pi n, \ x_2=-\dfrac{5\pi}{12}+\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

 

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\, x+3\mathrm{ctg}\,x+4=0\)

 

Т.к. \(\mathrm{tg}\,x\cdot \mathrm{ctg}\,x=1\), то \(\mathrm{ctg}\,x=\dfrac1{\mathrm{tg}\,x}\). Сделаем замену \(\mathrm{tg}\,x=t\). Т.к. область значений тангенса \(\mathrm{tg}\,x\in\mathbb{R}\), то \(t\in\mathbb{R}\). Получим уравнение:

 

\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac{t^2+4t+3}{t}=0\). Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

 

\(\begin{cases} t^2+4t+3=0\\t\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &t_1=-3\\&t_2=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\)

 

Сделаем обратную замену:

 

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-3\\ &\mathrm{tg}\,x=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\mathrm{arctg}\,3+\pi n\\ &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

 

\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[{\Large{af^3(x)+bf^2(x)+cf(x)+d=0}}\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm{tg}\,x, \mathrm{ctg}\, x\),
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.

 

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin {3\alpha}=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha &&& \cos{3\alpha}=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)

 

При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\):

 

\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\). Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\):

 

\(6t^3-11t^2+t+4=0\). Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\). Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\), получим:

 

\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\).

 

Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:

 

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\sin x=1\\&\sin x=-\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+2\pi n\\[1ex]&x=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\\[1ex] &x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

 

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad {\Large{a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0}}, \quad a\ne 0,c\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\), при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\). Действительно, если \(\cos x=0\), то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\), откуда следует, что и \(\sin x=0\). Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\), то \(\sin x=\pm 1\).

 

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

 

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\). Разделим, например, на \(\cos^2 x\):

 

\(a \ \dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+b \ \dfrac{\sin x\cos x}{\cos^2x}+c \ \dfrac{\cos^2x}{\cos^2x}=0 \Leftrightarrow a\mathrm{tg}^2\,x+b\mathrm{tg}\,x+c=0\)

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm{tg}\,x\) сводится к квадратному уравнению:

 

\(at^2+bt+c=0\), способ решения которого вам известен.

 

Уравнения вида \[I’. \quad {\Large{a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d}}, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]

Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде

 

\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)

 

Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)

 

Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:

\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\). Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\):

 

\(\mathrm{tg}^2\,x+3\mathrm{tg}\,x-4=0\) и сделаем замену \(t=\mathrm{tg}\,x, \ t\in\mathbb{R}\). Уравнение примет вид:

 

\(t^2+3t-4=0\). Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\). Сделаем обратную замену:

 

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=1\\&\mathrm{tg}\,x=-4 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}4+\pi n\\[1ex]&x=-\mathrm{arctg}\,4+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

 

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad {\Large{a\sin x+b\cos x=0}}, a\ne0, b\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\), при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\). Действительно, если \(\cos x=0\), то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\), откуда следует, что и \(\sin x=0\). Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\), то \(\sin x=\pm 1\).

 

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

 

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\). Разделим, например, на \(\cos x\):

 

\(a \ \dfrac{\sin x}{\cos x}+b \ \dfrac{\cos x}{\cos x}=0\), откуда имеем \(a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\, x=-\dfrac ba\)

 

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

 

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\):

 

\(1+\mathrm{ctg}\, x=0 \Rightarrow \mathrm{ctg}\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad {\Large{a\sin x+b\cos x=c}}, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

 

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества:   \({\large{\sin x=2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}, \qquad \cos x=\cos^2 {\dfrac x2}-\sin^2 {\dfrac x2},\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 {\dfrac x2}+\cos^2 {\dfrac x2}\Big)}}\)   данное уравнение сведется к уравнению \(I\):

 

Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

 

Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\). Тогда уравнение примет вид:

 

\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\). Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm{tg}\,x=t\) сводится к:

 

\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\). Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3\). Сделаем обратную замену:

 

\(\left[ \begin{gathered} \begin{aligned}&\mathrm{tg}\,x=-1\\ &\mathrm{tg}\,x=2-\sqrt3 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n\\[1ex] &x=\mathrm{arctg}\,(2-\sqrt3)+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

 

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2} &&& \cos{\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}\\&&&\\ \hline \end{array}\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm{tg}\, \dfrac x2\)

 

Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

 

Сделаем подстановку \(\sin 2x=\dfrac{2\mathrm{tg}\,x}{1+\mathrm{tg}^2\,x}, \ \cos2x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\,x}{1+\mathrm{tg}^2\,x}\) и замену \(\mathrm{tg}\,x=t\):

 

\(\dfrac{(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3}{1+t^2}=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\), то есть всегда \(\ne 0\))

 

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

 

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[{\large{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi),}} \quad \text{где } \cos \phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha &&& \cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

 

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}=2\):

 

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac{\sqrt3}2\cos 2x=-\dfrac12\)

 

Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac{\sqrt3}2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac{\pi}3, \ \dfrac{\sqrt3}2=\sin \dfrac{\pi}3\). Тогда уравнение примет вид:

 

\(\sin 2x\cos \dfrac{\pi}3-\sin \dfrac{\pi}3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)=-\dfrac12\)

 

Решениями данного уравнения являются:

 

\(\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x-\dfrac{\pi}3=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\\[1.5ex] &2x-\dfrac{\pi}3=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n\\[1.5ex] &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

 

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

 

\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[{\Large{a(\sin x\pm \cos x)+b\sin x\cos x+c=0}}, \text{где } a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[{\large{(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x}} \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.

 

Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\), тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac{t^2-1}2\).

 

Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\).

 

Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\).

 

Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\).
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\), тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac{t^2-1}2\). Тогда уравнение примет вид: \[3t=2t^2-2 \Rightarrow 2t^2-3t-2=0\] Корнями данного уравнения являются \(t_1=2, t_2=-\dfrac12\).

 

По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)\), следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=2\\[1ex] &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=\sqrt2\\[1ex] &\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac1{2\sqrt2} \end{aligned} \end{gathered} \right.\] Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от \(-1\) до \(1\). Значит: \(\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac1{2\sqrt2} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x+\dfrac{\pi}4=-\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+2\pi n\\[1ex] &2x+\dfrac{\pi}4=\pi+\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \)  
\(\Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac12\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}-\dfrac{\pi}8+\pi n\\[1ex] &x=\dfrac{3\pi}8+\dfrac12\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

 

\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

 

\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\):

\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)

 

\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\):

\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)

 

\(\sin^2x-\cos^2x=-\cos2x\)

 

\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\):

\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)

\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)

 

\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\):

\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\)   (по первой формуле)

 

Ещё немного о тригонометрии в вычислениях / Хабр


На Хабре было уже много статей, посвящённых быстрым вычислениям тригонометрии, когда сильно надо, но я хотел бы дополнить их одной небольшой заметкой с отсылкой к школьной тригонометрии.

Иногда может не быть аппаратной реализации тригонометрии, иногда могут быть иные причины, чтобы изобретать методы ускорения вычисления.


Математика

Давайте вспомним некоторые простые формулы из школьного курса.

Начнём с простых:
(1)


  • sin x = cos (90° - x)
  • cos x = sin (90° - x)
  • sin -x = -sin x
  • cos -x = cos x
  • В общем случае sin (90°N ± x) = ±cos x для нечётных N и ±sin x для чётных. Знак берётся исходя из знака аргумента в соответствующей четверти круга.

Дальше:
(2)


  • cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
  • sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

И ещё:
(3)


  • sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ...
  • cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...

Косинус/синус любого угла может быть приведён к аргументу в диапазоне от 0° до 45°, используя формулы первой группы.

Для малых углов тригонометрические функции могут быть сведены к асимптотическим разложениям, если отбрасываемые члены заведомо выходят за разрядную сетку.

Все промежуточные углы могут быть получены суммированием больших углов с некоторым шагом (а для них тригонометрию можно считать таблично), и остатков, которые рано или поздно дадут линейное разложение.


Применение

Предположим, что мы работаем с числами одинарной точности IEEE-754 они имеют имена float, single и т.п. В мантиссе 23 знака, значит нам надо получить относительную погрешность 2^-23.
Давайте оценим, как глубоко надо опуститься, чтобы построить таблицы аргументов.

Для синуса будем отбрасывать кубический член, поэтому нам нужно, чтобы его отношение к линейному было меньше чем допустимая погрешность, откуда выходит, что: 1 - (x - x^3/3!) / x = x^2/6должно быть меньше 2^-23, откуда следует, что для аргументов не более чем 0.000846 радиана нам достаточно точности приближенного вычисления для синуса. Для косинуса, если отбрасывать квадратичный член, нужна точность примерно в 2 раза лучше — 0.000488 радиана.
Итак, нам не надо иметь табличные значения для аргумента меньше чем 0.000488 радиана.

Для построения таблицы перенормируем входной аргумент так, чтобы значению 0 соответствовал угол 0°, а для значения 1 — угол 45°, или pi/4=0.78539816 радиан. Тогда минимальный угол, полученный выше, будет пересчитан в 0.0006217 радиан, или примерно 1/1600 — это больше чем 1/2048 = 2^-11.

Дальше нужно будет выбрать шаг таблиц исходя из того, как мы хотим распределить вычисления, показатель степени 11 мы разделим на несколько частей. Например, можно разбить его на две части: 11=6+5, тогда нам понадобятся две таблицы размером 64 и 32 записи (итого 96), или на три части: 11=4+4+3 (размер таблиц 16+16+8=40 записей), но будет больше операций умножения — конкретный выбор будет зависеть от задачи и располагаемых ресурсов.

Ремарка: запись в таблице — это пара синус и косинус аргумента. Если храним с одинарной точностью, то размер записи 8 байт.


Пример

Давайте для примера возьмём разложение 4+4+3, а потом обобщим.

Итак, задача: вычислить значение sin x для произвольного x.

Шаг 1. Приведём аргумент x к нашей шкале, поделив его на константу pi/4 (назовём его x').

Шаг 2. В зависимости от значения аргумента x' используя формулы (1) выберем нужную функцию таким образом, чтобы аргумент её был в диапазоне от 0 до 1 (включительно) (назовём x''. На этом шаге также нужно будет отметить знак получаемого результата.

[предположим для примера, что получился синус]

Шаг 3. Воспользуемся таблицами (напомню, что их 3), при этом индексами в таблице будут «битовые поля» в двоичном представлении аргумента x'' — первые 4 бита после запятой, потом ещё 4, и ещё 3, а оставшиеся на при делах биты пойдут в остаток.

Табличные синус назовём S1, S2, S3, табличные косинусы — C1, C2, C3.

Поскольку угол мы делили на pi/4, то чтобы получить остаток в радианах, его надо умножить на эту же величину. «Битовый» остаток, умноженный pi/4, обозначим как A. Тогда его синус будет равен A, а косинус — 1.

Шаг 4. Объединяем всё, что получилось:

C12 = C1 C2 - S1 S2
S12 = S1 C2 + C1 S2

C123 = C12 C3 - S12 S2
S123 = S12 C3 + C12 S3

|sin x| = S123 + C123 A (если на шаге 2 получили синус)
|sin x| = C123 - S123 A (если на шаге 2 получили косинус)

Шаг 5. Если на шаге 2 мы сочли, что результат должен получиться отрицательным, то этот минус надо ввести в результат.


Заключение

Аналогичный подход может использоваться как для вычисления в вещественных числах любого размера, так и, например, для реализации специализированной арифметики с фиксированной запятой. Собственно, в своё время именно последняя задача меня и сподвигла поковыряться в эту сторону, но это было давно.

Учимся расщеплять ответы в тригонометрических уравнениях

Думаю, всем известно общее решение уравнения вида sin x = a:

x = (−1)n arcsin a + πn, n ∈ Z

Именно так нас учат записывать ответы в школе. Главное преимущество этой формулы — краткость. Однако у нее есть множество недостатков. Например:

  1. Многие ученики не понимают эту формулу. Как с ней работать? И откуда берется множитель (−1)n? В результате начинается зубрежка, а зубрежка — это зло;
  2. Числа, записанные в таком виде, совершенно не приспособлены для использования в неравенствах. Их сложно отмечать на координатной прямой (хотя все-таки можно — после упорной тренировки).

И это еще не все! Например, что будет, если синус равен отрицательному числу? Почему степень увеличивается на единицу? Далеко не все ученики это понимают. Поэтому, чтобы избежать проблем, предлагаю разбивать ответ два простых подмножества. Взгляните:

Было:

x = (−1)n arcsin a + πn, n ∈ Z

Стало:

x = arcsin a + 2πn, n ∈ Zm
x = π − arcsin a + 2πk, k ∈ Z

Обратите внимание: в новой записи изменился период. Отныне к арксинусу добавляется 2πn — так же, как у арккосинуса. Давайте посмотрим, как это правило работает на практике.

Смотрите также:

  1. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
  2. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
  3. Решение задач B12: №440—447
  4. Схема Бернулли. Примеры решения задач
  5. Тригонометрические функции
  6. Задача B2: Сложный процент и стандартная формула

Формулы тригонометрических уравнений

Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

   

Таблица арксинусов

   

   

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

   

Таблица арккосинусов

   

   

Частные случаи синуса и косинуса:

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

   

Таблица арктангенсов

   

   

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

   

Таблица арккотангенсов

   

   

 

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Косинус острого угла α (cos α) – это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c) в прямоугольном треугольнике.

cos α = b / c

Косинус острого угла

Например:
b = 4
c = 5
cos α = b / c = 4 / 5 = 0.8

График косинуса

Функция косинуса пишется как y = cos (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

График косинуса

Свойства косинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства косинуса с формулами:

Свойство Формула
Симметричность cos (-α) = cos α
Симметричность cos (90°- α) = sin α
Пифагорейская тригонометрическая идентичность sin2 α + cos2 α = 1
cos α = sin α / tg α
cos α = 1 / sec α
Косинус двойного угла cos 2α = cos2α — sin2α
Косинус суммы углов cos (α+β) = cos α cos β — sin α sin β
Косинус разности углов cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β
Сумма косинусов График косинуса
Разность косинусов График косинуса
Произведение косинусов График косинуса
Произведение косинуса и синуса График косинуса
Производная косинуса cos’ x = -sin x
Интеграл косинуса ∫ cos x dx = sin x + C
Формула Эйлера cos x = (eix + eix) / 2

microexcel.ru

Обратная к косинусу функция

Арккосинус x – это обратная к косинусу функция x, при -1≤x≤1.

Если косинус у равняется х (cos y = x), значит арккосинус x равен у:

arccos x = cos-1 x = y

Например:

arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)

Таблица косинусов

x (°) x (рад) cos x
180° π -1
150° 5π/6 -√3/2
135° 3π/4 -√2/2
120° 2π/3 -1/2
90° π/2 0
60° π/3 1/2
45° π/4 √2/2
30° π/6 √3/2
0 1

microexcel.ru

Что такое синус, косинус и тангенс?

Вы знаете, что сказали друг другу два угла, находящиеся внутри одного прямоугольного треугольника? Первый угол звучит так: «Привет, Тельма (или это Тета?), Я не хочу идти по касательной, но каков твой синус?» На что второй угол отвечает: «Фил (или это Фи?), Я не знаю, зачем ты вообще спрашиваешь, мой синус, очевидно, такой же, как твой косинус!»

Купить сейчас

Как партнер Amazon и книжный магазин.org, QDT зарабатывает на соответствующих покупках.

Хорошо, может быть, это не лучшая шутка в мире, но как только вы поймете синусы и косинусы, это будет немного забавно. Конечно, это означает, что, если вы, , не знаете, разницы между синусом и косинусом, вы в настоящее время не в метафорическом смысле.

Ясно, что мы не можем этого допустить… и не будем! Потому что сегодня мы узнаем все о синусах, косинусах и касательных.,

Резюме: тригонометрия и треугольники

Когда мы говорили о мире тригонометрии, мы узнали, что часть математики, называемая тригонометрией, является частью математики, которая имеет дело с треугольниками. И, в частности, это часть математики, которая занимается выяснением отношения между тремя сторонами и тремя углами, составляющими каждый треугольник.

Особый интерес для нас представляет особый тип треугольников, известный как прямоугольные треугольники. Каждый прямоугольный треугольник имеет один угол в 90 градусов (например, угол квадрата или прямоугольника) и два угла, каждый из которых находится в диапазоне от 0 до 90 градусов (при этом, как мы поговорим в будущем, сумма всех трех углов составляет 180 градусов).

Для нашего обсуждения синуса, косинуса и тангенса (которые, не волнуйтесь, не так сложны, как кажется), важно, чтобы у нас был способ обозначать стороны прямоугольных треугольников.

Как мы узнали в прошлый раз, самая длинная сторона треугольника известна как его «гипотенуза». Сторона, противоположная углу, на который мы смотрим, известна как «противоположная» сторона (логически). А сторона, прилегающая к углу, на который мы смотрим (тот, который не является гипотенузой), называется «прилегающей» стороной.

Синус, косинус и тангенс

Теперь, когда все эти предварительные сведения с радостью всплывают в нашем растущем пуле математических знаний, мы, наконец, готовы заняться значениями синуса, косинуса и тангенса. Вот ключевая идея:

Соотношение сторон прямоугольного треугольника полностью определяется его углами.

Соотношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Другими словами, значение, которое вы получаете, когда делите длины любых двух сторон прямоугольного треугольника — скажем, длину стороны, противоположной одному из его углов, деленную на его гипотенузу — полностью высечено в камне, как только углы высечены в камне.

Почему? Что ж, если углы фиксированные, увеличение или уменьшение треугольника не влияет на относительную длину его сторон. Но даже небольшое изменение углов треугольника дает! Если вам нужно что-то убедительное, попробуйте нарисовать несколько собственных треугольников, и вы убедитесь, что это действительно правда.

Итак, тот факт, что у треугольника три стороны, означает, что есть также три возможных отношения длин сторон треугольника. И, как вы, возможно, уже догадались, эти три соотношения — не что иное, как известные тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса.

Что такое SOH-CAH-TOA?

Синус одного из углов прямоугольного треугольника (часто сокращенно «грех») — это отношение длины стороны треугольника, противоположной углу, к длине гипотенузы треугольника. Косинус (часто сокращенно «cos») — это отношение длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. А касательная (часто сокращенно «загар») — это отношение длины стороны, противоположной углу, к длине прилегающей стороны.

Так как это немного сложно запомнить, добрые люди на протяжении веков придумали удобную мнемонику, которая поможет вам (и бесчисленным поколениям детей в школе) выйти из школы. Все, что вам нужно запомнить, это SOH-CAH-TOA. Другими словами:

  • SOH → sin = «противоположный» / «гипотенуза»
  • CAH → cos = «смежный» / «гипотенуза»
  • TOA → tan = «напротив» / «рядом»

Тригонометрия в реальном мире

Хотя все эти разговоры об углах и сторонах прямоугольных треугольников и их соответствии друг другу через красоту и великолепие тригонометрии действительно прекрасны, это может оставить вас в недоумении по поводу «Почему?». «Какой?» и когда?» всего этого.Под этим я подразумеваю:

  • Почему это полезно в реальном мире?
  • Для чего нужны кнопки sin, cos и tan на моем калькуляторе? (А как они работают?)
  • Когда я действительно смогу вычислить синус или косинус?

Это, очевидно, очень важные (и очень разумные) вопросы. И это тоже очень важные вопросы, на которые нужно ответить. Именно эту задачу мы начнем выполнять в следующий раз.

Заключение

Хорошо, это все математические вычисления, которые у нас есть на сегодня.

Обязательно посмотрите мою книгу The Math Dude’s Quick and Dirty Guide to Algebra . И не забудьте стать поклонником Math Dude на Facebook, где вы найдете множество замечательных математических публикаций в течение недели. Если вы в Твиттере, подпишитесь и на меня.

До следующего раза это Джейсон Маршалл с «Быстрые и грязные советы математика, которые помогут упростить математику» . Спасибо за чтение, любители математики!

Изображение тригонометрии от Shutterstock.

.

Секущая функция (сек) — Тригонометрия

Секущая функция (сек) — Тригонометрия — Открытый справочник по математике (См. Также Секанс круга).

В прямоугольном треугольнике секущая угла — это длина гипотенузы, деленная на длина прилегающей стороны. В формуле он сокращается до «сек».

Из шести возможных тригонометрических функций секущая, котангенс и косекансные, используются редко. Фактически, у большинства калькуляторов нет кнопки для них, и библиотеки программных функций не включают их.

Их можно легко заменить производными от более распространенных трех: sin, cos и tan.
Секанс может быть получен как величина, обратная косинусу:

Функция обратной секущей — arcsec

Для каждой тригонометрической функции, такой как sec, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. Таким образом, обратное значение sec — arcsec и т. Д. Когда мы видим «arcsec A», мы интерпретируем его как «угол, секанс которого равен A».

сек 60 = 2.000 Означает: Секанс 60 градусов равен 2.000
угловых секунд 2.0 = 60 означает: угол, секанс которого равен 2,0, равен 60 градусам.

Иногда записывается как asec или sec -1

Большие и отрицательные углы

В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника). Но на самом деле мы можем найти секанс любого угла, независимо от того, насколько он велик, а также секанс отрицательных углов.Подробнее об этом см. Функции больших и отрицательных углов.

График секущей функции

Поскольку секущая функция является обратной функцией косинусной функции, она стремится к бесконечности, когда функция косинуса равна нулю.

Производная от sec (x)

В расчетах производная сек (x) равна сек (x) tan (x) . Это означает, что при любом значении x скорость изменения или крутизна сек (x) составляет сек (x) tan (x) .

Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций вместе с производными других тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,

Косинусное сходство и классификация

Установить подобие — сложная проблема, которую можно решить с помощью традиционного программирования на основе правил. Проблема усугубляется, когда в наборе данных имеется большое количество атрибутов. Неудивительно, что на помощь приходит математика. Используя алгоритм Cosine function & K-Nearest Neighbor , мы можем определить, насколько похожи или различны два набора элементов, и использовать их для определения классификации. Функция косинуса используется для вычисления подобия или расстояния наблюдений в многомерном пространстве.

Например, вот список фруктов и их атрибутов:

Если два набора атрибутов идентичны, мы бы хотели, чтобы наша функция подобия возвращала One (1). Если два набора атрибутов совершенно разные, мы бы хотели, чтобы функция возвращала ноль (0). Если между двумя наборами есть значительное перекрытие, мы бы хотели, чтобы функция возвращала действительное число, которое ближе к единице (например: 0,95), и наоборот, два самых разных набора элементов, если мы хотим, чтобы элементы приближались к нулю ( пример: 0.05). К счастью, положительные значения косинуса демонстрируют такое поведение:

 Косинус (0) = 1,0
Косинус (π / 4) ≈ 0,7
Косинус (π / 2) = 0,0

 

В физике мы представляем точку в N-мерном пространстве с помощью вектора. Например, место на футбольном стадионе можно описать относительным расстоянием от центральной точки пола стадиона. Если мы добавим измерение времени, у нас будет 4-е измерение, чтобы представить занятость этого места, возможно, для различных футбольных матчей в конкретный сезон.Точно так же мы можем смоделировать нашу задачу Set Similarity в N-мерном пространстве, где каждое измерение представляет атрибут в нашем наборе данных. Поскольку N может быть очень большим, мы обычно говорим, что эта модель представляет собой High Dimensional Vector Space . Каждое отдельное наблюдение можно представить как точку (и, следовательно, вектор) в этом пространстве.

Если мы хотим сравнить, насколько похожи два элемента, мы сначала представляем каждый объект или сущность как вектор в N-мерном пространстве, а затем вычисляем значение косинуса угла между этими двумя векторами.К счастью, это значение косинуса можно легко вычислить как скалярное произведение двух векторов, разделенное на произведение их величин.

В моделях векторного пространства, если вектор A совпадает с вектором B, мы знаем, что угол тета будет равен нулю, и, таким образом, подобие (A, B), где B = A, дает значение One. то есть: они наиболее похожи или идентичны.

Вот фрагмент кода Python, который вычисляет косинус (θ) двух векторов:

 импорт математики
из коллекций счетчик импорта


def cosine_similarity (v1, v2):
термины = набор (v1).объединение (v2)
dotprod = sum (v1.get (k, 0) * v2.get (k, 0) для k в терминах)
magA = math.sqrt (sum (v1.get (k, 0) ** 2 для k в терминах))
magB = math.sqrt (sum (v2.get (k, 0) ** 2 для k в терминах))
вернуть dotprod / (magA * magB)


 

Давайте попробуем эту функцию косинусного сходства, чтобы увидеть, как она себя ведет:

A = счетчик (список ("abcd"))
B = Счетчик (список ("ab"))
C = счетчик (список ("abcde"))
D = счетчик (список ("abcd"))
E = Счетчик (список ("xyz"))

A, B, C, D, E


(Счетчик ({'a': 1, 'b': 1, 'c': 1, 'd': 1}),
 Счетчик ({'a': 1, 'b': 1}),
 Счетчик ({'a': 1, 'b': 1, 'c': 1, 'd': 1, 'e': 1}),
 Счетчик ({'a': 1, 'b': 1, 'c': 1, 'd': 1}),
 Счетчик ({'x': 1, 'y': 1, 'z': 1}))



cosine_similarity (А, В), \
cosine_similarity (В, С), \
cosine_similarity (A, C), \
cosine_similarity (A, D), \
cosine_similarity (А, Е)


(0.7071067811865475, 0,6324555320336759, 0,8944271909999159, 1,0, 0,0)


Sim (A, B) => 0,71
Sim (B, C) => 0,63
Sim (A, C) => 0,89
Sim (A, D) => 1.0
Sim (A, E) => 0,0

 

Косинусное расстояние

Между прочим, косинусное расстояние определяется как расстояние между двумя точками в многомерном пространстве. Он определяется как значение 1 — Сходство (A, B) . Следовательно, диапазон косинусного расстояния также колеблется от 0 до 1. Если косинусное расстояние равно нулю (0), это означает, что элементы идентичны.Если косинусное расстояние равно единице (1), это означает, что элементы определенно разные.

Cosine_Distance ( A, B ) = 1 — Cosine_Similarity ( A, B )

cosine_distance (A, B) => 0,29
cosine_distance (B, C) => 0,37
cosine_distance (A, C) => 0,11
cosine_distance (A, D) => 0,0
cosine_distance (A, E) => 1,0
 

Удивительно, что простая тригонометрическая математическая функция может помочь нам вычислить сходство множеств.

Давайте теперь применим эту функцию, классифицируя животных с помощью набора данных Animals от UC Irvine.

Определение сходства с использованием набора данных о животных зоопарка

Набор данных о животных из Калифорнийского университета в Ирвине состоит из следующих элементов, которые мы будем использовать для поиска похожих элементов с помощью функции косинусного сходства.

 Информация о животных / зоопарке:

База данных, содержащая 101 экземпляр 17 атрибутов с логическим значением.
Атрибут «тип» выглядит как атрибут класса.Вот разбивка того, какие классы животных

    1 (41) трубкозуб, антилопа, медведь, кабан, буйвол, теленок,
           морская свинка, гепард, олень, дельфин, слон,
           летучая мышь, жираф, девочка, коза, горилла, хомяк,
           заяц, леопард, лев, рысь, норка, крот, мангуст,
           опоссум, орикс, утконос, хорек, пони,
           морская свинья, пума, киса, енот, северный олень,
           тюлень, морской лев, белка, вампир, полевка, валлаби, волк
    2 (20) курица, ворона, голубь, утка, фламинго, чайка, ястреб,
           киви, жаворонок, страус, попугай, пингвин, фазан,
           рея, скиммер, поморник, воробей, лебедь, пчела, крапивник
    3 (5) яма, морская змея, медленный червь, черепаха, туатара
    4 (13) окунь, карп, сом, голавль, морская собака, пикша,
           сельдь, щука, пиранья, морской конек, камбала, скат, тунец
    5 (4) лягушка, лягушка, тритон, жаба
    6 (8) блоха, комар, пчела, пчела, божья коровка, пчела,
           термит, оса
    7 (10) моллюск, краб, раки, омар, осьминог,
           скорпион, морская шашка, слизень, морская звезда, червь

Информация об атрибуте: (имя атрибута и тип области значений)

   
1.имя животного: Уникальное для каждого экземпляра
2. логическое значение волос
3. перья логические
4. egg Boolean
5. молочный логический
6. бортовой логический
7. aquatic Boolean
8. Хищник логический
9. зубчатый Boolean10. магистральная Логическое
11. дышит Boolean12. ядовитая Boolean
13. плавники Boolean
14. ноги Числовые (набор значений: {0,2,4,5,6,8})
15. хвостовое логическое значение
16. внутреннее логическое значение
17. Catsize Boolean
18. введите Numeric (целочисленные значения в диапазоне [1,7])


 

Давайте импортируем файл данных зоопарка и рассмотрим

 импортировать панд как pd
df = pd.read_csv ( "zoo.csv")



df.head (15)

 

Мы будем использовать функцию косинусного сходства, чтобы сделать следующее:

  1. Случайным образом выбрать целевое животное из списка животных
  2. Вычислить оценку сходства выбранного животного на шаге 1 по сравнению со всеми другими животными
  3. Просмотрите первые 20 записей из отсортированного списка оценок сходства на основе целевых животных (в порядке убывания).Это должно дать нам наиболее похожих животных в первую очередь и наименее похожих животных в последнюю очередь.
  4. Определите класс целевого животного, используя KNN ( K-ближайшего соседа ), чтобы определить класс целевого животного (используйте K = 7), то есть: 7 ближайших соседей проголосуют за класс целевого животного должно быть.
  5. Повторите процесс несколько раз для разных целевых животных
 из IPython.display import display, HTML

импорт ОС
импортная математика
импортировать панд как pd
импортировать случайный как rd
импортировать urllib.синтаксический анализ
оператор импорта
из коллекций счетчик импорта
из IPython.display импорт изображения
из sklearn.metrics импортировать confusion_matrix
импортировать numpy как np

def show_animal (animal, caption = "", \ path = "./ data / animals", \ border = False):

fname = os.listdir (путь + "/" + животное) [1: 2] [0]
fpath = путь + "/" + животное + "/" + имя
borderstyle = ("граница: сплошной красный 2px;" если граница еще "")
out = "
" out + = "
" + caption + "
" out + = " " вернуться def cosine_similarity (c1, c2): термины = набор (c1) .union (c2) dotprod = sum (c1.get (k, 0) * c2.get (k, 0) для k в терминах) magA = math.sqrt (sum (c1.get (k, 0) ** 2 для k в терминах)) magB = math.sqrt (sum (c2.get (k, 0) ** 2 для k в терминах)) вернуть dotprod / (magA * magB) def class_vote (соседи = ["животное: блоха", "животное: пчела", "животное: пчела", \ "животное: пчела», "животное: черепаха", "животное: морской лев", "животное: сом"]) : голосов = [df [df.animal_name == x.split (":") [1]]. class_type.values ​​[0] для x в соседях] counter = Counter (голосов) total = len (соседи) z = {i: round (y / total, 2) для i, y в counter.items ()} sorted_z = sorted (z.items (), key = operator.itemgetter (1), reverse = True) topvalue = sorted_z [0] [1] z = {i: round (y / topvalue, 2) для i, y в sorted_z} вернуть z def classify_animal (цель, zoo_vector, debug = False): target_vector = цель [1] sim = [(x [0], cosine_similarity (target_vector, x [1])) для x в zoo_vector] сим.sort (key = lambda x: x [1], reverse = True) сим outdf = pd.DataFrame (sim, columns = ['имя', 'оценка']) если (отладка): дисплей (outdf.head (10)) topK = outdf.iloc [1: 7] .name.values.tolist () голосов = class_vote (topK) если (отладка): html = "" я = 0 для x оценка в outdf.values.tolist () [: 20]: name = x.split (":") [1] caption = name + ":" + str (оценка) html + = show_animal (имя, подпись = подпись, граница = (i == 0)) я + = 1 дисплей (HTML ("
" + html + "
")) возврат (outdf.имя [0], голосов, цель [2]) df = pd.read_csv ("./ data / zoo.csv") животные = [("животное:" + x [0], \ [df.columns [i + 1] + ":" + str (y) для i, y в enumerate (x [1: -1])], \ x [-1:] [0]) \ для x в df.iloc [:,:]. values.tolist ()] animals2 = [(x [0], Counter (x [1]), {'class_type': x [2]}) для x у животных] предсказывает = [] для j в диапазоне (1): всего = 5 правильно = 0 результат = [] для i в диапазоне (всего): выбор = int (rd.random () * df.shape [0]) targetAnimal = animals2 [выбор] имя, прогнозируемое, фактическое = classify_animal (targetAnimal, animals2, True) pred_class = список (предсказано.ключи ()) [0] act_class = фактический ['class_type'] result.append ([act_class, pred_class]) if (pred_class == act_class): правильно + = 1 print ("классифицируйте >>>>>>>>>>>>>", имя, пред_класс, акт_класс) predicts.append (правильный / всего) print («предсказывает», предсказывает) результаты = pd.DataFrame (прогнозы, столбцы = ['оценка']) полученные результаты

Вот результаты

 Результат 1:
классифицируйте >>>>>>>>>>>>> животное: осьминог 7 7
 
 Результат 2:
классифицируйте >>>>>>>>>>>>> животное: пчела 6 6
 
 Результат 3:
Классифицируйте >>>>>>>>>>>>> животное: тритон 5 5
 
 Результат 4:
классифицируйте >>>>>>>>>>>>> животное: курица 2 2
 
 Результат 5:
классифицируйте >>>>>>>>>>>>> животное: хомяк 1 1
 

Классификация ближайшего соседа по K

Чтобы классифицировать целевое животное X, мы выбираем число K наиболее похожих животных (то есть: наивысшие оценки сходства или наименьшее расстояние сходства), и каждый из соседей голосует за предсказание целевого животного.Если все ближайшие соседи — млекопитающие, то большинство голосов означает, что целевое животное X также является млекопитающим.

На приведенном выше рисунке класс Target X (красный) должен быть Blue , так как большинство его k = 5 ближайших соседей синие (3 синих и 2 желтых)

Оценка модели

Насколько хорошо мы классифицировали животных?

Насколько хорошо наша модель предсказывала правильную классификацию на основе косинусного сходства и классификации KNN? Чтобы оценить производительность, я создал 100 случайных целевых животных X и предсказал их соответствующий класс, который затем сравнил с фактической меткой.

Вот результат, представленный в матрице неточностей. У нас есть в общей сложности 7 классов в наборе данных Zoo Animals.

Классы 1, 2, 4, 5 и 6 показали хорошие результаты (нормализованный балл 1)

Класс 3 показал худшие результаты (0,17 балла), так как в исходных данных всего 5 образцов (питвипер, морская змея, медленный червь, черепаха, туатара) для этого конкретного класса. Мы видим, что класс 3 все чаще классифицируется как класс 5 (лягушка, лягушка, тритон, жаба).Я бы сказал, что оба класса 3 и 5 — рептилии, поэтому, вероятно, модель «запуталась». Я также заметил, что исходные данные о животных не совсем «чистые» (например, два образца лягушек с небольшими различиями в атрибутах).

 Классы животных:

    1 (41) трубкозуб, антилопа, медведь, кабан, буйвол, теленок,
           морская свинка, гепард, олень, дельфин, слон,
           летучая мышь, жираф, девочка, коза, горилла, хомяк,
           заяц, леопард, лев, рысь, норка, крот, мангуст,
           опоссум, орикс, утконос, хорек, пони,
           морская свинья, пума, киса, енот, северный олень,
           тюлень, морской лев, белка, вампир, полевка, валлаби, волк

    2 (20) курица, ворона, голубь, утка, фламинго, чайка, ястреб,
           киви, жаворонок, страус, попугай, пингвин, фазан,
           рея, скиммер, поморник, воробей, лебедь, пчела, крапивник

    3 (5) яма, морская змея, медленный червь, черепаха, туатара
 
    4 (13) окунь, карп, сом, голавль, морская собака, пикша,
           сельдь, щука, пиранья, морской конек, камбала, скат, тунец

    5 (4) лягушка, лягушка, тритон, жаба

    6 (8) блоха, комар, пчела, пчела, божья коровка, пчела,
           термит, оса

    7 (10) моллюск, краб, раки, омар, осьминог,
           скорпион, морская шашка, слизень, морская звезда, червь
 

Заключение

Мы можем видеть, что классификация больших множеств может быть выполнена с использованием комбинации функции косинуса для вычисления расстояния наблюдений в многомерном пространстве и использования K-ближайших соседей для классификации.KNN хорошо работает, когда образцы данных содержат большое количество элементов в этом классе, и не работает так же хорошо, когда конкретный класс невелик.

Майкл Лин

https://www.linkedin.com/in/michaelclin/

,

Функции синуса, косинуса и тангенса четны или нечетны?

тригонометрия
Наука
  • Анатомия и физиология
  • астрономия
  • астрофизика
  • Биология
  • Химия
  • наука о планете Земля
  • Наука об окружающей среде
  • Органическая химия
  • физика
математический
  • Алгебра
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.