что это такое, виды, как решать простейшие, схема с примерами
Комбинаторные задачи — что это такое
Определение 1Комбинаторными задачами называют такие задачи, решение которых заключается в формулировке неких комбинаций из ряда элементов, отобранных в зависимости от определенных условий, или в подсчете количества таких комбинаций.
К типичным комбинаторным задачам можно отнести следующие:
- определение числа конфигураций методами комбинаторики, соответствующими конкретным правилам, к примеру, доказательство или опровержение существования подобных комбинаций;
- поиск применимого на практике алгоритма для построения комбинаций;
- формулировка свойств, которыми обладает какой-либо класс комбинаторных комбинаций.
В процессе решения задач по комбинаторике требуется применять разные модели конфигураций. Наглядными примерами комбинаторных конфигураций являются:
- Размещение из n компонентов по k — в виде упорядоченного комплекса из k неких компонентов какого-то n-элементного множества.
- Перестановка из n элементов (например, чисел 1, 2, … n) в виде какого-то упорядоченного комплекса данных компонентов. Под перестановкой, кроме прочего, понимают размещение из n элементов по n.
- Сочетание из n по k является набором k компонентов, отобранных из неких n компонентов. Комплексы, которые обладают идентичным порядком следования компонентов и могут отличаться в зависимости от состава, называют одинаковыми. Данное условие выражает отличие между сочетанием и размещением.
- Композиция числа n представляет собой любую запись n, как упорядоченную сумму, в состав которой включены числа больше нуля из множества целых чисел.
- Разбиение числа n выражает любую запись n, как неупорядоченную сумму, состоящую из чисел больше нуля из множества целых чисел.
Приведем несколько примеров комбинаторных задач:
- Найти количество методов, с помощью которых можно расположить n вещей по m полкам, чтобы удовлетворить условиям определенного ограничения.
- Определить число существующих функций F из m-элементного множества в n-элементном, которые соответствуют неким ограничениям.
- Найти количество разнообразных способов перестановок карт в колоде из 52 штук.
- Описана ситуация игры в кости. После подбрасывания пары костей выпавшие цифры суммируются. Нужно вычислить количество комбинаций, в которых цифры на верхних гранях костей в сумме равны числу 12.
Общее понятие комбинаторики, история создания, разделы
Определение 2Комбинаторика представляет собой математический раздел, в рамках которого решают задачи на выбор и расположение элементов, составляющих какое-то множество согласно неким условиям.
При работе с комбинаторными задачами используют ряд правил. С их помощью можно определить какую-то выборку из компонентов начального множества. Такая подборка носит название комбинаторной конфигурации. Наиболее простыми примерами служат:
- перестановка;
- сочетание;
- размещение.
Комбинаторика обладает связями с разными научными математическими направлениями, в том числе такими, как алгебра, геометрия, теория вероятности, теория чисел. Принципы комбинаторики применимы в разных сферах знаний, включая генетику, информатику, статистику, статистическую физику, лингвистику.
Понятие комбинаторики ввел в математику Лейбниц. В 1666 году был издан его труд под названием «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Ключевые термины и методы комбинаторики зародились еще в древнем мире. Математики из Индии впервые представили объяснение биномиальных коэффициентов и их связи с биномом Ньютона. Данные труды датированы IV веком до н.э.
Ученым удалось обнаружить комбинаторные мотивы в символике «Книги Перемен», Китай, V век до н.э. Мыслители античной Греции, в том числе, Хрисипп (III век до н. э.) и Гиппарх (II век до н. э.) решали определенные комбинаторные задачи. Принципы комбинаторики применяли в своей работе Аристотель и Аристоксен.
Наука получила развитие в Средневековье.
Комбинаторные задачи можно найти в труде «Лилавати» математика из Индии Бхаскара (XII век). Формулы перестановки и сочетания были опубликованы другим индийским математиком Махавира (середина IX века). Задачи комбинаторики можно обнаружить в «Книге абака» (Фибоначчи, XIII век).
Известен «Треугольник Паскаля», который был разработан Блезом Паскалем. С его помощью значительно упрощается определение биномиальных коэффициентов. Активное развитие науки комбинаторики прослеживается в эпоху Возрождения. Исследование игры в кости принадлежит Джероламо Кардано. Теоретические игровые принципы рассматривали Никколо Тарталья и Галилео Галилей.
Понятие комбинаторики ввел Лейбниц в 1666 году. Его учеником и одним из основоположников теории вероятностей является Якоб Бернулли. В 1713 году он представил труд «Искусство предположений», в котором содержалось множество сведений о комбинаторике. Термин «сочетание» можно обнаружить в работах Паскаля, а о «перестановке» и «размещении» упоминается в книге Якоба Бернулли.
Формулы для аппроксимации факториала, которые позволяют связать между собой принципы математического анализа и комбинаторики, были выведены Абрахамом де Муавром и Джеймсом Стирлингом. Окончательно наука в качестве отдельного раздела сформировалась в трудах Эйлера. Фундаментом для развития комбинаторики считают научные труды Паскаля, Ньютона, Якоба Бернулли и Эйлера.
С помощью исследований Дж. Дж. Сильвестра (конец XIX века) и Перси Макмэна (начало XX века) сформированы основные положения перечислительной и алгебраической комбинаторики. Большую ценность для науки представляла Теория графов.
Благодаря стремительному развитию дискретной математики, информатики, кибернетики и планирования эксперимента во второй половине ХХ века, комбинаторика пополнилась новыми идеями. С ХХ века развивалась комбинаторная геометрия, что сопровождалось доказательством теорем Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, изопериметрической теоремы. Теория Рамсея была сформулирована в 1940-х годах.
Разделы комбинаторики:
- Перечислительная комбинаторика решает задачи на перечисление и расчет числа разных конфигураций, состоящих из компонентов конечных множеств, с учетом определенных ограничений, к примеру, различимости, неразличимости, повтора элементов.
- Аналитическая комбинаторика имеет отношение к перечислению комбинаторных структур с применением методов комплексного анализа и теории вероятностей.
- Теория разбиения заключается в изучении разнообразных перечислительных и асимптотических задач, построенных на разбиении чисел из множества натуральных, обладает тесными связями с такими понятиями, как q-ряды, специальные функции и ортогональные многочлены.
- Теория графов представляет собой исследования графов, которые являются фундаментальными объектами в науке комбинаторике.
- Теория схем заключается в изучении комбинаторных схем в виде наборов подмножеств, имеющих некие свойства пересечения.
- Конечная геометрия изучает геометрические системы, обладающие лишь конечным количеством точек.
- Теория порядка направлена на исследование частично упорядоченных множеств: например, конечных и бесконечных множеств.
- Теория матроидов абстрагирует область геометрии и направлена на изучение свойств, которыми обладают вектора в рамках векторного пространства, независящие от определенных коэффициентов в линейно зависимом понимании.
- Экстремальная комбинаторика исследует экстремальные вопросы, касающиеся систем множеств.
- Теория Рамсея является частью экстремальной комбинаторики.
- Вероятностная комбинаторика призвана найти ответы на вопрос о вероятности присутствия некого свойства в отношении произвольного дискретного объекта, например, случайного графа.
- Алгебраическая комбинаторика является математической областью научных знаний, основана на применении методов абстрактной алгебры, в том числе, теории групп и представлений.
- Комбинаторика слов рассматривает формальные языки.
- Комбинаторная геометрия имеет связи с выпуклой и дискретной геометрией, в том числе, с комбинаторикой многогранников.
- Топологическая комбинаторика основана на идеях и способах комбинаторики в топологии, направлена на исследование раскрасок графа, справедливого дележа, разбиения, дерева принятий решений, частично упорядоченных множеств, задач «ожерелья» и дискретной теории Морсе.
- Арифметическая комбинаторика занимается комбинаторными оценками арифметических операций — таких, как сложение, вычитание, умножение, деление.
- Инфинитарная комбинаторика основана на идеях и способах комбинаторики для исследования бесконечных множеств.
Способы решения комбинаторных задач, схема
Комбинаторные задачи решают следующими методами:
- способ перебора;
- дерево вероятных вариантов;
- комбинаторный принцип умножения.
Когда существуют взаимно исключающие друг друга действия А и В, и действие А допустимо реализовать m способами, а В — n способами, для выполнения одного из рассматриваемых действий предусмотрено (n + m) способов.
Рассмотрим пример. Допустим, что в состав класса входят 16 мальчиков и 10 девочек. Необходимо определить число методов для назначения одного дежурного.
Заметим, что роль дежурного может исполнять и мальчик, и девочка. Согласно правилу суммы:
16 + 10 = 26
Таким образом, определить дежурного можно каким-либо из 26 способов.
Правило 1Правило произведения: когда необходимо выполнить k действий в определенной последовательности, при условии, что для первого действия предусмотрено n1 способов, для второго — n2 способов, для третьего — n3 способов и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий совместно можно реализовать следующим числом способов:
N=n1·n2·…·nk
Рассмотрим предыдущую задачу.
Попробуем рассчитать количество способов для назначения двух дежурных.
Первого дежурного допустимо назначить одним из 26 методов. Второго дежурного получится выбрать с помощью 25 способов. Согласно теореме умножения, двух дежурных можно выбрать следующим количеством способов:
26·25=650
Поиск числа сочетаний без повторений является типичной задачей комбинаторики.
Правило 3Сочетание с повторениями. Количество способов, с помощью которых получится отобрать m из n разных предметов:
Cnm=n!m!(n-m)!
Попробуем решить следующую задачу. Представим, что нужно упаковать для подарка 4 книги из 10 имеющихся в наличии. Требуется найти число способов такого подбора.
Воспользуемся записанной ранее формулой:
C104=10!6!4!=210
Правило 4Сочетание без повторений. Существует по r идентичных вещей каждого из n разных видов. Количество способов выбора m при m ≤r из данных n·r предметов определяется следующим образом:
C¯nm=Cn+m-1m=(n+m-1)!m!(n-1)!
Приведем пример.
Допустим, что имеется 4 вида сладостей, в том числе: наполеон, эклер, песочное и слоеное пирожное. Нужно вычислить число способов покупки 7 десертов.
Воспользуемся записанной ранее формулой:
C¯47=C4+7-17=10!7!3!=120
Правило 5Размещение без повторений. Количество способов выбора и размещения по m разным местам m из n неодинаковых вещей:
Anm=n!(n-m)!
Разберем типичное задание. Газета содержит 12 страниц. В издании требуется напечатать 4 фотографии. Нужно определить количество способов сделать это, чтобы на одной странице была напечатана максимум одна фотография.
Применим формулу размещения без повторений:
A124=12!(12-4)!=12!8!=9·10·11·12=11880
Правило 6Размещение с повторениями. Количество способов подбора и размещения по m неодинаковым местам m из n предметов, среди которых встречаются идентичные, определяется по формуле:
A¯nm=nm
Рассмотрим задачу. Мальчик получил печати с цифрами 1, 3 и 7. С их помощью нужно пронумеровать книги пятизначными числами, чтобы сформировать каталог.
Попробуем выяснить количество разнообразных пятизначных номеров, которые можно получить в данном случае.
Воспользуемся формулой размещения с повторениями:
A¯35=35=243
Правило 7Перестановка без повторов. Количество способов размещения n неодинаковых вещей на n разных местах равно:
Pn=n!
Используем формулу для решения задачи. Попробуем вычислить число методов, с помощью которых можно сформулировать четырехбуквенные слова из букв, входящих в состав слова «брак».
Подставим значения в формулу перестановки без повторения:
P4=4!=1·2·3·4=24
Правило 8Перестановка с повторениями. Количество способов перестановки n предметов, которые размещены на n разных местах, при наличии k неодинаковых типов (k < n) среди n предметов, то есть при наличии одинаковых предметов:
Pn1,n2,…nk=n!n1!n2!…nk!.
Применим данное правило при решении задачи. Попробуем определить количество разнообразных сочетаний букв, которые включены в состав слова «Миссисипи».
Получим, что:
P9(1,4,3,1)=9!1!·4!·3!·1!=2520
Упростить решение подобных задач можно, используя удобную схему, в которой указаны основные комбинаторные методы:
Источник: ya-znau.ru
Примеры простейших задач с решением
Задача 1Записаны разные делители для числа 12. Нужно вычислить количество выписанных чисел.
Решение
Перечислим все делители для числа 12:
1, 2, 3, 4, 6, 12.
Всего получается 6 чисел.
Ответ: 6.
Задача 2Шесть пчел опыляют два неодинаковых цветка. На один цветок садится только одна пчела. Требуется отобрать пчел для опыления данной пары цветков. Нужно найти число способов распределения пчел по двум различным цветкам.
Решение
Один цветок может опылять одна пчела из шести. После выбора одной пчелы для первого цветка претендентов на второй цветок останется всего 5. Такая ситуация возможна при выборе любой из пчел для первого цветка. Можно сделать вывод, что каждый из 6 выборов для первого цветка дает 5 разных вариантов для второго цветка.
Тогда общее количество способов распределения составит:
6·5=30
Ответ: 30.
Задача 3Записаны разные делители для числа 120. Нужно определить количество выписанных чисел.
Решение
В первую очередь следует выполнить разложение числа 120 на простые множители:
120=23·3·5
Вычислим все делители числа 120:
2a·3b·5c
Здесь для «а» допустимы следующие из значений:
0, 1, 2, 3
Заметим, что для «b» допустимы значения 0 или 1, а «с» может иметь значения 0 или 1. Представим, что следующие тройки не совпадают:
(a1,b1,c1) и (a2,b2,c2)
Тогда различными являются следующие числа:
2a1·3b1·5c1 и 2a2·3b2·5c2
В результате, количество различных делителей для числа 120 соответствует числу разных троек, записанных в виде (a, b, c). При этом:
- a обладает одним из четырех значений;
- b имеет одно из пары значений;
- c принимает одно из двух значений.
Таким образом, искомое количество составит:
4·2·2=16
Ответ: 16.
На день рождения к мальчику должно прийти 6 гостей. Требуется накрыть праздничный стол. Именинник желает сидеть во главе стола. Нужно определить количество способов, с помощью которых можно рассадить гостей за столом.
Решение
По условию задачи одно место закреплено за именинником, поэтому его можно не учитывать в расчетах. Если один гость займет первый стул, то второй стул достанется кому-то из пяти оставшихся гостей. Последний стул достанется в итоге одному гостю. Вычислим количество вариантов:
6!=1·2·3·4·5·6=720
Ответ: 720.
Задача 5Записаны неодинаковые делители для числа 2016. Нужно посчитать количество таких чисел.
Решение
В первую очередь следует выполнить разложение числа 2016 на множители:
2016=25·32·7
Каждый из делителей числа 2016 можно вычислить таким образом:
2a·3b·7c
В этом случае:
- a имеет значения 0, 1, 2, 3, 4 или 5;
- для b допускаются значения 0, 1 или 2;
- c может принимать значения 0 или 1.
Предположим, что следующие тройки не совпадают:
(a1,b1,c1) и (a2,b2,c2)
Тогда данные числа являются различными:
2a1·3b1·7c1 и 2a2·3b2·7c2
Можно заключить, что число 2016 имеет столько неодинаковых делителей, сколько имеется разных троек в виде (a, b, c). При этом:
- a имеет одно из шести значений;
- b обладает одним из трех значений;
- c принимает одно из двух значений.
Количество чисел составит: 6·3·2=36
Ответ: 36.
Задача 6Имеется пара чисел:
N=p1k1·…·pnkn и M=N·pi
Здесь p1,…,pn – простые числа, i – некоторое число из множества {1,2,…,n}. Нужно определить во сколько раз число неодинаковых делителей М больше по сравнению с количеством разных делителей N.
Решение
Вычислим делители числа N:
p1a1·…·pnan
При этом a1 является каким-то из k1+1 значений (вероятные значения: 0,1,…,k1), an обладает одним из kn+1 значений. При несовпадении упорядоченных наборов (b1,…,bn) и (c1,…,cn) являются неодинаковыми следующие числа:
p1b1·…·pnbn и p1c1·…·pncn
В результате число N обладает различными делителями в количестве, равном числу существующих упорядоченных наборов, записанных в виде:
(a1,…,an)
При этом a1 имеет одно из k1+1 значений, an обладает одним из kn+1 значений.
В результате количество подходящих наборов составит:
(k1+1)·…·(ki+1)·…·(kn+1)
Аналогичным способом можно вычислить число неодинаковых делителей для М:
(k1+1)·…·(ki+2)·…·(kn+1)
Нужное соотношение можно записать таким образом:
(k1+1)·…·(ki+2)·…·(kn+1)(k1+1)·…·(ki+1)·…·(kn+1)=ki+2ki+1
Ответ: ki+2ki+1.
Решение комбинаторных задач | План-конспект урока по математике (5 класс):
Урок по математике в 5 классе
Тема: «Решение комбинаторных задач»
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Цель урока: начать формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи с помощью «дерева возможных вариантов».
Оборудование: компьютер, экран, проектор, презентация к уроку, раздаточные карточки с заданиями.
Задачи урока:
Образовательные (формирование познавательных УУД):
— сформировать у учащихся основы элементарных знаний по комбинаторике;
— определить содержание знаний и умений учащихся по данной теме;
— использование знаково-символических средств, общих схем решения;
— выполнение логических операций сравнения, анализа, обобщения, классификации;
— выделять и формулировать познавательные цели, осознанно и произвольно строить
свои высказывания.
Развивающие (формирование регулятивных УУД):
— планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий;
— выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий;
— развитие приемов умственной деятельности, внимания, памяти, творческой
активности;
— развивать логическое мышление, интерес к изучению математики;
— умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям;
— контроль и оценка процесса и результатов действия.
Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):
— умение слушать и вступать в диалог;
— участвовать в коллективном обсуждении проблем;
— воспитывать ответственность и аккуратность;
— выработка уверенности в собственных силах;
— формирование умения проверять результаты деятельности;
— развивать умение дискуссионной и групповой работы.
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Учитель: -Здравствуйте, ребята! Я очень рада вас видеть. Меня зовут Мария Алексеевна, сегодня я проведу у вас урок математики.
И сегодняшний урок хочу начать с повести.(слайд 2)
Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу
им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками,
Сократ, — улыбнулась она ему, — но стоит мне только легонько поманить
их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так:
“Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх,
к неприступным, чистым вершинам”. Ребята, а как вы думаете, с какой проблемой сталкиваются ученики Сократа? (с выбором)
Выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов и комбинаций.
— Оказывается, существует целый раздел математики, который занят поисками ответов на эти вопросы. А вот как он называется, мы узнаем, выполнив следующее задание.
Но сначала посмотрите, у вас на столах лежат рабочие карты. На уроке вы будете работать в этих рабочих картах, в них есть все задачи, которые вы будете выполнять, так же рядом с каждым заданием есть графа «оценивание», оценивать вы будете сами себя, за каждый правильный ответ ставите 5 баллов, а за не правильный 0 баллов, а сейчас запишите число и кл.раб, а вот тему урока мы запишем чуть позже.
II. Актуализация знаний.
А кто мне скажет, какой самый главный навык в математике (счет). Вот сейчас я и проверю, как вы умеете считать.
— Устный счет. На партах перед вами лежат карточки с примерами. (слайд 3) Решите их и ответ к каждому примеру запишите во второй столбец. Время работы – 1 минуты. Как только закончите, поднимите глаза, чтобы я видела. Начали.
Прежде чем мы начнем проверять ответы, посмотрите у каждого на парте лежат сигнальные карточки зеленые и красные, если вы согласны с ответом, то поднимаем зеленые, если нет, то поднимаем красные.
— А, теперь давайте проверим ответы. (учитель просит учеников зачитать по 1 ответу)
— Проверим.
— В третий столбец запишите слог, соответствующий числу. Числа и слоги отражены в таблице на слайде. (слайд 4) В итоге у вас должно получиться ключевое слово, которое подскажет тему сегодняшнего урока..(0,5мин)
— Какое слово у вас получилось? (комбинаторика) (слайд 5)
— Верно! Чтобы вам было легче разобраться, что такое комбинаторика, мы с вами выполним необычное задание. К вам на урок я принесла сундучок с секретом, но открыть его я не могу, так как пока я ехала к вам злая волшебница заколдовала его и повесила кодовый замок, но она оставила записку(слайд 6), в которой сказано, что код состоит из трех цифр, первые две цифры 4 и 7, а вот последнюю мы подберем в ходе урока. Но она не должна повторяться с двумя предыдущими цифрами. Вы мне, поможете раскодировать этот замок?
А как вы это можете сделать?
Ученик: — перебирать все возможные цифры от 0 до 9,кроме 4 и 7.
Давайте попробуем и я вам предлагаю составить возможные варианты кодов работая в парах (а давайте повторим правило работы в парах) ……… (0,5 мин)Работа в парах строится по часовой стрелке от…………………..
Ну что ребята ,кто готов мне предложить вариант кода?
— Как еще можно назвать этот перебор цифр?
Ученик: — перебор всех возможных комбинаций.
Так что такое Комбинаторика? (слайд 7.1)Если мы обратимся к Толковому словарю Кузнецова, то мы найдем точное определение, что такое комбинаторика(слайд 7.2). Найди и прочитай определение в словаре.
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, можно составить из заданных объектов.
Но откроется наш сундучок не сразу, а только после правильного выполнения задач, так как последнюю цифру в коде вам помогут определить задачи, которые вы будете сегодня решать , а так же эти задачи помогут вам творить, думать необычно, оригинально, видеть то, мимо чего вы часто проходите , не замечая и преодолевая эти задачи, я надеюсь, что вы сможете подняться сегодня на одну ступеньку вверх в своих знаниях.
Как вы думаете, какие задачи мы будем решать?
— Тема нашего урока называется(слайд 8) «Решение комбинаторных задач» .А, теперь давайте с вами определим цель урока, но чтобы легче это было сделать, я предлагаю ответить на вопросы. 1) что хотите узнать по данной теме;2)чему вы хотите научиться? (слайд 9)На основе того, что вы хотите узнать и научиться ,можно выделить такие цели урока:
1)Узнать что такое комбинаторная задача ?
2) Познакомиться со способами решения комбинаторных задач.
3) научиться применять комбинаторику в повседневной жизни.
II. Изучение нового материала.
— И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики, и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.
— Придя в школу, повесив одежду, вы очень часто отправляетесь к расписанию, посмотреть порядок уроков на день. А представьте на миг, что
бы стало в школе, если бы не было расписания.
Трудно пришлось бы всем: и детям, и учителям.
В помощь тому, кто составляет расписание, решим задачу. (слайд 10)
Задача №1. В 5А классе во вторник 4 урока: физкультура, литература, история и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика – первый урок?
А, теперь еще раз прочитайте ее самостоятельно.
Фронтальная работа
— Как бы вы предложили решить эту задачу? (ответы детей)
— Предлагаю вам закодировать названия предметов их начальной буквой: Ф – физкультура, Л – литература, И – история, М – математика.
— С какого урока мы начнем составлять расписание? (с математики) (слайд 11)
— Тогда что можно поставить вторым уроком? (физкультуру, литературу или историю).
— Верно! Если вторым уроком будет физкультура, что может располагаться на третьем месте? (литература или история).
— Если вторым – литература, то на третьем? (физ-ра, история)
— Если вторым – история, то на третьем? (физ-ра, лит-ра)
— Хорошо.
Если третьим уроком будет стоять литература, что будет на четвертом месте? история).
— А если третий урок – история, тогда? (четвертым уроком –литература) И т.д.
-А сейчас , дополните до конца данную схему самостоятельно. Время работы – 1 минута (самостоятельная работа)
— Ребята, посмотрите, что у вас должно было получиться. (смотрят на слайд)
Выделите тот вариант расписания, который больше всего вам нравится.
— Сколько возможных вариантов расписания уроков у вас получилось? Подсчитайте. (6 варианта)(оценивание)
— А если бы в задаче не было условия, что математика – первый урок, что бы изменилось? (ответ, вариантов расписания было бы намного больше)
— На что похожа эта схема, если ее перевернуть? (на дерево)
— Верно! Это один из способов решения комбинаторных задач. А называется он «Дерево возможных вариантов».
— Да, трудно придется тому, кто забудет порядок уроков и, не посмотрев в расписание, захочет правильно заполнить дневник.
— А теперь заглянем на некоторые из этих уроков. И по возможности отыщем на них математические задания.
Я вижу вы уже устали и давайте отправимся на урок физкультуры. (слайд 12)
III. Физминутка Раз – поднялись потянулись,
Два – согнулись, разогнулись,
Три в ладоши три хлопка,
На четыре – три кивка,
Пять руками помахать,
Шесть – тихонько сесть
— Ну, а теперь отправимся на урок истории.
— Ребята, у вас на партах лежат три полоски разных цветов: красная, белая и синяя. Составьте из них флаг Российской Федерации .
— Проверьте, знаете ли вы флаг нашей страны. (сверяют с изображением на слайде). (слайд 13)
— А знаете ли вы, что означает каждый цвет на флаге?
Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство. Синий – цвет веры и верности, постоянства. Красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.
— От перестановок цветных полос (белая, синяя, красная) можно получить другой флаг.
Ребята, а вы знаете, что есть флаги с вертикальными и горизонтальными полосами? Сейчас вы выполните, мини проект, работая в группах, что значит работать в группе? 1 группа составит флаги из горизонтальных полос, а 2 группа из вертикальных полос. И мы с вами определим, сколько комбинаций можно составить из трех цветных полос?
У вас на столе лежат задания для каждой группы и набор раздаточного материала, вам нужно решение данной задачи записать с помощью дерева возможных вариантов и воспроизвести свое решение с помощью цветных полос. Каждая группа прочитайте, какое именно нужно выполнить задание вам, выполнив задание подайте сигнал. (слайд 14)
Задание: 1 группа: Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде 3х горизонтальных полос разных цветов – белый (Б), синий (С), красный (К). Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой флаг? 2 группа: Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде 3х вертикальных полос разных цветов – белый (Б), синий (С), красный (К).
Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой флаг? (3 мин)
Время вышло.
— Давайте посмотрим, что у вас получилось в результате работы, и сравним дерево возможных вариантов, и слово предоставляется представителям от каждой группы: 1)прочитайте задание, 2) сколько вариантов у вас получилось? (6 вариантов). Все согласны? А теперь посмотрите на слайд и сравните дерево возможных вариантов и количество возможных вариантов. (слайд 15) Все согласны?
2)Как бы изменился ответ, если в задаче говорилось и о горизонтальных, и о вертикальных полосах? (увеличился в 2 раза, 12 вариантов)
3)- Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета, как и флаг РФ. Ребята, а кто знает эти государства? Посмотрите(слайд 16), два флага имеют горизонтальные полосы, а флаг Франции – вертикальные.
Ребята, чья группа выполнила задание без ошибок ,каждый частник ставит себе 5 баллов.
IV. Закрепление изученного
— А теперь, настало время перекусить.
Мы идем в школьную столовую. (слайд 17).И перед вами задача №2, прочитайте задачу и выполните каждый ее самостоятельно.
Самостоятельно: Задача №2. Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая (ч), кофе (к), булочки (б), печенья (п) и вафель (в)?
В этой задаче требуется заполнить схему дерева возможных вариантов в соответствии с условием задачи. (слайд 18)
Напитки
Выпечка
— Обменяйтесь рабочими листами с соседом по парте. Проверьте друг друга и проверьте, сколько завтраков у вас должно получиться? (6 завтраков) (слайд 19)
— Если ваш сосед выполнил задание верно, поставьте «5 баллов, иначе – ноль баллов. Верните друг другу рабочие листы.
V. Подведение итогов
— Как вы поняли, что же такое комбинаторная задача? (задача, решая которую приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать количество таких комбинаций).
С каким способом решения комбинаторных задач вы познакомились? («дерево возможных вариантов»)
-А , где встречается комбинаторика в повседневной жизни.
1) когда выбираете меню в столовой,
- формулируете свой ответ на уроках,
- составляете график дежурства по классу,
- планируете, как провести свои выходные или каникулы и так далее.
(слайд20)Математика повсюду –
Глазом только поведешь,
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…
А сейчас подчитайте баллы, которые вы сегодня заработали на уроке и оцените себя. (слайд 21) Поднимите руки , кто заработал 15 б, кто 10, кто 5. Оценивание детей!.
VI. Домашнее задание: Давайте вспомним на каких уроках мы побывали и какой урок остался не задействованным? (Литра)Верно! И дом.зад вы получите литературное.
Чтобы решить дом.зад прослушайте фрагмент басни Ивана Андреевича Крылова « Квартет» (слайд 22)
Проказница Мартышка,
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть в .
..
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
………………..
«Стой, братцы, стой!» — кричит Мартышка.-
Погодите.
Как музыке идти? Ведь Вы не так сидите!
(слайд 23)Попробуйте решить, сколькими различными способами могут сесть крыловские музыканты в один ряд?
А для кого эта задача покажется сложной, предлагаю придумать свою комбинаторную задачу о своем классе. При решении любой задачи вы можете воспользоваться способом, изученном сегодня на уроке.
VII. Рефлексия.
(слайд 24 )Мы с вами сегодня преодолели, множество препятствий и каждый из вас достиг определенных высот, перед вами лестница успеха, определите каждый свое место на этой лестнице.
Ребята, мы выполнили все задания и теперь давайте попробуем открыть сундучок с секретом. Подумайте, какая же последняя цифра в коде будет верной? Для этого вспомните решения сегодняшних задач.( Что объединяет все решенные сегодня задачи), (Какое количество вариантов получалось в каждой задаче)
Учитель: Я была рада встрече с вами и я вам дарю эмблемы за активное участие на уроке, интересуйтесь математикой, это, несомненно, отразится в положительную сторону в ваших размышлениях и действиях.
(слайд 25)Любой урок, любая встреча
Всех вкладов на земле ценней,
Ведь каждый школьный миг отмечен
Неповторимостью своей.
До свидания!!!!
Итогового экзамена не будет.
Копирование решений других учащихся или
использование латексных файлов с решениями других учащихся,
может быть расценено как мошенничество и плагиат,
видеть
Что такое академическая честность?
09.2019. Викторина 1.
Содержимое
Содержимое
| Глава 3: Комбинаторика | ||||||
| Продолжительность: 2 часа 7 минут 50 минут секунд | ||||||
| Раздел | Примечания к разделу (файл PDF) | Решение (файл PDF) | Покрываемые позиции | Артикул Страница | * Видеофайл MP4 | Продолжительность (минут) |
Раздел 3. 1 Дерево | Деревья и равновероятные исходы | Решение | Пример 1 и 2 | 3-1 | ч4 (часть 1) | 07.08 |
| Пример 3 и 4 | 3-3 | ч4 (часть 2) | 04.55 | |||
| Пример 5 и 6 | 3-5 | ч4 (часть 3) | 07.46 | |||
| Раздел 3.2 | Перестановки | Решение | Введение в перестановку, примеры 1 и 2 | 3-7 | ч4 (часть 4) | 12. 27 |
| пример 3; с помощью формулы или рамок, ограничений, нет ограничения, повторение, отсутствие повторения, использование Или, И, Исключение. | 3-9 | ч4 (часть 5) | 29.03 | |||
| Пример 5: от 5a до 5f | 3-12 | ч4(часть6) | 12.08 | |||
| Пример 5: от 5g до 5i | 3-16 | ч4(часть7) | 08.55 | |||
| Пример 6, 7 и 8 | 3-18 | ч4 (часть 8) | 24.05 | |||
| Пример 9, 10 и 11 | 3-19 | ч4 (часть 9) | 13. 16 | |||
| Пример 12, 13 и 14 (круглая посадка, разные слова ABBA) | 3-20 | ч4 (часть 10) | 24.06 | |||
| Раздел 3.3 | Комбинации | Решение | Введение в примеры комбинаций 1 и 2 | 3-23 | ч4 (часть 11) | 08.34 |
| Пример 3 и 4 | 3-26 | ч4 (часть 12) | 13.18 | |||
| Пример 5, Проблемы с картой | 3-28 | ч4 (часть 13) | ||||
| Пример 6 и 7 | 3-30 | ч4 (часть 14) | 06.45 | |||
| Пример 8, 9, 10, 11 и 16 (рукопожатие, упорядоченные группы) | 3-32 | ч4 (часть 15) | 08.35 | |||
* Файл MP4 вы можете скачать и сохранить: щелкните правой кнопкой мыши, Сохранить цель как или Сохранить ссылку как
Распечатать все разделы выше (33 страницы, PDF файл)
Решения для избранных Задачи в учебнике:
Раздел 3.1: № 9, 11, 19: Видео
№ 21,25, 27, 29 Видео
#31 Видео
PDF для всех вышеперечисленных
Раздел 3.