Решение неравенств на ЕГЭ по Математике. Готовимся правильно!
Если в выражении с переменными вы увидели знак = , то это уравнение.
Если знак < или ˃ или ≤ или ≥ — то это, конечно, неравенство.
Как правило, неравенства решаются сложнее, чем аналогичные им уравнения. И знать надо больше – чтобы не наделать ошибок
В этом разделе – все основные способы и приемы решения неравенств на ЕГЭ по математике. Повторите их. Даже такие неравенства, как квадратичные или дробно-рациональные, содержат немало ловушек для неопытного школьника. И тем более — показательные и логарифмические. А иррациональные неравенства и неравенства с модулями вообще считаются одними из самых сложных тем школьного курса алгебры.
Здесь рассказано также о методе замены множителя (еще он называется методом рационализации неравенства). В учебнике вы его не найдете. И еще – об основных ошибках и полезных лайфхаках для решения неравенств.
New
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021
Квадратичные неравенства
Метод интервалов
Иррациональные неравенства
Задача 15 Репетиционного ЕГЭ онлайн, май 2020, Анна Малкова
Неравенства с модулем
Показательные неравенства
Логарифмические неравенства
Метод замены множителя (рационализации)
Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15
Логарифмические неравенства повышенной сложности
Еще раз повторим основные правила:
— Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
— Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный. А если на положительное число – знак неравенства останется тем же.
— Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.
— Извлекать корень из неравенства нельзя. Нет такого действия!
— Если в неравенстве можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной. А потом аккуратно вернитесь к той переменной, которая была вначале.
— Если вы решаете простейшее показательное или логарифмическое неравенство – не забудьте сравнить основание степени (или логарифма) с единицей.
— Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.
— Решение неравенства лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.
— Если вы воспользовались методом рационализации (замены множителя) – соответствующие формулы лучше доказать.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Решение неравенств» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Публикация обновлена: 07.04.2023
Алгебра 10 класс. Углублённый уровень. Интерактивный курс
Интерактивный онлайн-курс Алгебра и начала математического анализа 10 класс (Углублённый уровень) сможет заменить бумажный учебник или дополнить его. Содержание интерактивных онлайн-курсов соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС).
Онлайн-уроки построены таким образом, что перед изучением новой темы, предлагается повторить и закрепить ранее изученный материал Алгебра 9 класса.
Онлайн-уроки курса «Алгебра 10 класс. Углублённый уровень» подходят для самостоятельного изучения. Ребенок познакомится с теорией, проверит полученные знания с помощью онлайн-тренажеров и интерактивных заданий, подготовится к контрольным и проверочным работам, экзаменам, ОГЭ и ЕГЭ.
Такой формат занятий поможет разобраться в новой теме или подтянуть знания по предмету. Доступ к онлайн-урокам осуществляется через интернет (24/7). Это позволяет заниматься в дороге и дома, во время соревнований, выездов на олимпиады или в лагерь.
Наш сборник — это способ улучшить успеваемость, начать подготовку к экзаменам, повторить пройденный материал во время каникул.
В качестве одной из составляющей курса, ученикам доступен объемный дополнительный материал, позволяющий углубить имеющиеся знания. Различные типы заданий, представленные в онлайн-курсе — одна из важных составляющих подготовки к будущим экзаменам.
Темы:
- Многочлены от одной переменной
- Понятие угла и тригонометрические формулы
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Понятие об обратных тригонометрических функциях
- Показательная функция и уравнения
- Методы решения показательных уравнений
- Показательные неравенства
- Логарифмические уравнения
- Логарифмические неравенства
- Системы уравнений и неравенств
- Системы линейных уравнений
- Графики функций
- Элементы логики.
Множества
Главными целями изучения предмета являются:
- обеспечение возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с прикладным использованием математики;
- формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе;
- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углублённой математической подготовки;
- воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики.
- полный теоретический материал по предмету с гиперссылками;
- дополнительный материал по предмету;
- интерактивное оглавление;
- тематические контрольные работы;
- задачи с разбором решений;
- задания различных типов для проверки знаний, в том числе, для подготовки к проверочным, контрольным работам, к ВПР, к ОГЭ, к ЕГЭ;
- тесты с автоматической проверкой и задания с открытым ответом;
- мультимедийные объекты: иллюстрации, графики функций, видео, карты, аудио, слайд-шоу, интерактивные схемы.
Занятие 1. Многочлены от одной переменной
Интернет-урок 1. Основные определения и свойства многочленов. Деление многочленов с остатком
Интернет-урок 2. Алгоритм Евклида для многочленов
Интернет-урок 3. Теорема Безу. Теорема о рациональных корнях многочлена
Интернет-урок 4. Решение целых рациональных уравнений методом разложения на множители и методом неопределённых коэффициентов
Интернет-урок 5. Решение целых рациональных уравнений методом замены переменной. Возвратные уравнения
Занятие 2. Тематическая контрольная работа № 1. Многочлены от одной переменной
Занятие 3. Понятие угла и тригонометрические формулы
Интернет-урок 1. Углы и их меры
Интернет-урок 2. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Табличные значения
Интернет-урок 3. Формулы для суммы и разности углов
Интернет-урок 4. Формулы для двойных и половинных углов
Интернет-урок 5. Формула для введения дополнительного аргумента
Интернет-урок 6. Формулы для суммы и разности синусов и косинусов, формулы для их произведений
Занятие 4. Тематическая контрольная работа № 2. Понятие угла и тригонометрические формулы
Занятие 5. Тригонометрические уравнения и неравенства
Интернет-урок 1. Арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств
Интернет-урок 2. Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях
Интернет-урок 3. Решение тригонометрических неравенств графическим способом. Системы тригонометрических уравнений и неравенств
Интернет-урок 4. Решение тригонометрических уравнений, которые заменой сводятся к алгебраическим
Интернет-урок 5. Однородные тригонометрические уравнения, разложения на множители, специальные замены переменной
Интернет-урок 6. Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений
Интернет-урок 7. Примеры решений тригонометрических уравнений, неравенств и их систем
Интернет-урок 8. Практические задачи с применением тригонометрии
Занятие 6. Тематическая контрольная работа № 3. Тригонометрические уравнения и неравенства
Занятие 7. Понятие об обратных тригонометрических функциях
Интернет-урок 1. Обратные тригонометрические функции
Интернет-урок 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями
Занятие 8. Показательная функция и уравнения
Интернет-урок 1. Степенная функция с натуральным и целым показателем. Степени и корни
Интернет-урок 2. Понятие логарифма. Свойства логарифмов
Интернет-урок 3. Степенная и показательная функции. Решение простейших показательных уравнений
Интернет-урок 4. Методы решения показательных уравнений: уравнивание показателей, вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, деление на показательную функцию
Занятие 9. Тематическая контрольная работа № 4. Показательная функция и уравнения
Занятие 10. Методы решения показательных уравнений
Интернет-урок 1. Сведение показательного уравнения к алгебраическому заменой переменной
Интернет-урок 2. Однородные уравнения относительно показательных функций
Интернет-урок 3. Показательные уравнения на взаимообратных числах
Интернет-урок 4. Решение показательных уравнений функционально-графическим методом
Интернет-урок 5. Методы решения, связанные с разложением на множители
Интернет-урок 6. Сложные показательные уравнения
Занятие 11. Тематическая контрольная работа № 5. Методы решения показательных уравнений
Занятие 12. Показательные неравенства
Интернет-урок 1. Простейшие показательные неравенства
Интернет-урок 2. Сведение неравенства к алгебраическому заменой переменной
Интернет-урок 3. Неравенства, содержащие однородные функции относительно показательных функций и построенные на взаимообратных числах
Занятие 13. Тематическая контрольная работа № 6. Показательные неравенства
Занятие 14. Логарифмические уравнения
Интернет-урок 1. Логарифмическая функция, её свойства и график. Преобразование логарифмических выражений
Интернет-урок 2. Решение логарифмических уравнений функционально-графическим методом
Интернет-урок 3. Простейшие логарифмические уравнения
Интернет-урок 4. Логарифмические уравнения, сводимые заменой к алгебраическим
Интернет-урок 5. Уравнения, содержащие однородные функции относительно логарифмических функций и построенные на взаимообратных числах
Интернет-урок 6. Логарифмические уравнения на последовательное применение нескольких методов
Занятие 15. Тематическая контрольная работа № 7. Логарифмические уравнения
Занятие 16. Логарифмические неравенства
Интернет-урок 1. Простейшие логарифмические неравенства
Интернет-урок 2. Логарифмические неравенства, сводимые заменой переменных к алгебраическим
Интернет-урок 3. Решение логарифмических неравенств с переменным основанием
Занятие 17. Тематическая контрольная работа № 8. Логарифмические неравенства
Занятие 18. Системы уравнений и неравенств
Интернет-урок 1. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений
Интернет-урок 2. Показательные и логарифмические системы неравенства
Интернет-урок 3. Смешанные системы уравнений
Интернет-урок 4. Смешанные системы неравенств
Занятие 19. Тематическая контрольная работа № 9. Системы уравнений и неравенств
Занятие 20. Системы линейных уравнений
Интернет-урок 1. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Метод Гаусса
Интернет-урок 2. Текстовые задачи на системы линейных уравнений
Занятие 21. Графики функций
Интернет-урок 1. Обзор элементарных функций и их графиков
Интернет-урок 2. Построение графиков функций с помощью преобразований
Занятие 22. Тематическая контрольная работа № 10. Графики функций
Занятие 23. Элементы логики. Множества
Интернет-урок 1. Высказывания и операции над ними. Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования
Интернет-урок 2. Некоторые приемы доказательства
Решение экспоненциальных уравнений и неравенств – Математика – Методы – 11 класс
Домашняя страница
Указатель курсов
Создать викторинуПодписки
Курсы
VIC Y11 Математика — Общие VIC Y11 Математика — Методы VIC Y11 Математика — СпециалистТемы
Линейные отношения Алгебра Квадратичные отношения Коллекция графиков Функции и отношения Полиномы Преобразования Вероятность Методы подсчета Дискретные распределения вероятностей Экспоненциальные функции Круговые функции Скорость изменения Дифференциал и антидифференцирование многочленов Приложения дифференциации и антидифференциации Дальнейшая дифференцировка и антидифференцировка ИнтеграцияРешение экспоненциальных уравнений и неравенств Тесты на повторение Видео Как купить
Назад к теме (Экспоненциальные функции)
Тесты на повторение Эти тесты на повторение по вопросам в Решение показательных уравнений и неравенств .
*Если вы хотите пройти онлайн-викторину, создайте бесплатную учетную запись и пройдите онлайн-викторину, чтобы получить мгновенные результаты.
Проверьте свои ответы бесплатно онлайн после прохождения теста. Используйте QR-код или тестовый код, который находится в верхней части викторины по теме.
Видео
Видео по теме Решение экспоненциальных уравнений и неравенств .
Ресурсы по решению экспоненциальных уравнений и неравенств
Чтобы найти ресурсы подтемы по решению экспоненциальных уравнений и неравенств, выберите подтему выше.
Тесты по теме
← Нажмите здесь, чтобы задать вопросы по Решение показательных уравнений и неравенств с полностью разработанными решениями. Это даст вам отличное понимание вопросов и задач типа Решение показательных уравнений и неравенств .
Видео
← Нажмите здесь, чтобы просмотреть выбранные видео по Решение экспоненциальных уравнений и неравенств
Назад к теме (Экспоненциальные функции)
Тесты на повторение Эти тесты на повторение по вопросам из раздела Решение показательных уравнений и неравенств .
*Если вы хотите пройти онлайн-викторину, создайте бесплатную учетную запись и пройдите онлайн-викторину, чтобы получить мгновенные результаты.
Проверьте свои ответы бесплатно онлайн после прохождения теста. Используйте QR-код или тестовый код, который находится в верхней части викторины по теме.
Следующие тематические викторины являются частью Решение показательных уравнений и неравенств тема. Каждая тематическая викторина содержит 4-6 вопросов.
Как использовать:
- Научитесь начинать с вопросов — если вы совершенно не представляете, с чего начать или застряли на определенных вопросах, используйте полностью проработанные решения
- Дополнительная практика — проверьте свои знания и пройдите эти тематические викторины, чтобы подтвердить знания и понимание
- Редакция .
Если вам предстоит пройти контрольную или контрольную работу в школе, быстро пройдите тесты по теме в качестве быстрой проверки
.
Назад к теме (Экспоненциальные функции)
Видео
Видео по теме Решение экспоненциальных уравнений и неравенств .
Абонементы на занятия по математике
Подписки для студентов
Подписки для учителей и репетиторов
Видео-урок: Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
Стенограмма видео
В этом видео мы научимся
использовать логарифмы для решения показательных уравнений. Мы начнем с рассмотрения
связь между экспоненциальными функциями и логарифмическими функциями. Напомним также законы
логарифмы.
Мы знаем, что логарифмические функции являются обратными экспоненциальных функций. Если 𝑎 в степени 𝑥 равно к 𝑏, то 𝑥 равно основанию логарифма 𝑎 числа 𝑏. Воспользуемся этим правилом для решения уравнения в экспоненциальной форме. Например, если два в степени 𝑥 равно 16, 𝑥 равно логарифму по основанию два из 16. Используя наш научный калькулятор, это дает нам ответ четыре. Мы знаем, что это правильно, как два к степень четырех равна 16.
В этом видео при решении
показательных уравнений, нам также нужно будет рассмотреть законы логарифмов. Первый закон гласит, что логарифмическая база
𝑎 из 𝑥 плюс логарифмическая база 𝑎 из 𝑦 равна логарифмической основе 𝑎 из 𝑥, умноженной на 𝑦. Таким же образом, логарифмическая база 𝑎 из 𝑥
минус основание логарифма 𝑎 числа 𝑦 равно основанию логарифма 𝑎 числа 𝑥, деленному на 𝑦. Наконец, у нас есть логарифмическая база 𝑎 из 𝑥
в степени 𝑛 равно 𝑛, умноженному на логарифмическую базу 𝑎 числа 𝑥.
Именно этот третий закон вместе с связь между показательными уравнениями и логарифмическими уравнениями, которые мы будем использовать для большей части этого видео. Заметим, что во всех трех законах логарифмы, основание должно быть одинаковым. Мы помним, что логарифмическая база 10 числа 𝑥 равна обычно просто записывается как журнал 𝑥. Поэтому обычно, когда логарифмируя, мы приводим логи к основанию 10. Это означает, что нам не нужно пишем базу в каждой строке наших вычислений. Сейчас мы рассмотрим некоторые конкретные вопросы, где нам нужно решить показательные уравнения.
Решите три в степени 𝑥 равно 11 для 𝑥, что дает ответ с точностью до трех знаков после запятой.
Есть два способа решения
это уравнение с помощью логарифмов. Во-первых, мы можем использовать тот факт, что
если 𝑎 в степени 𝑥 равно 𝑏, то 𝑥 равно основанию логарифма 𝑎 числа 𝑏. В этом вопросе константы 𝑎
и 𝑏 равны трем и 11 соответственно. Это означает, что 𝑥 равно log
основание три из 11. Мы можем ввести правую часть
прямо в наш научный калькулятор, что дает нам 2,182658 и так далее. Поскольку мы хотим получить ответ на
три десятичных знака, решающим числом является шесть. Когда решающее число равно пяти или
больше, мы округляем. Следовательно, 𝑥 равно
2.183. Мы можем проверить этот ответ,
подставляя наше значение обратно в исходное уравнение. Три в степени 𝑥 равно
до 11.
Альтернативный метод решения этой проблемы
вопрос будет заключаться в том, чтобы сначала взять бревна с обеих сторон. Напомним, что логарифм, записанный
без основания логарифмическое основание 10. Один из наших законов логарифмов
утверждает, что log 𝑥 в степени 𝑛 равен 𝑛, умноженному на log 𝑥. Как экспонента слева
сторона нашего уравнения равна 𝑥, это можно переписать как 𝑥, умноженное на три журнала. Это равно log 11. Затем мы можем разделить обе части
наше уравнение в журнале три, так что 𝑥 равно журналу 11, деленному на журнал три. В очередной раз получаем ответ
округлить до трех знаков после запятой 2,183.
В нашем следующем вопросе показатель степени будет сложнее.
Найдите с точностью до сотой значение 𝑥, для которого два в степени 𝑥 плюс восемь равно девяти.
В этом вопросе мы хотим решить
показательное уравнение. Мы сделаем это, используя наши знания
логарифмов. Существует два распространенных метода
делая это. Один из способов — вспомнить, что если 𝑎 к
степень 𝑥 равна 𝑏, тогда 𝑥 равна основанию логарифма 𝑎 𝑏. В этом вопросе наш показатель равен
𝑥 плюс восемь, а наши значения 𝑎 и 𝑏 равны двум и девяти соответственно. Показатель степени 𝑥 плюс восемь равен
поэтому равен логарифму по основанию два из девяти. Ввод правой части в
калькулятор дает нам 3,169925 и так далее. Поскольку мы хотим найти значение 𝑥,
нам нужно вычесть восемь из обеих частей этого уравнения. Это дает нам 𝑥 равно
минус 4.830074 и так далее. Мы хотим округлить до ближайшего
сотая, которая равна двум десятичным знакам. 𝑥, следовательно, равно отрицательному
4.83. Мы могли бы проверить этот ответ,
подставив его обратно в уравнение два в степени 𝑥 плюс восемь, получится
девять.
Альтернативным методом может быть
возьмите журналы обеих частей исходного уравнения. Тогда мы могли бы использовать закон
логарифмы, которые утверждают, что log 𝑥 в степени 𝑛 равен 𝑛, умноженному на
журнал 𝑥. Левая часть уравнения
становится 𝑥 плюс восемь, умноженное на два журнала. Это равно log девять. Затем мы можем разделить обе части
уравнение на log два такое, что 𝑥 плюс восемь равно log девять, деленное на log
два. Эта правая часть на самом деле
то же, что и логарифмическое основание два из девяти. Если бы мы ввели его непосредственно в
калькулятор, мы получили бы 3,169925 и так далее еще раз. Затем мы вычитаем восемь из обоих
сторон этого уравнения, что дает нам 𝑥 равно минус 4,83.
Любой из этих методов приемлемым для решения показательного уравнения такого типа.
Наш следующий вопрос больше сложно, так как у нас будет показатель степени в обеих частях нашего уравнения.
Используйте калькулятор, чтобы найти значение числа 𝑥, для которого три в степени минус четыре 𝑥 минус три равняется восьми мощность 𝑥 плюс 4,7. Дайте правильный ответ на два десятичные знаки.
Чтобы решить эту экспоненциальную
уравнение, мы начнем с логарифмирования обеих частей. Это дает нам логарифм три к
степень минус четыре 𝑥 минус три равна логарифм восьми в степени 𝑥 плюс
4. 7. Напомним, что один из наших законов
logarithms утверждает, что log 𝑥 в степени 𝑛 равен 𝑛, умноженному на log
𝑥. Сведение показателей на обоих
стороны уравнения, у нас есть отрицательные четыре 𝑥 минус три, умноженные на три журнала
равно 𝑥 плюс 4,7, умноженное на восьмерку.
Затем мы можем распространить круглые скобки или раскрыть скобки с обеих сторон. Левая часть становится отрицательной четыре 𝑥 log три минус три log три. Правая часть становится 𝑥 log восемь плюс 4,7 log восемь. Два из наших четырех терминов содержат 𝑥. Следовательно, нам нужно получить оба эти термины на одной стороне уравнения. Мы можем добавить четыре 𝑥 log три и вычтите 4,7 log восемь из обеих частей уравнения так, чтобы отрицательные три log три минус 4,7 log восемь равно 𝑥 log восемь плюс четыре 𝑥 log три.
Наш следующий шаг — выделить 𝑥
в правой части, так что это становится 𝑥, умноженным на восемь журналов плюс четыре журнала
три. Теперь мы можем разделить обе стороны
уравнение по журналу восемь плюс четыре журнала три, так что 𝑥 является предметом. 𝑥 равно отрицательному трем логарифмическим
три минус 4,7 log восемь разделить на log восемь плюс четыре log три. Напоминая, что бревно без базы
означает логарифм по основанию 10, мы можем ввести это в наш калькулятор, чтобы 𝑥 было равно
отрицательный 2.018756 и так далее. Округление до двух знаков после запятой
дает нам 𝑥 равно отрицательному 2,02. Это значение 𝑥, для которого
три в степени минус четыре 𝑥 минус три равно восемь в степени
𝑥 плюс 4.7.
Мы будем знать, посмотрите на два чуть-чуть различные типы показательных уравнений.
Решите два, умноженные на три, чтобы степень 𝑥 равна пяти, умноженным на четыре в степени 𝑥 для 𝑥, давая свой ответ до трех знаков после запятой.
Есть много способов начать
этот вопрос. Одним из способов было бы разделить оба
сторон на пять, умноженное на три в степени 𝑥. Это означает, что слева
сторона, три в степени 𝑥 отменяет, и у нас остается две пятых. С правой стороны пятерки
отменить, и у нас останется четыре в степени 𝑥, деленное на три в степени
𝑥. Когда числитель и знаменатель
дроби возводятся в одну степень, ее можно переписать, как показано. 𝑎 в степени 𝑥 разделить на 𝑏
в степени 𝑥 равно 𝑎 над 𝑏 в степени 𝑥. Это означает, что две пятых равны
до четырех третей в степени 𝑥.
Мы могли бы решить это уравнение с помощью
логарифмируя обе части. В качестве альтернативы мы могли бы использовать
тот факт, что если 𝑎 в степени 𝑥 равно 𝑏, то 𝑥 равно основанию логарифма 𝑎
из 𝑏. Наши значения 𝑎 и 𝑏,
соответственно, четыре трети и две пятых. Следовательно, 𝑥 равно log
основание четыре трети двух пятых. Введя это в калькулятор, мы
получить 𝑥 равно минусу 3,185081 и так далее. Поскольку нас просят округлить наш ответ
до трех знаков после запятой, 𝑥 равно отрицательному числу 3,185.
Как упоминалось ранее, мы могли бы
взяли логарифмы обеих частей, когда у нас было уравнение две пятых равно
четыре трети в степени 𝑥. Это дало бы нам журнал
две пятых равно логарифму четырех третей в степени 𝑥. Один из наших законов логарифмов
утверждает, что log 𝑥 в степени 𝑛 равен 𝑛, умноженному на log 𝑥. Это означает, что мы можем переписать
правая часть как 𝑥, умноженная на логарифм четырех третей. Разделив обе части на логарифм
четыре трети дает нам 𝑥 равно логарифму двух пятых, деленному на логарифм
четыре трети. Вводим это в калькулятор
также дает нам отрицательный ответ 3,185. Это подтверждает, что это
значение 𝑥, которое решает уравнение два, умноженное на три в степени 𝑥, равно
равно пяти, умноженным на четыре в степени 𝑥.
Сейчас мы рассмотрим последний вопрос.
Используйте калькулятор, чтобы найти значение числа 𝑥, для которого два в степени 𝑥, умноженные на семь, равны 16, умноженным на семь в степени 𝑥 плюс девять. Дайте правильный ответ на два десятичные знаки.
Мы начнем этот вопрос с взяв журналы обеих частей уравнения. Это дает нам логарифм двух к степень 𝑥, умноженная на семь, равна логарифму 16, умноженному на семь в степень 𝑥 плюс девять. Напомним, что один из наших законов Логарифмы утверждают, что журнал 𝑥 плюс журнал 𝑦 равен журналу 𝑥, умноженному на 𝑦. Это означает, что мы можем переписать левая часть как журнал два в степени 𝑥 плюс журнал семи. Левую часть можно переписать как журнал 16 плюс журнал семь в степени 𝑥 плюс девять.
Один из наших других законов логарифмов
утверждает, что log 𝑥 в степени 𝑛 равен 𝑛 log 𝑥. Мы можем переписать первый член на
левая часть как 𝑥 log два. Последний член справа
сторона может быть переписана как 𝑥 плюс девять, умноженное на логарифм семь. Мы можем распределить наши скобки
здесь, чтобы получить 𝑥 log семь плюс девять log семь.
Таким образом, наше уравнение стало 𝑥 log два плюс log семь равно log 16 плюс 𝑥 log семь плюс девять log Семь. В двух из наших пяти терминов есть 𝑥 в их, и мы должны убедиться, что они находятся на одной стороне уравнения. Вычитание логарифма семь и логарифма 𝑥 семь с обеих сторон уравнения дает нам 𝑥 log два минус 𝑥 log семь равно равно log 16 плюс девять log семь минус log семь. Два последних термина в правую часть можно упростить. Девять бревна семь минус бревно семь равно равно восьми log семи.
Затем мы можем вынести 𝑥 на
в левой части, так что мы получаем 𝑥, умноженное на логарифм два минус логарифм семь. Это равно log 16 плюс восемь
журнал семь. Наконец, делим обе части на
лог два минус лог семь. Введя это в калькулятор, мы
получить 𝑥 равно минусу 14,6395 и так далее. Нас просят округлить наш ответ до
два десятичных знака. Следовательно, 𝑥 равно отрицательному
14.64. Это значение для 𝑥, для которого
два в степени 𝑥, умноженное на семь, равно 16, умноженному на семь в
степень 𝑥 плюс девять.
Теперь мы суммируем ключ
очки из этого видео. В этом видео мы узнали, что
логарифмические функции обратны экспоненциальным функциям. Это означает, что мы можем решить
показательное уравнение путем логарифмирования обеих частей. Чтобы решить простую экспоненциальную
уравнений, мы можем использовать тот факт, что 𝑎 в степени 𝑥 равно 𝑏, следует
что 𝑥 равно основанию логарифма 𝑎 числа 𝑏. Мы также можем использовать наши три закона
логарифмы: log 𝑥 плюс log 𝑦 равно log 𝑥𝑦, log 𝑥 минус log 𝑦 равно
log 𝑥, деленный на 𝑦, а log 𝑥 в степени 𝑛 равен 𝑛, умноженному на log
𝑥.