Комбинации – примеры задач с решениями
1. Охарактеризуйте комбинации и комбинации с повторением.
Решение:
а) k-комбинаций из набора из n элементов (без повторения)
k-комбинаций из множества n элементов (без повторений) — это неупорядоченный набор k различных элементов, взятых из данного множества.
б) k-комбинаций из набора из n элементов (с повторением)
k-сочетаний из множества n элементов (без повторений) — это неупорядоченный набор k не обязательно различных элементов, взятых из данного множества.
2. На плоскости 6 разных точек (никакие 3 из них не лежат на одной прямой). Сколько отрезков получится, если соединить все точки?
Решение:
Вы получаете 15 различных сегментов.
3.На окружности выделено 9 точек. Сколько существует треугольников с ребрами в этих точках?
Таких треугольников 84.
4.а) Найдите формулу для подсчета диагоналей в выпуклом n-угольнике!
б) Сколько диагоналей имеет 10-угольник?
Решение:
Выпуклый 10-угольник имеет 35 диагоналей.
5. Сколькими способами можно выбрать 8 из 32 игральных карт, не учитывая их порядок?
Решение:
Игральные карты можно выбрать 10 518 300 способами.
6. Учитель подготовил 20 задач по арифметике и 30 задач по геометрии. Для теста он хотел бы использовать:
а) 3 задачи по арифметике и 2 задачи по геометрии
б) 1 задание по арифметике и 2 задания по геометрии
Сколько способов построить тест?
Решение:
Учитель может выбрать из 495 900 тестов или 8700 тестов соответственно.
7. На выпускном вечере выпускники пинговали свои очки. Было 253 пинга. Сколько выпускников пришло на праздник?
Решение:
На вечеринке было 23 выпускника.
8.Если бы количество элементов увеличилось на 8, количество комбинаций с k=2 без повторений увеличилось бы в 11 раз. Сколько элементов?
Решение:
Есть 4 элемента.
9. Где x означает положительное целое число:
Решение:
Неравенство справедливо для 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
10. Две группы состоят из 26 элементов и 160 комбинаций без повторения для k=2 вместе. Сколько элементов в первой и сколько во второй группе?
Решение:
x – количество элементов в первой группе
11. В кондитерских продается 5 видов мороженого. Отец хотел бы купить 15 крышек мороженого для своей семьи. Сколькими способами он может купить мороженое?
Решение:
Отец может купить мороженое 3876 различными способами.
12.Из скольких элементов можно составить 15 комбинаций с повторением (k=2)?
Решение:
К = {5}
Комбинации можно составить из 5 элементов.
Комбинаторика и перестановки — Статьи и задачи
GMAT Комбинаторика. Эта фраза вселяет страх в сердца многих моих учеников. И это имеет смысл, потому что очень немногих из нас чему-то учат, когда мы росли. Но хорошая новость заключается в том, что, несмотря на пугающее название, то, что вам нужно знать для задач GMAT по комбинаторике , на самом деле не так уж сложно .
Для начала давайте рассмотрим один из наиболее часто задаваемых вопросов, связанных с комбинаторикой GMAT, а именно разницу между комбинаторикой и перестановками :
Имеет ли значение порядок? Важно концептуально понять, чем отличаются друг от друга перестановки и комбинации. Проще говоря, вопрос в том, заботимся ли мы о порядке задействованных элементов.
Давайте посмотрим на эти конкретные примеры, чтобы немного прояснить ситуацию:
Предположим, у нас есть пять картин, которые нужно повесить на стену, и мы хотим знать, сколькими различными способами мы можем расположить картины. Слово «упорядочить» часто выдает, что нас волнует порядок, в котором появляются картины. Назовем картины A, B, C, D и E:
ABCDE
ACDEB
BDCEA
В этой задаче каждая из трех вышеперечисленных считается отличной, потому что порядок и, следовательно, расположение меняются. Это то, что определяет эту ситуацию как ПЕРЕСТАНОВКА проблема.
Как бы мы ответили на этот вопрос математически? Ну, проще говоря, мы бы считали количество вариантов, которые у нас есть для каждой «щели» на стене. В начале у нас есть пять вариантов для первого слота:
_5_ ___ ___ ___ ___
После того, как картина будет на месте, останется четыре доступных для следующего слота:
_5_ _4_ ___ ___ ___
From там шаблон продолжается до тех пор, пока не будут заполнены все слоты:
_5_ _4_ _3_ _2_ _1_
Последний шаг — просто перемножить эти числа, чтобы получить 5*4*3*2*1 = 120 аранжировок пяти картин.
Количество 5 * 4 * 3 * 2 * 1 также часто обозначается восклицательным знаком , обозначением 5 ! или 5 факториалом. (Полезно запомнить факториалы до 6!)
Итак, что насчет КОМБИНАЦИЙ ? Очевидно, что если нас волнует порядок перестановок, это означает, что нас НЕ волнует порядок комбинаций. Но как выглядит такая ситуация?
Предположим, проводится местный кулинарный конкурс, и мне сказали, что группа судей будет дегустировать на конкурсе 50 блюд. Первая, вторая и третья премии будут вручены трем лучшим блюдам, которым через несколько месяцев будет предоставлена честь участвовать в государственном конкурсе. Я хочу знать, сколько возможных групп из трех блюд из первоначальных 50 потенциально могут быть отобраны судьями для участия в государственном конкурсе.
Математика здесь немного сложнее без комбинаторной формулы, но сейчас мы просто сосредоточимся на концептуальном элементе. Откуда мы знаем, что это КОМБИНАЦИОННАЯ ситуация, а не вопрос о перестановке?
Это немного сложно, потому что на первый взгляд вы можете рассмотреть первый, второй и третий призы и решить, что порядок имеет значение.
Предположим, что Блюдо А получает первый приз, Блюдо Б получает второй приз, а Блюдо С получает третий приз. Назовите эту азбуку. Разве это не отличная ситуация от BAC? Или КАБ?
Ну, вот где вы должны обратить очень пристальное внимание на именно то, что задает вопрос. Если бы мы спрашивали о 90 185 различных схемах выигрышей 90 186 , тогда да, это был бы вопрос о перестановке, и нам пришлось бы рассматривать ABC отдельно от BAC отдельно от CAB и т. д.
Однако о чем конкретно идет речь в вопросе? Он спрашивает о , какие блюда выдвигаются на государственный конкурс. Также обратите внимание, что в вопросе специально используется слово «группа», которое часто является важным сигналом для вопросов о комбинациях. Это означает, что общее более важно, чем отдельные части. Если мы возьмем ABC и переключим его на BAC, BCA или ACB, получим ли мы другую группу из трех блюд, которые выйдут на конкурс штата? Нет. Это же СОЧЕТАНИЕ блюд.
Количественная связь Интересно отметить, что всегда будет меньше комбинаций, чем перестановок, учитывая общий набор элементов.
Почему? Давайте используем приведенный выше простой сценарий из трех элементов в качестве иллюстрации и выпишем все возможные перестановки ABC. Это достаточно просто переборщить, включив два, каждый из которых начинается с A, два, каждый из которых начинается с B, и т. д.:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Но вы также могли видеть, что 3*2*1 = 3! = 6 перестановок, используя тот же метод, который мы использовали для примера рисования выше. Теперь, сколько комбинаций это составляет? Обратите внимание, что все они состоят из одной и той же группы из трех букв, и, таким образом, на самом деле это просто комбинация и . Нам пришлось разделить исходные 6 перестановок на 3! чтобы получить правильное количество перестановок.
В следующий раз мы продолжим обсуждение математики перестановок и начнем обсуждение механизмов математики комбинаций.
Вклад: Rich Zwelling, Apex GMAT инструктор
Пропутания и комбинации Intro
Собственные
с повторными элементами
Permutations с ограничениями
9 Combission Math
с повторными элементами
Permitations с ограничениями.
