Комплексные числа дроби: Деление комплексных чисел, теория и примеры решений

{2}}=$

$=\frac{-3-i}{1-(-1)}=\frac{-3-i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}$

Ответ. $\frac{-2+i}{1-i}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}$

Деление комплексных чисел в геометрической форме

Если надо поделить комплексные числа $z_{1}$ и $z_{2}$ в геометрической форме: $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|\left(\cos \phi_{1}+i \sin \phi_{1}\right)}{\left|z_{2}\right|\left(\cos \phi_{2}+i \sin \phi_{2}\right)}$ , то искомое число

$z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}\left[\cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)+i \sin \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)\right]$

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание.

Найти частное $\frac{z_{1}}{z_{2}}$, если $z_{1}=2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)$, а $z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}$

Решение. Искомое частное

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)}{\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}}=$

$=\frac{2}{1} \cdot\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right]=$

$=2 \cdot\left[\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right]=2 \cdot(0+i)=2 i$

Ответ. $\frac{z_{1}}{z_{2}}=2 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=2 i$

Читать дальше: возведение комплексного числа в степень.

Как найти частное двух комплексных чисел: формула, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Деление комплексных чисел

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти частное двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

• Деление в алгебраической форме
• Деление в геометрической форме

Деление в алгебраической форме

Результатом деления (т.е. частное) двух комплексных чисел x = a₁ + b₁i и y = a₂ + b₂i также является комплексное число z:

Порядок действий следующий:

1. Делимое и делитель умножаем на число, комплексно сопряженное делителю. Не забываем, что i² = -1.
   
   Примечание: Для (a + bi) комплексно сопряженным будет число (a – bi), т.е. действительная часть остается той же, а у мнимой знак меняется на противоположный.
2. В результате выполнения умножения в знаменателе получается обычное действительное число.
   (a₂ + b₂i)(a₂ – b₂i) = a₂ ⋅ a₂ – a₂ ⋅ b₂i + b₂i ⋅ a₂ – b₂i ⋅ b₂i = a₂² – b₂² ⋅ i² = a₂² + b₂².
3. Теперь выполним аналогичное действие в числителе:
   (a₁ + b₁i)(a₂ – b₂i) = a₁ ⋅ a₂ – a₁ ⋅ b₂i + b₁i ⋅ a₂ – b₁i ⋅ b₂i = a₁a₂ – b₁b₂i² – a₁b₂i + b₁a₂i = (a₁a₂ + b₁b₂) + (a₂b₁ – a₁b₂) ⋅ i.
4. Делим полученный числитель на знаменатель:
   

Пример 1:
Разделим комплексное число (3 – i) на (-5 + 2i).

Решение:
Руководствуемся планом действий, описанным выше, и получаем:

Деление в геометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, x = |x| ⋅ (cos φ₁ + i ⋅ sin φ₁) и y = |y| ⋅ (cos φ₂ + i ⋅ sin φ₂), то разделить их можно по формуле ниже:

Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: x = 4 ⋅ (cos 60° + i ⋅ sin 60°) и y = 2 ⋅ (cos 25° + i ⋅ sin 25°).

Решение:
|x| : |y| = 4 : 2 = 2
φ₁ – φ₂ = 60° – 25° = 35°
x : y = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°)

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

комплексных чисел

комплексных чисел

Умножение комплексных чисел в декартовой форме является биномиальным умножением Для a + jb = + j и c + jd = + j затем (a + jb)(c + jd) = + j Деление немного больше связано с декартовой формой и требует процесса, называемого рационализацией комплексного числа. (а + jb)/(с + jd) = + j

Индекс Комплексные числа

6 Гиперфизика****Гиперматематика*****Алгебра R Nave Назад Деление комплексных чисел, выраженных в декартовой форме, облегчается процессом, называемым рационализацией. Формирование фракции представляет трудности из-за мнимой части знаменателя. Знаменатель можно заставить быть действительным, умножив и числитель, и знаменатель на сопряженную часть знаменателя. Расширение снова переводит результат деления в декартову форму. Расчет для умножения и деления Индекс Комплексные числа   Гиперфизика****Гиперматематика*****Алгебра R Неф Назад Сопряженным комплексным числом является число с обратным знаком мнимой части Полезность сопряжения состоит в том, что любое комплексное число, умноженное на его комплексно-сопряженное, является действительным числом: Эта операция имеет практическое значение для рационализации комплексных чисел, и квадратный корень из числа, умноженного на его сопряженное, является величиной комплексного числа, выраженного в полярной форме. Приложения Индекс Комплексные числа  6 Гиперфизика****Гиперматематика*****Алгебра R Nave Назад Когда от реальной функции требуется реальная положительно определенная величина, можно использовать квадрат функции. В случае сложной функции для достижения этой цели используется комплексное сопряжение. Произведение комплексного числа и его комплексно-сопряженного числа является аналогом комплексного числа для возведения в квадрат действительной функции. Комплексное сопряжение используется при рационализации комплексных чисел и для нахождения амплитуды полярной формы комплексного числа. Одним из приложений комплексного сопряжения в физике является нахождение вероятности в квантовой механике. Поскольку волновая функция, которая определяет амплитуду вероятности, может быть сложной функцией, вероятность определяется в терминах комплексного сопряжения для получения действительного значения. Индекс Комплексные числа   Гиперфизика****Гиперматематика*****Алгебра R Nave Назад Комплексные числа — ACT Math Все ресурсы ACT Math 14 Диагностические тесты 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept ← Предыдущая 1 2 3 Следующая → ACT Math Help » Алгебра » Экспоненты » Возведение в квадрат / Квадратные корни / Радикалы » Комплексные числа Вычесть из полученного: Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Комплексное число представляет собой комбинацию действительного и мнимого числа. Чтобы вычесть комплексные числа, вычтите каждый элемент отдельно. В уравнении ,  является действительной составляющей, а  является мнимой составляющей (обозначается ). В уравнении – это действительная компонента, а  – мнимая компонента. Решение для , Сообщить об ошибке Упростить показатель степени, . Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Если у вас есть показатель степени за пределами круглых скобок, в то время как другой находится внутри круглых скобок, например, в , перемножьте показатели вместе, чтобы получить ответ: .   Это отличается от случая, когда у вас есть два числа с одинаковым основанием, умноженные вместе, например, в . В этом случае вы складываете показатели вместе. Сообщить об ошибке Комплексные числа имеют вид , где – реальный член комплексного числа, а  – недействительный (мнимый) член комплексного числа. Упрощение: Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Решение этого уравнения очень похоже на решение линейного бинома типа . Чтобы решить, просто объедините одинаковые члены, обращая внимание на двойные отрицания.   Сообщить об ошибке Комплексные числа имеют вид , где – действительный член комплексного числа (воображаемый) – недействительный. Что из следующего   неверно? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Такую задачу можно решить так же, как линейный бином, например / 9.0006 Сообщить об ошибке Комплексные числа имеют вид , где  – действительный член комплексного числа, а  – недействительный (мнимый) член комплексного числа. Какое из следующих уравнений упрощается? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Это уравнение можно решить так же, как и бином, например . Отчет о ошибке Предположим и Оцените следующее выражение: Возможные ответы: Правильный ответ: Правильный ответ: . Объяснение: Заменив  и, мы получим  Это упрощается до , что равно Сообщить об ошибке Каково решение следующего уравнения? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Комплексное число представляет собой комбинацию действительного и мнимого числа. Чтобы добавить комплексные числа, добавьте каждый элемент отдельно. Сначала распределите: Затем сгруппируйте действительные и мнимые компоненты: Решите, чтобы получить: Сообщите об ошибке 0005 Чему равна сумма   и  данных и ? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Комплексное число представляет собой комбинацию действительного и мнимого числа. Чтобы добавить комплексные числа, добавьте каждый элемент отдельно. В уравнении ,  является действительной составляющей, а  является мнимой составляющей (обозначается ). В уравнении , – действительная компонента, а  – мнимая. При добавлении Сообщить об ошибке Комплексные числа имеют вид , где a – действительный член комплексного числа, а  bi  – нереальный (мнимый) член комплексного числа. Упрощение:  Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: При сложении или вычитании комплексных чисел вещественные члены являются аддитивными/вычитающими, как и недействительные члены. Сообщить об ошибке Комплексные числа имеют вид , где a — реальный член комплексного числа, а bi — недействительный (мнимый) член комплексного числа. Можете ли вы добавить следующие два числа: ? Если да, то какова их сумма?   Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Комплексные числа принимают форму a + bi , где a — действительный член комплексного числа, а bi — недействительный (мнимый) член комплексного числа. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт