Комплексные числа как решать примеры: Комплексные числа, примеры с решением

Содержание

Комплексные числа, определение, алгебраическая форма комплексного числа, примеры

Комплексные числа

Числа вида z=a+bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица называются комплексными

i – мнимая единица

i² = -1,

Рассмотрим степени числа i

i¹ = i

i² = -1

i³= i² * i = -1 * i = — i

i⁴= i² * i² = -1 * (-1) = 1

Данная последовательность степеней числа i повторяется

Используя закономерность, легко найти значение степени числа i

Задачи на нахождение значения степени i

Найти i²⁸

Найти i³³

Найти i¹³⁵

Найти i⁶⁶

Число а – действительная часть комплексного числа (Re z)

bi – мнимая часть комплексного числа (Im

b – коэффициент при мнимой части

Запись комплексного числа в виде z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа

Противоположные комплексные числа: z=a + bi и –z= – a – bi

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

z₁=2 + 3i

z₂=5 – 7i

Сложение

сложить действительные и мнимые части чисел

z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i + (-7i))= 7 – 4i

Вычитание

вычесть действительные и мнимые части

z₁ – z₂= (2 + 3i) – (5 – 7i) = (2 – 5) + (3i – (-7i)) = — 3 + 10i

Умножение

по правилу умножение многочленов («фонтанчиком»)

z₁ * z₂ = (2 + 3i) * (5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i² = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31+ i

(– 21i²) = — 21 *(-1) т. к. i² = -1

При выполнении умножения можно использовать формулы сокращенного умножения

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью

Деление

Чтобы выполнить деление двух комплексных чисел, нужно и делимое и делитель умножить на комплексное число,

сопряженное делителю, например:

При решении учитываем i² = -1

Следующий пример:

Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицательный

На множестве С любое квадратное уравнение имеет корни

Пример:

Решить уравнение на множестве комплексных чисел

Таким образом, уравнение на множестве C имеет ровно два различных комплексных корня:

Решить уравнение:

404 Cтраница не найдена

Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта МГТУ и большего удобства его использования. Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом ФГБОУ ВО «МГТУ» и согласны с нашими правилами обработки персональных данных.

Размер:

AAA

Изображения Вкл. Выкл.

Обычная версия сайта

К сожалению запрашиваемая страница не найдена.

Но вы можете воспользоваться поиском или картой сайта ниже

Университет
Майкопский государственный технологический университет – один из ведущих вузов юга России.
- История университета
- Анонсы
- Объявления
- Медиа
  - Представителям СМИ
  - Газета «Технолог»
  - О нас пишут
- Ректорат
- Структура
  - Филиал
  - Политехнический колледж
  - Медицинский институт
    - Лечебный факультет
    - Педиатрический факультет
    - Фармацевтический факультет
    - Стоматологический факультет
    - Факультет послевузовского профессионального образования
  - Факультеты
  - Кафедры
- Ученый совет
- Дополнительное профессиональное образование
- Бережливый вуз – МГТУ
  - Новости
  - Объявления
  - Лист проблем
  - Лист предложений (Кайдзен)
  - Реализуемые проекты
  - Архив проектов
  - Фабрика процессов
  - Рабочая группа «Бережливый вуз-МГТУ»
- Вакансии
- Профсоюз
- Противодействие терроризму и экстремизму
- Противодействие коррупции
- WorldSkills в МГТУ
- Научная библиотека МГТУ
- Реквизиты и контакты
- Управление имущественным комплексом
- Опрос в целях выявления мнения граждан о качестве условий оказания образовательных услуг
- Работа МГТУ в условиях предотвращения COVID-19
- Документы, регламентирующие образовательную деятельность
- Система менеджмента качества университета
- Региональный центр финансовой грамотности
- Аккредитационно-симуляционный центр
Абитуриентам
- Подача документов онлайн
- Абитуриенту 2023
- Экран приёма 2022
- Иностранным абитуриентам
  - Международная деятельность
  - Общие сведения
  - Кафедры
  - Новости
  - Центр международного образования
  - Академическая мобильность и международное сотрудничество
    - Академическая мобильность и фонды
    - Индивидуальная мобильность студентов и аспирантов
    - Как стать участником программ академической мобильности
- Дни открытых дверей в МГТУ
  - День открытых дверей online
  - Университетские субботы
  - Дни открытых дверей на факультетах
- Подготовительные курсы
  - Подготовительное отделение
  - Курсы для выпускников СПО
  - Курсы подготовки к сдаче ОГЭ и ЕГЭ
  - Онлайн-курсы для подготовки к экзаменам
  - Подготовка школьников к участию в олимпиадах
- Малая технологическая академия
  - Профильный класс
    - Социально-экономический профиль
    - Медико-фармацевтический профиль
    - Инженерно-технологический профиль
    - Эколого-биологический профиль
    - Агротехнологический профиль
  - Индивидуальный проект
  - Кружковое движение юных технологов
  - Олимпиады, конкурсы, фестивали
- Веб-консультации для абитуриентов и их родителей
  - Веб-консультации для абитуриентов
  - Родительский университет
- Олимпиады для школьников
  - Отборочный этап
  - Заключительный этап
  - Итоги олимпиад
- Профориентационная работа
- Стоимость обучения
Студентам
- Студенческая жизнь
  - Стипендии
  - Организация НИРС в МГТУ
  - Студенческое научное общество
  - Студенческие научные мероприятия
  - Конкурсы
  - Академическая мобильность и международное сотрудничество
- Образовательные программы
- Расписание занятий
- Расписание звонков
- Онлайн-сервисы
- Социальная поддержка студентов
- Общежития
- Трудоустройство обучающихся и выпускников
  - Вакансии
- Обеспеченность ПО
- Инклюзивное образование
  - Условия обучения лиц с ограниченными возможностями
  - Доступная среда
- Ассоциация выпускников МГТУ
- Перевод из другого вуза
- Вакантные места для перевода
- Студенческое пространство
  - Студенческое пространство
  - Запись на мероприятия
- Отдел по социально-бытовой и воспитательной работе

Наука и инновации
- Научная инфраструктура
  - Проректор по научной работе и инновационному развитию
  - Научно-технический совет
  - Управление научной деятельностью
  - Управление аспирантуры и докторантуры
  - Точка кипения МГТУ
    - О Точке кипения МГТУ
    - Руководитель и сотрудники
    - Документы
    - Контакты
  - Центр коллективного пользования
  - Центр народной дипломатии и межкультурных коммуникаций
  - Студенческое научное общество
- Новости
- Научные издания
  - Научный журнал «Новые технологии»
  - Научный журнал «Вестник МГТУ»
  - Научный журнал «Актуальные вопросы науки и образования»
- Публикационная активность
- Конкурсы, гранты
- Научные направления и результаты научно-исследовательской деятельности
  - Основные научные направления университета
  - Отчет о научно-исследовательской деятельности в университете
  - Результативность научных исследований и разработок МГТУ
  - Финансируемые научно-исследовательские работы
  - Объекты интеллектуальной собственности МГТУ
  - Результативность научной деятельности организаций, подведомственных Минобрнауки России (Анкеты по референтным группам)
- Студенческое научное общество
- Инновационная инфраструктура
  - Федеральная инновационная площадка
  - Проблемные научно-исследовательские лаборатории
    - Научно-исследовательская лаборатория «Совершенствование системы управления региональной экономикой»
    - Научно-исследовательская лаборатория проблем развития региональной экономики
    - Научно-исследовательская лаборатория организации и технологии защиты информации
    - Научно-исследовательская лаборатория функциональной диагностики (НИЛФД) лечебного факультета медицинского института ФГБОУ ВПО «МГТУ»
    - Научно-исследовательская лаборатория «Инновационных проектов и нанотехнологий»
  - Научно-техническая и опытно-экспериментальная база
  - Центр коллективного пользования
  - Научная библиотека
- Экспортный контроль
- Локальный этический комитет
- Конференции
  - Международная научно-практическая конференция «Актуальные вопросы науки и образования»
  - VI Международная научно-практическая онлайн-конференция
- Наука и университеты
Международная деятельность
- Иностранным студентам
- Международные партнеры
- Академические обмены, иностранные преподаватели
  - Академическая мобильность и фонды
  - Индивидуальная мобильность студентов и аспирантов
- Факультет международного образования
  - Новости факультета
  - Информация о факультете
  - Международная деятельность
  - Кафедры
    - Кафедра русского языка как иностранного
    - Кафедра иностранных языков
  - Центр Международного образования
  - Центр обучения русскому языку иностранных граждан
    - Приказы и распоряжения
    - Курсы русского языка
    - Расписание
  - Академическая мобильность
  - Контактная информация
- Контактная информация факультета международного образования
Сведения об образовательной организации
- Основные сведения
- Структура и органы управления образовательной организацией
- Документы
- Образование
- Образовательные стандарты и требования
- Руководство. Педагогический (научно-педагогический) состав
- Материально-техническое обеспечение и оснащённость образовательного процесса
- Стипендии и меры поддержки обучающихся
- Платные образовательные услуги
- Финансово-хозяйственная деятельность
- Вакантные места для приёма (перевода)
- Международное сотрудничество
- Доступная среда
- Организация питания в образовательной организации

Комплексные числа, определение, с примерами и практическими задачами

Обзор. В этой статье рассматривается определение комплексные числа вида $$ a+ bi $$ и как построить график комплексные числа.

Что такое комплексные числа?

Комплексное число можно записать в виде a + b i где a и b — действительные числа

.
тот самый настоящий
и еще одна воображаемая часть
примечание: Несмотря на то, что сложные имеют мнимую часть, есть на самом деле есть много реальных применений этих «мнимых» чисел, включая качающиеся пружины и электроника.
Примеры комплексного номера
$$ \начать{массив}{с|с} \синий 3 + \красный 5 я & \\\hline \blue{12} + \red{\sqrt{-3}} & \red{\sqrt{-3}} \text{ является частью } \blue{imaginary} \text{} \\\hline \синий 9 — \красный я & \\\hline \blue{12} — \red{\sqrt{-25}} & \red{\sqrt{-25}} \text{ является частью } \blue{imaginary} \text{} \\\hline \конец{массив} $$
Как построить график комплексных чисел?
Комплексные числа часто представляются на плоскости комплексных чисел. (очень похоже на декартову плоскость) .
На этой плоскости мнимая часть комплексного числа измеряется на ‘ось Y’, вертикальная ось;
реальная часть комплексного числа идет дальше ‘ось x’, горизонтальная ось;
Практика Задачи комплексного числа
Проблема 1
Определите координаты всех комплексных чисел, представленных на графике справа.
Проблема 2
В каком квадранте находится комплексное число $$ 2- i $$?
Это комплексное число находится в четвертом квадранте.
Проблема 3
В каком квадранте находится комплексное число $$ 2i — 1 $$?
Этот комплексный номер находится во 2-м квадранте.
Проблема 4
В каком квадранте находится комплексное число $$ -i — 1 $$?
Этот комплексный номер находится в 3-м квадранте.
Работа с комплексными числами | Пурпурная математика
Формула воображаемого квадрата
Purplemath
Что такое комплексные числа?
Комплексное число — это сумма (или разность) действительного числа и мнимого числа (то есть числа, содержащего число i ). Если a и b являются обычными числами, то a +; bi — комплексное число.
Комплексные числа представляют собой своего рода «биномы» и складываются, вычитаются и умножаются аналогичным образом. (Подразделение, которое находится дальше по странице, немного отличается.)
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Комплексные числа
Прежде всего вас, вероятно, попросят продемонстрировать, что вы понимаете определение комплексных чисел.
Решите 3 − 4 i = x + yi для значений x и y
Чтобы найти ответ на этот вопрос, нужно всего лишь знать, что два комплексных числа могут быть равны, только если равны их действительная и мнимая части. Другими словами, 3 должно равняться 9.0079 х и -4 = у .
Чтобы упростить выражения с комплексными значениями, вы комбинируете «подобные» термины и применяете различные другие методы, которые вы изучили для работы с полиномами.
Какие есть примеры сложения комплексных чисел?
Упростить (2 + 3 i ) + (1 − 6 i ).
Для упрощения я сгруппирую обычные числа и мнимые числа, сделаю любое сложение или вычитание, а затем запишу свой ответ в стандартной форме.
(2 + 3 i ) + (1 − 6 i )
= (2 + 1) + (3 i − 6 i )
= 3 + (−93 900 )
= 3 − 3 i
Упростить (5 − 2 i ) − (−4 − i ).
(5 — 2 i ) — (-4 — i )
= (5 — 2 i ) — 1 (-4 — i )
2 = 5 —
= 5 —
= 5 —
= 5 —
= 5 —
1(−4) − 1(− i )
= 5 − 2 i + 4 + i
= (5 + 4) + (−2 i + i )
= (9) + (−1 9003 0 i)
= 9 − i
Многие учащиеся считают полезным вставить «понятную 1» перед вторым набором скобок (выделено красным выше). Это может помочь учащемуся лучше отслеживать «минус», умножаемый через круглые скобки.
Как умножить два комплексных числа?
Чтобы умножить два комплексных числа, используйте методы, которые вы изучили для умножения двучленов. (Это могло называться «фольгированием» в ваших предыдущих исследованиях.) Затем вспомните, что i ² = −1, и используйте этот факт для дальнейшего упрощения.
Какой пример умножения комплексных чисел?
Упростить (2 − i )(3 + 4 i ).
Я умножу это так же, как умножил бы (2 − x )(3 + 4 x ), но я не забуду проверить наличие i ² . Я могу преобразовать его в −1 и еще больше упростить.
(2 − i )(3 + 4 i )
= (2)(3) + (2)(4 i ) + (− i )(3) + (− I ) (4 I )
= 6 + 8 I — 3 I — 4 I ²
= 6 + 5 I — 4 (-1)
= 6 + + 5 и + 4
= 10 + 5 i
Как показано в приведенном выше примере, FOILing работает для этого типа умножения, если вы изучили этот метод. Вы также можете умножать по вертикали, если хотите.
Но какой бы метод вы ни использовали, помните, что умножение и сложение с комплексными числами работает так же, как умножение и сложение многочленов, за исключением того, что x ² всего лишь x ² , i ² можно упростить до значения -1. Вы можете использовать те же методы для упрощения выражений с комплексными числами, что и для полиномиальных выражений, но с комплексными выражениями вы можете упростить еще больше, потому что i ² сводится к числу −1.
Вы можете использовать приведенный ниже виджет Mathway, чтобы попрактиковаться в упрощении выражений с комплексными числами (или пропустить виджет и продолжить урок ниже). Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.
Пожалуйста, примите файлы cookie «предпочтения», чтобы включить этот виджет.
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
Складывать и умножать комплексы не так уж и плохо. Когда вы работаете с дробями (то есть с делением), все становится некрасиво.
Большая часть причин этого уродства на самом деле произвольна. Помните еще в начальной школе, когда вы впервые узнали дроби? Ваши учителя бы ахнули, если бы вы использовали «неправильные» дроби. Вы не могли сказать «³ / ₂»; вам пришлось преобразовать его в «1 ¹ / ₂». Но теперь, когда вы занимаетесь алгеброй, никого это не волнует, и вы, наверное, заметили, что «неправильные» дроби часто гораздо полезнее, чем «смешанные» числа.
Соответствующая проблема с комплексными числами снова связана со знаменателями. Если вам говорят упростить дробь с воображаемыми и в знаменателе, вы должны «рационализировать» этот знаменатель. Ваши инструкторы будут очень злы на вас, если вы оставите воображаемое в знаменателях. Итак, как вы справляетесь с этим?
Упрощение
Эта фракция уже довольно «простая», но они хотят, чтобы я избавился от этой и внизу, в знаменателе. Двойка в знаменателе — это хорошо, но и должны уйти.
Для этого я воспользуюсь тем фактом, что i ² = −1. Если я умножу дробь, верхнюю и нижнюю, на х , то х внизу исчезнут в облачке отрицательности:
Итак, мой «упрощенный» ответ:
Это было достаточно просто, но что, если они дают вам что-то более сложное?
Что является примером рационализации сложного знаменателя?
Упрощение
Если я умножу эту дробь, верхнюю и нижнюю, на i , я получу:
Поскольку у меня все еще есть i внизу, это не сильно помогло. Итак, как мне справиться с этим упрощением? Я использую то, что называется «конъюгаты». Сопряженное комплексное число a + bi — это то же число, но с обратным знаком в середине: а — би . Когда вы умножаете сопряженные числа, вы, по сути, умножаете, чтобы создать что-то в виде разности квадратов:
Обратите внимание, что и исчезли, и окончательный результат был суммой квадратов. Вот для чего используется сопряжение, и вот как оно используется:
Итак, ответ
На последнем шаге обратите внимание, как дробь была разделена на две части. Это потому, что, технически говоря, комплексное число состоит из двух частей: действительной части и 9.0079 и часть. Они не должны «делить» знаменатель. Чтобы убедиться, что ваш ответ полностью правильный, разделите комплексную дробь на два отдельных члена.
URL: https://www.purplemath.com/modules/complex2.htm
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в рационализации сложных знаменателей (или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.
No related posts.