Комплексные числа, определение, алгебраическая форма комплексного числа, примеры
Комплексные числа
Числа вида z=a+bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица называются комплексными
i – мнимая единица
i2 = -1,
i
Рассмотрим степени числа i
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 * i = -1 * i = — i
i4 = i2 * i2 = -1 * (-1) = 1
Данная последовательность степеней числа i повторяется
Используя закономерность, легко найти значение степени числа i
Задачи на нахождение значения степени i
Найти i28
Найти i33
Найти i135
Найти i66
Число а – действительная часть комплексного числа (Re z)
bi – мнимая часть комплексного числа (Im
b – коэффициент при мнимой части
Запись комплексного числа в виде z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа
Противоположные комплексные числа: z=a + bi и –z= – a – bi
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
z1=2 + 3i
z2=5 – 7i
- Сложение
сложить действительные и мнимые части чисел
z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i + (-7i))= 7 – 4i
- Вычитание
вычесть действительные и мнимые части
z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = (2 – 5) + (3i – (-7i)) = — 3 + 10i
- Умножение
по правилу умножение многочленов («фонтанчиком»)
z1 * z2 = (2 + 3i) * (5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i2 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31+ i
(– 21i2) = — 21 *(-1) т.
к. i2 = -1
При выполнении умножения можно использовать формулы сокращенного умножения
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью
- Деление
Чтобы выполнить деление двух комплексных чисел, нужно и делимое и делитель умножить на комплексное число,
сопряженное делителю, например:
При решении учитываем i2 = -1
Следующий пример:
Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицательный
На множестве С любое квадратное уравнение имеет корни
Пример:
Решить уравнение на множестве комплексных чисел
Таким образом, уравнение на множестве C имеет ровно два различных комплексных корня:
Решить уравнение:
404 Cтраница не найдена
Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта МГТУ и большего удобства его использования.
Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь.
Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом ФГБОУ ВО «МГТУ» и согласны с нашими правилами обработки персональных данных.
Размер:
AAA
Изображения Вкл. Выкл.
Обычная версия сайта
К сожалению запрашиваемая страница не найдена.
Но вы можете воспользоваться поиском или картой сайта ниже
|
|
Педагогический (научно-педагогический) составКомплексные числа, определение, с примерами и практическими задачами
Обзор.
В этой статье рассматривается определение
комплексные числа вида $$ a+ bi $$ и как построить график
комплексные числа.
Что такое комплексные числа?
Комплексное число можно записать в виде a + b i где a и b — действительные числа (включая 0) и и — мнимое число.
Таким образом, комплексное число состоит из двух «частей»:
.- тот самый настоящий
- и еще одна воображаемая часть
примечание: Несмотря на то, что сложные имеют мнимую часть, есть на самом деле есть много реальных применений этих «мнимых» чисел, включая качающиеся пружины и электроника.
Примеры комплексного номера$$ \начать{массив}{с|с} \синий 3 + \красный 5 я & \\\hline \blue{12} + \red{\sqrt{-3}} & \red{\sqrt{-3}} \text{ является частью } \blue{imaginary} \text{} \\\hline \синий 9 — \красный я & \\\hline \blue{12} — \red{\sqrt{-25}} & \red{\sqrt{-25}} \text{ является частью } \blue{imaginary} \text{} \\\hline \конец{массив} $$
Как построить график комплексных чисел?
Комплексные числа часто представляются на плоскости комплексных чисел.
(очень похоже на декартову плоскость) .
- На этой плоскости мнимая часть комплексного числа измеряется на ‘ось Y’, вертикальная ось;
- реальная часть комплексного числа идет дальше ‘ось x’, горизонтальная ось;
Проблема 1
Определите координаты всех комплексных чисел, представленных на графике справа.
Проблема 2
В каком квадранте находится комплексное число $$ 2- i $$?
Это комплексное число находится в четвертом квадранте.
Проблема 3
В каком квадранте находится комплексное число $$ 2i — 1 $$?
Этот комплексный номер находится во 2-м квадранте.
Проблема 4
В каком квадранте находится комплексное число $$ -i — 1 $$?
Этот комплексный номер находится в 3-м квадранте.
Работа с комплексными числами | Пурпурная математика
Формула воображаемого квадрата
Purplemath
Что такое комплексные числа?
Комплексное число — это сумма (или разность) действительного числа и мнимого числа (то есть числа, содержащего число i ). Если a и b являются обычными числами, то a +; bi — комплексное число.
Комплексные числа представляют собой своего рода «биномы» и складываются, вычитаются и умножаются аналогичным образом. (Подразделение, которое находится дальше по странице, немного отличается.)
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Комплексные числа
Прежде всего вас, вероятно, попросят продемонстрировать, что вы понимаете определение комплексных чисел.
- Решите 3 − 4 i = x + yi для значений x и y
Чтобы найти ответ на этот вопрос, нужно всего лишь знать, что два комплексных числа могут быть равны, только если равны их действительная и мнимая части.
Другими словами, 3 должно равняться 9.0079 х и -4 = у .
Чтобы упростить выражения с комплексными значениями, вы комбинируете «подобные» термины и применяете различные другие методы, которые вы изучили для работы с полиномами.
Какие есть примеры сложения комплексных чисел?
- Упростить (2 + 3 i ) + (1 − 6 i ).
Для упрощения я сгруппирую обычные числа и мнимые числа, сделаю любое сложение или вычитание, а затем запишу свой ответ в стандартной форме.
(2 + 3 i ) + (1 − 6 i )
= (2 + 1) + (3 i − 6 i )
= 3 + (−93 900 )
= 3 − 3 i
- Упростить (5 − 2 i ) − (−4 − i ).
(5 — 2 i ) — (-4 — i )
= (5 — 2 i ) — 1 (-4 — i )
2 = 5 —
= 5 —
= 5 —
= 5 —
= 5 —
1(−4) − 1(− i )
= 5 − 2 i + 4 + i
= (5 + 4) + (−2 i + i )
= (9) + (−1 9003 0 i) = 9 − i Многие учащиеся считают полезным вставить «понятную 1» перед вторым набором скобок (выделено красным выше). Чтобы умножить два комплексных числа, используйте методы, которые вы изучили для умножения двучленов. (Это могло называться «фольгированием» в ваших предыдущих исследованиях.) Затем вспомните, что i 2 = −1, и используйте этот факт для дальнейшего упрощения. Я умножу это так же, как умножил бы (2 − x )(3 + 4 x ), но я не забуду проверить наличие i 2 . Я могу преобразовать его в −1 и еще больше упростить. (2 − i )(3 + 4 i ) = (2)(3) + (2)(4 i ) + (− i )(3) + (− I ) (4 I ) = 6 + 8 I — 3 I — 4 I 2 = 6 + 5 I — 4 (-1)
Это может помочь учащемуся лучше отслеживать «минус», умножаемый через круглые скобки. Как умножить два комплексных числа?
Какой пример умножения комплексных чисел?
= 10 + 5 i
Как показано в приведенном выше примере, FOILing работает для этого типа умножения, если вы изучили этот метод.
Вы также можете умножать по вертикали, если хотите.
Но какой бы метод вы ни использовали, помните, что умножение и сложение с комплексными числами работает так же, как умножение и сложение многочленов, за исключением того, что x 2 всего лишь x 2 , i 2 можно упростить до значения -1. Вы можете использовать те же методы для упрощения выражений с комплексными числами, что и для полиномиальных выражений, но с комплексными выражениями вы можете упростить еще больше, потому что i 2 сводится к числу −1.
Вы можете использовать приведенный ниже виджет Mathway, чтобы попрактиковаться в упрощении выражений с комплексными числами (или пропустить виджет и продолжить урок ниже). Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.
Пожалуйста, примите файлы cookie «предпочтения», чтобы включить этот виджет.
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
Складывать и умножать комплексы не так уж и плохо. Когда вы работаете с дробями (то есть с делением), все становится некрасиво.
Большая часть причин этого уродства на самом деле произвольна. Помните еще в начальной школе, когда вы впервые узнали дроби? Ваши учителя бы ахнули, если бы вы использовали «неправильные» дроби. Вы не могли сказать « 3 / 2 »; вам пришлось преобразовать его в «1 1 / 2 ». Но теперь, когда вы занимаетесь алгеброй, никого это не волнует, и вы, наверное, заметили, что «неправильные» дроби часто гораздо полезнее, чем «смешанные» числа.
Соответствующая проблема с комплексными числами снова связана со знаменателями. Если вам говорят упростить дробь с воображаемыми и в знаменателе, вы должны «рационализировать» этот знаменатель. Ваши инструкторы будут очень злы на вас, если вы оставите воображаемое в знаменателях.
Итак, как вы справляетесь с этим?
- Упрощение
Эта фракция уже довольно «простая», но они хотят, чтобы я избавился от этой и внизу, в знаменателе. Двойка в знаменателе — это хорошо, но и должны уйти.
Для этого я воспользуюсь тем фактом, что i 2 = −1. Если я умножу дробь, верхнюю и нижнюю, на х , то х внизу исчезнут в облачке отрицательности:
Итак, мой «упрощенный» ответ:
Это было достаточно просто, но что, если они дают вам что-то более сложное?
Что является примером рационализации сложного знаменателя?
- Упрощение
Если я умножу эту дробь, верхнюю и нижнюю, на i , я получу:
Поскольку у меня все еще есть i внизу, это не сильно помогло. Итак, как мне справиться с этим упрощением? Я использую то, что называется «конъюгаты».
Сопряженное комплексное число a + bi — это то же число, но с обратным знаком в середине: а — би . Когда вы умножаете сопряженные числа, вы, по сути, умножаете, чтобы создать что-то в виде разности квадратов:
Обратите внимание, что и исчезли, и окончательный результат был суммой квадратов. Вот для чего используется сопряжение, и вот как оно используется:
Итак, ответ
На последнем шаге обратите внимание, как дробь была разделена на две части. Это потому, что, технически говоря, комплексное число состоит из двух частей: действительной части и 9.0079 и часть. Они не должны «делить» знаменатель. Чтобы убедиться, что ваш ответ полностью правильный, разделите комплексную дробь на два отдельных члена.
URL: https://www.purplemath.com/modules/complex2.htm
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в рационализации сложных знаменателей (или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.