Координаты уравнения: Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении

Определение и формулы

Уравнение координаты — зависимость координаты тела от времени:

x = x(t)

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении:

x₀ — координата тела в начальный момент времени, v_0x —проекция начальной скорости на ось ОХ, a_x —проекция ускорения на ось ОХ, x — координата тела в момент времени t

Зная уравнение координаты, можно определить координату тела в любой момент времени.

Пример №1. Движение автомобиля задано уравнением:

Определить начальное положение автомобиля относительно тела отсчета, его начальную скорость и ускорение. Также найти положение тела относительно тела отсчета в момент времени t = 10 c.

Уравнение координаты — это многочлен. В уравнении выше оно включает в себя только 2 многочлена. Первый — 15 — соответствует начальной координате тела. Поэтому x

0 = 15. Коэффициент перед квадратом времени второго многочлена соответствует ускорению тела. Поэтому a = 5 м/с². Второй многочлен отсутствует. Это значит, что коэффициент перед t равен 0. Поэтому начальная скорость тела равна нулю: v₀ = 0 м/с.

В момент времени t = 10 c координата автомобиля равна:

Иногда в одной системе отсчета рассматривается движение сразу двух тел. В этом случае движение каждого тела задается своим уравнением. Эти уравнения используются для нахождения различных параметров движения этих тел. Такой способ решения задач называется аналитическим.

Аналитический способ решения задачи на совместное движение тел

Чтобы найти место встречи двух тел, нужно:

1. Построить уравнения зависимости x(t) обоих тел: x1(t) и x2(t).
2. Построить уравнение вида x₁ = x
   2.
3. Найти время встречи двух тел t_встр.
4. Подставить найденной время в любое из уравнений x1(t) или x2(t), чтобы вычислить координату x_встрч.

Пример №2. По одному направлению из одной точки начали двигаться два тела. Первое тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 3 м/с. Второе тело — равноускорено с ускорением 1 м/с² без начальной скорости. Определите, через какое время второе тело догонит первое. Вычислите, на каком расстоянии от тела отсчета это произойдет.

Составим уравнения для движения каждого из тел:

Приравняем правые части этих уравнений и найдем время t:

Отсюда t₁ = 0 с, а t₂ = 6 с. Первый корень нам не подходит — из условия задачи уже было понятно, что тела начали движение одновременно. Снова они встрется, когда пройдет 6 секунд.

Чтобы найти, какое расстояние они пройдут за это время, подставим известное время в любое из уравнений:

x = 3t = 3∙6 = 18 (м).

Графический способ решения задачи на совместное движение тел

Существует графический способ решения данной задачи. Для этого нужно:

1. Построить графики x1(t) и x2(t).
2. Найти точку пересечения графиков.
3. Пустить перпендикуляр из этой точки к оси ОХ.
4. Значение точки пересечения — координата места пересечения двух тел.

Таким способом можно определить, в какое время произойдет встреча двух тел. Нужно лишь провести перпендикуляр к оси времени после построения графиков перемещений.

Графический способ решения задач требует высокой точности построения графиков. Поэтому он применяется редко!

Если в одной системе описывается движение двух тел, и одно тело начинает движение с опозданием

t_запазд, то его уравнение координаты принимает вид:

Пример №3. Мальчики соревнуются в беге. По команде «Старт!» Миша побежал с ускорением 1 м/с² и через 4 секунды достиг максимальной скорости, с которой дальше продолжил движение. Саша отреагировал с опозданием и начал движение спустя 1 с после команды с ускорением 1,5 м/с², достигнув максимальной скорости через 3 секунды. Найти время, через которое Саша догонит Мишу.

Если Саша догонит Мишу до того, как мальчики станут двигаться с равномерной скоростью, уравнение движения с равномерной скоростью можно игнорировать. Если это так, то корнем уравнения будет время, не превышающее 4 с (через столько времени оба мальчика начнут двигаться равномерно).

В таком случае составим уравнения только для тех участков пути, на которых мальчики двигались равноускорено:

Приравняем правые части уравнений и вычислим t:

В результате получаем два корня: t₁ = 0,6 с, а t₂ = 3,4 с. Первый корень не подходит, так как в это время Саша еще не начал движение. Второй корень подходит, так как он меньше 4 с. Значит, Саша догонит Мишу через 3,4 с после того, как Миша начнет движение.

Задание EF18609

Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением. График зависимости её координаты от времени x=x(t) изображён на рисунке.

В момент времени t=0 проекции её скорости υ_x и ускорения a_x на ось Ох удовлетворяют соотношениям:

а)

б)

в)

г)

---

Алгоритм решения

1. Определить характер движения материальной точки.
2. Записать уравнение координаты материальной точки.
3. С помощью графика зависимости координаты от времени и уравнения координаты определить проекции искомых величин.

Решение Графиком зависимости координаты от времени является парабола. Такой график соответствует равноускоренному прямолинейному движению. Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид: Ветви параболы смотрят вверх. Это значит, что коэффициент перед квадратом переменной величины (времени) стоит положительный коэффициент. Следовательно, a_x>0. Поэтому варианты «б» и «г» исключаются. Остается выяснить, чему равна скорость: она равна нулю (как в ответе «а») или меньше нуля (как в ответе «в»)? Моменту времени t=0 соответствует точка, являющая вершиной параболы. Когда ветви параболы смотрят вверх, в ее вершине скорость тела всегда равна нулю, так как эта точка лежит на границе между отрицательной и положительной скоростью. Отсюда делаем вывод, что верный ответ «а».Ответ:

а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17682 Мимо остановки по прямой улице с постоянной  скоростью проезжает грузовик. Через 5 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с ускорением 3 м/с², и догоняет грузовик на расстоянии 150 м от остановки. Чему равна скорость грузовика?

---

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать уравнение движения грузовика и преобразовать его с учетом условий задачи.
3. Выразить скорость грузовика из уравнения его движения.
4. Записать уравнение движения мотоциклиста.
5. Найти время встречи мотоциклиста и грузовика из уравнения движения мотоциклиста.
6. Подставить время в формулу скорости грузовика и вычислить ее.

Решение

Исходные данные:

• Координата встречи грузовика и мотоциклиста: x = 150 м.
• Время запаздывания мотоциклиста: t_запазд = 5 с.
• Ускорение, с которым мотоциклист начал движение: a = 3 м/с².

Запишем уравнение движения грузовика:

Так как начальная координата равна нулю, это уравнение примет вид:

Отсюда скорость движения грузовика равна:

Запишем уравнение движения мотоциклиста:

Так как начальная координата равна нулю, начальная скорость тоже нулевая, и мотоциклист начал движение позже грузовика, это уравнение примет вид:

Найдем время, через которое грузовик и мотоциклист встретились:

Подставим найденное время встречи в формулу для вычисления проекции скорости грузовика:

Ответ: 10

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алиса Никитина | Просмотров: 13. 3k

18. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии

Наиболее важной после прямоугольной системы является полярная система координат.

Рис.18

Возьмем на плоскости точку , которая называется полюсом. Проведем из полюса направленную полупрямую , называемую полярной осью (рис.18). Пусть — произвольная точка плоскости. Соединим точку С полюсом Отрезком . Длина отрезка , т. е. расстояние точки от полюса, называется

Полярным радиусом

точки , а угол , отсчитываемый от полярной оси к отрезку Против движения часовой стрелки,

Полярным углом

.

Полярный радиус и полярный угол и Составляют Полярные координаты точки , и записывается следующим образом .

Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Рис.19

Пусть полюс полярной системы совпадает в началом прямоуголь­ной системы координат , а по­лярная ось является положительной полуосью (рис.19). Тогда для произвольной точки имеем:

Считая угол острым, из прямоугольного находим

Или

Полученные формулы справедливы для любого угла и выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.

Выразим полярные координаты точки через прямоугольные координаты из того же прямоугольника

Или

Пример 1. Найти полярное уравнение прямой

Решение. Так как , то или . Это и есть уравнение данной прямой в полярных координатах.

Пример 2. Написать уравнение линии в полярных координатах.

Решение. Так как , а Подставим эти выражения в данное уравнение линии

или

Это уравнение данной линии в полярных координатах.

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии в прямоугольных координатах, рассматривать параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат и в виде функций от некоторой переменной величины (параметра).

Пример 1. Выведем параметрическое уравнение окружности.

Решение. Пусть — произвольная точка окружности радиуса с центром в начале координат (рис.20). В прямоугольном треугольнике обозначим угол через . Будем иметь равенства

Рис.20

Или

Рис.20

(1)

Это и есть параметрическое урав­нение окружности.

Пример 2. Параметрическое уравнение эллиса.

Решение. Эллипс с полуосями и можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса , где коэффициент сжатия . Пусть — точка эллипса и — соответствующая точка окружности (рис.21), где

Рис.21

. (1)

За параметр Примем угол, образованный радиусом окружности с положительным направлением оси : Используя формулы (1) имеем

Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями и есть

. (2)

< Предыдущая		Следующая >

Координатная геометрия — формулы, координатная плоскость, примеры

 

У каждого места на этой планете есть координаты, которые помогают нам легко найти его на карте мира. Система координат нашей земли состоит из воображаемых линий, называемых широтами и долготами. Нуль градусов «долготы по Гринвичу» и ноль градусов «экваториальной широты» являются начальными линиями этой системы координат. Точно так же располагая точку на плоскости или листе бумаги, мы имеем оси координат с горизонтальной осью x и вертикальной осью y.

Координатная геометрия — это изучение геометрических фигур путем нанесения их на оси координат. Такие фигуры, как прямые линии, кривые, окружности, эллипсы, гиперболы, многоугольники, можно легко нарисовать и представить в масштабе по осям координат. Дальнейшая координатная геометрия помогает работать алгебраически и изучать свойства геометрических фигур с помощью системы координат.

1.	Что такое координатная геометрия?
2.	Темы, затронутые в координатной геометрии
3.	Формулы координатной геометрии
4.	Решенные примеры по координатной геометрии
5.	Практические вопросы по координатной геометрии
6.	Часто задаваемые вопросы по координатной геометрии

Что такое координатная геометрия?

Координатная геометрия — важный раздел математики, помогающий представить геометрические фигуры в двухмерной плоскости и изучить свойства этих фигур. Здесь мы попытаемся узнать о координатной плоскости и координатах точки, чтобы получить начальное представление о геометрии координат.

Координатная плоскость

Декартова плоскость делит пространство плоскости на два измерения и удобна для простого определения точек. Ее также называют координатной плоскостью. Две оси координатной плоскости — это горизонтальная ось x и вертикальная ось y. Эти оси координат делят плоскость на четыре квадранта, а точка пересечения этих осей является началом координат (0, 0). Кроме того, любая точка на координатной плоскости обозначается точкой (x, y), где значение x — это положение точки относительно оси x, а значение y — положение точки относительно ссылки. к оси Y.

Свойства точки, представленной в четырех квадрантах координатной плоскости:

Ось x справа от начала координат O является положительной осью x, а слева от начала координат O является отрицательной осью x. Кроме того, ось y выше начала координат O является положительной осью y, а ниже начала координат O является отрицательной осью y.

Точка, представленная в первом квадранте (x, y), имеет оба положительных значения и построена относительно положительной оси x и положительной оси y.

Точка, представленная во втором квадранте (-x, y), отображается относительно отрицательной оси x и положительной оси y.

Точка, представленная в третьем квадранте (-x, -y), нанесена относительно отрицательной оси x и отрицательной оси y.

Точка, представленная в четвертом квадранте (x, -y), нанесена относительно положительной оси x и отрицательной оси y.

Координаты точки

Координата — это адрес, который помогает найти точку в пространстве. Для двумерного пространства координаты точки равны (x, y). Здесь давайте отметим эти два важных термина.

• Абсцисса:  Это значение x в точке (x, y) и расстояние от этой точки по оси x от начала координат
• Ордината:  Это значение y в точке (x, y). И расстояние по перпендикуляру от точки до оси x, которая параллельна оси y.

Координаты точки полезны для выполнения многочисленных операций по нахождению расстояния, середины, наклона линии, уравнения линии.

Темы, затронутые в координатной геометрии

Темы, затронутые в координатной геометрии, помогают в начальном понимании концепций и формул, необходимых для координатной геометрии. Темы, затронутые в координатной геометрии, следующие.

• О координатной плоскости и терминах, связанных с координатной плоскостью.
• Узнайте о координатах точки и о том, как точка записывается в разных квадрантах.
• Формула для нахождения расстояния между двумя точками на координатной плоскости.
• Формула для определения наклона линии, соединяющей две точки.
• Средняя точка Формула для нахождения середины линии, соединяющей две точки.
• Формула сечения для нахождения точек, делящих соединение двух точек в отношении.
• Центроид треугольника с заданными тремя точками на координатной плоскости.
• Площадь треугольника с тремя вершинами в координатной геометрической плоскости
• Уравнение прямой и различные формы уравнений прямой

Формулы координатной геометрии

Формулы координатной геометрии помогают удобно доказывать различные свойства линий и фигур, представленных на координатных осях. Формулами координатной геометрии являются формула расстояния, формула наклона, формула середины, формула сечения и уравнение линии. Дайте нам знать больше о каждой из формул в следующих параграфах. 92}\)

 

Формула наклона

Наклон линии — это наклон линии. Наклон можно рассчитать по углу, образуемому линией с положительной осью x, или взяв любые две точки на линии. Наклон линии, наклоненной под углом θ к положительной оси x, равен m = Tanθ. Наклон линии, соединяющей две точки \((x_1, y_1)\) и \(x_2, y_2) \), равен m = \( \frac {(y_2 — y_1)}{(x_2 — x_1)} \).

м = Tanθ

m = \((y_2 — y_1)\)/\((x_2 — x_1)\)

 

Формула середины точки

Формула для нахождения середины линии, соединяющей точки  \(( x_1, y_1)\) и \(x_2, y_2) \) – это новая точка, абсцисса которой – это среднее значение значений x двух заданных точек, а ордината – среднее значение значений y двух заданных точек. . Середина лежит на линии, соединяющей две точки, и расположена точно между двумя точками.

\((x, y) =\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)

 

Формула сечения в координатной геометрии

Формула сечения полезна для нахождения координат точки, которая делит отрезок, соединяющий точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2) \) в отношении \(m : n\). Точка, разделяющая данные две точки, лежит на линии, соединяющей две точки, и доступна либо между двумя точками, либо за пределами отрезка линии между точками.

\((x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) \)

 

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника — это точка пересечения медиан треугольника. (Медиана — это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны.) Центроид треугольника с вершинами A\((x_1, y_1)\), B\((x_2, y_2)\) и C\((x_3, y_3)\) получается по следующей формуле.

\((x, y) = (\dfrac{x_1+ x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3})\)

 

Площадь треугольника Формула координатной геометрии

Площадь треугольника с вершинами A\((x_1, y_1)\), B\((x_2, y_2)\) и C\((x_3, y_3 )\) получается из следующей формулы. Эта формула для нахождения площади треугольника может быть использована для всех типов треугольников.

Площадь треугольника = \(\dfrac{1}{2}|x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2)|\)

 

Как найти уравнение линии в координатной геометрии?

Это уравнение линии представляет все точки на линии с помощью простого линейного уравнения. Стандартная форма уравнения линии: ax + by + c= 0. Существуют разные способы найти уравнение линии. Другой важной формой уравнения линии является форма наклон-пересечение уравнения линии (y = mx + c). Здесь m — наклон линии, а c — точка пересечения линии с осью y. Кроме того, другие формы уравнений линии, такие как форма точки-наклона, форма с двумя точками, форма пересечения и нормальная форма, представлены в уравнении веб-страницы линии cuemath.

y = mx + c

 

Темы, связанные с геометрией координат

• Декартовы координаты
• Формула расстояния
• Расстояние между двумя точками
• Середина
• Склон
• Формула средней точки
• Уравнение прямой
• Формула трехмерного расстояния
• Расстояние точки от линии
• Форма пересечения наклона линии
• Форма уклона точки
• Формула Евклидова расстояния

Советы и рекомендации по координатной геометрии

1. Наклон оси X равен 0, а наклон оси Y равен \(\infty\).
2. Уравнение оси X равно y = 0 и уравнение оси Y равно x = 0
3. Точка на оси \(x\) имеет форму (a, 0), а точка на оси y имеет форму (0, b)
4. Наклон точки Форма уравнения прямой:  \((y — y_1) = m(x — x_1) \).
5. Двухточечная форма уравнения прямой: \(y — y_1 = \left(\dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\right). (x — x_1) \)
6. Наклон Пересечение Форма уравнения прямой: y = mx + c 
7. Для двух параллельных линий на координатной плоскости их наклоны равны.
8. А для двух перпендикулярных прямых в координатной плоскости произведение наклонов равно -1.

 

1. Пример 1: Рону заданы координаты одного конца диаметра круга (5, 6) и центра круга (-2, 1). Используя формулы координатной геометрии, как мы можем помочь Рону найти другой конец диаметра круга?

   Решение:

   Пусть \(AB\) диаметр окружности с координатами точек \(A\) и \(B\) следующим образом.

   \( A = (x_1, y_1) \), \(B = (x_2, y_2)  = (5, 6)\)

   Координаты центра \(O = (x, y) = (-2, 1)\) 

   Формула координатной геометрии для средней точки линии:

   \[ (x, y) = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

   Применяя это, мы получаем следующие вычисления.

   \[\begin{align}   (-2, 1) &=\left (\frac{x_1 + 5}{2}, \frac{y_1 + 6}{2}\right) \end{align} \]

   Здесь мы разделим координаты и значение \(x\):

   \[\begin{align}   \dfrac{x_1 + 5}{2} &= -2 \\x_1 + 5 &= -2 \times 2\\x_1 + 5 &=-4 \\ x_1 &=-4 -5 \\x_1 &= -9  \end{align} \]

   И значение \(y\) :

   \[\begin{align}   \dfrac{y_1 + 6}{2} &= 1 \\y_1 + 6&= 1 \times 2\\y_1 + 6 &=2 \\ y_1 &=2 — 6 \\y_1 &= -4  \end{align} \]

   Следовательно, точка \(A = (x_1, y_1) = (-9, -4)\)

   Ответ: Следовательно, другой конец диаметра равен (-9, -4).

2. Пример 2: Найдите уравнение прямой, проходящей через (-2, 3) и имеющей наклон -1.

   Решение:

   Точка на линии \((x_1, y_1) = (-2, 3)\), а наклон равен \(m = -1\).

   Используя координатную геометрическую точку и форму наклона уравнения линии, мы имеем:

   \[\begin{align}(y — y_1) &= m(x — x_1) \\ (y — 3) & =(-1)(x -(-2)) \\ y — 3 &= -(x + 2) \\ y — 3 &= -x -2 \\ x + y  &= 3 — 2 \\ x + у  &= 1\конец{выравнивание} \]

   Ответ: Следовательно, уравнение прямой x + y = 1.

3. Пример 3: Найдите уравнение прямой, имеющей наклон -2 и \(y\)-пересечение 1. ) и \(y\)-отрезок равен \( c = 1\) 

   Из координатной геометрии мы можем использовать форму пересечения наклона уравнения прямой.

   \[\begin{align} y &= mx + c \\ y &= (-2)x + 1 \\ y &= -2x + 1  \\ 2x + y &= 1\end{align} \ ]

   Ответ: Следовательно, уравнение прямой 2x + y = 1.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы по координатной геометрии

Что такое координатная геометрия?

Координатная геометрия полезна для определения точек в пространстве. Для этого определяются основные оси оси x и оси y, а затем точки измеряются и отмечаются относительно этих точек. Далее, различные геометрические фигуры, такие как линия, кривая, окружность, эллипс, гипербола, могут быть нанесены на оси координат, и мы можем изучать различные свойства этих геометрических фигур.

Что такое формула расстояния в координатной геометрии? 92} \).

Что такое наклон в координатной геометрии?

Наклон линии можно найти двумя способами в координатной геометрии. Для данного угла наклона θ линии с положительной осью x наклон линии равен m = Tanθ. Для заданных двух точек \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) на линии наклон линии равен m = \(\dfrac{(y_2 — y_1)} {(х_2 — х_1)}\).

Что такое коллинеарные точки в координатной геометрии?

Коллинеарные точки в координатной геометрии относятся к набору точек, лежащих на одной линии. Условие коллинеарности трех точек состоит в том, что наибольшее расстояние между двумя точками равно сумме расстояний между двумя другими наборами точек. Кроме того, коллинеарные точки можно найти с помощью формулы наклона. Наклон линии, соединяющей две точки, должен быть равен наклону линии, соединяющей две другие точки.

Где используется координатная геометрия в математике?

Понятия координатной геометрии имеют широкое применение в математике. Темы математики, такие как векторы, трехмерная геометрия, уравнения, исчисление, комплексные числа, функции, имеют множество приложений координатной геометрии. Все эти темы требуют графического представления данных в двух/трехмерной координатной плоскости.

Что такое формула сечения в координатной геометрии?

Формула сечения полезна для нахождения координат точки, которая делит отрезок, соединяющий точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в соотношении \(m : n\ ). Точка, разделяющая отрезок, находится на линии, соединяющей две точки, и находится либо между двумя точками, либо за пределами двух точек. Формула для нахождения требуемой точки: \((x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) \)

Как найти площадь треугольника в координатной геометрии?

Площадь треугольника, соединяющего три точки  \((x_1, y_1)\),  \((x_2, y_2)\) и  \((x_3, y_3)\) в системе координат \( \frac {1}{2}.|x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2)|\). В формуле используется символ модуля, поскольку площадь всегда является положительным значением.

Как координатная геометрия используется в реальной жизни?

Координатная геометрия имеет множество применений в нашей реальной жизни. Карты, которые мы используем для определения местоположения: карты Google, физические карты, все основаны на системе координат. Кроме того, в крупномасштабных земельных проектах полезно рисовать карты местности в масштабе. Морские инженеры используют системы координат, чтобы найти любую точку в море.

Уравнения прямых

Уравнения, включающие одну или две переменные, можно изобразить на любой координатной плоскости x − y . В целом верны следующие принципы:

• Если точка лежит на графике уравнения, то ее координаты делают уравнение верным утверждением.

• Если координаты точки делают уравнение истинным утверждением, то точка лежит на графике уравнения.

линейное уравнение  это любое уравнение, графиком которого является линия. Все линейные уравнения можно записать в виде Ax + By = C , где A, B и C — действительные числа, а A и B не ноль. Следующие примеры представляют собой линейные уравнения и их соответствующие значения A, B, и C .

Эта форма уравнений линий известна как стандартная форма уравнения линий.

Точка пересечения  x  –  графика – это точка пересечения графика с осью 90 407 x 90 408. Он всегда имеет y – координату нуля. Горизонтальная линия, которая не является осью x , не имеет точки пересечения x .

Точка пересечения y графика – это точка пересечения графика с осью y . Он всегда имеет нулевую координату x . Вертикальная линия, не являющаяся осью y , не имеет y – перехват.

Один из способов построения графика линейного уравнения состоит в том, чтобы найти решения, присвоив значение одной переменной и решив полученное уравнение для другой переменной. Для построения линейного уравнения необходимо минимум две точки.

Пример 1:  Нарисуйте график 2 x  + 3  y  = 12, найдя точку пересечения x и точку пересечения y .

Точка пересечения x имеет нулевую координату y . Замена нуля на y , результирующее уравнение будет 2 x + 3(0) = 12. Теперь найдем x ,

Точка пересечения x равна (6, 0), или значение точки пересечения x равно 6.

Точка пересечения и имеет координату нуля x . Подставив ноль вместо x , получим уравнение 2(0) + 3 y = 12. Теперь найдем y ,

.

 

Пересечение и находится в точке (0, 4) или y – значение перехвата равно 4.

Теперь линию можно изобразить, нанеся эти две точки на график, а затем нарисовав линию, которую они определят (рис. 1).

Рисунок 1 Рисование графика линейного уравнения после нахождения точки пересечения x и точки пересечения y .

Пример 2:  Нарисуйте график x  = 2.

x  = 2 – это вертикальная линия, координата x  – всегда равна 2 (рис.  2).

Рисунок 2 График вертикальной линии.

Пример 3:  Нарисуйте график y  = −1.

y  = −1 — это горизонтальная линия, чья y ‐координата всегда равна −1. См. рис. 2.

Рисунок 3 

Предположим, что A — это конкретная точка с именем ( x ₁ , y ₁ ), а B — это любая точка с именем ( х, у ). Тогда наклон линии через A и B представлен как

 

Применение перекрестных продуктов Свойство , Y — Y ₁ = M ( x — x ( x — x . Это форма точки-наклона невертикальной линии.

Теорема 107: Форма точки-наклона линии, проходящей через ( x   ₁ ,  Y ₁ ) и с наклоном M IS Y — Y ₁ = M ( x — M ( x — x ( x — x ( x — M ( x — M .

Пример 4:  Найдите уравнение прямой, содержащей точки (−3,4) и (7,2), и запишите уравнение в a. а. (а) точечно-наклонная форма и (б) стандартная форма.

а. (a) Для формы точечный уклон сначала найдите уклон м.

 

Теперь выберите любую исходную точку, скажем, (−3, 4).

Итак,

 

б. (b) Начните с формы точка-наклон и очистите ее от дробей, умножив обе части на наименьший общий знаменатель.

 

Умножить обе стороны на 5.

 

Получите x и y с одной стороны и константы с другой стороны, добавив x к обеим сторонам и добавив 20 к обеим сторонам.

 

Невертикальная линия, написанная в стандартной форме,  Ax  +  By  =  C  с B  ≠ 0. Если это уравнение решить для y , оно станет

Пусть b  обозначает y ‐пересечение линии. Точечно-наклонная форма уравнения линии, проходящей через (0, b ) с уклоном м , равна

 

Добавление b к обеим частям уравнения дает

Это известно как форма пересечения наклона 9. 0083  уравнения невертикальной прямой. Обратите внимание, что для получения формы пересечения наклона невертикальная линия, записанная в стандартной форме Ax + By  = C  с B ≠ 0, может быть решена алгебраически для y .

Теорема 108.

Пример 5:  Найти наклон и  y ‐ значение пересечения линии с уравнением 3 x  − 4  y  = 20,

 

Следовательно, наклон линии равен 3/4, а значение точки пересечения y равно −5.

Пример 6: Строка L ₁ имеет уравнение 2 x + 5 y = 10. Линия L ₂ Уравнение 4 x + ₂ = x + ₂ .0407 l   ₃  имеет уравнение 15  x  − 6  y  = 12. Какие прямые параллельны?

Поместите каждое уравнение в форму пересечения наклона и определите наклон каждой линии.

No related posts.