| 1 | Найти объем | сфера (5) | |
| 2 | Найти площадь | окружность (5) | |
| 3 | Найти площадь поверхности | сфера (5) | |
| 4 | Найти площадь | окружность (7) | |
| 5 | Найти площадь | окружность (2) | |
| 6 | Найти площадь | окружность (4) | |
| 7 | Найти площадь | окружность (6) | |
| 8 | сфера (4) | | |
| 9 | Найти площадь | окружность (3) | |
| 10 | Вычислить | (5/4(424333-10220^2))^(1/2) | |
| 11 | Разложить на простые множители | 741 | |
| 12 | Найти объем | сфера (3) | |
| 13 | Вычислить | 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10 | |
| 14 | Найти площадь | окружность (10) | |
| 15 | Найти площадь | окружность (8) | |
| 16 | Найти площадь поверхности | сфера (6) | |
| 17 | Разложить на простые множители | 1162 | |
| 18 | Найти площадь | окружность (1) | |
| 19 | Найти длину окружности | окружность (5) | |
| 20 | Найти объем | сфера (2) | |
| 21 | Найти объем | сфера (6) | |
| 22 | Найти площадь поверхности | сфера (4) | |
| 23 | Найти объем | сфера (7) | |
| 24 | Вычислить | квадратный корень из -121 | |
| 25 | Разложить на простые множители | 513 | |
| 26 | Вычислить | квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9 | |
| 27 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2) | |
| 28 | Найти длину окружности | окружность (6) | |
| 29 | Найти длину окружности | окружность (3) | |
| 30 | Найти площадь поверхности | сфера (2) | |
| 31 | Вычислить | ||
| 32 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5) | |
| 33 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10) | |
| 34 | Найти длину окружности | окружность (4) | |
| 35 | Перевести в процентное соотношение | 1. 2-4*-1+2 | |
| 45 | Разложить на простые множители | 228 | |
| 46 | Вычислить | 0+0 | |
| 47 | Найти площадь | окружность (9) | |
| 48 | Найти длину окружности | окружность (8) | |
| 49 | Найти длину окружности | окружность (7) | |
| 50 | Найти объем | сфера (10) | |
| 51 | Найти площадь поверхности | сфера (10) | |
| 52 | Найти площадь поверхности | сфера (7) | |
| 53 | Определить, простое число или составное | 5 | |
| 54 | 3/9 | ||
| 55 | Найти возможные множители | 8 | |
| 56 | Вычислить | (-2)^3*(-2)^9 | |
| 57 | Вычислить | 35÷0. 2 | |
| 60 | Преобразовать в упрощенную дробь | 2 1/4 | |
| 61 | Найти площадь поверхности | сфера (12) | |
| 62 | Найти объем | сфера (1) | |
| 63 | Найти длину окружности | окружность (2) | |
| 64 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12) | |
| 65 | Сложение | 2+2= | |
| 66 | Найти площадь поверхности | прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3) | |
| 67 | Вычислить | корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7 | |
| 68 | Вычислить | 7/40+17/50 | |
| 69 | Разложить на простые множители | 1617 | |
| 70 | Вычислить | 27-( квадратный корень из 89)/32 | |
| 71 | Вычислить | 9÷4 | |
| 72 | Вычислить | 2+ квадратный корень из 21 | |
| 73 | Вычислить | -2^2-9^2 | |
| 74 | Вычислить | 1-(1-15/16) | |
| 75 | Преобразовать в упрощенную дробь | 8 | |
| 76 | Оценка | 656-521 | |
| 77 | Вычислить | 3 1/2 | |
| 78 | Вычислить | -5^-2 | |
| 79 | Вычислить | 4-(6)/-5 | |
| 80 | Вычислить | 3-3*6+2 | |
| 81 | Найти площадь поверхности | прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5) | |
| 82 | Найти площадь поверхности | сфера (8) | |
| 83 | Найти площадь | окружность (14) | |
| 84 | Преобразовать в десятичную форму | 11/5 | |
| 85 | Вычислить | 3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6 | |
| 86 | Вычислить | (11/-7)^4 | |
| 87 | Вычислить | (4/3)^-2 | |
| 88 | Вычислить | 1/2*3*9 | |
| 89 | Вычислить | 12/4-17/-4 | |
| 90 | Вычислить | 2/11+17/19 | |
| 91 | Вычислить | 3/5+3/10 | |
| 92 | Вычислить | 4/5*3/8 | |
| 93 | Вычислить | 6/(2(2+1)) | |
| 94 | Упростить | квадратный корень из 144 | |
| 95 | Преобразовать в упрощенную дробь | 725% | |
| 96 | Преобразовать в упрощенную дробь | 6 1/4 | |
| 97 | Вычислить | 7/10-2/5 | |
| 98 | Вычислить | 6÷3 | |
| 99 | Вычислить | 5+4 | |
| 100 | Вычислить | квадратный корень из 12- квадратный корень из 192 |
Математический анализ.
(Виленкин) Математический анализ. (Виленкин)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯВВЕДЕНИЕ 2. Числовые множества. 3. Пустое множество. 4. Подмножество. 5. Пересечение множеств. 6. Сложение множеств. 7. Разбиение множеств. 8. Вычитание множеств.  9. Отображение множеств. 10. Краткие исторические сведения. Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Тождественные преобразования многочленов 2. Целые рациональные выражения и функции. 3. Степень с натуральным показателем и ее свойства. 4. Многочлены. 5. Умножение многочленов. 6. Числовые кольца и поля. 7. Кольцо многочленов над данным числовым полем. 8. Бином Ньютона. § 2. Деление многочленов. Корни многочленов 2. Теорема Безу. Схема Горнера. 3. Корни многочлена. 4. Интерполяционные формулы. 5. Кратные корни. 6. Многочлены второй степени. 7. Многочлены с целыми коэффициентами. 8. Краткие исторические сведения. Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА § 1. Общая теория уравнений 2. Область допустимых значений. 3. Уравнения. 4. Совокупности уравнений. 5. Преобразования уравнений. 6. Теоремы о равносильности уравнений. § 2. Уравнения с одним неизвестным 2. Метод разложения на множители.  3. Метод введения нового неизвестного. 4. Биквадратные уравнения. 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней. § 3. Функциональные неравенства 2. Равносильные неравенства. 3. Доказательство неравенств. 4. Линейные неравенства. 5. Решение неравенств второй степени. 6. Решение алгебраических неравенств высших степеней. 7. Краткие исторические сведения. Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 1. Степени с целым показателем 2. Степень с нулевым показателем. 3. Степень с целым отрицательным показателем. § 2. Корни. Степени с рациональными показателями 2. Степени с рациональными показателями. 3. Свойства степеней с рациональными показателями. § 3. Иррациональные алгебраические выражения 2. Одночленные иррациональные выражения. 3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю. 4. Извлечение корня из произведения и степени. 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.  6. Возведение корня в степень. 7. Извлечение корня из корня. 8. Подобные корни. 9. Сложение и вычитание корней. 10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби. 11. Преобразование выражений вида … 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений. § 4. Иррациональные уравнения и неравенства 2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным. 3. Уединение радикала. 4. Введение нового неизвестного. 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений. 6. Иррациональные неравенства. 7. Краткие историчесие сведения. Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 1. Системы алгебраических уравнений 2. Системы уравнений. 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. 4. Совокупность уравнений. 5. Равносильные системы уравнений. 6. Метод подстановки. 7. Метод алгебраического сложения уравнений.  8. Метод введения новых неизвестных. 9. Системы однородных уравнений. 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. § 2. Системы линейных уравнений 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений. 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса. 4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений. 6. Системы однородных линейных уравнений. § 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений 2. Выражение степенных сумм 3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных. 4. Системы симметрических алгебраических уравнений. § 4. Неравенства с многими переменными 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел. 3. Неравенство Коши (двумерный вариант). 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.  § 5. Решение неравенств 2. Неравенства с двумя переменными. 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств. 4. Понятие о линейном программировании. 5. Краткие исторические сведения. Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа в алгебраической форме 2. Комплексные числа. 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа. 4. Умножение комплексных чисел. 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами. 6. Деление комплексных чисел. 7. Сопряженные комплексные числа. 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел 2. Полярная система координат. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа. 4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. 6. Извлечение корня из комплексного числа. 7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.  § 3. Некоторые виды алгебраических уравнений 2. Двучленные уравнения. 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников. 4. Трехчленные уравнения. § 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия 2. Многочлены с действительными коэффициентами. 3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами. 4. Краткие исторические сведения. Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 2. Пример цепной дроби. 3. Определение цепной дроби. 4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби. 5. Подходящие дроби. 6. Свойства подходящих дробей. 8. Подходящие дроби и календарь. 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями. § 2. Бесконечные цепные дроби 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными. 3. Цепные дроби как вычислительный инструмент. 4. Краткие исторические сведения. Глава VII. КОМБИНАТОРИКА § 1. Комбинаторные задачи § 2.  Комбинаторные задачи. Продолжение§ 3. Определения и формулы § 4. Соединения с повторениями § 5. Комбинаторные задачи. Окончание § 6. Бином Ньютона и его обобщения § 7. Краткие исторические сведения Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности § 3. Примеры вычисления вероятностей § 4. Полная вероятность. Формула Байеса § 5. Повторение испытаний § 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание § 7. Краткие исторические сведения |
арифметика — какое число больше? $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ или $\sqrt{6}-\sqrt{5}$
спросил
Изменено 8 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 18 тысяч раз
$\begingroup$
Какое число больше? $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ или $\sqrt{6}-\sqrt{5}$?
Возведение обеих сторон в квадрат даст мне кое-что, но я не мог идти дальше.
- арифметика
4
$\begingroup$
Подсказка. $$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$$
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Рассмотрим форму графика корневой функции. Она монотонно поднимается, но все время становится все более плоской. Следовательно, разница между двумя значениями (с разницей в 1$ по оси x) вблизи оси y больше, чем между двумя значениями (с разницей в 1$ по оси x) дальше от оси y. 9{-3/2} < 0$$
Следовательно, эта функция вогнута вниз, поэтому мы видим, что $\sqrt{7} — \sqrt{6}$ — меньшее из двух чисел.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Если взять за основу идею возведения обеих сторон в квадрат, вы можете сделать одну вещь, которая сделает ее более успешной.
2}{2}}. $$ Установка $x = \sqrt{5}$ и $y = \sqrt{7}$ дает вам $$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{2} \leq \sqrt{6 },$$, что эквивалентно $$ \sqrt{7} — \sqrt{6} \leq \sqrt{6} — \sqrt{5}.$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Решение грубой силы, Только квадраты:
Предположим: $$\sqrt{7}-\sqrt{6} \geq \sqrt{6}-\sqrt{5}$$ после возведения в квадрат $$13 -2 \sqrt{42} \geq 11 — 2 \sqrt{30}$$ после упрощения: $$1 -\sqrt{42} \geq -\sqrt{30}$$ реверс: $$\sqrt{30}\geq\sqrt{42}-1$$ Квадрат 2-й раз: $30 \geq 43 — 2 \sqrt{42}$$ Упрощение: $$2 \sqrt{42} \geq 13$$ Последний квадрат: $$ 168 \geq 169$$ Противоречие, поэтому $$\sqrt{7}-\sqrt{6} < \sqrt{6}-\sqrt{5}$$
$\endgroup$
$\begingroup$
$\sqrt{7} — \sqrt{6} = (\sqrt7 — \sqrt6 )\frac{\sqrt7 + \sqrt 6}{\sqrt7 + \sqrt 6} = \frac1{\sqrt7 + \sqrt 6 } $
Аналогично,
$\sqrt6 — \sqrt 5 = \frac1{\sqrt6 + \sqrt 5}$
Поскольку $\sqrt 7 > \sqrt 5$,
$$\sqrt7 + \sqrt6 > \ sqrt6 + \sqrt5$$
$$\ подразумевает \frac1{\sqrt7 + \sqrt6} < \frac1{ \sqrt6 + \sqrt5}$$
$$\ подразумевает \sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}$$
Таким образом, $ \sqrt6 — \sqrt5$ больше.
$\endgroup$
$\begingroup$
Пусть $A = (\sqrt{7}-\sqrt{6}) — (\sqrt{6}-\sqrt{5} )$
Получается $A = (\sqrt{7} +\sqrt{5})-2\sqrt{6}$
Квадрат первого равен $12+2\sqrt{35}$, квадрат второго равен $12+2\sqrt{36}$
Поскольку $35 \lt 36$, то $A \lt 0$, следовательно, $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ больше.
$\endgroup$
$\begingroup$
$7-6=6-5$
или, что то же самое, $(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)=(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt6+\sqrt5)$
следовательно, $$ \frac{\sqrt7-\sqrt6}{\sqrt6-\sqrt5}=\frac{\sqrt6+\sqrt5}{\sqrt7+\sqrt6}<1 \text{ }\text{ }\text{ } (\text{с } \sqrt7>\sqrt5)$$
$\поэтому \sqrt6-\sqrt5>\sqrt7-\sqrt6$
$\endgroup$
$\begingroup$
$$\frac{f(5)+f(7)}{2} \lt f(\frac{5+7}{2}) $$
для вогнутой функции $f$ и, следовательно, для $f(x)=\sqrt x$.
92$ становится все больше по мере увеличения $n$.
Функция квадратного корня является обратной функцией квадрата, поэтому разница становится все меньше по мере увеличения $n$. Следовательно, разница между $\sqrt{7}$ и $\sqrt{6}$ меньше, чем разница между $\sqrt{6}$ и $\sqrt{5}$.
$\endgroup$
$\begingroup$
$\sqrt 6−\sqrt 5$ больше, чем $\sqrt 7−\sqrt 6$, потому что значение $\sqrt 6$ равно 2,449, $\sqrt 5$ равно 2,236 $\sqrt 7$ равно 2,645 при вычитании $\sqrt 6−\sqrt 5$ получается 0,213, тогда как при вычитании $\sqrt 7−\sqrt 6$ получается 0,196.
Итак, $\sqrt 6−\sqrt 5$ больше.
$\endgroup$
$\begingroup$
$1-$ Я оставлю эту часть как есть; прочитайте комментарии ниже:
$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0$$
$2-$ let
$$f(n) =\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$
$$f^{‘}(n)=\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{n}-\ sqrt{n+1}}{\sqrt{n(n+1)}}\right]$$
Мы видим, что $f^{‘}(n)<0$ для всех $n$.
Это показывает, что $f$ монотонно убывает.
В результате для любой пары $n_1$ и $n_2$ с.т. $n_1>n_2$ получаем $f(n_2)>f(n_1)$
Теперь возьмем $n_1=6$ и $n_2=5$. это приводит к $f(5)>f(6)\Rightarrow \sqrt{6}-\sqrt{5}>\sqrt{7}-\sqrt{6}$
Я надеюсь, что это поможет сейчас.
$\endgroup$
4
Таблица шестого корня и шестой степени
| Find the 6 th root of… | The 6 th root |
|---|---|
| 1 | 1.0000 |
| 2 | 1.1225 |
| 3 | 1.2009 |
| 4 | 1.2599 |
| 5 | 1.3077 |
| 6 | 1.3480 |
| 7 | 1.3831 |
| 8 | 1.4142 |
| 9 | 1. 4422 |
| 10 | 1.4678 |
| 11 | 1.4913 |
| 12 | 1.5131 |
| 13 | 1.5334 |
| 14 | 1.5525 |
| 15 | 1.5704 |
| 16 | 1.5874 |
| 17 | 1.6035 |
| 18 | 1.6189 |
| 19 | 1.6335 |
| 20 | 1.6475 |
| 21 | 1.6610 |
| 22 | 1.6739 |
| 23 | 1.6864 |
| 24 | 1.6984 |
| 25 | 1.7100 |
| 26 | 1.7212 |
| 27 | 1.7321 |
| 28 | 1.7426 |
| 29 | 1.7528 |
| 30 | 1.7627 |
| 31 | 1. 7724 |
| 32 | 1.7818 |
| 33 | 1.7910 |
| 34 | 1.7999 |
| 35 | 1.8086 |
| 36 | 1.8171 |
| 37 | 1.8254 |
| 38 | 1.8336 |
| 39 | 1.8415 |
| 40 | 1.8493 |
| 41 | 1.8569 |
| 42 | 1.8644 |
| 43 | 1.8717 |
| 44 | 1.8789 |
| 45 | 1.8860 |
| 46 | 1.8929 |
| 47 | 1.8997 |
| 48 | 1.9064 |
| 49 | 1.9129 |
| 50 | 1.9194 |
| 51 | 1.9257 |
| 52 | 1.9320 |
| 53 | 1. 9381 |
| 54 | 1.9442 |
| 55 | 1.9501 |
| 56 | 1.9560 |
| 57 | 1.9618 |
| 58 | 1.9675 |
| 59 | 1.9731 |
| 60 | 1.9786 |
| 61 | 1.9841 |
| 62 | 1.9894 |
| 63 | 1.9948 |
| 64 | 2.0000 |
| 65 | 2.0052 |
| 66 | 2.0103 |
| 67 | 2.0153 |
| 68 | 2.0203 |
| 69 | 2.0252 |
| 70 | 2.0301 |
| 71 | 2.0349 |
| 72 | 2.0396 |
| 73 | 2.0443 |
| 74 | 2.0490 |
| 75 | 2. 0536 |
| 76 | 2.0581 |
| 77 | 2.0626 |
| 78 | 2.0670 |
| 79 | 2.0714 |
| 80 | 2.0758 |
| 81 | 2.0801 |
| 82 | 2.0843 |
| 83 | 2.0886 |
| 84 | 2.0927 |
| 85 | 2.0969 |
| 86 | 2.1010 |
| 87 | 2.1050 |
| 88 | 2.1090 |
| 89 | 2.1130 |
| 90 | 2.1169 |
| 91 | 2.1208 |
| 92 | 2.1247 |
| 93 | 2.1285 |
| 94 | 2.1323 |
| 95 | 2.1361 |
| 96 | 2.1398 |
| 97 | 2. 1435 |
| 98 | 2.1472 |
| 99 | 2.1508 |
| 100 | 2.1544 |
| Find the exponent 6 of… | The exponent 6 | |
|---|---|---|
| 1 | 1 | |
| 2 | 64 | |
| 3 | 729 | |
| 4 | 4096 | |
| 5 | 15625 | |
| 6 | 46656 | |
| 7 | 117649 | |
| 8 | 262144 | |
| 9 | 531441 | |
| 10 | 1000000 | |
| 11 | 1771561 | |
| 12 | 2985984 | |
| 13 | 4826809 | |
| 14 | 7529536 | |
| 15 | 113 | |
| 16 | 16777216 | |
| 17 | 24137569 | |
| 18 | 34012224 | |
| 19 | 47045881 | |
| 20 | 64000000 | |
| 21 | 85766121 | |
| 22 | 113379904 | |
| 23 | 148035889 | |
| 24 | 1 | 976|
| 25 | 244140625 | |
| 26 | 308915776 | |
| 27 | 387420489 | |
| 28 | 4818 | |
| 29 | 594823321 | |
| 30 | 7200 | |
| 31 | 887503681 | |
| 32 | 1073741824 | |
| 33 | 1291467969 | |
| 34 | 1544804416 | |
| 35 | 1838265625 | |
| 36 | 2176782336 | |
| 37 | 2565726409 | |
| 38 | 3010936384 | |
| 39 | 3518743761 | |
| 40 | 4096000000 | |
| 41 | 4750104241 | |
| 42 | 548 | |
| 43 | 6321363049 | |
| 44 | 7256313856 | |
| 45 | 8303765625 | |
| 46 | 9474296896 | |
| 47 | 10779215329 | |
| 48 | 122305 | |
| 49 | 13841287201 | |
| 50 | 15625000000 | |
| 51 | 17596287801 | |
| 52 | 19770609664 | |
| 53 | 22164361129 | |
| 54 | 24794 | |
| 55 | 27680640625 | |
| 56 | 30840979456 | |
| 57 | 34296447249 | |
| 58 | 38068692544 | |
| 59 | 42180533641 | |
| 60 | 46656000000 | |
| 61 | 51520374361 | |
. |