Корень из i комплексные числа: Извлечение корня из комплексного числа онлайн

«Почему в школе говорят, что квадратный корень из отрицательного числа

Математика и математики

Популярное

Сообщества

ОбразованиеМатематика

Николай Атаханов

Математика и математики

24 октября 2021  ·

34,8 K

ОтветитьУточнить

Достоверно

Жанна Калишевич

Математика

2,0 K

Преподаю математику. Спорю в интернете.  · 24 окт 2021

В начальной школе изучают натуральные числа. Поэтому говорят, что из меньшего числа нельзя вычесть большее. И действительно, нельзя, в том смысле, что натуральный результат не получить. Но потом в 6 классе вводятся целые числа, на которых операция корректна. Это не означает, что в 4 классе вам врали. Это означает, что в 4 классе у вас был другой объект изучения.

Здесь то же самое. С 8 по 11 класс изучаются действительные числа. Действительного числа, квадрат которого был бы равен -1, не существует. Комплексные числа с таким свойством существуют, но это никак не отменяет истинности предыдущего утверждения.

5 экспертов согласны

15,5 K

Сергей Чабовский

подтверждает

24 октября 2021

В соответствии с историей математики.

Комментировать ответ…Комментировать…

Достоверно

Владимир Крамчаткин

Математика

50

преподаватель математики, автор курса ЕГЭ, методист  · 25 окт 2021

В школе мы чаще всего говорим про множество (а вернее поле) действительных чисел, со свойством упорядоченности. И разумеется в поле действительных чисел извлекать квадратный корень из действительного отрицательного числа не получится.

Но если мы построим алгебраическое расширение (алгебраическое замыкание) поля действительных чисел, то получим поле комплексных чисел, но… Читать далее

2 эксперта согласны

Крехта Виталий

25 октября 2021

Этой проблемы коснулся, изучая физику. В школе нас заставляли штудировать до «от зуба» формулы скорости… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Мария Беляева

Математика

86

Наставник по математике. Помогаю воронежским школьникам разобраться в математике и…  · 10 нояб 2021

В 8 классе вводится понятие арифметического квадратного корня из числа, а это неотрицательное число, квадрат которого равен данному числу . Т.е в самом определении и вводится данное ограничение. А затем в конце 10го класса вводится понятие мнимой единицы. Так что всё логично, если хорошо знать теорию… аналогично, можно ошибочно воспринимать какую-либо фразу, если.

.. Читать далее

Мария Геннадьевна

Перейти на vk.com/ege_matematika_vrn

Комментировать ответ…Комментировать…

Maxim Vyalkov

Математика

1,5 K

Интересующие темы: история математики, история христианства, библеистика.   · 24 окт 2021

Потому что комплексное число — это не корень из отрицательного числа; «мнимая единица» — не «квадратный корень из минус-один». Квадратный корень из отрицательного числа извлечь нельзя, область определения функции f(x)=sqrt(x) — неотрицательные действительные числа. Конец истории. Комплексные числа появляются в связи со вводом нового математического объекта… Читать далее

Комментировать ответ…Комментировать…

Константин Тверев

984

мат-мех СПбГУ  · 9 нояб 2021

Согласен, что корень из отрицательного числа — не совсем корень. И точно не действительное число. Но зачем же сразу обобщать?

Квадратные корни из отрицательных чисел — всегда чисто мнимые.

А про комплексные числа вдруг говорят для солидности:)

Пугаться не надо! Вам ведь в школе не показывали -1 яблоко?

Комментировать ответ…Комментировать…

Георгий Гордеев

2

Автомотовелофоторадиолюбитель  · 25 окт 2021

В школе учат курицы в ВУЗе преподают орлы. Грубая ошибка учиться математике у куриц. В инете полно учебных материалов для самостоятельной работы! Вот только систематизации не хватает. Все к ЕГЭ готовятся.

1 эксперт не согласен

Владимир Крамчаткин

возражает

25 октября 2021

грубый неверный по сути ответ

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

О сообществе

Математика и математики

Сообщество практикующих математиков разного уровня. Оригинальные решения, нетворкинг и общение. Не отвечаем на школьные задачки!

Извлечение корня из комплексного числа. Основная теорема алгебры. | План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему:

Урок — улей по алгебре и началам анализа в 11б классе

Тема: «Извлечение корня из комплексного числа. Основная  теорема алгебры»

Цель: закрепить и проверить знания учащихся по  данной теме.

Оборудование: плакат с высказыванием Гаусса о комплексных числах; индивидуальные дифференцированные карточки для самостоятельной работы; компьютер; мультимедийная установка.

I. Организационный момент.

II. Закрепление пройденного материала.

Учитель: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень       – действия однозначные, извлечение же корня n-ой степени даёт всегда n различных значений.

1. 2 учащихся работают на доске (теория по вопросам:

                 1) извлечение квадратного корня из комплексного числа,

                 2) извлечение корня n-ой степени из комплексного числа).

2. Одновременно за первыми партами 6 учащихся доказывают теорему 1 и теорему 2.

3. Oдновременно 2 учащихся на доске работают по вопросам:

          1) решение двучленных уравнений;

          2) решение трёхчленных уравнений.

4. Выступление учащегося с докладом из истории комплексных чисел (презентация через мультимедийную установку).

Вопросы классу: а) определение квадратного корня из комплексного числа;

                                б) определение корня n-ой степени из комплексного числа.

Ответ 2-х учащихся у доски.

Учитель: к извлечению корней сводится решение так называемых двучленных и трёхчленных уравнений.

Ответ 2-х учащихся у доски.

Вопрос к классу: сколько корней имело каждое из данных уравнений?          Могли бы вы, не решая уравнение, назвать число корней уравнения?  На основании чего вы это сделали?

1 учащийся готовится у доски по формулам Виета.

Задание классу: решить уравнение: (z2+z+1)(z2+z+2)=12 (комментирование с места).

Учитель: при решении уравнения вы применили формулы Виета. Вспомним их.

Ответ учащегося у доски.

III. Самостоятельная работа по индивидуальным разноуровневым карточкам (на «3», на «4», на «5»).

Например, задача №1: на «3». Вычислить .

на «4». Вычислить .

на «5». Вычислить .

задача №2: на «3». Решить уравнение z2 + z + 1 = 0.

на «4». Решить уравнение z3 + 8z2 + 15z + 18 = 0.

на «5». Решить уравнение 16z4 + 4z2 + 1 = 0.

задача №3: на «3». Произведение двух корней уравнения x3 + x – 2 = 0 равно 2. Найти  и решить уравнение.

на «4». Сумма квадратов корней уравнения x3 – 3×2 + x – 2 = 0 равна 1. Найти  и решить уравнение.

на «5». Сумма кубов корней уравнения x3 + x2 + x —  = 0 равна -1. Найти  и решить уравнение.

Фамилия учащихся	№1			№2			№3
	на        «3»	на  «4»	на «5»	на   «3»	на «4»	н а «5»	на «3»	на «4»	на «5»
1.
2.
3.
4.
5.

IV. Домашнее задание: индивидуальные разноуровневые карточки по данной теме.

V. Итог урока.

Нахождение корней комплексного числа — Концепция

Мы можем использовать теорему Де Муавра для вычисления корней комплексных чисел. Во многих случаях эти методы вычисления корней комплексных чисел могут быть полезны, но для более высоких степеней мы должны знать общее четырехэтапное руководство по вычислению корней комплексных чисел . Чтобы использовать теорему Де Муавра для нахождения корней комплексных чисел, мы должны иметь представление о тригонометрической форме комплексных чисел.

комплексные числа тригонометрическая форма сложные корни кубические корни модуль аргумент

Поговорим о том, как найти корни комплексного числа. Мы начнем с примера. Найдите кубические корни из 8i. Я хочу начать с составления уравнения: z в кубе равно 8i. Помните, что кубический корень из 8i — это число, которое при возведении в куб дает вам 8i, поэтому все кубические корни должны удовлетворять этому уравнению, поэтому я ищу решения этого уравнения.
Теперь предположим, что кубические корни z имеют форму r косинус тета плюс i синус тета, то есть предположим, что все они имеют форму триггера. Если да, то я могу просто возвести их в куб, используя теорему Де Муавра, и я также хочу записать 8i в форме триггера, это на самом деле довольно просто, потому что 8i точка удалена на 8 единиц от начала координат, поэтому модуль равен 8, а его аргумент, где мы имеем вариантов много, но самый очевидный выбор — число пи больше 2.

Но давайте помнить, что мы могли бы также добавить к этому 2пи, и это тоже был бы выбор. Мы могли бы добавить еще 2pi, и это будет выбор, еще 2pi и так далее, так что давайте запомним это, но прямо сейчас напишем косинус числа pi на 2 плюс i sine pi на 2. Хорошо, давайте расширим это, давайте упростим это, используя теорему Де Муавра. , мы получаем r в кубе косинуса, помните, что вы умножаете аргумент на 3, косинус 3 тета плюс i синус 3 тета, и это равно 8 косинусу пи на 2 плюс i синус пи на 2. Теперь, чтобы эти две стороны были равны, мне нужно r в кубе чтобы равняться 8, и мне нужно 3 тета, чтобы равняться пи больше 2, теперь помните, что это не просто должно быть пи больше 2, это может быть пи больше 2 плюс 2 пи или пи больше 2 плюс 4 пи, пи больше 2 плюс 2n пи любое четное число, кратное пи, поэтому, прежде всего, это r в кубе равно 8 означает, что r должно быть равно 2, помните, что я ищу реальный числовой ответ, который будет длиной модуля моих корней, все они будут иметь модуль 2. А как насчет аргумента? Я делю обе части на 3 и получаю число пи больше 6 плюс 2n числа пи больше 3. Когда n равно 0, я получаю число пи больше 6, поэтому я могу использовать один аргумент: число пи больше 6. Давайте начнем с него, чтобы один корень be z равно модулю удвоенного косинуса числа пи на 6 плюс i на синус числа пи на 6. Косинус числа пи на 6 равен корню 3 на 2, так что это 2 умножить на корень 3 на 2 oops плюс, а синус числа пи на 6 равен половина, поэтому i умножить на половину, 2 раза корень 3 на 2 — это корень 3, 2 раза половина — это 1, поэтому я получаю i, извините за это, и это один из моих корней, корень 3 плюс i.
Теперь я получаю второй корень, если приравняю n к 1. Если n равно 1, то я добавляю 2pi больше 3 к pi больше 6, 2pi больше 3 равно 4pi больше 6, поэтому 4 числа pi больше 6 плюс число pi больше 6 это 5pi больше 6, это мой новый аргумент, поэтому z равно 2 косинусу 5pi больше 6 плюс i синус 5pi больше 6, и я получаю 2 раза косинус 5pi больше 6 минус корень 3 больше 2, а синус числа 5pi больше 6 равен половине снова, поэтому я получаю минус корень 3 плюс я, это мой второй корень.
Мой третий корень я получаю, когда n равно 2. Когда n равно 2, я получаю 4pi больше 3, и добавление 4pi к 3 равносильно добавлению 8pi к 6, pi к 6 плюс 8pi к 6 равно 9pi больше 6 и 9pi больше 6 такое же, как 3pi больше 2, поэтому z равно 2 косинусу 3pi больше 2 плюс i синус 3pi больше 2, и это простое 3pi больше 2 — это направление вниз. Косинус 3pi на 2 равен 0, а синус 3pi на 2 равен -1, поэтому я получаю 2 раза 0 плюс i раз -1, другими словами -2i, и получается, что я закончил.
Если бы я вычислил, что n равно 3, я бы получил точно такой же корень, как здесь. Если я посчитаю, что n равно 4, я получу это, n равно 5, я получу это, я продолжаю перебирать их снова и снова, оказывается, что это всего лишь 3 различных корня 3 различных кубических корня любого комплексное число. Количество корней равно индексу корней, поэтому в пятой части число пятого корня будет равно 5, а число седьмых корней будет равно 7, поэтому просто имейте это в виду, когда вы решаете их, вы получите только 3 различных кубических корня. числа. И в дополнение к этому, давайте посмотрим на график этих чисел, которые я начертил здесь, обратите внимание, что все 3 из них имеют модуль 2, они находятся на одинаковом расстоянии от 0, и все они симметричны, у них есть 3 полная симметрия вращения угол между последовательными корнями составляет 120 градусов, это всегда происходит с корнями, они всегда имеют эту симметрию и всегда имеют одинаковую длину. Это нужно иметь в виду, когда вы ищете корни комплексного числа.

Комплексные числа: число i

Комплексные числа: число i Хотя в 18 веке основная теорема алгебры еще не была доказана, а комплексные числа не были полностью поняты, квадратный корень из минус единицы использовался все чаще и чаще.

Анализ, особенно исчисление и теория дифференциальных уравнений, делал большие успехи. Некоторые функции, в том числе тригонометрические функции и экспоненциальные функции, появляются в решениях интегралов и дифференциальных уравнений. Эйлер (1707–1783) сделал наблюдение, записанное здесь в современных обозначениях, что

e ^ix = cos x + i sin x

где i обозначает √1. Это уравнение позволяет интерпретировать возведение в степень мнимого числа х как имеющее действительную часть cos x и мнимую часть i sin x . Это наблюдение было особенно полезным при решении дифференциальных уравнений. Из-за этого и других применений i, стало вполне приемлемым для использования в математике. Эйлер, очень влиятельный математик, рекомендовал широкое использование этих мнимых чисел в своем «Введении в алгебру».

К концу 18 века числа вида x  +  yi стали довольно широко использоваться математиками-исследователями, и стало обычным представлять их в виде точек на плоскости. Стандартное соглашение, используемое в настоящее время для их отображения, состоит в том, чтобы помещать действительные числа, то есть числа в форме 9.0021 x  + 0 i, по горизонтальной оси x , с положительными числами справа и отрицательными слева. Кроме того, мнимые числа, то есть те числа вида 0 +  yi, на вертикальной оси y , где положительные значения числа и вверх, а отрицательные вниз. Таким образом, и расположены на одну единицу выше 0 (начало координат, где сходятся оси), а и расположены на одну единицу ниже 0.

Это конкретное отображение чисел вида x  +  yi приписывается различным людям, включая Весселя, Аргана и Гаусса. Это было легко найти, поскольку обычные ( x,y ) координаты самолета использовались более века. Тем не менее, это очень полезный способ понять эти числа.

Основная теорема алгебры доказана!

Тем не менее почти в конце 18 века еще не было известно, какой вид могут принимать все решения полиномиального уравнения. Гаусс опубликовал в 179 г.9 его первое доказательство того, что уравнение n -й степени имеет n корней каждого вида a + bi, для некоторых действительных чисел a и b . Как только он это сделал, стало известно, что комплексные числа (в смысле решений алгебраических уравнений) — это числа a + bi, , и было уместно назвать плоскость xy «комплексной плоскостью».