Корень из отрицательного числа комплексные числа: Мнимые числа

Для описания реальности могут потребоваться воображаемые числа — математики

Бізнес

Технології

Если стандартная квантовая теория верна, мнимые числа имеют решающее значение.

Два новых исследования показали, что для точного описания реальности необходимы воображаемые числа.

Мнимые числа — это то, что вы получаете, когда извлекаете квадратный корень из отрицательного числа, и они давно используются в важнейших уравнениях квантовой механики — области физики, которая описывает мир очень малых предметов. Когда вы складываете мнимые числа и действительные числа, они образуют комплексные числа, которые позволяют физикам записывать квантовые уравнения в простых терминах. Но вопрос о том, нужны ли квантовой теории эти математические химеры или они просто используются в качестве удобных сокращений, уже давно остается спорным.

Фактически, даже сами основатели квантовой механики думали, что последствия наличия комплексных чисел в их уравнениях вызывают беспокойство. В письме своему другу Хендрику Лоренцу физик Эрвин Шредингер — первый человек, который ввел комплексные числа в квантовую теорию со своей квантовой волновой функцией (ψ), — написал: «Что здесь неприятно и против чего прямо следует возражать, так это использование комплексных чисел. Ψ, безусловно, является реальной функцией».

Шредингер действительно нашел способ выразить свое уравнение только действительными числами наряду с дополнительным набором правил использования уравнения, а позже физики сделали то же самое с другими частями квантовой теории. Но из-за отсутствия убедительных экспериментальных доказательств, подтверждающих предсказания этих «всех реальных» уравнений, остался вопрос: являются ли мнимые числа необязательным упрощением или попытки работать без них лишают квантовую теорию ее способности описывать реальность?

Два исследования, опубликованные 15 декабря в журналах Nature и Physical Review Letters, доказали, что Шредингер ошибался. С помощью относительно простого эксперимента они показывают, что, если квантовая механика верна, мнимые числа являются необходимой частью математики нашей Вселенной.

«Ранние основатели квантовой механики не могли найти никакого способа интерпретировать комплексные числа, фигурирующие в теории», — сказал ведущий автор Марк-Оливье Рену, физик-теоретик из Института фотонных наук в Испании. «Их [комплексные числа] работали очень хорошо, но нет четкого способа отождествить комплексные числа с элементом реальности».

Чтобы проверить, действительно ли комплексные числа жизненно необходимы, авторы первого исследования придумали новый вариант классического квантового эксперимента, известного как тест Белла. Тест был впервые предложен физиком Джоном Беллом в 1964 году как способ доказать, что квантовая теория требует квантовой запутанности — странной связи между двумя удаленными друг от друга частицами, которую Альберт Эйнштейн назвал как «жуткое действие на расстоянии».

В своей обновленной версии классического теста Белла физики разработали эксперимент, в котором два независимых источника (которые они назвали S и R) будут помещены между тремя детекторами (A, B и C) в элементарной квантовой сети. Затем источник S испускает две световые частицы или фотоны — одна отправляется в A, а другая в B — в запутанном состоянии. Источник R также испускал бы два запутанных фотона, отправляя их в узлы B и C. Если бы Вселенная описывалась стандартной квантовой механикой, основанной на комплексных числах, фотоны, которые достигли детекторов A и C, не нужно было бы запутывать, но в квантовой теории, основанной на действительных числах, они бы это сделали.

Чтобы проверить эту установку, исследователи второго исследования провели эксперимент, в котором они направили лазерные лучи на кристалл. Энергия, которую лазер передал некоторым атомам кристаллов, позже высвободилась в виде запутанных фотонов. Посмотрев на состояния фотонов, поступающих на их три детектора, исследователи увидели, что состояния фотонов, поступающих на детекторы A и C, не запутаны, а это означает, что их данные могут быть описаны только квантовой теорией, которая использует комплексные числа.

Результат интуитивно понятен; фотоны должны физически взаимодействовать, чтобы запутаться, поэтому те, кто прибывает в детекторы A и C, не должны запутываться, если они производятся другим физическим источником. Однако исследователи подчеркнули, что их эксперимент исключает теории, в которых отсутствуют мнимые числа, только в том случае, если господствующие правила квантовой механики верны. Большинство ученых очень уверены в этом, но, тем не менее, это важный нюанс.

Результат предполагает, что возможные способы математического описания Вселенной на самом деле гораздо более ограничены, чем мы могли подумать, сказал Рену.

«Просто наблюдая, что получается в результате некоторых экспериментов, мы можем исключить множество потенциальных описаний, не делая никаких предположений [о] надежности физических устройств, используемых в эксперименте», — сказал Рену. В будущем это может означать, что физикам может потребоваться всего лишь небольшое количество экспериментов, основанных на первых принципах, чтобы прийти к законченной квантовой теории.

Помимо этого, исследователи также заявили, что их экспериментальная установка, представляющая собой элементарную квантовую сеть, может быть полезна для определения принципов, на которых может работать квантовый Интернет будущего.

StudyPort.Ru — История открытия комплексных чисел

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение”Ф. Клейн.

ревнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли дроби — числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений ,не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а . Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю об их существовании.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.

Список используемой литературы:

“Энциклопедический словарь юного математика”

“Школьный словарь иностранных слов”

“Справочник по элементарной математике” М. Я Выгодский

4.3: Используйте комплексную систему счисления

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

104854

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Вычисление квадратного корня из отрицательного числа
• Сложение и вычитание комплексных чисел
• Умножение комплексных чисел
• Разделить комплексные числа
• Упростить степени \(i\)

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

1. Упрощение \(\sqrt{16}\)
2. Упростить \(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}\)
3. Расширить (1+2x)(2+3x)
9{2}=-1\). Поскольку все действительные числа в квадрате являются положительными числами, не существует действительного числа, равного \(–1\) при возведении в квадрат.

Математики часто расширяли свои системы счисления по мере необходимости. Они прибавляли \(0\) к счетным числам, чтобы получить целые числа. Когда им нужен был отрицательный баланс, они добавляли отрицательные числа, чтобы получить целые числа. Когда им нужно было представление о частях целого, они складывали дроби и получали рациональные числа. Добавление иррациональных чисел позволило использовать такие числа, как \(\sqrt{5}\). Все это вместе дало нам реальные числа, и до сих пор в вашем изучении математики этого было достаточно.

Но теперь мы расширим действительные числа, включив в них квадратные корни из отрицательных чисел. Начнем с определения мнимой единицы \(i\) как числа, квадрат которого равен \(–1\). Следует подчеркнуть, что то, что мы называем эти числа

воображаемыми , не делает их менее полезными. Мнимые числа очень полезны для электротехники, но область их применения выходит за рамки этого класса.

Определение: ВООБРАЖАЕМАЯ ЕДИНИЦА

9{2}=-1 \text { или } i=\sqrt{-1}\)

Мы будем использовать мнимую единицу для упрощения квадратных корней из отрицательных чисел.

Определение: КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА. } i\)

Мы будем использовать это определение в следующем примере. Будьте осторожны, чтобы было ясно, что \(i\) не находится под радикалом. Иногда вы увидите, что это написано как \(\sqrt{-b}=i \sqrt{b}\), чтобы подчеркнуть, что \(i\) не находится под радикалом. Но \(\sqrt{-b}=\sqrt{b} i\) считается стандартной формой.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Запишите каждое выражение в терминах \(i\) и упростите:

1. \(\sqrt{-25}\)
2. \(\sqrt{-7}\)
3. \(\sqrt{-12}\)

Раствор :

а.

\(\sqrt{-25}\)

Используйте определение квадратного корня из отрицательных чисел.

\(\sqrt{25} i\)

Упростить.

\(5i\)

б.

\(\sqrt{-7}\)

Используйте определение квадратного корня из отрицательных чисел.

\(\sqrt{7} i\)

Упростить.

Обратите внимание на то, что \(i\) не стоит под знаком корня.

в.

\(\sqrt{-12}\)

Используйте определение квадратного корня из отрицательных чисел.

\(\sqrt{12} i\)

Упростить \(\sqrt{12}\).

\(2 \sqrt{3} i\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Запишите каждое выражение в терминах \(i\) и упростите, если возможно:

1. \(\sqrt{-81}\)
2. \(\sqrt{-5}\)
3. \(\sqrt{-18}\)

Ответить

1. \(9i\)
2. \(\sqrt{5} я\)
3. \(3 \sqrt{2} i\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Запишите каждое выражение в терминах \(i\) и упростите, если возможно:

1. \(\sqrt{-36}\)
2. \(\sqrt{-3}\)
3. \(\sqrt{-27}\)

Ответить

1. \(6i\)
2. \(\sqrt{3} я\)
3. \(3\sqrt{3} i\)

Теперь, когда мы знакомы с мнимым числом \(i\), мы можем расширить действительные числа, включив в них мнимые числа.

Комплексная система счисления включает действительные числа и мнимые числа. Комплексное число имеет вид \(a+bi\), где \(a, b\) — действительные числа. Мы называем \(а\) действительной частью, а \(Ь\) мнимой частью.

Определение: КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО

Комплексное число имеет форму \(a+bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа.

Рисунок 8.8.1

Комплексное число имеет стандартную форму, когда записывается как \(a+bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа.

Если \(b=0\), то \(a+bi\) становится \(a+0⋅i=a\) и является действительным числом.

Если \(b≠0\), то \(a+bi\) — мнимое число.

Если \(a=0\), то \(a+bi\) становится \(0+bi=bi\) и называется чисто мнимым числом.

Мы суммируем это здесь.

Таблица 8. 8.1

	\(а+би\)
\(б=0\)	\(а+0 \cточка i\) \(а\)	Реальный номер
\(b\neq 0\)	\(а+би\)	Воображаемое число
\(а=0\)R	\(0+би\) \(би\)	Чисто мнимое число4

Стандартной формой комплексного числа является \(a+bi\), поэтому это объясняет, почему предпочтительной формой является \(\sqrt{-b}=\sqrt{b} i\), когда \(b>0\ ).

Диаграмма помогает нам визуализировать комплексную систему счисления. Он состоит как из действительных чисел, так и из мнимых чисел.

Рисунок 8.8.2

Сложение или вычитание комплексных чисел

Теперь мы готовы выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления над комплексными числами — точно так же, как мы это делали с действительными числами.

Сложение и вычитание комплексных чисел очень похоже на сложение или вычитание одинаковых членов. Мы добавляем или вычитаем действительные части, а затем добавляем или вычитаем мнимые части. Наш окончательный результат должен быть в стандартной форме.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Добавить: \(\sqrt{-12}+\sqrt{-27}\).

Решение :

\(\sqrt{-12}+\sqrt{-27}\)

Используйте определение квадратного корня из отрицательных чисел.

\(\sqrt{12} i+\sqrt{27} i\)

Упростить квадратный корень.

\(2 \sqrt{3} i+3 \sqrt{3} i\)

Доп.

\(5 \sqrt{3} i\)

Если выполнить последний шаг было трудно, пусть \(x=\sqrt{3}i\). Затем \(2 \sqrt{3} i+3 \sqrt{3} i=2x+3x=5x=5 \sqrt{3} i\)

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Добавить: \(\sqrt{-8}+\sqrt{-32}\).

Ответить

\(6 \sqrt{2} i\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Добавить: \(\sqrt{-27}+\sqrt{-48}\)

Ответ

\(7 \sqrt{3} i\)

В следующем примере не забудьте добавить как действительные, так и мнимые части.

Пример \(\PageIndex{7}\)

Упрощение:

1. \((4-3 i)+(5+6 i)\)
2. \((2-5я)-(5-2я)\)

Раствор :

а.

\((4-3 i)+(5+6 i)\)

Используйте ассоциативное свойство, чтобы соединить действительные и мнимые части.

\((4+5)+(-3 i+6 i)\)

Упростить.

\(9+3i\)

б.

\((2-5i)-(5-2i)\)

Распределить.

\(2-5 i-5+2 i\)

Используйте Ассоциативное свойство, чтобы соединить действительные и мнимые части.

\(2-5-5i+2i\)

Упрощение.

\(-3-3 i\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Упрощение:

1. \((2+7 i)+(4-2 i)\)
2. \((8-4я)-(2-я)\)

Ответить

1. \(6+5i\)
2. \(6-3i\)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Упрощение:

1. \((3-2 i)+(-5-4 i)\)
2. \((4+3i)-(2-6i)\)

Ответить

1. \(-2-6i\)
2. \(2+9i\)

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел также очень похоже на умножение выражений с коэффициентами и переменными. Нам нужно рассмотреть только один частный случай. Мы рассмотрим это после того, как попрактикуемся в следующих двух примерах.

Пример \(\PageIndex{10}\)

Умножение: \(2 i(7-5 i)\) 9{2}\).

\(14 i-10(-1)\)

Умножить.

\(14 i+10\)

Пишите в стандартной форме.

\(10+14i\)

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Умножение: \(4 i(5-3 i)\).

Ответить

\(12+20i\)

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Умножение: \(-3 i(2+4 i)\).

Ответить

\(12-6i\)

9{2}\) и объединяйте подобные термины.

\(12-i-6(-1)\)

Умножить.

\(12-i+6\)

Объедините действительные части.

\(18-i\)

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Несколько: \((5-3 i)(-1-2 i)\).

Ответить

\(-11-7i\)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

Несколько: \((-4-3 i)(2+i)\).

Ответить

\(-5-10i\) 9{2}\).

Ответить

\(9-40i\)

Поскольку квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом, мы не можем использовать свойство продукта для радикалов. Чтобы умножить квадратные корни из отрицательных чисел, мы должны сначала записать их как комплексные числа, используя \(\sqrt{-b}=\sqrt{b}i\). Это одно из мест, где учащиеся склонны делать ошибки, поэтому будьте осторожны. когда вы видите умножение с отрицательным квадратным корнем.

Впервые мы рассмотрели сопряженные пары, когда изучали многочлены. Мы сказали, что пара двучленов, каждый из которых имеет один и тот же первый член и один и тот же последний член, но один из них является суммой, а другой — разностью, называется сопряженная пара и имеет вид \((a−b),(a+b)\).

Комплексно-сопряженная пара очень похожа. {2}\). Результат называется 9{2}\). Упростите квадраты. Доп. Таблица 8.8.3

Упражнение \(\PageIndex{23}\)

Умножение с использованием образца комплексных сопряжений: \((3-10i)(3+10i)\).

Ответить

\(109\)

Упражнение \(\PageIndex{24}\)

Умножение с использованием шаблона произведения комплексных сопряжений: \((-5+4i)(-5-4i)\).

Ответить

\(41\)

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел очень похоже на рационализацию знаменателя. Мы хотим, чтобы наш результат был в стандартной форме без мнимых чисел в знаменателе.

Пример \(\PageIndex{25}\)

Разделить: \(\frac{4+3 i}{3-4 i}\).

Решение :

Таблица 8.8.4

Шаг 1 : Запишите числитель и знаменатель в стандартной форме.	Они оба в стандартной форме.	\(\frac{4+3i}{3-4i}\)
Шаг 2 : Умножьте числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя.	Комплексное сопряжение \(3-4i\) есть \(3+4i\).	\(\frac{(4+3i)\color{red}{(3+4i)}}{(3-4i)\color{red}{(3+4i)}}\) 9{2}}{9+16}} \\ {\frac{12+25 i-12}{25}} \\ {\frac{25 i}{25}} \\ {i}\end{массив} \)

Упражнение \(\PageIndex{26}\) ​​

Разделить: \(\frac{2+5 i}{5-2 i}\).

Ответить

\(я\)

Упражнение \(\PageIndex{27}\)

Разделить: \(\frac{1+6 i}{6-i}\).

Ответить

\(я\)

Здесь мы суммируем шаги.

КАК ДЕЛИТЬ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. Запишите числитель и знаменатель в стандартной форме.
2. Умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя.
3. Упростите и запишите результат в стандартной форме.

Пример \(\PageIndex{28}\)

Разделить, записав ответы в стандартной форме: \(\frac{-3}{5+2 i}\).

Решение : 9{2}}\)

Упрощение.

\(\frac{-15+6 i}{29}\)

Пишите в стандартной форме.

\(-\frac{15}{29}+\frac{6}{29} i\)

Упражнение \(\PageIndex{29}\)

Разделить, записав ответ в стандартной форме: \( \frac{4}{1-4 i}\).

Ответить

\(\frac{4}{17}+\frac{16}{17} i\)

Упражнение \(\PageIndex{30}\)

Разделить, записав ответ в стандартной форме: \(\frac{-2}{-1+2 i}\).

Ответить

\(\frac{2}{5}+\frac{4}{5} i\)

Будьте осторожны, находя сопряженное число знаменателя.

Пример \(\PageIndex{31}\)

Разделить: \(\frac{5+3 i}{4 i}\).

Решение :

\(\frac{5+3 i}{4 i}\)

Запишите знаменатель в стандартной форме.

\(\frac{5+3 i}{0+4 i}\)

Умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя. 9{2}\).

\(\frac{-20 i+12}{16}\)

Переписать в стандартной форме.

\(\frac{12}{16}-\frac{20}{16} i\)

Упростите дроби.

\(\frac{3}{4}-\frac{5}{4} i\)

Упражнение \(\PageIndex{32}\)

Разделить: \(\frac{3+3 i} {2 я}\).

Ответить

\(\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i\)

Упражнение \(\PageIndex{33}\)

Разделить: \(\frac{2+4 i}{5 i}\).

Ответить

\(\frac{4}{5}-\frac{2}{5} i\)

Ключевые понятия

• Квадратный корень из отрицательного числа
  • Если \(b\) положительное действительное число, то \(\sqrt{-b}=\sqrt{b} i\

Таблица 8. 8.1

	\(а+би\)
\(б=0\)	\(а+0\cточка i\) \(а\)	Реальный номер
\(b\neq 0\)	\(а+би\)	Воображаемое число
\(а=0\)	\(0+би\) \(би\)	Чисто мнимое число

9{2}\)

Как делить комплексные числа

1. Напишите числитель и знаменатель в стандартной форме.
2. Умножить числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя.
3. Упростите и запишите результат в стандартной форме.

Глоссарий

комплексно-сопряженная пара

Комплексно-сопряженная пара имеет вид \(a+bi, a-bi\).

комплексный номер

Комплексное число имеет форму \(a+bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа. Мы называем \(а\) действительной частью, а \(Ь\) мнимой частью.

комплексная система счисления

Комплексная система счисления состоит из действительных и мнимых чисел.

воображаемая единица

Мнимая единица \(i\) — это число, квадрат которого равен \(–1\). {2}=-1\) или \(i=\sqrt{-1}\).

стандартная форма

Комплексное число имеет стандартную форму, когда записывается как \(a+bi\), где \(a, b\) — действительные числа.

---

Эта страница под заголовком 4.3: Использование системы комплексных счислений распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

2. Теги

   1. источник@https://openstax. org/details/books/intermediate-алгебра-2e
   2. источник[1]-math-19663

1.3 Комплексные числа

Среди операций умножения есть операция возведения числа в квадрат. Это операция умножения номер сам по себе. Таким образом, \(5\) умножить на \(5\) равно \(25\). Мы можем запросить обратную операцию возведения в квадрат. Этот — это операция, которая, действуя на \(25\), должна возвращать \(5\). Эта операция имеет название: она называется квадратный корень. Квадратный корень из \(25\) равен \(5\).

Здесь есть два замечательных осложнения. Во-первых, \(-5\) умножить на \(-5\) также \(25\), поэтому \(25\) имеет два квадратных корня, \(5\) и \(-5\). И то же самое верно для любого положительного действительного числа. Любой положительный действительное число имеет два квадратных корня.

Вторая сложность: что такое квадратный корень из отрицательного числа?

Ну, ни одно действительное число не имеет квадрата, равного \(-2\) или \(-1\) или минус что-либо положительное.

Когда мы обнаружили вычитание, которое является чем-то вроде операции, обратной сложению, среди натуральных чисел привели к ненатуральным числам, мы расширили натуральные числа, определив целое число , включив в него как натуральные числа, так и их отрицательные числа, а также ноль.

Когда мы рассмотрели деление, которое является операцией, обратной умножению, мы снова расширили наши числа до включить дроби.

Что ж, чтобы приспособить операцию, обратную возведению числа в квадрат, мы также можем расширить наши числа, включив в них новые объекты, среди которых мы можем найти квадратные корни отрицательных чисел.

Оказывается, для этого нужно ввести только одно новое число, обычно обозначаемое как i , которое определяется как квадрат, заданный \(-1\). Другими словами, мы определяем новое число i так, чтобы оно подчинялось уравнению \(i * i = -1.\) Мы можем получить числа, квадраты которых представляют собой любое другое отрицательное число, скажем, \(-5\), умножив \(i\) подходящим действительным числом, здесь квадратным корнем из \(5\). Число \(i\) определенно не настоящее число, поэтому мы называем его воображаемым числом; эта номенклатура на самом деле глупая. Мнимые числа существуют в нашем воображении точно так же, как и действительные числа. Конечно, они не натуральные числа или целые числа или даже дроби, или вообще действительные числа.

Оказывается, если мы посмотрим на числа вида \(a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительные числа, мы получим как называются комплексные числа, и мы можем определить сложение, вычитание умножение, деление для них так же, как мы можем для рациональных или действительных чисел.

No related posts.