Сколько кубических корней из 1 существует? | by Вир Вишал Дубей | Math Simplified
Кубический корень Unity? Это просто, верно? Это один! Вы были бы правы, но правы только на 1/3! Настало время глубже погрузиться в мир математики, исследовать числа за пределами нашего понимания и понять, что означает кубический корень из единицы и некоторые связанные с ним свойства. Но перед этим давайте рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с комплексными числами и полиномами.
(если вы знакомы с основами алгебры и комплексными числами, вы можете сразу перейти к разделу, где я рассказываю о теореме Де Муавера)
Мы знаем, что любой многочлен с наибольшей степенью n имеет n корней, они могут быть равны или отдельные, или даже сложные по своей природе. Другими словами, полинома степени n будут иметь n корней, действительных или комплексных, равных или различных.
Но что это за сложные корни, о которых я говорю? Комплексные корни — это комплексные числа или числа в форме z=(a+ib), где i — мнимая единица.
Одна из замечательных особенностей комплексных корней заключается в том, что они идут парами. Сопряженные пары, чтобы быть более точным. Это означает, что если мой многочлен имеет корень (x+iy), он также должен иметь (x-iy) в качестве корня. Они идут парами, в которых меняется знак величины множителя с йотой.
Когда мы смотрим на набор координат, все, что мы представляем, это набор точек, определяемых их расстояниями от осей x и y. Но у нас также есть удивительная система, использующая параметрические координаты окружности, чтобы узнать, что такое координаты точки с помощью углов. Мы называем эту систему «Полярная система координат». Основная идея заключается в том, что если у вас есть круг с центром в начале координат или (0,0) с радиусом ‘a’, любая координата может быть описана в виде (a cosθ, a sinθ) , просто из-за достоинства радиальной линии , соединяющей его и начало координат, и угла, который он образует с осью x.
Это легко доказать с помощью простой тригонометрии. На самом деле, если вы укажете θ в качестве параметра, это даст вам геометрическое место окружности.
Точно так же вы можете найти точку, используя круг. Например, если мне нужно найти точку (0,5,0,855), я подставляю угол, соответствующий 0,5 по косинусу и 0,855 по греху (что равно пи/3 радиан или 60⁰), и получаю точку.
точка на единичной окружности может быть указана с использованием разных углов для разных значений cos и sin.Точно так же вы можете построить график комплексных чисел, используя ось Y в качестве мнимой части и ось X в качестве действительной части. Точка (x,y) на этой плоскости (называемой плоскостью Гаусса) представляет (x+iy).
Чтобы теорема Муавра работала, вам нужно знать представление (a+bi) в полярной системе координат. Для этого делаем простые шаги.
Сначала возведите в квадрат действительную часть и действительный коэффициент i, сложите их и извлеките квадратный корень.
Затем умножьте и разделите на этот коэффициент.
(a+bi)= √(a²+b²)(a+bi)/√(a²+b²)
Теперь разделите внутри скобки
(a+bi)= √(a²+b²) (а/√(а²+b²)+би/√(а²+b²))
Теперь найдите угол, значения которого в cos и sin дают a/√(a²+b²)&b/√(a²+b²) соответственно. Назовем этот угол θ.
(a+bi)= √(a²+b²)(cosθ+isinθ)
или
900 02 , где cisθ представляет ( cosθ+isinθ). Вот мы и закончили преобразование в полярную форму. Теперь вернемся к теореме Муавра.(a+bi)= √(a²+b²)(cisθ)
Важно отметить, что θ Должен быть углом в радианах,
9(p/q) = cos((2k π+ pθ/q)) + i sin((2k π+ pθ/q)) Расширение второго правилаЗдесь количество решений = q
, и мы даем значения k, начиная с 0 и до q-1, то есть множество значений k может принимать:
k ∈ {0,1,2,3,4,……,q -1}
Теперь, когда мы поняли правила Де Муавра, давайте приступим к делу.
Пусть есть комплексное число z( в виде a+ib, помните, что действительные числа также являются комплексными числами, потому что если b=0, то нет мнимой части ), который имеет форму (cosθ+isinθ) в полярной форме, так что z-1³=0
Теперь мы проделаем нехитрые алгебраические вычисления, чтобы получить:
Взяв кубический корень с обеих сторон:
Теперь мы преобразуем z к полярной форме.
Теперь нам нужно найти такое θ, что cos θ=1, а sin θ=0. Какой это может быть угол? Правильно, это 0⁰!.
Теперь применим расширение, которое мы использовали во втором правиле де Муавра:
Поскольку p0=0, мы получаем:
Теперь давайте начнем думать о множестве решений k:
k ∈ {0,1,2} (так как q=3)
положив k=0, получим:1!
Положив k=1, получим: -1/2 +√3i/2!
Назовем этот корень из единицы как ω и ω=-1/2 +√3i/2
Положив k=2, получим: -1/2 -√3i/2!
Мы называем этот корень из единицы ω², поскольку если мы делаем ω* ω, мы получаем -1/2 -√3i/2.