Корень в корне как решать: Извлечение корня из корня — урок. Алгебра, 11 класс.

alexxlab / / Разное
2 = x, √x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания.

Содержание

Инструкция

  • Во-первых, при сложении квадратных корней попробуйте извлечь эти корни. Это будет возможно, если числа под знаком корня являются полными квадратами. Например, пусть задано выражение √4 + √9. Первое число 4 – это квадрат числа 2. Второе число 9 – это квадрат числа 3. Таким образом получается, что: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
  • Если под знаком корня нет полных квадратов, то попробуйте вынести из под знака корня множитель числа. Например, пусть дано выражение √24 + √54. Разложите числа на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. В числе 24 имеется множитель 4, который можно вынести из под знака квадратного корня. В числе 54 — множитель 9. Таким образом, получается что: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. В данном примере в результате выноса множителя из под знака корня получилось упростить заданное выражение.
  • Пусть сумма двух квадратных корней является знаменателем дроби, например, A / (√a + √b). И пусть перед вами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе». Тогда можно воспользоваться следующим способом. Умножьте числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b. Таким образом в знаменателе получится формула сокращенного умножения: (√a + √b) * (√a — √b) = a – b. По аналогии, если в знаменателе дана разность корней: √a — √b, то числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на выражение √a + √b. Для примера, пусть дана дробь 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3).
  • Рассмотрите более сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе. Пусть дана дробь 12 / (√2 + √3 + √5). Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение √2 + √3 — √5:
    12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 — √5)) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 — √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
  • И наконец, если вам необходимо только приблизительное значение, то можно посчитать значения квадратных корней на калькуляторе. Вычислите значения отдельно для каждого числа и запишите с необходимой точностью (например, два знака после запятой). А затем совершите требуемые арифметические операции, как с обычными числами. Например, пусть необходимо узнать приблизительное значение выражения √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Свойства квадратных корней

До сих пор мы осуществляли над числами пять арифметических операций: сложение, вычитание, умножение , деление и возведение в степень, причем при вычислениях активно использовали различные свойства этих операций, например а + b = b + а, аn-bn = (аb)n и т. д.

В этой главе введена новая операция — извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Чтобы успешно ее использовать, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.

Доказательство. Введем следующие обозначения:https://pandia. ru/text/78/290/images/image005_28.jpg» alt=»Равенство»Задание»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

    Корень из числа проще всего вычесть с помощью калькулятора. Но, если у вас нет калькулятора, тогда надо знать алгоритм вычисления квадратного корня. Дело в том, что под корнем сидит число в квадрате. Например, 4 в квадрате — это 16. То есть корень квадратный из 16 будет равен четырем. Так же 5 в квадрате — это 25. Поэтому корень из 25 будет 5. И так далее.

    Если число небольшое, то его можно легко вычесть устно, к примеру, корень из 25 будет равен 5, а корень из 144-12. Также на калькуляторе можно посчитать, есть специальный значок корня, нужно вбить число и нажать на значок.

    Поможет также таблица квадратных корней:

    Есть еще способы, которые более сложные, однако очень эффективные:

    Корень из какого либо числа можно вычесть с помощью калькулятора, тем более они есть в каждом телефоне на сегодняшний день.

    Можно попробовать примерно прикинуть как может получится данное число, умножив одно число само на себя.

    Вычислить корень квадратный из числа не сложно, особенно, если есть специальная таблица. Всем хорошо известная таблица еще с уроков алгебры. Такая операция называется извлечение квадратного корня из числа quot;aquot;, другими словами решение уравнения. Почти все калькуляторы, в смартфонах имеют функцию определения квадратного корня.

    Результатом извлечения квадратного корня из известного числа будет другое число, которое, при возведении во вторую степень (квадрат), даст то самое число, которое нам известно. Рассмотрим одно из описаний расчтов, которое представляется кратким и понятным:

    Вот видео по теме:

    Вычеслить корень квадратный из числа можно несколькими способами.

    Самым популярным способом — является использование специальной таблицы кореня (смотрите ниже).

    Также на каждом калькуляторе есть функция при помощи которой можно узнать корень.

    Или при помощи специальной формулы.

    Извлечь квадратный корень из числа можно несколькими способами. Один из них — самый быстрый, с помощью калькулятора.

    Но если нет калькулятора, то можно это сделать вручную.

    Результат получится точным.

    Принцип практически такой же как деление столбиком:

    Попробуем без калькулятора найти значение квадратного корняот числа, к примеру, 190969.

    Таким образом, вс предельно просто. В вычислениях главное придерживаться определнных простых правил и логически размышлять.

    Для этого нужна таблица квадратов

    Вот например, корень из 100 = 10, из 20 = 400 из 43 = 1849

    Сейчас практически все калькуляторы, в том числе и на смартфонах умеют высчитывать квадратный корень из числа. НО если калькулятора у вас нет, то можно найти корень из числа несколькими простыми способами:

    Разложение на простые множители

    Разложите подкоренное число на множители, являющиеся квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Квадратные множители это множители, являющиеся квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

    Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16, которое также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.

    Запишите это как: 400 = (25 х 16).

    Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть (а х b) = a x b . Воспользовавшись этим правилом, извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

    В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.

    Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а это происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

    Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:

    Теперь вы можете оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

    Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (1 = 1) и 4 (4 = 2). Таким образом, значение 3 расположено между 1 и 2. Та как значение 3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: 3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.

    Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим 35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (25 = 5) и 36 (36 = 6). Таким образом, значение 35 расположено между 5 и 6. Та как значение 35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что 35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

    Еще один способ разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

    Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, 45 = (3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: 45 = 35. Теперь можно оценить 5.

    Рассмотрим другой пример: 88.

    = (2 х 4 х 11)

    = (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.

    2(2 х 11) = 22 х 11. Теперь можно оценить 2 и 11 и найти приблизительный ответ.

    Может быть полезным будет еще это обучающее видео:

    Чтобы извлечь корень из числа следует воспользоваться калькулятором, либо если нет подходящего, советую зайти вот на этот сайт и решить задачу с помощью онлайн калькулятора, который за секунды выдаст правильное значение.

Содержимое:

В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней.

Шаги

Часть 1 Определение корней

  1. 1 Обозначение корней. Выражение под знаком корня (√) означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени.
    • Корень обозначают знаком √.
    • Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: 3 √(27)
    • Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).
    • Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5√(2)
    • Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).
    • Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.
  2. 2 Запомните, какие корни можно складывать, а какие нельзя. Также, как нельзя складывать разные члены выражения, например, 2а + 2b ≠ 4ab, вы не можете складывать разные корни.
    • Нельзя складывать корни с разными подкоренными выражениями, например, √(2) + √(3) ≠ √(5). Но вы можете сложить числа, стоящие под одним корнем, например, √(2 + 3) = √(5) (квадратный корень из 2 примерно равен 1,414, квадратный корень из 3 примерно равен 1,732, а квадратный корень из 5 примерно равен 2,236).
    • Нельзя складывать корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями, например, √(64) + 3 √(64) (эта сумма не равна 5 √(64), так как квадратный корень из 64 равен 8, кубический корень из 64 равен 4, 8 + 4 = 12, что гораздо больше, чем корень пятой степени из 64, который примерно равен 2,297).

Часть 2 Упрощение и сложение корней

  1. 1 Определите и сгруппируйте подобные корни. Подобные корни – корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Например, рассмотрим выражение:
    2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
    • Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно.
      2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно.
      2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
  2. 2 Упростите корни. Для этого разложите (где возможно) подкоренные выражения на два множителя, один из которых вынесите из-под корня. В этом случае вынесенное число и множитель корня перемножаются.
    • В приведенном выше примере разложите число 50 на 2*25, а число 32 – на 2*16. Из 25 и 16 можно извлечь квадратные корни (соответственно 5 и 4) и вынести 5 и 4 из-под корня, соответственно умножив их на множители 2 и 1. Таким образом, вы получите упрощенное выражение: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Число 81 можно разложить на множители 3*27, а из числа 27 можно извлечь кубический корень, равный 3. Это число 3 можно вынести из-под корня. Таким образом, вы получите еще более упрощенное выражение: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
  3. 3 Сложите множители подобных корней. В нашем примере есть подобные квадратные корни из 2 (их можно сложить) и подобные квадратные корни из 3 (их тоже можно сложить). У кубического корня из 3 подобных корней нет.
    • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
    • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
    • Окончательное упрощенное выражение: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)
  • Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.

Корень в python — 6 способов извлечь квадратный корень из числа

Квадратный корень из числа — это значение, которое при умножении само на себя дает исходное число. Каждое положительное число имеет два квадратных корня (то же значение с положительным и отрицательным знаками). Ниже приводится запись квадратного корня:
√25 = ±5

Для отрицательного числа результат извлечения квадратного корня включает комплексные числа, обсуждение которых выходит за рамки данной статьи.

Математическое представление квадрата числа

Все мы в детстве узнали, что, когда число умножается само на себя, мы получаем его квадрат. Также квадрат числа можно представить как многократное умножение этого числа. Попробуем разобраться в этом на примере.

Предположим, мы хотим получить квадрат 5. Если мы умножим число (в данном случае 5) на 5, мы получим квадрат этого числа. Для обозначения квадрата числа используется следующая запись:
52 = 25

При программировании на Python довольно часто возникает необходимость использовать функцию извлечения квадратного корня. Есть несколько способов найти квадратный корень числа в Python.

1. Используя оператор возведения в степень

Копировать Скопировано Use a different Browser

num = 25
sqrt = num ** (0. 5)
print("Квадратный корень из числа "+str(num)+" это "+str(sqrt))

Вывод:

Квадратный корень из числа 25 это 5.0

Объяснение: Мы можем использовать оператор «**» в Python, чтобы получить квадратный корень. Любое число, возведенное в степень 0.5, дает нам квадратный корень из этого числа.

2. Использование math.sqrt()

Квадратный корень из числа можно получить с помощью функции sqrt() из модуля math, как показано ниже. Далее мы увидим три сценария, в которых передадим положительный, нулевой и отрицательный числовые аргументы в sqrt().

a. Использование положительного числа в качестве аргумента.

Копировать Скопировано Use a different Browser

import math
num = 25
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.0.

b. Использование ноля в качестве аргумента.

Копировать Скопировано Use a different Browser

import math
num = 0
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 0 это 0.0.

c. Использование отрицательного числа в качестве аргумента.

Копировать Скопировано Use a different Browser

import math
num = -25
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод:

Traceback (most recent call last):
  File "C:\wb.py", line 3, in <module>
    sqrt = math.sqrt(num)
ValueError: math domain error

Объяснение: Когда мы передаем отрицательное число в качестве аргумента, мы получаем следующую ошибку «math domain error». Из чего следует, что аргумент должен быть больше 0. Итак, чтобы решить эту проблему, мы должны использовать функцию sqrt() из модуля cmath.

3. Использование cmath.sqrt()

Ниже приведены примеры применения cmath.sqrt().

а. Использование отрицательного числа в качестве аргумента.

Копировать Скопировано Use a different Browser

import cmath
num = -25
sqrt = cmath.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа -25 это 5j.

Объяснение: Для отрицательных чисел мы должны использовать функцию sqrt() модуля cmath, которая занимается математическими вычислениями над комплексными числами.

b. Использование комплексного числа в качестве аргумента.

Копировать Скопировано Use a different Browser

import cmath
num = 4 + 9j
sqrt = cmath.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа (4+9j) это (2.6314309606938298+1. 7100961671491028j).

Объяснение: Для нахождения квадратного корня из комплексного числа мы также можем использовать функцию cmath.sqrt().

4. Использование np.sqrt()

Копировать Скопировано Use a different Browser

import numpy as np
num = -25
sqrt = np.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод:

...
RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt
Квадратный корень из числа -25 это nan

5. Использование scipy.sqrt()

Копировать Скопировано Use a different Browser


import scipy as sc
num = 25
sqrt = sc.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.0.

Объяснение: Как и функция sqrt() модуля numpy, в scipy квадратный корень из положительных, нулевых и комплексных чисел может быть успешно вычислен, но для отрицательных возвращается nan с RunTimeWarning.

6. Использование sympy.sqrt()

Копировать Скопировано Use a different Browser

import sympy as smp
num = 25
sqrt = smp.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа "+str(num)+" это "+str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.

Объяснение: sympy — это модуль Python для символьных вычислений. С помощью функции sympy.sqrt() мы можем получить квадратный корень из положительных, нулевых, отрицательных и комплексных чисел. Единственная разница между этим и другими методами заключается в том, что, если при использовании sympy.sqrt() аргумент является целым числом, то результат также является целым числом, в отличие от других способов, в которых возвращаемое значение всегда число с плавающей точкой, независимо от типа данных аргумента.

Заключение

Наконец, мы подошли к завершению этой статьи. В начале мы кратко затронули использование квадратного корня в математике. Затем мы обсудили принципы внутреннего устройства функции извлечения квадратного корня и ее возможную реализацию. В завершении мы рассмотрели различные методы применения этой функции в Python.

Извлечение корня из большого числа

Научись решать задачи ЕГЭ за пару минут!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2012-11-23

   Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.

Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:

Вычисляем:

Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23.  Попробуй-ка сходу найди эти делители.

Суть рассматриваемого нами метода —  это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 190969.

Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как    

4002=160000   и   5002=250000

Действительно:

Далее смотрим, где «стоит» это число: 

посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?

Число 190969 находится примерно посредине, но все же  ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:

Действительно, он меньше 450, так как  190 969 < 202 500.

Теперь проверим число 440:

Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.

Проверяем число 430:

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.

Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:

Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.

Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.

Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.

Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.

Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.

Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.

Проверяем:

Значит результат корня будет равен 437.

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

Извлеките самостоятельно корень  из  148996

Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Результат корня находится между числами 300  и  400:

3002=90000       4002=160000

Действительно, 90000<148996<160000.

Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.

Вычислим разности 148996 — 90000=58996  и 160000 — 148996=11004.

Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.

Далее  пробуем возводить в квадрат, например число 370. Как бы «щупаем» результат:

Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.

Проверяем числа 374, 376, 384, 386, 394 …

Ответ: 386

Объективно говоря, вероятность того, что  вам попадёт подобная задача, очень мала. Но пусть этот приём  в вашем арсенале будет. Впереди вас ждёт много полезного, не пропустите!

Есть ещё метод по извлечению корня из большого числа, называют его алгоритмом Евклида. Его достоинство состоит в том, что можно извлекать корень из любого числа с необходимой точностью до десятых, сотых и тд. » – значение​ числовое значение. Число​ функция вычисляет квадратный​ функции для извлечения​ Но данная степень​Также функцию можно вызвать​Кроме того, можно применить​ рассмотрим различные варианты​ корень квадратный в​ необходимо в графе​ так и ссылка​ корнем второй степени.​ широкий набор математических​Eg​

Функция корня

​Если число отрицательно,​ можно также задать​ пишется в скобках.​ степени.​ – показатель степени,​ корень. Если аргумент​ кубического корня, данное​ и является корнем​ через вкладку​ данную формулу через​ осуществления подобных расчетов​ Excel, стоит рассмотреть​ «Степень» указать число​ на ячейку, а​При решении задачи, связанной​ функций, позволяющих решать​: меню — вставка​ то функция КОРЕНЬ​ через панель инструментов​

​Выполнили ту же задачу,​Вместо любого значения данной​ в которую нужно​ имеет отрицательное значение,​ вычисление можно провести,​ кубическим, поэтому именно​«Формулы»​ мастер функций.​ в этой программе.​ пару примеров для​ 1/2 или 0,5. ​ также некоторое математическое​ с нахождением квадратного​ непростые задачи. Ряд​ — функции -​ возвращает значение ошибки​ («Главная» – «Число»).​ но с использованием​ математической формулы можно​ возвести заданное значение.​

Использование математических свойств

​ Excel вернет ошибку​ используя возведение в​ такое действие в​.​Кликаем по ячейке на​Скачать последнюю версию​ двух описанных выше​ Возвести любое число​ выражение, результатом которого​ корня в «Экселе»,​ простейших действий -​ категория: математические -​ #ЧИСЛО!.​ После установки текстового​ функции СТЕПЕНЬ.​ использовать ссылки на​Рассмотрим примеры.​ #ЧИСЛО!.​ дробную степень, а​ Эксель используется для​Выделяем ячейку для отображения​

​ листе, куда будет​ Excel​ способов.​ в определённую степень​ является число.​ получить желаемый результат​ сложение, умножение и​ КОРЕНЬ​Пример​ формата цифра в​Извлекли корень девятой степени​ ячейки с цифрами.​В ячейке C2 –​В качестве аргумента можно​ именно — 1/3. ​ его получения. В​ результата расчета. Переходим​ выводиться результат вычислений.​Существуют два основных способа​В первом случае воспользуемся​ можно и без​Корень квадратный в Excel​ можно несколькими способами.​ другие — выполнить​Alex gordon​Чтобы этот пример​ ячейке становится слева.​ из значения ячейки​Это удобно, если нужно​ результат возведения числа​ указывать конкретное значение​

​ Для извлечения квадратного​ эту формулу вместо​ во вкладку «Формулы».​ Переходим по кнопке​ расчета данного показателя.​ функцией «КОРЕНЬ», вызвав​ использования каких-либо функций​ можно вычислить и​ Функционал программы позволяет​ очень легко, воспользовавшись​: В видео все​

Примеры

​ проще было понять,​Рядом с цифрой вводим​ h2.​ возвести множество значений.​ 10 в квадрат.​ либо ссылку на​ корня можно воспользоваться​

​ конкретного числа также​В блоке инструментов «Библиотека​«Вставить функцию»​ Один из них​ её с помощью​ — в «Экселе»​ рядом других методов,​ как воспользоваться встроенными​ специальными символами. Однако​ подробно описано​

​ скопируйте его на​ в ячейку значение​Извлекли корень пятой степени​Скопировав формулу на весь​В качестве основания указана​ ячейку с числовым​ специальной функцией, но​ можно вписать координаты​

​ функций» на ленте​, размещенную около строки​

​ подходит исключительно для​

fb.ru>

Извлечение корня в программе Microsoft Excel

​ кнопки «Вставить функцию».​ предусмотрен специальный символ,​ которые не требуют​ алгоритмами решений, так​ есть и те,​https://www.youtube.com/watch?v=_DIjLQ4TC8Y​ пустой лист.​ со знаком «минус».​ из суммы числа​ столбец, быстро получили​ ссылка на ячейку​ значением.​

​ существует также возможность​ ячейки с числовыми​

Способы извлечения

​ кликаем по кнопке​ функций.​ вычисления квадратного корня,​ В открывшемся окне​ отвечающий за эту​ глубоких познаний в​ и написать его​ которые требуют особого​

Способ 1: применение функции

​а2+b2+c2 и все это​Алексей​Выделяем только значение степени​ 9 и значения​ результаты возведения чисел​ с положительным значением​

​Рассмотрим примеры. ". В​ математических науках. Для​ самостоятельно, пользуясь специальными​ описания - так,​

​ под квадратным корнем?​: Например корень из​ («-3»). Вызываем меню​​ ячейки h2.​​ в столбце A​

​ 10.​Функция вернула квадратный корень​ возведения числа в​

  1. ​ в любой области​. В появившемся списке​ пункт​ использовать для расчета​​ для вычисления, например​​ этом случае, чтобы​ этого достаточно знать,​

  2. ​ теоремами и свойствами​ далеко не все​​Как это записать​​ 9 будет =КОРЕНЬ​​ «Формат ячеек». Устанавливаем​​Те же математические операции​

  3. ​ в третью степень.​Аргументы функции – ссылки​ числа 36. Аргумент​ степень. На этот​ листа или в​ выбираем значение​«КОРЕНЬ»​ величины любой степени.​ разность значений двух​ получить корень квадратный,​ что такое корень,​ корня. Самым простым​ знают, как вычислить​ подскажите пожалуйста​​ (9)​​ видоизменение «Надстрочный». И​

​ можно выполнить с​КОРЕНЬ – это функция​ на ячейки с​

​ – определенное значение. ​ раз нужно будет​​ строке формул.​​«КОРЕНЬ»​

  1. ​. Кликаем по кнопку​Для того, чтобы извлечь​ ячеек, и нажать​

  2. ​ достаточно заключить выражение​ - эта тема​ способом нахождения ответа​​ корень квадратный в​​Сали-мали​Alex gordon​​ нажимаем ОК.​​ помощью функции СТЕПЕНЬ:​

  3. ​ квадратного корня в​ дробными значениями. Результат​Аргумент функции – ссылка​ возвести в степень​Не стоит думать, что​​.​​«OK»​

Способ 2: возведение в степень

​ квадратный корень используется​ "Ок".​ в скобки, после​ была затронута в​ является функция квадратного​ Excel.​: Вставка функций ->​: Посмотри, должно помочь​

​Получили корректное отображение числа​

​Таким образом, возвести в​ Excel. А как​ – число 86,5,​ на ячейку с​ 1/2. Пользователь сам​ данный способ можно​Открывается окно аргументов. Все​.​ функция, которая так​Во втором случае, используя​ которых добавить "^(1/2)"​ первом разделе статьи. (0,5)". Результат​ Воспользовавшись определением квадратного​

​ её можно вызвать,​

​ как найти корень​ Выберите функцию ->​

​У меня он на​ степени.​ корень n-й степени​ 4-й и иной​

​ 1,3.​Функция вернула ошибку, т.к.​ способ вычислений для​ извлечения кубического корня​ точности такие же,​ единственном поле данного​ Её синтаксис выглядит​ с явным заданием​ этого действия будет​ корня, его можно​ открыв меню функций​ квадратный в Excel,​ Корень​ английском, не могу​Ejkov​ в Excel можно​ степеней?​Функция вернула число 100,​ аргумент – ссылка​ него удобнее.​ из числа. Таким​ как и при​

​ окна нужно ввести​

lumpics.ru>

Возведение в степень и извлечение корня в Excel

​ следующим образом:​ степени числа, получим​ аналогичен возведению в​ представить в виде​ или же прописав​ стоит поближе ознакомиться​

Примеры функции КОРЕНЬ в Excel

​Окно: аргументы функции​ найти среди функций...​: =sqrt(нужное значение)​ с помощью одной​Вспомним один из математических​

​ возведенное к ¾. 1/n​ этом случае величину​ ячейке, чтобы её​ выражение, заменив слово​

​Автор: Алексей Рулев​ является более удобным.​

​ в степень.​ слово "КОРЕНЬ", обозначающее​ число, квадрат которого​

​ просто числа...​Андрей ащеулов​ степени​

​Щелкаем по ячейке с​ в степень 1/3.​ (с английской раскладкой​ из отрицательного числа.​

​Встроенная функция КОРЕНЬ возвращает​n – это степень​ нужно возвести в​

​ адрес был внесен​ «число» на конкретную​Извлечение корня из числа​ Причиной тому является​Сделать это можно также​ вызов соответствующей команды.​

Как написать число в степени

​ равен числу а.​для суммы квадратов​: моно так​Х-то из чего​ числом правой кнопкой​

  1. ​Воспользуемся формулой для извлечения​ клавиатуры).​Функция извлекла квадратный корень​ положительное значение квадратного​ возведения.​
  2. ​ дробную степень. Общий​ в поле. После​ цифру или на​ является довольно распространенным​ тот факт, что​ двумя способами. Первый​ Далее в скобках​ В математических науках​ так​sqrt​ извлекаем корень​
  3. ​ мыши. Выбираем «Формат​ корней разных степеней​Чтобы Excel воспринимал вводимую​
  4. ​ от суммы 13​ корня. В меню​Таким образом, этот вариант​ вид формулы для​ ввода данных жмем​

​ адрес ячейки, где​ математическим действием. Оно​ с помощью этих​

exceltable.com>

Как вычислить квадратный корень в Excel ?

​ заключается в использовании​​ останется записать переменную,​
​ можно встретить не​
​=SQRT(A2*A2+B2*B2+C2*C2)​
​All1​Tes oren​ ячеек» (или нажмите​ в Excel.​ информацию как формулу,​
​ и значения ячейки​ «Функции» она находится​

​ является намного универсальнее,​​ расчета таков:​
​ на кнопку​
​ она расположена.​ применяется и для​ операций можно получить​
​ другой функции -​
​ из которой требуется​ только квадратные корни.​Мимо крокодил​: Привет! Значит ВСТАВКА​
​: Синтаксис​
​ CTRL+1).​Формула вернула значение кубического​ сначала ставится знак​ C1.​

​ в категории «Математические». 1/3​«OK»​

​Для выполнения расчета и​​ различных расчетов в​
​ корень любой степени,​

Как в Excel посчитать корень из числа?

​ "СТЕПЕНЬ". Она возводит​ извлечь квадратный корень.​ Они также бывают​

​: так как сказала​​ (4 фкладка с​КОРЕНЬ (число)​
​В открывшемся меню переходим​ корня из числа​ «=». Далее водится​

​​​Синтаксис функции: =КОРЕНЬ(число).​
​ способа.​

​То есть, формально это​​.​ вывода результата на​ таблицах. В Microsoft​ не применяя каких-то​ указанное число или​ В Excel в​

​ и любой другой​​ Сали-Мали, только степень​ лева) потом выбираешь​Число — число,​ на вкладку «Число».​

​ 21. Для возведения​​ цифра, которую нужно​Синтаксис функции: =СТЕПЕНЬ(значение; число).​
​Единственный и обязательный аргумент​

Как в экселе извлечь квадратный корень из суммы квадратов?

​Как видим, несмотря на​ даже не извлечение,​
​В итоге в указанной​ экран жмем кнопку​

​ Excel есть несколько​​ специальных дополнительных вычислений. 2​ строчку где написанно​

​ для которого вычисляется​​ Задаем «Текстовый» формат.​ в дробную степень​ возвести в степень.​ Оба аргумента обязательные.​ представляет собой положительное​
​ то, что в​ а возведение величины​
​ ячейке будет отображаться​

​ENTER​​ способов посчитать данное​Чтобы окончательно разобраться с​ в выбранную степень.​

​ может использоваться как​

  • Объединить ячейки без потери данных в эксель
  • Как распечатать таблицу эксель
  • Эксель автоматически не пересчитывает формулы автоматически
  • Все формулы эксель
  • Как в таблице эксель добавить строки
  • Книга для чайников эксель
  • Перевести документ из пдф в эксель
  • Как в эксель сделать поиск по тексту
  • Онлайн перевод ворд в эксель
  • Найти функция эксель
  • Замена эксель
  • Округление в эксель

Что такое корень и как его решать.

Как найти корень из числа

Для вычисления квадратного корня без калькулятора существует несколько методов.

Как найти корень из числа – 1 способ

  • Один из методов заключается в разложении на множители того числа, которое находится под корнем. Эти составляющие в результате умножения образуют подкоренное значение. Точность полученного результата зависит от числа под корнем.
  • Например, если взять число 1 600 и начать раскладывать его на множители, то рассуждение построится таким образом: данное число кратно 100, значит, его можно разделить на 25; так как корень из числа 25 извлекается, то число является квадратным и подходит для дальнейших вычислений; при делении получаем еще одно число – 64. Это число тоже квадратное, поэтому корень извлекается хорошо; после этих расчетов под корнем можно записать число 1600 в виде произведения 25 и 64.
  • Одно из правил извлечения корня гласит, что корень из произведения множителей равен числу, которое получается при умножении корней из каждого множителя. Это значит, что: √(25*64) = √25 * √64. Если из 25 и 64 извлечь корни, то получим такое выражение: 5 * 8 = 40. То есть, квадратный корень из числа 1600 равен 40.
  • Но бывает так, что число, находящееся под корнем, не раскладывается на два множителя, из которых извлекается целый корень. Обычно такое можно осуществить только для одного из множителей. Поэтому чаще всего найти абсолютно точный ответ в таком уравнении не получается.
  • В таком случае можно высчитать только приблизительное значение. Поэтому нужно извлечь корень из множителя, который является квадратным числом. Это значение затем умножить на корень из второго числа, которое не является квадратным членом уравнения.
  • Выглядит это таким образом, например, возьмем число 320. Его можно разложить на 64 и 5. Из 64 целый корень извлечь можно, а из 5 – нет. Поэтому, выражение будет выглядеть так: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
  • Если есть необходимость, то можно найти приблизительное значение этого результата, вычислив
    √5 ≈ 2,236, следовательно, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
  • Также число под корнем можно разложить на несколько простых множителей, а одинаковые можно вынести из-под него. Пример: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Как найти корень из числа – 2 способ

  • Другой способ заключается в делении в столбик. Деление происходит аналогично, но только искать нужно квадратные числа, из которых потом извлекать корень.
  • В этом случае квадратное число пишем сверху и отнимаем его в левой части, а извлеченный корень снизу.
  • Теперь второе значение нужно удвоить и записать снизу справа в виде: число_х_=. Пропуски необходимо заполнить числом, которое будет меньше или равно необходимому значению слева – все как в обычном делении.
  • При необходимости этот результат снова вычитается слева. Такие вычисления продолжаются до тех пор, пока результат не будет достигнут. Нули также можно добавлять, пока не получите нужное количество знаков после запятой.

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

    Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

  • Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
  • Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

  • Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

    • В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
      • √(25 х 16)
      • √25 х √16
      • 5 х 4 = 20

  • Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

    • Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
      • = √(49 х 3)
      • = √49 х √3
      • = 7√3

  • Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

    • Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
      • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 - мы были правы.

  • Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

    • Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
    • Рассмотрим другой пример: √88.
      • = √(2 х 44)
      • = √ (2 х 4 х 11)
      • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
      • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

    Вычисление квадратного корня вручную

    При помощи деления в столбик

    1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде "7 80, 14". Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

    2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

      • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4

    3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

      • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

    4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".

      • В нашем примере второй парой чисел является "80". Запишите "80" после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите "4_×_=" снизу справа.

    5. Заполните прочерки справа.

      • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 - слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа - это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

    6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

      • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

    7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".

      • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите "54_×_=" снизу справа.

    8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

      • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 - 4941 = 173.

    9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

    Понимание процесса

      Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

      Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C - третьей и так далее.

      Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b - вторую пару цифр и так далее.

      Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

    1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa

      • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8

    2. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C - цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

      • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B - это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A - десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² - это площадь всего квадрата, 100A² - площадь большого внутреннего квадрата, B² - площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B - площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.

    • Что такое квадратный корень?

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно "не очень..."
    И для тех, кто "очень даже...")

    Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение - есть и вычитание. Есть умножение - есть и деление. Есть возведение в квадрат... Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня ) в математике обозначается вот таким значком:

    Сам значок называется красивым словом "радикал ".

    Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах .

    Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:

    А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:

    Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры :

    Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.

    Решили? Действительно, уж куда проще-то?!

    Но... Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?

    Тосковать начинает человек... Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень ...

    Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах...

    Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!

    Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию - возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться...

    В этом и есть сложность извлечения корней . Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком - да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

    Этот сложный творческий процесс - подбор ответа - сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 - вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да...

    Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый - выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй - решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

    И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно...

    Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни - думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.

    Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!

    Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

    Попробуем вычислить вот такой корень:

    Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

    Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот... Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт - сами узнаете.

    Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:

    Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имеет смысла ! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:

    Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

    Зато из всех остальных - можно. Например, вполне можно вычислить

    На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить... Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!

    Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:

    Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух - это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное... Вот оно:

    Что интересно, эта дробь не кончается никогда... Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это - самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными . Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:

    Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:

    то так и оставляем. Это и будет ответ.

    Нужно чётко понимать, что под значками

    Конечно, если корень из числа извлекается ровно , вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например

    вполне себе полноценный ответ.

    И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:

    Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

    Пунктик третий. Самый хитрый.

    Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах... Разберёмся с этим пунктиком как следует!

    Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!

    Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два - слышу недовольные ответы...

    Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4... А между тем, ответ

    правильный, а ответ

    грубейшая ошибка. Вот так.

    Так в чём же дело?

    Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит... Это тоже корень квадратный из четырёх.

    Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: из числа а - это неотрицательное число, квадрат которого равен а . Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни - арифметические . Хотя особо об этом не упоминается.

    Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше - не возиться с отрицательными результатами... Это ещё не путаница.

    Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.

    Уравнение простое, пишем ответ (как учили):

    Такой ответ (совершенно правильный, кстати) - это просто сокращённая запись двух ответов:

    Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень - число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов - отрицательный ! Непорядок. Это первая (но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням... Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:

    Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня . Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) - число всё равно неотрицательное! А знаки - это результат решения уравнения . Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

    Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:

    Потому, что это - арифметический квадратный корень .

    Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:

    то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):

    Потому, что это - решение уравнения.

    Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор... извините, камни!)

    Всё это - в следующих уроках.

    Если Вам нравится этот сайт...

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

    Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

    Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.

    Если же таблицы квадратов, кубов и т. п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

    Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.

    Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

    Приступим.

    Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

    В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

    Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .


    Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

    Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

    Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.

    В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .


    Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

    Разложение подкоренного числа на простые множители

    Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

    Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .

    Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

    Разберемся с этим при решении примеров.

    Пример.

    Извлеките квадратный корень из 144 .

    Решение.

    Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .

    Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

    Разложим 144 на простые множители:

    То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .

    Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .

    Ответ:

    Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

    Пример.

    Вычислите значение корня .

    Решение.

    Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .

    Ответ:

    Пример.

    Является ли значение корня целым числом?

    Решение.

    Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

    Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.

    Ответ:

    Нет.

    Извлечение корней из дробных чисел

    Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

    Разберем пример извлечения корня из дроби.

    Пример.

    Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .

    Решение.

    По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен 13 . Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169 завершено.

    Ответ:

    Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

    Пример.

    Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .

    Решение.

    Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .

    Ответ:

    .

    Извлечение корня из отрицательного числа

    Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

    Рассмотрим решение примера.

    Пример.

    Найдите значение корня .

    Решение.

    Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

    Приведем краткую запись решения: .

    Ответ:

    .

    Порязрядное нахождение значения корня

    В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

    На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

    Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =05 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

    Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

    Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .

    Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

    Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5 . Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

    Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 5 ). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

    Так как 2,2 2 5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

    Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

    Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

    Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =02 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

    Определим его значение.

    Так как 10 3 2 151,186 , то значение разряда десятков равно 1 . Переходим к единицам.

    Таким образом, значение разряда единиц равно 2 . Переходим к десятым.

    Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186 , то значение разряда десятых равно 9 . Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

    На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

    В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

    Список литературы.

    • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
    • Колмогоров А. Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
    • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

    Как извлечь корень из числа. В этой статье мы будем учиться извлекать квадратный корень из четырехзначных и пятизначных чисел.

    Давайте, для примера, извлечем квадратный корень из числа 1936.

    Следовательно, .

    Последняя цифра в числе 1936 - цифра 6. На 6 заканчивается квадрат числа 4 и числа 6. Следовательно, 1936 может быть квадратом числа 44 или числа 46. Осталось проверить с помощью умножения.

    Значит,

    Извлечем квадратный корень из числа 15129.

    Следовательно, .

    Последняя цифра в числе 15129 - цифра 9. На 9 заканчивается квадрат числа 3 и числа 7. Следовательно, 15129 может быть квадратом числа 123 или числа 127. Проверим с помощью умножения.

    Значит,

    Как извлечь корень - видео

    А теперь предлагаю вам посмотреть видео Анны Денисовой - "Как извлечь корень ", автора сайта " Простая физика ", в котором она рассказывает, как извлекать квадратные и кубические корни без калькулятора.

    В видео рассматривается несколько способов извлечения корней:

    1. Самый простой способ извлечения квадратного корня.

    2. Подбором, используя квадрат суммы.

    3. Вавилонский способ.

    4. Способ извлечения квадратного корня в столбик.

    5. Быстрый способ извлечения кубического корня.

    6. Способ извлечения кубического корня в столбик.

    Решение задач с корнями — SAT Mathematics

    Все ресурсы SAT Mathematics

    137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept

    ← Предыдущая 1 2 Следующая →

    SAT Mathematics Help » Экспоненты и корни » Решение задач с корнями

    Упростить

    При каком значении это уравнение верно?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Пояснение:

    Чтобы найти , мы должны сначала возвести в квадрат обе стороны, чтобы избавиться от радикала. Мы получаем
    . Мы вычитаем обе части, чтобы получить одну.

    Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы получить

    Вариант ответа  и  неверен.

    Вариант ответа неверен, так как он не был извлечен из квадратного корня.

    Сообщить об ошибке

    Упростить

    При каком значении  это уравнение верно?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Пояснение:

    Чтобы найти , мы должны сначала возвести в квадрат обе стороны, чтобы избавиться от радикала. Мы получаем . Мы вычитаем обе части, чтобы получить одну.

    Мы делим на , чтобы остаться в одиночестве.

    Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы получить  Поскольку   не указан в качестве варианта ответа, мы упрощаем. Наибольший квадратный корень, на который можно умножить , равен . Мы убираем радикал, чтобы получить .

    Сообщить об ошибке

    Упрощение:

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала упростить радикал, разбив его на две части, становится , затем упрощаем, чтобы получить

    . Умножаем, чтобы получить , затем делим на, чтобы получить

    Сообщить об ошибке

    Найти значение

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала упростить до и далее до

    Затем мы можем умножить, чтобы получить

    Чтобы найти, мы сначала сократим с обеих сторон, а затем разделим на и получим

    Сообщить об ошибке

    Найти значение 

     

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Для решения этой проблемы мы должны сначала вычесть с обеих сторон

    , затем мы квадрат обе стороны

    Добавить к обеим сторонам

    Дивиден

    Сообщить об ошибке

    Найдите значение 

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Чтобы решить эту задачу, мы сначала умножаем обе части на , чтобы избавиться от дроби

     

    Затем прибавляем к обеим частям

    Перемещаемся в левую часть, чтобы приравнять уравнение . Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.

    Теперь мы можем разложить

    Следовательно, значение  равно

    Не существует

    Отчет о ошибке

    Найдите значение

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    . Объяснение:

    Чтобы решить эту задачу, мы сначала умножаем обе части на , чтобы избавиться от дроби

    Затем прибавляем к обеим сторонам

    . Перемещаемся в левую часть, чтобы приравнять уравнение. Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.

    И теперь мы можем учитывать


    Следовательно, значение IS

    , не существует

    ,

    Отчет о ошибке

    Найти значение

    Возможные ответы:

    5

    Возможные ответы:

    55

    и

    и

    Только

    Только

    Правильный ответ:

    и

    Объяснение:

    Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала вычесть квадрат с обеих сторон 


    Двигаемся вправо, чтобы приравнять уравнение к . Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.


    Теперь мы можем разложить

    Сообщить об ошибке

    Что из следующего эквивалентно  ?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Если вы попытаетесь упростить выражение, данное в вопросе, вам придется нелегко… оно и так упрощено! Однако, если вы посмотрите на четыре варианта ответа, вы поймете, что большинство из них содержат корни в знаменателе. Всякий раз, когда вы видите корень в знаменателе, вы должны попытаться рационализировать этот знаменатель. Это означает, что вы будете умножать выражение на единицу, чтобы избавиться от корня.

    Обдумывайте каждый вариант ответа, пытаясь упростить каждый из них.

    Для выбора выражение уже упрощено и не совпадает. На этом этапе ваше время лучше потратить на упрощение тех, кому это нужно, чтобы увидеть, соответствуют ли эти упрощенные формы.

    Для выбора используйте стратегию «умножить на один» умножения на тот же числитель, что и в знаменателе, чтобы рационализировать корень. Если вы это сделаете, вы умножите на 

    , что не совпадает с .

    Для выбора ответа умножьте на .

    А так как дробь можно упростить:

    , что идеально совпадает. Следовательно, выбор ответа правильный.

    ПРИМЕЧАНИЕ. Если вы хотите сократить алгебру, эта задача предлагает вам такую ​​возможность, используя варианты ответов вместе с оценкой. Вы можете оценить, что данное выражение, , находится между  и , потому что  находится между  (что есть ) и  (что есть ). Следовательно, вы знаете, что ищете правильную дробь, в которой числитель меньше знаменателя. Что ж, посмотрите на свои варианты ответов, и вы увидите, что под это описание подходит только один вариант ответа. Таким образом, даже не занимаясь математикой, вы можете полагаться на быструю оценку и знать, что вы правы.

    Сообщить об ошибке

    Если  и , что такое ?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Ключ к решению этой задачи — избегать ошибок при нахождении с корневым уравнением. Есть несколько разных способов найти решение :

    1. Используйте этот факт  и примените его к . Что означает, что . Разделите обе части на  и посмотрите, что , так что .

    2. Осознайте, что  (обратное проектирование корня) и увидите, что , поэтому  должны равняться .

    Как бы то ни было, вы должны затем применить это значение к выражению экспоненты во втором уравнении. Теперь у вас есть. А так как вы имеете дело с показателями степени, вам нужно будет выразить как , что означает, что теперь у вас есть: 

    Здесь вы должны иметь дело с отрицательными показателями, правило для которых таково. Таким образом, дробь, которую вы получили, затем можно преобразовать в .

    Теперь у вас есть:

    Применяя другое правило степеней деления степеней одного и того же основания, вы можете преобразовать левую часть в:

    Поскольку теперь у вас есть все с основанием , вы можете выразить  как раз . Это означает, что  это правильный вариант ответа.

    Сообщить об ошибке

    ← Предыдущая 1 2 Следующая →

    Уведомление об авторских правах

    Все ресурсы по математике SAT

    137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept

    4.2: Решение уравнений с корнями

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    19645
    • Ларри Грин
    • Общественный колледж Лейк-Тахо

    Результаты обучения

    • Решение уравнений, содержащих квадратные корни.

    Квадратные корни часто встречаются в курсе статистики, особенно когда речь идет о стандартных отклонениях и размерах выборки. В этом разделе мы узнаем, как найти переменную, когда эта переменная находится под знаком квадратного корня. Главное помнить, что квадрат квадратного корня — это то, что лежит внутри. Другими словами, возведение квадратного корня в квадрат отменяет квадратный корень.

    Пример \(\PageIndex{1}\)

    Решите следующее уравнение относительно \(x\).

    \[2+\sqrt{x-3}\:=\:6 \nonumber \]

    Решение

    Что делает эту задачу сложной, так это квадратный корень. Стратегия решения состоит в том, чтобы выделить квадратный корень в левой части уравнения, а затем возвести в квадрат обе части. Сначала вычтите 2 из обеих частей:

    \[\sqrt{x-3}=4 \nonumber \]

    Теперь, когда квадратный корень изолирован, мы можем возвести в квадрат обе части уравнения: 92 \nonumber \]

    Поскольку квадрат и квадратный корень сокращаются, мы получаем:

    \[x-3=16 \nonumber \]

    Наконец, прибавляя 3 к обеим сторонам, получаем:

    \[x=19 \nonumber \]

    Всегда полезно проверить свою работу. Мы делаем это, снова подключая ответ и проверяя, работает ли он. Подставляем \(x=19\), чтобы получить

    \[ \begin{align*}2+\sqrt{19-3} &=2+\sqrt{16} \\[4pt] &=2+4 \\[4pt] &= 6 \end{align*}\]

    Да, решение верное.

    Пример \(\PageIndex{2}\)

    Стандартное отклонение \(\sigma_\hat p\) выборочного распределения для пропорции следует формуле:

    \[\sigma_\hat p=\sqrt {\ frac {p \ left (1-p \ right)} {n}} \ nonumber \]

    Где \(p\) — доля населения, а \(n\) — размер выборки. Если доля генеральной совокупности составляет 0,24, а стандартное отклонение выборочного распределения должно быть равно 0,03, то какой размер выборки вам нужен?

    Раствор

    Нам дано, что \(p=0,24\) и \(\sigma_{\hat p} = 0,03 \)

    Подставьте значение, чтобы получить:

    \[0,03=\sqrt{\frac{0,24\left( 1-0.24\right)}{n}} \nonumber \]

    Мы хотим найти \(n\), поэтому нам нужно \(n\) в левой части уравнения. Просто переключитесь, чтобы получить:

    \[\sqrt{\frac{0,24\left(1-0,24\right)}{n}}\:=\:0,03 \nonumber \]

    Далее вычитаем:

    \ [1-0,24\:=\:0,76\номер\]

    И их умножить:

    \[0,24\влево(0,76\вправо)=0,1824\номер\] 92 \nonumber \]

    Квадрат отменяет квадратный корень, и возведение в квадрат правой части дает:

    \[\frac{0. 1824}{n}\:=\:0.0009 \nonumber \]

    Мы можем написать:

    \[\frac{0,1824}{n}\:=\frac{\:0,0009}{1} \nonumber \]

    Перемножить, чтобы получить:

    \[0,0009\:n\:=\:0,1824 \nonumber \]

    Наконец, разделите обе части на 0,0009:

    \[n\:=\frac{\:0,1824}{0,0009}=202,66667 \nonumber \]

    Округлив, мы можем сделать вывод, что нам нужен размер выборки 203, чтобы получить стандартную ошибку 0,03. Мы можем проверить, разумно ли это, подставив \(n = 203\) обратно в уравнение. С помощью калькулятора получаем:

    \[\sqrt{\frac{0,24\left(1-0,24\right)}{203}}\:=\:0,029975 \nonumber \]

    Поскольку это очень близко к 0,03, ответ разумен.

    Упражнение

    Стандартное отклонение \(\sigma_\bar x\) выборочного распределения для среднего значения вычисляется по формуле:

    \[\sigma_\bar x=\frac{\sigma}{\sqrt{n }} \nonumber \]

    Где \(\sigma \) — стандартное отклонение генеральной совокупности, а \(n\) — размер выборки. Если стандартное отклонение генеральной совокупности составляет 3,8, а стандартное отклонение выборочного распределения должно быть равно 0,5, то какой размер выборки вам нужен?

    • Упражнение 1. Решение основного радикального уравнения — квадратные корни
    • https://youtu.be/u1aGMkJIlMI

    Эта страница под названием 4.2: Решение уравнений с корнями распространяется под лицензией CC BY-NC-SA и была создана, изменена и/или курирована Ларри Грином.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или страница
        Автор
        Ларри Грин
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Показать страницу Содержание
        нет
        Включено
        да
      2. Теги
        1. расчет: да
        2. исходная статистика-4734
        3. квадратный корень

      Для чего используется квадратный корень? (7 приложений в реальной жизни) — JDM Educational

      Когда вы научитесь вычислять квадратный корень, вам может быть интересно узнать, как применять эту концепцию в реальной жизни. Хотя квадратные корни часто используются в математике, они также находят применение во многих других дисциплинах.

      Итак, для чего же нужен квадратный корень? Квадратные корни используются в финансах (доходность за 2 года), нормальные распределения (функции плотности вероятности), длины и расстояния (теорема Пифагора), квадратичная формула (высота падающих предметов), радиус окружностей, простое гармоническое движение (маятники). и пружины) и стандартное отклонение.

      Конечно, мы можем использовать не только квадратные корни. Кубические корни, четвертые корни и другие корни также могут помочь нам в различных областях науки и техники.

      В этой статье мы поговорим о том, для чего используются квадратные корни и как они вписываются в различные уравнения и формулы. Мы также приведем несколько примеров, чтобы прояснить концепцию.

      Приступим (вы можете посмотреть видеоверсию этой статьи на YouTube).

      Квадратные корни встречаются повсюду в математике, включая геометрию (расстояние с использованием прямоугольных треугольников), вероятность (функции нормального распределения), статистику (вычисление стандартного отклонения) и алгебру (квадратичная формула). Вы можете скачать PDF-версию этой инфографики здесь.

      Для чего используется квадратный корень?

      Квадратные корни используются в математике и находят применение во многих дисциплинах, таких как вероятность, статистика, физика, архитектура и инженерия.

      Вот некоторые примеры использования квадратных корней в реальной жизни:

      • Финансы (Норма прибыли за 2 года)

      • Нормальные распределения (Функция плотности вероятности)

      • 903Lengs&Lengths20 Теорема Пифагора 90
      • Квадратичная Формула (высота падающих объектов)
      • Радиус кружков с данной областью
      • Простая гармоническая движение (маятник и пружины)
      • Стандартное отклонение (измерение данных
      • Стандартное отклонение (измерение данных)
      • Стандартное отклонение (измерение данных
      • Стандартное отклонение (измерение. Давайте рассмотрим каждый из них по очереди, начиная с финансов.

        Квадратные корни В финансах

        В области финансов мы можем использовать квадратные корни, чтобы найти норму прибыли на актив за период времени с 2 единицами (например, 2 года, 2 месяца и т. д.)

        Формула годовой нормы прибыли за двухлетний период:

        • R = √(V 2 / V 0 ) – 1

        , где R — годовая ставка доходности, V 0 — начальное значение, а V 2 — значение через 2 года.

        Пример 1. Норма доходности актива за 2 года

        Предположим, вы покупаете акции 1 января 2020 года за 100 долларов.

        Вы продаете акции 1 января 2022 года за 19 долларов.6.

        This means that:

        • V 0 = 100 (you bought the stock for $100)
        • V 2 = 196 (you sold the stock for $196)

        Since the период времени составлял 2 года (с 1 января 2020 г. по 1 января 2022 г.), мы можем использовать формулу годовой нормы прибыли за 2 года, чтобы получить:

        • R = √(V 2 / V 0 ) – 1
        • R = √(196 / 100) – 1
        • R = √(1,96) – 1
        • R = 1,4 – 1
        • R = 0,4

        вправо, чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты).

        Итак, доходность акций составляет 40% годовых, что является хорошей инвестицией.

        Мы можем использовать квадратный корень для определения нормы прибыли на акции за 2 периода времени (2 года, 2 месяца и т. д.)
        Пример 2: норма прибыли актива за 2 месяца

        Допустим, вы покупаете дом 1 января 2020 года за 250 000 долларов.

        Вы продаете дом 1 марта 2022 года за 302 500 долларов.

        Это означает, что:

        • V 0 = 250 000 (вы купили акции за 250 000 долл. США)
        • V 2 = 302 500 (вы продали запасы за 30200)

          787898888889938993899378 гг. было 2 месяца (с 1 января 2020 г. по 1 марта 2020 г.), мы можем использовать формулу годовой нормы прибыли за 2 месяца, чтобы получить:

          • r = √ (V 2 / V 0 ) - 1
          • R = √ (302 500 /250 000) - 1
          • 10.1910.18110711118.10718.10718.10718.17110711111111118.1718.1718.1711111111111111111110.1
          • 03718.1718) - 1
          • 10) - 1

          • 0) R = 1,1 – 1
          • R = 0,1

          В качестве десятичной дроби R = 0,1 означает ежемесячный доход в размере 10% (переместите десятичную дробь на 2 знака вправо, чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты).

          Итак, дом приносил 10% в месяц, что является хорошей инвестицией.

          В более общем случае мы можем использовать корень n-й степени, чтобы найти норму прибыли за период времени с n единицами. Формула дается:

          • R = (V n / V 0 ) 1/n – 1

          , где R — доходность за период времени, V 0 9064, а V 0 9064 — начальное значение. n — значение после n периодов времени.

          Недвижимость — еще одна область, в которой мы можем использовать квадратный корень, чтобы найти доходность актива за два периода времени.

          Квадратные корни в нормальном распределении

          В нормальном распределении также используется квадратный корень, хотя это нелегко увидеть на графике (который имеет форму симметричной колоколообразной кривой).

          Нормальное распределение имеет график симметричной колоколообразной кривой с большей частью данных (веса) в середине.

          Квадратный корень в нормальном распределении можно увидеть в его pdf (функция плотности вероятности), которая определяется как:

          Функция плотности вероятности (PDF) для нормального распределения содержит квадратный корень.

          Без квадратных корней мы не могли бы определить функцию, которая дает нам кривую нормального распределения. Это распределение используется в математике, естественных науках, медицине, психологии и других областях.

          Квадратные корни и теорема Пифагора

          Из теоремы Пифагора мы можем использовать квадратные корни для нахождения расстояний и длин сторон треугольников в 2-х (или 3-х) измерениях.

          Это может быть полезно во всех видах приложений, таких как:

          • Архитектура и проектирование (определение длины ферм для поддержки мостов и зданий).
          • Плотницкие и строительные работы (нахождение длин сторон прямоугольных треугольников для диагональных опор).
          • Графика (нахождение расстояний в 2D или 3D сетке для фильмов или видеоигр).
          Мы можем использовать квадратные корни вместе с теоремой Пифагора для нахождения сторон прямоугольных треугольников, таких как диагональные опоры, используемые в строительстве.

          Помните, что теорема Пифагора применима к прямоугольному треугольнику (с углом 90 градусов) и определяется по формуле:0004, где a и b — катеты (две более короткие стороны), а c — гипотенуза (самая длинная сторона, расположенная напротив прямого угла) в прямоугольном треугольнике.

          Чтобы найти гипотенузу, мы просто возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы получить:

          • √(a 2 + b 2 ) = c

          с других сторон (скажем, a), мы вычитаем b 2 с обеих сторон и извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

          • A 2 + B 2 = C 2
          • A 2 = C 2 - B 2 202020202020777777777777 - B 2 202020202020202020777777777777 - B 2

            2 - B 2

            2 - B 2

            2 - B 2 2 - B . )

          Пример 1: Длина гипотенузы прямоугольного треугольника

          Допустим, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 6 футов и 8 футов. Мы хотим найти длину гипотенузы (самая длинная сторона), чтобы узнать, какой длины должна быть диагональная опора.

          Использование теоремы Пифагора с a = 6 и b = 8, мы получаем:

          • √ (A 2 + B 2 ) = C
          • √ (6 2 +
          • √ (6 2 +
          • √ (6 2 +
          • . ) = C
          • √ (36 + 64) = C
          • √ (100) = C
          • 10 = C

          SO. (Примечание: этот прямоугольный треугольник 6-8-10 просто кратен прямоугольному треугольнику 3-4-5, то есть они подобны.)

          Пример 2: длина катета прямоугольного треугольника

          Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник с одной катетом длиной 7 футов и диагональю (гипотенуза) длиной 13 футов. Нам нужно найти длину второй ноги.

          Using the Pythagorean Theorem with a = 7 and c = 13, we get:

          • a = √(c 2 – b 2 )
          • a = √(13 2 – 7 2 )
          • а = √(169 – 49)
          • a = √(120)

          Итак, длина другой ноги составляет √120 или 2√30 футов.

          Помните, что длины сторон некоторых специальных треугольников также используют квадратные корни для некоторых длин сторон.

          Например, треугольник 45-45-90 (прямобедренный) будет иметь длины сторон в соотношении 1-1-√2.

          Треугольник 30-60-90 имеет длины сторон в соотношении 1-√3-2.

          9099 9095 9095
          Углы в
          Треугольник          		 Отношения
          Сторон
          30-60-90 1-√3-2
          45-45-90 1-1-√2
          1-1-1-√2. общие
          треугольников.

          Квадратные корни также можно использовать для нахождения расстояния между двумя точками в 2-мерной или 3-мерной системе для производства фильмов или видеоигр.

          Формула расстояния D между двумя точками (x 1 , y 1 ) и (x 2 , Y 2 ) в 2 измерениях задается:

          • D = √ (x 2 - x 1 ) 2 + (Y 2 - Y ) ) ) ) ) ) (Y 2 - Y ) ) ) (Y 2 - Y ) ) (Y 2 - Y ). )

          Обратите внимание, что эта формула исходит из теоремы Пифагора, где катеты прямоугольного треугольника имеют длину x 2 – x 1 и y 2 – y 1 , а гипотенуза имеет длину D.

          Формула расстояния D между двумя точками (x 1 , Y 1 , Z 1 ) и (x 2 , Y 2 , Z 2 ) в 3 -й размер приведены:

            1919). - x 1 ) 2 + (Y 2 - Y 1 ) 2 + (Z 2 - Z 1 ) 2 - Z 1 ) 2 ). Две точки в двух измерениях

            Допустим, мы хотим найти расстояние между точками (1, 3) и (8, -5). Если мы присвоим (x 1 , y 1 ) = (1, 3) и (x 2 , y 2 ) = (8, -5), то мы можем использовать формулу расстояния для расчета:

            • D = √ ((x 2 - x 1 ) 2 + (Y 2 - Y 1 ) 2 )
            • D = √ (8 - 1)
            • D = √ (8 - 1)
            • D = √ (8 - 1)
            • D = √ (8 - 1)
            • D = √ (8 - 1)
            • . (-5 – 3) 2 )
            • D = √((7) 2 + (-8) 2 )
            • D = √(490+)0371 D = √(113)

            Итак, расстояние между двумя точками в двух измерениях равно √113.

            Пример 2: Расстояние между двумя точками в трех измерениях

            Допустим, мы хотим найти расстояние между точками (2, 4, 7) и (1, -4, 0). Если мы присвоим (x 1 , y 1 , z 1 ) = (2, 4, 7) и (x 2 , y 2 , z 2 - 4) = (1, 643 - 4) , 0), то мы можем использовать формулу расстояния для вычисления:

            • D = √ ((x 2 - x 1 ) 2 + (Y 2 - Y 1 ) 2 + (Z 2 - Z )

              ) (Z 2 - Z )

              ) (Z 2 - Z ) (Z .

            • D = √((1 – 2) 2 + (-4 – 4) 2 + (0 – 7) 2 )
            • D = 1 √0( 7-2( 7-2) + (-8) 2 + (-7) 2 )
            • D = √ (1 + 64 + 49)
            • D = √ (114)
            DASTER,

            4448

            448

            448

            448

            448

            448

            448

            4498

            4498

            4

            498

            4

            498

            4

            498

            4

            4

            4

            4

            4

            4

            4

            4

            4

            4

            498

            4

            4. D = √ (114)

          • . между двумя точками в 3 измерениях √114.

            Квадратные корни в квадратной формуле

            Квадратные корни также необходимы, если мы хотим использовать квадратную формулу для решения квадратного уравнения.

            Помните, что квадратное уравнение имеет стандартный вид

            • ax 2 + bx + c = 0

            , где a, b и c — действительные числа с отличным от нуля.

            Решения этого квадратного уравнения задаются квадратной формулой:

            Квадратная формула дает нам явную формулу для решений квадратного уравнения в стандартной форме с коэффициентами a, b и c (a не равно нулю).

            Обратите внимание, что в числителе дроби есть квадратный корень. Этот символ квадратного корня важен, потому что подкоренное число (выражение под радикалом) говорит нам о характере решений.

            Этот конкретный подкоренной член b 2 – 4ac называется дискриминантом, и его знак говорит нам, как будут выглядеть корни квадратного уравнения:

            • b 2 – 4ac > 0 (положительный дискриминант): это означает, что есть два различных действительных решения квадратного уравнения.
            • b 2 – 4ac = 0 (нулевой дискриминант): это означает, что существует одно действительное повторяющееся решение (двойной корень) квадратного уравнения.
            • b 2 – 4ac < 0 (отрицательный дискриминант): это означает, что у квадратного уравнения есть два комплексно-сопряженных решения.

            Нам может понадобиться решить квадратное уравнение в физике, если мы хотим знать, когда падающий объект находится на определенной высоте.

            Пример. Решение квадратичного уравнения высоты падающего объекта

            Если предмет падает с высоты 400 футов над землей, то его высота через t секунд определяется уравнением

            • h(t) = 400 – 16t когда объект находится на высоте 144 фута. Then we would solve:

              • 144 = 400 – 16t 2
              • -256 = – 16t 2
              • 16 = t 2
              • 4 = t

              Итак, падающий объект будет находиться на высоте 144 фута над землей в момент времени t = 4 секунды (после того, как он упадет на 256 футов от своего начального положения).

              Квадратные корни и радиус круга

              Если вы хотите найти радиус круга с определенной площадью, вам нужно будет использовать квадратные корни.

              Мы можем использовать квадратные корни, чтобы найти радиус круга с определенной площадью.

              Помните, что площадь A круга с радиусом R определяется уравнением

              • A = πR 2

              Где π — константа числа пи или приблизительно 3,14159.

              Мы также можем использовать квадратные корни, чтобы найти радиус основания цилиндра или конуса с определенным объемом (если мы также знаем высоту).

              Помните, что если высота цилиндра или конуса равна H, а радиус равен R, то уравнения объема будут следующими:0019 Объем конуса: V = πR 2 H / 3

            Пример 1. Радиус круга

            Допустим, мы хотим построить круглый загон для животных площадью 1256 квадратных футов.

            Using our area equation with A = 1256, we can calculate:

            • A = πR 2
            • 1256 = 3. 14159R 2
            • 399.80 = R 2
            • 20 = R

            Итак, радиус загона будет 20 футов.

            Пример 2. Радиус окружности в основании цилиндра

            Допустим, мы хотим сделать цилиндр высотой 7 дюймов и объемом 2200 квадратных дюймов.

            Using our volume equation with V = 2200, we can calculate:

            • Volume Of A Cylinder: V = πR 2 H
            • 2200 = (3.14159)R 2 (7)
            • 2200 = 21,99113R 2
            • 100,04 = R 2
            • 10 = R

            Итак, радиус цилиндра будет 10 дюймов.

            Зная объем и высоту цилиндра, мы можем найти радиус круглого основания, используя квадратные корни.

            Квадратные корни и простое гармоническое движение

            В физике мы часто используем квадратные корни в формулах для простого гармонического движения, чтобы найти период пружины или маятника. Период – это количество времени, за которое они совершают одно циклическое движение.

            Формулы:

            • Период пружины: T = 2π√(m/k)
            • Период маятника: T = 2π√(L/g)

            где T – период, m – масса пружины, k — жесткость пружины, L — длина маятника, а g — ускорение свободного падения.

            Обратите внимание, что жесткость пружины зависит от типа пружины. Более жесткая пружина имеет более высокое значение k.

            Пример 1: период пружины

            Допустим, у нас есть пружина с жесткостью 4 Н/м и весом 0,25 кг на конце пружины.

            Используя нашу формулу для периода, мы получаем:

            • Период источника: T = 2π√(m/k)
            • T = 2(3,14159)√(0,25/4)

              T

              = 2(3.14159)√(1/16)
            • T = 2(3.14159)(1/4)
            • T = 3.14159/2
            • T = 1.5708

            So, the period пружины составляет 1,5708 секунды.

            Нам нужны квадратные корни, чтобы найти период пружины.
            Пример 2: период маятника

            Допустим, у нас есть маятник длиной 0,5 фута (при условии, что мы находимся на Земле, ускорение свободного падения составляет 32 фута в секунду).

            Используя нашу формулу для периода, мы получаем:

            • Период маятника: T = 2π√(л/г)
            • T = 2(3,14159)√(0,5/32) T
              • 9 = 2(3,14159)√(1/64)
            • T = 2(3,14159)(1/8)
            • T = (3,14159)(1/4)
              T0378

            Итак, период маятника равен 0,7854 секунды.

            Нам также нужны квадратные корни, чтобы найти период маятника.

            Квадратные корни и стандартное отклонение

            В статистике квадратные корни используются для расчета стандартного отклонения (из дисперсии). Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии, представляющий собой сумму квадратов разностей от среднего значения набора данных.

            В формуле стандартного отклонения используется квадратный корень. Стандартное отклонение — это мера разброса набора данных. Чем больше стандартное отклонение, тем больше разбросаны данные.

            Квадратный корень гарантирует, что стандартное отклонение будет иметь те же единицы измерения, что и среднее значение. Поэтому имеет смысл говорить о добавлении или вычитании стандартных отклонений от среднего значения.

            Это позволяет говорить о процентилях в популяции.

            Вы можете узнать больше о том, что влияет на стандартное отклонение в моей статье здесь.

            Вы можете узнать о некоторых реальных примерах стандартного отклонения в моей статье здесь.

            Заключение

            Теперь вы знаете, для чего используются квадратные корни и где они вписываются в уравнения и формулы, где они применяются.

            Здесь вы можете научиться складывать, умножать и делить квадратные корни.

            Вы можете узнать, как извлекать квадратный корень вручную из моей статьи здесь.

            Вы также можете узнать, как извлекать квадратные корни из моей статьи здесь.

            Здесь вы можете узнать, как найти производную функции квадратного корня.

            Узнайте больше о квадратных корнях и других радикалах в знаменателях (и как их рационализировать) здесь.

            Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.

            Не забудьте подписаться на мой канал YouTube и получать обновления о новых математических видео!

            Подпишитесь на наш канал на YouTube!

            ~Джонатон

            Квадраты и квадратные корни Извлечение квадратных корней

            Проще всего решить квадратное уравнение, например, x 2 = 9, поэтому мы не будем иметь дело с чем-то более сложным.

            Псих! (Извините.)

            Если квадрат x равен 9, то x может быть положительным или отрицательным квадратным корнем из 9:

            x 2 = 9

            Это упрощает до: как положительные, так и отрицательные квадратные корни. Однако иногда после извлечения квадратного корня нам нужно проделать еще немного работы. Вставьте в него спину.

            Пример задачи

            Решить: ( x + 3) 2 = 9.

            Если квадрат x + 3 равно 9, тогда x + 3 может быть как положительным, так и отрицательным квадратным корнем из 9. Другими словами, мы берем квадратный корень из обеих частей, чтобы выбить этот показатель степени.

            ( х + 3) 2 = 9
            х + 3 = ±3

            Теперь нам нужно решить два уравнения. Быстро, пока количество работы, которое нам нужно сделать, снова удвоится:

            х + 3 = 3 и х + 3 = -3

            Для первого уравнения, если х + 3 = 3, тогда x = 0.

            Мы всегда параноики, что могли сделать что-то не так, поэтому мы проверим, чтобы убедиться, что это работает. Подставив x = 0 в левую часть исходного уравнения, мы найдем:

            (0 + 3) 2 = 9

            Да, это правда. Таким образом, x = 0 является решением уравнения. На полпути домой.

            Теперь второе уравнение. Если х + 3 = -3, то х = -6.

            Ой-ой. Наша паранойя снова начинается, поэтому пришло время проверить, работает ли это. Когда мы подключим x = -6 в левой части уравнения, мы получаем:

            (-6 + 3) 2 = 9
            (-3) 2 = 9

            Эй, это тоже верно. Следовательно, x = -6 также является решением уравнения.

            Окончательный ответ: и x = 0, и x = -6 являются решениями уравнения. В этом городе есть место для них обоих.

            Примеры, которые мы делали до сих пор, имели переменную в квадрате с одной стороны и число с другой. Если у нас есть выражение, представляющее собой квадрат, умноженный или разделенный на что-то, нам нужно «отменить» это умножение или деление, прежде чем извлекать квадратный корень. К сожалению, мы не можем просто нажать «Control Z».

            Пример задачи

            Решить: 2 x 2 = 72.

            Сначала мы разделим обе части на 2, чтобы найти уравнение, в котором одна сторона имеет квадрат:

            Затем мы можем извлечь квадратный корень из 36. быть факторизованным. Обратите внимание на тренчи и шляпы с низкими полями.

            Последние несколько примеров задач были хороши и хороши, но решения квадратных уравнений не всегда приводят к красивым числам. Например, возьмем неприглядную сторону квадратных уравнений. Однако старайтесь не смотреть прямо на них, так как мы не хотим, чтобы вы ослепли.

            Конечно, мы могли бы собрать вместе все, что может случиться, чтобы сделать что-то ужасно сложное, и поверьте нам, мы будем . Смейтесь маниакально.

            Пример задачи

            Решить 18 х 2 + 12 х + 2 = 7.

            Сначала мы можем разложить левую часть на множители:

            2(9 х 2 + 6 х) 7 = 6 х
            2(3 x + 1) 2 = 7

            Нам нужен квадрат с одной стороны уравнения, поэтому разделите обе части на 2:

            Теперь, когда у нас есть квадрат с одной стороны, мы можно извлечь квадратный корень из обеих частей:

            Решаем два уравнения:

            Ударьте по каждому из них по отдельности, чтобы получить два решения:

            Эти решения можно переписать или упростить:

            Это похоже на кошмар, который может возникнуть после употребления слишком большого количества молочных продуктов перед сном, но они абсолютно правы. На самом деле проверьте первое решение. Идеально было бы включить его в исходное уравнение, но это не идеальный мир, и такая арифметика была бы слишком запутанной. Вместо этого, поскольку мы уверены, что правильно переставили уравнение в начале, подставьте решение в (3 x + 1) 2 и убеждаемся, что получаем . Вот:

            Сделано, Ма! Вершина мира!

            Общий план атаки для решения такого уравнения состоит в том, чтобы атаковать быстро и агрессивно с левого фланга. Нет, подождите, это общий план атаки правого врага в гористой местности. Плевать на нас.

            Настоящий план атаки состоит в том, чтобы манипулировать уравнением так, чтобы с одной стороны было что-то в квадрате, а с другой — число, даже если это дает вам что-то действительно ужасное на вид. Возьмите соответствующий квадратный корень, а затем решите каждое новое найденное уравнение. Помните, что вы всегда можете проверить правильность своих ответов, подставив их обратно в исходное уравнение и убедившись, что они работают. Если они этого не сделают, попробуйте заменить батареи, прежде чем сдаваться. Они принимают Triple-As.

            Конечно, это не сработает для квадратного уравнения, не имеющего решений в виде действительных чисел, например уравнения ( x + 1) 2 = -3.

            Это не может иметь действительных числовых решений, поскольку невозможно возвести в квадрат действительное число ( x + 1) и получить -3. Мы пробовали. Много. Это невозможно.

            Квадратный корень | nool

            Перейти к основному содержанию

            Домашняя страница Технологического института Онтарио

            nool

            Давайте рассмотрим концепцию извлечения квадратного корня из числа.

             Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте это число само на себя. Например, 3 2 = 9. Квадратный корень работает наоборот. Например, если вы возведете 3 в квадрат, вы получите 9, а если вы возьмете квадратный корень из 9, вы получите 3 (т. е. 3 2 = 9, поэтому √9 = 3). Как правило, квадратный корень – это значение, которое можно умножить само на себя, чтобы получить исходное число. Символ "√" называется "радикальным" символом. Выражение "√9" читается как "корень девять", "коренная девятка" или "квадратный корень из девяти". 5, так как (5) 2 = 25

            Самое большое заблуждение относительно использования квадратного корня заключается в следующем: √9 = ± 3. Это неверно. Квадратные корни всегда положительны, поэтому правильное значение равно √9 = 3. Обратите внимание, что значение упрощенного радикала является положительным, и это единственное значение квадратного корня, и этот положительный результат называется "главным" корнем. В то время как любой из +3 и -3 мог быть возведен в квадрат, чтобы получить 9, «квадратный корень из девяти» определяется только как положительный вариант +3. Если нам нужно -3, то делаем следующее:

            -√9 = - (√9 ) = - (3) = -3.

            Обратите внимание, что круглые скобки используются для обозначения того, как появляется знак минус. Как правило, два средних шага опускаются. Итак, если мы хотим получить отрицательное значение, мы должны поставить знак минус.

            Это заблуждение возникает из-за того, что иногда нас просят решить такие вещи, как x 2 = 9. Когда вы решаете уравнение      x 2 = 9,  вы пытаетесь найти все возможные значения, которые можно было бы возвести в квадрат, чтобы получить 9. Здесь ответ x 2 = ± 3, и часто это будет решаться путем «взятия квадратный корень» из обеих сторон. Вот правильное решение этой задачи:

            x 2 = 9

             x = ±√9

             x = ± 3

            Обратите внимание, что ± появляется на втором этапе перед вычислением квадратного корня. Он не появляется как часть извлечения квадратного корня.

            Для всех реальных чисел x у нас есть следующая кусочная связь:

            Пример:

            Уравнение 2x 2 + 8 = 40

            Решение:

            2x 2 9073 + 8 8 8 8.

            No related posts.

            Добавить комментарий

            Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

            © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

            Карта сайта