Mathscene — Корни — Урок 2
Mathscene — Корни — Урок 2| 2007 Расмус Эф и Джанн Сак Птурссон | Корни | Печать |
Урок 2
Корни и силы
Теперь мы рассмотрим отношения между силами и корнями.
| Мы знаем, что 22 = 2 2 = 4 | и, следовательно, 4 = 2, |
| А также что 222 = 2 3 = 8 | и поэтому 3 8 = 2. |
| 3 перед знаком корня означает, что мы берем кубический корень. |
Обратите внимание, что когда мы извлекаем квадратный корень, мы не поставить в 2.
Примеры:
Второй и четвертый примеры верны, только если
не является отрицательным.
Корни и степени являются обратными операциями, как для пример умножения и деления (если умножить на число, а затем разделить на то же число, как будто ничего не произошло). Мы могли бы сказать, что они нейтрализовать друг друга.
Уравнение (a 2 ) x = a имеет только одно решение для x, то есть x = , поэтому мы заключаем, что извлечение квадратного корня и возведение в мощность та же операция.
Из кубических корней получаем:
Обобщение для любого корня:
Преобразование корней в дробные степени и использование правила для показателей могут упростить многие вычисления:
Пример 1
Упростите следующее как насколько это возможно, давая ответ как единую мощность:
а)
Изменить
все корни в дробных степенях и сложить индексы под
признак корня. Тогда умножить на 1/2 |
б)
Чтобы решить уравнение типа
Возводим обе части уравнения в степень б/а.
Пример 2
Решите следующие уравнения:
а)
| |
б)
| Здесь мы используем силу |
Этот метод очень прост в использовать, но мы должны соблюдать осторожность при его использовании, потому что могут быть случаи, когда это дает нам неправильный ответ.
Когда мы повышаем до
четные степени (2, 4, 6 и т.
д.), все отрицательные значения становятся положительными, и мы должны проверить, что
наши ответы верны, если вернуть ответ в исходное уравнение.
Пример 3
Давайте посмотрим на следующий пример:
Получаем решения x = 1 и х = -2. Теперь давайте проверим их:
Решение x = 1 есть правильный.
Решение x = −2 равно неправильно. Мы потеряли минус в левой части уравнения, когда возвел его в квадрат.
Иногда оба решения правильный. Посмотрите на следующий пример.
Пример 4
Найти х:
Это дает решения x = 1 и х = 2.
Проверяя ответы получаем:
Оба варианта верны.
Попробуйте пройти викторину 2 по корням.
Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.
Практика с радикалами
Концепция сделать что-то, а затем «отменить»
это очень важно в математике.
Вот некоторые примеры:
Возьми номер. Добавьте к нему $\,5\,$. Как можно вернуться к исходному номеру? Ответ: вычесть $\,5\,.$ То есть сложение «отменяется» вычитанием.
Возьми номер. Умножьте это на $\,7\,.$ Как можно вернуться к исходному номеру? Ответ: разделить на $\,7\,.$ То есть умножение «отменяется» делением.
В этом разделе мы рассматриваем проблему «отмены» полномочий следующим образом:
Возьми номер.
Куб, то есть возведение в третью степень.
Как вернуться к исходному номеру?
Такие вопросы приводят нас к пониманию
математическое выражение, называемое радикал .
Отмена странных способностей
Вернемся к сценарию из предыдущего абзаца:
Возьмем число $\,2\,.$ Куб, чтобы получить $\,8\,.$ Теперь подумайте о мыслительном процессе, необходимом чтобы вернуться к исходному номеру. Вы должны думать: Какое число при возведении в куб дает $\,8\,$? Ответ, конечно, $\,2\,.$
Еще раз. Возьмем число $\,-2\,.$ Куб, чтобы получить $\,-8\,.$ Задать вопрос: Какое число при возведении в куб дает $\,-8\,$? Ответ: $\,-2\,.$
Обратите внимание, что есть только один номер .
А еще есть только один номер , который, при кубе дает $\,-8\,.$ Этот уникальный номер обозначается символом $\displaystyle\,\root 3\of{-8}\,$ и называется кубическим корнем из $\,-8\,.$
Процесс «кубический корень»
отменяет процесс «куб». : Корни лишают силы. Более формально эта идея изложена ниже.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ кубический корень из $\,х\,$
Пусть $\,x\,$ — любое действительное число.
Число $\displaystyle\,\root 3\of{x}\,$ читается как кубический корень из $\,x\,$ определяется следующим образом:
$\displaystyle\,\root 3\of{x}\,$ — это уникальное число, которое при кубировании равно $\,x\,.$
Никогда не упускайте из виду тот факт, что
числа имеют много разных названий.
Оба $\,2\,$ и $\,\root 3\of{8}\,$ являются именами
на тот же номер.
Таким образом, предложение ‘$\,\root 3\of{8} = 2\,$’
правда.
Для подобных проблем существует хорошая визуальная проверка. Как показано ниже, сделайте круг, проверка вашего ответа ($\,2\,$), возведенный в третью степень, действительно равен $\,8\,.$
Вот более общее определение нечетных корней:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ нечетные корни: $\root n\of x\,$ для нечетных значений из $\,n\,$
Пусть $\,x\,$ — любое действительное число,
и пусть $n\in\{3,5,7,\ldots\}\,.
2 = 4\,.$
То есть есть два числа
(оба $\,2\,$ и $\,-2\,$)
которые при возведении в квадрат дают $\,4\,.$
Итак, предположим, я говорю вам, что думаю о числе.
Когда я возвожу это число в квадрат, я получаю $\,4\,.$
Можете ли вы сказать мне, какое число я думаю?
Нет — я мог думать о числе $\,2\,$ или о числе $\,-2\,.$
Вопрос «Какое число в квадрате дает $\,4\,$?» имеет недостатки, потому что есть , а не уникальный номер с этим свойством.
Вместо этого мы должны задать другой вопрос
чтобы получить уникальный ответ:
«Какое неотрицательное число при возведении в квадрат дает $\,4\,$?»
Тогда ответ $\,2\,.
$
Символ $\,\sqrt{4}\,$ читается как «квадратный корень из $\,4\,$» и представляет неотрицательное число которое, при возведении в квадрат дает $\,4\,.$
Далее, предположим, вас попросили найти $\,\sqrt{-4}\,.$ Существует ли действительное число , которое при возведении в квадрат дает $\,-4\,$? Положительное число в квадрате положительно. Отрицательное число при возведении в квадрат снова становится положительным. Таким образом, не существует действительного числа, обладающего тем свойством, что возведение его в квадрат дает в результате $\,-4\,$.
Это вторая проблема. Вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательных чисел.
Таким образом, мы приходим к точному определению квадратного корня, что характерно для поведения всех четных корней:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ квадратный корень из $\,х\,$
Пусть $\,x \ge 0\,.$
Число $\displaystyle\,\sqrt{x}\,$ читается как квадратный корень из $\,x\,$ определяется следующим образом:
$\displaystyle\,\sqrt{x}\,$ — неотрицательное число, которое при возведении в квадрат
равно $\,x\,.
$
Вот обобщение определения чтобы покрыть все четные корни:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ четные корни: $\root n\of x\,$ для четных значений из $\,n\,$ 9{\text{th}}\,$ корень из $\,x\,$ определяется следующим образом:
$\displaystyle\,\root n\of{x}\,$ — уникальное неотрицательное число, которое при возведении в степень $\,n\,$, равно $\,x\,.$
Для $\,n = 2\,$
специальное обозначение $\,\sqrt{x}\,\,$
(вместо $\,\root 2\of{x}\,$)
используется,
и читается как квадратный корень из $\,x\,.
$
Радикалы
Все четные и нечетные корни имеют общее имя:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ радикалы
Радикал представляет собой выражение вида $$\cssId{s125}{\sqrt x}$$ или $$\cssId{s127}{\root n\of x}\,\ \ \cssId{s128}{n\in\{3,4,5,\ldots\}}$$
Термин радикал относится к конкретное имя для номера.
Оба $\,\sqrt{4}\,$ и $\,2\,$ являются именами для одного и того же числа:
$\,\sqrt{4}\,$ называется радикалом,
но $\,2\,$ — нет.
Вы должны увидеть корневой символ
‘$\,\sqrt{\,\,}\,$’
чтобы выражение можно было назвать радикалом.