Корень знак калькулятор: Квадратный корень — онлайн калькулятор CALC.WS

— возведение в степень

и следующих функций:

  • sqrt — квадратный корень
  • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
  • exp — e в указанной степени
  • lb — логарифм по основанию 2
  • lg — логарифм по основанию 10
  • ln — натуральный логарифм (по основанию e)
  • logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
  • sin — синус
  • cos — косинус
  • tg — тангенс
  • ctg — котангенс
  • sec — секанс
  • cosec — косеканс
  • arcsin — арксинус
  • arccos — арккосинус
  • arctg — арктангенс
  • arcctg — арккотангенс
  • arcsec — арксеканс
  • arccosec — арккосеканс
  • versin — версинус
  • vercos — коверсинус
  • haversin — гаверсинус
  • exsec — экссеканс
  • excsc — экскосеканс
  • sh — гиперболический синус
  • ch — гиперболический косинус
  • th — гиперболический тангенс
  • cth — гиперболический котангенс
  • sech — гиперболический секанс
  • csch — гиперболический косеканс
  • abs — абсолютное значение (модуль)
  • sgn — сигнум (знак)

Содержание

Кубический корень: онлайн калькулятор, график, формулы

Кубический корень числа А — это такое число В, которое при возведении в третью степень в результате дает число А. Вычисление кубического корня — более сложная задача, нежели поиск квадратных корней.

Обозначение

Корни чисел ранее обозначались символом Rx, от латинского слова radix, то есть корень. Именно поэтому синонимом арифметических корней стало слово «радикал». Позднее для удобства типографской записи корни стали обозначаться латинской буквой V, а надстрочный знак перед символом указывает на степень корня. Для упрощения обозначения кубических корней в этой статье мы будем использовать слово cube. Это означает, что cube(8) следует читать как «кубический корень из 8».

Алгоритм приблизительных вычислений

Кубический корень положительного или отрицательного числа А — это соответственно положительное или отрицательное В, которое при возведении в куб дает число А. Пусть требуется найти cube(27).

Для поиска корней используется следующий алгоритм рассуждений. Какое число нужно умножить на само себя 3 раза, чтобы получить 27? Посчитаем, что 2 × 2 × 2 = 8, а 3 × 3 × 3 = 27, следовательно, cube(27) = 3. Это простой целочисленный пример. Но что делать, если требуется найти cube(45)? Попробуем тот же алгоритм: 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64. Из этого следует, что кубический корень из 45 — это иррациональное число, которое находится в диапазоне 3 > cube(45) < 4. Число 45 находится приблизительно на половине пути между 27 и 64, поэтому можно предположить, что cube(45) = 3,5. Это грубая оценка кубического корня, которую можно использовать для приблизительных расчетов.

Помимо метода определения «на глазок», существует алгоритм расчета кубического корня больших чисел в столбик:

  • для начала число разделяется на группы чисел по три, начиная с правого конца, например, число 1234561789 будет выглядеть как 1 234 561 789;
  • после этого для каждой группы цифр требуется найти такой целочисленный кубический корень, который при увеличении на 1 и возведении в куб становится больше заданного числа;
  • далее следует записать полученный куб под группой цифр и произвести вычитание;
  • затем требуется ниже записать результат вычитания и снести вторую группу цифр;
  • после чего повторить алгоритм.

Точное значение такого корня найти невозможно, так как кубические корни для некубических чисел — это всегда бесконечные и непериодическое иррациональные числа. А что такое кубические числа?

Последовательность кубических чисел

Кубическое число — это такое натуральное число, кубический корень которого является целым числом. Кубическая последовательность формируется из натурального ряда, каждый член которого возведен в третью степень. Начало кубической последовательности выглядит следующим образом:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729…

Очевидно, что 8 = 23, 27 = 33, a 64 = 43 и так далее. Кубические корни любого числа из последовательности кубов являются целыми. Геометрически такие числа иллюстрируются объемом куба, ребро которого равно целочисленному корню числа. Например, число 64 — это объем куба с ребром длиной 4 см.

Кубическая последовательность растет довольно быстро, и в отличие от квадратов чисел, куб может оканчиваться на любую цифру. Так как количество натуральных чисел уходит в бесконечность, то и количество кубов также бесконечно, однако целочисленных значений все же гораздо меньше, чем иррациональных.

Наша программа представляет собой универсальный калькулятор вычисления корней любой степени. Для того, чтобы вычислить значение кубического корня вам потребуется указать заданное число в ячейку «Число(x)», а ячейке «Степень(n)» требуется ввести значение степени. По умолчанию калькулятор выставляет в «Степень(n)» число 3, поэтому вы сразу можете вычислять кубические корни, не устанавливая степень корня.

Пример работы калькулятора

Вычисление ребра куба

Классическая задача на вычисление кубического корня — это определение длины ребра куба, если известен его объем. Для значений объема из кубической последовательности все просто, так как ответ будет записан в виде целого числа. Для всех остальных значений нам пригодится онлайн-калькулятор. Давайте вычислим длины ребер для следующих объемов кубов:

  • Cube(10) = 2,1544;
  • Cube(25) = 2,9240;
  • Cube(50) = 3,6840;
  • Cube(75) = 4,2172;
  • Cube(100) = 4,6416.

Как видите, в диапазоне от 10 до 100 длина ребра изменятся всего на 2,5 пункта.

Заключение

Поиск кубического корня — сложная задача, если вычислять значение требуется для больших или некубических чисел. Для определения значения кубического корня заданной точности используйте наш онлайн-калькулятор — простой инструмент для быстрых вычислений, который идеально подойдет школьникам и студентам.

Вычислить квадратный корень из числа: примеры, расчеты, калькулятор


Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

  • найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
  • выполнить математическое действие с дробными степенями.

Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

Например:

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:


Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило

Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.

Ответ. 

 

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки. Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4.

Значит

между 2 и 4.

Оцениваем значение Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76~7.

Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так:

— целую часть справа налево;

— число после запятой слева направо.

Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94

795,28 → 7 95, 28

Допускается, что вначале остается непарное число.

Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел).

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 = 

Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Примечание: числа должны быть одинаковыми.

Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня.

Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.

Вычтите полученное справа произведение из числа слева.

Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.

Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую.

Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.

Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение  прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Алгоритм действий

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

4. Нажмите кнопку «Решить».

Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.

Урок 4. Использование Mathcad в качестве калькулятора

Mathcad является хорошим калькулятором, особенно удобным при использовании цифровой клавиатуры. Несмотря на то, что Mathcad требует некоторого времени для освоения, он имеет одно неоспоримое преимущество – в нем можно сохранять результаты всех вычислений и выводить их на печать.]

Кроме того, существует оператор деления «в строку» [?], который по функции аналогичен обычному оператору деления. Все эти операторы находятся на вкладке Математика –> Операторы, но намного быстрее использовать для их ввода клавиатуру:

Использование бинарных операторов в Mathcadаналогично их использованию в обычном калькуляторе. Сначала щелкните мышью в пустой области, введите первое число, затем оператор, затем второе число. Для вывода результата следует нажать [=]. Например, ввод выражения [2/3=] приведет к следующему результату:

При использовании бинарных операторов Mathcad использует обычные правила старшинства операций. Попробуйте вычислить следующие выражения:

Правила старшинства операций и скобки

Используя скобки, можно изменить правила старшинства операций. В вычислениях скобки набираются сразу парой. В математической области введите открывающуюся скобку [(], и появится пара скобок:

В появившийся местозаполнитель вводите символы дальше, например, [3+7]:

Нажмите на стрелку вправо на клавиатуре, чтобы выделить закрывающую скобку, затем введите оператор деления: [?/]

Закончите вычисление, набрав [10=]:

Следующие выражения можно вычислить, набрав следующие комбинации клавиш [(2+3/5?*7=] и [2+3/5??*7=]:

При вводе бинарных операторов без чисел Вы получите оператор и два местозаполнителя:

При вводе сложных выражений часто бывает проще сначала ввести скобки и операторы, а затем вводить числа:

При вводе сложных выражений можно допустить ошибку. Как их можно исправить, мы обсудим в уроке 6 «Редактирование выражений». А пока просто удаляйте неправильные выражения, выделяя их и нажимая [Delete].

Унарные операторы

Существует несколько «унарных» операторов, применение которых требует только одно число: квадратный корень [\], модуль [|], факториал [!]. Примеры:

Оператор корня может быть как унарным, так и бинарным. Если не заполнять местозаполнитель над знаком корня, используется квадратный корень:

Оператор [-] также может использоваться для двух случаев: как оператор вычитания и как оператор отрицания. При внимательном рассмотрении видно, что оператор отрицания находится ближе к числу, следующему за ним:

Константы

Стандартные константы Mathcad (доступны на вкладке Математика –> Операторы и символы –> Константы):

 

Странная, но полезная константа – NaN (Not a Number– Не число). Ее можно использовать, чтобы избегать пропущенные или ошибочные значения:

Многие другие константы также находятся на вкладке Математика –> Операторы и символы –> Константы. В следующем уроке мы научимся определять собственные константы.

Функции

Mathcad включает в себя большое число функций. Весь список можно увидеть, нажав Функции –> Все функции:

Вот пример некоторых использования некоторых из них (обратите внимание, что у некоторых из них не совсем привычные названия, например, функцию арккосинуса следует набирать acos, а не arccos):

Форматирование чисел

Чтобы изменить формат числа, следует щелкнуть по числу и выбрать нужный формат на вкладке Форматирование формул –> Результаты. Первое меню включает в себя пять форматов: Общий, Десятичный, Научный, Проектирование, Процент:

Второе меню позволяет настроить число знаков после запятой.

Продемонстрируем эти настройки на следующих числах (здесь используется оператор присваивания :=, о котором мы поговорим в следующем уроке):

Чаще всего используют общий формат – число от 0.001 до 1000 представляется в привычной записи, для остальных чисел используется стандартная запись (число от 1 до 10, умноженное на 10n):

Десятичный формат представляет все числа в привычной десятичной форме:

Научный формат представляет все числа в стандартной записи:

На него похож инженерный формат (формат Проектирование), но показатель степени кратен трем:

В процентном формате число умножается на 100 и отображается со знаком процента:

Резюме

  1. Щелкните мышью в пустой области, чтобы начать ввод математического выражения.
  2. Введите выражение с помощью операторов сложения [+], вычитания [-], умножения [*] и т.д.
  3. Используйте скобки для изменения правила старшинства операций. При вводе одной скобки на экране появляется сразу пара скобок. Чтобы войти или выйти из скобок, используйте стрелки или щелчок мышью.
  4. Чтобы составить сложное выражение, сначала наберите скобки и операторы.
  5. Три полезных унарных оператора: отрицание [-], модуль [|], факториал [!]. Оператор отрицания использует тот же символ, что и оператор вычитания.
  6. В Mathcad встроено большое число констант. Мы рассмотрели лишь ?, eи ?.
  7. В Mathcad есть множество функций. Большую часть из них можно ввести с клавиатуры, например, [sin(] для синуса, [exp(] для экспоненты и т.д.
  8. При необходимости, отформатируйте число с помощью вкладки Форматирование формул –> Результаты.

Другие интересные материалы

Алгоритм извлечения квадратного корня

Квадратный корень легко извлекается с помощью калькулятора. Для этого достаточно набрать на нём исходное число и нажать клавишу корня

Если калькулятора под рукой нет, то квадратный корень извлекают пользуясь алгоритмом извлечения квадратного корня.

Применение алгоритма может оказаться весьма полезным на контрольных и экзаменах. Ведь чаще всего на таких мероприятиях использовать калькулятор запрещено.

Предварительные навыки

Как пользоваться алгоритмом

Рассмотрим применение алгоритма извлечения квадратного корня на конкретных примерах. О том, почему алгоритм следует применять именно так, поговорим позже.

Пример 1. Извлечём квадратный корень из числа 4096 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Прежде всего сгруппируем число 4096 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку:

Сгруппированные цифры исходного числа называют грáнями, а саму группировку по две цифры разделением на грáни. Количество грáней позволяет предположить сколько цифр будет содержаться в извлечённом корне. В нашем примере извлечённый корень будет содержать две цифры, поскольку исходное число содержит две грани.

Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 40 с точностью до целых, получаем 6. Записываем 6 после знака равенства:

Далее возвóдим число 6 в квадрат и полученный результат записываем под числом 40

Далее вычитаем из числа 40 число 36, получаем 4. Записываем это число под 36

Снóсим оставшиеся цифры из под корня, а именно 96. Получаем остаток 496

Теперь нужно найти следующую цифру корня. Её находят так. Первую найденную цифру корня, а именно 6 умножаем на 2, получаем 12. К числу 12 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 496 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 12 и умножим образовавшееся число 125 на 5

Получилось число 625, которое больше остатка 496. Значит цифра 5 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 4. Допишем ее к числу 12 и умножим образовавшееся число 124 на 4

Получилось число 496, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 12 цифра 4 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 4 в ответе после цифры 6

А число 496, которое получилось в результате умножения 124 на 4 записываем под остатком 496

Выполняем вычитание 496 − 496 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

Для удобства поиска второй цифры, слева от остатка проводят вертикáльную линию и уже за этой линией записывают умножение. В нашем случае умножение 124 на 4. Результат умножение сразу записывают под остатком:

Итак, квадратный корень из числа 4096 равен 64


Пример 2. Извлечём квадрáтный корень из числа 441 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Прежде всего сгруппируем число 441 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку. В данном случае в числе 441 только три цифры. Поэтому группируем цифры 4 и 1. Крайняя четвёрка слева будет сама по себе:

Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 4 с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под числом 4

Вычитаем из числа 4 число 4, получаем 0. Ноль принято не записывать. Снóсим оставшиеся цифры корня, а именно 41

Теперь нахóдим следующую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 41 или хотя бы максимально близким ему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 42 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 41

Получилось число 84, которое больше остатка 41. Значит цифра 2 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 41 на на ту же самую дописанную цифру 1

Получилось число 41, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 4 цифра 1 является следующей цифрой корня. Записываем цифру 1 после цифры 2

А число 41, которое получилось в результате умножения 41 на 1, записываем под остатком 41

Выполняем вычитание 41 − 41 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:


Пример 3. Извлечём квадратный корень из числа 101761 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Разбиваем число 101761 на грани:

Получилось три грани. Значит корень будет состоять из трёх цифр.

Извлекáем квадратный корень из первой грани (из числа 10) с точностью до целых, получаем 3. Записываем 3 после знака равенства:

Далее возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 10)

Вычитаем из числа 10 число 9, получаем 1. Снóсим следующую грань, а именно число 17. Получаем остаток 117

Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 117 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 6 и умножим образовавшееся число 62 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 117

Получилось число 124, которое больше остатка 117. Значит цифра 2 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 6 и умножим образовавшееся число 61 на на ту же самую дописанную цифру 1

Получилось число 61, которое не превосходит остатка 117. Значит дописанная к числу 6 цифра 1 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 3

Теперь выполняем вычитание 117 − 61 = 56.

Снóсим следующую грань, а именно число 61. Получаем новый остаток 5661

Теперь нахóдим третью цифру корня. Первые две найденные цифры корня, а именно число 31 умножаем на 2, получаем 62. К числу 62 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 5661 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 9. Допишем её к числу 62 и умножим образовавшееся число 629 на ту же самую дописанную цифру 9. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 5661

Получилось число 5661, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 62 цифра 9 является третьей цифрой корня. Записываем цифру 9 в ответе после цифры 1

Выполняем вычитание 5661 − 5661 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:


Пример 4. Извлечём квадратный корень из числа 30,25 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Данное число является десятичной дробью. В данном случае на грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

Получилось по одной грани в каждой части. Это значит, что корень будет состоять из двух цифр: одна цифра будет в целой части корня и одна цифра в дробной.

Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 30) с точностью до целых, получаем 5. Записываем 5 после знака равенства:

Далее возвóдим число 5 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 30)

Вычитаем из числа 30 число 25, получаем 5.

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 30,25 с точностью до целых, получили ответ 5. Последний остаток 5 показывает, что целая часть 30 превосходит квадрат 52 на 5 квадратных единиц.

Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых), снесём следующую грань, а именно число 25, получим остаток 525. А в ответе после числа 5 следует поставить запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробную часть корня.

Затем снóсим следующую грань, а именно число 25. Получаем остаток 525

Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим следующую цифру корня. Для этого уже найденный корень, а именно число 5 умножим на 2 получим 10. К числу 10 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 525 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 10 и умножим получившееся число 105 на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 525, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 10 цифра 5 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 5 после в ответе после запятой:

Выполняем вычитание 525 − 525 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

В подкоренном выражении можно было использовать следующий прием: умножить подкоренное число на 100 и получить под корнем число 3025. Далее извлечь из него квадратный корень, как из обычного целого числа. Тогда получился бы ответ 55

Затем можно обратно разделить 3025 на 100 (или сдвинуть запятую влево на две цифры). В результате под корнем полýчится прежнее число 30,25, а правая часть уменьшится в десять раз и полýчится квадратный корень из числа 30,25.


Пример 5. Извлечём квадратный корень из числа 632,5225 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Данное число является десятичной дробью. Разбиваем число на грани. На грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

Получилось четыре грани. При этом две грани в целой части, и две грани в дробной. Это значит, что корень будет состоять из четырёх цифр: две цифры будет в целой части корня, и две цифры после запятой.

Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 6) с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 6)

 

Вычитаем из числа 6 число 4, получаем 2. Затем снóсим следующую грань, а именно число 32. Получаем остаток 232

Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую уже найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 232 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 46 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 232

Получилось число 276, которое больше остатка 232. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 45 на на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 225, которое не превосходит остатка 232. Значит дописанная к числу 4 цифра 5 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 2

Теперь выполняем вычитание 232 − 225 = 7.

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 632,5225 с точностью до целых, получили ответ 25. Последний остаток 7 показывает, что целая часть 632 превосходит квадрат 252 на 7 квадратных единиц.

Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых и сотых), снесём следующую грань, а именно число 52, получим остаток 752. А в ответе после числа 25 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим первую цифру корня после запятой. Для этого уже найденные цифры, а именно 25 умножим на 2 получим 50. К числу 50 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 752 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 50 и умножим получившееся число 502 на ту же самую дописанную цифру 2. Можно интуитивно понять, что цифра 2 великá, поскольку 502 × 2 = 1004. А число 1004 больше остатка 752. Тогда очевидно, что первой цифрой после запятой будет цифра 1

Теперь выполняем вычитание 752 − 501 = 251. Сразу снóсим следующую грань 25. Полýчим остаток 25125

Теперь нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 502.

К числу 502 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 25125 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 502 и умнóжим образовавшееся число 5026 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 25125

Получилось число 30156, которое больше остатка 25125. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 502 и умножим получившееся число 5025 на на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 25125, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 502 цифра 5 является второй цифрой корня после запятой. Записываем цифру 5 в ответе после цифры 1

Теперь выполняем вычитание 25125 − 25125 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

В этом примере можно было воспользоваться методом умножения подкоренного выражения на 10000. Тогда подкоренное число приняло бы вид 6325225. Его можно разделить на грани, двигаясь справа налево. В результате получился бы корень 2515

Затем подкоренное число 6325225 делят на 10000, чтобы вернуться к изначальному числу 632,5225. В результате этого деления ответ умéньшится в 100 раз и обратится в число 25,15.


Пример 4. Используя алгоритм извлечения квадратного корня, извлечь квадратный корень из числа 11 с точностью до тысячных:

В данном числе только одна грань 11. Извлечём из неё корень с точностью до целых, получим 3

Теперь возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 11)

Выполним вычитание 11 − 9 = 2

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 11 с точностью до целых, получили ответ 3. Последний остаток 2 показывает, что целая часть 11 превосходит квадрат 32 на две квадратные единицы.

Наша задача была извлечь корень из числа 11 с точностью до тысячных. Значит нужно снести следующую грань, но её в данном случае нет.

Если после целого числа поставить запятую и написать сколько угодно нулей, то значение этого числа не измéнится. Так, после 11 можно поставить запятую и написать несколько нулей (несколько граней), которые в последствии можно будет снóсить к остаткам.

Если корень извлекáется с точностью до тысячных, то в ответе после запятой должно быть три цифры. Поэтому в подкоренном выражении поставим запятую и запишем три грани, состоящие из нулей:

Теперь можно снести следующую грань, а именно два нуля. Получим остаток 200. А в ответе после числа 3 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

Теперь нахóдим первую цифру после запятой в ответе. Первую найденную цифру корня, а именно число 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 200 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

В данном случае подойдёт цифра 3

Выполним вычитание 200 − 189 и снесём следующую грань 00

Нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 66.

К числу 66 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 1100 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

В данном случае подойдёт цифра 1

Выполним вычитание 1100−661 и снесём следующую грань 00

Нахóдим третью цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умножим на 2. Получим 662.

К числу 662 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 43900 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Проверим цифру 7

Получилось число 46389, которое больше остатка 43900. Значит цифра 7 не годится в качестве третьей цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 6. Допишем ее к числу 662 и умножим получившееся число 6626 на на ту же самую дописанную цифру 6

Получилось число 39756, которое не превосходит остатка 43900. Значит дописанная к числу 662 цифра 6 является третьей цифрой корня после запятой. Записываем цифру 6 в ответе после цифры 1

Выполним вычитание 43900 − 39756 = 4144

Дальнейшее вычисление не требуется, поскольку корень нужно было извлечь с точностью до тысячных.

Но в таких примерах как этот, цифры после запятой можно находить бесконечно. Например, так можно продолжить данный пример, найдя значение корня с точностью до десятитысячных:


Как работает алгоритм

Алгоритм извлечения квадратного корня основан на формуле квадрата суммы двух выражений:

(a + b)a+ 2ab b2

Геометрически эту формулу можно представить так:

То есть сторона a увеличивается на b. Это приводит к увеличению изначального квадрата. Чтобы вычислить площадь такого квадрата, нужно по отдельности вычислить площади квадратов и прямоугольников, входящих в этот квадрат и сложить полученные результаты. Нужно хорошо понимать данный рисунок. Без его понимания невозможно понять как работает алгоритм извлечения квадратного корня.

Отметим, что формула квадрата суммы двух выражений позволяет возвести в квадрат любое число. Используя разряды, исходное число представляют в виде суммы чисел и далее эту сумму возвóдят в квадрат.

Например, так можно возвести число 21 в квадрат: представить данное число в виде суммы двух десятков и одной единицы, и далее эту сумму возвести в квадрат :

212 = (20 + 1)2 = 202 + 2 × 20 × 1 + 12 = 400 + 40 + 1 = 441

Геометрически это будет выглядеть так: сторона квадрата равная 21 разбивается на две составляющие: 20 и 1.

Затем по отдельности вычисляются площади квадратов и прямоугольников, входящих в большой квадрат. А именно: один квадрат со стороной 20 (получается площадь, равная 400), два прямоугольника со сторонами 20 и 1 (получается две площади по 20), один квадрат со стороной 1 (получается площадь, равная 1). Результаты вычисления площадей складываются и получается итоговое значение 441.

Заметим также, что при возведéнии десятков в квадрат получились сотни. В данном случае при возведéнии числа 20 в квадрат получилось число 400. Это позволяет предположить, что если корень является двузначным числом, то десятки этого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Действительно, . Десятки корня это цифра 2, является корнем числа 4, которое отвечает за сотни числа 441.

А при возведéнии сóтен в квадрат получаются десятки тысяч. Например, возведём в квадрат число 123, используя формулу квадрата суммы двух выражений. Число 123 это одна сотня, два десятка и три единицы:

1232 = (100 + 20 + 3)2

При изучении многочленов мы выяснили, что если многочлен содержит более двух членов и возникла необходимость применить формулу квадрата суммы, то некоторые из членов можно взять в скобки, чтобы получилось выражение вида (a + b)2

Рассмотрим подробное извлечение квадратного корня из числа 4096. Заодно пройдёмся по основным этапам алгоритма извлечения квадратного корня, рассмотренного в предыдущей теме.

Допустим, что число 4096 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 4096 означает найти длину стороны данного квадрата:

Для начала узнáем из скольких цифр будет состоять корень. Ближáйшие от 4096 известные нам квадраты это 3600 и 4900. Между ними располагается квадрат 4096. Запишем это в виде неравенства:

Запишем каждое число под знáком корня:

Квадратные корни из чисел 3600 и 4900 нам известны. Это корни 60 и 70 соответственно:

Корни 60 и 70 являются двузначными числами. Если квадратный корень из числа 4096 располагается между числами 60 и 70, то этот корень тоже будет двузначным числом.

Двузначное число состоит из десятков и единиц. Это значит, что квадратный корень из числа 4096 можно представить в виде суммы a + b, где a — десятки корня, b — единицы корня. Сумма a + b во второй степени будет равна 4096

(a + b)2 = 4096

Тогда сторона квадрата будет разбита на две составляющие: a и b

Перепишем в равенстве (a + b)= 4096 левую часть в виде a+ 2ab b2

a+ 2ab + b2 = 4096

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 4096, можно представить так:

Если мы узнáем значения переменных a и b, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет двузначное число. Двузначное число состоит из десятков и единиц. При возведéнии десятков в квадрат, получаются сотни. Тогда десятки искомого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. В подкоренном числе 40 сотен. Отделим их небольшой помéткой:

Извлечём корень из числа 40. Из числа 40 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых.

Ближáйший мéньший квадрат к числу 40 это 36. Извлечём корень из этого квадрата, получим 6. Тем сáмым полýчим первую цифру корня:

На самом деле корень извлечён не из числа 40, а из сорокá сотен. Метка, которая постáвлена после числа 40, отделяет разряды числа, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 40 это 4000.

Из 4000 как и 40 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 4000. Но нужно принимать во внимание следующий момент. Десятки это числа с одним нулем на конце. Примеры:

10 — один десяток

30 — три десятка

120 — двенадцать десятков

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа с двумя нулями на конце:

102 = 100

302 = 900

1202 = 14400

Мы ищем десятки корня в сотнях числá 4096, то есть в числе 4000. Но нет такого числá с нулем на конце, вторая степень которого равна 4000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с двумя нулями на конце. Таковым является квадрат 3600. Корень следует извлекать из этого квадрата.

Вернемся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 3600. Укажем вместо a2 значение 3600

Теперь извлечём квадратный корень из квадрата 3600. Ранее мы говорили, что если число содержит уже знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь корень из этого числа. Для этого сначала следует извлечь корень из знакомого нам квадрата, а затем записать половину от количества нулей исходного числа:

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 3600. Подпишем сторону a как 60

Но ранее в ответе мы написали не 60, а 6. Это является сокращённым вариантом. Число 6 в данном случае означает шесть десятков:

Итак, десятки корня найдены. Их шесть. Теперь нужно найти единицы корня. Единицы корня это длина оставшейся маленькой стороны квадрата, то есть значение переменной b.

Чтобы найти b, нужно из общего квадрата, площадь которого 4096 вычесть квадрат, площадь которого 3600. В результате останется фигура, площадь которой 4096 − 3600 = 496

На рисунке видно как из квадрата, площадь которого 4096 отделился квадрат, площадь которого 3600. Осталась фигура, площадь которой 496.

Именно поэтому в процессе применения алгоритма первая найденная цифра корня возводится в квадрат, чтобы результат возведения вычесть из сотен подкоренного выражения.

Так, из 40 сотен вычитаются 36 сотен, остаётся 4 сотни плюс сносятся девяносто шесть единиц. Эти четыре сотни и девяносто шесть единиц вместе образуют 496 единиц:

Оставшаяся фигура есть ни что иное как удвоенное произведение первого выражение a плюс квадрат второго выражения b

Сумма площадей 2ab + b2 должна вмещаться в число 496. Запишем это в виде следующего равенства:

2ab b2 = 496

Значение a уже известно. Оно равно 60. Тогда равенство примет вид:

2 × 60 × b2 = 496

120b2 = 496

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 496 или хотя близкой к этому числу. Поскольку b является единицами искомого корня, то значение b является однозначным числом. То есть значение b это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. В данном случае очевидно, что числом b является 4

120 × 4 + 42 = 496

480 + 16 = 496

496 = 496

Но для удобства поиска этой цифры, переменную b выносят за скобки. Вернёмся к выражению 120b= 496 и вынесем b за скобки:

 b(120 + b) = 496

Теперь правую часть можно понимать так: к 120 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же сáмым b даст в результате 496.

Именно поэтому при использовании алгоритма, уже найденную цифру умножают на 2. Так, 6 мы умножили на 2 получили 12 и уже к 12 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же дописанную цифру, пытаясь получить остаток 496.

Но это опять же упрощённый вариант. На самом деле на 2 умножается не просто 6, а найденные десятки (в нашем случае число 60), получается число 120. Затем следует нахождение числá вида b(120 + b). То есть к 120 прибавляется число b, которое при перемножении с b даёт остаток 496.

Итак, = 4. Тогда:

4(120 + 4) = 496

4 × 124 = 496

496 = 496

При подстановке числá 4 вместо b получается остаток 496. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 4096, имеет сторону равную 60 + 4, то есть 64.

Если из общей площади вычесть 3600, затем 496, полýчим 0. Остаток, равный нулю, говорит о том, что решение завершено:

4096 − 3600 − 496 = 0


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 54756

Пусть число 54756 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 54756 означает найти длину стороны данного квадрата:

Пока неизвестно является ли квадратный корень из числа 54756 целым либо дробным числом. Узнáем для начала из скольких цифр будет состоять целый корень.

Число 54756 больше числá 10000, но меньше числá 90000

10000 < 54756 < 90000

Корни из 10000 и 90000 являются трёхзначными числами.

Тогда корень из 54756 тоже будет трёхзначным числом. А трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

Квадратный корень из числа 54756 можно представить в виде суммы a + b + с, где a — сотни корня, b — десятки корня, с — единицы корня. Сумма a + b + с во второй степени будет равна 54756

(a + b + c)2 = 54756

Тогда сторона квадрата будет разбита на три составляющие: a, b и c

Выполним в левой части равенства (a + b + c)= 54756 возведéние в квадрат:

Тогда рисунок иллюстрирующий квадрат, площадью 54756 можно представить так:

Два прямоугольника площадью ab в приведённом ранее равенстве заменены на 2ab, а два прямоугольника площадью (a + b)c заменены на 2ac + 2bc, поскольку (a + b)c = ac + bc. Если повторить выражение ac + bc дважды, то полýчится 2ac + 2bc

2(ac + bc) = 2ac + 2bc

Если мы узнáем значения переменных a, b и c, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет трёхзначное число. Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

При возведéнии сотен в квадрат, получаются десятки тысяч. Тогда сотни искомого корня следует искать в десятках тысяч подкоренного числа. В подкоренном числе 5 десятков тысяч. Отделим их мéткой:

Извлечём корень из числа 5. Из числа 5 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых Ближáйший мéньший квадрат к 5 это 4. Извлечём корень из этого квадрата, получим 2. Тем самым полýчим первую цифру корня:

На самом деле корень извлечён не из числа 5, а из пяти десятков тысяч. Метка, которая поставлена после числá 5, отделяет разряды числá, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 5 это 50000.

Из 50000 как и 5 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 50000. Но нужно принимать во внимание, что сотни это числа с двумя нулями на конце. Примеры:

100 — одна сотня

500 — пять сотен

900 — девять сотен

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа, у которых четыре нуля на конце:

1002 = 10000

5002 = 250000

9002 = 810000

Мы ищем сотни корня в десятках тысяч числа 54756, то есть в числе 50000. Но нет такого числá с двумя нулями на конце, вторая степень которого равна 50000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с четырьмя нулями на конце. Таковым является квадрат 40000.

Вернёмся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 40000. Укажем вместо a2 значение 40000

Теперь извлечём корень из квадрата 40000

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 40000. Подпишем сторону a как 200

Но ранее в ответе мы написали не 200, а 2. Это является сокращённым вариантом. Число 2 в данном случае означает две сотни:

Теперь вытаскиваем остаток. Из пяти десятков тысяч корень извлечён только из четырёх десятков тысяч. Значит в остатке остался один десяток тысяч. Вытащим его:

Опять же надо понимать, что 4 это 40000, а 1 это 10000. С помощью рисунка это можно пояснить так: квадрат, площадь которого 40000, вычитается от общего квадрата, площадь которого 54756. Остаётся фигура, площадь которой 54756 − 40000 = 14756

Теперь нужно найти десятки корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей ab + ab + b2 (или 2ab + b2). В эту сумму будет входить один десяток тысяч, который остался в результате нахождения сóтен корня, удвоенное произведение сотен и десятков корня 2ab, а также десятки корня в квадрате b2.

Десятки в квадрате составляют сотни. Поэтому десятки корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Под корнем сейчас 47 сотен. Снесём их к остатку 1, предварительно отделив их под корнем мéткой:

Один десяток тысяч это сто сотен, плюс снесено 47 сотен. Итого 100 + 47 = 147 сотен. В эти 147 сотен должна входить сумма 2ab + b2

2ab + b2 = 14700

Переменная a уже известна, она равна 200. Подставим это значение в данное равенство:

2 × 200 × b2 = 14700
 400b + b2 = 14700

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 14700 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку b является десятками искомого корня, то значение b является двузначным числом с одним нулём на конце. Такое число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки b

b(400 + b) = 14700

Теперь левую часть можно понимать так: к 400 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же самым b даст в результате 14700 или близкое к 14700 число, не превосходящее его. Подставим например 40

40(400 + 40) = 14700

17600 14700

Получается 17600, которое превосходит число 14700. Значит число 40 не годится в качестве десятков корня. Проверим тогда число 30

30(400 + 30) = 14700

12900 ≤ 14700

Получилось число 12900, которое не превосходит 14700. Значит число 30 подходит в качестве десятков корня. Числа, расположенные между 30 до 40 проверять не нужно, поскольку сейчас нас интересуют только двузначные числа с одним нулем на конце:

Вернемся к нашему рисунку. Сторона b это десятки корня. Укажем вместо b найденные десятки 30. А квадрат, площадь которого b2 это найденные десятки во второй степени, то есть число 900. Также укажем площади прямоугольников ab. Они равны произведению сотен корня на десятки корня, то есть 200 × 30 = 6000

Ранее в ответе мы написали не 30, а 3. Это является сокращённым вариантом. Число 3 в данном случае означают три десятка.

Теперь вытаскиваем остаток. В 147 сотен вместилось только 129 сотен. Значит в остатке осталось 147 − 129 = 18 сотен плюс сносим число 56 из подкоренного выражения. В результате образýется новый остаток 1856

С помощью рисунка это можно пояснить так: от фигуры, площадь которой 14756, вычитается площадь 12900. Остаётся фигура, площадь которой 14756 − 12900 = 1856

Теперь нужно найти единицы корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей 2(a + b)c + c2. В эту сумму и должен входить последний остаток 1856

2(a + b)c + c2 = 1856

Переменные a и b уже известны, они равны 200 и 30 соответственно. Подставим эти значения в данное равенство:

2(200 + 30)c + c2 = 1856

 2 × 230c + c= 1856

460c + c= 1856

Теперь наша задача найти такое значение c, при котором левая часть станет равна 1856 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку c является единицами искомого корня, то значение с является однозначным числом. То есть значение с это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки с

с(460 + c) = 1856

Теперь левую часть можно понимать так: к 460 следует прибавить нéкоторое число с, которое при умножении с тем же сáмым с даст в результате 1856 или близкое к 1856 число, не превосходящее его. Подставим, например, число 4

4(460 + 4) = 1856

4 × 464 = 1856

1856 = 1856

Именно поэтому при использовании алгоритма первые найденные цифры умножают на 2. Так, 23 мы умнóжили на 2, получили 46 и уже к 46 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру, пытаясь получить остаток 1856

Итак, с = 4. При подстановке вместо с числá 4 получается остаток 1856. Это значит, что единицы корня найдены.

Квадрат, площадь которого 54756, имеет сторону равную 200 + 30 + 4, то есть 234.


Если из общей площади 54756 вычесть 40000, 6000, 6000, 900, 920, 920 и 16, то получим 0. Остаток равный нулю говорит о том, что решение завершено:

54756 − 40000 − 6000 − 6000 − 900 − 920 − 920 − 16 = 0


Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 3

Квадратный корень из числа 3 не извлекается. Ранее мы говорили, что квадратные корни из таких чисел можно извлекать только приближённо с определенной точностью.

Пусть 3 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 3 значит найти длину стороны данного квадрата:

Корень из 3 больше корня из 1, но меньше корня из 4

√1 < √3 < √4

Корни из 1 и 4 являются целыми числами.

√1 < √3 < √4

1 < √3 < 2

Между числами 1 и 2 нет целых чисел. Значит корень из числа 3 будет десятичной дробью. Найдём этот корень с точностью до десятых.

Квадратный корень из числа 3 можно представить в виде суммы a + b, где a — целая часть корня, b — дробная часть. Тогда сторону квадрата можно разбить на две составляющие: a и b

Сумма a + b во второй степени должна приближённо равняться 3.

(a + b)2 ≈ 3

Выполним в левой части данного равенства возведéние в квадрат:

a2 + 2ab + b2 ≈ 3

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 3, можно представить так:

Найдём a. Извлечём корень из числа 3 с точностью до целых, получим 1

Если a2 это 1, а площадь всего квадрата равна 3, то в остатке останется 2. В этот остаток должна вмещаться площадь оставшейся фигуры:

Найдём b. Для этого рассмотрим сумму площадей 2ab + b2. Эта сумма должна приближённо равняться остатку 2, но не превосходить его

2ab + b2 ≈ 2

Значение a уже известно, оно равно единице:

2b + b2 ≈ 2

Вынесем за скобки b

b(2 + b) ≈ 2

Теперь в левой части к 2 следует прибавить нéкоторое число b, которое при умножении с тем же b будет приближённо равняться 2.

Значение b является дробным числом, а именно десятой частью. Оно равно какому-нибудь числу из промежутка [0,1; 0,9]. Возьмём любое число из этого промежутка и подставим его в равенство. Подставим к примеру 0,8

0,8(2 + 0,8) ≈ 2

2,24 ≈ 2

Получилось 2,24 которое превосходит 2. Значит 0,8 не годится в качестве значения b. Проверим тогда 0,7

0,7(2 + 0,7) ≈ 2

1,89 ≈ 2

Получилось 1,89 которое приближённо равно 2 и не превосходит его. Значит 0,7 является значением b

Значит квадратный корень из 3 с точностью до десятых приближённо равен 1 + 0,7

К сожалению, понять механизм алгоритма извлечения квадратного корня намного сложнее, чем использовать сам алгоритм. Решите несколько примеров на применение алгоритма, и понимание механизма его работы будет даваться вам значительно проще.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Извлечь квадратный корень из числа 169, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 2. Извлечь квадратный корень из числа 289, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 3. Извлечь квадратный корень из числа 1089, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 4. Извлечь квадратный корень из числа 1764, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 5. Извлечь квадратный корень из числа 4761, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 6. Извлечь квадратный корень из числа 132496, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 7. Извлечь квадратный корень из числа 157 с точностью до сотых, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 8. Извлечь квадратный корень из числа 240,25 используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Калькулятор настольный полноразмерный Citizen SDC-444S 12-разрядный черный

Калькулятор настольный полноразмерный Citizen SDC-444S 12-разрядный черный – выгодная цена – купить товар Калькулятор настольный полноразмерный Citizen SDC-444S 12-разрядный черный в интернет-магазине Комус {{#each tradingPlatforms}} {{/each}} {{/if}}

Запросите оферту через форму обратной связи

{{#if tradingPlatforms.length}} {{/if}}

Арт. 176189

• В наличии

Характеристики:

  • Торговая марка: Citizen
  • Разрядность дисплея: 12
  • Тип размера: полноразмерный
  • Материал кнопок: пластик
  • Металлическая панель: Нет
  • Вычисление налога: Нет
  • Пересчет курсов валют: Нет
  • Коррекция вычислений: Да
  • Тип применения: для бухгалтеров
  • Страна происхождения: Филиппины

Цена за шт.

цена только для интернет-магазина

876,00 р.

Количество Ваша цена Экономия
2 806,00 p. 70,00 р.
4 771,00 p. 105,00 р.
6 718,00 p. 158,00 р.
8 666,00 p. 210,00 р.

Наличие в магазинах «Комус» товара с артикулом N {{productId}}
{{region}}, состояние на {{currentTime}}

{{> pageNumberTemplate pages}} {{#if availableStocks.length}} {{#if subwayNeed }} {{/if}} {{#each availableStocks}} {{/each}} {{/if}} {{> pageNumberTemplate pages}}

В розничных магазинах «Комус» цена на данный товар может отличаться от цены Интернет-магазина.

Подробную информацию о цене и количестве товара вы можете получить,
позвонив по телефону ближайшего к Вам магазина «Комус».

Адреса всех магазинов Комус

Закрыть

Закрыть

{{/if}} {{#each products}} {{#if (eqw this.forbidden true)}} {{> productAddToCartForbiddenTemplate}} {{else}} {{#if (and (neqw this.stock null) (neqw (uppercase this.stock.stockLevelStatus.code) «OUTOFSTOCK») (neqw this.price null))}} {{else}} Товар недоступен {{/if}} {{/if}}

Арт. {{this.code}} {{#if this.stock}} {{#if (neqw this.stock.stockStatusText null)}} {{{ this.stock.stockStatusText }}} {{else}} {{#if (eqw (uppercase this.stock.stockLevelStatus.code) «ONREQUEST»)}} Под заказ {{else}} {{#if (neqw (uppercase this.stock.stockLevelStatus.code) «OUTOFSTOCK»)}} В наличии {{else}} Нет в наличии {{/if}} {{/if}} {{/if}} {{/if}}

{{/each}} {{#each fields}} {{@key}} {{#each this}} {{this}} {{/each}} {{/each}} Торговая марка {{#each products}} {{#if (neqw this.trademark null)}} {{this.trademark.name}} {{/if}} {{/each}} Рейтинг {{#each products}} {{#if (eqw this.ratingWidth null)}}

{{this.averageRating}}{{#if (eqw this.averageRating null)}}0{{/if}}

{{/each}}

Сравнение товаров

{{> breadcrumbTemplate breadcrumbs=breadcrumbs }} {{#if (gt products.length 0)}}

Закрыть

{{else}}

Нечего сравнивать

{{/if}}

Сопутствующие товары

{{#if (gt tags.length 7)}}

{{#each tags}} {{excerpt this.tagName 70}} {{/each}} Скрыть

{{/if}} {{/if}}

{{#each this.featureValues}} {{#if (gt @index 0)}}
{{/if}} {{#if ../this.featureUnit}} {{this.value}} {{lowercase ../this.featureUnit.symbol}} {{else}} {{this.value}} {{/if}} {{/each}}

{{/if}} {{/each}} {{/each}} {{/if}} {{#if (neq ../typeId undefined)}}{{/if}} {{#if this.images}} {{#each this.images}} {{#if (and (eq this.format ‘product’) (eq this.imageType ‘PRIMARY’))}} {{/if}} {{/each}} {{else}} {{/if}} {{#if (and this.labels (gt this.labels.length 0))}}

{{> productLabelItemTemplate labels=this.labels}}

{{/if}} {{> productDetailTabItemDescriptionTemplate product=this typeId=../typeId needRenderPartials=true}} {{/each}} {{#if categoryLink}} {{/if}}

Настольный калькулятор — незаменимый помощник в офисе, школе и дома. Эргономичная форма, крупные клавиши, устойчивые прорезиненные ножки позволят работать эффективнее. Оптимальный набор функций поможет автоматизировать расчеты: вычисление квадратного корня, коррекция последнего введенного значения, копка»00«, двойная память, расчет наценки и функция автоотключения. Сама продаваемая модель в России по версии РБК! Одобрен для ЕГЭ по физике, химии и геограыии, сертификат прилагается. Тип клавиатуры: пластик. Наличие металлической панели: нет. Гарантия 5 лет! Мир рассчитывает на Citizen!

Торговая марка: Citizen
Подробные характеристики
Модель: SDC-444S
Разрядность дисплея: 12
Тип питания: LR54
Размер изделия: 199x153x30 мм
Тип размера: полноразмерный
Материал кнопок: пластик
Металлическая панель: Нет
Вес изделия: 0.209 кг
Расчет процентов: Да
Вычисление налога: Нет
Пересчет курсов валют: Нет
Коррекция вычислений: Да
Гарантийный срок: 60 мес
Принадлежность к ТСТ: оборудование не требует установки/запуска
Вычисление квадратного корня: Да
Тип применения: для бухгалтеров
Страна происхождения: Филиппины
Цвет: черный

Отзывы: Калькулятор настольный полноразмерный Citizen SDC-444S 12-разрядный черный

Отзывы могут оставлять только авторизованные пользователи.

{{#if (neqw this.shopAnswer null)}}

Магазин «Комус»,

{{this.shopAnswer}}

{{/if}} {{/each}}

Описание

Настольный калькулятор — незаменимый помощник в офисе, школе и дома. Эргономичная форма, крупные клавиши, устойчивые прорезиненные ножки позволят работать эффективнее. Оптимальный набор функций поможет автоматизировать расчеты: вычисление квадратного корня, коррекция последнего введенного значения, копка»00«, двойная память, расчет наценки и функция автоотключения. Сама продаваемая модель в России по версии РБК! Одобрен для ЕГЭ по физике, химии и геограыии, сертификат прилагается. Тип клавиатуры: пластик. Наличие металлической панели: нет. Гарантия 5 лет! Мир рассчитывает на Citizen!

Торговая марка: Citizen
Подробные характеристики
Модель: SDC-444S
Разрядность дисплея: 12
Тип питания: LR54
Размер изделия: 199x153x30 мм
Тип размера: полноразмерный
Материал кнопок: пластик
Металлическая панель: Нет
Вес изделия: 0.209 кг
Расчет процентов: Да
Вычисление налога: Нет
Пересчет курсов валют: Нет
Коррекция вычислений: Да
Гарантийный срок: 60 мес
Принадлежность к ТСТ: оборудование не требует установки/запуска
Вычисление квадратного корня: Да
Тип применения: для бухгалтеров
Страна происхождения: Филиппины
Цвет: черный

ООО «МИР ФОТО И РЕКЛАМЫ», Юлия, написал(а) 02 Июнь 2021

Очень хороший и практичный калькулятор. Действительно долгожитель среди всех моделей.!!! Очень удобен для офиса в использовании. Купили уже третий для сотрудников ))

МОСИНЖЖЕЛЕЗОБЕТОН ЖБИ-15, Ivan йцу Test, написал(а) 04 Июнь 2019

Калькулятор хорошо подходит для офиса.

Любовь, написал(а) 21 Декабрь 2018

Калькулятор- долгожитель! Очень удобный размер,большие клавиши- большой плюс. При этом не мешает на рабочем столе

Полозов, написал(а) 21 Август 2016

Это — облегчённая версия легендарного долгожителя SDC-888. Отличие от 888 — нет металлической рамки вокруг экрана. Только по этой причине он стоит дешевле. Базовая модель выпускается как минимум с середины 90-х годов прошлого века.

Виктория, написал(а) 19 Март 2016

Недавно купили такой калькулятор. Довольны. Самое главное — большие удобные кнопки для нажатия. Большой набор различных вычислительных функций. Высокая разрядность дисплея. С удовольствием пользуемся)

«Калькулятор» на iPhone: скрытые возможности стандартного iOS-приложения

«Калькулятор» – одно из системных приложений в iOS, на которое владельцы «яблочных» смартфонов в большинстве своем практически не обращают внимание. Для тех, кто имеет дело с постоянными расчетами и вычислениями, мобильный калькулятор служит, скорее, экстренной заменой, но для остальных пользователей приложение является неплохим подспорьем в определенных ситуациях. 

♥ ПО ТЕМЕ: Как считать проценты: от суммы, числа, по кредиту, на калькуляторе, на айфоне.

Помимо базовых функций, «Калькулятор» на iPhone включает ряд дополнительных возможностей, о которых Вы могли не знать.

 

Видео:

 

Как активировать научный калькулятор

В число функций приложения входит научный калькулятор, предназначенный для произведения сложных математических вычислений. О его существовании наверняка известно многим владельцам iPhone. При повороте устройства на 90 градусов клавиатура калькулятора превращается в более функциональный интерфейс с кнопками, имеющими интуитивно понятное обозначение. Используя научный калькулятор любители математики смогут извлекать корни, вычислять логарифмы и тригонометрические функции.

♥ ПО ТЕМЕ: Почему «0» на клавиатуре-звонилке iPhone идет после «9», а в калькуляторе перед «1»?

 

Как удалить последнюю введенную цифру в калькуляторе

Вы когда-нибудь задумывались, где Apple разместила кнопку возврата, позволяющую исправить цифру в случае ошибочного ввода? Многие пользователи используют для этой цели клавишу C (Сброс) и, в результате, вынуждены начинать операцию сначала. Apple предусмотрела более простое решение проблемы – для того, чтобы удалить последнюю введенную цифру, поместите палец на числовое значение и сделайте свайп вправо или влево. Направление свайпа не важно – приложение всегда удаляет только последнюю введенную цифру. Данный жест работает как в вертикальном, так и в горизонтальном режимах.

♥ ПО ТЕМЕ: Как правильно заштриховывать секретные данные на скриншотах в iPhone, чтобы их нельзя было увидеть.

 

Как в калькуляторе скопировать последний результат

С выходом iOS 10 переключение между «Калькулятором» и другими приложениями стало намного удобнее благодаря наличию поддержки 3D Touch. В устройствах с поддержкой 3D Touch «Пункт управления» включает функцию «Скопировать последний результат», избавляющую пользователей от необходимости каждый раз открывать «Калькулятор» для доступа к результатам подсчетов.

♥ ПО ТЕМЕ: Ретушь на Айфоне: лучшие iOS-приложения для ретуширования фотографий.

 

Как в калькуляторе на iPhone повторить последнее действие

Повторное нажатие на клавишу «=» в калькуляторе позволит повторить последнее произведенное действие. Например, подсчитываем чему равно 80% от 1200 (1200 × 0,8 = 960). Каждый раз, когда пользователь будет нажимать «=» приложение повторно проведет операцию (то есть посчитает 80% от 960, 80% от 768 и т.д.).

♥ ПО ТЕМЕ: iPhone новый, demo или восстановленный (реф, CPO, как новый) – как проверить по номеру модели.

 

Какая разница между кнопками C и AC в калькуляторе

Нажатие на кнопку AC приводит к аннулированию текущего ввода, а кнопка C отменяет последнюю из введенных операций. В начале ввода клавиша будет иметь значение AC, а затем изменит значение на C, что позволит пользователю лучше контролировать производимые вычисления.

Смотрите также:

Учебное пособие по научному калькулятору

— квадратный корень из x Учебное пособие по научному калькулятору

— квадратный корень из x
Одна из основных функций калькулятора — функция извлечения квадратного корня. Расположение ключа будет варьироваться от калькулятора к калькулятору. На некоторых калькуляторах потребуется клавиша Shift. В любом случае вам нужно будет искать символ на вашем калькуляторе. У меня мы находим это так, как показано на рисунке справа.


Предположим, вы хотите оценить что-то вроде на вашем калькуляторе.Сначала введите число 9. Затем нажмите клавишу извлечения квадратного корня. В результате должен получиться ответ 3.

Предположим, вы хотите оценить что-то вроде на вашем калькуляторе. Сначала введите число 25,85. Затем нажмите клавишу квадратного корня. В результате должен получиться что-то вроде 5.084289528. Имейте в виду, что это не совсем точный ответ. Калькуляторы ограничены определенным количеством десятичных знаков. Мой научный калькулятор может отображать не более 10 знаков. Если бы вы оценили 5.084289528 2 вручную получится 25.850000004530462784. Однако для большинства целей 5.084289528 является прекрасным приближением для.

Теперь предположим, что вы хотите оценить что-то подобное на своем калькуляторе. Сначала введите часть под корнем (символ квадратного корня). Вы введете 2 * 3,5 + 4 * 5,23. Затем вам нужно будет нажать знак равенства. НЕ нажимайте клавишу извлечения квадратного корня, пока не нажмете знак равенства. Причина в том, что калькулятор будет оценивать вещи, используя правильный приоритет операций.Это означает, что калькулятор извлечет квадратный корень из 5,23, умножит его на 4 и прибавит 2 * 3,5. Это будет неправильный ответ. После того, как вы нажмете знак равенства, нажмите клавишу квадратного корня. В результате должен получиться примерно такой ответ: 5.283937925. Опять же, имейте в виду, что это не точный ответ, а приблизительный. Другой способ справиться со сложными выражениями под квадратным корнем — использовать круглые скобки.

Предположим, вы хотите оценить, используя круглые скобки.Сначала введите левую скобку. Затем введите деталь под корень. Затем введите правую скобку. Вы введете (2 * 3,5 + 4 * 5,23). Правая скобка имеет тот же эффект, что и знак равенства. Затем нажмите клавишу квадратного корня. Опять же, в результате должен получиться что-то вроде 5.283937925.


Перейти к СЛЕДУЮЩЕМУ руководству.
Перейти к ПРЕДЫДУЩЕМУ руководству.
Перейдите на главную страницу учебника по калькулятору.
Перейти на главную страницу курса.
Комментарии и предложения присылайте по адресу :worthf @ hsu.edu

Дата последнего изменения — 07.04.99
HSU Страница отказа от ответственности — «Взгляды и мнения, выраженные в этом page строго принадлежат автору страницы. Содержание этой страницы не были рассмотрены или одобрены Государственным университетом Хендерсона «.

Калькулятор корня ➤ вычислить любой корень

Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы легко вычислить корень n-й степени заданного числа.

Быстрая навигация:

  1. Что такое корень числа?
  2. Функции квадратного и кубического корня
  3. Поддерживает ли калькулятор дроби?

Что такое корень числа?

n-й корень числа отвечает на вопрос «какое число я могу умножить само на себя n раз, чтобы получить это число?».Это обратная операция возведения в степень, когда показатель степени равен n, поэтому, если r n = x, то мы говорим, что «r — корень n-й степени из x». Математическая операция нахождения корня числа имеет специальное обозначение: символ корня √.

Если n четно, то всегда есть два корня: положительный и отрицательный, с равным значением и противоположными знаками. Положительное решение называется главным корнем. Если n нечетное, то существует только один корень действительного числа, и он имеет тот же знак, что и x.Это его главный корень. Некоторые корни, например кубический корень, также имеет решения в комплексных числах и сопряжениях, но это всегда главный корень, который будет выводить наш калькулятор корней.

Самыми популярными корневыми функциями являются квадратный корень (n = 2) и кубический корень (n = 3), причем первая из них имеет множество приложений в математике, геометрии, физике, теории вероятностей и статистике. Кубические корни находят применение в угловых вычислениях.

Функции квадратного и кубического корня

Вот визуализация функций квадратного корня и кубического корня для небольшого набора целых чисел:

Графики были построены с использованием этого калькулятора корня n-й степени.Он поддерживает любой корень, который может вас заинтересовать в вычислениях, в той мере, в какой это позволяет современное программное обеспечение.


Калькулятор поддерживает дроби?

Да, просто введите дробь как десятичное число (используйте точку в качестве десятичного разделителя), и вы получите соответствующий корень. Например, чтобы вычислить квадратный корень из 1/2, просто введите 0,5 в числовое поле и 2 в поле корня, и вы получите 0,7071 на выходе. Если у вас возникли проблемы с преобразованием дроби в десятичное число, вам пригодится наш конвертер дроби в десятичное.

Как вычислить квадратный корень вручную (с иллюстрациями)

Краткое содержание статьиX

Чтобы вычислить квадратный корень вручную, сначала оцените ответ, найдя 2 полных квадратных корня, между которыми находится это число. Идеальный квадратный корень — это любой квадратный корень из целого числа. Например, если вы пытаетесь найти квадратный корень из 7, сначала вам нужно найти первый правильный квадрат ниже 7, который равен 4, и первый правильный квадрат выше 7, который равен 9. Затем найдите квадратный корень из каждого полного квадрата.Квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 9 равен 3. Таким образом, вы знаете, что квадратный корень из 7 находится где-то между 2 и 3. Теперь разделите полученное число на один из найденных полных квадратных корней. Например, вы бы разделили 7 на 2 или 3. Если бы вы выбрали 3, ваш ответ был бы 2,33. Затем найдите среднее значение этого числа и точный квадратный корень. Чтобы найти среднее значение в этом примере, сложите 2,33 и 2, затем разделите на 2 и получите 2,16. Повторите процесс, используя полученное среднее значение.Сначала разделите число, из которого вы пытаетесь найти квадратный корень, на среднее значение. Затем найдите среднее значение этого числа и исходного среднего, сложив их и разделив на 2. Например, сначала вы разделите 7, число, с которого вы начали, на 2,16, среднее, которое вы рассчитали, и получите 3,24. Затем вы должны добавить 3,24 к 2,16, старому среднему, и разделить на 2, чтобы найти новое среднее значение, равное 2,7. Теперь умножьте свой ответ на себя, чтобы увидеть, насколько он близок к квадратному корню из числа, с которого вы начали.В этом примере 2,7, умноженное на само себя, равно 7,29, что на 0,29 отличается от 7. Чтобы приблизиться к 7, вы должны просто повторить процесс. Продолжайте делить число, с которого вы начали, на среднее значение этого числа и идеального квадрата, используя это число и старое среднее значение, чтобы найти новое среднее значение, и умножайте новое среднее значение само на себя, пока оно не сравняется с вашим начальным числом. Если вы хотите узнать, как использовать алгоритм длинного деления для нахождения квадратного корня, продолжайте читать статью!

Спасибо всем авторам за создание страницы, которую прочитали 2161 289 раз.

работает для десятичных и целых подкоренных выражений

Что такое квадратный корень?

Определение квадратного корня: Противоположность возведению числа в квадрат. Например, найти квадратный корень из 81 — это то же самое, что спросить: «Какое число в квадрате равно 81?»

Конечно, если вы знаете, что 9 x 9 = 81, вы будете знать, что квадратный корень из 81 равен 9 (9 2 = 81). Однако вы можете не осознавать, что -9 также является квадратным корнем из 81, потому что -9 x -9 также равняется 81.

Другими словами, все числа больше нуля (ноль никогда не может быть отрицательным или положительным) имеют два квадратных корня — один положительный и один отрицательный. Вот почему при использовании онлайн-калькулятора квадратного корня результату всегда будет предшествовать знак ±.

Что касается отрицательных чисел, поскольку отрицательное значение, умноженное на отрицательное, всегда дает положительное число, отрицательные числа не могут иметь действительного квадратного корня.

Что такое идеальные квадраты?

Когда число имеет квадратный корень, являющийся целым числом, это число называется полным квадратом.Например, поскольку √4 имеет квадратный корень из 2, 4 называется полным квадратом. Вот список идеальных квадратов до 225:

Список идеальных квадратов до 225 9 2 121
√1 = 1 с 1 2 = 1
√4 = 2 с 2 2 = 4
√9 = 3 с 9102 3 с
√16 = 4 с 4 2 = 16
√25 = 01 9 9 9 5 = 25
√36 = 6 с 6 2 = 36
√49 = 7 01 с 7 2 = 49
√64 = 8 с 8 2 = 64
9 с 9 2 = 81
√100 = 10 с 10 2 100102
= 11 начиная с 11 2 = 121
√144 = 12 начиная с 101 12
√169 = 13 с 13 2 = 169
√196 = 14 с 14 2 = 196
√225 = 15 с 15 2 = по-прежнему 225 Если вам сложно понять квадратные корни, сообщите мне об этом в форме обратной связи, расположенной под калькулятором, и я постараюсь улучшить свои пояснения на этой странице.

Можно ли получить «рут! Рут!»? 🙂

Корневой символ в калькуляторе RedCrab


Описание как написать корневой символ в RedCrab Calculator


Запись корневого символа


Корневой символ записывается клавишами Ctrl + 1 .

Выберите корневую зону

  • Введите корневой символ с помощью клавиш Ctrl + 1

  • Затем выберите область справа от символа, который будет включен в корень

  • Затем щелкните по корневому символу

  • Чтобы изменить корневую область, выберите новую область и снова щелкните символ корня

  • При двойном щелчке по корневому символу область сбросит

  • Чтобы выбрать корневую область с помощью клавиатуры, удерживая клавишу Shift, переместите курсор с конца диапазона на символ корня


Как определить корни с помощью научного калькулятора — Видео и стенограмма урока

Квадратный корень

Чтобы вычислить квадратный корень, воспользуйтесь кнопкой квадратного корня на вашем научном калькуляторе.Чтобы использовать эту кнопку, вам необходимо знать, как работает ваш калькулятор. В некоторых калькуляторах сначала нужно ввести число, а затем нажать кнопку извлечения квадратного корня. В других случаях вы сначала нажимаете кнопку извлечения квадратного корня, а затем свое число. Так, например, чтобы найти квадратный корень из 5, вы нажмете эти кнопки, если в вашем калькуляторе вы сначала вводите число.

Квадратный корень из 5 должен быть около 2,236.

Пользовательская кнопка корня

Чтобы найти другие корни, вы воспользуетесь специальной кнопкой, которая позволит вам выбрать корень.Если вы не видите такой кнопки, возможно, она находится в меню одной из функциональных клавиш.

Вы можете использовать настраиваемую корневую кнопку , чтобы найти кубический, четвертый и пятый корни или любой положительный целочисленный корень. Чтобы использовать эту кнопку, вам нужно посмотреть руководство к своему калькулятору. В некоторых калькуляторах вы сначала вводите число, затем кнопку корня, а затем желаемый корень. В других случаях вы выполняете эти операции в обратном порядке, начиная с желаемого корня, затем кнопки корня и числа.

Чтобы найти кубический корень из 5 с помощью калькулятора, в который вы вводите желаемый корень последним, вы нажимаете следующие кнопки:

Кубический корень из 5 должен быть около 1,7.

Кнопка экспоненты

Если в вашем калькуляторе нет настраиваемой кнопки корня, вы можете использовать кнопку настраиваемой степени, чтобы найти корень.

Чтобы использовать кнопку настраиваемой степени , преобразуйте желаемый корень в показатель степени, инвертируя его или используя 1 в качестве числителя и корня в качестве знаменателя дроби.Таким образом, кубический корень становится показателем 1/3, квадратный корень становится показателем или степенью 1/2, а корень пятой степени становится 1/5 и так далее.

После преобразования желаемого корня используйте кнопки в круглых скобках, чтобы сообщить калькулятору, что у вас есть дробная экспонента. Итак, чтобы ввести квадратный корень из 9, нажмите эти кнопки:

Помните, что в зависимости от вашего калькулятора вам может потребоваться сначала ввести дробную экспоненту, прежде чем нажимать кнопку настраиваемой степени.символ). Если у вас есть, вы можете использовать его вместо кнопки настраиваемой экспоненты. Обе кнопки означают, что базовое число взято в степень.

Практическая задача

Давайте попробуем вычислить седьмой корень из 24. Если в вашем калькуляторе вы выбираете корень в последнюю очередь, то вы будете нажимать на такие кнопки.

Вы должны получить ответ около 1,5746.

Краткое содержание урока

На этом уроке вы узнали, как использовать научный калькулятор для вычисления корней.Корень в математике относится к этому символу:

Например, когда вы извлекаете квадратный корень из числа, вы ищете число, которое при умножении само на себя дает данное число. Например, квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 умножения на себя равно 9.

Кубический корень числа — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает данное число.), которую можно использовать вместо кнопки настраиваемой экспоненты.

Оценка и аппроксимация квадратного корня

результатов обучения

  • Вычислить квадратный корень, не являющийся полным квадратом
  • Приблизительные квадратные корни с помощью калькулятора

До сих пор мы работали только с квадратными корнями из абсолютных квадратов. Квадратные корни из других чисел не являются целыми числами.


Мы можем заключить, что квадратные корни из чисел между [латексом] 4 [/ латексом] и [латексом] 9 [/ латексом] будут находиться между [латексом] 2 [/ латексом] и [латексом] 3 [/ латексом], и они не будут целыми числами.Основываясь на шаблоне в таблице выше, мы можем сказать, что [latex] \ sqrt {5} [/ latex] находится между [latex] 2 [/ latex] и [latex] 3 [/ latex]. Используя символы неравенства, пишем

[латекс] 2 <\ sqrt {5} <3 [/ латекс]

, пример

Оцените [латекс] \ sqrt {60} [/ latex] между двумя последовательными целыми числами.

Решение
Подумайте о идеальных квадратах, ближайших к [латексу] 60 [/ латексу]. Составьте небольшую таблицу из этих идеальных квадратов и их корней из квадратов.

[латекс] \ text {Найдите 60 между двумя последовательными точными квадратами.} [/ латекс] [латекс] 49 <60 <64 [/ латекс]
[латекс] \ sqrt {60} \ text {находится между квадратными корнями.} [/ Latex] [латекс] 7 <\ sqrt {60} <8 [/ латекс]

В следующем видео вы увидите больше примеров того, как вычислить квадратный корень между двумя последовательными целыми числами.

Приблизительные квадратные корни с помощью калькулятора

Существуют математические методы для приближения квадратных корней, но гораздо удобнее использовать калькулятор для нахождения квадратных корней.Найдите на калькуляторе клавишу [latex] \ sqrt {\ phantom {0}} [/ latex] или [latex] \ sqrt {x} [/ latex]. Вы будете использовать этот ключ для вычисления приближения квадратных корней. Когда вы используете свой калькулятор, чтобы найти квадратный корень из числа, не являющегося точным квадратом, ответ, который вы видите, не является точным числом. Это приблизительное количество цифр, отображаемых на дисплее вашего калькулятора. Символ приблизительного значения [латекс] \ приблизительно [/ латекс] читается как приблизительно .
Предположим, у вашего калькулятора есть [латексный] \ текст {10-значный} [/ латексный] дисплей.Используя его для нахождения квадратного корня из [latex] 5 [/ latex], вы получите [latex] 2.236067977 [/ latex]. Это приблизительный квадратный корень из [латекса] 5 [/ латекса]. Когда мы сообщаем ответ, мы должны использовать знак «примерно равно» вместо знака равенства.

[латекс] \ sqrt {5} \ приблизительно 2.236067978 [/ latex]
Вы редко будете использовать такое количество цифр в приложениях по алгебре. Итак, если вы хотите округлить [латекс] \ sqrt {5} [/ latex] до двух десятичных знаков, вы должны написать

[латекс] \ sqrt {5} \ приблизительно 2.{2} & = & 5.0176 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Квадраты близки, но не точно равны [латексу] 5 [/ latex].

, пример

Округлите [латекс] \ sqrt {17} [/ latex] до двух десятичных знаков с помощью калькулятора.

Показать решение

Решение

[латекс] \ sqrt {17} [/ латекс]
Воспользуйтесь ключом квадратного корня калькулятора. [латекс] 4.123105626 [/ латекс]
Округление до двух десятичных знаков. [латекс] 4.12 [/ латекс]
[латекс] \ sqrt {17} \ приблизительно 4,12 [/ латекс]

В следующем видео вы увидите больше примеров использования калькулятора для вычисления квадратного корня из числа.