Корня формулы: Формулы корней и их свойства

{2}-6 x+9}=|x-3| \)

ПРИМЕР 2

Задание

Уменьшить фракцию

\(\ \frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{567}} \)

Решение.

Радикальное выражение в знаменателе можно представить в виде следующей работы:

\(\ 567=81 \cdot 7 \)

Тогда мы имеем:

\(\ \frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{567}}=\frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{81 \cdot 7}} \)

Корень произведения равен произведению корней каждого фактора, т. е.

\(\ \frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{567}}=\frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{81 \cdot 7}}=\frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{7}}=\frac{72}{9}=8 \)

Ответ

\(\ \frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{567}}=8 \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Формулы производных функции Формулы интеграла Формула Тейлора для разложения функции Формула Ньютона-Лейбница

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Формулы приближенного вычисления корней — Dudom

Приближенное вычисление квадратных корней

Тема приближенного вычисления корней актуальна всегда, так как задания с квадратными корнями есть в каждом курсе предметов естественнонаучного цикла. В ходе решения многих математических задач, а так же задач по геометрии, по физике, по химии и т.д. приходится сталкиваться с квадратными корнями. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, но ее бывает недостаточно. Извлечение корня разложением на множители тоже непростая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату, и я решила изучить различные способы извлечения квадратных корней с целью их практического применения.

Поэтому цель работы направлена на сопоставление различных способов приближенного извлечения квадратных корней, при этом ставятся задачи: изучение материала, выявление наиболее эффективного способа в зависимости от поставленной задачи.

Решим графически уравнение . Для этого в одной системе координат построим параболу и прямую . Абсциссы точек A и B являются корнями уравнения. Решим уравнение . Ясно, что это уравнение имеет два корня и , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку ().

По чертежу мы не можем указать точные значения корней. Интересующее нас число x1 расположено между числами 1 и 2, но между числами 1 и 2 находится бесконечное множество рациональных чисел, например и т.д. В работе доказано, что располагая только рациональными числами, уравнение мы решить не сможем.

Математики ввели в рассмотрение новый символ , который назвали квадратным корнем, и с помощью этого символа корни уравнения записали так: и . Читается: «арифметический квадратный корень из двух». Теперь для любого уравнения вида, где , можно найти корни — ими являются числа и .

Квадратным корнем из неотрицательного числа называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Это число обозначают . Если , то уравнение не имеет корней.

Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня.

В ходе исследования методов вычисления квадратного корня были найдены несколько методов, такие как: арифметический способ; метод грубой оценки; столбиком; Вавилонский способ; метод Герона и метод Ньютона; геометрический метод. В данной работе рассмотрены лишь некоторые из них.

квадратный корень извлечение приближенное

Для квадратов натуральных чисел верны следующие равенства:

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 и так далее.

То есть, чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.

Например, найдем квадратный корень числа 16 так:

Выполнено 4 действия, значит, квадратный корень числа 16 равен 4. Аналогично найдем квадратный корень числа 12:

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:

А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22’37’29’. Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04’76’59’83’.

Б) Навесить на число радикал и написать знак равенства:

22’37’29’→

=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.

Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:

= 4… (с недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

= 4…

Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:

= 4…

16

И производим вычисление так, как это уже написано.

Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:

= 4…

16

637

После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:

= 4…

Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:

Это наибольшая цифра k такая, что число 8 k , т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k , не превосходит 637.

В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609 637. Итак, мы имеем:

= 47.

.

Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е.

= 473.

= 473

В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:

= 4,123…

Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 ?х), и пользовались формулой

. (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а₁ — первое приближение числа

(в качестве а₁ можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а₂ числа найдется по формуле

.

Третье, еще более точное приближение

и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле

.

Нахождение приближенного значения числа

методом Ньютона дает следующие результаты: а₁=5; а₂= 5,3; а₃=5,2915.

— итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, а_n — n-е приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.

В данной исследовательской работе кратко изложена история возникновения чисел, называемых квадратными корнями, приближенное вычисление иррациональных чисел (квадратных корней) с помощью древневавилонской формулы и оценка погрешности, полученных вычислений.

, В основной части даётся объяснение, на чём основываются древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня, дают ли эти формулы приближённое значение квадратного корня с недостатком или с избытком (или иногда с недостатком, а иногда с избытком) а также оценивается погрешность приближённого вычисления квадратного корня.

Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители — трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня, позволяют извлечь квадратный корень в любом случае.

Скачать:

Вложение	Размер
issledovanie_drevnevavilonskih_formul.rar	2.12 МБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Сапоговская средняя общеобразовательная школа»

Исследование древневавилонских формул приближённого извлечения квадратных корней из иррациональных чисел

ученик 9 класса.

аал Сапогов, 2018

1. История возникновения древневавилонской формулы приближённого вычисления квадратного корня. 3

2. Древневавилонская формула приближённого вычисления квадратного корня. . 4

3. Экспериментальная проверка формул приближённого вычисления квадратного корня……………………………………………………………………………………………. 5

4. Сравнительный анализ вычислений………………………………………………. 6

5. Методические рекомендации по применению древневавилонских формул приближённого вычисления квадратных корней……………………………………………..7

Список литературы . ..8

В данной исследовательской работе кратко изложена история возникновения чисел, называемых квадратными корнями, приближенное вычисление иррациональных чисел (квадратных корней) с помощью древневавилонской формулы и оценка погрешности, полученных вычислений.

Работа состоит из трёх частей. Во введении сказано об актуальности темы, В основной части даётся объяснение, на чём основываются древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня, дают ли эти формулы приближённое значение квадратного корня с недостатком или с избытком (или иногда с недостатком, а иногда с избытком) а также оценивается погрешность приближённого вычисления квадратного корня. В заключении представлены выводы по теме.

В работе имеются ссылки на источники – это сайты и книги, самостоятельно проведённые вычисления. Те математические понятия, которые встречаются в тексте, и могут быть непонятными разъяснены сразу по мере их появления.

Итак, одной из наиболее трудоемких арифметических операций является извлечение корня квадратного, кубического или другой степени из данного числа. Относительно просто корень можно найти в том случае, когда заранее известно, что он представляет собой целое число, т. е. извлекается нацело. В некоторых случаях при извлечении корня приходится искать лишь приближенное его значение с наперед заданной точностью. Напомним, что приближенным значением величины а с точностью до числа σ>0 называется любое (вообще говоря, не единственное) число х, удовлетворяющее оценкам а — δ≤x≤a + δ.

Данная тема актуальна, так как задания с квадратными корнями есть в каждом классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений, содержащих квадратные корни. Уравнения решали и двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители — трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня, позволяют извлечь квадратный корень в любом случае.

Объект исследования: древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня.

Предмет исследования: иррациональные числа.

Гипотеза: более точный результат извлечения квадратного корня из иррационального числа будет зависеть от самого числа, и числа представляющего его наибольший или наименьший полный квадратный корень.

Цель: исследование древневавилонских формул приближенного извлечения квадратного корня, с последующей оценкой погрешности вычислений.

В ходе реализации цели были поставлены следующие задачи:

1. Познакомиться с историей возникновения древневавилонских формул приближённого вычисления квадратного корня
2. Изучить, на чём основываются древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня.
3. Выяснить, дают ли эти формулы приближённое значение квадратного корня с недостатком или с избытком (или иногда с недостатком, а иногда с избытком)?
4. Оценить абсолютную погрешность древневавилонских формул приближённого вычисления квадратного корня.
5. Определить, в каких случаях какая из формул даёт более точный результат.

Методы исследования: анализ литературы по теме, сравнительный анализ, синтез, моделирование, самостоятельное решение задач, исследование их решений.

Ожидаемые результаты: в ходе работы, расширить свои знания в области математики, создать продукт, который позволит другим учащимся самостоятельно разобраться в данном вопросе, научиться простым, наглядным способом находить приближенное значение квадратного корня с помощью древневавилонских формул.

1. История возникновения древневавилонской формулы приближённого вычисления квадратного корня.

Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э. на территории современного Ирака, придя на смену Шумеру и Аккаду и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году до н. э.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение квадратных уравнений, геометрические задачи.

В вавилонских текстах, как и в египетских, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что развитая общая математическая теория у вавилонян несомненно была.

Вавилонские математики широко пользовались шестидесятеричной позиционной(!) системой счёта. На её основе и были составлены различные вычислительные таблицы. Кроме таблиц умножения и таблиц обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали таблицы квадратных корней и кубических чисел. Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать квадратные уравнения, которые вначале служили, в основном, сугубо практическим целям — измерению площадей и объёмов, что отразилось на терминологии. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», а другое — «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью». Как и сейчас!

Вавилонские математики решали также планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до Пифагора. Помимо планиметрических задач, решали и стереометрические, связанные с определением объёма различного рода пространств, тел, широко практиковали черчение планов полей, местностей, отдельных зданий, но обычно не в масштабе. Наиболее значительным достижением математики было открытие того факта, что отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым числом или простой дробью. Тем самым в математику было введено понятие иррациональности.

Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах, и решение задачи по вычислению площади круга также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным 3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных целей.

Особое значение имело в древности точное измерение полей, садов, строений — ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи между ними, и после спада воды землемерам по заказу их владельцев частенько приходилось вновь перемеривать наделы. В клинописных архивах сохранилось немало таких землемерных карт, составленных свыше 4 тыс. лет тому назад.

В задачах на квадратные уравнения корни всегда являются рациональными. Однако в геометрических приложениях вавиловяне встречались и с проблемой извлечения квадратных корней из неквадратных чисел. Тексты ничего не сообщают о том приблизились ли математики к идее иррационального числа. Они лишь содержат неоднократно встречающееся правило и у других народов

1. Древневавилонские формулы приближённого вычисления квадратного корня.

То есть ещё в Древнем Вавилоне более 4 тысяч лет назад был известен метод приближённого вычисления квадратного корня из натуральных чисел. Для натурального x находили наибольший полный квадрат (т. е. квадрат натурального числа), не превосходящий x . Другими словами, число x записывали в виде x = y 2 + z , где y и z — натуральные числа, причём y — наибольшее из всех возможных [1] . После этого применяли приближённую формулу:

Существует и другая формула приближённого вычисления квадратного корня. Запишем число x в виде x = y 2 − z , где y и z — натуральные числа, причём y — наименьшее из всех возможных. После этого применяли формулу:

1. Экспериментальная проверка формул приближённого вычисления квадратного корня

Вычислим с помощью формулы (1), например,

Рассмотрим другую (2) формулу приближённого вычисления квадратного корня и вычислим:

Выясним, в каких случаях какая из формул даёт более точный результат. Для этого возведем в квадрат полученный результат .

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,09 единицы,

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,44 единицы.

, погрешность составляет 0,12 единицы.

т.е. абсолютная погрешность составляет 0,67 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,19 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,32 единицы.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,06 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,59 единиц.

, т. е. абсолютная погрешность составляет 0,09 единиц.

, т.е. абсолютная погрешность составляет 0,56 единиц.

1. Сравнительный анализ вычислений

Приближённое значение квадратного корня с недостатком

Приближённое значение квадратного корня с избытком

Приближённое значение квадратного корня иногда с недостатком, а иногда с избытком

Как вынести из под корня. Формулы корней

Инструкция

Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение — иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. 3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.

Источники:

• как вынести из под корня
• Квадратный корень из произведения

Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.

Инструкция

Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .

Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .

Видео по теме

Обратите внимание

Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.

Полезный совет

При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.

Источники:

• знак извлечения корня в 2019

Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .

Инструкция

Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.

Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² — 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.

Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. 4 – 2 z³ + z² — 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z — 1) и (z — 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.

Пусть дано выражение . Мы можем этот корень представить в более простом виде, применив к нему теорему об извлечении корня из произведения (§ 97):

Точно так же

Такое преобразование называется вынесением множителя за знак корня.

В результате применения этого преобразования данное выражение упрощается и часто сокращаются требуемые вычисления. В этом можно убедиться на следующих примерах.

Пр и мер 1. Вычислить с точностью до 0,01 выражение

Вычислим каждый из корней с точностью до 0,01:

Нам пришлось извлечь квадратный корень из трёх чисел, и притом мы не можем быть уверены, что результат действительно даст величину выражения с точностью до 0,01 (для уверенности в этом нужно было бы вычислить корни с точностью большей, чем заданная).

Попробуем упростить данное выражение, вынося за знак радикала те множители, которые возможно:

Итак, после преобразования нам придётся извлечь квадратный корень только из одного числа.

Вычислив его с точностью до 0,01, найдём:

Теперь видно, что в первом вычислении мы сделали ошибку на одну сотую, то есть получили результат не с заданной точностью.

Пример 2. Вычислить выражение

Подставив в данное выражение получим:

Нам придётся извлечь корень из шестизначного числа.

Мы значительно упростим вычисления, если предварительно вынесем за знак корня те множители, которые возможно. Будем иметь:

Подставив теперь легко найдём:

Во всех предыдущих примерах подкоренное выражение мы разлагали на множители, выделяя такие, показатель которых делится на два, и извлекали из них корень. В дальнейшем надо приобрести навык сразу выносить нужные множители за знак корня, не прибегая к предварительному разложению на множители подкоренного выражения.

Как видно из примеров, для вынесения множителей из-под знака квадратного корня достаточно показатель каждого множителя разделить на два и записать перед знаком корня этот множитель с показателем, равным полученному частному, а под знаком корня тот же множитель с показателем, равным полученному остатку.

В предыдущем примере .

2. Внесение множителей под знак квадратного корня.

Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак корня множители, стоящие перед ним.

Пусть, например, требуется вычислить с точностью до 0,001 выражение Вычислив с точностью до 0,001 и умножив результат на 20, получим:

Заранее можем сказать, что результат не соответствует заданной точности, так как, умножив приближённое число 2,646 на 20, мы увеличили в 20 раз и ошибку.

Чтобы получить ббльшую точность, возьмём с точностью до 0,0001. Получим:

Но мы не можем и теперь быть уверены, что достигли требуемой точности.

Произведём вычисление другим способом. Представим данное выражение в таком виде:

Вычислив с точностью до 0,001, получим:

Такоза действительная величина данного выражения, вычисленная с точностью до 0,001.

Рассмотренное преобразование называется внесением множителя под знак корня.

Приведённый пример показывает целесообразность в некоторых случаях такого преобразования.

Чтобы внести под знсис квадратного корня стоящие перед ним множители, достаточно возвести эти множители в квадрат и подкоренное выражение умножить на полученный результат.

В двух первых примерах сначала множитель, стоящий перед знаком корня, был подведён под знак корня, затем произведено умножение.

В третьем примере обе эти операции были выполнены сразу.

3. Приведение подкоренного выражения к целому виду.

Если подкоренное выражение дробное, то часто бывает целесообразно привести его к целому виду, или, как говорят, освободить подкоренное выражение от знаменателя.

Покажем на примерах, как это делается.

Пр имер 1.

Чтобы из знаменателя подкоренного выражения можно было извлечь корень, умножим числитель и знаменатель этого выражения на а. Получим.

В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило. Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое вынесение множителя из-под знака корня

Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:

Определение 1

Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения B n · C n на произведение B · C n с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B · C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.

Если мы имеем в виду только квадратный корень, то есть число n равно двум, то процесс вынесения множителя можно свести к замене выражения B 2 · C на произведение B · C . Отсюда и название данного преобразования: после того, как оно было проведено, множитель B y оказывается свободным от знака корня.

Приведем примеры, поясняющие данное определение. Так, допустим, у нас есть выражение 2 2 · 3 . Оно аналогично B 2 · C , где B равно двум, а C – трем. Заменив данный корень на произведение 2 · 3 и опустив знаки модулей (это можно сделать, поскольку оба множителя являются положительными числами), мы получим 2 · 3 . Мы вынесли множитель 2 2 из-под знака корня.

Приведем еще один пример подобного преобразования. У нас есть выражение (x 2 — 3 · x · y · z) 2 · x = x 2 — 3 · x · y · z · x . Здесь из-под корня был вынесен не просто числовой множитель, а целое выражение с переменными (x 2 − 3 · x · y · z) 2 .

Оба примера относятся к случаю вынесения множителя из-под квадратного корня. Можно также производить данные преобразования и для корней n -ной степени. Вот пример с кубическим корнем: (3 · a 2) 3 · 2 · a 2 3 = 3 · a 2 · 2 · a 2 3

Пример с корнем шестой степени: 1 2 · x 2 + y 2 6 · 5 · (x 2 + y 2) 6 можно преобразовать в произведение 1 2 · x 2 + y 2 · 5 · (x 2 · y 2) 6 , которое, в свою очередь, упрощается до 1 2 · (x 2 + y 2) · 5 · (x 2 + y 2) 6 . В данном случае мы выносим множитель 1 2 · x 2 + y 2 6 .

Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.

Почему возможно заменить корень на произведение

В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень B n · C n равнозначен произведениям B · C n и B · C n . Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.

Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:

1. Выражение A · B n при условии нечетности n может быть заменено на A n · B n , а для четных n – A n · B n .

2. Выражение A n n при нечетном значении n может быть преобразовано в A , а при четном – в | A | .

Определение 2

Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:

• при четном n: B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
• при нечетном n: B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .

Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.

Следовательно, можно вывести две формулы:

Определение 3

С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.

Основное правило вынесения множителя из-под корня

Когда нам нужно решать примеры с подобными преобразованиями, чаще всего приходится предварительно приводить подкоренное выражение к виду B n · C . С учетом этого момента мы можем записать следующие правила.

Определение 4

Для вынесения множителя из-под корня в выражении A n нужно предварительно привести корень к виду B n · C n и после этого перейти к произведению B · C n (при нечетном показателе) или к B · C n (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).

Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:

A n → B n · C n → B · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B · C n , е с л и n — ч е т н о е

Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:

A n → B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n → B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — ч е т н о е

Теперь можно переходить к решению задач.

Задачи на вынесение множителя из-под знака корня

Пример 1

Условие: выполните вынесение множителя за знак корня в трех выражениях: 2 2 · 7 , — 1 2 3 2 · 5 , (- 0 , 4) 7 · 11 7 .

Решение

Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:

1. Показатель корня равен 2 . Берем правило вынесения множителя для четного показателя и вычисляем: 2 2 · 7 = 2 · 7 = 2 · 7
2. Во втором выражении показатель тоже четный, значит, — 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5
   В этом случае мы можем сначала преобразовать выражения, исходя из основных свойств корня:
   — 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 · 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 2 · 5
   А потом уже выносить множитель: 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5 .
3. Последнее выражение имеет нечетный показатель, поэтому нам понадобится другое правило: (- 0 , 4) 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7 .
   Возможен и такой вариант расчета:
   — 0 , 4 7 · 11 7 = (- 1) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7
   ​​​​​​Или такой:
   — 0 , 4 7 · 11 7 = (- 1) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = 0 , 4 7 · — 11 7 = 0 , 4 · — 11 7 = — 0 , 4 · 11 7

Ответ: 1) 2 · 7 ; 2) 1 2 3 · 5 ; 3) — 0 , 4 · 11 7 .

Пример 2

Условие: преобразуйте выражение (- 2) 4 · (0 , 3) 4 · 7 4 · 11 4 .

Решение:

При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.

(- 2) 4 · (0 , 3) 4 · 7 4 · 11 4 = = — 2 · 0 , 3 · 7 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.

Есть и другой способ. Преобразуем само выражение, приведя его к виду B n · C . После этого уже будем выносить множители:

(- 2) 4 · (0 , 3) 4 · 7 4 · 11 4 = = (- 2 · 0 , 3 · 7) 4 · 11 4 = (- 4 , 2) 4 · 11 4 = = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Ответ: (- 2) 4 · (0 , 3) 4 · 7 4 · 11 4 = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4 .

Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.

Предварительное преобразование подкоренного выражения

Мы уже отмечали, что выражение под корнем не всегда имеет удобный для нас вид. Часто корень дан как A n , и множитель, который нужно вынести, не представлен в явном виде. Иногда это обозначено в условии, но довольно часто множитель приходится определять самостоятельно. Посмотрим, как надо действовать в этих случаях.

Допустим, нам надо вынести заранее определенный множитель B . Естественно, подкоренное выражение должно быть таким, чтобы эта операция была возможна. Тогда для преобразования A n в B n · C n достаточно определить второй множитель, т. е. вычислить значение C из выражения A = B n · C .

Пример 3

Условие: есть выражение 24 · x 3 . Вынесите из-под знака корня множитель 2 3 .

Решение

Здесь мы имеем n = 3 , A = 24 · x , B 3 = 2 3 . Тогда из A = B n · С вычисляем C = A: (B n) = 24 · x: (2 3) = 3 · x .

Значит, 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 . Подкоренное выражение имеет нужный нам вид, и мы можем воспользоваться правилом для нечетного показателя и подсчитать: 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

Ответ: 24 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан? Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.

Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.

Пример 4

Условие : необходимо вынести множитель из-под корня в трех выражениях – 2 4 · 5 4 , 2 7 · 5 4 , 2 22 · 5 4 .

Решение

Преобразование первого выражения не представляет особой сложности, т.к. подобные примеры мы уже разбирали. Сразу вычисляем: 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 = 2 · 5 4 .

Во втором примере легко догадаться, как преобразовать подкоренное выражение: нужно просто представить 2 7 как 2 4 · 2 3 .

2 7 · 5 4 = 2 4 · 2 3 · 5 4 = 2 4 · 40 4 = 2 · 40 4 = 2 · 40 4

В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:

2 5 4 · 2 2 · 5 4

Теперь покажем, как именно прийти к этому виду. Сначала выполняем деление 22 на 4 , получаем 5 с остатком 2 (если нужно, повторите, как правильно выполнять деление с остатком). Иначе говоря, 22 можно рассматривать как 4 · 5 + 2 . Используя свойства степени, можем записать:

2 22 + 2 5 · 4 + 2 = 2 5 · 4 · 2 2 = (2 5) 4 · 2 2

Таким образом:

2 22 · 5 4 = (2 5) 4 · 2 2 · 5 4 = (2 5) 4 · 20 4 = = 2 5 · 20 4 = 32 · 20 4

Ответ: 1) 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 , 2) 2 7 · 5 4 = 2 · 40 4 , 3) 2 22 · 5 4 = 32 · 20 4 .

Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.

Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.

Пример 5

Условие : выполните вынесение множителя из-под знака корня в следующих выражениях: 1) 45 ; 2) 135 ; 3) 3456 ; 4) 102 .

1. Выполняем разложение 45 на простые множители.

То есть 45 = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 , а 45 = 3 2 · 5 . В этом выражении видно, что выносить мы будем множитель 3 2 . Вычисляем:

3 2 · 5 = 3 · 5 = 3 · 5

1. Теперь представим в нужном виде число 135 и получим: 135 = 3 · 3 · 3 · 5 = 3 3 · 15 . Иначе можно записать, что 3 2 · 3 · 5 = 3 2 · 15 . Следовательно, 135 = 3 2 · 15 . Мы видим, что вынесению из-под знака корня подлежит множитель 3 2 :

3 2 · 15 = 3 · 15 = 3 · 15

1. Разложим на простые множители число 3456:

3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

У нас получилось, что 3456 = 2 7 · 3 3 , а 3456 = 2 7 · 3 3 . Поскольку 2 7 = 2 3 · 2 + 1 = (2 3) 2 · 2 и 3 3 = 3 2 · 3 , то 2 7 · 3 3 = (2 3) 2 · 2 · 3 2 · 3 = (2 3) 2 · 3 2 · 6 = = 2 3 · 3 · 6 = 24 · 6

1. Представим натуральное число 102 как произведение простых множителей и получим 2 · 3 · 17 . Видим, что все множители имеют показатель, равный единице, а показатель корня в этом примере равен двум. Следовательно, в данном примере ни один множитель не нужно выносить из-под знака корня, то есть такое действие для 102 нецелесообразно.

Ответ: 1) 45 = 3 · 5 ; 2) 135 = 3 · 15 ; 3) 3456 = 24 · 6 ; 4) 102 .

Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.

Пример 6

Условие: выполните вынесение множителя за корень в выражении 200 · 0 , 000189 · x 3 и упростите его.

Решение

Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.

0 , 189 = 189 1000000 = 3 3 · 7 2 6 · 5 6

Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:

3 2 2 · 5 2 3 · 7

Подставим получившееся выражение в исходное и получим:

200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 3 · 7 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 · 7 · x 3 = 6 · 7 · x 3

К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:

200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 189 1000000 · x 3 = 200 · 189 1000000 3 · x 3 = = 200 · 189 3 1000000 3 · x 3 = 200 · 3 3 · 7 3 100 3 3 · x 3 = = 200 · 3 · 7 3 100 · x 3 = 6 · 7 3 · x 3 = 6 · 7 · x 3

Ответ: 200 · 0 , 000189 · x 3 = 6 · 7 · x 3 .

Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.

Пример 7

Условие: выполните упрощение иррационального выражения 2 · (3 + 2 · 2) .

Решение

Мы можем преобразовать выражение в скобках как 2 + 2 · 2 + 1 и далее как 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 2 .

То, что у нас получилось, можно свернуть в квадрат суммы с помощью формулы сокращенного умножения: 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 = 2 + 1 2 .

В итоге: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 · 2 + 1 2 . Теперь выносим 2 + 1 2 за знак корня и упрощаем выражение:

2 · 2 + 1 2 = 2 · 2 + 1 = = 2 · 2 + 1 = 2 + 2

Ответ: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 + 2 .

Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.

Пример 8

Условие: вынесите множитель из-под знака корня в выражениях (x — 5) 5 4 и (x — 5) 6 4 .

Решение

1. Выполняем преобразование в первом примере.

(x — 5) 5 4 = (x — 5) 4 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4

Знак модуля можно опустить. Посмотрим, каким условием определяется область допустимых значений переменной для исходного выражения. Таким условием будет неравенство (x − 5) 5 ≥ 0 . Для его решения выбираем метод интервалов и получаем x ≥ 5 . Если значение x принадлежит области допустимых значений, то значением выражения x — 5 будет неотрицательное число. Значит, можем записать следующее:

x — 5 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4

1. (x — 5) 6 4 = (x — 5) 4 · x — 5 2 4 = = x — 5 · (x — 5) 2 4 = x — 5 · x — 5 2 4

Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение A m n · m можно заменить на A n при условии, что m и n – натуральные числа. Следовательно,

x — 5 · x — 5 2 4 = x — 5 · x — 5

Нужно ли здесь убирать знак модуля? Посмотрим на область допустимых значений данного выражения: ее составляют все действительные числа, поскольку (x − 5) 6 ≥ 0 для любого x . При этом значения x − 5 могут быть больше 0 , если x > 5 , равными 0 или отрицательными. Значит, оставляем выражение в виде x — 5 · x — 5 или представляем его в виде системы уравнений

(x — 5) · x — 5 , x ≥ 5 (5 — x) · 5 — x , x

Ответ: 1) (x — 5) 5 4 = (x — 5) · x — 5 4 ; 2) (x — 5) 6 4 = x — 5 · x — 5 .

Пример 9

Условие: выполните упрощение выражения x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 .

Решение

Выносим за скобки x 3 и получаем x 3 · (x 2 + 2 · x · y + y 2) . Выражение в скобках можно представить в виде квадрата суммы: x 3 · (x 2 + 2 · x · y + y 2) = x 3 · (x + y) 2 .

Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x 3 · (x + y) 2 = x 2 · x · (x + y) 2 = x · x + y · x

Также мы можем убрать знаки модуля, в которых находится x, поскольку область допустимых значений будет определена условием x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 ≥ 0 . Оно равносильно x 3 · (x + y) 2 ≥ 0 , а из него можно сделать вывод, что x ≥ 0 . У нас получилось, что x · x + y · x .

Ответ: x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 = x · x + y · x .

Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Формула квадратного корня — GeeksforGeeks

Алгебра является важной темой математики. Квадратный корень — это операция, которая используется во многих формулах и различных областях математики. Эта статья о квадратном корне и формуле квадратного корня. Квадратный корень из числа — это возведение числа в квадрат, которое дает исходное число. В этой статье обсуждаются несколько формул квадратного корня со своими проблемами.

Квадратный корень

Квадратный корень из числа — это возведение числа в квадрат, которое дает исходное число. Это тот множитель числа, который при возведении в квадрат дает исходное число. Это значение мощности 1/2 от этого числа. Квадратный корень числа представлен как √ .

Пример: квадратный корень из 9 ⇒ √9 = ± 3

Здесь, 3 ² = 9

(-3) ² = 9

. Число внутри квадратного корня называется Radicand, а символ квадратного корня называется радикалом.

Методы нахождения квадратного корня числа

В математике широко используются два метода нахождения квадратного корня числа. Они обсуждаются ниже.

1. Метод простой факторизации
2. Метод длинного деления

Метод простой факторизации

Простой факторизации — это метод, в котором число представляется в виде произведения простых чисел. Затем квадратный корень из числа штрафуется по заданному понятию.

Чтобы найти квадратный корень, используя метод разложения на простые множители:

Шаг 1: Представьте число в его простых множителях, используя метод разложения на простые множители.

Шаг 2: Сформируйте пару одинаковых множителей.

Шаг 3: Возьмите по одному множителю из каждой пары, а затем найдите произведение всех множителей, полученных путем взятия одного множителя из каждой пары.

Шаг 4: Результатом является квадратный корень числа.

Пример метода простой факторизации:

Метод простой факторизации для нахождения квадратного корня
2	196
2	98
7	49
7	7
	1
Prime factors of 196 = (2× 2) × (7×7)
Для квадратного корня мы берем произведение 2 из (2×2) и 7 из (7×7)
Квадратный корень из 196 = 2×7 Квадратный корень из 196 = 14

Метод длинного деления

Метод длинного деления — очень полезный метод для нахождения квадратного корня из числа. Квадратный корень из неполных квадратов, таких как 14, 15, 18 и т. д., можно найти с помощью метода деления в длинную сторону. Чтобы найти квадратный корень с помощью метода деления в длину, мы должны выполнить определенные шаги, которые описаны ниже.

Действия по нахождению квадратного корня из числа методом деления в большую сторону:

Пример: Найдите квадратный корень из 256, используя метод деления в большую сторону.

Шаг 1. Разделите число на пары, начиная с одного места. Например, пары, начинающиеся с одного места:= 2 , 56

 

Шаг 2. После разделения цифр на пары начните с самой левой пары или цифры. Наибольшее число, квадрат которого чуть меньше или равен первой паре или цифре, берется как делитель, а также как частное. В приведенном выше примере наибольшее число, квадрат которого чуть меньше 2, равно 1. Итак, делитель равен 1, а частное также равно 1. первую пару или цифру и перенесите следующую пару справа от напоминания, чтобы получить новый дивиденд. В приведенном выше примере 2 – 1 = 1, затем мы опускаем следующую пару, т.е. 56, и новое делимое становится 156.0007 Шаг 4. Теперь новый делитель получается путем сложения предыдущего делителя и предыдущей цифры частного и объединения его с подходящей цифрой, которая также берется в качестве следующей цифры частного, выбранной таким образом, чтобы произведение новый делитель, и эта новая цифра в частном равна или чуть меньше нового делимого. В приведенном выше примере предыдущий делитель равен 1, а предыдущая цифра частного равна 1, и их сложение дает 2, что является новым делителем. Теперь нам нужно выбрать цифру так, чтобы произведение нового делителя и новой цифры в частном было равно или меньше нового делимого, то есть 26 — это новый делитель, а 6 — новая цифра, которая объединяется с предыдущей. частное. Текущее частное равно 16,9.0008

 

Шаг 5. Повторяйте шаги 2, 3 и 4, пока не будут взяты все пары. Теперь полученное частное представляет собой квадратный корень из заданного числа. В приведенном выше примере взяты все пары, поэтому квадратный корень из числа 256 равен 16. 

 

Таблица квадратного корня и квадратного корня первых десяти натуральных чисел

Квадратный корень 1 1 √1 = 1 2 4 √2 = 1.414 3 9 √3 = 1.732 4 16 √4 = 2 5 25 √5 = 2.236 6 36 √6 = 2.4494 7 49 √7 = 2.645 8 64 √8 = 2.828 9 81 √9 = 3 10 100 √10 = 3. 162

Square Root Formula

The square root of a number имеет показатель 1/2. Формула квадратного корня используется для нахождения квадратного корня из числа.

Формула квадратного корня:      √x = x ^1/2

Формула квадратного корня
√x = x 1/2
√x . √x = x
x√y . x√y = x 2 y
√(x × y) = √x × √y
√(x / y) = √x / √y
x / √y = (x / √y) × ( √y / √y) = (x . √y)/y
x. √y ± z. √y = (x ± z) √y
x / (y + z. √p) = [x / (y + z√p)] × [(y – z√p)/ ( у – z√p)]                       = [x(y – z√p)]/[y 2 – z 2 p] √z – z знаменатель [ √p)]
x / (y – z. √p) = [x / (y – z√p)]×[(y + z√p)/ (y + z√p )]                       = [x(y + z√p)]/[y 2 – z 2 p] + + z√p)]

Проблемы выборки

Вопрос 1: Найдите сумму: 5√3 + 6√12

Решение:

5√3 + 6√12 = 5 ?3 + 6 (√ (4 × 3)

= 5√3 + 6 × √4 × √3

= 5√3 + 6 × 2√3

= 5√3 + 12√3

= 17√3

Вопрос 2: Оцените:  √64 – √25

Решение:

√64 — √25 = √ (8 × 8) — √ (5 × 5)

= 8 — 5 = 3

Вопрос 3: Оценка: √63 / √ √ 28

Решение:

√63/ √28 = √ (7 × 9)/ √ (7 × 4)

= √ [(7 × 9)/ (7 × 4)]

= √(9/4)

                          = √9 / √4 

                          = 3/2

Вопрос 4: Оценка: 5 /√15

Решение:

5 /√15 = (5 /√15) × (√15 /√15)

= (5чина 15) / 15

= (√15) / 3

Вопрос 5: Оценка: 4 / (5 + √6)

Решение:

4 / (5 + √6) = [

4 / (5 + √6) = 4 / (5 + √6)] × [(5 – √6) / (5 – √6)]

Предыдущий шаг рационализирует знаменатель путем умножения на [(5 – √6) / (5 – √6)]

                  = [4×(5 – √6)] / [(5 + √6)× (5 – √6)]

                                = [4×(5 – √6)] / [5 6 – 9 ( √6) ² ]

= (20 — 4√6) / (25 — (√6 × √6)]

= (20 — 4√6) / (25 — 6)

= (20 – 4√6) / 19

Вопрос 6: Оценка: 7 / (8 – √10)

Решение:

7 / (8 – √10) – √8 10)] × [(8 + √10) / (8 + √10)] ​​

Предыдущий шаг рационализирует знаменатель путем умножения на [(8 + √10) / (8 + √10)] ​​

                   = [7×(8 + √10)] ​​/ [(8 – √10) × (8 + √10)] ​​

= [7 × (8 + √10)] ​​/ [8 ² — (√10) ² ]

= (56 + 7√10) / (64 — (√10 × √10)] ​​

= (56 + 7√10) / (64 — 10)

= (56 + 7√10) / 54

Вопрос 7: Оценить: (2 + √5) / (4 – √2)

Решение:

(2 +√5) / (4 – √2) = [(2 +√5) / (4 – √2)] × [(4 + √2) / (4 + √2)]

Вышеприведенный шаг рационализирует знаменатель путем умножения на [(4 + √2) / (4 + √2)]

                            = [(2 + √5) × (4 + √2)] / [ (4 — √2) × (4 + √2)]

= [(2 + √5) × (4 + √2)] / [4 ² — (√2) ² ]

= [8 + 2√2 + 4√5 + (√5 × √2)] / [16 –  (√2 × √2)]

= [8 + 2√2 + 4√5 + √ (5 × 2)] / [16 — 2]

= [8 + 2√2 + 4√5 + √10] / 14

Формула квадратного корня — объяснение, формула, метод простой факторизации и важные часто задаваемые вопросы

Квадратный корень — одна из наиболее важных функций в математике, которая имеет широкий спектр применений в повседневной жизни, а также в научных расчетах. Квадратный корень любого числа в математике — это такое число, которое при умножении само на себя дает произведение, равное числу, квадратный корень которого необходимо определить. Квадратный корень числа представлен как число, записанное внутри символа «√». Квадратный корень из числа «х» записывается как √x. Квадратный корень числа можно представить в экспоненциальной форме как число в степени ½. Квадратный корень числа «x» можно записать в экспоненциальной форме как (x)1/2.

Что такое совершенное квадратное число и формула квадратного корня?

Очень важно понять, что такое квадратный корень из совершенного квадратного числа, прежде чем разбираться в том, что такое корень в математике. Совершенным квадратным числом в математике может быть число, полученное в результате умножения любого целого числа само на себя. Формула квадратного корня при использовании для совершенных квадратных чисел даст число, которое является целым числом в качестве ответа. то есть квадратный корень из совершенного квадратного числа всегда является целым числом.

Что такое корень в математике?

Существует несколько методов нахождения квадратного корня из числа, среди которых несколько знакомых:

1. Метод простой факторизации

2. Метод повторного вычитания

3. Метод усреднения

4. 4 Метод вычислений и проверок

5. Метод числовой прямой

6. Метод деления в длину

Нахождение формулы квадратного корня методом простой факторизации

Метод простой факторизации — это метод, в котором числа выражаются как произведение их простых множителей. Одинаковые простые множители объединяются в пары, и произведение одного элемента из каждой пары дает квадратный корень числа. Этот метод также можно использовать, чтобы определить, является ли число полным квадратом или нет. Однако этот метод нельзя использовать для нахождения квадратного корня из десятичных чисел, не являющихся полными квадратами.

Пример. Найдите корень числа 576.

Решение:

576 разлагается на простые множители следующим образом.

2	576
2	288
2	144
2	72
2	36
2	18
3	9
3	3
	1

Итак, 576 можно записать как произведение простых чисел:

576 = 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 3 х 3

Квадратный корень из 576 = 2 х 2 х 2 х 3 = 24

Формула квадратного корня с использованием метода многократного вычитания

Это метод, при котором число, квадратный корень которого нужно определить, многократно вычитается из последовательного нечетного числа, пока разница не станет равной нулю. Количество вычитаний дает корень числа. Этот метод можно использовать только для нахождения квадратного корня из совершенных квадратных чисел.

Пример: Оценка квадратного корня из 16

Решение:

Число вычитается из нечетных чисел, начиная с 1.

16 — 1 = 15

15 — 3 = 12

12 — 5 = 7

7 — 7 = 0

Количество вычитаний здесь равно 4. Таким образом, квадратный корень из 16 равен 4.

Метод вычисления среднего квадратного корня:

Среднее значение используется для нахождения квадратного корня из заданного десятичного числа. Этот метод удобно использовать для нахождения квадратного корня из целых чисел с точностью до нескольких знаков после запятой.

Пример. Вычислите квадратный корень из 3, используя метод усреднения.

Решение:

Два квадратных числа, между которыми лежит ;3′, это 1 и 4. Итак, квадратный корень из 3 лежит между 1 и 2. Найдите среднее значение этих двух чисел, чтобы получить квадратный корень из 3.

Квадратный корень из 3 = (1 + 2)/2 = 3/2 = 1,5, что неверно. Таким образом, нахождение среднего продолжается как

Квадратный корень из 3 = (1,5 + 2)/2 = 1,75, что примерно равно квадратному корню из 3. 

Интересные факты о формуле квадратного корня:

• операции с квадратным корнем являются обратными математическими операциями по отношению друг к другу.

• Квадратный корень из квадрата числа — это само число.

• Квадрат квадратного корня из числа — это само число.

Заключение

В статье представлена ​​полная информация о формуле квадратного корня, которая поможет учащимся практиковаться и учиться.

Квадраты и квадратные корни Квадратная формула

Начнем с…

Пример задачи!

Что, вы ждали вечеринку?

Решите квадратное уравнение x ² + bx + c = 0, заполнив квадрат.

Здесь мы знаем, что a , b и c числа, но мы не знаем, что это за числа. Мы знаем, что и не могут быть 0, иначе у нас не было бы квадратного уравнения. У нас есть скрытое подозрение, что b равно 17, но это основано только на сне, который мы видели прошлой ночью, так что нам, вероятно, следует посчитать, чтобы быть в безопасности.

Во-первых, мы делим обе части на a , так как мы не хотим, чтобы коэффициент при x ² испортил работу.

Затем мы вычитаем с обеих сторон, чтобы убрать их с дороги.

Далее берем (коэффициент на x ), делим на 2 и возводим в квадрат, чтобы найти . Это не так красиво, как то, что у нас было в прошлом, но мы пойдем с этим. Это число, которое мы добавляем к обеим частям:

Теперь левую часть уравнения можно записать в виде квадрата:

Так как , мы можем сложить числа в правой части уравнения:

Приятно смотреть на такое уродливое нагромождение чисел, переменных, дробей и скобок и знать, что вы можете смысл в этом есть, а? Не то чтобы вы хотели распечатать его и повесить на стену в спальне, но все же. Мы думаем, что это хорошо.

Теперь, записав левую часть уравнения в виде квадрата, а правую часть уравнения в новой форме, нам нужно решить уравнение:

Поскольку слева у нас квадрат многочлена первой степени, а справа заведомо запутанное число, мы знаем, куда двигаться дальше. Мы призываем наши радикальные силы и извлекаем квадратный корень из обеих сторон.

Мы можем упростить правую часть:

Теперь нам нужно решить эти два уравнения:

Вот наше первое решение:

Готовы ко второму решению? Пришел атча:

Эти решения обычно записываются вместе как:

Мы называем это грубое уравнение квадратичной формулой .

Возможно, вы уже слышали об этом. Это известно. Раньше у него было собственное ток-шоу, и оно было признано одним из самых сексуальных формул человека в 300 г. до н.

Ладно, может, он и не такой славы, но он хорошо известен. Квадратная формула — это еще один способ найти решение квадратного уравнения. Когда дано квадратное уравнение, мы выясняем, какие числа соответствуют a , b и c , затем подставьте их в квадратичную формулу, чтобы найти наши ответы. Это похоже на одну из тех фабричных машин, куда вы добавляете различные ингредиенты, а затем выходит великолепное Oreo, или Twinkie, или восковые губы. Да, мы выбрали «воск для губ».

Как ни сложно получить и понять квадратичную формулу, это одна из тех вещей, которые лучше всего запомнить и использовать. Маловероятно, что в школе вас попросят объяснить, откуда берется квадратная формула, но приятно знать, что, как дети, она откуда-то берется.

Постарайся почувствовать себя как дома, не так ли?

Пример задачи

Решить: x ² + 5 x – 7 = 0.

Коэффициент при x ² равен 5, а коэффициент при 9076 равен 90, коэффициент при x равен 90. член равен -7, поэтому мы имеем:

Все, что мы делаем, это подставляем эти числа в квадратную формулу , и мы быстро получаем решение:

Поскольку 53 — простое число, мы можем больше не упрощайте. Два решения уравнения:

Будьте осторожны: Чтобы использовать квадратную формулу, вам нужно уравнение формы x ² + bx + c = 0. Поскольку у нас должен быть ноль на одной стороне уравнение, вы не можете перейти к квадратному уравнению и начать подключать к нему все, что есть на свете. Кстати, если вы когда-нибудь поедете за границу, не забудьте взять с собой европейский переходник с квадратной вилкой.

Пример задачи

Студента, такого же безнадежного мечтателя, который мечтает когда-нибудь стать членом Национального общества Одюбона, попросили использовать квадратную формулу для решения уравнения 9. 0761 х ² + 3 х – 6 = 7.

Она записала следующую работу. Что она сделала не так?

В исходном уравнении не было нуля с одной стороны. О! Студент должен был сначала вычесть 7 с каждой стороны, а затем решить уравнение x ² + 3 x – 13 = 0.

Это начинает становиться проблемой. Ее учитель, возможно, захочет подумать о том, чтобы задернуть жалюзи.

Пример задачи

Другого студента, который не столько интересуется птицами, сколько очарован входящим текстом на сотовый телефон, который он незаметно прячет в одном из рукавов, попросили использовать квадратную формулу для решения уравнения 4 х ² + 15 х – 9 = 0.

Он записал следующую работу. Что он сделал не так?

В исходном уравнении c было -9, а не +9. Он мог бы заметить это, если бы не был так занят, забавляясь и шутя.

Первые две строки студента должны были быть:

Иногда квадратное уравнение не имеет решений.

No related posts.