Косинус синус определение: Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.

Косинус | это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Содержание 1 Способы определения 1.1 Геометрическое определение 1. 1.1 Определение тригонометрических функций для острых углов 1.2 Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений 1.3 Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений 1.4 Определение тригонометрических функций через ряды 2 Значения тригонометрических функций для некоторых углов 2.1 Значения тригонометрических функций нестандартных углов 3 Свойства тригонометрических функций 3.1 Простейшие тождества 3.2 Чётность 3.3 Периодичность 3.4 Формулы приведения 3.5 Формулы сложения 3.6 Однопараметрическое представление 4 Производные и интегралы 5 История 6 См. также 7 Ссылки

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически.

Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

• Синусом называется отношение
• Косинусом называется отношение
• Тангенс определяется как
• Котангенс определяется как
• Секанс определяется как
• Косеканс определяется как

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате

y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу.

Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово

«джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

• Гиперболические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Редко используемые тригонометрические функции
• Эллиптические функции
• Теорема косинусов
• Теорема синусов
• Тригонометрические формулы
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Ссылки

• GonioLab: Проясненная Единичная Окружность, Тригонометрические и Гиперболические функции (Java Web Start)
• Weisstein, Eric W. Тригонометрические функции на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций

Косинус: определение

Ресурсы ·  ·  ·  ·  ·  ·    Поиск    Косинус: определение (Математика | Алгебра | Функции | определение)   Косинус: определение Функция косинуса может быть определена несколькими способами: Определение I : Из треугольника Для любого угла q (0 £ q £ 90&deg), мы можем найти косинус этого угла, построив прямоугольный треугольник с одной вершиной угла q. Косинус равен к длине стороны, примыкающей к q, деленной на длину гипотенузы треугольника. Таким способом мы можем найти косинус любого q в диапазоне 0 £ д £ 90°. Определение II : Из единичный круг Нарисуйте единичный круг, в котором круг радиусом 1 с центром в начало двумерной системы координат. Учитывая угол q, cos(q) можно определить как координату x точки на окружности, расположенной под углом q от происхождения. (Согласно стандартному соглашению, углы измеряются против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси.) Таким образом, мы можно найти косинус числа любое реальное значение q (q Я). Определение III : Алгебраический подход Из определения некоторых общих свойств функций синуса и косинуса, мы можем алгебраически вывести сами функции синуса и косинуса. Определение IV: над комплексными числами Учитывая комплексное число z = a + b i , cos(z) = cos(a)cosh(b) — sin(a)sin(b) i         Связаться с нами | Реклама и спонсорство | Товарищество | Ссылка на нас © 2000-2005 Math.com. Все права защищены. Юридический Уведомления. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Конфиденциальностью Политика.   Синусоидальная функция — исчисление Эта статья о конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. В статье представлена ​​информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференцированию и интегрированию. Посмотреть полный список конкретных функций на этой вики Для функций, включающих углы (тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и т. д.), мы следуем соглашению, согласно которому все углы измеряются в радианах. Так, например, угол измеряется как . Содержание 1 Определение 1.1 Определение единичной окружности 1.2 Определение соотношения треугольников (работает для острых углов) 2 Основные данные 3 личности 4 Связанные функции 4.1 Композиция с другими функциями 4.2 Продукт с другими функциями 5 Дифференциация 5.1 Первая производная 5.2 Вторая производная 5.3 Высшие производные 6 Интеграция 6.1 Первая первообразная 6.2 Определенные интегралы 6.3 Интеграция преобразованных версий функции 6. 4 Высшие производные 6.5 Интегрирование произведения с полиномами 7 Дифференциальные уравнения 8 Серия Power и серия Taylor 8.1 Вычисление ряда Тейлора 8.2 Серия Тейлора равна серии мощности 9 Предельные вычисления 9.1 Нулевой порядок 9.2 Пределы высшего порядка Определение Определение единичной окружности Синусоидальная функция , обозначенная , определяется следующим образом. Рассмотрим единичный круг с центром в начале координат, описанный как следующее подмножество координат: Для действительного числа мы определяем следующим образом: Начните с точки , лежащей на единичной окружности с центром в начале координат. Перемещение на расстояние по единичной окружности против часовой стрелки (т. е. движение начинается в первом квадранте, обе координаты положительны). В конце -координата полученной таким образом точки определяется как . Определение соотношения треугольников (работает для острых углов) Для острого угла , т. е. для открытого интервала , можно определить следующим образом: Постройте любой прямоугольный треугольник с одним из острых углов равным . — отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе. Основные данные Артикул Ценность домен по умолчанию все действительные числа, т. е. все диапазон закрытый интервал период , т. е. . среднее значение за период 0 локальные максимальные значения и точки достижения локальное максимальное значение, достигнутое во всех точках формы , со значением 1 в каждой точке. локальные минимальные значения и точки достижения локальное минимальное значение, достигнутое во всех точках формы , со значением -1 в каждой точке. точки перегиба (обе координаты) все точки формы с . важные симметрии нечетная функция. В более общем смысле полуоборотная симметрия относительно всех точек вида где . Также зеркальная симметрия относительно всех линий вида . первая производная , т. е. функция косинуса вторая производная , то есть отрицательная функция синуса. последовательность производных начиная с первого: . Последовательность старших производных периодична с периодом 4. первая первообразная , то есть отрицательная функция косинуса. Личности Тип идентификации Тождество в алгебраической форме Дополнительный уголок , эквивалентно отношение квадрата с косинусом . формула синуса суммы углов Формула синуса разности углов преобразование произведения в сумму сумма в переводе продукта Формула синуса двойного угла формула косинуса двойного угла , значит. другие симметрии периодичность: антипериодичность: нечетность: зеркальная симметрия около : Связанные функции Композиция с другими функциями Ниже приведены некоторые составные функции формы для подходящей функции: Функция косеканса. Функция , то есть функция т.е. функция обратная функция — область определения исключает все числа, кратные синус обратной функции квадрат функции функция квадрата синуса функция синуса квадрата функция куба Функция куба синуса функция синуса куба функция положительной мощности для фиксированного положительная степень синуса синус положительной степенной функции Функция абсолютного значения абсолютное значение функции синуса неинтересно Функция положительной части положительная часть синуса неинтересно Функция квадратного корня квадратный корень из функции синуса — обратите внимание, что это имеет смысл только в ограниченной области функция синуса квадратного корня натуральный логарифм абсолютного значения натуральный логарифм абсолютного значения функции синуса синус натурального логарифма абсолютного значения Произведение с другими функциями Функция точечное произведение функций обратная функция функция sinc (определяется отдельно как 1 на 0) Функция идентификации произведение тождественной функции и функции синуса экспоненциальная функция Произведение экспоненциальной функции и функции синуса Функция косинуса то же, что и Дифференцирование Первая производная Выводим формулу из предела: Вот полное доказательство: В силу того, что предел линейный, указанный выше предел можно переписать как: Теперь нам нужно вычислить два предела по отдельности. Обратите внимание сначала, что оба предела не зависят от . Первое ограничение: Таким образом, мы выразили предел как произведение пределов, где один из множителей стремится к нулю, а другой — к единице, поэтому предел равен нулю. Второй предел равен 1, как видно непосредственно. Таким образом, мы получаем, что ответ: Это упрощает до Вторая производная Производная равна , поэтому мы получаем: Старшие производные Последовательность производных периодична с периодом 4: 0 1 2 3 4 5 6 7 В частности, мы получаем, что для любого неотрицательного целого числа: Аналогично, у нас также есть: Другими словами, дифференцирование времени функции эквивалентно смещению графика влево. Интегрирование Первая первообразная Имеем: Определенные интегралы Среднее значение за период равно 0. Таким образом: Поскольку нечетно, среднее значение на любом интервале, симметричном относительно начала координат, равно нулю: Кроме того, интеграл от on и on равен 1 каждый, что дает среднее значение на этих интервалах: Интегрирование преобразованных версий функции Имеем для , используя интегрирование линейного преобразования функции: Далее, среднее значение за период равно 0. Высшие первообразные Общее выражение для второй первообразной: В общем случае первообразная равна или , в зависимости от значения по модулю 4. Общее выражение представляет собой частную первообразную плюс произвольный многочлен степени не выше . Интегрирование произведения с многочленами Используя интегрирование по частям, мы знаем, что знание первых первообразных достаточно для определения повторным применением интегрирования по частям. Поскольку синусоидальную функцию можно антидифференцировать любое количество раз, это позволяет нам антидифференцировать любую полиномиальную функцию синуса. Например, функция , т. е. произведение функции тождества и функции синуса, может быть интегрирована с помощью знаний о том, как дважды интегрировать функцию синуса: Дифференциальные уравнения Функция синуса и ее преобразования возникают как решение многих дифференциальных уравнений, включая полиномиальные дифференциальные уравнения. Некоторые из них перечислены ниже. Уравнение Прочие формы Общее решение для См. Verhulst процесс или Степенной ряд и ряд Тейлора Вычисление ряда Тейлора Как отмечалось выше, имеем: В частности, это означает, что: Таким образом, последовательность производных в нуле (начиная с ) равна . Таким образом, ряд Тейлора: Ряд Тейлора равен степенному ряду Синусоида является глобально аналитической функцией: ряд Тейлора для синусоидальной функции действительно везде сходится к этой функции. Это можно доказать несколькими способами. Один из методов состоит в том, чтобы использовать то, что равномерно ограниченные производные влекут за собой аналитику. В качестве альтернативы мы могли бы отметить, что удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению , заставляя его быть заданным степенным рядом. Таким образом, мы имеем, что: Предельные вычисления Нулевой порядок У нас есть следующий предел: Таким образом, порядок нуля в точке 0 равен 1, а остаток равен 1. Пределы высшего порядка У нас есть предел: Предел можно рассчитать одним из двух способов: Наименование метода расчета предела Детали Использование правила Лопиталя . No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт