Котангенс четная или нечетная: HTTP 404 Resource not found

Содержание

Электронный справочник по математике для школьников тригонометрия свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Справочник по математикеТригонометрия

Содержание

Знаки тригонометрических функций
Периодичность тригонометрических функций
Четность тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Знаки чисел

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости   Oxy   лежит луч   OM   (рисунки 1, 2, 3, 4).

Рис.1. Знак sin αРис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg αРис.4. Знак ctg α
Рис.1. Знак sin α
Рис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg α
Рис.4. Знак ctg α

Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса

Рассмотрим рисунок 5.

Рис.5

Если луч OM1, изображенный на рисунке 5, повернуть по ходу или против хода часов на полный угол (360 градусов или 2π радиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 360°) = sin α°,   cos (α° + 360°) = cos α°,

sin (α° – 360°) = sin α°,   cos (α° – 360°) = cos α°,

а также формулы:

sin (α + 2π) = sin α ,   cos (α + 2π) = cos α ,

sin (α – 2π) = sin α,   cos (α – 2π) = cos α .

      Поворачивая луч  OM1 на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами синуса и косинуса являются углы   360° n, .

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами синуса и косинуса являются числа   2nπ, .

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол 360°.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число 2π .

Теперь рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

Если луч OM1, изображенный на рисунке 6, повернуть по ходу или против хода часов на развернутый угол (180 градусов или π радиан), то он совместится с лучом OM2 . Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 180°) = – sin α°,   cos (α° + 180°) = – cos α°,

sin (α° – 180°) = – sin α°,   cos (α° – 180°) = – cos α°,

а также формулы:

sin (α + π) = – sin α ,   cos (α + π) = – cos α ,

sin (α – π) = – sin α,   cos (α – π) = – cos α.

Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.

В случае, когда углы измеряются в радианах, полупериодом синуса и косинуса является число π.

СЛЕДСТВИЕ. Поскольку

то справедливы формулы:

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами тангенса и котангенса являются углы 180° n,

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами тангенса и котангенса являются числа   nπ, .

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол 180°.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число π.

Четность тригонометрических функций

Рассмотрим рисунок 7.

Рис.7

На этом рисунке

Следовательно, справедливы формулы:

sin ( – α ) = – sin α ,   cos ( – α ) = cos α ,

откуда вытекают формулы:

tg ( – α ) = – tg α ,   ctg ( – α ) = – ctg α .

Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Конспект урока по математике по теме: «Четные и нечетные функции». | План-конспект урока на тему:

Четные и нечетные функции

Тип урока: комбинированный.

Технологии:

1) Здоровьесберегающая образовательная технология

2) Технология уровневой дифференциации

Цели урока: формирования у обучающихся представлений о четной и нечетной функции, закрепить эти понятия в ходе выполнения упражнений, способствовать развитию понятия о свойстве графиков четных и нечетных функций, навыков построения графиков функций; развитие алгоритмической культуры учащихся; воспитание добросовестного отношения у учащихся к учебному труду.

Оборудование: разноуровневые карточки-задания.

Ход урока

1. Актуализация знаний.

 1) что мы называем числовой функцией?

(Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от х.)

2) что такое область определения функции?

( Все допустимые значения х)

3) что такое область значения функции?

( Все допустимые значения у)

4) Найдите область определения функции:

а) у=1/ х                   (D(f):x≠0)

б) у =         (D(f) = (−∞;−2) υ (2;∞))

5) найдите область значения функции:

а) у = cos х                (E(f): [-1;1])

6) начертите график функции  у = соs х  и у = sin x

(два человека у доски)

2. Изучение нового материала.

Посмотрите внимательно на доску, перед вами графики функций косинуса и синуса. Что у них общего и что их отличает?

( Общее у них область определения и область значения функций, отличает их симметрия относительно 0)

Рассмотрим у = соs х

Если  у=0,      =+2Пn, nєΖ

            =+2Пn, nєΖ

То есть значение функции в т. = и т.=  равно.

Другими словами f(-x)=f(x), такую функцию называют чётная.

Запишем определение:

Функция f называется четной, если для любого х  из её области определения   f(-x)=f(x).

Теперь рассмотрим у = sin x

Мы видим, что f(-x)=-f(x), такую функцию называют нечетной.

Запишем определение:

Функция f называется нечетной, если для любого х  из её области определения   f(-x)=-f(x).

Из тригонометрических функций только косинус является четной функцией, а синус, тангенс и котангенс являются нечетными.

Как вы видите:

-График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси ОУ).

-График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры:

1. Рассмотрим функцию f(x)=, выясним четная она или нечетная?

1)D(f):(−∞;∞),область определения симметрична относительно нуля.

2) f(-x)==, f(-x)= f(x), f- четная.

2. Рассмотрим функцию f(x)=, выясним четная она или нечетная?

1)D(f):(−∞;∞),область определения симметрична относительно нуля.

2) f(-x)==, f(-x)= -f(x), f-нечетная.

3. Следующая функция  f(x)=+

1)D(f):(−∞;∞),область определения симметрична относительно нуля.

2) f(-x)==, f(-x)≠ -f(x), f(-x)≠ f(x),f-ни четная ни нечетная, т.е. функция общего вида.

3. Физминутка.

Закройте глаза и представьте  перед собой большой белый экран. Необходимо мысленно раскрасить этот экран поочерёдно любым цветом: например, сначала жёлтым, потом оранжевым, зелёным, синим, но закончить раскрашивание нужно самым любимым цветом.

Отдохнули, теперь продолжаем.

4. Решение задач на закрепление темы.

1. № 57(а, б) вместе у доски разбираем.

2. №59(а, б) вместе у доски разбираем.

3.Прежде чем делать следующий номер, давайте вспомним как расположен график четной функции? А нечетной?

(график четной функции симметричен относительно оси ОУ)

(график нечетной функции симметричен относительно начала координат)

№ 61

5. Самостоятельная работа: разноуровневые карточки-задания.

Слабые учащиеся при выполнении задания № 1 получают карточку инструкцию.

Сильные учащиеся, выполнившие задания карточки, получают дополнительную карточку.

6. Подведение итогов урока, выставление оценок.

7. Домашнее задание: № 58, № 60.

Используемая литература

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 –11 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2010. – 384с.: ил

Электронные образовательные ресурсы

  1. http://ru.wikipedia.org/wiki
  2. http://festival.1september.ru

Приложение.

КАРТОЧКА-ИНСТРУКЦИЯ К РЕШЕНИЮ ПРИМЕРОВ НА ПРОВЕРКУ ЧЕТНОСТИ И НЕЧЕТНОСТИ ФУНКЦИИ

Рассмотрим числовую функцию f(x)=3×2-5×4.  

Для того чтобы выяснить четная или нечетная функция необходимо:

— найти область определения функции D(f) (значения для x) и показать, что эта область симметрична относительно 0.

— найти f(-x) и если: 

f(-x)= f(x), то функция четная, а если f(-x)=-f(x), то функция нечетная.

РЕШЕНИЕ.

Так как в функцию f(x) в качества x можно подставить любое число, то D(f)=R и данное множество симметрично относительно 0.

Найдем f(-x), т.е. вместо x подставляем -x: f(-x)=3(-x)2-5(-x)4=3×2-5×4= f(x).

Таким образом, функция f(x)=3×2-5×4 является четной.

карточка №1.

Докажите, что функция f(x)=4х3+7х является нечетной.

Приведите пример четной функции.

карточка №2.

Докажите, что функция f(x)=16х6  — 3х4 является четной.

Приведите пример нечетной функции.

карточка №3.

  • назовите номер графика четной функции;
  • назовите номер графика нечетной функции;
  • назовите номер графика функции, которая не является четной и не является нечетной;

Карточка №4.

Задание № 1: Проверьте, является ли четной или нечетной функция, заданная формулой:

1) g(х) = (Sinх)2 + 5х6

2) f(х) = 2х3 + 8x 

3) k(х) =  5х2 + 3х + 5

Задание № 2: Дан фрагмент графика функции g(х), которая определена на [-10; 10]. Достройте график, если функция g(х):

— четная;

— нечетная.

Задание № 3. Периодическая функция y=f(x) с периодом, равным 3, определена на множестве всех действительных чисел. Известно, что f(2)=5, f(0)=-2. Найдите значение выражения 3f(8)-5f(-3).

Карточка №5.

Задание 1. Выяснить является ли функция четной или нечетной.

1) f(x)=x3+2Sinx+ctgx 2) f(x)=-3×2+2Cosx+3xSinx

Задание 2. Найдите значение функции y(x)=(3f(x)-f(-x))/(2g(x)-g(-x)) в точке x0, если известно, что функцияy=f(x) — четная, функция y=g(x) — нечетная, f(x0)=-3, g(x0)=2.

Задание 3. Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 8. На отрезке [0;4] функция y=f(x) задана равенством f(x)=-x2+4x-1. Определите количество нулей функции y=f(x)на отрезке [-6;4].

Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты

Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.


Поиск на сайте DPVA

Поставщики оборудования

Полезные ссылки

О проекте

Обратная связь

Ответы на вопросы.

Оглавление

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты

Поделиться:   

Основные свойства функций. Понятие функции. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты. Алгоритм описания функции.

Понятие функции. Область определения и значения

  • Числовая функция y=f(x) это соответствие, которое каждому числу x (аргумент функции) из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y (значение функции)
  • Область определения функции D это множество значений х
  • Область значений функции E это множество значений
    y
  • График функции это множество точек координатной плоскости (x,y), таких, что y=f(x)

Понятие функции.

Четность и нечетность
  • Функция f(x) четная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=f(x)
  • График четной функции симметричен относительно оси y
  • Функция f(x) нечетная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=-f(x)
  • График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Понятие функции. Периодичность

  • Функция f(x) периодическая,  с периодом T>0, если для любого x из области определения значения x+T и x-T также принадлежат  области определениыя f(x)=f(x+T)=f(x-T)
  • График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов

Нули функции:

  • Нуль функции f(x)  — значение аргумента x, при котором функция обращается в нуль: f(x)=0
  • В нуле функции ее график имеет общую точку (пересекается) с осью x

Промежутки знакопостоянства:

  • Промежутки знакопостоянства  функции f(x) это промежутки, на которых функция сохраняет знак.

Монотонность (возрастание, убывание):

  • Определение возрастающей функции: Функция f(x) — возрастающая на интервале (a:b), если для любых x1 и x2 из этого интервала, таких, что x1<x2, справедливо неравенство f(x1)<f(x2)
  • Определение убывающей функции: Функция f(x) — возрастающая на интервале (a:b), если для любых x1 и x2 из этого интервала, таких, что x1<x2, справедливо неравенство f(x1)>f(x2)

Экстремумы (максимумы и минимумы):

  • Внутренняя точка xmax области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x)<f(xmax)
  • Значение ymax=f(xmax) называется максимум функции.
  • Внутренняя точка xmin области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x)>f(xmin)
  • Значение ymin=f(xmin) называется минимум функции.

Асимптоты:

  • Асимтота графика это прямая, к которой неограниченно приближается точка при удалении этой точки по бесконечной ветви:

Алгоритм описания функции:

  1. Область определения функции
  2. Область значения функции
  3. Является ли функция периодической
  4. Является ли функция четной или нечетной
  5. Точки пересечения графика с осями координат
  6. Промежутки знакопостоянства
  7. Интервалы возрастания и убывания
  8. Абсциссы и ординаты точек экстремума
  9. Наличие асимптот

Поиск в инженерном справочнике DPVA.

Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Тригонометрические тождества.

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

.

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Если это уравнение поделить на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее: и

Из определений тангенса и котангенса имеем, что .

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь – любая тригонометрическая функция, – соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n – целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

.

Правила преобразования:

1) Если аргумент содержит где – нечетное натуральное число , то функция меняется на «конфункцию», т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если – четное натуральное число , то название функции не изменяется.

2) Определяем знак («+» или «–») значения первоначальной функции. Преобразованное выражение сохраняет знак своего родителя.


Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы половинного угла:

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

Суммы

Обратные тригонометрические функции и их свойства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Функция

1.

2.

3.

4. функция нечетная, то есть

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. при ;

9. при .

Функция

1. ;

2.

3.

4. функция ни четная, ни нечетная, причем

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. при .

Функция

1.

2.

3.

4. функция нечетная, то есть

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. график функции имеет 2 асимптоты:

Функция

1.

2.

3.

4. функция ни четная, ни нечетная, причем

5. ни при каких ;

6. при ;

7. график функции имеет 2 асимптоты:

 

Тема 2.2 Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.

 

Тригонометрические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Простейшие тригонометрические уравнения.

любое целое число;

любое целое число;

любое целое число;

здесь нет решений;

— любое целое число.

любое целое число;

любое целое число;

любое целое число;

здесь нет решений

— любое целое число.

– любое целое число;

— любое целое число.

— любое целое число;

— любое целое число.

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры ( метод замены переменной и подстановки ).

Пример.Решить уравнение:

Решение. Используя формулы приведения, имеем: Делаем замену: тогда Находим корни: откуда следует два случая:

1)

2)

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Перенесём все члены уравнения влево: ,

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

1)

2)

Пример. Решить уравнение: .

Решение. ,

2)

Пример. Решить уравнение:

Решение.

,

,

,

3.Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно и , если все его члены одной и той же степени относительно и одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на ( или ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно .

Пример. Решить уравнение: .

Решение.

, отсюда ,

корни этого уравнения: отсюда

1)

2) .

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

Пример. Решить уравнение: .

Решение.

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

Где – коэффициенты; – неизвестное. Разделим обе части этого уравнения на :

.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как и (здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

или и его решение: , где . Заметим, что введенные обозначения и взаимно заменяемы.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Здесь , поэтому делим обе части на

,

отсюда

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Преобразуем левую часть в сумму:

8. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример.Решить уравнение:

Решение. Здесь возможны два случая:

1) , тогда

, . Делаем замену: , тогда , корни этого уравнения: :

а)

б)

2) , тогда .

Таким образом, решение даёт только первый случай

Чему равен тангенс тригонометрия.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

ЕГЭ на 4? А не лопнешь от счастья?

Вопрос, как говорится, интересный… Можно, можно сдать на 4! И при этом не лопнуть… Главное условие — заниматься регулярно. Здесь — основная подготовка к ЕГЭ по математике. Со всеми секретами и тайнами ЕГЭ, о которых Вы не прочитаете в учебниках… Изучайте этот раздел, решайте больше заданий из различных источников — и всё получится! Предполагается, что базовый раздел «С тебя и тройки хватит!» у вас затруднений не вызывает. Но если вдруг… По ссылочкам-то ходите, не ленитесь!

И начнём мы с великой и ужасной темы.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта тема доставляет массу проблем ученикам. Считается одной из самых суровых. Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс? Что такое числовая окружность? Стоит задать эти безобидные вопросы, как человек бледнеет и пытается увести разговор в сторону… А зря. Это простые понятия. И ничем эта тема не сложнее других. Просто нужно с самого начала чётко уяснить ответы на эти самые вопросы. Это очень важно. Если уяснили – тригонометрия вам понравится. Итак,

Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?

Начнём с глубокой древности. Не волнуйтесь, все 20 веков тригонометрии мы пройдём минут за 15. И, незаметно для себя, повторим кусочек геометрии из 8 класса.

Нарисуем прямоугольный треугольник со сторонами

а, в, с и углом х . Вот такой.

Напомню, что стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. а и в – катеты. Их два. Оставшаяся сторона называется гипотенузой. с – гипотенуза.

Треугольник и треугольник, подумаешь! Что с ним делать? А вот древние люди знали, что делать! Повторим их действия. Измерим сторону в . На рисунке специально клеточки нарисованы, как в заданиях ЕГЭ бывает. Сторона в равна четырём клеточкам. Ладно. Измерим сторону а. Три клеточки.

А теперь поделим длину стороны а на длину стороны в . Или, как ещё говорят, возьмём отношение а к в . а/в = 3/4.

Можно наоборот, поделить в на а. Получим 4/3. Можно в поделить на с. Гипотенузу с по клеточкам не посчитать, но она равна 5. Получим

в/с = 4/5. Короче, можно делить длины сторон друг на друга и получать какие-то числа.

Ну и что? Какой смысл в этом интересном занятии? Пока никакого. Бестолковое занятие, прямо скажем.)

А теперь сделаем вот что. Увеличим треугольник. Продлим стороны в и с , но так, чтобы треугольник остался прямоугольным. Угол х , естественно, не меняется. Чтобы это увидеть, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь её (если у вас — планшет). Стороны а, в и с превратятся в m, n, k , и, понятное дело, длины сторон изменятся.

А вот их отношения – нет!

Отношение а/в было: а/в = 3/4, стало m/n = 6/8 = 3/4. Отношения других соответствующих сторон также не изменятся . Можно как угодно менять длины сторон в прямоугольном треугольнике, увеличивать, уменьшать, не меняя угла х отношения соответствующих сторон не изменятся . Можно проверить, а можно поверить древним людям на слово.

А вот это уже очень важно! Отношения сторон в прямоугольном треугольнике никак не зависят от длин сторон (при одном и том же угле). Это настолько важно, что отношения сторон заслужили свои специальные названия. Свои имена, так сказать.) Знакомьтесь.

Что такое синус угла х ? Это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sinx = а/с

Что такое косинус угла х ? Это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

с osx = в/с

Что такое тангенс угла х ? Это отношение противолежащего катета к прилежащему:

tgx = а/в

Что такое котангенс угла х ? Это отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgx = в/а

Всё очень просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс – это некоторые числа. Безразмерные. Просто числа. Для каждого угла – свои.

Зачем я так занудно всё повторяю? Затем, что это надо запомнить . Железно запомнить. Запоминание можно облегчить. Фраза «Начнём издалека…» знакома? Вот и начинайте издалека.

Синус угла – это отношение дальнего от угла катета к гипотенузе. Косинус – отношение ближнего к гипотенузе.

Тангенс угла – это отношение дальнего от угла катета к ближнему. Котангенс – наоборот.

Уже проще, правда?

Ну а если запомнить, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а в синусе и косинусе гипотенуза появляется, то всё станет совсем просто.

Всю эту славную семейку – синус, косинус, тангенс и котангенс называют ещё тригонометрическими функциями .

А теперь вопрос на соображение.

Почему мы говорим синус, косинус, тангенс и котангенс угла? Речь-то идёт об отношениях сторон, вроде. .. При чём здесь угол?

Смотрим на вторую картинку. Точно такую же, как и первая.

Наведите мышку на картинку. Я изменил угол х . Увеличил его с х до Х. Все отношения поменялись! Отношение а/в было 3/4, а соответствующее отношение t/в стало 6/4.

И все остальные отношения стали другими!

Стало быть, отношения сторон никак не зависят от их длин (при одном угле х), но резко зависят от этого самого угла! И только от него. Поэтому термины синус, косинус, тангенс и котангенс относятся к углу. Угол здесь — главный.

Надо железно уяснить, что угол неразрывно связан со своими тригонометрическими функциями. У каждого угла есть свой синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Это важно. Считается, что если нам дан угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс нам известны ! И наоборот. Дан синус, или любая другая тригонометрическая функция – значит, мы знаем угол.

Существуют специальные таблицы, где для каждого угла расписаны его тригонометрические функции. Таблицы Брадиса называются. Они очень давно составлены. Когда ещё не было ни калькуляторов, ни компьютеров…

Конечно, тригонометрические функции всех углов запомнить нельзя. Вы обязаны знать их только для нескольких углов, об этом дальше будет. Но заклинание «знаю угол – значит, знаю его тригонометрические функции» — работает всегда!

Вот мы и повторили кусочек геометрии из 8-го класса. Оно нам надо для ЕГЭ? Надо. Вот вам типичная задачка из ЕГЭ. Для решения которой достаточно 8-го класса. Дана картинка:

Всё. Больше никаких данных нет. Надо найти длину катета ВС.

Клеточки слабо помогают, треугольник как-то неправильно расположен…. Специально, поди… Из информации есть длина гипотенузы. 8 клеток. Ещё зачем-то дан угол.

Вот здесь надо сразу вспоминать про тригонометрию. Есть угол, значит, мы знаем все его тригонометрические функции. Какую функцию из четырёх в дело пустить? А посмотрим-ка, что нам известно? Нам известны гипотенуза, угол, а найти надо прилежащий к этому углу катет! Ясно дело, косинус нужно в дело запускать! Вот и запускаем. Просто пишем, по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе):

cosC = ВС/8

Угол С у нас 60 градусов, его косинус равен 1/2. Это знать надо, безо всяких таблиц! Стало быть:

1/2 = ВС/8

Элементарное линейное уравнение. Неизвестное – ВС . Кто подзабыл, как решать уравнения , прогуляйтесь по ссылке, остальные решают:

ВС = 4

Когда древние люди поняли, что у каждого угла имеется свой комплект тригонометрических функций, у них возник резонный вопрос. А не связаны ли как-нибудь синус, косинус, тангенс и котангенс между собой? Так, чтобы зная одну функцию угла, можно было найти остальные? Не вычисляя сам угол?

Вот такие они были неугомонные…)

Связь между тригонометрическими функциями одного угла.

Конечно, синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул — колоссальное количество. Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества. Вот они:

Эти формулы надо знать железно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:

Сразу предупреждаю, что три последние формулы быстро выпадают из памяти. Почему-то.) Можно, конечно, вывести эти формулы из первых трёх. Но, в трудную минуту… Сами понимаете.)

В стандартных заданиях, типа тех, что приведены ниже, есть способ обойтись без этих незапоминающихся формул. И резко уменьшить ошибки по забывчивости, да и в вычислениях тоже. Этот практический приём — в Разделе 555, урок «Связь между тригонометрическими функциями одного угла.»

В каких заданиях и как используются основные тригонометрические тождества? Самое популярное задание — найти какую-нибудь функцию угла, если дана другая. В ЕГЭ такое задание из года в год присутствует. ) Например:

Найти значение sinx, если х — острый угол, а cosx=0,8.

Задачка почти элементарная. Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ну и считаем, как обычно:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 — 0,64

Вот, практически и всё. Мы вычислили квадрат синуса, осталось извлечь квадратный корень и ответ готов! Корень из 0,36 будет 0,6.

Задачка почти элементарная. Но словечко «почти» здесь не зря стоит… Дело в том, что ответ sinx= — 0,6 тоже подходит… (-0,6) 2 тоже 0,36 будет.

Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй — неправильный. Как быть!? Да как обычно.) Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано: …если х — острый угол… А в заданиях каждое слово смысл имеет, да… Эта фраза — и есть дополнительная информация к решению.

Острый угол — это угол меньше 90°. А у таких углов все тригонометрические функции — и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом — положительные. Т.е. отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем право.

Собственно, восьмиклассникам такие тонкости не нужны. Они работают только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знают, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000°… И у всех этих кошмарных углов есть свои тригонометрические функции и с плюсом, и с минусом…

А вот старшеклассникам без учёта знака — никак. Многие знания умножают печали, да…) И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация (если она необходима). Например, она может быть дана такой записью:

Или как-нибудь иначе. В примерах ниже увидите.) Для решения таких примеров нужно знать, в какую четверть попадает заданный угол х и какой знак имеет нужная тригонометрическая функция в этой четверти.

Эти азы тригонометрии рассмотрены в уроках что такое тригонометрический круг, отсчёт углов на этом круге, радианная мера угла. Иногда требуется знать и таблицу синусов косинусов тангенсов и котангенсов.

Итак, отметим самое главное:

Практические советы:

1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.

2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

3. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию — значит, можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить все остальные.

А теперь порешаем, как водится. Сначала задания в объёме 8-го класса. Но и старшеклассникам тоже можно…)

1. Вычислить значение tgА, если ctgА = 0,4.

2. β — угол в прямоугольном треугольнике. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13.

3. Определить синус острого угла х, если tgх = 4/3.

4. Найти значение выражения:

6sin 2 5° — 3 + 6cos 2 5°

5. Найти значение выражения:

(1-cosx)(1+cosx), если sinх = 0,3

Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Получилось? Отлично! Восьмиклассники могут уже пройти за своими пятёрками.)

Не всё получилось? Задания 2 и 3 как-то не очень…? Не беда! Есть один красивый приём для подобных заданий. Всё решается, практически, вообще без формул! Ну и, следовательно, без ошибок. Этот приём в уроке: «Связь между тригонометрическими функциями одного угла» в Разделе 555 описан. Там же разобраны и все остальные задания.

Это были задачки типа ЕГЭ, но в урезанном варианте. ЕГЭ — лайт). А сейчас почти такие же задания, но в полноценном егэшном виде. Для обременённых знаниями старшеклассников.)

6. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а

7. Определить sinх, если tgх = 4/3, а х принадлежит интервалу (- 540°; — 450°).

8. Найти значение выражения sinβ·cosβ, если ctgβ = 1.

Ответы (в беспорядке):

0,8; 0,5; -2,4.

Здесь в задаче 6 угол задан как-то не очень однозначно… А в задаче 8 и вовсе не задан! Это специально). Дополнительная информация не только из задания берётся, но и из головы.) Зато уж если решили — одно верное задание гарантировано!

А если не решили? Гм… Ну, тут Раздел 555 поможет. Там решения всех этих заданий подробно расписаны, трудно не разобраться.

В этом уроке дано очень ограниченное понятие тригонометрических функций. В пределах 8-го класса. А у старших остаются вопросы…

Например, если угол х (смотрите вторую картинку на этой странице) — сделать тупым!? Треугольник-то вообще развалится! И как быть? Ни катета не будет, ни гипотенузы… Пропал синус…

Если бы древние люди не нашли выход из этого положения, не было бы у нас сейчас ни мобильников, ни TV, ни электричества. Да-да! Теоретическая основа всех этих вещей без тригонометрических функций — ноль без палочки. Но древние люди не подвели. Как они выкрутились — в следующем уроке.

Если Вам нравится этот сайт. ..

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

  1. Y = tg x.
  2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
  3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
  4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
  5. Tg x = 0, при x = πk.
  6. Функция является возрастающей.
  7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
  9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

  1. Y = ctg x.
  2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
  3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
  4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
  5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
  6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
  7. Функция является убывающей.
  8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
  10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

Синус, косинус произвольного угла

Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР , который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ . Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1 .

Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ , то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным , если же он двигается против движения часовой стрелки — положительным .

Синусом угла ОР , является ордината точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.

Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1 , то sin(α) = y 0 .

В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой — отрицательное.

Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР , является абсцисса точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.

Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1 , то cos(α) = x 0 .

В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей — отрицательное.

Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.

Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.

Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪

ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
функция периодическая, наименьший период — 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x производная (cos x)’ = — sin x

Интегрирование тригонометрических функции

Для интегрирования рациональных функций вида R(sin x, cos x) применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда . Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками.
  1. Если R(-sin(x),cosx) = -R(sin(x),cosx), то делают замену cos(x)=t и тогда sin(x)dx = -dt.
  2. При R(sin(x),-cosx) = — R(sin(x),cosx), полагают sin(x)=t при этом cos(x)dx=dt
  3. В случае R(-sin(x),-cosx) = R(sin(x),cosx) делают замену tg(x)=t, при которой x=arctg(t), , или замену ctg(x)=t, если это удобнее.

Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций

1. Интегралы вида ∫sinnxdx, ∫cosnxdx, n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
2. Интегралы вида ∫tgnxdx, ∫ctgnxdx, где n – целое.
Необходимо использовать формулы

3. Интегралы вида ∫sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n — нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. ∫sin(nx)·cos(mx)dx, ∫cos(mx)·cos(nx)dx, ∫sin(mx)·sin(nx)dx

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:

  • sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
  • cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
  • sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word.

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью нахождения интегралов онлайн.

Примеры
1. Вычислить интеграл ∫cos4x·sin3xdx.
Делаем замену cos(x)=t. Тогда ∫cos4x·sin3xdx =
2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t, получаем


3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t. Подставляя, получаем

Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда , и поэтому

Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)

Пример №1. Вычислить интегралы:

Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx), где R — рациональная функция от sin x и cos x, преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
Тогда имеем


Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида ∫R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:
  • Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx, то применяется подстановка cos x = t.
  • Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx, то подстановка sin x = t.
  • Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, то подстановка tgx = t или ctg x = t.

В данном случае для нахождения интеграла
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t.
Тогда

=

или
Так как дробь правильная, то, представляем в виде суммы интегралов:


Возвращась к исходной переменной будем иметь

b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение ∫R(sinx, cosx) dx имеет вид ∫sinmx·cosnxdx. В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t. Если нечетно n, следует применить подстановку sin x = t. Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:
В данном случае

7.4: Другие тригонометрические функции

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    1517
    • OpenStax
    • OpenStax

    Цели обучения

    • Найдите точные значения тригонометрических функций секанса, косеканса, тангенса и котангенса \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\) и \( \ гидроразрыва {\ пи} {6} \).
    • Используйте опорные углы для вычисления секанса, тангенса и котангенса тригонометрических функций.
    • Использовать свойства четных и нечетных тригонометрических функций.
    • Распознавать и использовать фундаментальные тождества.
    • Вычисление тригонометрических функций с помощью калькулятора.

    Пандус для инвалидных колясок, соответствующий стандартам Закона об американцах-инвалидах, должен образовывать с землей угол, касательная которого равна \(\frac{1}{12}\) или меньше, независимо от его длины. Тангенс представляет собой отношение, поэтому это означает, что на каждый 1 дюйм подъема рампа должна иметь 12 дюймов пробега. Тригонометрические функции позволяют нам задавать формы и пропорции объектов независимо от точных размеров. Мы уже определили функции синуса и косинуса угла. Хотя синус и косинус являются наиболее часто используемыми тригонометрическими функциями, есть еще четыре. Вместе они составляют набор из шести тригонометрических функций. В этом разделе мы исследуем остальные функции.

    Нахождение точных значений тригонометрических функций секанс, косеканс, тангенс и котангенс \(t\), как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\). Как и в случае с синусом и косинусом, мы можем использовать координаты \((x,y)\) для нахождения других функций.

    Рисунок \(\PageIndex{1}\)

    Первая функция, которую мы определим, это тангенс. Тангенс угла есть отношение y -значение x -значение соответствующей точки на единичной окружности. На рисунке \(\PageIndex{1}\) тангенс угла \(t\) равен \(\frac{y}{x},x≠0 \). Поскольку значение y равно синусу \(t\), а значение x равно косинусу \(t\), тангенс угла \(t\) также может быть определяется как \( \frac{ \sin t}{ \cos t}, \cos t≠0.\) Касательная функция обозначается аббревиатурой \( \tan.\) Остальные три функции могут быть выражены как обратные функции мы уже определили.

    • Функция секанса является обратной функцией косинуса. На рисунке \(\PageIndex{1}\) секанс угла \(t\) равен \(\frac{1}{\cos t} = \frac{1}{x},x≠0\ ). Функция секущей обозначается как \(\sec\).
    • Функция котангенса является обратной величиной функции тангенса. На рисунке \(\PageIndex{1}\) котангенс угла \(t\) равен \( \frac{ \cos t}{ \sin t}= \frac{x}{y}, y≠ 0.\) Функция котангенса обозначается как \( \cot.\)
    • Функция косеканса является обратной функцией синуса. На рисунке \(\PageIndex{1}\) косеканс угла \(t\) равен \(\frac{1}{\sin t}= \frac{1}{y},y≠0. \) Функция косеканса обозначается как \(\csc.\)

    ФУНКЦИИ ТАНГЕНСА, СЕКАНСАНТА, КОСЕКАНСА И КОТАНГЕНСА

    Если \(t\) является действительным числом и \((x,y)\) является точкой, где конечная сторона угла \(t\) радиан пересекает единичный круг, тогда

    \[\begin{align} \tan t &= \frac{y}{x},x≠0 \\ \sec t & =\frac{1}{x},x≠ 0 \\ \csc t &=\frac{1}{y},y≠0 \\ \cot t &= \frac{x}{y},y≠0 \end{align}\]

    Пример \(\PageIndex{1}\): нахождение тригонометрических функций из точки на единичной окружности

    Точка \((−\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{ 2})\) находится на единичной окружности, как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\). Найдите \(\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t,\) и \( \cot t\).

    Рисунок \(\PageIndex{2}\)

    Решение

    Поскольку нам известны координаты \((x,y)\) точки на единичной окружности, обозначенной углом \(t\), мы можем использовать эти координаты, чтобы найти шесть функций:

    \[\begin{align*} \sin t &=y=\dfrac{1}{2} \\ \cos t &=x= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \ tan t &= \dfrac{y}{x}= \dfrac{\frac{1}{2}}{−\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{2}( −\dfrac{2}{\sqrt{3}})=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \sec t &= \ dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{2\sqrt {3}}{3} \\ \csc t &= \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2 \\ \cot t &= \dfrac{ x}{y}=\dfrac{−\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}(\dfrac {2}{1})=-\sqrt{3} \end{align*}\]

    Упражнение \(\PageIndex{1}\):

    Точка \((\frac{\sqrt{2}}{2},−\frac{\sqrt{2}}{2})\) равна на единичном круге, как показано на рисунке \(\PageIndex{3}\). Найдите \(\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t,\) и \( \cot t\).

    Рисунок \(\PageIndex{3}\)

    Решение

    \( \sin t=−\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos t= \frac{\sqrt{2}} {2}, \tan t=-1, \sec t=\sqrt{2}, \csc t=-\sqrt{2}, \cot t=-1\)

    Пример \(\PageIndex{2} \): Нахождение тригонометрических функций угла

    Найдите \( \sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t, \) и \( \cot t\), когда \(t=\frac{π}{6}\) .

    Решение

    Ранее мы использовали свойства равносторонних треугольников, чтобы показать, что \( \sin \frac{π}{6}=\frac{1}{2}\) и \( \cos \frac{ π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \). Мы можем использовать эти значения и определения тангенса, секанса, косеканса и котангенса как функции синуса и косинуса, чтобы найти остальные значения функции.

    \[ \begin{align*} \tan \dfrac{π}{6} & = \dfrac{ \sin \frac{π}{6}}{\cos \frac{π}{6}} \\ & = \ dfrac {\ frac {1} {2} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = \ dfrac {1} {\ sqrt {3}} = \ dfrac {\ sqrt {3} }{3} \\ \sec \dfrac{π}{6} &= \dfrac{1}{\cos \frac{π}{6}} \\ & = \dfrac{1}{\frac{\sqrt {3}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}= \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\ \csc \dfrac{π}{6} &= \ dfrac{1}{ \sin \frac{π}{6}}= \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2 \\ \cot \dfrac{π}{6} & = \dfrac {\ cos \ frac {π} {6}} {\ sin \ frac {π} {6}} \\ & = \ dfrac {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} =\sqrt{3} \end{align*}\]

    Упражнение \(\PageIndex{2}\):

    Найдите \( \sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t,\) и \( \cot t\), когда \ (t=\frac{π}{3}. \)

    Решение

    \(\begin{align} \sin \frac{π}{3} & = \frac{\sqrt{3}}{ 2} \\ \cos \frac{π}{3} &=\frac{1}{2} \\ \tan \frac{π}{3} &= \sqrt{3} \\ \sec \frac{ π}{3} &= 2 \\ \csc \frac{π}{3} &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \cot \frac{π}{3} &= \ frac{\sqrt{3}}{3} \end{align}\)

    Поскольку мы знаем значения синуса и косинуса для общих углов первого квадранта, мы можем найти и другие значения функции для этих углов, установив x x равно косинусу, а y y равно синусу, а затем с использованием определений тангенса, секанса, косеканса и котангенса. Результаты показаны в таблице \(\PageIndex{1}\).

    Таблица \(\PageIndex{1}\)
    Уголок \(0\) \(\frac{π}{6}, \text{или } 30°\) \(\frac{π}{4}, \text{или } 45°\) \(\frac{π}{3},\text{ или }60°\) \(\frac{π}{2},\text{ или }90°\)
    Косинус 1 \(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2} \) \(\ гидроразрыва {\ sqrt {2}} {2} \) \(\ гидроразрыва{1}{2}\) 0
    Синус 0 \(\ гидроразрыва{1}{2}\) \(\ гидроразрыва {\ sqrt {2}} {2} \) \(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2} \) 1
    Касательная 0 \(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {3} \) 1 \(\sqrt{3}\) Не определено
    Секущая 1 \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) \(\sqrt{2}\) 2 Не определено
    Косеканс Не определено 2 \(\sqrt{2}\) \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) 1
    Котангенс Не определено \(\sqrt{3}\) 1 \(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {3} \) 0

    Использование опорных углов для вычисления тангенса, секанса, косеканса и котангенса

    Мы можем вычислять тригонометрические функции углов вне первого квадранта, используя опорные углы, как мы уже делали с функциями синуса и косинуса. Процедура та же: Найдите опорный угол образован конечной стороной данного угла с горизонтальной осью. Значения тригонометрической функции для исходного угла будут такими же, как и для эталонного угла, за исключением положительного или отрицательного знака, который определяется значениями x и y в исходном квадранте. На рисунке \(\PageIndex{4}\) показано, какие функции в каком квадранте положительны.

    Чтобы помочь нам вспомнить, какие из шести тригонометрических функций положительны в каждом квадранте, мы можем использовать мнемоническую фразу «Умный класс триггеров». Каждое из четырех слов во фразе соответствует одному из четырех квадрантов, начиная с квадранта I и вращаясь против часовой стрелки. В квадранте I, то есть « A », a Все шесть тригонометрических функций положительны. В квадранте II, « S рынок», только s ine и его обратная функция, косеканс, положительны. В квадранте III « T установка» только t тангенс и его обратная функция, котангенс, положительны. Наконец, в квадранте IV, « C девушка», только c озин и его обратная функция, секанс, положительны.

    Рисунок \(\PageIndex{4}\)

    HOWTO: Учитывая угол не в первом квадранте, используйте опорные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций

    1. Измерьте угол, образованный конечной стороной данного угла и горизонталью ось. Это опорный угол.
    2. Оценить функцию по эталонному углу.
    3. Обратите внимание на квадрант, в котором находится конечная сторона исходного угла. На основе квадранта определите, является ли выход положительным или отрицательным.

    Пример \(\PageIndex{3}\): использование опорных углов для нахождения тригонометрических функций

    Использование опорных углов для нахождения всех шести тригонометрических функций \(−\frac{5π}{6}\).

    Решение

    Угол между конечной стороной этого угла и осью x равен \(\frac{π}{6}\), так что это опорный угол. Поскольку \(-\frac{5π}{6}\) находится в третьем квадранте, где и \(x\), и \(y\) отрицательны, косинус, синус, секанс и косеканс будут отрицательными, а тангенс и котангенс будет положительным.

    \[ \begin{align} \cos (-\dfrac{5π}{6}) &=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin (-\dfrac{5π}{6} )=-\dfrac{1}{2}, \tan (-\dfrac{5π}{6}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \sec (-\dfrac{5π}{ 6}) &=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, \csc (-\dfrac{5π}{6})=-2, \cot (-\dfrac{5π}{6}) =\sqrt{3} \end{align} \]

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Используйте опорные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций \(−\frac{7π}{4}\) .

    Решение

    \( \sin (−\frac{7π}{4})= \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos(\frac{−7π}{4})= \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan (\frac{−7π}{4})=1,\) 93\) — нечетная функция.

    Мы можем проверить, является ли тригонометрическая функция четной или нечетной, нарисовав единичную окружность с положительным и отрицательным углами, как показано на рисунке \(\PageIndex{7}\). Синус положительного угла равен \(y\). Синус отрицательного угла равен − y . Таким образом, синусоидальная функция является нечетной функцией. Таким образом мы можем проверить каждую из шести тригонометрических функций. Результаты показаны в таблице \(\PageIndex{2}\).

    Рисунок \(\PageIndex{7}\)
    Таблица \(\PageIndex{2}\)
    \(\begin{align} \sin t &=y \\ \sin (-t) &=-y \\ \sin t &≠sin(-t) \end{align}\) \( \begin{align} \cos t &=x \\ \cos (−t)=x \\ \cos t &= \cos (-t) \end{align}\) \(\begin{align} \tan (t) &= \frac{y}{x} \\ \tan (-t) &=-\frac{y}{x} \\ \tan t &≠ \ загар (−t) \end{align}\)
    \(\begin{align} \sec t &= \frac{1}{x} \\ \sec (−t) &= \frac{1}{x} \\ \sec t &= \sec (−t) \end{align}\) \( \begin{align} \csc t &= \frac{1}{y} \\ \csc (-t) &= \frac{1}{-y} \\ \csc t &≠ \csc ( −t) \end{align}\) \( \begin{align} \cot t &= \frac{x}{y} \\ \cot (−t) &= \frac{x}{−y} \\ \cot t & ≠ \cot ( −t) \end{align}\)

    ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

    • Четная функция — это функция, в которой \(f(−x)=f(x)\).
    • Нечетная функция — это функция, в которой \(f(−x)=−f(x)\).

    Косинус и секанс четные:

    \[ \begin{align} \cos (−t) &= \cos t \\ \sec (-t) &= \sec t \end{align}\]

    Синус, тангенс, косеканс и котангенс нечетны:

    \[\begin{align} \sin (-t) &=- \sin t \\ \tan (-t) &=-\tan t \\ \csc (-t) &=-\csc t \\ \cot (-t) &=-\cot t \end{align}\]

    Пример \(\PageIndex{4}\): использование четных и нечетных свойств Тригонометрические функции

    Если секанс угла t равен 2, чему равна секанс \(−t\)?

    Решение

    Секанс — четная функция. Сеанс угла равен секансу противоположного ему угла. Таким образом, если секанс угла t равен 2, то секанс угла \(−t\) также равен 2.

    Упражнение \(\PageIndex{4}\):

    Если котангенс угла \(t\) равно \(\sqrt{3}\), чему равен котангенс \(−t?\)

    Решение

    \(-\sqrt{3}\)

    Распознавание и использование фундаментальных тождеств

    Мы исследовали ряд свойств тригонометрических функций. Теперь мы можем пойти дальше и вывести некоторые фундаментальные тождества. Идентичности — это утверждения, истинные для всех значений входных данных, для которых они определены. Обычно тождества можно вывести из уже известных нам определений и отношений. Например, тождество Пифагора, которое мы узнали ранее, было получено из теоремы Пифагора и определений синуса и косинуса.

    ОСНОВНЫЕ Тождества

    Мы можем вывести некоторые полезные тождества из шести тригонометрических функций. Остальные четыре тригонометрические функции можно связать обратно с функциями синуса и косинуса, используя следующие основные соотношения:

    \[ \tan t= \dfrac{ \sin t}{ \cos t} \]

    \[ \sec t= \dfrac{1}{\cos t}\]

    \[ \csc t= \dfrac{1}{\sin t}\]

    \[ \cot t= \dfrac{1}{ \tan t} = \dfrac{ \cos t}{ \sin t} \]

    Пример \(\PageIndex{5}\): использование тождеств для вычисления тригонометрических функций

    1. Учитывая \( \sin (45°)= \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (45°)= \frac{\sqrt{2}}{2}\), оценить \ ( \загар(45°). \)
    2. Учитывая \( \sin (\frac{5π}{6})= \frac{1}{2}, \cos(\frac{5π}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{ 2},\) оценивают \(\sec (\frac{5π}{6})\).

    Решение

    Поскольку мы знаем значения синуса и косинуса для этих углов, мы можем использовать тождества для вычисления других функций.

    1. \[ \begin{align*} \tan(45°) &=\dfrac{ \sin(45°)}{ \cos (45°)} \\ &= \dfrac{\frac{\sqrt{ 2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ & =1 \end{align*} \]
    2. \[\begin{align*} \sec (\dfrac{5π}{6}) &= \dfrac{1}{ \cos (\frac{5π}{6})} \\ &= \dfrac{1 }{−\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \dfrac{−2\sqrt{3}}{1} \\ &=\dfrac{−2}{\sqrt{3} } \\ &=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \end{align*}\]

    Упражнение \(\PageIndex{5}\)

    Вычислить \(\csc (\frac{7π}{6}).\)

    Решение

    \(−2\)

    Пример \( \PageIndex{6}\): использование тождеств для упрощения тригонометрических выражений

    Упростить \(\frac{ \sec t}{ \tan t}. \)

    Решение

    Мы можем упростить это, переписав обе функции в терминах синуса и косинуса.

    \[\begin{array}{lll} \dfrac{\sec t}{\tan t} & =\dfrac{1 / \cos t}{\sin t / \cos t} & \text{Чтобы разделить функции умножаем на обратную.} \\ \text{} &= \dfrac{1}{\cos t} \dfrac{ \cos t}{\sin t} & \text{Разделите косинусы.} \\ \text{} & =\dfrac{1}{\sin t} & \text{Упростите и используйте идентификатор.} \\ \text{} & = \csc t \end{array}\]

    Показав, что \(\frac{ \sec t}{ \tan t}\) можно упростить до \( \csc t\), мы фактически установили новое тождество.

    \[ \dfrac{ \sec t}{ \tan t}= \csc t \nonumber \]

    Упражнение \(\PageIndex{6}\)

    Упрощение \(( \tan t)( \cos t ).\)

    Решение

    \( \sin t \)

    Альтернативные формы пифагорейской идентичности

    Мы можем использовать эти фундаментальные тождества для получения альтернативных форм пифагорейской идентичности 92 t &= \dfrac{25}{169} \\ \sin t &=±\sqrt{\dfrac{25}{169}} \\ \sin t &=±\dfrac{\sqrt{25}}{ \sqrt{169}} \\ \sin t &=± \dfrac{5}{13} \end{align} \]

    Знак синуса зависит от y -значений в квадранте, где угол расположен. Поскольку угол находится в квадранте IV, где y -значения отрицательны, его синус отрицателен, \(-\frac{5}{13}\).

    Остальные функции можно вычислить, используя тождества, связывающие их с синусом и косинусом.

    \[ \begin{align} \tan t &= \dfrac{\sin t}{\cos t}=\dfrac{−\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} =−\dfrac{5}{12} \\ \sec t &= \dfrac{1}{ \cos t}=\dfrac{1}{\frac{12}{13}}=\dfrac{13}{ 12} \\ \csc t &= \dfrac{1}{\sin t}=\dfrac{1}{-\frac{5}{13}} =-\dfrac{13}{5} \\ \cot t &= \dfrac{1}{ \tan t}=\dfrac{1}{-\frac{5}{12}}=-\dfrac{12}{5} \end{align} \]

    Упражнение \(\PageIndex{7}\):

    Если \( \sec (t)=− \frac{17}{8}\) и \(0

    Решение

    \( \cos t=-\frac{8}{17}, \sin t=\frac{15}{17}, \tan t=-\frac{15}{8}\ )

    \( \csc t= \frac{17}{15}, \cot t=-\frac{8}{15} \)

    Как мы обсуждали в начале главы, функция, которая повторяет свои значения в регулярные интервалы известны как периодическая функция . Тригонометрические функции являются периодическими. Для четырех тригонометрических функций, синуса, косинуса, косеканса и секанса, оборот одного круга или \(2π\) приведет к тем же самым результатам для этих функций. А для тангенса и котангенса только половина оборота даст одинаковые результаты.

    Другие функции также могут быть периодическими. Например, длина месяцев повторяется каждые четыре года. Если x x представляет продолжительность времени, измеренную в годах, и \(f(x)\) представляет количество дней в феврале, тогда \(f(x+4)=f(x)\). Этот шаблон повторяется снова и снова во времени. Другими словами, каждые четыре года в феврале гарантированно будет такое же количество дней, как и четыре года назад. Положительное число 4 является наименьшим положительным числом, удовлетворяющим этому условию, и называется периодом. А период — это кратчайший интервал, за который функция завершает один полный цикл — в этом примере период равен 4 и представляет собой время, которое требуется нам, чтобы убедиться, что в феврале одинаковое количество дней.

    ПЕРИОД ФУНКЦИИ

    Период \(P\) повторяющейся функции f f — это число, представляющее интервал, такой что \(f(x+P)=f(x)\) для любого значения \ (Икс\).

    Период функций косинуса, синуса, секанса и косеканса равен \(2π\).

    Период функций тангенса и котангенса равен \(π\).

    Пример \(\PageIndex{8}\): нахождение значений тригонометрических функций

    Найдите значения шести тригонометрических функций угла \(t\) на основе рисунка \(\PageIndex{9}\) .

    Рисунок \(\PageIndex{9}\)

    Решение

    \[\begin{align*} \sin t &= y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos t &=x =-\dfrac{1}{2} \\ \tan t &= \dfrac{ \sin t}{\cos t}=\dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{2} }{−\frac{1}{2}}= \sqrt{3} \\ \sec t &= \dfrac{1}{\cos t} = \dfrac{1}{-\frac{1}{2 }}=−2 \\ \csc t &= \dfrac{1}{\sin t}= \dfrac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{2\ sqrt{3}}{3} \\ \cot t &= \dfrac{1}{\tan t}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3 } \end{выравнивание*}\]

    Упражнение \(\PageIndex{8}\)

    Найдите значения шести тригонометрических функций угла \(t\) на основе рисунка \(\PageIndex{10}\) .

    Рисунок \(\PageIndex{10}\)

    Решение

    \(\begin{align} \sin t &=−1, \cos t=0, \tan t= \text{Undefined} \\ \\sec t &= \text{Undefined}, \csc t=−1, \cot t=0 \end{align}\)

    Пример \(\PageIndex{9}\): нахождение значения тригонометрических функций

    Если \( \sin(t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \( \cos (t)=\frac{1}{2}\), найдите \( \ сек (t),\csc (t),\tan (t), \cot (t).\)

    Решение

    \[ \begin{align} \sec t &= \dfrac{1}{ \cos t}= \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2 \\ \ csc t &= \dfrac{1}{\sin t}= \dfrac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \ \ \ tan t &= \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {− \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} = − \ sqrt {3} \\ \cot t &= \dfrac{1}{\tan t}= \dfrac{1}{-\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end {align}\]

    Упражнение \(\PageIndex{9}\):

    Если \(\sin (t)= \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos (t )=\frac{\sqrt{2}}{2},\) найти \(\sec (t), \csc (t),\tan (t),\) и \(\cot (t)\) .

    Решение

    \( \sec t= \sqrt{2},\csc t=\sqrt{2}, \tan t=1, \cot t=1\)

    Вычисление тригонометрических функций с помощью калькулятора

    Мы научились вычислять шесть тригонометрических функций для обычных углов первого квадранта и использовать их в качестве справочных углов для углов в других квадрантах. Чтобы оценить тригонометрические функции других углов, мы используем научный или графический калькулятор или компьютерную программу. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, убедитесь, что выбран правильный режим, прежде чем выполнять вычисления.

    Вычисление функции тангенса с помощью научного калькулятора, в отличие от графического калькулятора или системы компьютерной алгебры, похоже на вычисление синуса или косинуса: введите значение и нажмите клавишу TAN. Для взаимных функций может не быть специальных клавиш с надписью CSC, SEC или COT. В этом случае функция должна оцениваться как обратная величина синуса, косинуса или тангенса.

    Если нам нужно работать с градусами, а наш калькулятор или программное обеспечение не имеет режима градусов, мы можем ввести градусы, умноженные на коэффициент преобразования \(\frac{π}{180}\), чтобы преобразовать градусы в радианы. Чтобы найти секанс \(30°\), мы могли бы нажать

    \[\mathrm{(для \; a \; научный \; калькулятор):\dfrac{1}{30×\frac{π}{180}}COS}\]

    или

    \[ \mathrm {(для \; a \; построения графика \; калькулятора): \dfrac{1}{cos(\frac{30π}{180})} }\]

    как: Имея угол в радианах, используйте научную калькулятор для нахождения косеканса

    1. Если в калькуляторе есть режимы в градусах и в радианах, установите его в режим в радианах.
    2. Введите: \(1\; /\)
    3. Введите значение угла в скобках.
    4. Нажмите клавишу SIN.
    5. Нажмите клавишу =.

    как: Для измерения угла в радианах используйте графическую утилиту/калькулятор, чтобы найти косеканс

    1. Если графическая утилита имеет режим градусов и радиан, установите ее в радиан.
    2. Введите: \(1 \; /\)
    3. Нажмите клавишу SIN.
    4. Введите значение угла в скобках.
    5. Нажмите клавишу ВВОД.

    Пример \(\PageIndex{10}\): вычисление косеканса с использованием технологии

    Вычислите косеканс \(\frac{5π}{7}\).

    Решение

    Для научного калькулятора введите следующую информацию:

    \[ \mathrm{1 / ( 5 × π / 7 ) SIN =}\]

    \[ \mathrm{ \csc (\dfrac {5π}{7})≈1,279} \]

    Упражнение \(\PageIndex{10}\):

    Вычислите котангенс числа \(−\frac{π}{8}\).

    \(≈−2,414\)

    средства массовой информации

    Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с другими тригонометрическими функциями.

    • Определение значений функции запуска
    • Дополнительные примеры определения триггерных функций
    • Пифагорейские тождества
    • Триггерные функции на калькуляторе

    Ключевые уравнения

    Ключевые понятия
    • Тангенс угла представляет собой отношение значения y к значению x соответствующей точки на единичной окружности.
    • Секанс, котангенс и косеканс являются обратными значениями других функций. Секанс является обратной величиной функции косинуса, котангенс является обратной величиной функции тангенса, а косеканс является обратной величиной функции синуса.
    • Шесть тригонометрических функций можно найти из точки на единичной окружности. См. Пример.
    • Тригонометрические функции также можно найти под углом. См. Пример.
    • Тригонометрические функции углов вне первого квадранта могут быть определены с помощью эталонных углов. См. Пример.
    • Функция называется четной, если \(f(-x)=f(x)\), и нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\).
    • Косинус и секанс четны; синус, тангенс, косеканс и котангенс нечетны.
    • Четные и нечетные свойства можно использовать для вычисления тригонометрических функций. См. Пример.
    • Тождество Пифагора позволяет найти косинус из синуса или синус из косинуса.
    • Тождества можно использовать для вычисления тригонометрических функций. См. пример и пример.
    • Фундаментальные тождества, такие как Пифагорейское тождество, можно алгебраически манипулировать для создания новых тождеств. См. Пример.
    • Тригонометрические функции повторяются через равные промежутки времени.
    • Период \(P\) повторяющейся функции f f — это наименьший интервал, такой что \(f(x+P)=f(x)\) для любого значения \(x\).
    • Значения тригонометрических функций специальных углов можно найти с помощью математического анализа.
    • Чтобы вычислить тригонометрические функции других углов, мы можем использовать калькулятор или компьютерную программу. См. Пример.

    Глоссарий

    косеканс
    обратная функция синуса: на единичной окружности, \( \csc t=\frac{1}{y},y≠0\)
    котангенс
    обратная функция касательной: на единичной окружности, \( \cot t= \frac{x}{y},y≠0\)
    личности
    утверждений, истинных для всех значений входных данных, для которых они определены
    период
    наименьший интервал \(P\) повторяющейся функции \(f\) такой, что \(f(x+P)=f(x)\)
    секанс
    обратная функция косинуса: на единичной окружности, \( \sec t= \frac{1}{x},x≠0 \)
    тангенс
    частное синуса и косинуса: на единичной окружности, \( \tan t= \frac{y}{x},x≠0\)

    Эта страница под названием 7. 4: Другие тригонометрические функции распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
    • Была ли эта статья полезной?
    1. Тип изделия
      Раздел или Страница
      Автор
      ОпенСтакс
      Лицензия
      СС BY
      Версия лицензии
      4,0
      Программа OER или Publisher
      ОпенСтакс
      Показать страницу TOC
      нет
    2. Теги
      1. косеканс
      2. котангенс
      3. тождеств
      4. период
      5. секанс
      6. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus
      7. тангенс

    Преобразование графика котангенса — концепция

    Котангенс — это функция, обратная триггеру функции тангенса, и может быть определена как cot(theta)=cos(theta)/sin(theta). Это нечетная функция, означающая раскладушка (-тета) = — раскладушка (тета), и она обладает тем свойством, что раскладушка (тета + пи) = раскладушка (тета). Поскольку синус является знаменателем, а функция не определена, когда sin(theta)=0, график котангенса имеет вертикальные асимптоты при всех целых числах, кратных пи, когда sin(theta)=0.

    косинус синус котангенс четные и нечетные функции период добавления пи-идентификаций вертикальные асимптоты

    Я хочу поговорить о преобразованиях графика котангенса, но сначала давайте рассмотрим кое-что о котангенсе. у равно котангенс тета помните, что котангенс такой же, как косинус тета над синусом тета это важное тождество, и нам нужно будет выяснить несколько фактов о котангенсе, например, котангенс четный или нечетный? Ну, мы можем использовать тот факт, что косинус четный, а синус нечетный. Котангенс отрицательного тета будет равен косинусу отрицательного тета по синусу отрицательного тета. Косинус отрицательного тета равен косинусу тета, а синус отрицательного тета равен отрицательному синусу тета, и, таким образом, это равняется отрицательному котангенс тета, теперь у нас есть функция кивка котангенса. Таким образом, противоположные входы дают противоположные результаты, это важно знать. Затем я хочу узнать, что происходит, когда я добавляю число пи, теперь я знаю, что это равно косинусу числа тета плюс число пи и синусу числа числа тета плюс число пи.
    Теперь оба косинуса и синуса свойства, что если вы добавите пи к входу, вы получите противоположный результат. Таким образом, это может быть минус косинус тета по сравнению с минус синус тета. Теперь минусы сократятся, и вы просто получите котангенс тета. Поэтому, если вы добавите число пи, вы получите точно такой же вывод, это означает, что котангенс периодичен с периодом пи, поэтому нам нужно это знать. Хорошо, давайте начнем составлять таблицу значений котангенса; давайте начнем с 0, теперь котангенс равен косинусу относительно синуса, синус 0 равен 0. Таким образом, котангенс будет неопределенным при 0, как насчет, скажем, пи больше 4, косинус и синус оба имеют значение корень 2 больше 2. Итак, это будет 1, корень 2 больше 2 больше корня 2 больше 2, 1 корень пи больше 2. Косинус числа пи больше 2 равен 0, синус корня пи 2 равен 1, поэтому мы получаем 0 больше 1, что равно 0,
    Теперь позвольте мне работать в обратном направлении, позвольте мне дать нам немного места здесь, котангенс тета. Я вернусь к отрицательному числу пи больше 4, потому что функция узла котангенса, котангенс отрицательного числа пи больше 4 будет противоположен котангенсу числа пи больше 4 4. Таким образом, мы получим отрицательную 1 здесь также потому, что у него есть период пи, если я добавлю к этому число пи, что даст мне 3 пи на 4, я получу тот же результат. И я действительно могу использовать периодичность, чтобы получить остальную часть вывода, если я добавлю к этому пи, до 0 я получу пи. Я получаю тот же вывод undefined, на самом деле это один полный период функции котангенса. Итак, я могу начать строить графики, позвольте мне начать с построения вертикальных асимптот, там будет вертикальная асимптота для x=0 и для x=pi. Итак, один из них здесь, а другой здесь, что происходит между ними?
    При пи больше 2 мы получаем 0, это пи больше 2, при пи больше 4 мы получаем 1 и при 3 пи больше 4 мы получаем отрицательную 1. Теперь вспомните форму тангенса, котангенс имеет очень похожую форму, он получил это вид изогнутой формы и, конечно, имеет асимптотическое поведение. Итак, это грубая форма графика котангенса. Теперь, если вы хотите нарисовать больше, помните, что это один период, все, что вам нужно сделать, это продублировать этот период. Я могу взять все это и сдвинуть вправо, а при сдвиге вправо все сдвигается вправо, включая асимптоту. Так, например, когда я сдвигаю это вправо, эта асимптота также сдвигается вправо. Итак, я получаю еще один при x = 2 pi, и я также могу сместиться влево, эта асимптота, сдвинутая влево, дает мне x, равное отрицательному pi. Итак, позвольте мне сдвинуть каждую из этих точек вправо, эта точка, сдвинутая вправо, дает мне точку на 3 пи больше 2, эту здесь, эту я поставлю здесь, и мы просто используем периодичность в этой точке.
    Я сдвину это влево Я получаю точку здесь, здесь, здесь и это 3 периода функции котангенса. Итак, вы заметите, что на самом деле было очень легко разработать ключевые точки для этой функции, все, что мне нужно было сделать, это помнить, что котангенс равен косинусу относительно синуса, и это позволило мне найти нули функции, а также где функция была неопределенной. Очень легко узнать, что котангенс числа пи на 4 равен 1, потому что косинус и синус оба являются корнем 2 на 2. Я также использовал тот факт, что котангенс был нечетным, чтобы получить это значение, а затем я использовал периодичность и превратил это значение в значение в 3 pi больше 4. И это все, что вам нужно: 0, pi больше 4, pi больше 2, 3 pi больше 4 и pi, и как только вы получите полный период, используйте периодичность, чтобы расширить график в обоих направлениях.

    Кофункция и нечетно-четные тождества

    Горячая математика

    Кофункциональные тождества

    грех ( π 2 − Икс ) знак равно потому что ( Икс ) потому что ( π 2 − Икс ) знак равно грех ( Икс ) загар ( π 2 − Икс ) знак равно детская кроватка ( Икс ) csc ( π 2 − Икс ) знак равно сек ( Икс ) сек ( π 2 − Икс ) знак равно csc ( Икс ) детская кроватка ( π 2 − Икс ) знак равно загар ( Икс )

    Пример:

    Найдите значение детская кроватка ( 60 ° ) .

    Используйте кофункциональную идентичность загар ( 90 ° − θ ) знак равно детская кроватка ( θ ) переписать задачу.

    детская кроватка ( 60 ° ) знак равно загар ( 90 ° − 60 ° ) знак равно загар ( 30 ° ) знак равно 3 3


    Четно-нечетные тождества

    потому что ( Икс ) является четной функцией, грех ( Икс ) является нечетной функцией, поскольку тригонометрические функции для реальных переменных.

    грех ( − Икс ) знак равно − грех ( Икс ) потому что ( − Икс ) знак равно потому что ( Икс ) загар ( − Икс ) знак равно − загар ( Икс ) csc ( − Икс ) знак равно − csc ( Икс ) сек ( − Икс ) знак равно − сек ( Икс ) детская кроватка ( − Икс ) знак равно − детская кроватка ( Икс )

    Пример:

    Если потому что ( α ) знак равно 1 2 , определять потому что ( − α ) а также сек ( − α ) .

    потому что ( − α ) знак равно потому что ( α ) знак равно 1 2

    сек ( α ) знак равно 1 потому что ( α ) знак равно 1 ( 1 2 ) знак равно 2

    сек ( − α ) знак равно сек ( α ) знак равно 2


    Тригонометрические четно-нечетные функции | Brilliant Math & Science Wiki

    Хеманг Агарвал, Мэй Ли, Йонас Менци, а также

    способствовал

    Содержимое
    • Тригонометрические четные и нечетные функции
    • Приложения и примеры
    • Смотрите также

    Функции косинуса и синуса удовлетворяют следующим свойствам:

    cos⁡(−θ)=cos⁡θsin⁡(−θ)=−sin⁡θ. \begin{выровнено} \cos(-\тета) &= \cos\тета\\ \sin(-\theta) &= -\sin \theta. \end{align}cos(-θ)sin(-θ)​=cosθ=-sinθ.​


    Доказательство:
    Из определения косинуса и синуса в единичной окружности,

    x=cos⁡θ и y=sin⁡θ.x= \cos \theta \quad \text{ и } \quad y= \sin \theta. х=cosθ и y=sinθ.

    Мы видим, что как для θ\thetaθ, так и для −θ-\theta−θ xxx остается одним и тем же. Таким образом, cos⁡θ=cos⁡(−θ)\cos\theta=\cos (-\theta)cosθ=cos(−θ).

    Точно так же мы можем видеть, что yyy в двух случаях являются аддитивными обратными значениями друг друга. Таким образом, sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin (-\theta)=-\sin\thetasin(−θ)=−sinθ. □_\квадрат□​

    Теперь, когда у нас есть приведенные выше тождества, мы можем доказать несколько других тождеств, как показано в следующем примере:

    Докажите личности

    tan⁡(−θ)=−tan⁡θcot⁡(−θ)=−cot⁡θcsc⁡(−θ)=−csc⁡θsec⁡(−θ)=sec⁡θ. \begin{выровнено} \загар(-\тета) &= -\загар \тета\\ \кроватка(-\тета) &= -\кроватка \тета\\ \csc(-\тета) &= -\csc \тета\\ \сек(-\тета) &= \сек \тета. \end{align}tan(-θ)cot(-θ)csc(-θ)sec(-θ)​=-tanθ=-cotθ=-cscθ=secθ.​


    У нас есть

    тангенс⁡(-θ)=sin⁡(-θ)cos⁡(-θ)=-sin⁡θcos⁡θ=-тангенс⁡θcot⁡(-θ)=1тангенс⁡(-θ)=1-тангенс⁡θ =−cot⁡θcsc⁡(−θ)=1sin⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θsec⁡(−θ)=1cos⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ. □\begin{выровнено} \ tan (- \ theta) & = \ frac {\ sin (- \ theta)} {\ cos (- \ theta)} = \ frac {- \ sin \ theta} {\ cos \ theta} = — \ tan \ тета\\ \cot(-\theta) &=\frac{1}{\tan(-\theta)}=\frac{1}{-\tan \theta}=-\cot \theta\\ \csc(-\theta) &=\frac{1}{\sin (-\theta)}=\frac{1}{-\sin \theta}=-\csc \theta\\ \sec(-\theta) &=\frac{1}{\cos(-\theta)}=\frac{1}{\cos \theta}=\sec \theta. \ _\площадь \end{align}tan(-θ)cot(-θ)csc(-θ)sec(-θ)​=cos(-θ)sin(-θ)​=cosθ-sinθ​=-tanθ=tan(- θ)1​=-tanθ1​=-cotθ=sin(-θ)1​=-sinθ1​=-cscθ=cos(-θ)1​=cosθ1​=secθ. □​​ 9\круг} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \\ &= \frac{\sqrt{3} + 4}{2}. \ _\площадь \end{выравнивание} cos(−30∘)+sec(−60∘)​=cos30∘+sec60∘=23​+cos60∘1​=23​+2=23​+4​. □​​

    Упростите tan⁡x×cot⁡(−x). \tan x \times \cot(-x). Танкс×кот(-х).


    Из тригонометрических четно-нечетных функций имеем

    tan⁡x×cot⁡(−x)=tan⁡x×(−cot⁡x)=tan⁡x×(−1tan⁡x)=−1. □ \begin{выровнено} \tan x \times \cot(-x) &= \tan x \times (-\cot x ) \\ &= \tan x \times \left(-\frac{1}{\tan x}\right) \\ &= -1. \ _\площадь \end{выровнено} tanx×cot(-x)​=tanx×(-cotx)=tanx×(-tanx1​)=-1. □​​

    ParallelAngleBisector

    Прямоугольник ABCDABCDABCD вписан в окружность ООО радиусом 1 на приведенной выше схеме. Пусть θ\thetaθ будет углом, образованным AO‾\overline {AO}AO и осью xxx. Тогда какая вершина имеет

    2sin⁡(−θ2)cos⁡(−θ2) 2\sin\left(-\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(-\frac{\theta}{2}\right) 2sin(−2θ​)cos(−2θ​)

    в качестве yyy-координаты?


    Обратите внимание, что выражение можно переписать следующим образом:

    2sin⁡(−θ2)cos⁡(−θ2)=−2sin⁡θ2cos⁡θ2(поскольку sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x)=−sin⁡θ . (поскольку sin⁡2θ=2sin⁡xcos⁡x) \begin{выровнено} 2\sin\left(-\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(-\frac{\theta}{2}\right) &= -2 \sin \frac{\theta}{ 2} \cos \frac{\theta}{2} &&\quad \big(\text{since} \sin (-x) = -\sin x, \cos(-x) = \cos x\big) \ \ &= -\sin\тета. &&\quad (\text{так как} \sin 2\theta = 2\sin x \cos x) \end{выровнено} 2sin(-2θ)cos(-2θ)​=-2sin2θ​cos2θ=-sinθ.​(поскольку sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx)( поскольку sin2θ=2sinxcosx)​

    Также обратите внимание, что координата yyy точки AAA равна sin⁡θ \sin \thetasinθ, а точки AAA и CCC симметричны относительно начала координат. Тогда yyy-координата точки CCC должна быть равна −sin⁡θ.-\sin\theta.−sinθ.

    Следовательно, наш ответ — вершина C.C.C. □ _\квадрат □​

    Процитировать как: Тригонометрические четно-нечетные функции. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/trigonometric-even-odd-functions/

    Четные и нечетные тождества – объяснение и примеры

    Четные и нечетные тождества для тригонометрических функций включают использование четности или нечетности тригонометрической функции для нахождения тригонометрических значений отрицательных углов.

    В частности, синус, тангенс, косеканс и котангенс являются нечетными функциями. Функции косинуса и секанса четны.

    Как и все тригонометрические тождества, четные и нечетные тождества играют важную роль в физических науках и технике.

    Прежде чем продолжить работу с этим разделом, просмотрите четные и нечетные функции и идентификаторы триггеров.

    В этом разделе рассматриваются:

    • Нечетные тождества
    • Четные тождества
    • Как определить, является ли функция синуса нечетной или четной?

    Нечетные тождества

    Нечетные тождества — это тригонометрические тождества, возникающие из-за того, что данная тригонометрическая функция является нечетной функцией.

    Напомним, что нечетной функцией называется функция $f(x)$ такая, что $f(-x) = -f(x)$. То есть соответствующие положительные и отрицательные входы имеют выходы с одинаковым абсолютным значением. Однако знаки этих выходов будут разными.

    Отражение нечетной функции по оси $x$, а затем по оси $y$ (или наоборот) отображает функцию в саму себя. То есть нечетные функции симметричны относительно начала координат.

    В тригонометрии функции синуса, косеканса, тангенса и котангенса нечетны. Этот факт дает четыре нечетных тождества:

    • $sin(-x) = -sin(x)$
    • $csc(-x) = -csc(x)$
    • $tan(-x) = -tan(x)$
    • $cot (-x) = -cot(x)$

    Обратные триггерные функции арксинус и арктангенс также нечетны. Следовательно, есть также два нечетных тождества с обратным триггером:

    • $arcsin(-x) = -arcsin(x)$
    • $arctan(-x) = -arctan(x)$

    Четный Тождества

    Четный тождества в тригонометрии — это тождества, вытекающие из того факта, что данная тригонометрическая функция четна.

    Напомним, что четная функция — это функция $f$ такая, что $f(-x) = f(x)$. То есть соответствующие положительные и отрицательные входы имеют одинаковый выход. Такие функции симметричны относительно оси y, и их отражение по оси y сопоставляет их самим себе.

    Есть две функции триггера по четным числам: косинус и секанс. Таким образом, имеются два тригонометрических четных тождества:

    • $cos(-x) = cos(x)$
    • $sec(-x) = sec(-x)$

    Нет четных обратных триггерных функций.

    Как определить, является ли синусоидальная функция четной или нечетной?

    Можно определить, является ли триггерная функция четной или нечетной, алгебраически или графически.

    Сделать это графически проще. Если ось Y является линией симметрии функции, то она четная. Если функция симметрична относительно начала координат (поворачивая ее на 180 градусов или отражая по обеим осям), то она нечетна.

    Алгебраически нужно доказать, что для любого $x$ $f(-x) = f(x)$ для четной функции и что $f(-x) = -f(x)$ для функция должна быть нечетной.

    Алгебраические доказательства четности и нечетности

    С тригонометрическими функциями это делается путем рассмотрения основных определений синуса и косинуса в контексте единичного круга.

    Напомним, что отрицательный угол на единичной окружности измеряется по часовой стрелке, а положительный угол измеряется против часовой стрелки.

    В единичной окружности синус угла равен высоте прямоугольного треугольника, образованного конечным радиусом и осью x. На рисунке синус угла $BAD$ равен $DI$. Отрицательный угол, соответствующий $BAD$, измеряется по часовой стрелке, поэтому он равен $BAE$. На рисунке синус этого угла равен $IE$.

    Так как $DI$ простирается вверх от оси x, его длина положительна. Поскольку $IE$ продолжается вниз, его длина отрицательна. Но их величины будут одинаковыми.

    Аналогично, синус $BAF$ равен $FH$, а синус $BAG$, соответствующего отрицательного угла, равен $HG$. Эти две линии также имеют одинаковую величину, но разные синусы.

    Следовательно, синусы двух углов с одинаковой величиной, но измеренных в противоположном направлении, будут иметь одинаковую величину, но разные знаки. Следовательно, синус нечетный.

    Обратите внимание, однако, что косинусы (горизонтальная линия прямоугольного треугольника угла) находятся на одной стороне оси x. Для $BAD$ и $BAE$ это $AI$. Для $BAF$ и $BAG это $AH$. Следовательно, косинус не меняется в зависимости от знака угла. Таким образом, косинус четный.

    Нечетность или четность других триггерных функций следует из нечетности или четности синуса и косинуса.

    Четные и нечетные преобразования

    Обратите внимание, что преобразования функции могут влиять на то, являются ли они четными или нечетными.

    В частности, сдвиги по горизонтали и вертикали могут сделать нечетную функцию четной, а четную — нечетной. Например, $cos(x-\frac{\pi}{2})$ отображает косинус в синус. Следовательно, $cos(x-\frac{\pi}{2})$ нечетно.

    Преобразования также могут сделать так, чтобы функция не была ни нечетной, ни четной. Преобразование $sin(x)-1$ является примером.

    Примеры

    В этом разделе рассматриваются распространенные примеры задач на четные и нечетные тождества триггеров и их пошаговые решения.

    Пример 1

    Используйте четность и нечетность синуса и косинуса, чтобы доказать, что функция тангенса нечетна.

    Решение

    Требуется показать, что тангенс нечетен. То есть, что:

    $tan(-x) = -tanx$.

    Напомним, что $tanx = \frac{sinx}{cosx}$. Следовательно:

    $tan(-x) = \frac{sin(-x)}{cos(-x)}$.

    Поскольку синус нечетный, а косинус четный, это упрощается до:

    $tan(-x) = \frac{-sinx}{cosx} = -\frac{sinx}{cosx} = -tanx$.

    Пример 2

    Является ли функция $y=sinx-1$ четной, нечетной или ни одной?

    Решение

    Простой способ проверить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, состоит в том, чтобы найти значение функции для отрицательного угла и положительного угла с одинаковой величиной. В этом случае используйте углы $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$.

    При $\frac{\pi}{2}$ синус равен $1$. Следовательно, $sinx-1 = 0$.

    При $-\frac{\pi}{2}$ синус равен $-1$. Следовательно, $sinx-1 = -2$.

    Следовательно, эта функция не является ни нечетной, ни четной.

    Обратите внимание, однако, что этот метод может дать подсказку о том, является ли функция четной или нечетной, но не доказать это. Например, $sin(\pi) = 0 = sin(-\pi)$. В этих двух точках функция $sinx-1$ равна $1$, но эта функция нечетна.

    Пример 3

    Найдите синус $\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$.

    Решение

    Напомним, что синус $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Кроме того, поскольку синус нечетен, $sin(-x) = -sinx$. Следовательно, $sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4})$.

    Таким образом, $sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

    Пример 4

    Найдите секанс $-\frac{\pi}{6}$.

    Решение

    Напомним, что функция секанса является обратной функцией косинуса. То есть $secx=\frac{1}{cosx}$. Как и косинус, он четный.

    Следовательно:

    $sec(-\frac{\pi}{6}) = sec(\frac{\pi}{6})$.

    Поскольку секанс угла $\frac{\pi}{6}$ в радианах равен $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3 }}{3}$, секанс угла $-\frac{\pi}{6}$ также равен $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

    Пример 5

    Используйте тот факт, что косинус четен, чтобы доказать, что $cos(x-y) = cos(y-x)$.

    Решение

    Для начала обратите внимание, что $y-x = -(x-y)$.

    Следовательно, $cos(y-x) = cos(-(x-y))$. Однако, поскольку косинус четный, $cos(-(xy)) = cos(xy)$. Следовательно, $cos(y-x) = cos(x-y)$ для любых углов $x$ и $y$.

    Общие базовые стандарты: CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.4

    • Дом /
    • Общие основные стандарты /
    • Математика
    Стандарты
    • О
    • Средняя школа: номер и количество
    • Средняя школа: Алгебра
    • Средняя школа: Функции
    • О
    • Функции интерпретации
    • Функции построения
    • Линейные, квадратичные и экспоненциальные модели
    • Тригонометрические функции
    • Средняя школа: моделирование
    • Средняя школа: геометрия
    • Старшая школа: статистика и вероятность
    • 8 класс
    • 7 класс
    • 6 класс
    • 5 класс
    • 4 класс
    • 3 класс
    • 2 класс
    • 1 класс
    • Детский сад

    Тригонометрические функции HSF-TF.

    A.4
    • Стандарт
    • Примеры заданий
    • Выровненные ресурсы

    4. Используйте единичный круг для объяснения симметрии (нечетной и четной) и периодичности тригонометрических функций.

    Учащиеся должны уметь определять симметрию тригонометрических функций. Они также должны знать, что когда мы говорим «симметрия», мы не имеем в виду зеркала и палиндромы.

    Сравнивая значения тригонометрических функций в квадрантах I и IV, учащиеся могут определить, является ли функция нечетной или четной . Однако для этого они должны сначала действительно знать, что такое четные и нечетные функции.

    Учащиеся должны знать, что косинус и секанс являются функциями и даже и симметричны относительно оси y . Мы знаем, что это верно из-за тождеств отрицательных углов для косинуса и секанса.

    cos(- θ ) = cos θ
    сек(- θ ) = сек θ

    Как и ожидалось, остальные функции (синус, косеканс, тангенс и котангенс) являются нечетными функциями и симметричны относительно начала координат. Они также имеют отрицательные угловые тождества.

    SIN (- θ ) = -SIN θ
    CSC (- θ ) = -CSC θ
    TAN (- θ ) = -TAN θ
    77777 (. ) = -кроватка θ

    Учащиеся могут спутать эти тождества со всеми учащимися, изучающими математику (ASTC). Напомните им, что эти тождества применимы к углам, а ASTC — к квадрантам. В любом случае, они оба по-прежнему применяются!

    Вы также можете воспользоваться этой возможностью, чтобы поговорить об этих функциях как о линиях на единичной окружности. Это не обязательно, но учащимся может быть полезно увидеть тригонометрические функции, представленные таким образом, чтобы они могли лучше понять отношения этих функций и сделать прогнозы (о том, что может произойти с функцией тангенса, когда θ = π 2 , например).

    Студенты также должны знать, что шесть тригонометрических функций являются периодическими функциями. В частности, периоды синуса, косеканса, косинуса и секанса равны 2π, а периоды тангенса и котангенса равны π. Чтобы понять почему, переместите θ от 0 до 2π на единичной окружности и проверьте, как меняется каждая функция.

    После каждой точки функция повторяется, что означает, что sin( θ + 2π) = sin θ . То же самое относится к пяти другим тригонометрическим функциям и их соответствующим периодам. Такова природа периодичности.

    Ссылки
    Рабочий лист F-TF.4
    Ответы F-TF.4

    Совмещенные ресурсы

      Видео
      • ACT Math 4.5 Тригонометрия
      • ACT Math 5.1 Тригонометрия
    •  ПРЕДЫДУЩИЙ СТАНДАРТ
    • СЛЕДУЮЩИЙ СТАНДАРТ 
    Дополнительные стандарты от старшей школы: Функции — тригонометрические функции
    • HSF-TF.A.1
    • HSF-TF.A.3
    • HSF-TF.B.6
    • HSF-TF 9000. C.9