Круги эйлера как решать: Круги Эйлера — примеры и методы решения логических задач » Kupuk.net

Каждый кружок представляет все элементы набора. Имея только картинку, вы можете задавать вопросы о подмножествах , пересечение и объединение .

Является ли K ⊆ L (находится ли K внутри L)? НЕТ.

Является ли L ⊆ K (L внутри K)? НЕТ.

Вопросы 1: Что такое K ∩ L? (Какая область находится внутри обоих наборов?) Нарисуйте изображение, а затем заштрихуйте его. Ответы даны внизу страницы.

Вопросы 2: Что такое К ∪ Л? (Какова общая площадь набора K, набора L или обоих?) Заштрихуйте картинку, чтобы показать свой ответ.

Попробуйте с наборами:

E = {1, 3, 8, 9, 14, 17}

F = {0, 14, 3, 5, 10, 20}

3 Вопросы 3 90 : Используйте диаграмму Венна, чтобы показать комплекты E и F .

Что такое E ∩ F ?

Что такое E ∪ F ?

Кто такой Венн?

Джон Венн (1834-1923) был английским логиком . Логик — это тот, кто изучает способы логического мышления. Его помнят за то, что он изобрел диаграмму, названную в его честь — диаграмму Венна.

Венна воспитывал его отец, который был преподобным англиканской церкви. Его мать умерла, когда он был очень молод. Он поступил в Кембриджский университет, где на втором курсе получил стипендию по математике. Несмотря на то, что в школе он действительно хорошо разбирался в математике, после окончания школы он стал преподобным, как его отец и дед.

Венн никогда не переставал думать о математике. После нескольких лет религиозной работы он вернулся в Кембридж, где преподавал логику и вероятность. В 1867 году он женился и имел сына — Иоанна. Его сын Джон в конце концов стал президентом Королевского колледжа в Кембриджском университете, где он вместе с отцом занимался важными исследовательскими проектами.

Диаграммы Венна были впервые опубликованы в 1880 году в статье под названием «О диаграммном и механическом представлении предложений и рассуждений». в «Философском журнале и научном журнале».

Диаграммы Эйлера 

Еще один способ показать наборы и их взаимосвязи — использовать диаграмму Эйлера . Эти диаграммы похожи на диаграммы Венна, но имеют тенденцию быть более сложными. Они часто показывают подмножества, а также пересечение и объединение. В диаграмме Эйлера размер и форма кругов/овалов не важны. Важно то, как они перекрываются или не перекрываются.

Вопрос 4: 

Является ли какое-либо множество подмножеством (⊆) другого?

Если да, то какой?

Вопрос 5:

A) Затенить N ∪ Q

B) Оттенок M ∩ R

C) Оттенок P ∩ N ∩ Q

D) Оттенок M ∪ P ∪ R

Возможно ли N ∩ R ? Нет! N и R не пересекаются. В теории множеств мы называем это нулевым набором или пустым набором , потому что он ничего не содержит. Символ нулевого набора — ∅ . Вот еще один пример нулевого набора:

G — количество жирафов в классе миссис Браун. В = {} = ∅

Применение диаграмм Венна и Эйлера 

Диаграммы Венна и Эйлера полезны в различных контекстах. Оба типа диаграмм помогают нам визуализировать концепции и отношения. Это может помочь нам легче понять сложную информацию. Эти диаграммы используют одну и ту же структуру для представления различных типов содержимого.

Например, диаграммы Венна часто используются для решения математических задач. Представление вопроса в виде диаграммы Венна часто может облегчить его понимание и решение. Предприятия часто используют диаграммы Венна для сравнения продуктов, анализа конкурентов и принятия решений. Диаграммы Венна представляют многие другие типы практической информации, от химии до географии. Их можно даже использовать для юмора или для представления сложных философских вопросов. Диаграммы Венна и Эйлера — это простой способ представления всех видов информации.

Вопрос 1:

Что такое К ∩ Л? (Какая область находится внутри обоих наборов?) Заштрихуйте картинку, чтобы показать свой ответ.

Вопрос 2:

Что такое К ∪ Л? (Какова общая площадь набора K, набора L или обоих?) Заштрихуйте картинку, чтобы показать свой ответ.

Вопрос 3: 

Используйте диаграмму Венна, чтобы показать наборы E и F .

E ∩ F = {3, 14}

E ∪ F = {0, 1, 3, 5, 8, 9, 10, 14, 17, 20}

C) Затенить P ∩ N ∩ Q

D) Оттенок M ∪ P ∪ R

Часто задаваемые вопросы – Круг Эйлера

• • Чем занятия по кругу Эйлера отличаются от других математических занятий в районе залива?
    Есть много других замечательных занятий по математике в районе залива, но мы считаем, что всегда есть потребность в большем количестве, и студенты согласны с нами. Другие классы в основном ориентированы на математику для соревнований. На математических кружках преподаватели могут дать краткий обзор темы, но не хватает времени на ее разработку, чтобы студенты могли ее хорошо усвоить, а также нет времени на прохождение темы, требующей многонедельной подготовки. подготовка к удовлетворительному завершению длинной истории. Занятия в Euler Circle такие же интенсивные, как и занятия в колледже, и к ним следует относиться соответственно. Мы делаем упор на более глубокое понимание и доступ к открытым проблемам, что обычно не делается в этих других условиях.
• • Чего вы надеетесь достичь на этих занятиях?
    Столько всего! Одна из основных целей для наших студентов заключается в том, чтобы они научились видеть математику и думать о математике так, как это делает профессиональный математик. Мы хотим, чтобы наши ученики увидели, что такое математика, на более глубоком уровне, чем они могли бы это сделать, поработали над сложными задачами, как уже решенными, так и еще не решенными, научились справляться со сложными темами и развиваться. интуиция для них.
• • Что такое чувство общности в Euler Circle?
    Мы настоятельно рекомендуем сотрудничество. Учащиеся вместе решают задачи и заводят прочную и значимую дружбу благодаря общей любви к математике, и даже самые тихие ученики, которые естественным образом стремятся работать в одиночку, в конечном итоге находят радость в совместной работе. Работа над сложными задачами и достижение этого момента «ага» вместе — отличный опыт для студентов. Мы любим организовывать математические дебаты, когда группы учащихся выдвигают различные предположения и пытаются бросить вызов друг другу, приводя наглядные примеры и контрпримеры. Многие из наших студентов предпочитают работать в группах над своими итоговыми презентациями, и это дает им еще больше времени, чтобы узнать друг друга. Поскольку большинство наших студентов возвращаются к нам квартал за кварталом, их дружба не должна заканчиваться или становиться менее удобной после окончания одного занятия.
• • Помогут ли мне эти занятия выиграть математические соревнования?
    Любая математика, которой вы занимаетесь, поможет вам решить другую математику, так что да, вроде как. Однако занятия по кругу Эйлера не ориентированы на соревнование, и есть гораздо более эффективные способы научиться побеждать в соревнованиях. Наша цель не в том, чтобы помочь учащимся выиграть соревнования, хотя мы поощряем их к этому, если им нравится соревновательная среда.
• • Итак, какой смысл ходить на эти занятия, если они не помогают мне стать лучше на соревнованиях?
    Математика — это больше, чем соревнования! Большинство лучших вещей в математике находятся далеко за рамками конкурсной программы, и мы верим, что учащиеся получат удовольствие от знакомства с настоящей математикой на уровне колледжа и за его пределами. Мы верим, что конкурсы ценны для многих учащихся, и что они могут быть очень полезными и вдохновляющими для студентов, чтобы совершенствоваться в соревнованиях и даже побеждать в них. Однако учащиеся должны иметь возможность знакомиться и с другими разновидностями математики, особенно с теми, которые больше похожи на современную математику.
• • Какая подготовка должна быть у учащихся перед посещением этих занятий?
    Требования варьируются от класса к классу. Некоторые из классов требуют знаний в области исчисления, а некоторые нет. К счастью, математическим вычислениям легко научиться самостоятельно по книге.
• • Где я могу найти информацию о классах?
    Щелкните здесь для получения общей информации о классах. Нажмите здесь, чтобы узнать о предстоящем продвинутом курсе по криптографии, и здесь, чтобы узнать о предстоящем классе по методам промежуточного доказательства.
• • Какой формат занятий?
    Продвинутые классы собираются два раза в неделю, по вторникам и средам, по два часа каждое занятие в течение десяти недель. На занятиях по вторникам преподаватель читает лекции, а на занятиях по средам студенты работают над проблемами в группах и обсуждают проблемы с ассистентами преподавателя. Промежуточные классы собираются один раз в неделю, по понедельникам, по три часа каждое занятие в течение десяти недель. Ожидается, что учащиеся всех классов будут усердно работать над задачами как на уроках, так и дома. Мы рекомендуем учащимся формировать рабочие группы со своими друзьями в классе, чтобы они могли вместе работать над задачами и просматривать материал класса вне занятий в классе. В последнюю неделю четверти в продвинутых классах учащиеся проводят короткие презентации по выбранным ими темам, связанным с классом, и пишут пояснительные статьи, связанные с их презентациями.
• • Есть домашнее задание? Сколько?
    Да. Очень трудно изучать математику, не решая задач. Таким образом, мы даем учащимся много задач для решения, и ожидается, что учащиеся их выполнят. На всех занятиях отводится время для того, чтобы учащиеся работали над проблемами в группах и обсуждали их с преподавателями. Однако в классе недостаточно времени, чтобы решить все задачи, поэтому учащиеся должны работать над задачами вне класса, в идеале с другими учащимися в классе. Инструкторы с удовольствием отвечают на электронные письма о проблемах в течение недели.
• • Где я могу найти информацию о выполнении исследовательского проекта?
    Нажмите здесь. Но имейте в виду, что проведение исследований чрезвычайно требовательно и не для всех. В частности, заниматься исследованиями намного сложнее, чем посещать занятия по кругу Эйлера. Мы предоставляем исследовательские возможности студентам, посещающим наши занятия, если они продемонстрировали готовность усердно работать, решать множество задач среднего уровня сложности и серьезно относиться к предмету.
• • Кто может посещать занятия?
    Как правило, учащиеся не должны заканчивать среднюю школу до начала занятий, хотя в исключительных обстоятельствах можно договориться. Нижний возрастной предел для студентов не установлен, но чем вы моложе, тем больше вам нужно будет сделать, чтобы убедить нас в том, что занятия принесут вам пользу. Если вы учащийся средней школы, который готов посещать занятия на уровне колледжа, то мы определенно готовы научить вас!
• • Как подать заявку?
    Нажмите здесь.
• • Является ли прием конкурсным?
    Традиционный способ обеспечения конкуренции при приеме заключается в том, что есть кандидаты и свободные места. Здесь, скорее всего, не так: мы можем принять многих студентов, и нам не нравится идея лишать достойных студентов образования; мы, конечно, не будем гордиться этим и никогда не будем публиковать статистику поступлений. Тем не менее, вы должны убедить нас, что вы готовы к занятиям и что вы относитесь к тому типу учеников, которым нам понравится преподавать.
• • Сколько стоит занятие?
    Стоимость составляет 900 долларов США за 10-недельный курс. Тем не менее, финансовая помощь может быть доступна. Если вы не можете заплатить, сообщите нам об этом (только после поступления).
• • Могу ли я получить кредит на эти курсы?
    У нас нет возможности предложить кредит для этих классов. Однако, если вы хотите организовать самостоятельное изучение или что-то подобное в своей школе, чтобы у вас было больше времени для изучения материала из классов Euler Circle, мы будем рады договориться об этом с учителем в вашей школе.
• • Я живу в Восточном заливе. Можете ли вы преподавать уроки там тоже?
    В настоящее время это невозможно, хотя в конечном итоге мы хотели бы расшириться, если будет достаточный интерес. Мы будем рады помочь вам организовать совместное использование автомобилей в Пало-Альто и обратно, если рядом с вами живут другие студенты.
• • Я не живу в районе залива. Можете ли вы проводить занятия в моем районе?
    Не стесняйтесь искушать нас! Убедите нас, что в вашем районе есть много заинтересованных студентов, и мы, возможно, захотим организовать лагерь, скажем, на зимние или летние каникулы в вашем районе.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Нажмите здесь, чтобы подписаться на рассылку!

Диаграмма Эйлера-Венна пересечения и объединения множеств. Как решать задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Принцип построения графиков

Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка не раз сталкивались с ними, просто не знали, как они называются. Где именно? Круги Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (изображений, циркулирующих в сети на определенную тему).

Давайте вместе разберемся, что это за круги, почему они так называются и почему их так удобно использовать для решения многих задач.

Происхождение термина

Это геометрическая схема, помогающая найти и/или сделать более очевидными логические связи между явлениями и понятиями. Это также помогает изобразить отношения между любым набором и его частью.

Пока не очень понятно, да? Взгляните на эту картинку:

На рисунке изображено много-всех возможных игрушек. Часть игрушек — конструкторы — они выделены отдельным овалом. Это часть большого набора «игрушек» и одновременно отдельный набор (ведь конструктор может быть как «лего», так и примитивными конструкторами из кирпичиков для малышей). Некоторая часть большого разнообразия «игрушек» может быть заводной. Они не конструкторы, поэтому рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводная машина» относится как к набору «игрушек», так и к меньшему набору «заводных игрушек». Поэтому он изображен внутри обоих овалов сразу.

Ну что, стало понятнее? Именно поэтому круги Эйлера — метод, наглядно демонстрирующий: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что ясность упрощает рассуждения и помогает быстрее и легче получить ответ.

Автор метода — ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он говорил о схемах, названных его именем: «кружки годятся для того, чтобы облегчить наше мышление». Эйлера считают немецким, швейцарским и даже русским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской Академии наук и внес значительный вклад в развитие отечественной науки.

До него подобным принципом руководствовался немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц при построении своих умозаключений.

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. А после него многие ученые использовали его в своей работе, а также модифицировали на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Немецкий математик Эрнест Шредер также внес свой вклад. Но главная заслуга принадлежит англичанину Джону Венну. Он был знатоком логики и опубликовал книгу «Символическая логика», в которой подробно описал свой вариант метода (в основном использовал образы пересечений множеств).

Благодаря вкладу Венна этот метод даже называют диаграммами Венна или даже диаграммами Эйлера-Венна.

Зачем нужны круги Эйлера?

Окружности Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решают задачи объединения или пересечения множеств в математике, логике, управлении и прочем.

Если говорить о типах окружностей Эйлера, то их можно разделить на те, которые описывают сочетание некоторых понятий (например, соотношение рода и вида) — мы рассмотрели их на примере в начале статьи .

А также на тех, которые почему-то описывают пересечение множеств. Джон Венн руководствовался этим принципом в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных мемов в Интернете. Вот один из примеров таких кругов Эйлера:

Забавно, не правда ли? И самое главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу все расставит по своим местам.

Кстати, если вы не можете решить, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать диаграмму в виде окружностей Эйлера. Возможно, такой рисунок поможет вам сделать правильный выбор:

Те варианты, которые будут на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и порадует .

Решение задач с помощью окружностей Эйлера

Рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью окружностей Эйлера.

Вот на этом сайте — http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и простые задачи, для решения которых требуется метод Эйлера. Используя логику и математику, разберем один из них.

Задача о любимых мультфильмах

Шестиклассники заполнили анкету с вопросами о любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них понравились «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. 21 ученик любит «Белоснежку и семь гномов». Причем троим тоже нравится «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 поклонников, пятеро из которых назвали в профиле два мультфильма. Нам нужно определить, скольким шестиклассникам нравится Губка Боб Квадратные Штаны.

Решение:

Так как по условиям задачи имеем три множества, то рисуем три окружности. А так как по ответам ребят получается, что множества пересекаются друг с другом, то рисунок будет выглядеть так:

Мы помним, что по условиям задачи среди любителей мультфильма «Волк и Теленок», пятеро детей выбрали сразу два мультфильма:

Получается, что:

21 — 3 — 6 — 1 = 11 — ребята выбрали только Белоснежку и семь гномов.

13 — 3 — 1 — 2 = 7 — ребята смотрят только Волка и Телёнка.

Осталось только выяснить, сколько шестиклассников предпочитают мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» двум другим вариантам. Вычитаем из общего числа учеников всех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

38 — (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 — люди смотрят только Губку Боба Квадратные Штаны.

Теперь смело можно сложить все полученные числа и узнать, что:

мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8+2+1+6=17 человек. Это ответ на поставленный в задаче вопрос.

А еще рассмотрим задание , которое в 2011 году вынесли на демо-тест ЕГЭ по информатике и ИКТ (источник — http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Условия задачи:

В языке запросов поисковика символ «|» используется для обозначения логической операции «ИЛИ», а символ «&» — для логической операции «И».

В таблице представлены запросы и количество найденных по ним страниц для определенного сегмента Интернета.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор	7000
Крейсер	4800
Линкор	4500

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Cruiser & Battleship ?

Предполагается, что все вопросы выполняются практически одновременно, чтобы набор страниц, содержащих все поисковые слова, не менялся в процессе выполнения запросов.

Решение:

С помощью окружностей Эйлера представим условия задачи. В этом случае цифры 1, 2 и 3 используются для обозначения получившихся площадей.

Исходя из условий задачи, составим уравнения:

1. Крейсер | Линкор: 1+2+3=7000
2. Крейсер: 1+2=4800
3. Линкор: 2+3=4500

Чтобы найти Cruiser & Battleship (обозначен на чертеже как площадь 2), подставляем уравнение (2) в уравнение (1) и узнаем, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200 .

Теперь мы можем подставить этот результат в уравнение (3) и узнать, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Cruiser & Battleship.

Как видите, круги Эйлера помогают быстро и легко решать даже довольно сложные или просто на первый взгляд запутанные задачи.

Заключение

Думаю, нам удалось убедить вас в том, что круги Эйлера — это не только занимательная и интересная вещь, но и очень полезный метод решения задач. И не только абстрактные задачи на школьных уроках, но и вполне бытовые задачи. Выбор будущей профессии, например.

Вам, наверное, тоже будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера находят отражение не только в виде мемов, но и в популярных сериалах. Такие как «Теория большого взрыва» и «4isla».

Используйте этот полезный и наглядный метод для решения проблем. И обязательно расскажите об этом своим друзьям и одноклассникам. Для этого есть специальные кнопки под статьей.

сайта, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Диаграмма Венна — это перекрывающаяся круговая диаграмма, показывающая, как много общего у различных наборов. Для построения диаграммы Венна выделяют несколько групп объектов и помещают в отдельные окружности, при этом в область пересечения окружностей попадают предметы, сочетающие в себе свойства этих множеств.

Приведем простой пример. Допустим, у нас есть две группы объектов — осветительные приборы (обозначим их в первом кружке) и энергосберегающие технологии (обозначим их во втором кружке). В этом случае область пересечения окружностей будет охватывать объекты, которые можно отнести как к первой, так и ко второй группе, то есть энергосберегающие осветительные приборы.

Диаграммы Венна успешно применяются в математике, логике, менеджменте и других прикладных областях для сравнения любых множеств и установления связей между ними.

Единственным недостатком таких диаграмм является то, что они могут использоваться только для определения общих качеств рассматриваемых объектов и не дают информации о количестве объектов.

Диаграммы Венна: для чего они нужны

Диаграммы Венна используются для сравнения исходных данных в двух случаях:

• данные слишком сложны для понимания;
• существуют проблемы с определением взаимосвязей между этими данными.

Благодаря наглядной форме представления информации и простоте расшифровки диаграммы Венна значительно облегчают процесс понимания и анализа сравниваемых объектов. Именно поэтому они широко используются в презентациях.

Рисование диаграммы Венна совсем не сложный процесс и включает всего четыре шага:

1. Подсчитайте группы объектов, которые вам нужно сравнить — их количество должно быть равно количеству кружков на вашей диаграмме.
2. Немного отступив от центра, нарисуйте первый круг. Учитывая, что каждый кружок будет содержать информацию о характеристиках рассматриваемого объекта, личности, месте и т. д., он должен быть достаточно большим.
3. Нарисуйте второй круг так, чтобы он частично перекрывал первый круг. При этом оба круга должны быть одинакового размера. Убедитесь, что внутри области пересечения также достаточно места — здесь вы будете отмечать объекты, обнаруживающие сходство между группами.
4. Дайте имя каждой группе элементов и подпишите круги.

Чтобы лучше представить набор, вы можете использовать рисунок, называемый диаграммой Эйлера-Венна. Это замкнутая линия, внутри которой находятся элементы данного множества, а снаружи — элементы, не принадлежащие множеству.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Для использования предварительного просмотра презентаций создайте себе учетную запись Google (аккаунт) и войдите в нее: https://accounts.google.com




Подписи к слайдам:

Диаграмма Венна Знаки ∈ и ∉ 3 класс Математика Петерсон Л.Г.

Любое множество A можно изобразить графически в виде замкнутой линии. Считается, что элементы множества (А) расположены внутри этой линии, а все элементы, не принадлежащие множеству (А), — снаружи. Это называется диаграммой Венна. a 2 m Например, диаграмму множества B = (2, m,) можно нарисовать так: B

Знаки ∈ и ∉ a 2 m Предложение «Число 2 принадлежит множеству B» записывается короче: 2 ∈ B. Знак ∈ читается: «принадлежит» Предложение «Буква a не принадлежит множеству B» можно записать и короче: a ∉ B. Знак ∉ читается: «не принадлежит» B

e 8 b A 4 На рисунке изображена схема множества A. Какие элементы принадлежат множеству A, а какие ему не принадлежат? b… A e… A… A 8… A 4… A… A ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Еще раз прочитать полученные записи.

Отметьте элементы d, 10, 5 на диаграмме множества C, если известно, что: ∈ C ∉ C C d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ C d 10 5

Существует множество М \ u003d (а, б, в,). Какой знак поставить: ∈ или ∉? a… M… M c… M… M… M 8… M ∈ ∈ ∉ ∉ ∉

D — множество двузначных чисел. Числа 26, 307, 8, 940, 15, 60 элементов множества D? 26… D 8… D 15… D 307… D 940… D 60… D ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Обозначим эти числа на диаграмме. 26 307 8 940 15 60 Какое самое маленькое и самое большое число множества D. D = (10,…,…,… 99)

А много бабочек, а В много роз. Как построить диаграммы множеств А и В? Сколько бабочек принадлежит множеству A? Сколько роз принадлежит набору B? Сколько общих элементов имеют множества А и В?

Домашнее задание. Страница 12 № 11, 12

Диаграмма Эйлера-Венна — визуальный инструмент для работы с наборами. На этих диаграммах изображены все возможные множества пересечений. Количество пересечений (участков) n определяется по формуле:

n = 2 N,

, где N — количество множеств.

Таким образом, если в задаче используются два набора, то n = 2 2 = 4, если три набора, то n = 2 3 = 8, если четыре набора, то n = 2 4 = 16. Следовательно , Диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для двух или трех наборов.


Наборы изображаются в виде кругов (если используются 2-3 набора) и эллипсов (если используются 4 набора), помещенных в прямоугольник (универсум).


Универсальный набор (универс) У (в разрезе задачи) — множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.

Пустое множество Ø (в контексте задачи) — множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.


Перекрывающиеся множества построены на схеме, они заключены во вселенную. Выбираются участки, количество которых равно количеству пересечений.


Диаграммы Эйлера-Венна также используются для визуального представления логических операций.


Рассмотрим примеры построения диаграмм Эйлера-Венна для двух и трех множеств.


Пример 1


Универсум U = (0,1,2,3,4,5,6)


Диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств А и В:

Пример 2


Пусть имеются следующие наборы чисел:

Универсум U = (0,1,2,3,4,5,6,7)

Диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств А, В, С:

Определим области и номера, которые им принадлежат:

И	Б	С	Обозначение области	Номера
0	0	0	0)	0
0	0	1	1)	7
0	1	0	2)	5
0	1	1	3)	6
1	0	0	4)	2
1	0	1	5)	1
1	1	0	6)	4
1	1	1	7)	3

Пример 3


Пусть имеются следующие наборы чисел:

А = (0,1,2,3,4,5,6,7)

В = (3,4,5,7,8,9 ,10,13)

С = (0,2,3,7,8,10,11,12)

Д = (0,3,4,6,9,10,11,14)


Универсум U = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, B, C, D:

Определим области и числа, которые им принадлежат:

3

И	Б	С	D	Обозначение области	Номера
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	3 10	3
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6	3
1	0	1	0	10)	2	3
1	0	1	1	11)	0	3
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4	3
1	1	1	0	14)	3
1	1	1	1	15)	3

Если хотите решать типовые задачи наборами, то переходите к статье.

Wikispaces был основан в 2005 году и с тех пор используется педагогами, компаниями и частными лицами по всему миру.

К сожалению, пришло время, когда нам пришлось принять трудное деловое решение о прекращении службы Википространства.

Мы впервые объявили о закрытии сайта в январе 2018 года с помощью общесайтового баннера, который показывался всем вошедшим в систему пользователям, и его нужно было щелкнуть, чтобы закрыть

В период закрытия пользователям был показан ряд баннеров, в том числе баннер обратного отсчета в последний месяц. Кроме того, домашняя страница Wikispaces.com превратилась в блог с подробным описанием причин закрытия. С администраторами сайтов частных торговых марок связывались отдельно по поводу закрытия

Уровень Wikispaces	Дата закрытия
Прекращение поддержки Classroom и Free Wiki	31 июля 2018 г.
Прекращение поддержки Plus и Super Wiki	30 сентября 2018 г.
Прекращение обслуживания вики-сайтов Private Label	31 января 2019 г.

Почему Wikispaces закрыт?

Примерно 18 месяцев назад мы завершили технический анализ инфраструктуры и программного обеспечения, которое мы использовали для обслуживания пользователей Википространства. В ходе проверки стало очевидно, что для приведения инфраструктуры и кода в соответствие с современными стандартами требуются очень значительные инвестиции. Мы изучили все возможные варианты поддержания работы Wikispaces, но пришли к выводу, что продолжать работу службы в долгосрочной перспективе уже нецелесообразно. Так что, к сожалению, нам пришлось закрыть сайт, но мы были тронуты сообщениями от пользователей со всего мира, которые начали создавать с его помощью вики и теперь запускают их на новых платформах.

Мы хотели бы воспользоваться этой возможностью, чтобы поблагодарить вас за вашу поддержку на протяжении многих лет.

Знакомство с eulerr

Знакомство с eulerr

Йохан Ларссон

06.09.2021

Мотивация

eulerr создает пропорциональные площади диаграммы Эйлера, которые отображают заданные отношения (пересечения, объединения и непересекающиеся) с помощью окружностей или эллипсов. Диаграммы Эйлера — это диаграммы Венна, не требующие наличия всех взаимодействий множеств (независимо от того, пусты они или нет). То есть, в зависимости от ввода, eulerr иногда будет создавать диаграммы Венна, а иногда нет.

R содержит несколько пакетов для создания диаграмм Эйлера; некоторые из наиболее известных (на CRAN):

• eVenn,
• Диаграмма Венна
• Венн
• красочный VennPlot и
• продавец.

Последний из них ( venneuler ) был основным источником вдохновения для этого пакета, наряду с уточнениями, которые Фредриксон представил в своем блоге и сделал доступным в своем javascript venn. js. eulerAPE, которая была первой программой, использующей эллипсы вместо кругов, также сыграла важную роль в разработке эйлерр . Недостатком eulerAPE является то, что он обрабатывает только три множества, которые должны пересекаться.

venneuler , с другой стороны, будет принимать любое количество наборов (теоретически), но, как известно, дает несовершенные решения для конфигураций наборов, которые имеют идеальные такие. И в отличие от eulerAPE , он ограничен кругами (как и venn.js ).

Введите eulerr

eulerr основан на улучшениях venneuler, которые Бен Фредриксон представил в venn.js , но был запрограммирован с нуля, использует разные оптимизаторы и возвращает статистику, представленную в venneuler и eulerAPE , а также допускает ряд различных входных данных и обусловливает дополнительные переменные. Более того, он может моделировать отношения множеств с помощью эллипсов для любого числа вовлеченных множеств.

Входные данные

На момент написания можно обеспечить входные данные для eulerr либо как

• именованный числовой вектор с комбинациями множеств как непересекающиеся комбинации множеств или объединения (в зависимости от того, как аргумент тип устанавливается в euler() ),
• матрица или структура логических данных со столбцами, представляющими наборы, и строками, представляющими отношения наборов для каждого наблюдения,
• список примеров пространств или
• стол.

 библиотека (эйлерр)
# Ввод в виде именованного числового вектора
fit1 <- euler(c("A" = 25, "B" = 5, "C" = 5,
                «А&В» = 5, «А&В» = 5, «В&В» = 3,
                "А&В&С" = 3))
# Ввод в виде матрицы логических
set.seed(1)
мат <- cbind(
  A = образец (с (ИСТИНА, ИСТИНА, ЛОЖЬ), 50, ИСТИНА),
  B = образец (с (ИСТИНА, ЛОЖЬ), 50, ИСТИНА),
  C = образец (с (ИСТИНА, ЛОЖЬ, ЛОЖЬ, ЛОЖЬ), 50, ИСТИНА)
)
fit2 <- эйлер(мат) 

Мы проверяем наши результаты, печатая объект Эйлера

 fit2
#> исходные подогнанные остатки regionError
#> А 13 13 0 0,008
#> В 4 4 0 0,002
#> С 0 0 0 0. 000
#> А и В 17 17 0 0,010
#> АиК 5 5 0 0,003
#> B&C 1 0 1 0,024
#> A&B&C 2 2 0 0,001
#>
#> ошибка диагностики: 0.024
#> напряжение: 0,002 

или напрямую получить доступ к остаткам и нанести их на график.

 # Кливленд Точечный график остатков
библиотека (решетка)
dotplot (остатки (fit2), xlab = "",
        панель = функция(...) {
          панель.abline(v = 0, lty = 2)
          панель.dotplot(...)
        }) 

Остатки для диаграммы соответствия.

Мы также можем использовать eulerr встроенную функцию error_plot() для диагностики соответствия.

 error_plot(fit2) 

График из error_plot() .

Это показывает нам, что пересечение несколько чрезмерно представлено в . Однако, учитывая, что эти остатки находятся в масштабе первоначальных значений, остатки, возможно, не представляют большого интереса.

В качестве альтернативы мы могли бы построить круги в другой программе, получив их координаты и радиусы.

 коэфф(fit2)
#> h k a b phi
#> А -0,5309 -0,2497 3,432 3,432 2,5
#> В 1,1125 -0,2497 2,706 2,706 2,5
#> С -1,5067 1,4108 1,492}
\] 
 
, где \(\hat{y}_i\) — обычная оценка методом наименьших квадратов из регрессии подогнанных областей по исходным областям, которая исследуется во время оптимизации, 
 
 и статистика  diagError  из  eulerAPE  (Микалеф и Роджерс, 2014 г.): 
 
 \[
\max_{i = 1, 2, \dots, n} \left| \frac{y_i}{\сумма y_i} -
\ гидроразрыва {\ шляпа {у} _i} {\ сумма \ шляпа {у} _i} \ справа |
\] 
 
 В нашем примере ошибка диагностики равна 0,002, а наше напряжение равно 0,002, что позволяет предположить, что подгонка является точной. 
 
 Теперь мы можем быть уверены, что eulerr обеспечивает разумное представление нашего ввода с помощью кругов. В противном случае мы могли бы попытаться использовать эллипсы вместо этого. (Wilkinson 2012) представляет собой сложную комбинацию, которую удается подогнать с достаточно небольшой ошибкой; однако с  eulerr  мы можем полностью избавиться от этой ошибки.  
 
 wilkinson2012 <- c(A = 4, B = 6, C = 3, D = 2, E = 7, F = 3,
                    "A&B" = 2, "A&F" = 2, "B&C" = 2, "B&D" = 1,
                    "Б&Ф" = 2, "К&Д" = 1, "Д&Э" = 1, "Э&Ф" = 1,
                    "A&B&F" = 1, "B&C&D" = 1)
fit3 <- euler(wilkinson2012, shape = "эллипс")
сюжет(fit3) 
 Сложная комбинация из Wilkinson 2012.
 Если нам все еще не хватает соответствия после того, как мы попробовали эллипсы, нам лучше остановиться здесь и поискать другой способ визуализации наших данных. (Я предлагаю отличный пакет UpSetR.)
 Визуализация 
 Нет, мы подошли к самой интересной части: построению нашей диаграммы. Это легко и легко настраивается с помощью  eulerr  . Параметры по умолчанию можно легко изменить в соответствии с потребностями любого пользователя.
 сюжет(fit2) 
 Настройка графиков Эйлера в eulerr очень проста.
# Удалите заливку, измените границы, отобразите количество и переключите шрифт. 
сюжет (подгонка2,
     количества = ИСТИНА,
     заполнить = "прозрачный",
     лт = 1:3,
     labels = list(font = 4)) 
 Настройка графиков Эйлера очень проста в eulerr.
 Построение графиков осуществляется с помощью специального метода построения графиков, основанного на превосходных возможностях, предоставляемых базовым пакетом R  grid  . Цветовая палитра  eulerr  по умолчанию выбрана так, чтобы не нарушать цветовой баланс.
 Благодарности 
  eulerr  было бы невозможно без работы Бена Фредриксона над  venn.js  или  venneuler  Леланда Уилкинсона.
 Ссылки 
 Микаллеф, Луана и Питер Роджерс. 2014. «eulerAPE: Рисование пропорциональных площадям 3-диаграмм Венна с использованием эллипсов».  PLOS ONE  9 (7): e101717. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0101717.
 Уилкинсон, Л. 2012. «Точные и приблизительные круговые диаграммы Венна и Эйлера, пропорциональные площади».  IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics  18 (2): 321–31. https://doi.org/10.1109/TVCG.2011.56.
 Формула Эйлера: полное руководство 
 В мире комплексных чисел при интегрировании тригонометрических выражений мы, вероятно, столкнемся с так называемой  формулой Эйлера  .
 Названное в честь легендарного математика Леонарда Эйлера, это мощное уравнение заслуживает более тщательного изучения, чтобы мы могли использовать его в полной мере.
 Мы рассмотрим, как формула Эйлера позволяет нам выражать комплексные числа в виде  экспонент  , и рассмотрим различные способы, с помощью которых это можно установить относительно легко.
 Кроме того, мы также рассмотрим несколько его  приложений , таких как частный случай тождества Эйлера, экспоненциальная форма комплексных чисел, альтернативные определения ключевых функций и альтернативные доказательства теоремы де Муавра и тригонометрических аддитивных тождеств.
 Примечание
 Эту формулу Эйлера следует отличать от других формул Эйлера, таких как формула для  выпуклых многогранников  .
 Предпочитаете версию в формате PDF?
 Получите наше полное 22-страничное руководство по формуле Эйлера — в офлайн-формате для печати  PDF  .
 Да. Это было бы здорово.
 Содержание
 Объяснение формулы Эйлера: введение, интерпретация и примеры 
 Так что же такое 9{ix}$ обычно предпочтительнее нотации $\operatorname{cis}$.
 Формула Эйлера устанавливает фундаментальную связь между  тригонометрическими функциями  и  экспоненциальными функциями  . Геометрически это можно рассматривать как способ соединения двух представлений одного и того же единичного комплексного числа на комплексной плоскости.
 Давайте взглянем на некоторые из  ключевых значений  формулы Эйлера и посмотрим, как они соответствуют точкам тригонометрического/единичного круга: 9x = \cos x + i \sin x \] где:
 Правое выражение можно рассматривать как  единичное комплексное число  с углом $x$.
 Левое выражение можно рассматривать как  комплексное число  в 1 радиане, возведенное в $x$.
 А поскольку возведение единичного комплексного числа в степень можно рассматривать как  повторных умножений  (т. в той же точке.
 Выводы 
 Формула Эйлера может быть установлена ​​как минимум тремя способами. Первый вывод основан на степенном ряду   , где экспоненциальная, синусоидальная и косинусная функции расширены как степенные ряды, чтобы сделать вывод, что формула действительно верна.
 Второй вывод формулы Эйлера основан на  исчислении  , в котором обе части уравнения рассматриваются как функции и соответственно дифференцируются. Затем это приводит к выявлению общего свойства, которое можно использовать, чтобы показать, что обе функции действительно равны.
 Еще один вывод формулы Эйлера включает использование  полярных координат  на комплексной плоскости, через которые впоследствии находятся значения $r$ и $\theta$. {ix} = r(\cos \theta + i \sin \theta) \] где $\theta$ — его  главный угол  от положительной действительной оси (при, скажем, $0 \le \theta < 2 \pi$), а $r$ — его  радиус  (при $r>0$). Мы не делаем никаких предположений о значениях $r$ и $\theta$, кроме того факта, что они являются функциями $x$ (которые могут содержать или не содержать $x$ в качестве переменной). Они будут определены в ходе доказательства.
 (Однако мы знаем, что когда $x=0$, левая часть равна $1$, а это означает, что $r$ и $\theta$ удовлетворяют  начальным условиям 9{ix}$, чтобы получить: \[ i r(\cos \theta + i \sin \theta) = (\cos \theta + i \sin \theta) \frac{dr}{dx} + r(- \sin \ theta + i \cos \theta) \frac{d \theta}{dx} \] Оказавшись там, распределение $i$ в левой части дает: \[ r(i \cos \theta-\sin \ theta) = (\cos\theta + i\sin\theta) \frac{dr}{dx} + r(- \sin\theta + i\cos\theta) \frac{d \theta}{dx} \] Приравнивая  мнимой  и  реальной частей  соответственно, получаем: \[ ir\cos \theta = i \sin \theta \frac{dr}{dx} + i r\cos \theta \frac{d \theta} {dx} \] и \[ -r \sin \theta = \cos \theta \frac{dr}{dx}-r\sin \theta \frac{d \theta}{dx} \] Здесь мы имеем 92 \theta = 1$, возникает более простое уравнение: \[ r = r \beta \] А поскольку $r > 0$ для всех $x$, это означает, что $\beta$ — которое мы установили равным $d \theta/dx$ — равно $1$.
 Оказавшись там, подставив этот результат обратно в (I) и (II) и сделав некоторые сокращения, мы получим: \begin{align*} 0 & = (\sin \theta) \alpha \\ 0 & = (\cos \theta) \alpha \end{align*} что подразумевает, что $\alpha$ — которое мы установили как $\frac{dr}{dx}$ — должно быть равно $0$.
 Из того факта, что $dr/dx = 0$, мы можем сделать вывод, что $r$ должно быть 9{ix} & = r(\cos \theta + i \sin \theta) \\ & = \cos x + i \sin x \end{align*} что, как и ожидалось, точно соответствует формуле Эйлера для вещественных числа $х$.
 Приложения 
 Являясь одним из самых важных уравнений в математике, формула Эйлера, безусловно, имеет свою долю интересных  приложений  в различных темах. К ним относятся, среди прочего:
 Знаменитое  Тождество Эйлера 
 Экспоненциальная форма   of complex numbers
 Alternate definitions of  trigonometric  and  hyperbolic functions 
 Generalization of  exponential  and  logarithmic functions  to complex numbers
 Alternate proofs of  de Moivre's theorem  and  trigonometric additive identities 
 Тождество Эйлера 
 Тождество Эйлера часто считают самым красивым уравнением в математике. Пишется как 9{i \pi} + 1 = 0$
, где представлены пять наиболее важных  констант  в математике. Это:
 Аддитивная идентичность   $0$
 Единица   $1$
  Константа Пи  $\pi$ (отношение длины окружности к ее диаметру)
 Основание натурального логарифма  $e$
  Воображаемая единица  $i$
 Среди них три  типа чисел 9{i \pi} = -1 \] является общим в контексте  тригонометрической единичной окружности  на комплексной плоскости: она соответствует точке единичной окружности, угол которой относительно положительной вещественной оси равен $\pi$.
 Комплексные числа в экспоненциальной форме 
 К этому моменту мы уже знаем, что комплексное число $z$ может быть выражено в  декартовых координатах  как $x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные часть и мнимая часть $z$.
 Действительно, одно и то же комплексное число может быть выражено в 92} \\[4px] \theta & = \operatorname{atan2}(y, x) \end{align*} (где $\operatorname{atan2}(y, x)$ — функция арктангенса с двумя аргументами   с $\operatorname{atan2}(y, x) = \arctan (\frac{y}{x})$ всякий раз, когда $x>0$. {i(\theta_1 + \theta_2)} \end{align*} В том же духе мы можно также 9{z_2}$.
 Если бы вместо этого мы использовали прямоугольную запись $x + iy$, то для того же деления потребовалось бы умножение на  комплексно-сопряженное число  в числителе и знаменателе. С полярными координатами ситуация была бы такой же (разве что хуже).
 Во всяком случае, экспоненциальная форма   определенно облегчает понимание того, что умножение двух комплексных чисел на самом деле то же самое, что умножение величин и сложение углов, и что деление двух комплексных чисел на самом деле то же самое, что деление величин и вычитание углов. 9{-ix})}$
 Если будет доказано, что формула Эйлера верна для всех комплексных чисел (как мы это сделали в доказательстве через степенные ряды), то то же самое будет верно и для этих трех формул. Их наличие позволяет свободно переключаться между  тригонометрическими функциями  и комплексными экспонентами   , что является большим плюсом, когда речь идет о вычислении производных и интегралов.
 Гиперболические функции 
 В дополнение к тригонометрическим функциям,  гиперболические функции 9{-z}}{2} \\ & = \cosh z \end{align*} Отсюда мы также можем подставить $iz$ в  комплексный тангенс  и получить: \[ \tan (iz) = \frac {\sin iz}{\cos iz} = \frac{i \sinh z}{\cosh z}  = i \tanh z \] Короче говоря, это означает, что теперь мы можем определить  гиперболическую функцию  в терминах тригонометрических функций. следующим образом:
 \begin{align*} \sinh z & = \frac{\sin iz}{i} \\[4px]  \cosh z & = \cos iz \\[4px]  \tanh z & = \frac{\tan iz}{i} \end{align*}
 Но ведь это не единственные функции, которым мы можем предоставить новые определения. На самом деле комплексный логарифм   и общая комплексная экспонента   — это два других класса функций, которые мы можем определить — в результате формулы Эйлера.
 Комплексный логарифм и общая комплексная экспонента 
 Логарифм комплексного числа ведет себя особым образом по сравнению с логарифмом действительного числа. Более конкретно, он имеет  бесконечное количество значений  вместо одного. 9{\ пер | г | + i\phi} \] где $|z|$ — величина $z$, а $\phi$ — угол $z$ от положительной действительной оси. А поскольку логарифм — это просто  показатель степени  числа при возведении его в $e$, правильно следующее определение: \[ \ln z = \ln |z| + i\phi \] Сначала это кажется надежным способом определения комплексного логарифма. Однако второй взгляд показывает, что логарифм, определенный таким образом, может принимать  бесконечное число значений  — из-за того, что $\phi$ также может быть выбрано любым другим числом вида $\phi + 2\pi k$ (где $k$ — целое число). 9{2\пи}=1$. Это означает, что логарифмом $1$ можно определить как $0$, так и $2\pi i$ — или любое число вида $2\pi ki$, если уж на то пошло (где $k$ — целое число).
 Для решения этой головоломки обычно используются два отдельных подхода. Первый подход заключается в простом рассмотрении комплексного логарифма как  многозначной функции  . То есть функция, которая отображает каждый ввод в набор значений. Один из способов добиться этого — определить $\ln z$ следующим образом: \[ \{\ln |z| + i(\phi + 2\pi k) \} \] где $-\pi < \phi \le \pi$ и $k$ — целое число. Здесь предложение $-\pi < \phi \le \pi$ ограничивает угол $z$ только одним кандидатом. Из-за этого $\phi$, определенный таким образом, обычно называют 9{i\frac{\pi}{2}} \right) = i\frac{\pi}{2}$. Мы больше не зациклены на проблеме  периодичности углов !
 Однако с учетом того, что $-\pi < \phi \le \pi$, диапазон комплексного логарифмирования теперь сводится к прямоугольной области $-\pi < y \le \pi$ (т. е.  главный отделение ). И если мы хотим сохранить обратную зависимость между логарифмом и экспоненциальной функцией, нам также нужно будет сделать то же самое и с областью экспоненциальной функции. 9{i nx} = \cos nx + i \sin nx \] На практике эта теорема обычно используется для нахождения  корня  комплексного числа и для получения  выражения в закрытой форме  для $\sin nx$ и $\cosnx$. Это достигается за счет сведения функций, возведённых в высокие степени, к простым тригонометрическим функциям, что упрощает выполнение вычислений.
 На самом деле теорема Муавра — не единственная теорема, доказательство которой можно упростить с помощью формулы Эйлера. Другие тождества, такие как 9{iy} \\ & = (\cos x + i \sin x) (\cos y + i \sin y) \\ & = (\cos x \cos y-\sin x \sin y) \\[1px ] & \; \; + i(\sin x \cos y + \cos x \sin y)  \end{align*} После этого приравнивание  реальной  и  мнимой частей  с обеих сторон дает знаменитые тождества, которые мы искали:
 \begin{align*} \cos (x+y) & = \cos x \cos y-\sin x \sin y  \\[4px] \sin (x+y) & = \sin x \cos y + \cos x \sin y  \end{align*}
 Заключение 
 Как видно выше,  Формула Эйлера  — редкая жемчужина в области математики. Он устанавливает фундаментальную связь между экспоненциальными и тригонометрическими функциями и прокладывает путь для дальнейшего развития в мире комплексных чисел, комплексных функций и связанных с ними теорий.
 Действительно, будь то тождество Эйлера или комплексный логарифм, формула Эйлера, кажется, не оставляет равнодушным всякий раз, когда используются такие выражения, как $\sin$, $i$ и $e$. Это мощный инструмент  9{-ix})}$  Гиперболический синус  (экспоненциальная форма) $\sinh z = \dfrac{\sin iz}{i}$  Гиперболический косинус2 3 (экспоненциальная форма2) $\cosh z  = \cos iz$  Hyperbolic tangent  (exponential form) $\tanh z = \dfrac{\tan iz}{i}$  Complex logarithm  $\ln z = \ln |z| + i\phi$  Общая комплексная экспонента 9n = \cos nx + i \sin nx$  Аддитивная идентичность синуса   Аддитивная идентичность косинуса  $\cos (x+y) = \cos x \cos y-\sin x \sin y$
 Вместо этого предпочитаете версию в формате PDF?
 Получите наше полное 22-страничное руководство по формуле Эйлера — в офлайн-формате для печати  PDF  .
 Да. Это было бы здорово.
 Источники 
 Математика для физиков (Сьюзен М. Ли)
 Кембриджский справочник физических формул (Грэм Воан)
 Девятиточечный круг Эйлера | Математические ресурсы IB ​​от Intermathematics 
 30 сентября 2017 г. по геометрии
 Если вы учитель, пожалуйста, посетите мой новый сайт: intermathematics.com, где вы найдете более 2000+ страниц ресурсов в формате PDF для обучения математике IB!
  Девятиконечная окружность Эйлера 
 Это хорошее введение в некоторые из красивых геометрических построений. Этот раздел математики то популярен, то теряет популярность — еще во времена Евклида построения с использованием линий и окружностей были краеугольным камнем математических доказательств, позже интерес возродился в 1800-х годах благодаря проективной геометрии Понсело, что позже привело к новой области ненаучных исследований. Евклидова геометрия. Это снова немного вышло из моды, но стало более доступным, чем когда-либо, благодаря таким программам, как Geogebra (на которых были построены приведенные ниже диаграммы). 9точечная окружность (или, по крайней мере, шеститочечная окружность была открыта немцем Карлом Вильгельмом фон Фейербахом в 1820-х годах. К сожалению, для Фейербаха ее часто вместо этого называют кругом Эйлера — в честь одного из величайших математиков всех времен, Леонарда Эйлера.
 Итак, , как нарисовать 9-конечный круг Эйлера? Это немного сложно, так что не сдавайтесь!
 Шаг 1: Нарисуйте треугольник:
 Шаг 2: Нарисуйте серединные перпендикуляры к трем сторонам и отметьте точка, где они все пересекаются (D).0003
 Шаг 3: Проведите окружность через точку D.
 Шаг 4: От каждой линии треугольника проведите перпендикуляр через его третий угол. Например, для линии AC нарисуйте перпендикулярную линию, которая проходит через AC и угол B. (Высоты треугольника). Соедините 3 высоты, которые встретятся в точке (E).
 Шаг 5. Соедините середины каждой стороны треугольника с оставшимся углом. Например, найдите середину треугольника AC и соедините эту точку с углом B. (Средние линии треугольника). Обозначьте точку, где пересекаются 3 линии, буквой F.
 Шаг 6. Удалите все вспомогательные линии. Теперь вы можете видеть, что у нас есть 3 точки в линии. D — центр окружности, проходящей через точки ABC, E — место, где встречаются высоты треугольника (ортоцентр ABC), а F — место, где встречаются медианы (центроид ABC).
 Шаг 7. Соедините 3 точки — они лежат на одной линии.
 Шаг 8. Увеличьте круг, проходящий через точки A B C, с коэффициентом масштабирования -1/2 с центром в точке F.
 Шаг 9: Теперь у нас есть круг из 9 точек. Посмотрите на точки пересечения внутренней окружности с треугольником ABC. Вы можете видеть, что точки M N O показывают точки, где основания высот (из шага 4) встречаются с треугольником.
 Точки P Q R показывают точки, где начинаются биссектрисы прямых (т. е. середины прямых AB, AC, BC). линии между E и вершинами A, B, C.
 Шаг 10. Мы можем перетаскивать вершины треугольника, и приведенные выше отношения сохранятся.
 Во втором случае мы имеем E и D вне треугольника.
 В третьем случае мы имеем E и F в одной и той же точке.
 В четвертом случае мы имеем D и E на противоположных сторонах треугольника.
 Итак, поехали — кто сказал, что математика некрасива?
 Основные ресурсы для студентов IB:
 1) Revision Village
 Revision Village был создан, чтобы помочь учащимся IB с повторением темы как во время курса, так и в конце школьных экзаменов 12 класса и выпускных экзаменов 13 класса. Я настоятельно рекомендую учащимся использовать его в качестве ресурса во время курса (а не только для окончательного пересмотра в 13-м классе!) Существуют специальные ресурсы для студентов HL и SL как по анализу, так и по приложениям.
 Существует обширный банк вопросов, в котором вы найдете разбивку по каждой основной предметной области (например, алгебре, математическому анализу и т. д.), а затем предоставит большой банк вопросов с оценками. Что мне нравится в этом, так это то, что вам дается рейтинг сложности, а также схема оценок, а также отработанный видеоурок. Действительно полезно!
 В разделе практических экзаменов вы найдете большое количество готовых викторин, экзаменов и контрольных работ. Все они имеют рабочие решения и позволяют вам сосредоточиться на конкретных темах или начать общий пересмотр. Здесь также есть несколько отличных сложных вопросов для тех учащихся, которые хотят получить 6 и 7 баллов.
  Необходимые ресурсы для преподавателей IB 
 1) Intermathematics.com
 Если вы  преподаватель , пожалуйста, также посетите мой новый сайт. Это было разработано специально для учителей математики в международных школах. Контент теперь включает более  2000 страниц содержимого в формате pdf   для всей программы SL и HL Analysis, а также программы SL Applications. Некоторое содержимое включает:
  Оригинальные рабочие листы в формате PDF  (с полными решениями), предназначенные для охвата всех тем программы. Из них получаются отличные листы с домашним заданием или листы с заданиями в классе, и каждый из них рассчитан на продолжительность от 40 минут до 1 часа.
  Исходный документ 3 исследования   (с полными проработанными решениями) для разработки методов расследования и поддержки как исследования, так и исследования Документа 3.
 Более 150 страниц   Руководства по курсовым работам  , чтобы познакомить учащихся с основами получения отличной оценки за исследовательскую курсовую работу.
 Большое количество  дополнительных занятий  , таких как поиски сокровищ, викторины, расследования, исследования Desmos, программирование на Python и многое другое, чтобы вовлечь учащихся IB в курс.
 Есть и многое другое. Я думаю, что это может сэкономить учителям более 200 часов времени на подготовку к курсу IB по математике, поэтому его стоит изучить!
  Основные ресурсы как для преподавателей, так и для студентов IB 
 1) Руководства по исследованию и документы 3 Ресурсы
 Я составил  Суперруководство по исследованию на 168 страницах , чтобы рассказать учащимся и учителям обо всех аспектах производства отличная курсовая работа.
No related posts.