Кто первый ввел положительные иррациональные числа: Кто впервые ввёл положительные иррациональные числа?, 5 (пять) букв

Содержание

Кто Первый Ввел Положительные Иррациональные Числа 5 Букв

Решение этого кроссворда состоит из 5 букв длиной и начинается с буквы Х

Ниже вы найдете правильный ответ на Кто первый ввел положительные иррациональные числа 5 букв, если вам нужна дополнительная помощь в завершении кроссворда, продолжайте навигацию и воспользуйтесь нашей функцией поиска.

ответ на кроссворд и сканворд

Суббота, 25 Мая 2019 Г.

ХАЙЯМ

предыдущий следующий

ты знаешь ответ ?

ответ:

связанные кроссворды

Хайям

Великий араб, изъяснявшийся рубаи
Имя омар, персидский писатель, поэт

Хайям

Имя омар, персидский писатель, поэт 5 букв
Персидский и таджикский поэт, математик и философ 5 букв
Великий араб, изъяснявшийся рубаи 5 букв
Писатель омар 5 букв

Целые числа. Рациональные и иррациональные числа

Департамент охраны здоровья населения Кемеровской области Новокузнецкий филиал ГБПОУ «КОМК»

Целые числа. Рациональные и иррациональные числа

Шилепина Надежда Ивановна

преподаватель

Новокузнецк, 2019

Что такое число

Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей.

Письменными знаками для обозначения служат цифры, а также символы математических операций.

02/10/2022

ЧИСЛА БЫВАЮТ:

02/10/2022

Натуральные числа

Для счета предметов используются числа, которые называются натуральными.

Для обозначения множества натуральных чисел употребляется буква N — первая буква латинского слова Naturalis, «естественный», «натуральный» (1, 2, 3, 4, 5, 6… )

02/10/2022

Целые числа

Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается Z — первой буквой немецкого слова Zahl — «число» ( …-3;-2;-1;0,1, 2, 3,…) .

02/10/2022

Сумма, произведение и разность целых чисел есть число целое.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Никола Шюке (1445—1500) — его работа была обнаружена в 1848 году.

02/10/2022

Действительные числа

Действительные числа не обладают свойством замкнутости — не всякое уравнение имеет корни. Действительные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

02/10/2022

Например: 5, 1056, π, … -это все действительные числа.

Действительные числа обозначают буквой R (рациональные числа, иррациональные числа)

02/10/2022

Рациональные числа

Множество чисел, которое можно представить в виде ,называется множеством рациональных чисел и обозначается — Q первой буквой французского слова Quotient — «отношение».

02/10/2022

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью, где числитель m — целое число , а знаменатель n — натуральное число .

02/10/2022

Вычисли:

02/10/2022

Вычисли:

02/10/2022

Дробные числа

Десятичные дроби в XV веке ввел самаркандский ученый ал — Коши .

Второй раз, приблизительно через 150 лет, десятичные дроби открыл фламандский ученый математик и инженер Симон Стевин в труде « Децималь » (1585 г).

02/10/2022

Запомни

Чтобы обратить чисто периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числителе обыкновенной дроби поставить число, образованное из цифр, стоящих в периоде, а в знаменателе – написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде.

02/10/2022

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную , нужно в числителе обыкновенной дроби поставить число, равное разности числа, образованного цифрами, стоящими после запятой до начала второго периода, и числа, образованного из цифр, стоящих после запятой до начала первого периода, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и со столькими нулями, сколько цифр между запятой и началом периода.

02/10/2022

Пример:

02/10/2022

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом.

Например:

02/10/2022

Иррациональные числа

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I. Таким образом: I=R\Q , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественны чисел и рациональных чисел.

02/10/2022

Самостоятельная работа

Представить дроби в виде быкновенных дробей:

15,(3)

0,(7)

1,2(3)

0,(12)

7,(5)

02/10/2022

Спасибо за внимание!!!

02/10/2022

иррациональных чисел | Что?, Обозначение, Surds, Свойства,

Мы узнали о десятичных числах. Мы также знаем, что десятичные числа могут быть как конечными, так и неконечными. Но существуют ли другие десятичные числа, кроме этих двух категорий? Давайте узнаем.

Предположим, у нас есть число 0.101001000100001…….

Если мы посмотрим на это число, то обнаружим в этом десятичном выражении, что справа от запятой стоят либо 1, либо 0, и что 1 разделены соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Таким образом, количество нулей, разделяющих две последовательные единицы, продолжает увеличиваться на единицу. Видно, что мы можем продолжать писать это число бесконечно. Это показывает, что расширение этого десятичного числа не заканчивается, а также неповторяется. Следовательно, его нельзя представить как рациональное число, поскольку рациональное число либо завершается, либо не прекращается и не повторяется.

Итак, как мы называем такие номера?

Существует бесконечно много десятичных чисел того типа, который обсуждался выше, например, 0,121121112…….., 0,020020002…….m 0,3000300003………, которые являются неконечными и неповторяющимися десятичными знаками. Мы говорим, что десятичное расширение, которое не заканчивается и не повторяется, по определению представляет собой «иррациональное число».

Таким образом, число иррационально тогда и только тогда, когда его десятичное представление не имеет конца и не повторяется.

Знаете ли вы, что такие числа, как , $\sqrt{2}, \,\sqrt{3}$ и т. д. — иррациональные числа. Например, $\sqrt{2}$ = 1,4142135…….., $\sqrt{3}$ = 1,7320508……. Иррациональное число — это бесконечное и неповторяющееся десятичное число, то есть его нельзя записать в виде $\frac{p}{q}$, где p и q — целые числа, а q ≠ 0.

Теперь давайте найдем квадратный корень из 2.

Мы видим, что $\sqrt{2}$ имеет бесконечное и неповторяющееся десятичное расширение, и оно равно 1,4142135…….

Теперь давайте найдем квадратный корень из 3.

Точно так же $\sqrt{5}, \,\sqrt{6}$ и другие подобные квадратные корни также могут быть выражены как непрерывающиеся и неповторяющиеся десятичные дроби и поэтому все они иррациональные числа.

Здесь важно отметить, что иррациональное число может быть сколь угодно точно приближено рациональными числами.

Процесс нахождения квадратного корня из 2 методом деления может дать нам десятичное представление $\sqrt{2}$. Это также можно сделать с помощью следующего элементарного метода:

Мы знаем, что 1 ² = 1 < 2 < 4 = 2 ²

Извлекая положительные квадратные корни, получаем 1 < $\sqrt{2}$ < 2

Далее, (1.4) ² = 1,96 < 2 < 2,25 = (1,5) ²

Снова извлекая положительные квадратные корни, получаем 1,4 < $\sqrt{2}$ < 1,5

Далее, (1.41) ² = 1,9881 < 2 < 2,0. 164 = (1.42) ²

Снова извлекая положительные квадратные корни, мы получаем 1,41 < $\sqrt{2}$ < 1,42

Продолжая таким образом, следующий шаг приведет нас к следующим неравенствам:

1,414 < $\sqrt{2}$ < 1,415

Если мы будем действовать таким образом, каждый шаг будет давать нам более точное десятичное приближение $\sqrt{2}$ , чем на предыдущем шаге. Восьмой шаг даст нам следующие неравенства:

(1,4142315) ² = 1,99999982358225 < 2 < 2,00000010642496 = (1,4142316) ²

9000 $. Поскольку V не является рациональным числом, этот процесс не завершится и приведет к десятичной записи, которая будет бесконечной и неповторяющейся. Следовательно, неповторяющееся десятичное расширение $\sqrt{2}$ будет дано $\sqrt{2}$ = 1,4142135…. где точки указывают, что это десятичное представление не будет завершено.

Следовательно,

$\sqrt{2}$ = 1,4142135……

Точно так же мы можем найти значение других квадратных корней, которые являются иррациональными числами.

Общие наборы чисел, такие как натуральные числа, целые числа, действительные числа и т. д., имеют стандартные символы, которые используются для их обозначения. Например, мы используем N для натуральных чисел, R для действительных чисел, W для целых чисел, Z для целых чисел и так далее. Есть ли у нас такая запись иррациональных чисел?

Для множества иррациональных чисел не существует стандартных обозначений, но можно использовать обозначения, в которых черта, знак минус или обратная косая черта указывают на заданное дополнение рациональных чисел к действительным числам R, например (R – Q).

Когда мы не можем упростить число, чтобы удалить квадратный корень (или кубический корень и т. д.), тогда это surd. Например, √2 (квадратный корень из 2) нельзя упростить еще больше, поэтому это сурд.

Известно, что иррациональные числа обладают следующими свойствами:

Отрицательные числа иррационального числа являются иррациональными числами.
Если r — рациональное число, а s — иррациональное число, то r + s и r – s — иррациональные числа, а rs и r/s — также иррациональные числа. Это означает, что любая операция между рациональным и иррациональным числом, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, всегда будет давать только иррациональное число.
Если r — одно иррациональное число, а s — другое иррациональное число, то r + s и r – s могут быть или не быть иррациональными числами, а rs и r/s могут быть или не быть иррациональными числами. Это означает, что любая операция между двумя иррациональными числами, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, не всегда приводит к иррациональному числу.
Если a и b – два различных положительных рациональных числа, такие что ab не является полным квадратом рационального числа, то $\sqrt{ab}$ – иррациональное число, лежащее между a и b.
Если a и b – два различных положительных иррациональных числа, то $\sqrt{ab}$ – иррациональное число, лежащее между a и b.
Иррациональные числа всегда действительные числа.
Иррациональные числа состоят из непрерывных и неповторяющихся десятичных знаков.
Для любых двух иррациональных чисел их наименьшее общее кратное (НОК) может существовать, а может и не существовать.

Некоторые иррациональные числа довольно известны, поскольку они используются в повседневных вычислениях, а также в базовой математике. Давайте узнаем об этих знаменитых иррациональных числах.

Первое известное иррациональное число — Пи (π) . Люди вычислили число Пи с точностью до квадриллиона знаков после запятой, но закономерности нет. Первые несколько цифр выглядят так: 3,1415926535897932384626433832795. Он определяется в евклидовой геометрии как отношение длины окружности к ее диаметру, а также имеет различные эквивалентные определения. Это число используется во многих формулах во всех областях математики и физики. Самое раннее известное использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности круга к его диаметру было сделано валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году.[1] Ее также называют постоянной Архимеда.

Еще одно известное иррациональное число — e (число Эйлера). Первые несколько цифр числа e: 2,71828182845353602874713527. Число Эйлера является основанием натурального логарифма. Это число впервые было введено в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Также известно как число Нейпира, которое часто используется в тригонометрии, а также в логарифмах.
Число Золотого сечения — еще одно известное иррациональное число. Символом числа золотого сечения является греческая буква «фи» Φ. Это особое число, приблизительно равное 1,618.
$\sqrt{2}$ , которое так часто используется в повседневных вычислениях, является еще одним известным иррациональным числом. Она также известна как постоянная Пифагора.

Ниже приведен список часто используемых иррациональных чисел и их приблизительные значения, которые могут оказаться полезными для математических расчетов.

Иррациональный номер	.0129 $\sqrt{3}$	1.732
$\sqrt{5}$	2.236
π	3.14
e	2.718
$\sqrt{7 }$	2,645

Теперь, когда мы знаем как о рациональных, так и об иррациональных числах, мы можем ясно объяснить разницу между ними. Некоторые из основных различий между рациональными и иррациональными числами включают —

Рациональные числа	Иррациональные числа
Рациональные числа могут быть выражены в виде дроби или отношения, т.е. p/q, где q ≠ 0.	Иррациональные числа не могут быть выражены в виде дробь или отношение.
Рациональные числа — это числа, которые могут быть выражены в виде отношения двух целых чисел.	Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел.
Рациональные числа включают полные квадраты	Иррациональные числа включают сурды
Рациональные числа — это конечные или повторяющиеся десятичные дроби. Это означает, что Десятичное расширение является конечным или неконечным повторяющимся (повторяющимся)	Иррациональные числа являются неконечными или неповторяющимися десятичными числами. Это означает, что десятичное расширение является непрерывным и неповторяющимся в любой точке.
Пример – 5/8, 0,65	Пример $-\sqrt{2}, \sqrt{3}$,
В рациональных числах и числитель, и знаменатель являются целыми числами, где знаменатель не равен нулю.	Иррациональное число нельзя записать дробью.

Именно Гиппас был одним из учеников Пифагора, открывшим иррациональные числа. Он обнаружил это, когда пытался записать квадратный корень из 2 в виде дроби, и считается, что он делал это с помощью геометрии. При этом вместо этого он доказал, что квадратный корень из 2 нельзя записать в виде дроби, и поэтому его следует назвать иррациональным. Однако другие последователи Пифагора не могли принять существование иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание богов!
Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин alogos, или невыразимым. Однако Гиппасу не приписали и не оценили его объяснение.
Феодор из Кирены доказал иррациональную природу сурдов , но только до целого числа 17.

Теперь мы понимаем как рациональные, так и иррациональные числа. Мы знаем о методах вычисления значений с использованием рациональных чисел. Если в числителе дроби присутствуют иррациональные числа, мы можем произвести вычисления. Но когда эти иррациональные числа существуют в знаменателях дробей, они усложняют вычисления. Чтобы избежать подобных сложностей при численных расчетах, воспользуемся методом рационализации. Следовательно, рационализацию можно определить как процесс, посредством которого мы устраняем радикалы, присутствующие в знаменателях дробей. Итак, как считать, когда у нас есть иррациональные числа в знаменателе?

Здесь важно отметить, что если в знаменателе уравнения присутствует сурд или сурд с рациональными числами, для его упрощения или исключения сурдов из знаменателя используется рационализация сурдов. Surds — иррациональные числа, но если умножить surd на подходящий коэффициент, результатом умножения будет рациональное число. Это основной принцип рационализации сурдов.

Другими словами, процесс приведения данного сурда к рациональной форме после умножения его на подходящий сурд известен как рационализация.

Итак, какие этапы рационализации? Давайте узнаем.

Прежде чем разобраться в шагах, важно понять значение термина «конъюгация». Конъюгат — это аналогичный surd, но с другим знаком. Например, сопряженным числом $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ будет быть $\sqrt{2}-\sqrt{3}$. Аналогично,

Сопряжение (5 + 7–√7) равно (5 – 7–√7)
Сопряжение (5 – 7–√7) равно (5 + 7–√7)
Сопряжение (10 + 3–√3) равно (10 – 3–√3)
Сопряжение (10 – 3–√3) равно (10 + 3–√3)

Теперь мы понимаем Что такое сопряженные, давайте проверим, как мы должны рационализировать иррациональное число.

Есть два метода рационализации иррациональных чисел. Вот эти два метода:

Метод сопряжения
Метод длинного деления

Давайте теперь подробно разберемся в этих двух методах.

Метод сопряжения

Этот метод подходит, когда у нас есть иррациональное число в знаменателе. В этом случае для рационализации выполняются следующие шаги:

Наш первый шаг — удалить радикалы из знаменателя. Для этого умножаем числитель и знаменатель на подходящую сопряженную.
Далее нам нужно убедиться, что все сурды в данной дроби представлены в упрощенной форме.
Последним шагом рационализации является упрощение дроби, если это необходимо.

Давайте разберемся с этим на примере

Пример

Предположим, мы хотим рационализировать $\frac{1}{4+\sqrt{2}}$.

Решение

Выполним действия, перечисленные выше для рационализации.

Во-первых, нам нужно найти сопряжение знаменателя.

Знаменатель равен $4+\sqrt{2}$. Его сопряжение будет $4-\sqrt{2}$. Поэтому мы умножим и числитель, и знаменатель на $4-\sqrt{2}$. Мы получим: 9{2}}$

$=\frac{4-\sqrt{2}}{16-2}$

$=\frac{4-\sqrt{2}}{14}$

Следовательно, искомое рационализированное число равно $\frac{4-\sqrt{2}}{14}$ в простейшей форме.

Метод длинного деления

Метод длинного деления — это тот же метод, который мы используем для нахождения квадратного корня из числа, рационального или иррационального. Ограничение этого метода заключается в том, что он проверяет только иррациональное число, имеющее мощность $\frac{1}{2}$.

Итак, мы вспоминаем деление в большую сторону, которое мы только что сделали для проверки, является ли $\sqrt{3}$ рациональным или иррациональным числом.

Пример 1

Докажите, что √5 — иррациональное число.

Решение

Докажем это методом от противного-
Скажем, √5 — рациональное число. Его можно выразить в виде p/q, где p,q — взаимно простые целые числа.

⇒√5=p/q
⇒5=p²/q² {возведение обеих сторон в квадрат}
⇒5q²=p² (1)
⇒p² кратно 5. {Лемма Евклида о делении}
⇒p также кратно 5. {Основная теорема арифметики}
⇒p=5m
⇒p²=25m² (2)

Из уравнений (1) и (2), мы получаем,

5q²=25m²
⇒q²=5m²
⇒q² кратно 5. {Лемма Евклида о делении}
⇒q кратно 5. {Фундаментальная теорема арифметики}

Отсюда , p,q имеют общий делитель 5, что противоречит тому, что они взаимно просты. Следовательно, p/q не является рациональным числом.

9{\frac{1}{4}}$
Пример 3
Обоснуйте $\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Решение
Так как √5 является иррациональным числом и присутствует в знаменателе дроби. Итак, сначала нам нужно его рационализировать. Это можно сделать, умножив числитель и знаменатель на √5.
Получим
$\frac{1}{\sqrt{5}}\times \frac{sqrt{5}}{sqrt{5}}$
$\frac{sqrt{5}}{5 }$
Следовательно, рационализированная форма $\frac{1}{\sqrt{5}}$ равно $\frac{sqrt{5}}{5}$.
Число иррационально тогда и только тогда, когда его десятичное представление не заканчивается и не повторяется.
Для множества иррациональных чисел не существует стандартных обозначений, но можно использовать обозначения, в которых черта, знак минус или обратная косая черта указывают на заданное дополнение рациональных чисел к действительным числам R, например (R – Q).
Конъюгат представляет собой аналогичный surd, но с другим знаком.
Сопряженный или рационализирующий множитель (√a +√b) равен (√a -√b).
Каждое иррациональное число может быть представлено в виде бесконечного десятичного расширения без регулярно повторяющихся цифр или групп цифр. Вместе с рациональными числами они образуют действительные числа.
Иррациональные числа всегда действительные числа.
Иррациональные числа состоят из непрерывных и неповторяющихся десятичных знаков.
Для любых двух иррациональных чисел их наименьшее общее кратное (НОК) может существовать, а может и не существовать.
Рекомендуемые рабочие листы
Понимание иррациональных чисел Рабочие листы по математике для 8-го класса
Рабочие листы для округления целых и десятичных дробей (на баскетбольную тематику) этот сайт. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!
Иррациональные числа — определение, свойства, примеры, часто задаваемые вопросы
Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены в виде p/q, где p и q — целые числа, а q не равно нулю. Иррациональные числа не могут быть представлены дробью или обычными десятичными знаками. Это неповторяющиеся и неповторяющиеся десятичные дроби. Они являются частью действительных чисел, но отличаются от рациональных чисел. Символ для представления иррационального числа — Q’ .
Что такое иррациональные числа?
Иррациональные числа представляют собой особый тип чисел и не могут быть выражены как отношение двух целых чисел. Они являются подмножеством реальных чисел и могут быть выражены на числовой прямой. И десятичное расширение иррационального числа не заканчивается и не повторяется.
Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть выражены как p/q, где p и q — целые числа, а q не равно нулю. Они не могут быть выражены как повторяющиеся и заканчивающиеся десятичные дроби.
Как определить иррациональное число?
Мы знаем, что иррациональные числа — это действительные числа, и их нельзя выразить в виде p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Например, √ 5 и √ 3 и т. д. — иррациональные числа. С другой стороны, числа, которые могут быть представлены в виде p/q, такие, что p и q являются целыми числами и q ≠ 0, являются рациональными числами.
Символ иррациональных чисел
√2, √3, π, e — некоторые примеры иррациональных чисел.
√2 = 1,41421356237309504880…
Пи «π» = Значение π равно 3,14159265358979323846264338327950… Это действительно известное иррациональное число. Люди подсчитали его значение с точностью до квадриллиона знаков после запятой, но до сих пор не нашли никакой закономерности.
Число Эйлера «e» = Число Эйлера также очень популярно в математике. В этом случае люди также пытались вычислить его до большого количества десятичных знаков, но закономерности не нашли. значение е = 2,71828182845353602874713527 (и еще…).
Золотое сечение «ϕ» = Это иррациональное число, и его применение можно найти во многих областях, таких как компьютерные науки, дизайн, искусство и архитектура.
Являются ли иррациональные числа реальными числами?
Иррациональные числа относятся к действительным числам, т.е. все иррациональные числа действительны. Но иррациональные числа отличаются от рациональных тем, что их нельзя записать в виде дробей. Различия между рациональными и иррациональными числами можно узнать здесь. Хотя иррациональные числа могут быть представлены в виде непрерывающихся и неповторяющихся дробей. Например, √2, √3 и π — все иррациональные числа, и их нельзя записать в виде дробей. Изображение ниже объясняет взаимосвязь между иррациональными числами и действительными числами.

Как сказать, что √2 является иррациональным числом?
Ответ:

Предположим, что это рациональное число. Q не может быть дополнительно упрощено,
Это означает, что дробь P/Q несократима.
P/Q = √2
В квадрате обеих сторон:
(P /Q) ² = 2
P ² /Q ² = 2
P ² = 2 Q ²
Здесь ясен, P ^{2 2 2}
. делится на 2. Следовательно, P ² — четное число.
Так как P ² является четным, P также должно быть четным числом.
Следовательно, P можно записать как 2A, так как он делится на 2.
, положив значение p = 2a, мы получим:
(2a) ² = 2q ²
4A ² = 2Q ²
2A ² = Q ²
Здесь замечено, что Q ² также является четным числом, поскольку оно делится на 2.
Поскольку Q ² является четным, Q также должно быть четным. Следовательно, И P, и Q оказались Четными числами , а значит их можно Упрощать дальше.
Противоречие , так как оно уже было определено как дробь в простейшей форме.
Следовательно, √2 не может быть рациональным, это иррациональное число.
Подробнее о квадратном корне из 2 читайте здесь.
Свойства иррациональных чисел
Ниже обсуждаются различные свойства иррациональных чисел:
Сложение иррационального и рационального чисел
Сложение иррационального и рационального чисел всегда дает иррациональное число.
Например, известно, что √2 = 1,41421356237309504880… Теперь √2 + 1 = 2,41421356237309504880…. Это все еще нерационально.
Умножение иррационального числа на ненулевое рациональное число
Умножение любого иррационального числа на любое ненулевое рациональное число приводит к иррациональному числу.
Доказательство:
Пусть x — иррациональное число, а y — ненулевое рациональное число.
Мы хотим знать, является ли z = xy иррациональным или рациональным?
Это будет доказано от противного. Предположим, что z — рациональное число.
Если z рационально, то x = z/y, где z и y являются рациональными числами. Это делает x рациональным числом. Это противоречие, означающее, что предыдущее предположение было неверным. Таким образом, z всегда будет иррациональным числом.
Произведение двух иррациональных чисел
При умножении рационального числа не обязательно, чтобы полученное число всегда было иррациональным.
π × π = π ² иррационально.
Но √2 × √2 = 2 рационально.
Произведение двух иррациональных чисел может привести к рациональному или иррациональному числу соответственно. Сумма двух иррациональных чисел иногда бывает рациональной иногда иррациональной.
3√2 + 4√3 иррационально.
(3√2 + 6) + (- 3√2) = 6, это рационально.
Интересные факты
По-видимому, Гиппас (один из учеников Пифагора) открыл иррациональные числа, когда пытался записать квадратный корень из 2 в виде дроби (считается, что с помощью геометрии). Вместо этого он доказал, что квадратный корень из 2 нельзя записать в виде дроби, поэтому он иррационален. Но последователи Пифагора не могли принять существование иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас утонул в море в наказание от боги!
Тайна числа Пи
Возьмем круг, измерим его длину окружности и разделим ее на диаметр. Он всегда будет постоянным, если его точно измерить.
Это постоянное отношение обозначается греческим символом π (читается как пи). То есть
Длина окружности/диаметр = π
Это важная универсальная константа, она встречается во многих местах нашей вселенной и в нашей повседневной жизни. Он не был создан людьми, он был обнаружен. Мы обнаружили одно из мест, где встречалось число пи, это была геометрия.
Итак, каково число Пи?
π = 3,14159265358979323846264338327950…
Это не бесконечное число, это иррациональное число.
Примечание : Мы часто принимаем 22/7 в качестве значения числа Пи, но это приблизительное значение.
Теперь можно подумать, как иррационально число пи? Можно измерить окружность, Можно измерить диаметр, а потом взять их отношение. Так что это должно быть рационально. На самом деле, с таким случаем никто не может столкнуться, если диаметр измеряется и это разумно. Тогда окружность должна быть иррациональна и наоборот. Так что либо диаметр, либо окружность. Один из них всегда будет иррациональным. Обычно измерительные приборы недостаточно точны. Если бы существовала совершенная измерительная шкала, она бы показала, что по крайней мере одно из чисел в дроби иррационально.
Решенные примеры для иррациональных чисел
Пример 1. Найдите рациональные числа или иррациональные числа среди следующих.
2, 3, √3, √2, 1,33333…, 1.1121231234…
Решение:
Рациональные номера: 2, 3, 1.3333…. рациональные числа
иррациональные числа: √3, √2, 1,1121231234… иррациональные числа
Пример 2: Найдите сумму следующих иррациональных чисел.
а) √2, √2 б) √2, √3
Решение:
а) √2 + 2 √2 складываются как две подобные
б) √2 + √3 = √2 + √3 (их нельзя складывать как разные переменные)
Пример 3: Найдите произведение следующих рациональных чисел.
а) √2, √2 б) √2, √3
Решение:
а) √2 × 2 √920003
b) √2 × √3 = √6
Часто задаваемые вопросы об иррациональных числах
Вопрос 1: Подпадают ли эти числа под категорию иррациональных чисел: 5, 4,44, 444
Ответ:
Эти числа, упомянутые выше, не являются иррациональными числами.
5 — целое число и, следовательно, является рациональным.
3,45 — это число с завершающей десятичной дробью, поэтому оно также является рациональным.
4.444444… это число с повторяющимся десятичным расширением, оно рационально.
√9 равно 3, т.е. квадратный корень из 9 равен 3, а 3 — целое число. Следовательно, √9 рационально.
Вопрос 2: «Каждое действительное число является иррациональным числом». Правда или ложь?
Ответ :
Ложь, все числа действительные числа, а все неконечные действительные числа являются иррациональными числами. Например, 2, 3, 4 и т. д. являются некоторыми примерами действительных чисел, и они не являются иррациональными.
Вопрос 3: Определите, являются ли следующие числа рациональными или иррациональными.
√3, 74, 8,432432432…, 3,14159265358979…, √11, 55/5.
No related posts.