Квадратичные формы. приведение квадратичных форм к каноническому виду. критерий сильвестра
Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы .
Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов и задаётся следующим образом:
,
Где являются элементами матрицы квадратичной формы. Сравнивая заданную квадратичную форму с общим её видом, получим, что , , , , , , т. е. .
Ответ: .
Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице . Каждая ли из заданных матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?
А) ; б) .
Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. .
а) Матрица не может быть матрицей квадратичной формы, так как , т. е. она не является симметрической.
Б) Матрице соответствует некоторая квадратичная форма, так как она является симметрической. Очевидно, , , , , , . Следовательно, квадратичная форма примет вид
.
Ответ: .
Задание 3. Задана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием: , .
Решение. При невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы преобразуется в матрицу .
Выпишем матрицу заданной квадратичной формы: . Матрица заданного линейного преобразования , тогда . Следовательно,
,
т. е. .
Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:
.
Ответ: .
Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .
Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы: . Диагонализация матрицы квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если – матрица перехода к такому базису, то координаты вектора в разных базисах связаны между собой соотношением:
,
Где в столбцах матрицы находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.
Составим характеристическое уравнение:
,
Значит, собственные значения , , .
Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.
При : , откуда получаем однородную систему уравнений тогда .
При : , т. е. тогда .
При : , откуда получаем однородную систему уравнений
Из системы следует, что – свободная переменная. Примем , тогда
.
Векторы , , попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы
, , .
Матрица перехода от ОНБ к ОНБ примет вид:
.
Замечание. О том чтобы матрица оказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов , И .
Формулы перехода от координат к координатам :
, , .
Канонический вид заданной квадратичной формы:
.
Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений.
Ответ: .
Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы .
Решение.
Метод 1. Если все собственные значения , то квадратичная форма положительно определённая; если все – отрицательно определённая. Найдём собственные значения квадратичной формы. Для этого составим её матрицу:
И характеристическое уравнение:
Его корни , , т. е. все , а следовательно, квадратичная форма положительно определённая.
Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы положительны, т. е. , , …, , а если знаки этих миноров чередуются, т. е. , , , …, то квадратичная форма – отрицательно определённая.
Для данной квадратичной формы имеем:
, , , т. е. заданная квадратичная форма положительно определённая.
Ответ: квадратичная форма положительно определённая.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
2.35. Квадратичные формы
Квадратичной формой переменных называется однородный многочлен второй степени
(2.35.1)
Из коэффициентов при этом можно образовать матрицу которая называется матрицей квадратичной формы.
При n = 2 из (2.35.1) получаем квадратичную форму двух переменных
Из последней формулы ясно, что, не ограничивая общности, можно считать т.е.
(2.35.2)
Таким образом, матрица квадратичной формы является симметричной.
Если ввести вектор и обозначить через А самосопряженный
оператор, отвечающий матрице
в ортонормированном базисе
,
то (35.
1) можно записать короче:
(2.35.3)
Равенство (2.35.3) следует из известных соотношений:
При изменении базиса матрица квадратичной формы тоже изменяется (как матрица линейного оператора). Говорят, что квадратичная форма приведена к каноническому виду, если все при . Это означает, что для приведения квадратичной формы к каноническому виду нужно избавиться от слагаемых, содержащих произведения переменных. Так как оператор А является самосопряженным, он имеет взаимно ортогональных собственных векторов, определяющих новый ортонормированный базис , в котором матрица квадратичной формы принимает диагональный вид.
Совершая переход от старого базиса к новому , мы приведем матрицу к диагональному виду
(2.35.4)
где
собственные значения
матрицы
.
Тогда вместо (2.
35.1) в новой системе
координат мы получим более простую
формулу. Действительно, вектору
в новом базисе будет соответствовать
вектор
Поэтому в каноническом виде квадратичная форма выглядит следующим образом:
(2.35.5)
где образ вектора
в новом базисе. Коэффициенты при квадратах
переменных в (2.35.5) являются собственными
значениями матрицы
З а м е ч а н и е. На плоскости или в пространстве переход от старого базиса к новому с геометрической точки зрения осуществляется поворотом осей координат так, что новые оси будут направлены по новым базисным векторам.
Для того, чтобы проверить, сохранилась
ли ориентация системы координат при
переходе к новому базису, вычисляют
определитель ,
столбцами которого являются координаты
единичных собственных векторов матрицы
.
Если ,
то ориентация сохранилась, если ,
то ориентацию осей следует изменить.
На основании изложенного процедура приведения квадратичной формы к каноническому виду состоит в следующем:
составить матрицу квадратичной формы;
составить характеристическое уравнение матрицы ;
вычислить собственные значения матрицы А;
составить однородную систему уравнений и найти собственные векторы матрицы ;
5) образовать новый ортонормированный базис из собственных векторов;
записать канонический вид квадратичной формы.
Принята следующая классификация
квадратичных форм: если все ,
то квадратичная форма называется положительно определенной; если
все
,
то отрицательно
определенной; если все или все (но имеется хотя бы одно значение ),
то знакопостоянной;
если среди есть и положительные и отрицательные
значения, то знакопеременной.
В качестве примера приведем к каноническому виду квадратичную форму
Р е ш е н и е
матрица квадратичной формы;
характеристическое уравнение;
собственные значения матрицы ;
система для определения координат собственных векторов.
ориентация новой системы верна;
в базисе имеем
канонический вид квадратичной формы.
Отметим, что процедура приведения квадратичной формы к каноническому виду используется при исследовании и приведении к каноническому виду общего уравнения второй степени
2 + bx = 0$), отменить общую площадь легко: просто установите $x = 0$ или $x = -b$, что схлопывает одну или другую сторону прямоугольника.
(Обратите внимание, что $x$ может иметь отрицательную длину , чтобы отменить ширину выступа.)Но это смещение заставляет нас выполнять дополнительную работу.
Шаг 3: Завершите квадрат
Уловка для отмены смещения заключается в завершении квадрата. Сначала передвигаем половину свеса в верхнюю часть квадрата:
Далее берем в Банке Зеро, чтобы заполнить угол:
Эта часть волшебная. Мы можем вызвать любое количество, если пообещаем отменить его позже (0 = 1 — 1). Итак, мы берем материал, чтобы завершить квадрат, и снова вычитаем его:
Затем мы можем переместить лишние части на другую сторону:
Давайте заполним некоторые детали. Насколько большой угол? Половина свеса ($\frac{b}{2}$), в квадрате. Время для алгебры:
Тада! Это… немного менее сложная квадратичная формула. 92 + 2bx + c = 0$
Где $b$ теперь «радиус» (не полный диаметр) выступа. Заполнение квадрата и решение дает нам:
Довольно чисто!
Пример задачи
Давайте решим это уравнение:
Мой мыслительный процесс: сначала разделите все на 3.
Не нужно оставлять вещи без дела.
Далее найдем радиус свеса. Весь линейный коэффициент равен 2, поэтому радиус равен 1. Используя формулу радиуса, получаем: 92 + 6x + 24 )
Какую версию формулы следует использовать? Я бы предпочел использовать простую формулу для простого уравнения, а не сложную формулу для сложного уравнения.
Приложение: Другие мысли
Не бойтесь переписывать уравнения
Стандартная квадратичная формула хороша, но мне было трудно её запомнить. Кто сказал, что мы не можем изменить уравнения, чтобы они соответствовали нашему мышлению? Такие идеи, как «удалить $a$ из уравнения» и «использовать радиус, а не диаметр», упрощают вещи, а прозвища типа «квадрат, выступ, смещение» делают детали запоминающимися.
Практически мы часто запоминаем уравнения, которые нам дают, но это не значит, что вы не можете попробовать вариант, который имеет для вас смысл.
Почему корни отрицательные ?
Кажется странным иметь формулы, начинающиеся с отрицательного знака:
Как правило, нам нужны отрицательные длины, чтобы бороться с площадью, добавляемой выступом, и сжимать площадь до нуля.
В зависимости от значений $a$, $b$ и $c$ решения могут быть положительными, отрицательными, нулевыми или комплексными. 92 = 9(-1) = -9$) , но наши геометрические концепции могут нуждаться в некоторых обновлениях.
Переход от 2d к 1d
Еще один ага! Момент понимания того, что происходит, когда мы извлекаем квадратный корень. Мы меняем нашу интерпретацию с 2 измерений обратно на 1:
Извлечение квадратного корня похоже на просмотр наших фигур по ребру и сравнение полученных длин. У уравнений нет фиксированных размеров — только интерпретации величин — но мне нравится такой сдвиг точки зрения. Те из нас, кто лишен воображения, могут увидеть завершение квадрата как чистую манипуляцию с символами.
Счастливая математика.
Другие сообщения из этой серии
- Понимание алгебры: почему мы факторизуем уравнения?
- Быстрая интуиция для параметрических уравнений
- Интуиция для квадратичной формулы
- Форма Intuition for Slope-Intercept
- Интуиция для графических функций
- Интуиция для многочленов
Квадратная формула: уравнения и примеры
Давайте узнаем, как использовать квадратичную формулу .
Использование квадратной формулы является одним из методов, используемых при решении квадратных уравнений, особенно когда уравнение не может быть решено путем факторизации.
Квадратная формула решает любое квадратное уравнение в стандартной форме: x 2 +bx+c = 0 , где a ≠ 0. Итак, убедитесь, что уравнение, над которым вы работаете, имеет стандартную форму. .
Как показано на фото выше, квадратичная формула :
x = −b ± √ (B 2 — 4AC) / 2A
Где:
A = Коэффициент перед или количество помимо x 2
9003
c = константа Как решить уравнение с помощью квадратичной формулы:
Сначала определите значения a , b 90 и с в данном уравнении, затем подставьте их в квадратную формулу .
Наконец, выполните необходимые операции.
Но прежде чем решать уравнение, запомните:
1. Ваше уравнение должно быть представлено в стандартной квадратичной форме: ax 2 +bx+c=0.
2. 2a в знаменателе квадратной формулы находится под всем вышеперечисленным.
3. Следите за тем, чтобы не пропустить квадратный корень или знаки плюс (+) и минус (-) в середине вычислений.
Пример #1:Ищите значение x в уравнении, x 2 +9x +14 = 0
Шаг 1: б и в.
a = 1, b = 0, c = 14
Шаг 2: Запишите формулу квадрата.
x = −b ± √(b 2 − 4ac) / 2a
Шаг 3: Подставьте все значения в формулу.
x = −9 ± √(9 2 − 4(1)(14)) / 2(1)
Шаг 4: Упростите дробь .
x = -9 ± √(81− 56) / 2
x = -9± √25 / 2
Не забудьте решить, используя как сложение, так и вычитание.
x = -9+5 / 2 или x = -9-5 / 2
x = -4 / 2 или x = -14 / 2
Шаг 5: Найдите x.
x = -2 и x = – 7
Таким образом, корнями уравнения являются -2 и -7 .
Пример №2:
Найдите в уравнении значение x
a = 2, b = -1, c = -1
Шаг 2: Запишите формулу квадрата.
x = −b ± √(b 2 − 4ac) / 2a
Шаг 3: Подставьте все значения в формулу.
x = −(-1) ± √(-1
Шаг 4: Упростите дробь.
x = 1 ± √1+8 / 4
x = 1 ± √9 / 4
Не забудьте решить, используя как сложение, так и вычитание.
x = 1+3 / 4 или x = 1-3 / 4
x = 4 / 4 или x = -2 / 4
Шаг 5: Найдите x.
x = 1 и x = – 12
Следовательно, корнями уравнения являются 1 и – 12 .