Квадратные уравнения с ответами 8 класс: Тест Квадратные уравнения (8 класс) с ответами и решением онлайн по алгебре

Тест Квадратные уравнения (8 класс) с ответами и решением онлайн по алгебре

Сложность: знаток.Последний раз тест пройден 21 час назад.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

1. Вопрос 1 из 10

   Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 77% ответили правильно
   • 77% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Следующий вопросОтветить

2. Вопрос 2 из 10

   Какое число является корнем уравнения 2х² — 11х + 5 = 0?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 78% ответили правильно
   • 78% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

3. Вопрос 3 из 10

   Чему равно произведение корней уравнения 3х² + 8х — 4 = 0?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 70% ответили правильно
   • 70% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

4. Вопрос 4 из 10

   Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 70% ответили правильно
   • 70% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

5. Вопрос 5 из 10

   Чему равна сумма квадратов корней уравнения х²(х + 1)(х + 1) = 0?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 67% ответили правильно
   • 67% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

6. Вопрос 6 из 10

   При каких значениях параметра p квадратное уравнение 2х²— 7х + 2p = 0 имеет только один корень?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 52% ответили правильно
   • 52% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

7. Вопрос 7 из 10

   Какое число является корнем уравнения 4х² — 11х — 3 = 0?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 66% ответили правильно
   • 66% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

8. Вопрос 8 из 10

   Чему равна сумма корней уравнения 7х² — 19х + 4 = 0?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 60% ответили правильно
   • 60% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

9. Вопрос 9 из 10

   Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 58% ответили правильно
   • 58% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

10. Вопрос 10 из 10

    Чему равна сумма квадратов корней уравнения х²(х — 4) — (х — 4) = 0?

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы ответили лучше 53% участников
    • 47% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.



• Магибр Шок

  7/10

• Ислам Абдимиталипов

  10/10

• Анастасия Петрова

  10/10

• Эмма Жук

  10/10

• Расул Магомедов

  9/10

ТОП-5 тестовкоторые проходят вместе с этим

Всем тем, кто хочет проконтролировать свой уровень знаний по алгебре и по началам анализа, мы предлагаем специально разработанный нашими методистами тест «Квадратные уравнения» (8 класс) с ответами. Он одержит десять интересных заданий разного уровня сложности, которые необходимо выполнить, а затем найти правильный ответ среди четырех предложенных.

Тест «Решение квадратных уравнений» великолепно подходит для того, чтобы улучшить свои знания. Он будет по-настоящему полезен и восьмиклассникам, готовящимся к контрольной работе по теме, и ученикам 11 классов, готовящимся к сдаче ЕГЭ как базового, так и профильного уровня.

Выполнить тест можно также онлайн на нашем ресурсе.

Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.8. Всего получено оценок: 625.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

Способы решения квадратных уравнений. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Дискриминант квадратного уравнения Сложность: лёгкое	1
2.	Число корней квадратного уравнения Сложность: лёгкое	1
3.	Полное квадратное уравнение (a = 1; b > 0) Сложность: лёгкое	2
4.	Полное квадратное уравнение (а не равно 1) Сложность: среднее	2
5.	Квадратное уравнение, введение новой переменной Сложность: среднее	3
6.	Квадратное уравнение, равенство произведения 0 Сложность: среднее	1
7.	Задача на составление квадратного уравнения Сложность: сложное	4
8.	Сокращение алгебраической дроби, разложение на множители квадратного трёхчлена Сложность: сложное	4
9.	Сокращение алгебраической дроби, формула разности кубов Сложность: сложное	4
10.	Разложение на множители квадратного трёхчлена, отрицательные корни Сложность: сложное	2

Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения» в 25 вариантах с ответами (8 класс)

Дидактические материалы

Дидактические материалы содержат контрольную работу для 8 класса по теме «Квадратные уравнения». Работа состоит из 25 равноценных вариантов одинакового уровня сложности и предназначена для восьмиклассников, изучающих математику на базовом уровне. Контрольная работа рассчитана на один урок. К каждому варианту приводятся ответы.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-1.

1⁰. Решите уравнение:

а) 2х² + 7х – 9 = 0;

б) 3х² = 18х;

в) 100х² — 16 = 0;

г) х² — 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

3. В уравнении х² + pх – 18 = 0 один из его корней равен 9. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-2.

1⁰. Решите уравнение:

а) 3х² + 13х – 10 = 0;

б) 2х² — 3х = 0;

в) 16х² = 49;

г) х² — 2х — 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

3. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-3.

1⁰. Решите уравнение:

а) 7х² — 9х + 2 = 0;

б) 5х² = 12х;

в) 7х² — 28 = 0;

г) х² + 20х + 91 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх + 56 = 0 один из его корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-4.

1

0. Решите уравнение:

а) 9х² — 7х – 2 = 0;

б) 4х² — х = 0;

в) 5х² = 45;

г) х² + 18х — 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² — 7х + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-5.

1⁰. Решите уравнение:

а) 2х² — 11х + 12 = 0;

б) 14х² = 9х;

в) 16х² — 49 = 0;

г) х² — 36х + 323 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 46 см, а его площадь 120 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из его корней уравнения х² + pх + 36 = 0 равен 12. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-6.

1⁰. Решите уравнение:

а) х² + 2х — 8 = 0;

б) -5х² + 6х = 0;

в) 25х² = 1;

г) 3х² — 14х — 5 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 98 см, а его площадь 360 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² + 8х + q = 0 равен 5. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-7.

1⁰. Решите уравнение:

а) -3х² + 5х — 2 = 0;

б) 2х² = -6х;

в) 3х² — 12 = 0;

г) х² + х — 30 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его площадь 12 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх + 6 = 0 один из его корней равен -3. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-8.

1⁰. Решите уравнение:

а) 3х² + 8х – 3 = 0;

б) 6х² — 3х = 0;

в) 25х² = 81;

г) х² — 22х + 21 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его площадь 60 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен -3. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-9.

1⁰. Решите уравнение:

а) 3х² — 7х — 6 = 0;

б) х² = 7х;

в) 3х² – 0,27 = 0;

г) 4х² + 24х + 11 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 142 см, а его площадь 660 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх — 16 = 0 один из его корней равен -2. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-10.

1⁰. Решите уравнение:

а) 7х² + 24х + 17 = 0;

б) 7х² + 3х = 0;

в) 2х² = 32;

г) 2х² + 30х + 72 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 94 дм, а его площадь 480 дм². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² + 5х + q = 0 равен -3. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-11.

1⁰. Решите уравнение:

а) 3х² + 13х – 10 = 0;

б) y² = 4y;

в) 16х² — 1 = 0;

г) х² — 4х — 5 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 114 м, а его площадь 800 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх — 12 = 0 один из его корней равен 4. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-12.

1⁰. Решите уравнение:

а) 5х² — 2х – 3 = 0;

б) 7y² + y = 0;

в) 9х² = 1;

г) х² + х — 12 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 80 см, а его площадь 256 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² — 21х + q = 0 равен 18. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-13.

1⁰. Решите уравнение:

а) х² — 5х + 6 = 0;

б) y² = 5y;

в) 3х² — 27 = 0;

г) 3х² — 14х + 8 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 182 м, а его площадь 1830 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх + 72 = 0 один из его корней равен -8. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-14.

1⁰. Решите уравнение:

а) х² — 7х + 12 = 0;

б) 0,2y² — y = 0;

в) 3х² = 75;

г) х² + 8х + 12 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 360 м, а его площадь 7700 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² — 26х + q = 0 равен 14. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-15.

1⁰. Решите уравнение:

а) -3х² + 5х + 12 = 0;

б) х² = -4х;

в) 8y² — 32 = 0;

г) 9х² — 82х + 9 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 120 см, а его площадь 675 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх + 5 = 0 один из его корней равен 5. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-16.

1⁰. Решите уравнение:

а) х² + 19х + 60 = 0;

б) х² — 17х = 0;

в) х² = 36;

г) х² — 6х — 7 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 116 м, а его площадь 552 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен -8. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-17.

1⁰. Решите уравнение:

а) -2х² + х + 1 = 0;

б) 3х² = 12х;

в) 9 – 16y² = 0;

г) y² + 8y + 15 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 114 м, а его площадь 740 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх + 18 = 0 один из его корней равен -6. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-18.

1⁰. Решите уравнение:

а) 4х² + 7х – 2 = 0;

б) -3х² + 6х = 0;

в) 25y² = 1;

г) х² — 10х + 16 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 120 м, а его площадь 800 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² — 21х + q = 0 равен 3. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-19.

1⁰. Решите уравнение:

а) 3х² + 4х + 1 = 0;

б) х² = 5х;

в) 5y² — 45 = 0;

г) х² — 4х + 3 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 48 см, а его площадь 128 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх — 16 = 0 один из его корней равен 8. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-20.

1⁰. Решите уравнение:

а) х² + 5х + 6 = 0;

б) х² — 3х = 0;

в) 7х² = 28;

г) 5х² + 8х — 4 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 110 м, а его площадь 750 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² + 5х + q = 0 равен -2. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-21.

1⁰. Решите уравнение:

а) 5х² + 14х — 3 = 0;

б) х² = -х;

в) 4х² — 16 = 0;

г) х² — 2х — 8 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 62 м, а его площадь 210 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх — 12 = 0 один из его корней равен -3. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-22.

1⁰. Решите уравнение:

а) 5y² – 4y – 1 = 0;

б) -2х² + 3х = 0;

в) 4х² = 36;

г) z² – 6z — 40 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 158 см, а его площадь 1008 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² + 8х + q = 0 равен -3. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-23.

1⁰. Решите уравнение:

а) 3х² — х — 2 = 0;

б) 5y² = 4y;

в) х² — 16 = 0;

г) х² — 34х + 64 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 82 см, а его площадь 420 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх + 5 = 0 один из его корней равен 1. Найдите другой корень и коэффициент p.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-24.

1⁰. Решите уравнение:

а) 10х² + 5х – 0,6 = 0;

б) х² — 2х = 0;

в) 6х² = 54;

г) y² – 22y — 48 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 146 см, а его площадь 1260 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² — 7х + q = 0 равен -2. Найдите другой корень и свободный член q.

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-25.

1⁰. Решите уравнение:

а) х² — 5х + 6 = 0;

б) 2х² = -10х;

в) 2х² — 18 = 0;

г) 7х² + 8х + 1 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 94 см, а его площадь 420 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + pх + 45 = 0 один из его корней равен 9. Найдите другой корень и коэффициент p.

ОТВЕТЫ.

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-1.

1⁰. а) -4,5; 1

б) 0; 6

в) -0,4; 0,4

г) 7; 9

2. 4 см; 6 см

3. х₂ = -2; p = -7

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-2.

1⁰. а) -5;

б) 0; 1,5

в) -1,75; 1,75

г) -5; 7

2. 7 см; 8 см

3. х₂ = -4; q = 28

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-3.

1⁰. а) ; 1

б) 0; 2,4

в) -2; 2

г) -13; -7

2. 4 см; 9 см

3. х₂ = -14; p = 18

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-4.

1⁰. а) ; 1

б) 0; 0,25

в) -3; 3

г) -21; 3

2. 3 см; 8 см

3. х₂ = -6; q = -78

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-5.

1⁰. а) 1,5; 4

б) 0;

в) -1,75; 1,75

г) 17; 19

2. 8 см; 15 см

3. х₂ = 3; p = 15

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-6.

1⁰. а) -4; 2

б) 0; 1,2

в) -0,2; 0,2

г) ; 5

2. 9 см; 40 см

3. х₂ = -13; q = -65

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-7.

1⁰. а) ; 1

б) -3; 0

в) -2; 2

г) -10; 8

2. 3 см; 4 см

3. х₂ = -2; p = 5

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-8.

1⁰. а) -3;

б) 0; 0,5

в) -1,8; 1,8

г) 1; 21

2. 5 см; 12 см

3. х₂ = -8; q = 24

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-9.

1⁰. а) -5,5; -0,5

б) 0; 7

в) -0,3; 0,3

г) ; 3

2. 11 см; 60 см

3. х₂ = 8; p = -6

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-10.

1⁰. а) ; -1

б) ; 0

в) -4; 4

г) -12; -3

2. 15 дм; 32 дм

3. х₂ = -2; q = 6

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-11.

1⁰. а) -5;

б) 0; 4

в) -0,25; 0,25

г) -1; 5

2. 25 м; 32 м

3. х₂ = -3; p = -1

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-12.

1⁰. а) -4; 3

б) ; 0

в) ;

г) -0,6; 1

2. 8 см; 32 см

3. х₂ = 3; q = 54

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-13.

1⁰. а) 2; 3

б) 0; 5

в) -3; 3

г) ; 4

2. 30 м; 61 м

3. х₂ = -9; p = 17

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-14.

1⁰. а) 3; 4

б) 0; 5

в) -5; 5

г) -6; -2

2. 70 м; 110 м

3. х₂ = 12; q = 168

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-15.

1⁰. а) ; 3

б) -4; 0

в) -2; 2

г) ; 9

2. 15 см; 45 см

3. х₂ = 1; p = -6

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-16.

1⁰. а) -15; -4

б) 0; 17

в) -6; 6

г) -1; 7

2. 12 м; 46 м

3. х₂ = -3; q = 24

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-17.

1⁰. а) -0,5; 1

б) 0; 4

в) -0,75; 0,75

г) -5; -3

2. 20 м; 37 м

3. х₂ = -3; p = 9

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-18.

1⁰. а) -2;

б) 0; 2

в) -0,2; 0,2

г) 2; 8

2. 20 м; 40 м

3. х₂ = 18; q = 54

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-19.

1⁰. а) ; -1

б) 0; 5

в) -3; 3

г) 1; 3

2. 8 см; 16 см

3. х₂ = -2; p = -6

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-20.

1⁰. а) -3; -2

б) 0; 3

в) -2; 2

г) -2; 0,4

2. 25 м; 30 м

3. х₂ = -3; q = 6

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-21.

1⁰. а) -3; 0,2

б) -1; 0

в) -2; 2

г) -2; 4

2. 10 м; 21 м

3. х₂ = 4; p = -1

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-22.

1⁰. а) -0,2; 1

б) 0; 1,5

в) -3; 3

г) -4; 10

2. 16 см; 63 см

3. х₂ = -5; q = 15

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-23.

1⁰. а) ; 1

б) 0; 0,8

в) -4; 4

г) 2; 32

2. 20 см; 21 см

3. х₂ = 5; p = -6

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-24.

1⁰. а) -0,6; 0,1

б) 0; 2

в) -3; 3

г) -2; 24

2. 28 см; 45 см

3. х₂ = 9; q = -18

Ответы: А-8, К-«Квадратные уравнения», В-25.

1⁰. а) 2; 3

б) -5; 0

в) -3; 3

г) -1;

2. 12 см; 35 см

3. х₂ = 5; p = -6

Тест по алгебре «Квадратные уравнения» 8 класс

ТЕСТ 3. «Квадратные уравнения»

Часть А.

А1. Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней?

1)

2)

3)

4)

А2. Найдите сумму и произведение корней данного квадратного уравнения:

1)

2)

3)

4)

А3. Определите дискриминант квадратного уравнения:

1)

2)

3)

4)

А4. Укажите наименьший из корней квадратного уравнения:

1) 2;

2) 0;

3) -2;

4) 3.

А5. Укажите корни квадратного уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

А6. Определите корни уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Часть В.

Число, полученное в ответе каждого примера этой части занести в таблицу.

В1. Решите квадратное уравнение и запишите в ответе сумму его корней:

B2. Решите квадратное уравнение и укажите в ответе наибольший из его корней:

В3. Решите квадратное уравнение и укажите в ответе наименьший из его корней:

В4. При каких значениях параметра а, уравнение не является квадратным:

Часть С.

Подробные и обоснованные решения заданий этой части напишите аккуратно и разборчиво на листе.

С1. При каких значениях параметра t, уравнение имеет единственный корень:

C2. Решите квадратное уравнение с параметром:

1) 2) 3) 4)

1) 2) 3) 4)

1) 2) 3) 4)

1) 2; 2) 0; 3) -2; 4) -3.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0. Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим каждый случай отдельно и решим примеры неполных квадратных уравнений. А еще лучше — приходите сразу практиковаться в современную школу Skysmart.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Как решаем:

 

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.


2. По шагам решение выглядит так:

   −5x² = 0

   x² = 0

   x = √0

   x = 0

   Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

• не имеет корней при — c/а < 0;
• имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Как решать:

 

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   9x² = — 4



2. Разделим обе части на 9:

   x² = — 4/9



3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Как решаем:

 

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   -x² = -9



2. Разделим обе части на -1:

   x² = 9



3. Найти корни:

   x = √9

   x = -3

   x = 3

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Как решать:

 

1. Вынести х за скобки

   х(2x — 32) = 0



2. Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.


3. Решить линейное уравнение:

   2x = 32,

   х = 32/2



4. Разделить:

   х = 16



5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Как решать:

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Ответ: х = 0 и х = 4.

Самостоятельная работа по теме «Решение квадратных уравнений» для 8 класса

Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -1 1)5х2=125 2)2х2-3х+1=0 3)х2+4х+3=0 4)х4-10х2+9=0 5)	Вариант -2 1)х2+5х=0 2)2х2+5х+2=0 3)х2-3х-10=0 4)х4-5х2+4=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -3 1)х2-3х=0 2)2х2-7х+3=0 3)х2+4х-5=0 4)х4-13х2+36=0 5)	Вариант -4 1)9х2=1 2)4х2-11х+6=0 3)х2+6х-40=0 4)х4+3х2-4=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -5 1)25-х2=0 2)3х2+11х+6=0 3)х2-х-2=0 4)х4-4х2-5=0 5)	Вариант -6 1)х2-7х=0 2)2х2-7х-4=0 3)х2-5х-6=0 4)х4+х2-20=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -7 1)3х2-15х=0 2)3х2+2х-1=0 3)х2+3х-4=0 4)х4-9х2+20=0 5)	Вариант -8 1)2х2-72=0 2)2х2+12х+10=0 3)х2-9х+18=0 4)х4-11х2+18=0 5)

 

Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -9 1) 9х2=81 2)2х2+3х+1=0 3)х2-4х-5=0 4)х4-3х2-4=0 5)	Вариант -10 1) х2+16х=0 2)2х2+5х-3=0 3)х2+2х-15=0 4)х4-50х2+49=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -11 1) х2+11х=0 2)3х2+х-4=0 3)х2+4х-12=0 4)9х4+5х2-4=0 5)	Вариант -12 1) х2=169 2)2х2-х-1=0 3)х2-10х+16=0 4)2х4-5х2+2=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -13 1)3х2-75=0 2)6х2+х-1=0 3)х2+5х+6=0 4)5х4-16х2+3=0 5)	Вариант -14 1)х2+4х=0 2)9х2-6х+1=0 3)х2+8х+7=0 4)х4-16х2-17=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -15 1)х2-11х=0 2)16х2-8х+1=0 3)х2-7х+12=0 4)2х4-х2-3=0 5)	Вариант -16 1)х2-144=0 2)6х2-5х-1=0 3)х2-8х+15=0 4)х4+х2-6=0 5)

 

Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -17 1)5х2=125 2)2х2-3х+1=0 3)х2+4х+3=0 4)х4-10х2+9=0 5)	Вариант -18 1)х2+5х=0 2)2х2+5х+2=0 3)х2-3х-10=0 4)х4-5х2+4=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -19 1)х2-3х=0 2)2х2-7х+3=0 3)х2+4х-5=0 4)х4-13х2+36=0 5)	Вариант -20 1)9х2=1 2)4х2-11х+6=0 3)х2+6х-40=0 4)х4+3х2-4=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -21 1)25-х2=0 2)3х2+11х+6=0 3)х2-х-2=0 4)х4-4х2-5=0 5)	Вариант -22 1)х2-7х=0 2)2х2-7х-4=0 3)х2-5х-6=0 4)х4+х2-20=0 5)
Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -23 1)3х2-15х=0 2)3х2+2х-1=0 3)х2+3х-4=0 4)х4-9х2+20=0 5)	Вариант -24 1)2х2-72=0 2)2х2+12х+10=0 3)х2-9х+18=0 4)х4-11х2+18=0 5)

 

Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс	Самостоятельная работа по алгебре Тема «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант -25 1) 9х2=81 2)2х2+3х+1=0 3)х2-4х-5=0 4)х4-3х2-4=0 5)	Вариант -26 1) х2+16х=0 2)2х2+5х-3=0 3)х2+2х-15=0 4)х4-50х2+49=0 5)

 

Ответы:

В-1. (В-17) 1)х_1,2 = ±5; 2) х_{1 =} 1; х₂ = 0,5; 3) х₁ =-1; х₂ = -3; 4) х_1,2 =± 3; х_3,4 = ± 1; 

5) нет решений.

В-2. (В-18) 1)х₁ = 0; х₂=-5; 2) х_{1 =} -0,5; х₂ = -2; 3) х₁ =-2; х₂ = 5; 4) х_1,2 =± 2;

х_3,4 = ± 1;  5) х₁ = -2; х₂ = -9;

В-3. (В-19) 1)х₁ =0; х₂ = 3;2) х_{1 =} 3; х₂ = 0,5; 3) х₁ =1; х₂ = -5; 4) х_1,2 =± 3;

х_3,4 = ± 2;  5) х₁=2; х₂=-6;

В-4. (В-20) 1)х_1,2 = ±; 2) х_{1 =} 2; х₂ = 0,75; 3) х₁ =-10; х₂ = 4; 4) х_1,2 =± 1; 

5) х_1,2=±2;

В-5. (В-21) 1)х_1,2 = ±5; 2) х_{1 =} -; х₂ = -3; 3) х₁ =-1; х₂ = 2; 4) х_1,2 =± ; 

5) х₁=1; х₂=5;

В-6. (В-22) 1)х₁ = 0; х₂=7;2) х_{1 =} 4; х₂ = -0,5; 3) х₁ =-1; х₂ = 6; 4) х_1,2 =± 2;

5) нет решений.

В-7. (В-23) 1)х₁ = 0; х₂=5;2) х_{1 =} -1; х₂ =; 3) х₁ =1; х₂ = -4; 4) х_1,2 =± 2; х_3,4 = ±;  5) нет решений.

В-8. (В-24) 1)х_1,2 = ±6; 2) х_{1 =} -1; х₂ = -5; 3) х₁ =6; х₂ = 3; 4) х_1,2 =± 3; х_3,4 = ±; 

5) х₁=-5; х₂=2;

В-9. (В-25) 1)х_1,2 = ±3; 2) х_{1 =} -1; х₂ = -0,5; 3) х₁ =-1; х₂ = 5; 4) х_1,2 =± 2; 

5) х₁=4; х₂=-3;

В-10. 1)х₁ = 0; х₂=-16; 2) х_{1 =} -3; х₂ = 0,5; 3) х₁ =-5; х₂ = 3; 4) х_1,2 =± 7; х_3,4 = ± 1; 

5) х₁=9; х₂=3;

В-11. 1)х₁ = 0; х₂=-11; 2) х_{1 =} 1; х₂ =-1; 3) х₁ =-6; х₂ = 2; 4) х_1,2 =±;  

5) х₁=2; х₂=-0,6;

 

В-12. 1)х_1,2 = ±13; 2) х_{1 =} 1; х₂ = -0,5; 3) х₁ =8; х₂ = 2; 4) х_1,2 =±; х_3,4 = ±; 

5) нет решений.

В-13. 1)х_1,2 = ±5; 2) х_{1 =}; х₂ = -0,5; 3) х₁ =-2; х₂ = -3; 4) х_1,2 =± ;

х_3,4 = ±;  5) х₁=-5; х₂=4;

В-14. 1)х₁ = 0; х₂=-4; 2) х_{1 =}; 3) х₁ =-1; х₂ = -7; 4) х_1,2 =± ; 

5) х₁=1; х₂=-1,5;

В-15. 1)х₁ = 0; х₂=11;2) х_{1 =} 0,25; 3) х₁ =3; х₂ = 4; 4) х_1,2 =± ;  

5) х₁=2; х₂=-1;

В-16. 1)х_1,2 = ±12; 2) х_{1 =} 1; х₂ = -; 3) х₁ =5; х₂ = 3; 4) х_1,2 =± ; 

5) х₁=7; х₂=3;

Алгебра 8 Мерзляк Контрольная № 5 с ответами

Контрольная работа 5 по алгебре в 8 классе с ответами по теме «Квадратные уравнения. Теорема Виета» (УМК Мерзляк и др). В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ Мерзляк, Полонский, Рабинович и др. — М.: Вентана-Граф». Алгебра 8 Мерзляк Контрольная № 5. Ответы на контрольные работы адресованы учителям родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.

Контрольная работа № 5

Алгебра 8 класс (УМК Мерзляк и др.)
Квадратные уравнения. Теорема Виета

Алгебра 8 Мерзляк Контрольная № 5

Основные типы вопросов: 1. Решите уравнение. 2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна -10, а произведение — числу 8.2.

 

ОТВЕТЫ на контрольную работу

К-5. Ответы на Вариант 1.

№ 1.   1) х₁ = √3, х₂ = –√3;         2) х₁ = 0, х₂ = –1,8;
3) х₁ = 6, х₂ = –7;        4) х₁ = 9; х₂ = 1/3;        5) х ≠ 0;        6) х = 1/4.
№ 2.   х² + 10х + 8 = 0
№ 3.   Ответ: 12 см, 16 см, 20 см.
№ 4.   с = 12
№ 5.   а = 3

 

К-5. Ответы на Вариант 2.

№ 1.   1) х₁ = √5, х₂ = –√5;        2) х₁ = –5/3, х₂ = 0;
3) х₁ = –3, х₂ = 8;     4) х₁ = 1/7; х₂ = 3;        5) х ≠ 0;       6) х = –1,5.
№ 2.   х² – 6х + 4 = 0
№ 3.   Ответ: 9 см, 12 см.
№ 4.   b = –5
№ 5.   а = 8
№ 6.   x₁² + x₂² = 108

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа № 5 по алгебре в 8 классе с ответами по теме «Квадратные уравнения. Теорема Виета» (УМК Мерзляк и др). В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ Мерзляк, Полонский, Рабинович и др. — М.: Вентана-Граф». Ответы на контрольные работы адресованы учителям родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре в 8 классе по учебнику Мерзляк и др.

 

Квадратные уравнения Задачи с решениями и пояснениями для 8 класса

Решения с полными пояснениями к вопросам 8 класса по квадратичной уравнения. Некоторые из этих проблем могут быть сложными, и поэтому их стоит решить, даже если на них потребуется время. Мы учимся, решая проблемы, которые поначалу не знали, как решить.

Произведение двух положительных последовательных целых чисел равно 56. Найдите два целых числа. Решение Два последовательных целых числа имеют вид х и х + 1 Их произведение равно 56 х (х + 1) = 56 Решите и найдите два числа x и x + 1.Вышеприведенное уравнение можно записать следующим образом х 2 + х — 56 = 0 Разложить на множители и решить (х — 7) (х + 8) = 0 решений: x = 7, x = -8 x = — 8 недействительно, так как искомое число должно быть положительным. Следовательно x = 7 и x + 1 = 8 — два последовательных числа. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 145. Найдите два числа. Решение Два последовательных целых числа имеют вид х и х + 1 Сумма их квадратов равна 145 x 2 + (x + 1) 2 = 145 Разверните и сгруппируйте одинаковые члены в приведенном выше уравнении и запишите его в стандартной форме. 2 x 2 + 2x — 144 = 0 Разделите все члены в приведенном выше уравнении на 2. х 2 + х — 72 = 0 Разложите на множители и решите. (х + 9) (х — 8) = 0 Решения: x = 8 — единственное решение нашей проблемы, поскольку мы ищем положительные целые числа. Два последовательных номера — это. х = 8 и х + 1 = 9 Прямоугольный сад имеет длину x + 2, ширину x + 1 и площадь 42. Найдите периметр этого сада. Решение Площадь равна длине, умноженной на ширину.Следовательно (х + 2) (х + 1) = 42 Разверните и сгруппируйте похожие термины. х 2 + 3x + 2 = 42 Разложите на множители и решите. x 2 + 3x — 40 = 0 (х + 8) (х — 5) = 0 Решения: x = -8 и x = 5 Единственное решение, которое дает положительные длину и ширину, — x = 5. Следовательно, длина = x + 2 = 5 + 2 = 7 ширина = x + 1 = 6 Периметр равен 2 длины + 2 ширины = 14 + 12 = 26 У прямоугольного треугольника одна ножка на 3 см длиннее другой.Его гипотенуза на 3 см длиннее, чем его более длинная ножка. Какова длина гипотенузы? Решение Пусть y будет длиной более короткой ноги. Следовательно y + 3 — длина более длинной ноги. Гипотенуза на 3 см длиннее более длинной ножки. Следовательно, длина гипотенузы равна (у + 3) + 3 = у + 6 Теперь воспользуемся теоремой Пифагора. y 2 + (y + 3) 2 = (y + 6) 2 Разверните и сгруппируйте. y 2 + y 2 + 6y + 9 = y 2 + 12y + 36 л 2 — 6лет — 27 = 0 Разложите на множители и решите относительно y. (у — 9) (у + 3) = 0 Решение y = 9 — единственное приемлемое решение, поскольку размеры траншеи должны быть положительными. Длина гипотенузы y + 6 = 9 + 6 = 15 см Высота h над землей объекта, движущегося вертикально, определяется как h = -16 t 2 + 64 t + 32, где h в футах, а t в секундах. В какое время t объект будет на высоте 80 футов над землей? Решение Объект находится на высоте 80 футов над землей при h = 80.Следовательно -16 т 2 + 64 т + 32 = 80 Переписать уравнение в стандартной форме -16 т 2 + 64 т + 32-80 = 0 -16 т 2 + 64 т — 48 = 0 Разложить на множители и решить -16 (т 2 -4 т + 3) = 0 -16 (т — 1) (т — 3) = 0 Два решения t = 1 секунда и t = 3 секунды Объект перемещается вертикально на 80 футов при t = 1 секунде, поднимается, затем опускается и снова оказывается на высоте 80 футов над землей, после чего падает. Площадь прямоугольника равна 96 квадратным метрам.Найдите длину и ширину прямоугольника, если его периметр равен 40 метрам. Решение Пусть L — длина, а W — ширина прямоугольника. Площадь 96; следовательно Д Ш = 96 Периметр 40; следовательно 2 (L + W) = 40, или, L + W = 20, или, L = 20 — W Заменить L на 20 — W в уравнении L W = 96 (20 — Ш) Ш = 96 Развернуть и сгруппировать похожие термины 20 Вт — Вт 2 = 96 20 Вт — Вт 2 — 96 = 0 Вт 2 -20 Вт + 96 = 0 Разложить на множители и решить (Вт — 8) (Вт — 12) = 0 Решения: W = 8, W = 12 Найдите L для каждого W Вт = 8, L = 20 — W = 20-8 = 12 W = 12, L = 20 — W = 20 — 12 = 8 Предполагая, что длина больше ширины, два измерения W = 8 и L = 12 Высота треугольника на 3 фута больше его соответствующего основания.Площадь треугольника равна 54 квадратным футам. Найдите основание и высоту треугольника. Решение Пусть b — основание, а b + 3 — соответствующая высота. Площадь треугольника 54 = (1/2) высота основания = (1/2) b (b + 3) Следовательно, уравнение 54 = (1/2) Ь (Ь + 3) Это квадратное уравнение, которое можно записать как б 2 + 3 б — 108 = 0 Решите указанное выше уравнение, чтобы найти решения. b = 9 и b = — 12 База должна быть положительной, поэтому она равна 9 Высота на 3 фута длиннее основания, следовательно, высота = 9 + 3 = 12 Произведение первого и третьего из трех последовательных положительных целых чисел равно 1, вычтенному из квадрата второго из этих целых чисел.Найдите три целых числа. Решение Пусть x, x + 1 и x + 2 — 3 последовательных числа. Произведение первого и третьего есть х (х + 2) 1, вычитаемое из квадрата секунды, записывается как (х + 1) 2 — 1 Упростите оба выражения x (x + 2) = x 2 + 2 x и (x + 1) 2 — 1 = x 2 + 2x + 1 — 1 = x 2 + 2x Два выражения равны для любого действительного значения x. Следовательно, эта проблема имеет бесконечное количество решений, и любой набор из 3 последовательных чисел является решением данной проблемы. Произведение двух положительных чисел равно 2, а их разность равна 7/2. Найдите два числа. Решение Пусть x будет наименьшим из двух чисел. Наибольшее число можно записать как х + 7/2 Произведение x и x + 7/2 равно 2 х (х + 7/2) = 2 Вышеприведенное уравнение можно записать как х 2 + (7/2) х — 2 = 0 У приведенного выше уравнения есть два решения. х = 1/2 и х = -4 Мы ищем положительные решения, поэтому два числа х = 1/2 и х + 7/2 = 1/2 + 7/2 = 4 Сумма квадратов трех последовательных целых чисел равна 77.Какие три целых числа? Решение Пусть x, x + 1 и x + 2 — 3 последовательных целых числа. Сумма их квадратов равна 77, следовательно, x 2 + (x + 1) 2 + (x + 2) 2 = 77 Раскройте левую часть и упростите, чтобы переписать уравнение как 3 х 2 + 6 х — 72 = 0 Решите, чтобы получить два решения х = 4 и х = — 6 для x = 4, целые числа 4, 5 и 6 для x = — 6, целые числа равны -6, — 5 и — 4

Дополнительные ссылки и ссылки

Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и проблемы с ответами

Подробнее

математика в средней школе (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами

Подробнее

математика в средней школе (оценки 10, 11 и 12) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами

Подробнее

Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и проблемы с ответами
Домашняя страница
пожаловаться на это объявление

Квадратное уравнение — Формула, примеры

Квадратные уравнения представляют собой алгебраические выражения второй степени и имеют вид ax ² + bx + c = 0.Слово « Quadratic » происходит от слова « Quad », что означает квадрат. Другими словами, квадратное уравнение — это «уравнение степени 2 ». Есть много сценариев, в которых используется квадратное уравнение. Знаете ли вы, что при запуске ракеты ее путь описывается квадратным уравнением? Кроме того, квадратное уравнение находит множество приложений в физике, технике и астрономии.

Квадратные уравнения — это уравнения второй степени относительно x, которые имеют два ответа на x.Эти два ответа для x также называются корнями квадратных уравнений и обозначаются как (α, β). Мы узнаем больше о корнях квадратного уравнения в нижеследующем содержании.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое выражение второй степени по x. Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0, где a, b — коэффициенты, x — переменная, а c — постоянный член.Первым условием того, что уравнение является квадратным уравнением, является коэффициент при x ² является ненулевым членом (a 0). Для записи квадратного уравнения в стандартной форме сначала записывается член x ² , затем член x и, наконец, постоянный член. Числовые значения a, b, c обычно не записываются как дроби или десятичные дроби, а записываются как целые значения.

Далее в реальных математических задачах квадратные уравнения представлены в различных формах: (x — 1) (x + 2) = 0, -x ² = -3x + 1, 5x (x + 3) = 12x, x ³ = х (х ² + х — 3).Все эти уравнения необходимо преобразовать в стандартную форму квадратного уравнения перед выполнением дальнейших операций.

Что такое квадратная формула?

Квадратичная формула — это самый простой способ найти корни квадратного уравнения. Существуют определенные квадратные уравнения, которые нелегко разложить на множители, и здесь мы можем удобно использовать эту квадратную формулу, чтобы найти корни как можно быстрее. Корни квадратного уравнения также помогают найти сумму корней и произведение корней квадратного уравнения.Два корня в формуле корней квадратного уравнения представлены как одно выражение. В качестве альтернативы можно использовать положительный знак и отрицательный знак для получения двух различных корней уравнения.

Квадратичная формула = [-b ± √ (b² — 4ac)] / 2a

Важные формулы квадратного уравнения

Следующий список важных формул полезен при решении квадратных уравнений.

• Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0
• Дискриминант квадратного уравнения D = b ² — 4ac
• При D> 0 корни действительны и различны.2 \).
• Для положительных значений a (a> 0) квадратичное выражение f (x) = ax ² + bx + c имеет минимальное значение при x = -b / 2a.
• Для отрицательного значения a (a <0) квадратичное выражение f (x) = ax ² + bx + c имеет максимальное значение при x = -b / 2a.
• Для a> 0 диапазон квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен [b2 — 4ac / 4a, ∞)
• Для a <0 диапазон квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен: (∞, — (b2 — 4ac) / 4a]

Доказательство квадратичной формулы

Рассмотрим произвольное квадратное уравнение: ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0

Чтобы определить корни этого уравнения, действуем следующим образом:

ax ² + bx = -c ⇒ x ² + bx / a = -c / a

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b / 2a) ² с обеих сторон:

x ² + bx / a + (b / 2a) ² = -c / a + (b / 2a) ²

Левая часть теперь представляет собой идеальный квадрат:

(x + b / 2a) ² = -c / a + b ² / 4a ² ⇒ (x + b / 2a) ² = (b ² — 4ac) / 4a ²

Это хорошо для нас, потому что теперь мы можем извлекать квадратные корни, чтобы получить:

x + b / 2a = + √ (b ² — 4ac) / 2a

x = (-b + √ (b ² — 4ac)) / 2a

Таким образом, завершив квадраты, мы смогли выделить x и получить два корня уравнения.

Корни квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения — это два значения x, которые получаются путем решения квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения обозначаются символами alpha (α) и beta (β). Эти корни квадратного уравнения также называются нулями уравнения. Здесь мы узнаем больше о том, как определить природу корней квадратного уравнения без фактического нахождения корней уравнения.А также проверьте формулы, чтобы найти сумму и произведение корней уравнения.

Природа корней квадратного уравнения

Природу корней квадратного уравнения можно узнать, фактически не находя корни (α, β) уравнения. Это возможно, если взять значение дискриминанта, которое является частью формулы для решения квадратного уравнения. Значение b ² — 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой «D».На основе значения дискриминанта можно предсказать природу корней квадратного уравнения.

Дискриминант: D = b

² — 4ac

• D> 0, корни действительные и различные
• D = 0, корни действительные и равные.
• D <0, корни не существуют или корни мнимые.

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения

Коэффициент при x ² , член x и постоянный член квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 полезны для более подробного изучения свойств корней квадратного уравнения.Сумму и произведение корней квадратного уравнения можно вычислить непосредственно из уравнения, фактически не находя корни квадратного уравнения. Сумма корней квадратного уравнения равна отрицательному значению коэффициента при x, деленного на коэффициент при x ² . Произведение корня уравнения равно постоянному члену, деленному на коэффициент при x ² . Для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 сумма и произведение корней выглядят следующим образом.

• Сумма корней: α + β = -b / a = — Коэффициент x / Коэффициент x ²
• Произведение корней: αβ = c / a = Постоянный член / Коэффициент x ²

Квадратное уравнение также может быть составлено для заданных корней уравнения. Если α, β, являются корнями квадратного уравнения, то квадратное уравнение выглядит следующим образом.

x ² — (α + β) x + αβ = 0

Методы решения квадратного уравнения

Квадратное уравнение можно решить, чтобы получить два значения x или два корня уравнения.Существует четыре различных метода нахождения корней квадратного уравнения. Четыре метода решения квадратных уравнений заключаются в следующем.

• Факторизация квадратного уравнения
• Формула метода поиска корней
• Способ заполнения квадрата
• Графический метод поиска корней

Давайте подробно рассмотрим каждый из вышеперечисленных методов, чтобы понять, как использовать эти методы, их приложения и способы их использования.

Факторизация квадратного уравнения

Факторизация квадратного уравнения выполняется в несколько этапов. Для общей формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 нам нужно сначала разделить средний член на два члена так, чтобы произведение членов было равно постоянному члену. Далее, мы можем взять общие термины из доступного термина, чтобы окончательно получить требуемые коэффициенты. Для понимания факторизации общий вид квадратного уравнения можно представить следующим образом.

• x ² + (a + b) x + ab = 0
• x ² + ax + bx + ab = 0
• х (х + а) + Ь (х + а)
• (х + а) (х + b) = 0

Давайте разберемся с факторизацией на примере ниже.

• x ² + 5x + 6 = 0
• x ² + 2x + 3x + 6 = 0
• х (х + 2) + 3 (х + 2) = 0
• (х + 2) (х + 3) = 0

Таким образом, два полученных фактора квадратного уравнения — это (x + 2) и (x + 3).

Квадратичная формула для поиска корней

Квадратные уравнения, которые нельзя решить методом факторизации, можно решить с помощью формулы. В формуле решения квадратного уравнения используются члены стандартной формы квадратного уравнения. С помощью приведенной ниже формулы мы можем получить два корня x, сначала используя положительный знак в формуле, а затем используя отрицательный знак. С помощью этой формулы можно решить любое квадратное уравнение.

Помимо вышеупомянутых двух методов решения квадратных уравнений, существует еще один важный метод решения квадратного уравнения.Метод завершения квадрата квадратного уравнения также полезен для поиска корней уравнения. Этот метод включает в себя многочисленные алгебраические вычисления и поэтому был объяснен как отдельная тема.

Способ заполнения квадрата

Метод завершения квадрата квадратного уравнения заключается в алгебраическом возведении в квадрат и упрощении, чтобы получить требуемые корни уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0. Чтобы определить корни этого уравнения, мы упростим его следующим образом:

• топор ² + bx + c = 0
• топор ² + bx = -c
• x ² + bx / a = -c / a

Теперь представим левую часть в виде идеального квадрата, введя новый член (b / 2a) ² с обеих сторон:

• x ² + bx / a + (b / 2a) ² = -c / a + (b / 2a) ²
• (x + b / 2a) ² = -c / a + b ² / 4a ²
• (x + b / 2a) ² = (b ² — 4ac) / 4a ²
• x + b / 2a = + √ (b ² — 4ac) / 2a

Теперь, используя этот метод завершения квадрата, мы можем консолидировать значения корней уравнения.После упрощения и извлечения квадратного корня два возможных корня квадратного уравнения равны x = (-b + √ (b ² — 4ac)) / 2a. Здесь знак «+» дает один корень, а знак «-» — другой корень квадратного уравнения. Как правило, этого подробного метода избегают, и для получения требуемых корней используется только формула.

Построение квадратного уравнения

График квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 может быть получен путем представления квадратного уравнения в виде функции y = ax ² + bx + c.Далее, решая и подставляя значения для x, мы можем получить значения y, мы можем получить множество точек. Эти точки могут быть представлены на оси координат, чтобы получить график в форме параболы для квадратного уравнения.

Точка, где график пересекает горизонтальную ось x, является решением квадратного уравнения. Эти точки также можно получить алгебраически, приравняв значение y к 0 в функции y = ax ² + bx + c и решив относительно x. 2 + b_2x + c_2 = 0 \).2 \)

Максимальное и минимальное значение квадратичного выражения

Максимальное и минимальное значение для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 можно увидеть на графиках ниже. Для положительных значений a (a> 0) квадратичное выражение имеет минимальное значение при x = -b / 2a, а для отрицательного значения a (a <0) квадратичное выражение имеет максимальное значение при x = -b / 2а.

Максимальное и минимальное значения квадратичных выражений дополнительно помогают найти диапазон квадратичного выражения: диапазон квадратичных выражений также зависит от значения a.Для положительных значений a (a> 0) диапазон равен [b ² — 4ac / 4a, ∞), а для отрицательных значений a (a <0) диапазон равен (∞, - (b ² — 4ац) / 4а).

• Для a> 0, диапазон: [b ² — 4ac / 4a, ∞)
• Для a <0 диапазон: (∞, - (b ² — 4ac) / 4a]

Решение квадратного уравнения — Советы и хитрости

Некоторые из приведенных ниже советов и приемов по квадратным уравнениям помогают упростить решение квадратных уравнений.

1. Квадратные уравнения обычно решаются путем факторизации. Но в тех случаях, когда она не может быть решена путем факторизации, используется формула.
2. Корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения.
3. Для квадратных уравнений, имеющих отрицательные значения дискриминанта, корни представляются с помощью комплексных чисел.
4. Сумма и произведение корней квадратного уравнения можно использовать для нахождения высших алгебраических выражений, включающих эти корни.

Связанные темы

Часто задаваемые вопросы по квадратным уравнениям

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение в математике — это уравнение второй степени вида ax² + bx + c = 0. Здесь a, b — коэффициенты, c — постоянный член, а x — переменная. Поскольку переменная x имеет вторую степень, у этого квадратного уравнения есть два корня или ответ. Корни квадратного уравнения могут быть найдены либо путем факторизации, либо с помощью формулы.

Что такое квадратичная формула?

Квадратичная формула для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0: x = [-b ± √ (b² — 4ac)] / 2a. Здесь мы получаем два значения x, применяя в этой формуле символы плюс и минус. Следовательно, два возможных значения x: [-b + √ (b² — 4ac)] / 2a и [-b — √ (b² — 4ac)] / 2a.

Как применить квадратичную формулу?

Значения a, b и c применяются к квадратной формуле x = [-b ± √ (b² — 4ac)] / 2a, чтобы получить два корня квадратного уравнения.

Что является определяющим в квадратной формуле?

Величина b² — 4ac называется определителем и обозначается как D. Определитель является частью формулы корней квадратного уравнения. Определители помогают нам определить природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней квадратного уравнения.

Каковы некоторые реальные применения квадратных уравнений

Квадратные уравнения используются для нахождения нулей параболы и ее оси симметрии.Есть много реальных приложений квадратных уравнений. Например, его можно использовать в задачах на время бега, чтобы оценить скорость, расстояние или время во время путешествия на машине, поезде или самолете. Квадратные уравнения описывают взаимосвязь между количеством и ценой товара. Точно так же расчеты спроса и затрат также считаются задачами квадратных уравнений. Также можно отметить, что спутниковая тарелка или телескоп-рефлектор имеет форму, которая определяется квадратным уравнением.

Чем квадратные уравнения отличаются от линейных?

Линейная степень — это уравнение с одной степенью и одной переменной, а квадратное уравнение — это уравнение с двумя степенями и одной переменной. Линейное уравнение имеет вид ax + b = 0, а квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0. Линейное уравнение имеет один корень, а квадратное уравнение имеет два корня или два ответа. Кроме того, квадратное уравнение является продуктом двух линейных уравнений.

Как упростить квадратное уравнение?

Первым шагом в процессе упрощения квадратного уравнения является преобразование его в стандартную форму ax² + bx + c = 0.Кроме того, его можно упростить, найдя факторы в процессе факторизации. Также для уравнения, которое трудно разложить на множители, оно решается с помощью формулы. Кроме того, есть несколько других способов упростить квадратное уравнение.

Каковы четыре способа решения квадратного уравнения?

Четыре способа решения квадратного уравнения заключаются в следующем.

• Метод факторизации
• Метод формул
• Метод заполнения квадратов
• Метод построения графика

Как решить квадратное уравнение факторингом?

Квадратное уравнение может быть решено путем факторизации с помощью последовательности из трех шагов.Сначала разделите средний член таким образом, чтобы произведение разделенных членов было равно произведению первого и последнего членов. Предположим, что квадратное уравнение имеет вид x² + (a + b) x + ab = 0, и его можно разделить как x² + ax + bx + ab = 0. В качестве второго шага возьмите общий член из первые два и последние два срока. x (x + a) + b (x + a) = 0, (x + a) (x + b) = 0. Наконец, приравняйте каждый из множителей к нулю и получите значения x. x + a = 0 и x + b = 0, и, следовательно, мы можем получить x = -a и x = -b

Как решить квадратное уравнение, заполнив квадрат?

Квадратное уравнение, решаемое методом завершения квадрата по формуле (a + b) ² = a²

Как найти значение дискриминанта?

Значение дискриминанта в квадратном уравнении может быть найдено из переменных и постоянных членов стандартной формы квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.Значение дискриминанта составляет D = b² — 4ac, и он помогает предсказать природу корней квадратного уравнения без фактического нахождения корней уравнения.

Как решить квадратные уравнения с помощью графиков?

Квадратное уравнение может быть решено аналогично линейному уравнению с помощью построения графиков. Возьмем квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 как y = ax² + bx + c. Здесь мы берем набор значений x и y и строим график. Эти две точки, где этот график пересекает ось x, являются возможными решениями этого квадратного уравнения.

Как узнать природу корней квадратного уравнения?

Дискриминант помогает предсказать природу корней квадратного уравнения. Определитель квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равен b² — 4ac. Дискриминант обозначается как D = b² — 4ac. Если D> 0, корни действительны и различны, при D = 0 корни равны, а при D <0 корни являются мнимыми комплексными числами.

Насколько важен дискриминант в определении природы корней квадратного уравнения?

Дискриминант очень нужен, чтобы легко определить природу корней квадратного уравнения.Без дискриминанта определение природы корней уравнения — долгий процесс, поскольку нам сначала нужно решить уравнение, чтобы найти оба корня. Следовательно, дискриминант является важной и необходимой величиной, которая помогает легко определить природу корней квадратного уравнения.

Когда квадратные уравнения имеют равные корни?

Данное квадратное уравнение имеет равные корни, если дискриминант равен нулю. Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 дискриминант равен D = b² — 4ac = 0.Здесь оба корня равны и каждый имеет значение x = -b / 2a.

Какова стандартная форма квадратного уравнения?

Стандартная форма квадратного уравнения — ax² + bx + c = 0. Здесь сначала записывается член x², затем член x, и, наконец, записывается член константы. Кроме того, a, b — коэффициенты, c — постоянный член, и все они имеют целые значения. Кроме того, первый член в этом квадратном уравнении всегда имеет положительный знак.

Какое использование детерминант в квадратной формуле?

Определитель (D = b² — 4ac) полезен для предсказания природы корней квадратного уравнения.Для D> 0 корни действительные и различные, для D = 0 корни действительные и равные, а для D <0 корни не существуют или корни являются мнимыми комплексными числами. С помощью этого определителя и с наименьшими вычислениями мы можем выяснить природу корней квадратного уравнения.

Сколько корней имеет квадратное уравнение?

Это уравнение второй степени относительно x, отсюда получается два корня. Мы можем получить эти корни квадратного уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения.Один корень можно получить, используя положительный знак, и мы можем получить другой корень, применив отрицательный знак в формуле.

Как решить квадратное уравнение, не используя квадратичную формулу?

Есть два метода, альтернативных квадратичной формуле. Один метод заключается в решении квадратного уравнения посредством факторизации, а другой метод — путем заполнения квадратов. Всего существует три метода нахождения корней квадратного уравнения.

Как квадратная формула используется для решения квадратного уравнения?

Формула алгебры (a + b) ² = a² + 2ab + b² используется для решения квадратного уравнения и вывода квадратной формулы.Эта алгебраическая формула используется для управления квадратным уравнением и вывода квадратной формулы для нахождения корней уравнения.

Возраст и числа — средний уровень алгебры

Квадратичные текстовые задачи — это третий тип текстовых задач, описанных в MATQ 1099, при этом первый представляет собой линейные уравнения одной переменной, а второй — линейные уравнения двух или более переменных. Квадратные уравнения можно использовать в тех же типах задач со словами, с которыми вы сталкивались раньше, за исключением того, что, работая с данными, вы в конечном итоге построите квадратное уравнение.Чтобы найти решение, вам потребуется либо разложить квадратное уравнение на множители, либо использовать замену.

Сумма двух чисел равна 18, а произведение этих двух чисел равно 56. Какие числа?

Во-первых, мы знаем две вещи:

Замена во втором уравнении дает:

Умножение этого дает:

который переставляет на:

Во-вторых, множите этот квадратичный коэффициент, чтобы получить наше решение:

Следовательно:

Разница квадратов двух последовательных четных чисел равна 68.Что это за числа?

Переменные, используемые для двух последовательных целых чисел (нечетных или четных): и. Уравнение, которое следует использовать для этой задачи: Упрощение дает:

Это означает, что два целых числа — 16 и 18.

Произведение возраста Салли и Джоуи сейчас на 175 больше, чем произведение их возраста 5 лет назад. Если Салли на 20 лет старше Джоуи, каков их возраст сейчас?

Уравнения:

Замена на S дает:

Это означает, что Джои 10 лет, а Салли 30 лет.

Для вопросов с 1 по 12 запишите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

1. Сумма двух чисел равна 22, а произведение этих двух чисел равно 120. Какие числа?
2. Разница двух чисел равна 4, а произведение этих двух чисел равно 140. Какие числа?
3. Разница двух чисел равна 8, а сумма квадратов этих двух чисел равна 320. Какие числа?
4. Сумма квадратов двух последовательных четных целых чисел равна 244.Что это за числа?
5. Разница квадратов двух последовательных четных чисел равна 60. Что это за числа?
6. Сумма квадратов двух последовательных четных целых чисел равна 452. Что это за числа?
7. Найдите три последовательных четных целых числа так, чтобы произведение первых двух было на 38 больше, чем третье целое число.
8. Найдите три последовательных нечетных целых числа так, чтобы произведение первых двух было на 52 больше, чем третье целое число.
9. Произведение возраста Алана и Терри на 80 больше, чем произведение их возраста 4 года назад.Если Алан на 4 года старше Терри, каков их возраст сейчас?
10. Произведение возрастов Кэлли и Кэти на 130 меньше, чем произведение их возрастов за 5 лет. Если Кэлли на 3 года старше Кэти, каков их возраст сейчас?
11. Произведение возраста Джеймса и Сьюзен за 5 лет на 230 больше, чем произведение их возраста сегодня. Сколько им лет, если Джеймс на год старше Сьюзен?
12. Произведение возраста (в днях) двух новорожденных детей Симрана и Джесси за два дня будет на 48 больше, чем произведение их возраста сегодня.Сколько лет младенцам, если Джесси на 2 дня старше Симрана?

Вопросы

Для вопросов с 13 по 20 запишите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

13. Поезд прошел 240 км с определенной скоростью. При замене двигателя на улучшенную модель скорость была увеличена на 20 км / час, а время поездки уменьшилось на 1 час. Какая была скорость каждого двигателя?
14. Мистер Джонс регулярно навещает свою бабушку, которая живет в 100 км от дома.Недавно открылась новая автострада, и, хотя ее протяженность составляет 120 км, он может двигаться в среднем на 20 км / ч быстрее и на поездку уходит на 30 минут меньше времени. Какая у мистера Джонса скорость на старом маршруте и на автостраде?
15. Если бы велосипедист ехал на 5 км / ч быстрее, ему бы потребовалось на 1,5 часа меньше времени, чтобы проехать 150 км. Найдите скорость велосипедиста.
16. Если проехать на 15 км в час быстрее, транзитному автобусу потребуется на 1 час меньше, чтобы проехать 180 км. Какая была средняя скорость этого автобуса?
17. Велосипедист едет в хижину в 72 км вверх по долине, а затем возвращается через 9 часов.Его скорость возврата на 12 км / ч выше, чем его скорость при движении. Найдите его скорость как при движении, так и при возвращении.
18. Велосипедист проехал 120 км и вернулся через 7 ч. Вернувшись, скорость увеличилась на 10 км / ч. Найдите скорость этого велосипедиста, путешествующего в каждую сторону.
19. Расстояние между двумя автобусными станциями — 240 км. Если скорость автобуса увеличится на 36 км / ч, поездка займет на 1,5 часа меньше. Какая обычная скорость движения автобуса?
20. Пилот пролетел с постоянной скоростью 600 км.Вернувшись на следующий день, пилот полетел против встречного ветра со скоростью 50 км / ч, чтобы вернуться в исходную точку. Если самолет находился в воздухе в общей сложности 7 часов, какова была средняя скорость этого самолета?

Найдите длину и ширину прямоугольника, длина которого на 5 см больше его ширины, а площадь равна 50 см. ² .

Во-первых, площадь этого прямоугольника задается как, что означает, что для этого прямоугольника,, или.

Умножение этого дает:

который переставляет на:

Во-вторых, мы множим этот квадратичный коэффициент, чтобы получить наше решение:

Отклоняем решение.

Это значит, что.

Если длина каждой стороны квадрата увеличивается на 6, площадь умножается на 16. Найдите длину одной стороны исходного квадрата.

Необходимо учитывать две области: площадь меньшего квадрата, который равен, и площадь большего квадрата, который равен.

Связь между этими двумя:

Упростив это, получаем:

Поскольку это проблема, требующая факторизации, проще всего использовать квадратное уравнение:

Подставляя эти значения в урожайность или (отклонить).

Ник и Хлоя хотят окружить свою свадебную фотографию размером 60 на 80 см циновками одинаковой ширины. Полученное фото и матирование должны быть покрыты листом дорогого архивного стекла толщиной 1 м ² . Найдите ширину циновки.

Во-первых, площадь этого прямоугольника равна, что означает, что для этого прямоугольника:

Или, в см:

Умножение этого дает:

который переставляет на:

Что сокращается до:

Во-вторых, мы множим этот квадратичный коэффициент, чтобы получить наше решение.

Проще всего использовать квадратное уравнение для поиска наших решений.

Подставляем значения в урожайность:

Вопросы

Для вопросов с 21 по 28 запишите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

21. Найдите длину и ширину прямоугольника, длина которого на 4 см больше его ширины, а площадь составляет 60 см ² .
22. Найдите длину и ширину прямоугольника, ширина которого на 10 см меньше его длины, а площадь составляет 200 см. ² .
23. Большой прямоугольный сад в парке шириной 120 м и длиной 150 м. Вызывается подрядчик, чтобы добавить кирпичную дорожку вокруг этого сада. Если площадь пешеходной дорожки составляет 2800 м ² , насколько широкая дорожка?
24. Бассейн в парке шириной 10 м и длиной 25 м. Куплено покрытие для бассейна, чтобы покрыть бассейн, перекрывая все 4 стороны на одинаковую ширину. Если крытая площадь за пределами бассейна составляет 74 м ² , какова ширина перекрытия?
25. В ландшафтном плане прямоугольная клумба должна быть на 4 м длиннее своей ширины.Если для растений в грядке необходимо 60 м ² , то какими должны быть размеры прямоугольной грядки?
26. Если сторона квадрата увеличивается на 5 единиц, площадь увеличивается на 4 единицы. Найдите длину сторон исходного квадрата.
27. Участок прямоугольной формы на 20 м длиннее ширины, а его площадь составляет 2400 м ² . Найдите размеры участка.
28. Длина комнаты на 8 м больше ее ширины. Если и длина, и ширина увеличиваются на 2 м, площадь увеличивается на 60 м ² .Найдите размеры комнаты.

Ключ ответа 10.7

КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 1 класс 8 Алгебра1 Решение квадратных уравнений с помощью факторинга.

Презентация на тему: «КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 1 класс 8 Алгебра1 Решение квадратных уравнений с помощью факторинга» — стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 1 класс 8 Алгебра1 Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

2 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 2 Разминка Решите каждое уравнение, построив график соответствующей функции.1) x 2 — 49 = 0 2) x 2 = x + 12 3) — x 2 + 8x = 15

3 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 3 Вы решили квадратные уравнения, построив график. Другой метод, используемый для решения квадратных уравнений, — это факторизация и использование свойства нулевого произведения. Свойство нулевого произведения. Обратите внимание, что при записи квадратной функции в виде связанного с ней квадратного уравнения вы заменяете y на 0. Итак, y = 0. y = ax 2 + bx + c 0 = ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c = 0

4 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 4 Один из способов решить квадратное уравнение в стандартной форме — построить график соответствующей функции и найти значения x, где y = 0.Другими словами, найдите нули связанной функции. Напомним, что квадратичная функция может иметь два, один или не иметь нулей. Использование свойства нулевого произведения. WORDSNUMBERSALGEBRA Если произведение двух величин равно нулю, по крайней мере одно из количеств равно нулю. 3 (0) = 0 0 (4) = 0 Если ab = 0, то a = 0 или b = 0.

5 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 5 Решение квадратных уравнений с помощью построения графиков Используйте свойство нулевого произведения для решения каждого уравнения.Проверьте свой ответ. A) (x — 3) (x + 7) = 0 x — 3 = 0 или x + 7 = 0 x = 3 или x = -7 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Проверить (x — 3) (x + 7) = 0 (3 — 3) (3 + 7) 0 (0) (10) 0 0 (-7 — 3) (x + 7) = 0 (-7 — 3 ) (- 7 + 7) 0 (10) (0) 0 0 Подставляем каждое решение для x в исходное уравнение. Решения 3 и -7.

6 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 6 B) (x) (x — 5) = 0 x = 0 или x — 5 = 0 x = 5 Используйте свойство нулевого произведения.Решите каждое уравнение. Проверить (x) (x — 5) = 0 (0) (0 — 5) 0 (0) (- 5) 0 0 Подставить каждое решение для x в исходное уравнение. Решениями являются 0 и 5. (x) (x — 5) = 0 (5) (5-5) 0 (5) (0) 0 0

7 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 7 Теперь попробуйте! Используйте свойство нулевого произведения для решения каждого уравнения. Проверьте свой ответ. 1а. (х) (х + 4) = 0 1b. (х + 4) (х — 3) = 0

8 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 8 Если квадратное уравнение записано в стандартной форме, a x 2 + bx + c = 0, то для решения уравнения вам может потребоваться разложить множители перед использованием свойства нулевого произведения.

9 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 9 Решение квадратных уравнений путем разложения на множители Решите каждое квадратное уравнение с помощью разложения на множители. A) x 2 + 7x + 10 = 0 (x + 5) (x + 2) = 0 x + 5 = 0 или x + 2 = 0 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Проверьте x 2 + 7x + 10 = 0 (-5) 2 + 7 (-5) + 10 0 25 — 35 + 10 0 0 Подставьте каждое решение вместо x в исходное уравнение. Решения -5 и -2. x = -5 или x = -2 Разложите трехчлен на множители.х 2 + 7x + 10 = 0 (-2) 2 + 7 (-2) + 10 0 4 — 14 + 10 0 0

10 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 10 B) x 2 + 2x = 8-8 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Решения: -4 и 2. x = -4 или x = 2 Разложите на множители трехчлен. x 2 + 2x = 8 x 2 + 2x — 8 = 0 Уравнение должно быть записано в стандартной форме. Итак, вычтите 8 с обеих сторон. (x + 4) (x — 2) = 0 x + 4 = 0 или x — 2 = 0

11 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 11 Проверка: Постройте график соответствующей квадратичной функции.Нули связанной функции должны быть такими же, как и решения от факторинга. График y = x 2 + 2x — 8 показывает, что два нуля равны -4 и 2, как и решения от факторизации.

12 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 12 C) x 2 + 2x + 1 = 0 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Оба фактора приводят к одному и тому же решению, поэтому есть одно решение — -1. x = -1 или x = -1 Разложите трехчлен на множители. (x + 1) (x + 1) = 0 x + 1 = 0 или x + 1 = 0

13 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 13 Проверка: Постройте график соответствующей квадратичной функции.Нули связанной функции должны быть такими же, как и решения от факторинга. График y = x 2 + 2x + 1 показывает, что один ноль оказывается равным -1, так же, как и решение от факторинга.

14 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 14 D) -2x 2 = 18 — 12x -2 (x — 3) (x — 3) = 0 -2 ≠ 0 или x — 3 = 0 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Проверить Единственное решение — 3. x = 3 Разложить на множители трехчлен. -2x 2 = 18 — 12x -2 (3) 2 18 — 12 (3) -18 18 — 36 0 Запишите уравнение в стандартной форме.-2x 2 + 12x — 18 = 0-2 (x 2 — 6x + 9) = 0 Выносим за скобки GCF, -2. Подставьте 3 в исходное уравнение.

15 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 15 Теперь попробуйте! Решите каждое квадратное уравнение факторизацией. Проверьте свой ответ. 2а. х 2 — 6х + 9 = 0 2б. х 2 + 4х = 5

16 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 16 Спортивное приложение Высота дайвера над водой во время погружения может быть смоделирована следующим образом: h = -16t 2 + 8t + 48, где h — высота в футах, а t — время в секундах.Найдите время, которое требуется дайверу, чтобы добраться до воды. h = -16t 2 + 8t + 48 0 = -16t 2 + 8t + 48 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Разложите на множители трехчлен. Дайвер достигает воды, когда h = 0. Выносим за скобки GCF, -8. 0 = -8 (2t 2 — t — 6) 0 = -8 (2t + 3) (t -2) -8 ≠ 0, 2t + 3 = 0 или t — 2 = 0 2t = -3 или t = 2 t = -3 2 Поскольку время не может быть отрицательным, (-3/2) не имеет смысла в этой ситуации.

17 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 17 Дайверу требуется 2 секунды, чтобы добраться до воды.Проверьте 0 = -16 t 2 + 8t + 48 0 -16 (2) 2 + 8 (2) + 48 0 -64 + 16 + 48 0 Подставьте 3 в исходное уравнение.

18 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 18 Теперь попробуйте! 3.) Уравнение высоты над водой для другого дайвера можно смоделировать следующим образом: h = -16t 2 + 8t + 24. Найдите время, за которое этот дайвер достигает воды.

19 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 19 ПЕРЕРЫВ

20

21 год КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 21 Оценка 1) (x + 2) (x — 8) = 0 Используйте свойство нулевого произведения для решения каждого уравнения.Проверьте свой ответ. 2) (х — 6) (х — 5) = 0 3) (х + 7) (х + 9) = 0 4) (х) (х — 1) = 0

22 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 22 Решите каждое квадратное уравнение факторизацией. Проверьте свой ответ 6) 3x 2 — 4x + 1 = 0 5) 30x = -9x 2-25 8) x 2-8x — 9 = 0 7) x 2 + 4x — 12 = 0

23 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 23 9) Группа друзей пытается удержать мешок от прикосновения к земле без помощи рук.После удара по мешку с фасолью его высоту можно смоделировать следующим образом: h = -16t 2 + 14t + 2, где h — высота в футах над землей, а t — время в секундах. Найдите время, за которое мешок с фасолью достигнет земли.

24 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 24 Вы решили квадратные уравнения, построив график. Другой метод, используемый для решения квадратных уравнений, — это факторизация и использование свойства нулевого произведения. Свойство нулевого произведения Обратите внимание, что при записи квадратичной функции в виде связанного с ней квадратного уравнения вы заменяете y на 0.Итак, y = 0. y = ax 2 + bx + c 0 = ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c = 0 Давайте рассмотрим

25 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 25 Один из способов решить квадратное уравнение в стандартной форме — построить график связанной функции и найти значения x, где y = 0. Другими словами, найти нули связанной функции. Напомним, что квадратичная функция может иметь два, один или не иметь нулей. Использование свойства нулевого произведения. WORDSNUMBERSALGEBRA Если произведение двух величин равно нулю, по крайней мере одно из количеств равно нулю.3 (0) = 0 0 (4) = 0 Если ab = 0, то a = 0 или b = 0.

26 год КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 26 Решение квадратных уравнений с помощью построения графиков Используйте свойство нулевого произведения для решения каждого уравнения. Проверьте свой ответ. A) (x — 3) (x + 7) = 0 x — 3 = 0 или x + 7 = 0 x = 3 или x = -7 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Проверить (x — 3) (x + 7) = 0 (3 — 3) (3 + 7) 0 (0) (10) 0 0 (-7 — 3) (x + 7) = 0 (-7 — 3 ) (- 7 + 7) 0 (10) (0) 0 0 Подставляем каждое решение для x в исходное уравнение.Решения 3 и -7.

27 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 27 Решение квадратных уравнений путем разложения на множители Решите каждое квадратное уравнение с помощью разложения на множители. A) x 2 + 7x + 10 = 0 (x + 5) (x + 2) = 0 x + 5 = 0 или x + 2 = 0 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Проверьте x 2 + 7x + 10 = 0 (-5) 2 + 7 (-5) + 10 0 25 — 35 + 10 0 0 Подставьте каждое решение вместо x в исходное уравнение. Решения -5 и -2. x = -5 или x = -2 Разложите трехчлен на множители.х 2 + 7x + 10 = 0 (-2) 2 + 7 (-2) + 10 0 4 — 14 + 10 0 0

28 год КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 28 B) x 2 + 2x = 8-8 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Решения: -4 и 2. x = -4 или x = 2 Разложите на множители трехчлен. x 2 + 2x = 8 x 2 + 2x — 8 = 0 Уравнение должно быть записано в стандартной форме. Итак, вычтите 8 с обеих сторон. (x + 4) (x — 2) = 0 x + 4 = 0 или x — 2 = 0

29 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 29 Проверка: Постройте график соответствующей квадратичной функции.Нули связанной функции должны быть такими же, как и решения от факторинга. График y = x 2 + 2x — 8 показывает, что два нуля равны -4 и 2, как и решения от факторизации.

30 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 30 Спортивное приложение Высота дайвера над водой во время погружения может быть смоделирована следующим образом: h = -16t 2 + 8t + 48, где h — высота в футах, а t — время в секундах. Найдите время, которое требуется дайверу, чтобы добраться до воды.h = -16t 2 + 8t + 48 0 = -16t 2 + 8t + 48 Используйте свойство нулевого произведения. Решите каждое уравнение. Разложите на множители трехчлен. Дайвер достигает воды, когда h = 0. Выносим за скобки GCF, -8. 0 = -8 (2t 2 — t — 6) 0 = -8 (2t + 3) (t -2) -8 ≠ 0, 2t + 3 = 0 или t — 2 = 0 2t = -3 или t = 2 t = -3 2 Поскольку время не может быть отрицательным, (-3/2) не имеет смысла в этой ситуации.

31 год КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 31 Дайверу требуется 2 секунды, чтобы добраться до воды.Проверьте 0 = -16 t 2 + 8t + 48 0 -16 (2) 2 + 8 (2) + 48 0 -64 + 16 + 48 0 Подставьте 3 в исходное уравнение.

32 КОНФИДЕНЦИАЛЬНО 32 Вы сегодня отлично поработали!

CMP3 8 класс — Проект Connected Mathematics

8-1 Мышление с помощью математических моделей

Понятия и объяснения | Примеры выполненных домашних заданий | Математический фон

В «Мыслить с помощью математических моделей» ваш ребенок будет моделировать отношения с помощью графиков и уравнений.Они будут использовать модели для анализа ситуаций и решения проблем. Исследования этого раздела помогут им понять следующие идеи.

• Представляйте данные с помощью графиков, таблиц, описаний слов и алгебраических выражений.
• Распознавайте линейные и нелинейные отношения в таблицах и графиках.
• Использование линейных и обратных уравнений вариаций для моделирования двумерных данных
• Используйте анализ остатков, чтобы измерить соответствие моделей линейной и обратной вариации.
• Анализируйте, приближайте и решайте линейные уравнения.
• Использование линейных и обратных вариационных уравнений для решения проблем, а также для прогнозирования и принятия решений
• Используйте точечные диаграммы, двусторонние таблицы и коэффициенты корреляции для описания закономерностей ассоциации в парах переменных.
• Используйте стандартное отклонение для измерения изменчивости в распределениях данных.

Когда ваш ребенок сталкивается с новой проблемой, рекомендуется задать такие вопросы, как:

• Какие ключевые переменные в этой ситуации?
• Если существует закономерность, связывающая переменные, достаточно ли она сильна, чтобы я мог делать прогнозы?
• Каков шаблон, связывающий переменные?
• Какое уравнение выражает отношения?
• Как я могу использовать уравнение, чтобы ответить на вопросы об отношениях?

8-2 В поисках Пифагора

Понятия и объяснения | Примеры выполненных домашних заданий | Математический фон

В В поисках Пифагора ваш ребенок исследует важную взаимосвязь между длинами сторон прямоугольного треугольника.Они научатся:

• Разработка стратегии нахождения расстояния между двумя точками на координатной сетке
• Объясните доказательство теоремы Пифагора
• Понимать и использовать теорему Пифагора для решения повседневных проблем
• Записывать дроби как повторяющиеся или завершающие десятичные дроби
• Записать десятичные дроби как дроби
• Распознавать рациональные и иррациональные числа
• Найдите иррациональные числа в числовой строке
• Отнесите площадь квадрата к длине его стороны, а объем куба к его длине стороны
• Вычислить квадратные корни и кубические корни

Когда ваш ученик сталкивается с новой проблемой, рекомендуется задать такие вопросы, как:

• Какие количества в этой задаче?
• Полезна и уместна ли теорема Пифагора в этой ситуации?
• Откуда мне знать?
• Мне нужно найти расстояние между двумя точками?
• Как связаны длина стороны и площадь квадрата?
• Как я могу вычислить квадратный корень или кубический корень из числа?

8-3 Рост, рост, рост

Понятия и объяснения | Примеры выполненных домашних заданий | Математический фон

В Growing, Growing, Growing ваш ребенок будет изучать экспоненциальные функции, один из наиболее важных типов нелинейных отношений.Исследования этого подразделения помогут им узнать, как:

• Определите ситуации, в которых количество растет или убывает экспоненциально
• Распознавать связи между моделями роста в таблицах, графиках и уравнениях, которые представляют экспоненциальные функции
• Построить уравнения для выражения взаимосвязи между переменными в экспоненциальной функции в таблицах данных, графиках и проблемных ситуациях
• Сравните экспоненциальные и линейные функции
• Разработать и использовать правила работы с показателями, включая научную нотацию, для написания и интерпретации эквивалентных выражений
• Решение задач об экспоненциальном росте и упадке в различных областях, включая науку и бизнес

По мере того, как ваш ребенок работает над задачами этого модуля, задавайте вопросы о ситуациях, которые связаны с нелинейными отношениями, например:

• Как определить, является ли отношение между переменными экспоненциальной функцией?
• Что такое фактор роста или распада?
• Какое уравнение моделирует данные в таблице, графике или проблемную ситуацию?
• Что я могу узнать об этой ситуации, изучив таблицу или график экспоненциальной функции?
• Как я могу ответить на вопросы о проблемной ситуации, изучив таблицу, график или уравнение, представляющее экспоненциальную функцию?

8-4 лягушки, блохи и нарисованные кубики

Понятия и объяснения | Примеры выполненных домашних заданий | Математический фон

В Лягушки, блохи и нарисованные кубики ваш ребенок будет изучать квадратичные функции, важный тип нелинейных функций.Они научатся

• Распознавать закономерности изменения квадратичных отношений
• Написать уравнения для квадратичных функций, представленных в виде таблиц, графиков и проблемных ситуаций
• Соедините квадратные уравнения с образцами в таблицах и графиках квадратичных функций
• Используйте квадратное уравнение для определения максимального или минимального значения, пересечений по осям x и y, линии симметрии и других важных характеристик графика квадратичной функции
• Распознавать эквивалентные квадратичные выражения
• Используйте свойство распределения для записи эквивалентных квадратичных выражений в факторизованной и развернутой форме.
• Используйте таблицы, графики и уравнения квадратичных функций для решения задач в различных ситуациях из геометрии, науки и бизнеса
• Сравнить свойства квадратичных, линейных и экспоненциальных функций

Когда ваш ребенок сталкивается с новой проблемой, рекомендуется задать такие вопросы, как:

• Какие независимые и зависимые переменные?
• Как узнать, является ли отношение между переменными квадратичным?
• Какое уравнение моделирует квадратичную функцию, заданную в таблице, графике или контексте задачи?
• Как я могу ответить на вопросы о проблемной ситуации, изучив таблицу, график или уравнение, представляющее квадратичную функцию?

8-5 Бабочки, вертушки и обои

Понятия и объяснения | Примеры выполненных домашних заданий | Математический фон

В Бабочки, вертушки и обои ваш ребенок научится:

• Обозначение фигур с разной симметрией
• Описывать типы симметрии с помощью отражений, поворотов и перемещений
• Используйте преобразования симметрии, чтобы сравнить размер и форму фигур, чтобы увидеть, совпадают ли они или похожи
• Эффективно определять равные и похожие треугольники и четырехугольники
• Использование свойств совпадающих и подобных треугольников для решения задач о формах и размерах

Когда ваш ученик сталкивается с новой проблемой, рекомендуется задать такие вопросы, как:

• Как использовать симметрию для описания формы и свойств фигур в дизайне или задаче?
• Какие фигуры в узоре совпадают?
• Каким частям конгруэнтных фигур будет соответствовать преобразование конгруэнтности?
• Какие цифры в проблеме похожи?

8-6 Скажи это символами

Рабочие концепции и объяснения Примеры домашних заданий | Математический фон

Алгебра предоставляет идеи и символы для выражения информации о количественных переменных и взаимосвязях.В курсе Say It With Symbols ваш ребенок будет решать задачи, направленные на развитие его понимания и навыков использования символических выражений и уравнений в алгебре. Они научатся:

• Представлять закономерности и отношения в символических формах
• Определить, когда различные символьные выражения математически эквивалентны
• Записывать алгебраические выражения в полезных эквивалентных формах
• Объединение символьных выражений с помощью алгебраических операций для формирования новых выражений
• Анализируйте выражения или уравнения, чтобы определить закономерности изменений в таблицах и графиках, которые представляет выражение или уравнение
• Решите линейные и квадратные уравнения, используя символические рассуждения
• Используйте алгебраические рассуждения для подтверждения обобщений и гипотез

Когда ваш ребенок сталкивается с новой проблемой, рекомендуется задать такие вопросы, как:

• Какое выражение или уравнение представляет шаблон или взаимосвязь в контексте?
• Можете ли вы написать эквивалентное выражение для данного выражения, чтобы предоставить новую информацию об отношениях?
• Какие операции могут преобразовать данное уравнение или выражение в эквивалентную форму, которая может использоваться для ответа на вопрос?
• Как символические рассуждения могут помочь подтвердить предположение?

8-7 Это в системе

Понятия и объяснения | Примеры выполненных домашних заданий | Математический фон

В этом модуле ваш ребенок будет писать и решать системы линейных уравнений и неравенств, моделирующие реальные ситуации.Методы решения этих алгебраических систем сочетают в себе графические и алгебраические рассуждения из более ранних разделов Connected Mathematics Units. Вы узнаете, как

• Решите линейные уравнения и системы линейных уравнений с двумя переменными
• Решите линейные неравенства и системы неравенств с двумя переменными
• Использование систем линейных уравнений и неравенств для решения задач

Когда ваш ребенок сталкивается с новой проблемой, рекомендуется задать такие вопросы, как:

• Какие переменные в этой задаче?
• Требует ли проблема решения системы уравнений или неравенств, связывающих эти переменные?
• Какая стратегия будет наиболее эффективной при решении системы?

8-8 Функциональный узел

Понятия и объяснения | Примеры выполненных домашних заданий | Математический фон

Функции были главной темой в работе вашего ребенка с алгеброй.В Function Junction ваш ребенок более глубоко взглянет на функции и изучит новые функции. Исследования этого подразделения помогут им узнать, как:

• Определение области и диапазона функций и обозначение f (x) для выражения функций
• Изучить числовые и графические свойства пошаговых и кусочно определенных функций
• Исследовать свойства и использование обратных функций
• Исследование свойств и приложений арифметических и геометрических последовательностей
• Изучите отношения между функциями с помощью графиков, связанных преобразованиями, такими как переводы и расширения.
• Выражение квадратичных функций в эквивалентной форме вершин и использование этой новой формы для решения уравнений и эскизных графиков
• Разработайте формулу для решения любого квадратного уравнения
• Изучите значение и действия комплексных чисел
• Используйте полиномиальные выражения и функции для моделирования и ответов на вопросы о шаблонах данных и графиках, которые не могут быть представлены линейными, квадратичными, обратными вариациями или экспоненциальными функциями

По мере того, как они решают проблемы этого модуля, будет полезно продолжать задавать такие вопросы, как:

• Какие переменные в ситуации и как они связаны?
• Какой знакомый тип функции можно использовать для моделирования взаимосвязи переменных или требуется что-то новое?
• Как алгебраические выражения и графики взаимосвязи между переменными связаны друг с другом?
• Как можно записать алгебраическое выражение для функции в форме, упрощающей построение или анализ графика или решение уравнения?

Примеры квадратного уравнения

Квадратичное уравнение — это уравнение второй степени, то есть оно содержит по крайней мере один член, возведенный в квадрат.Стандартная форма — ax² + bx + c = 0, где a, b и c являются константами или числовыми коэффициентами, а x — неизвестной переменной. Одно абсолютное правило состоит в том, что первая константа «а» не может быть нулем.

Уравнения стандартной формы

Вот примеры квадратных уравнений в стандартной форме (ax² + bx + c = 0):

• 6x² + 11x — 35 = 0
• 2x² — 4x — 2 = 0
• -4x² — 7x +12 = 0
• 20x² -15x — 10 = 0
• x² -x — 3 = 0
• 5x² — 2x — 9 = 0
• 3x² + 4x + 2 = 0
• -x² + 6x + 18 = 0

Вот примеры квадратных уравнений без линейного коэффициента или «bx»:

• 2x² — 64 = 0
• x² — 16 = 0
• 9x² + 49 = 0
• -2x² — 4 = 0
• 4x² + 81 = 0
• -x² — 9 = 0
• 3x² — 36 = 0
• 6x² + 144 = 0

Вот примеры квадратных уравнений без постоянного члена или «c»:

• x² — 7x = 0
• 2x² + 8x = 0
• -x² — 9x = 0
• x² + 2x = 0
• -6x² — 3x = 0
• -5x² + x = 0
• -12x² + 13x = 0
• 1 1x² — 27x = 0

Вот примеры квадратного уравнения в факторизованной форме:

• (x + 2) (x — 3) = 0 [после вычисления становится x² -1x — 6 = 0]
• (x + 1) (x + 6) = 0 [при вычислении становится x² + 7x + 6 = 0]
• (x — 6) (x + 1) = 0 [при вычислении становится x² — 5x — 6 = 0
• -3 (x — 4) (2x + 3) = 0 [при вычислении становится -6x² + 15x + 36 = 0]
• (x — 5) (x + 3) = 0 [при вычислении становится x² — 2x — 15 = 0 ]
• (x — 5) (x + 2) = 0 [при вычислении становится x² — 3x — 10 = 0]
• (x — 4) (x + 2) = 0 [при вычислении становится x² — 2x — 8 = 0]

• (2x + 3) (3x — 2) = 0 [после вычисления становится 6x² + 5x — 6]

  Вот примеры других форм квадратных уравнений:

  • x (x — 2) = 4 [при умножении и перемещении 4 становится x² — 2x — 4 = 0]
  • x (2x + 3) = 12 [при умножении и перемещении 12 становится 2x² — 3x — 12 = 0]
  • 3x (x + 8 ) = -2 [при умножении и mo значение -2 становится 3x² + 24x + 2 = 0]
  • 5x² = 9 — x [перемещение 9 и -x в другую сторону становится 5x² + x — 9]
  • -6x² = -2 + x [перемещение -2 и x в другую сторону становится -6x² — x + 2]
  • x² = 27x -14 [перемещение -14 и 27x на другую сторону становится x² — 27x + 14]
  • x² + 2x = 1 [перемещение «1» на другой стороне становится x² + 2x — 1 = 0]
  • 4x² — 7x = 15 [перемещение 15 на другую сторону становится 4x² + 7x — 15 = 0]
  • -8x² + 3x = -100 [перемещение -100 в другую сторону становится -8x² + 3x + 100 = 0]
  • 25x + 6 = 99 x² [перемещение 99 x2 на другую сторону становится -99 x² + 25x + 6 = 0]

  Есть много разных типы квадратных уравнений, как показывают эти примеры.

Квадратные уравнения | Колледж алгебры

Результаты обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Разложите на множители квадратное уравнение, чтобы его решить.
• Используйте свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения.
• Используйте теорему Пифагора и свойство квадратного корня, чтобы найти неизвестную длину стороны прямоугольного треугольника.
• Заполните квадрат, чтобы решить квадратное уравнение.
• Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы решить квадратное уравнение.
• Используйте дискриминант, чтобы определить количество и тип решений квадратного уравнения.

Левый компьютерный монитор на изображении ниже — это 23,6-дюймовая модель, а правый — 27-дюймовая. Пропорционально мониторы выглядят очень похожими. Если пространство ограничено, и мы хотим максимально большой монитор, как нам решить, какой из них выбрать? В этом разделе мы узнаем, как решать такие проблемы, используя четыре разных метода.{2} -4 = 0 [/ latex] — квадратные уравнения. Они используются бесчисленным количеством способов в области инженерии, архитектуры, финансов, биологии и, конечно же, математики.

Часто самый простой метод решения квадратного уравнения — это с разложением на множители . Факторинг означает поиск выражений, которые можно перемножить, чтобы получить выражение на одной стороне уравнения.

Если квадратное уравнение можно разложить на множители, оно записывается как произведение линейных членов. Решение путем факторизации зависит от свойства нулевого продукта, которое гласит, что если [latex] a \ cdot b = 0 [/ latex], то [latex] a = 0 [/ latex] или [latex] b = 0 [/ latex] , где a и b — действительные числа или алгебраические выражения.Другими словами, если произведение двух чисел или двух выражений равно нулю, то одно из чисел или одно из выражений должно равняться нулю, потому что ноль, умноженный на что-либо, равен нулю.

При умножении множителей уравнение превращается в строку терминов, разделенных знаками плюс или минус. Таким образом, в этом смысле операция умножения отменяет операцию факторинга. Например, разверните факторизованное выражение [латекс] \ left (x — 2 \ right) \ left (x + 3 \ right) [/ latex], умножив два множителя вместе.{2} + x — 6 = 0 [/ latex] в стандартной форме.

Мы можем использовать свойство нулевого произведения для решения квадратных уравнений, в которых мы сначала должны вычесть наибольший общий множитель (GCF), и для уравнений, которые также имеют специальные формулы разложения на множители, такие как разность квадратов, оба из которых мы увидим позже в этом разделе.

Общее примечание: свойство нулевого произведения и квадратные уравнения

Свойство нулевого продукта указывает

[латекс] \ text {If} a \ cdot b = 0, \ text {then} a = 0 \ text {или} b = 0 [/ latex],

, где a и b — действительные числа или алгебраические выражения.{2} [/ latex], равно 1. У нас есть один метод факторизации квадратных уравнений в этой форме.

Практическое руководство. Для квадратного уравнения со старшим коэффициентом 1 разложите его на множители

1. Найдите два числа, произведение которых равно c , а сумма равна b .
2. Используйте эти числа, чтобы записать два множителя в форме [латекс] \ left (x + k \ right) \ text {или} \ left (xk \ right) [/ latex], где k — одно из найденных чисел на шаге 1. Используйте числа в точности так, как они есть.{2} + x — 6 = 0 [/ latex], мы ищем два числа, произведение которых равно [latex] -6 [/ latex], а сумма равна 1. Начните с рассмотрения возможных множителей [latex] -6 [/латекс].

   [латекс] \ begin {array} {l} 1 \ cdot \ left (-6 \ right) \ hfill \\ \ left (-6 \ right) \ cdot 1 \ hfill \\ 2 \ cdot \ left (-3 \ right) \ hfill \\ 3 \ cdot \ left (-2 \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Последняя пара, [latex] 3 \ cdot \ left (-2 \ right) [/ latex] суммируется до 1, так что это числа. Обратите внимание, что подойдет только одна пара чисел.Затем запишите факторы.

   [латекс] \ left (x — 2 \ right) \ left (x + 3 \ right) = 0 [/ латекс]

   Чтобы решить это уравнение, мы используем свойство нулевого произведения. Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

   [латекс] \ begin {array} {l} \ left (x — 2 \ right) \ left (x + 3 \ right) = 0 \ hfill \\ \ left (x — 2 \ right) = 0 \ hfill \ \ x = 2 \ hfill \\ \ left (x + 3 \ right) = 0 \ hfill \\ x = -3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Два решения: [латекс] x = 2 [/ латекс] и [латекс] x = -3 [/ латекс]. Мы можем видеть, как решения соотносятся с графиком ниже.\ circ [/ latex] угол, а [latex] c [/ latex] относится к гипотенузе. Он находит неизмеримое применение в архитектуре, инженерии, науках, геометрии, тригонометрии и алгебре, а также в повседневных приложениях.

   Мы используем теорему Пифагора, чтобы найти длину одной стороны треугольника, когда у нас есть длины двух других. Поскольку каждый член в теореме возведен в квадрат, когда мы решаем сторону треугольника, мы получаем квадратное уравнение. Мы можем использовать методы решения квадратных уравнений, которые мы узнали в этом разделе, чтобы найти недостающую сторону.{2} = 128 \ hfill \\ a = \ sqrt {128} \ hfill \\ a = 8 \ sqrt {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Попробуй

   Используйте теорему Пифагора для решения задачи о прямоугольном треугольнике: отрезок a измеряет 4 единицы, отрезок b измеряет 3 единицы. Найдите длину гипотенузы.

   Завершение квадрата и квадратичной формулы

   Не все квадратные уравнения могут быть разложены на множители или могут быть решены в их исходной форме с использованием свойства квадратного корня. В этих случаях мы можем использовать метод решения квадратного уравнения , известный как , завершающий квадрат .{2} -6x = 13 [/ латекс].

   Показать решение

   [латекс] x = 3 \ pm \ sqrt {22} [/ латекс]

   Использование квадратичной формулы

   Четвертый метод решения квадратного уравнения заключается в использовании квадратной формулы , формулы, которая решает все квадратные уравнения. Хотя квадратная формула работает с любым квадратным уравнением в стандартной форме, легко допустить ошибку при подстановке значений в формулу. Будьте внимательны при замене и используйте круглые скобки при вставке отрицательного числа.{2} — \ left (4 \ right) \ cdot \ left (1 \ right) \ cdot \ left (2 \ right)}} {2 \ cdot 1} \ hfill \\\ hfill & = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1–8}} {2} \ hfill \\ \ hfill & = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {-7}} {2} \ hfill \\\ hfill & = \ frac {-1 \ pm я \ sqrt {7}} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Решения уравнения: [латекс] x = \ frac {-1} {2} + \ frac {i \ sqrt {7}} {2} [/ latex] и [латекс] x = \ frac {-1 } {2} — \ frac {i \ sqrt {7}} {2} [/ latex].

   . Обратите внимание, что они записаны в стандартной форме комплексного числа. Когда решение представляет собой комплексное число, необходимо отделить действительную часть от мнимой и записать ее в стандартной форме.{2} -4 \ left (3 \ right) \ left (15 \ right) = — 80 [/ латекс]. Будет два сложных решения.

Ключевые понятия

• Многие квадратные уравнения могут быть решены путем факторизации, когда уравнение имеет старший коэффициент, равный 1, или если уравнение представляет собой разность квадратов. Затем свойство нулевого фактора используется для поиска решений.
• Многие квадратные уравнения со старшим коэффициентом, отличным от 1, могут быть решены путем разложения на множители с использованием метода группировки.
• Другой метод решения квадратичных вычислений — это свойство извлечения квадратного корня.Переменная возведена в квадрат. Мы выделяем квадрат и извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения. Решение даст положительное и отрицательное решение.
• Завершение квадрата — это метод решения квадратных уравнений, когда уравнение не может быть разложено на множители.
• Очень надежный метод решения квадратных уравнений — это квадратная формула, основанная на коэффициентах и ​​постоянном члене в уравнении.
• Дискриминант используется, чтобы указать природу решений, которые квадратное уравнение даст: действительные или комплексные, рациональные или иррациональные, и сколько из них.
• Теорема Пифагора, одна из самых известных теорем в истории, используется для решения задач прямоугольного треугольника и имеет приложения во многих областях. Чтобы определить длину одной стороны прямоугольного треугольника, необходимо решить квадратное уравнение.

Глоссарий

завершение квадрата

процесс решения квадратных уравнений, в котором члены складываются или вычитаются из обеих частей уравнения, чтобы сделать одну сторону идеальным квадратом.

дискриминант

выражение под корнем в квадратной формуле, которое указывает на природу решений, действительные или комплексные, рациональные или иррациональные, одинарные или двойные корни.

Теорема Пифагора

Теорема, устанавливающая соотношение между длинами сторон прямоугольного треугольника, используемая для решения задач прямоугольного треугольника.

No related posts.