Как вынести множитель из-под знака корня: теория, примеры, решения
В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило. Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.
Что такое вынесение множителя из-под знака корня
Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:
Определение 1Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения Bn·Cn на произведение B·Cn с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B·C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.
Если мы имеем в виду только квадратный корень, то есть число n равно двум, то процесс вынесения множителя можно свести к замене выражения B2·C на произведение B·C. Отсюда и название данного преобразования: после того, как оно было проведено, множитель Byоказывается свободным от знака корня.
Приведем примеры, поясняющие данное определение. Так, допустим, у нас есть выражение 22·3. Оно аналогично B2·C, где B равно двум, а C – трем. Заменив данный корень на произведение 2·3 и опустив знаки модулей (это можно сделать, поскольку оба множителя являются положительными числами), мы получим 2·3. Мы вынесли множитель
Приведем еще один пример подобного преобразования. У нас есть выражение (x2-3·x·y·z)2·x=x2-3·x·y·z·x. Здесь из-под корня был вынесен не просто числовой множитель, а целое выражение с переменными (x2−3·x·y·z)2.
Оба примера относятся к случаю вынесения множителя из-под квадратного корня. Можно также производить данные преобразования и для корней n-ной степени. Вот пример с кубическим корнем: (3·a2)3·2·a23=3·a2·2·a23
Пример с корнем шестой степени: 12·x2+y26·5·(x2+y2)6 можно преобразовать в произведение 12·x2+y2·5·(x2·y2)6, которое, в свою очередь, упрощается до 12·(x2+y2)·5·(x2+y2)6. В данном случае мы выносим множитель 12·x2+y26.
Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.
Почему возможно заменить корень на произведение
В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень Bn·Cn равнозначен произведениям B·Cn и B·Cn. Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.
Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:
1. Выражение A·Bn при условии нечетности n может быть заменено на An·Bn, а для четных n – An·Bn.
2. Выражение Ann при нечетном значении n может быть преобразовано в A, а при четном – в |A|.
Определение 2Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:
- при четном n: Bn·Cn=Bnn·Cn=B·Cn;
- при нечетном n: Bn·Cn=Bnn·Cn=Bnn·Cn=B·Cn.
Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.
Следовательно, можно вывести две формулы:
Определение 3- B1n·B2n·…·Bkn·Cn=B1·B2·…·Bk·Cn для нечетного n;
- B1n·B2n·…·Bkn·Cn=B1·B2·…·Bk·Cn для четного n.
Здесь B1, B2, и др. могут быть как числами, так и выражениями.
С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.
Основное правило вынесения множителя из-под корня
Когда нам нужно решать примеры с подобными преобразованиями, чаще всего приходится предварительно приводить подкоренное выражение к виду Bn·C. С учетом этого момента мы можем записать следующие правила.
Определение 4Для вынесения множителя из-под корня в выражении An нужно предварительно привести корень к виду Bn·Cn и после этого перейти к произведению B·Cn (при нечетном показателе) или к B·Cn (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).
Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:
An→Bn·Cn→B·Cn, если n-нечетноеB·Cn, если n-четное
Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:
An→B1n·B2n·…·Bkn·Cn→B1·B2·…·Bk·Cn, если n-нечетноеB1·B2·…·Bk·Cn, если n-четное
Теперь можно переходить к решению задач.
Задачи на вынесение множителя из-под знака корня
Пример 1Условие: выполните вынесение множителя за знак корня в трех выражениях: 22·7, -1232·5, (-0,4)7·117.
Решение
Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:
- Показатель корня равен 2. Берем правило вынесения множителя для четного показателя и вычисляем: 22·7=2·7=2·7
- Во втором выражении показатель тоже четный, значит, -1232·5=-123·5=123·5
В этом случае мы можем сначала преобразовать выражения, исходя из основных свойств корня:
-1232·5=-12·1232·5=1232·5
А потом уже выносить множитель: 1232·5=123·5=123·5. - Последнее выражение имеет нечетный показатель, поэтому нам понадобится другое правило: (-0,4)7·117=-0,4·117.
Возможен и такой вариант расчета:
-0,47·117=(-1)7·0,47·117==-0,47·117=-0,47·117=-0,4·117
Или такой:
-0,47·117=(-1)7·0,47·117==-0,47·117=0,47·-117=0,4·-117=-0,4·117
Ответ: 1) 2·7; 2) 123·5; 3) -0,4·117.
Пример 2Условие: преобразуйте выражение (-2)4·(0,3)4·74·114.
Решение:
При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.
(-2)4·(0,3)4·74·114==-2·0,3·7·114=4,2·114
Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.
Есть и другой способ. Преобразуем само выражение, приведя его к виду Bn·C. После этого уже будем выносить множители:
(-2)4·(0,3)4·74·114==(-2·0,3·7)4·114=(-4,2)4·114==-4,2·114=4,2·114
Ответ: (-2)4·(0,3)4·74·114=-4,2·114=4,2·114.
Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.
Предварительное преобразование подкоренного выражения
Мы уже отмечали, что выражение под корнем не всегда имеет удобный для нас вид. Часто корень дан как An, и множитель, который нужно вынести, не представлен в явном виде. Иногда это обозначено в условии, но довольно часто множитель приходится определять самостоятельно. Посмотрим, как надо действовать в этих случаях.
Допустим, нам надо вынести заранее определенный множитель B. Естественно, подкоренное выражение должно быть таким, чтобы эта операция была возможна. Тогда для преобразования An в Bn·Cn достаточно определить второй множитель, т. е. вычислить значение C из выражения A=Bn·C.
Пример 3Условие: есть выражение 24·x3. Вынесите из-под знака корня множитель 23.
Решение
Здесь мы имеем n=3, A=24·x, B3=23. Тогда из A=Bn·С вычисляем C=A:(Bn) =24·x:(23) =3·x.
Значит, 24·x3=23·3·x3. Подкоренное выражение имеет нужный нам вид, и мы можем воспользоваться правилом для нечетного показателя и подсчитать: 24·x3=23·3·x3=2·3·x3.
Ответ: 24·x3=2·3·x3.
А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан? Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.
Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.
Пример 4Условие: необходимо вынести множитель из-под корня в трех выражениях – 24·54, 27·54, 222·54.
Решение
Преобразование первого выражения не представляет особой сложности, т.к. подобные примеры мы уже разбирали. Сразу вычисляем: 24·54=2·54=2·54.
Во втором примере легко догадаться, как преобразовать подкоренное выражение: нужно просто представить 27 как 24·23.
27·54=24·23·54=24·404=2·404=2·404
В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:
254·22·54
Теперь покажем, как именно прийти к этому виду. Сначала выполняем деление 22 на 4, получаем 5 с остатком 2 (если нужно, повторите, как правильно выполнять деление с остатком). Иначе говоря, 22 можно рассматривать как 4·5+2. Используя свойства степени, можем записать:
222+25·4+2=25·4·22=(25)4·22
Таким образом:
222·54=(25)4·22·54=(25)4·204==25·204=32·204
Ответ: 1) 24·54=2·54, 2) 27·54=2·404, 3) 222·54=32·204.
Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.
Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.
Пример 5Условие: выполните вынесение множителя из-под знака корня в следующих выражениях: 1) 45; 2) 135; 3) 3456; 4) 102.
- Выполняем разложение 45 на простые множители.
451551335
То есть 45=3·3·5=32·5, а 45=32·5. В этом выражении видно, что выносить мы будем множитель 32. Вычисляем:
32·5=3·5=3·5
- Теперь представим в нужном виде число 135 и получим: 135=3·3·3·5=33·15. Иначе можно записать, что 32·3·5=32·15. Следовательно, 135=32·15. Мы видим, что вынесению из-под знака корня подлежит множитель 32:
32·15=3·15=3·15
- Разложим на простые множители число 3456:
3456172886443221610854279312222222333
У нас получилось, что 3456=27·33 , а 3456=27·33. Поскольку 27=23·2+1=(23)2·2 и 33=32·3, то 27·33=(23)2·2·32·3=(23)2·32·6==23·3·6=24·6
- Представим натуральное число 102 как произведение простых множителей и получим 2·3·17. Видим, что все множители имеют показатель, равный единице, а показатель корня в этом примере равен двум. Следовательно, в данном примере ни один множитель не нужно выносить из-под знака корня, то есть такое действие для 102 нецелесообразно.
Ответ: 1) 45=3·5; 2) 135=3·15; 3) 3456=24·6; 4) 102.
Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.
Пример 6Условие: выполните вынесение множителя за корень в выражении 200·0,000189·x3 и упростите его.
Решение
Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.
0,189=1891000000=33·726·56
Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:
322·523·7
Подставим получившееся выражение в исходное и получим:
200·0,000189·x3==200·322·523·7·x3==200·322·52·7·x3=6·7·x3
К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:
200·0,000189·x3==200·1891000000·x3=200·18910000003·x3==200·189310000003·x3=200·33·7310033·x3==200·3·73100·x3=6·73·x3=6·7·x3
Ответ: 200·0,000189·x3=6·7·x3.
Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.
Пример 7Условие: выполните упрощение иррационального выражения 2·(3+2·2).
Решение
Мы можем преобразовать выражение в скобках как 2+2·2+1 и далее как 22+2·2·1+12.
То, что у нас получилось, можно свернуть в квадрат суммы с помощью формулы сокращенного умножения: 22+2·2·1+1=2+12.
В итоге: 2·3+2·2=2·2+12. Теперь выносим 2+12 за знак корня и упрощаем выражение:
2·2+12=2·2+1==2·2+1=2+2
Ответ: 2·3+2·2=2+2.
Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.
Пример 8Условие: вынесите множитель из-под знака корня в выражениях (x-5)54 и (x-5)64.
Решение
- Выполняем преобразование в первом примере.
(x-5)54=(x-5)4·x-54=x-5·x-54
Знак модуля можно опустить. Посмотрим, каким условием определяется область допустимых значений переменной для исходного выражения. Таким условием будет неравенство (x−5)5≥0. Для его решения выбираем метод интервалов и получаем x≥5. Если значение x принадлежит области допустимых значений, то значением выражения x-5 будет неотрицательное число. Значит, можем записать следующее:
x-5·x-54=x-5·x-54
- (x-5)64=(x-5)4·x-524==x-5·(x-5)24=x-5·x-524
Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение Amn·m можно заменить на An при условии, что m и n – натуральные числа. Следовательно,
x-5·x-524=x-5·x-5
Нужно ли здесь убирать знак модуля? Посмотрим на область допустимых значений данного выражения: ее составляют все действительные числа, поскольку (x−5)6≥0 для любого x. При этом значения x−5 могут быть больше 0, если x>5, равными 0 или отрицательными. Значит, оставляем выражение в виде x-5·x-5 или представляем его в виде системы уравнений
(x-5)·x-5, x≥5(5-x)·5-x, x<5
Ответ: 1) (x-5)54=(x-5)·x-54; 2) (x-5)64=x-5·x-5.
Пример 9Условие: выполните упрощение выражения x5+2·x4·y+x3·y2.
Решение
Выносим за скобки x3 и получаем x3·(x2+2·x·y+y2). Выражение в скобках можно представить в виде квадрата суммы: x3·(x2+2·x·y+y2)=x3·(x+y)2.
Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x3·(x+y)2=x2·x·(x+y)2=x·x+y·x
Также мы можем убрать знаки модуля, в которых находится x, поскольку область допустимых значений будет определена условием x5+2·x4·y+x3·y2≥0. Оно равносильно x3·(x+y)2≥0, а из него можно сделать вывод, что x≥0. У нас получилось, что x·x+y·x.
Ответ: x5+2·x4·y+x3·y2=x·x+y·x.
Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.
Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.
54 — пятьдесят четыре. натуральное четное число. регулярное число (число хемминга).
в ряду натуральных чисел находится между числами 53 и 55. Все о числе пятьдесят четыре. 54 — пятьдесят четыре. натуральное четное число. регулярное число (число хемминга). в ряду натуральных чисел находится между числами 53 и 55. Все о числе пятьдесят четыре.- Главная
- О числе 54
54 — пятьдесят четыре. Натуральное четное число. Регулярное число (Число Хемминга). В ряду натуральных чисел находится между числами 53 и 55.
Like если 54 твое любимое число!
Распространенные значения и факты
54 регион — Новосибирская область
- Столица
- Новосибирск
- Автомобильный код
- 54, 154
- Федеральный округ
- Сибирский
- Экономический район
- Западно-Сибирский
- Дата образования
- 28 сентября 1937 г.
- Территория
- 178, 2 тыс. кв. км 1, 04 % от РФ 19место в РФ
- Население
- Общая численность 2 692, 2 тыс. чел. 1, 85 % от РФ 16 место в РФ
Изображения числа 54
Склонение числа «54» по падежам
Падеж | Вспомогательное слово | Характеризующий вопрос | Склонение числа 54 |
---|---|---|---|
Именительный | Есть | Кто? Что? | пятьдесят четыре |
Родительный | Нет | Кого? Чего? | пятидесяти четырёх |
Дательный | Дать | Кому? Чему? | пятидесяти четырём |
Винительный | Видеть | Кого? Что? | пятьдесят четыре |
Творительный | Доволен | Кем? Чем? | пятьюдесятью четырьмя |
Предложный | Думать | О ком? О чём? | пятидесяти четырёх |
Перевод «пятьдесят четыре» на другие языки
- Азербайджанский
- əlli dörd
- Албанский
- pesëdhjetë e katër
- Английский
- fifty four
- Арабский
- أربعة وخمسون
- Армянский
- հիսուն չորս
- Белорусский
- пяцьдзясят чатыры
- Болгарский
- петдесет и четири
- Вьетнамский
- năm mươi bốn
- Голландский
- vierenvijftig
- Греческий
- πενήντα τεσσάρων
- Грузинский
- ორმოცდაათი ოთხი
- Иврит
- 54
- Идиш
- 54
- Ирландский
- caoga ceathair
- Исландский
- 54
- Испанский
- cincuenta y cuatro
- Итальянский
- Fifty Four
- Китайский
- 54
- Корейский
- 쉰네
- Латынь
- et quinquaginta quatuor:
- Латышский
- 54
- Литовский
- penkiasdešimt keturis
- Монгольский
- тавин дөрвөн
- Немецкий
- vierundfünfzig
- Норвежский
- femtifire
- Персидский
- پنجاه و چهار
- Польский
- pięćdziesiąt cztery
- Португальский
- cinqüenta e quatro
- Румынский
- cincizeci și patru
- Сербский
- педесет четири
- Словацкий
- päťdesiat štyri
- Словенский
- štiriinpetdeset
- Тайский
- 54
- Турецкий
- elli dört
- Украинский
- п’ятдесят і чотири
- Финский
- viisikymmentäneljä
- Французский
- cinquante-quatre
- Хорватский
- pedeset i četiri
- Чешский
- padesát čtyři
- Шведский
- Fifty Four
- Эсперанто
- kvindek kvar
- Эстонский
- 54
- Японский
- 54
Перевод «54» на другие языки и системы
Римскими цифрами
- Римскими цифрами
- LIV
Сервис перевода арабских чисел в римские
Арабско-индийскими цифрами
- Арабскими цифрами
- ٥٤
- Восточно-арабскими цифрами
- ۵۴
- Деванагари
- ५४
- Бенгальскими цифрами
- ৫৪
- Гурмукхи
- ੫੪
- Гуджарати
- ૫૪
- Ория
- ୫୪
- Тамильскими цифрами
- ௫௪
- Телугу
- ౫౪
- Каннада
- ೫೪
- Малаялам
- ൫൪
- Тайскими цифрами
- ๕๔
- Лаосскими цифрами
- ໕໔
- Тибетскими цифрами
- ༥༤
- Бирманскими цифрами
- ၅၄
- Кхемерскими цифрами
- ៥៤
- Монгольскими цифрами
- ᠕᠔
В других системах счисления
- 54 в двоичной системе
- 110110
- 54 в троичной системе
- 2000
- 54 в восьмеричной системе
- 66
- 54 в десятичной системе
- 54
- 54 в двенадцатеричной системе
- 46
- 54 в тринадцатеричной системе
- 42
- 54 в шестнадцатеричной системе
- 36
Известные люди умершие в 54 года
- Кортунов, Сергей Вадимович Российский политолог. Смерть наступила в 2010 году в 54 года.
- Рыжков, Александр Дмитриевич Советский и российский актёр. Смерть наступила в 2009 году в 54 года.
- Парщиков, Алексей Максимович Русский поэт. Смерть наступила в 2009 году в 54 года.
- Полянский, Валентин Валентинович Герой России, полковник ВДВ; самоубийство или убийство. Смерть наступила в 2009 году в 54 года.
- Мингелла, Энтони Британский режиссёр, сценарист и драматург. Смерть наступила в 2008 году в 54 года.
- Ботнарюк, Вадим Маркович Генеральный директор Российской Фонографической Ассоциации. Смерть наступила в 2008 году в 54 года.
- Абдулов, Александр Гаврилович Советский и российский актёр театра и кино; рак лёгкого. Смерть наступила в 2008 году в 54 года.
- Бхутто, Беназир Экс-премьер-министр Пакистана; убита. Смерть наступила в 2007 году в 54 года.
- Тимошенко, Эдуард Николаевич Советский футболист. Смерть наступила в 2007 году в 54 года.
- Хмельник, Яцек Актёр и режиссёр. Смерть наступила в 2007 году в 54 года.
- Гвоздицкий, Виктор Васильевич Актёр театра и кино, Народный артист России. Смерть наступила в 2007 году в 54 года.
- Джонуа, Беслан Алексеевич Российский бизнесмен. Смерть наступила в 2007 году в 54 года.
- Троицкая, Наталья Леонидовна Знаменитая российская оперная певица (сопрано) (род. Смерть наступила в 2006 году в 54 года.
- Андриан Четвергов Митрополит Московский и всея Руси, предстоятель Русской православной старообрядческой церкви (РПСЦ) в 20042005; сердечный приступ. Смерть наступила в 2005 году в 54 года.
- Мяшкялявичюс, Йонас Литовский скульптор. Смерть наступила в 2005 году в 54 года.
- Калыгин, Виктор Павлович Российский филолог, доктор наук. Смерть наступила в 2004 году в 54 года.
- Ардер, Отт Эстонский советский поэт, детский писатель. Смерть наступила в 2004 году в 54 года.
- Положий, Виктор Иванович Украинский писатель-фантаст. Смерть наступила в 2004 году в 54 года.
- Лосев, Александр Николаевич Советский и российский певец, солист и один из основателей группы «Цветы», исполнитель популярных песен; сердечный приступ. Смерть наступила в 2004 году в 54 года.
- Роберт Палмер Английский певец и автор песен. Смерть наступила в 2003 году в 54 года.
Все люди умершие в 54 года (205)
QR-код, MD5, SHA-1 числа 54
Адрес для вставки QR-кода числа 54, размер 500×500:
http://pro-chislo.ru/data/moduleImages/QRCodes/54/994f995a19dad560584cde7ea1d21a6a.png
- MD2 от 54
- 684a644421a780106cdc0cc9bc0c1c83
- MD4 от 54
- 0ea0a5c4ff321060b1c844c9f67a3de5
- MD5 от 54
- a684eceee76fc522773286a895bc8436
- SHA1 от 54
- 80e28a51cbc26fa4bd34938c5e593b36146f5e0c
- SHA256 от 54
- 2fca346db656187102ce806ac732e06a62df0dbb2829e511a770556d398e1a6e
- SHA384 от 54
- 23f4fd9b6c0d6ed07d553c4fa81925fa9421e6a88e890f754391bd6841aad570cb841b183e6827c1c097727e93aae57f
- SHA512 от 54
- cfcfd1f0065f20812e51031bd692544218a8441d74e20053530afa0a1633cc12904cb593cb4bf6707b4ffdef727ae9140e052dc0c15117c684286f4adbd9f9d6
- GOST от 54
- 1d084431aac1a41ae7f36f49b987eec7f31d5700efd38888617e29ce848b9141
- Base64 от 54
- NTQ=
54й день в году
54й день в не високосном году — 23 февраля
День защитников Отечества
День защи́тника Оте́чества — праздник, отмечаемый 23 февраля в России, Белоруссии, Киргизии, Украине. Был установлен в РСФСР в 1922 году как «День Красной Армии и Флота». С 1946 до 1993 гг. носил название «День Советской Армии и Военно-Морского флота». После распада СССР праздник также продолжают отмечать в ряде других стран СНГ.
День Федеральной эмиграционной службы
54й день в високосном году — 23 февраля
Математические свойства числа 54
- Простые множители
- 2 * 3 * 3 * 3
- Делители
- 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
- Количество делителей
- 8
- Сумма делителей
- 120
- Простое число
- Нет
- Предыдущее простое
- 53
- Следующее простое
- 59
- 54е простое число
- 251
- Число Фибоначчи
- Нет
- Число Белла
- Нет
- Число Каталана
- Нет
- Факториал
- Нет
- Регулярное число (Число Хемминга)
- Да
- Совершенное число
- Нет
- Полигональное число
- Нет
- Квадрат
- 2916
- Квадратный корень
- 7. 3484692283495
- Натуральный логарифм (ln)
- 3.9889840465643
- Десятичный логарифм (lg)
- 1.732393759823
- Синус (sin)
- -0.55878904885162
- Косинус (cos)
- -0.82930983286315
- Тангенс (tg)
- 0.67380010064806
Комментарии о числе 54
← 53
55 →
- Распространенные значения и факты
- Изображения числа 54
- Склонение числа «54» по падежам
- Перевод «пятьдесят четыре» на другие языки
- Перевод «54» на другие языки и системы
- Известные люди умершие в 54 года
- QR-код, MD5, SHA-1 числа 54
- 54й день в году
- Математические свойства числа 54
- Комментарии о числе 54
Квадратный корень из 54 — Как найти квадратный корень из 54?
LearnPracticeDownload
Все мы знаем, что длина каждой стороны квадрата равна квадратному корню из его площади. Подумайте о числе, которое дает 54 при возведении в квадрат? n 2 = 54. Что может быть n? Квадраты и квадратные корни являются специальными показателями. Когда показатель степени числа равен 2, его называют квадратным, а когда показатель степени равен ½, его называют квадратным корнем числа. Давайте посмотрим, как найти квадратный корень из 54, а также откроем интересные факты о них. В этом мини-уроке давайте узнаем о квадратном корне из 54, выясним, является ли квадратный корень из 54 рациональным или иррациональным, и посмотрим, как найти квадратный корень из 54 методом деления в большую сторону.
- Квадратный корень из 54 : √ 54 = 7,348
- Квадрат 54: 54 2 = 2916
1. | Чему равен квадратный корень из 54? |
2. | Является ли квадратный корень из 54 рациональным или иррациональным? |
3. | Как найти квадратный корень из 54? |
4. | Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 54 |
5. | Важные примечания по квадратному корню из 54 |
6. | Сложные вопросы |
Чему равен квадратный корень из 54?
Квадратный корень из числа — это число, которое умножается на само себя, чтобы получить исходное число. Неквадратные числа также имеют квадратный корень, просто они не являются целыми числами. 54 — неквадратное число.
- Квадратный корень из 54 в радикальной форме выражается как √ 54, а в показательной форме выражается как 54 1/2
- Мы также можем выразить квадратный корень из 54 в его наименьшей радикальной форме как 3 √ 6 .
- Квадратный корень из 54 в десятичной форме до трех знаков после запятой = + 7,348 или -7,348
Является ли квадратный корень из 54 рациональным или иррациональным?
Число, которое нельзя выразить как отношение двух целых чисел, является иррациональным числом. Десятичная форма иррационального числа будет бесконечной (т. е. она никогда не заканчивается) и неповторяющейся (т. е. десятичная часть числа никогда не повторяет шаблон). Теперь давайте посмотрим на квадратный корень из 54. √ 54 = 7,348. Десятичная часть бесконечна, и мы не можем увидеть шаблон в десятичной части. Итак, √ 54 — иррациональное число.
Как найти квадратный корень из 54?
Существует два различных метода нахождения квадратного корня из 54
- Метод простой факторизации
- Метод длинного деления
Квадратный корень из 54 методом простой факторизации.
Чтобы найти квадратный корень из 54 , давайте сначала представим 54 как произведение его простых множителей. простая факторизация числа 54 = 2 × 3 × 3 × 3 . Следовательно, √ 54 = √ (2 × 3 3 ) = 3 √ 6 и 3 √ 6 = 7,348
Квадратный корень 54 по методу длительного деления найдите квадратный корень из 54 путем деления в большую сторону.
- Шаг 1: Составьте пару цифр (поместив над ней черту ) со своего места.
- Шаг 2. Найдите число, произведение которого при умножении на само себя меньше или равно 54. Мы знаем, что 7 × 7 равно 49.и меньше 54. Теперь разделим 54 на 7
- Шаг 3: Поставим десятичную точку и пару нулей и продолжим деление. Теперь умножьте частное на 2, и произведение станет начальной цифрой нашего следующего делителя.
- Шаг 4. Выберите число вместо единицы для нового делителя, чтобы его произведение на число было меньше или равно 500. Мы знаем, что 3 находится в разряде десятков, а наше произведение должно быть равно 500 и ближайшему умножению. 143 × 3 = 429. Итак, наше длинное деление теперь выглядит так: .
Изучение квадратного корня с помощью иллюстраций и интерактивных примеров
- Квадратный корень из 44
- Квадратный корень из 56
- Квадратный корень из 60
- Квадратный корень из 19
- Квадратный корень из 14
Важные примечания
- Квадратный корень из 54 ≈ 7,348
- Квадратный корень из 54 в его простейшей радикальной форме равен 3 √ 6
- √ 54 иррационально. Его реальные корни +7,348 и -7,348 .
Наводящие вопросы
- Чему равно число √ ( √ ( √ ( √ (504))? 9016)?
- Упрощение ( (50) 1/2 ) 1/2
Пример 1 : Тим сказал, что значение √ 54 равно 9.0014 √ -54. Что вы думаете?
Решение:
Отрицательный квадратный корень не может иметь действительных корней.
√ 54 имеет настоящие корни. Но √ -54 имеет только мнимые корни.
Следовательно, они не одинаковы.Пример 2: Джоэл сомневался. Он знал, что 7,348 – это квадратный корень из 54. Он хотел знать, является ли -7,348 также квадратным корнем из 54? Можете ли вы развеять его сомнения?
Решение:
Возьмем пример числа с совершенным квадратом и расширим ту же логику, чтобы прояснить ее сомнения. Мы знаем, что 5 — это квадратный корень из 25, потому что при умножении 5 на себя получается 25
.
. А как же -5? Умножим и проверим.
-5 × -5 = 25, потому что (- × — = +). Следовательно -5 также является квадратным корнем из 25
. Следуя той же логике, -7,348 также является квадратным корнем из 54.
перейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами.
Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 54Чему равен квадратный корень из 54?
Значение √ 54 = 7,348, округленное до 2 знаков после запятой.
Как упростить квадратный корень из 54?
3 √ 6 — простейшая форма √ 54.
54 — квадратный корень из какого числа?
54 — квадратный корень из 2916.
Является ли
√ 54 рациональным числом?√54 – иррациональное число, поскольку значение √54 – неконечная десятичная дробь.
Как найти квадратный корень из 54?
√54 можно точно оценить с помощью метода деления в длинную сторону.
93-8Квадратный корень из 54 (√54)
В этой статье мы собираемся вычислить квадратный корень из 54, узнать, что такое квадратный корень, и ответить на некоторые из часто задаваемых вопросов. Мы также рассмотрим различные методы вычисления квадратного корня из 54 (как с компьютером/калькулятором, так и без него).
Квадратный корень из 54 Определение
В математической форме мы можем представить квадратный корень из 54, используя знак радикала, например: √54. Это обычно называют квадратным корнем из 54 в радикальной форме.
Так что же такое квадратный корень? В этом случае квадратный корень из 54 — это количество (которое мы будем называть q), которое при умножении само на себя будет равно 54.
√54 = q × q = q 2
Является ли 54 идеальным квадратом?
В математике мы называем 54 полным квадратом, если квадратный корень из 54 является целым числом.
В этом случае, как мы увидим в приведенных ниже вычислениях, мы видим, что 54 не является полным квадратом.
Чтобы узнать больше о идеальных квадратах, вы можете прочитать о них и просмотреть список из 1000 из них в нашем разделе Что такое идеальный квадрат? статья.
Является ли квадратный корень из 54 рациональным или иррациональным?
Обычный вопрос состоит в том, является ли квадратный корень из 54 рациональным или иррациональным. Рациональные числа можно записать в виде дроби, а иррациональные — нет.
Быстрый способ проверить это — посмотреть, является ли число 54 полным квадратом. Если да, то это рациональное число. Если это не идеальный квадрат, то это иррациональное число.
Мы уже знаем, является ли 54 полным квадратом, поэтому мы также можем видеть, что √54 — иррациональное число.
Можно ли упростить квадратный корень из 54?
54 можно упростить, только если вы можете уменьшить 54 внутри радикального символа. Это процесс, который называется упрощением сурда. В этом примере квадратный корень из 54 можно упростить.
√54 = 3√6.
Как вычислить квадратный корень из 54 с помощью калькулятора
Если у вас есть калькулятор, то самый простой способ вычислить квадратный корень из 54 — воспользоваться этим калькулятором. На большинстве калькуляторов это можно сделать, набрав 54 и нажав клавишу √x. Вы должны получить следующий результат:
√54 ≈ 7,3485
Как вычислить квадратный корень из 54 с помощью компьютера
На компьютере вы также можете вычислить квадратный корень из 54 с помощью Excel, Numbers или Google Sheets и функции SQRT, например:
SQRT(54) ≈ 7,34846922835
Чему равен квадратный корень из 54 с округлением?
Иногда вам может понадобиться округлить квадратный корень из 54 до определенного числа знаков после запятой. Вот решения для этого, если это необходимо.
10-й: √54 ≈ 7,3
100-й: √54 ≈ 7,35
1000-й: √54 ≈ 7,348
Что такое квадратный корень из 54 в виде дроби?
Ранее в этой статье мы говорили о том, что только рациональное число может быть представлено в виде дроби, а иррациональное число — нет.
Как мы сказали выше, поскольку квадратный корень из 54 — иррациональное число, мы не можем превратить его в точную дробь. Однако мы можем превратить его в приблизительную дробь, используя квадратный корень из 54, округленный до сотых.
√54
≈ 7,3/1
≈ 735/100
≈ 7 7/20
Что такое квадратный корень из 54, записанный с показателем степени?
Все вычисления квадратного корня можно преобразовать в число (называемое основанием) с дробным показателем степени. Давайте посмотрим, как это сделать с квадратным корнем из 54:
√b = b ½
√54 = 54 ½
Как найти квадратный корень из 54 с помощью деления в длину
используйте метод длинного деления для вычисления квадратного корня из 54. Это очень полезно для тестовых задач на длинное деление, и именно так математики вычисляли квадратный корень из числа до того, как были изобретены калькуляторы и компьютеры.
Шаг 1
Задайте 54 парами из двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:
Шаг 2
Начиная с первого набора: самый большой совершенный квадрат меньше или 54 равно 49, а квадратный корень из 49 равен 7. Поэтому поставьте 7 сверху и 49 снизу вот так:
7 | |
54 | 00 |
49 |
Шаг 3
Вычислите 54 минус 49 и запишите разницу ниже. Затем переместитесь вниз к следующему набору чисел.
7 | |
54 | 00 |
49 | |
5 | 00 |
Шаг 4
Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 7 × 2 = 14. Затем используйте 14 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:
14? × ? ≤ 500
Знаки вопроса «пробел» и такие же «пробел». Путем проб и ошибок мы обнаружили, что наибольшее число, которое может быть пустым, равно 3.
Теперь введите 3 сверху:
7 | 3 |
54 | 00 |
49 | |
5 | 00 |
Вот и все! Ответ показан вверху зеленым цветом.