ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9.  § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30.  2+bx+c§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71.  Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95.  Координаты точки§ 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114.  Выражение векторного произведения через координаты сомножителей§ 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134.  Точка пересечения трех плоскостей§ 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155.  Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой§ 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168.  Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат§ 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190.  Два уравнения с двумя неизвестными§ 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216.  Эквивалентные бесконечно малые величины§ 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238.  Производная сложной функции§ 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259.  Выражение высших производных через дифференциалы§ 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279.  Второе достаточное условие максимума и минимума§ 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301.  Интегрирование по частям§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321.  Дифференциал интеграла§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342.  Кривизна§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364.  О знаке кривизны§ 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390.  Интегрирование рядов§ 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413.  Ортогональность системы функций cos nx, sin nx§ 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности§ 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456.  Вычисление двойного интеграла (общий случай)§ 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480.  Изоклины§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499.  Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью§ 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия |
2.4. Кардиоида
Оп р е д е л е н и е 12. Кардиоида– плоская кривая, уравнение в полярных координатах которой имеет вид: .
Кардиоида
описывается точкой М окружности радиусом а,
катящейся по окружности с таким же
радиусом.
Кардиоида симметрична
относительно полярной оси
(рис. 8). Случаи расположения кардиоиды
в ПСК приведены в табл. 3.
Т а б л и ц а 3
Расположение кардиоиды в ПСК
Уравнение в ПСК | Рисунок в ПСК | Уравнение в ПСК | Рисунок в ПСК |
2.5. Лемниската Бернулли
Оп р е д е л е н и е 13. Лемниската Бернулли
(от лат.lemniscatus
– украшенный лентами) – в ДПСК плоская
алгебраическая кривая 4-го порядка (рис.
9).
Произведение расстояний каждой точки М лемнискаты Бернулли до двух данных точеки (фокусов) равно квадрату половины расстояния между и Кривая симметрична относительно осей и начала координат. Впервые была рассмотрена Я. Бернулли (1694).
Случаи расположения лемнискаты в ПСК приведены в табл. 4.
Т а б л и ц а 4
Расположение лемнискаты в ПСК
Уравнение в ДПСК | Уравнение в ПСК | Рисунок в ПСК |
2.6. Правило построения кривых в полярной системе координат
Построение
кривых в ПСК
можно осуществлять по точкам следующим
образом.
1. Найти пределы изменения полярного угла, решая неравенство (так как– расстояние, величина всегда неотрицательная). При его решении пользуемся данными табл. 5.
Если функция периодическая, то необходимо выбрать главные значения угловили(удобные для конкретного примера). Если функциянепериодическая, то.
3. Составить таблицу значенийи: будем давать значения полярному углучерез произвольный промежутоки вычислять соответствующее значение, подставляя значенияв функцию.
4. По таблице построить точки с полученными координатами .
5. Соединить полученные точки плавной линией. Получим искомую кривую.
Т а б л и ц а 5
Частные случаи решения основных тригонометрических неравенств
Частный случай | Решение | Частный случай | Решение |
3.
Задания для самостоятельной работы3.1. Варианты типового расчета «Полярная система координат»
(задания 1 – 5)
З а д а н и е 1. В ПСК заданы точки (табл. 6): 1) построить точки в ПСК; 2) найти координаты данных точек в ДПСК.
Т а б л и ц а 6
Данные к заданию 1
Вариант | Координаты точек | Вариант | Координаты точек | Вариант | Координаты точек |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 2 | 3 | |||
4 | 5 | 6 | |||
7 | 8 | 9 |
О
к о н ч а н и е т а б л.
6
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
10 | 11 | 12 | |||
13 | 14 | 15 | |||
16 | 17 | 18 | |||
19 | 20 | 21 | |||
22 | 23 | 24 | |||
25 | 26 | 27 | |||
28 | 29 | 30 |
З
а д а н и е 2.
Заданы
координаты точек
в ДПСК (табл. 7): 1) найти полярные координаты;
2) построить точкив ПСК и ДПСК, совместив эти системы
координат.
Т а б л и ц а 7
Данные к заданию 2
Вариант | Координаты точек | Вариант | Координаты точек | Вариант | Координаты точек |
1 | 2 | 3 | |||
4 | 5 | 6 | |||
10 | 11 | 12 | |||
13 | 14 | 15 | |||
16 | 17 | 18 | |||
19 | 20 | 21 | |||
22 | 23 | 24 | |||
25 | 26 | 27 | |||
28 | 29 | 30 |
З
а д а н и е 3.
Даны уравнения кривых в
ДПСК
(табл.
8):
1) записать уравнения данных кривых в
ПСК; 2) построить кривые в ПСК.
Т а б л и ц а 8
Данные к заданию 3
Вариант | Уравнения кривых | Вариант | Уравнения кривых |
1 | 2 | 3 | 4 |
1 | а) ; б) . | 2 | а) ; б) . |
3 | а) ; б) . | 4 | а) ; б)
. |
5 | а) ; б) . | 6 | а) ; б) . |
7 | а) ; б) . | 8 | а) ; б) . |
9 | а) ; б) . | 10 | а) ; б) . |
11 | а) ; б) . | 12 | а) ; б) . |
13 | а) ; б) . | 14 | а) ; б) . |
15 | а) ; б) . | 16 | а) ; б)
. |
17 | а) ; б) . | 18 | а) ; б) . |
19 | а) ; б) . | 20 | а) ; б) |
О к о н ч а н и е т а б л. 8
1 | 2 | 3 | 4 |
21 | а) ; б) . | 22 | а) ; б) . |
23 | а) ; б) . | 24 | а) ; б)
. |
25 | а) ; б) . | 26 | а) ; б) . |
27 | а) ; б) . | 28 | а) ; б) . |
29 | а) ; б) . | 30 | а) ; б) . |
З а д а н и е 4. Даны уравнения кривых в ПСК (табл. 9): 1) построить кривую в ПСК; 2) записать уравнение данной кривой в ДПСК.
Т а б л и ц а 9
Данные к заданию 4
Вари-ант | Уравнения кривых | Вари- ант | Уравнения кривых | Вари-ант | Уравнения кривых |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | а) ; б) ; в) | 2 | а) ; б) ; в) | 3 | а) ; б) ; в) |
4 | а) ; б) ; в) | 5 | а) ; б) ; в) | 6 | а) ; б) ; в) |
7 | а) ; б) ; в) | 8 | а) ; б) ; в) | 9 | а) ; б) ; в) |
О
к о н ч а н и е т а б л.
9
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
10 | а) ; б) ; в) | 11 | а) ; б) ; в) | 12 | а) ; б) ; в) |
13 | а) ; б) ; в) | 14 | а) ; б) ; в) | 15 | а) ; б) ; в) |
16 | а) ; б) ; в) | 17 | а) ; б) ; в) | 18 | а) ; б) ; в) |
19 | а) ; б) ; в) | 20 | а) ; б) ; в) | 21 | а) ; б) ; в) |
22 | а) ; б) ; в) | 23 | а) ; б) ; в) | 24 | а) ; б) ; в) |
25 | а) ; б) ; в) | 26 | а) ; б) ; в) | 27 | а) ; б) ; в) |
28 | а) ; б) ; в) | 29 | а) ; б) ; в) | 30 | а) ; б) ; в) |
З
а д а н и е 5.
Даны уравнения кривых в ДПСК
и ПСК (табл. 10). Построить кривую в ПСК.
Т а б л и ц а 10
Данные к заданию 5
Вариант | Уравнения кривых | Вариант | Уравнения кривых | |
1 | 2 | 3 | 4 | |
1 | а); б) | 2 | а); б) | |
3 | а); б) | 4 | а); б) | |
5 | а); б) | 6 | а); б) | |
7 | а); б) | 8 | а); б) | |
9 | а); б) | 10 | а); б) | |
11 | а); б) | 12 | а); б) | |
13 | а); б) | 14 | а) ; б) | |
15 | а); б) | 16 | а); б) | |
17 | а); б) | 18 | а); б) | |
19 | а); б) | 20 | а) ; б) | |
О
к о н ч а н и е т а б л.
10
1 | 2 | 3 | 4 |
21 | а); б) | 22 | а) ; б) |
23 | а); б) | 24 | а) ; б) |
25 | а); б) | 26 | а) ; б) |
27 | а); б) | 28 | а) ; б) |
29 | а); б) | 30 | а) ; б) |
Лемниската Бернулли
Лемниската Бернулли| следующая кривая | предыдущая кривая | 2D кривые | 3D кривые | поверхности | фрактала | многогранники |
ЛЕМНИСКАТ БЕРНУЛЛИ
Кривая, изученная Жаком Бернулли в 1694 году и Фаньяно
в 1750 году. Жак Бернулли (1654–1705): швейцарский математик. Другое название: Бернуллиева лемниската. |
| Биполярное уравнение: (где d — половина расстояния между полюсами F и F’ , очаги лемниската). Триполярное уравнение: ( O середина F и F ‘). Полярное уравнение: (с , Ф ( д ,0), Ф ‘(- д ,0)). |
| Декартово уравнение: . Рационал бициркулярная квартика. Декартова параметризация: (). Рациональная декартова параметризация: (, ), , следовательно, сложная параметризация: . Другая декартова параметризация: (). Декартова параметризация комплексифицированной кривой: . Комплексное уравнение: . Уравнение педали: .  Полярный тангенциальный угол: . Криволинейная абсцисса: . Радиус кривизны: . Внутреннее уравнение:. Длина: , где , эллиптический интеграл первого рода, есть константа лемнискаты (вариация буквы «пи»), чтобы относиться к . У нас также есть: |
Лемниската Бернулли является претендентом, наряду с кардиоидной, за рекордное количество членств в различных семьях замечательных кривые.
Действительно:
| — частный случай Cassinian овал (см. биполярное уравнение) | |
| — частный случай Бута изгиб. | |
| — частный случай синусоидального спираль (см. полярное уравнение) | |
— как все рационально
бициркулярная квартика, в то же время педаль
по отношению к O и наоборот
(базовый круг диаметром [ A ( a ,0) ; A ‘(- a ,0)])
прямоугольной гиперболы
с центром O и вершинами A и A’ ; Ф и Ф’ обратны фокусам этой гиперболы и касательным в точках
начала являются обратными асимптотам. | |
| — он же, как педальная кривая, огибающая кругов с диаметрами, концы которых являются центром и точкой этой гиперболы. | |
| — а также геометрическое место центра гиперболы прокатки без скольжения по равной гиперболе с совпадающими вершинами. | |
| — циссоид окружности с центром F , проходящей через O , и окружности с центр и радиус a . | |
| — циссоида с полюсом O кругов ( C )
и ( C’ ) с центрами F и F ‘ и радиусами и /2. Пунктиром показаны кружки (С) и (С’), синим цветом — их гомотетика изображение, медианой которого является лемниската. | |
— геометрическое место середин линий отрезков длины
2 d , концы которых описывают две окружности радиусом a с центром
на F и F’ . | |
| Следовательно, лемниската является кривой трехзвенного, в частном случае кривая Ватта; по принципу ползунково-кривошипного обмена, существует вторая конструкция с сочлененным четырехугольником: | |
| — Сечение тора с радиусом вращения d и меридиана радиуса d /2, плоскостью, расположенной на расстоянии d /2 от оси (поэтому лемниската представляет собой спиральную Персея) | |
| — кривая, проходящая через O кривизна из которых пропорционально расстоянию до О (сравните к упругая кривая, искривление из которых пропорционально расстоянию до фиксированной линии) | |
| — геометрическое место точек M таких, что | |
| — проекция на плоскость xOy биквадратный: , пересечение конуса вращения параболоидом вращения: |
Кроме того:
— асимптотические кривые Плюккера
коноид проектируются на лемнискаты Бернулли.
— лемниската Бернулли является синодальной кривая всех пересекающихся прямых, проходящих через двойную точку:
| Эволюта
лемнискаты Бернулли параметризуется . Обратите внимание, что две вершины соответствуют максимумам кривизны… | |
| …в отличие от лемнискаты Джероно, где они соответствуют минимум … | |
| Обобщение: педаль прямоугольной гиперболы относительно точки на оси симметрии является искаженной лемнискатой, параметризовано . |
Механизм Watt для сборки лемнискаты | Семейства ортогональных лемнискат |
Посмотрите здесь, как
«сгущать» лемнискату:.
| следующая кривая | предыдущая кривая | 2D кривые | 3D кривые | поверхности | фрактала | многогранники |
© Роберт ФЕРРЕОЛ 2017
(Джеймс, Жак, Джейкоб) Швейцарская марка, выпущенная в 1994 г. в честь Джеймса Бернулли. Обратите внимание на формулу математического ожидания. Сегодня Телефонная книга Базеля содержит списки многих Бернулли и членов их семей. факультет университета. | В 1694 году Джеймс Бернулли (слева)
опубликовал кривую в Acta Eruditorum , которую он описал как
быть в форме восьмерки, или узла, или лука
лентой. Его исследования по длине дуги заложили основу для последующей работы над эллиптическими функции. Но самый важный его вклад был в вероятность. Мы по-прежнему используем термины «испытания Бернулли» и «Числа Бернулли», впервые предложенные в его великом классическом произведении ArsConjectandi. Например, он включил число Бернулли сумма 10 -х степеней первых 1000 целых чисел равна 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500. Он написал, что вычислил это в «половина четверти часа». Джеймс присоединился к своему младшему
брат Джон (справа) в признании важности
сильно сокращенный анализ бесконечно малых. Имя Джона также связано с двумя другими известными кривыми, брахистохромной и контактная сеть. К сожалению, его также помнят высокомерным личность и жестокое обращение с его сыном Даниэлем. Даниэль получил важный приз Французской академии, приз его отца думал, что он должен был получить. Четвертый Бернулли, Николай, был первым сформулировал петербургский парадокс. Он также был племянник Джеймса. Сегодня мы экспериментируем с этим парадоксом как Буффон Needle, с помощью компьютерных и графических программ-калькуляторов. Семья Бернулли
выдающиеся математики и ученые практически синонимичны
с городом Базель в Швейцарии.
Несмотря на то, что в прошлые века временами эта семья была неблагополучной,
вносил значительный вклад в жизнь университета. |
» Следуя протоколу своего времени, он дал
кривой латинское название lemniscus, , что переводится как
подвесная лента для крепления к гирлянде победителя. Он был
не зная, что его кривая была частным случаем овалов Кассини. 
В конце 1600-х годов
это трио произвело почти все то, что мы сейчас называем элементарным исчислением.
а также начала обыкновенных дифференциальных уравнений.
Джон предложил название «интегральное исчисление». 