Log 2 x: Решите неравенство log(2*x)>=0 (логарифм от (2 умножить на х) больше или равно 0)

Создан 22 янв.

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками логарифмы или задайте свой вопрос.

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Решение логарифмических уравнений с экспонентами

Purplemath

Второй тип логарифмического уравнения требует использования отношения:

—Взаимосвязь—

y = b ^x

……….. эквивалентно …………
(означает то же самое, что и)

журнал _b ( y ) = x

В анимированной форме два уравнения связаны, как показано ниже:

MathHelp.com

Обратите внимание, что основание как в экспоненциальной форме уравнения, так и в логарифмической форме уравнения — «b», но что x и y меняют сторону при переключении между двумя уравнениями.Если вы помните это — что бы ни было , было аргументом журнала, становится «равно», а все, что было , «равно» становится экспонентой в экспоненте, и наоборот — тогда у вас не должно быть слишком много проблемы с решением уравнений журнала.

Поскольку это уравнение имеет форму «журнал (чего-то) равен числу», а не «журнал (чего-то) равен журналу (чего-то еще)», я могу решить уравнение, используя Соотношение:

журнал ₂ ( x ) = 4

2 ⁴ = x

16 = х

Я могу решить эту проблему, преобразовав логарифмический оператор в его эквивалентную экспоненциальную форму, используя The Relationship:

Но 8 = 2 ³ , поэтому я могу приравнять степени двойки:

Обратите внимание, что это также можно было решить, работая непосредственно с определением логарифма.

Какая сила, когда поставлена ​​на «2», даст вам 8? Конечно же, сила 3!

Если вы хотите много работать, вы также можете сделать это в своем калькуляторе, используя формулу замены базы:

Вставьте это в свой калькулятор, и в качестве ответа вы получите «3». Хотя этот метод смены базы не особенно полезен в данном случае, вы можете видеть, что он действительно работает. (Попробуйте это сделать на своем калькуляторе, если вы еще этого не сделали, чтобы быть уверенным, что вы знаете, какие клавиши нажимать и в каком порядке.Эта техника понадобится вам в последующих задачах.

Я не говорю, что вам обязательно захочется, чтобы решал уравнения, используя формулу изменения базы, или всегда используя определение журналов, или какой-либо другой конкретный метод. Но я предлагаю вам убедиться, что вы знакомы с различными методами, и что вы не должны паниковать, если вы и ваш друг использовали полностью разных методов для решения одного и того же уравнения.

• Журнал решения

  ₂ ( x ) + лог ₂ ( x — 2) = 3

Я пока ничего не могу сделать с этим уравнением, потому что у меня его еще нет в форме «журнал (чего-то) равно числу». Поэтому мне нужно использовать правила журнала, чтобы объединить два члена в левой части уравнения:

журнал ₂ ( x ) + журнал ₂ ( x — 2) = 3

журнал ₂ [( x ) ( x — 2)] = 3

журнал ₂ ( x ² -2 x ) = 3

Теперь уравнение устроено удобным образом.На этом этапе я могу использовать Отношение, чтобы преобразовать логарифмическую форму уравнения в соответствующую экспоненциальную форму, а затем я могу решить результат:

журнал ₂ ( x ² -2 x ) = 3

2 ³ = x ² — 2 x

8 = x ² -2 x

0 = x ² — 2 x — 8

0 = ( x -4) ( x + 2)

x = 4, –2

Но если x = –2, то «log ₂ ( x )» из исходного логарифмического уравнения будет иметь отрицательное число в качестве аргумента (как и термин «log ₂ ( x — 2) «).Поскольку журналы не могут иметь нулевых или отрицательных аргументов, решение исходного уравнения не может быть x = –2.

Тогда мое решение:

Имейте в виду, что вы всегда можете проверить свои ответы на любое упражнение «решение», вставив эти ответы обратно в исходное уравнение и проверив, что решение «работает». В этом случае я вставлю свое значение решения в любую сторону исходного уравнения и проверю, что каждая сторона оценивает одно и то же число:

левая сторона:

журнал ₂ ( x ) + журнал ₂ ( x -2)

= журнал ₂ (4) + журнал ₂ (4-2) 3

= журнал ₂ (4) + журнал ₂ (2)

= журнал ₂ (2 ² ) + журнал ₂ (2 ¹ )

= 2 + 1 = 3

Правая часть исходного уравнения уже была упрощена до «3», поэтому это решение проверяется.

Это уравнение может показаться слишком сложным, но это всего лишь еще одно логарифмическое уравнение. Чтобы решить эту проблему, мне нужно дважды применить The Relationship. Я начинаю с исходного уравнения и работаю с «внешним» журналом:

Отношение преобразует вышеуказанное в:

Теперь я применяю Отношение во второй раз:

Тогда решение:

• Журнал решения

  ₂ ( x ² ) = (журнал ₂ ( x )) ²

Во-первых, я расширю квадрат справа, чтобы он был явным произведением двух бревен:

журнал ₂ ( x ² ) = [журнал ₂ ( x )] ²

журнал ₂ ( x ² ) = [журнал ₂ ( x )] [журнал ₂ ( x )]

Затем я применяю правило журнала, чтобы переместить «квадрат» изнутри журнала в левой части уравнения, вынимая его перед этим журналом в качестве множителя:

2 · журнал ₂ ( x ) = [журнал ₂ ( x )] [журнал ₂ ( x )]

Затем я перенесу этот член из левой части уравнения в правую:

0 = [журнал ₂ ( x )] [журнал ₂ ( x )] — 2 · журнал ₂ ( x )

Это уравнение может показаться плохим, но внимательно присмотритесь.На данный момент это не более чем упражнение по факторингу. Итак, я фактор, а затем я решу факторы, используя The Relationship:

0 = [журнал ₂ ( x )] [журнал ₂ ( x ) — 2]

журнал ₂ ( x ) = 0 или журнал ₂ ( x ) — 2 = 0

2 ⁰ = x или лог ₂ ( x ) = 2

1 = x или 2 ² = x

1 = x или 4 = x

Тогда мое решение:

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении логарифмических уравнений (или пропустите виджет и продолжите урок).Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. 5 — \ large \ log_ {2} x \ normalsize = 4 $

Шаг: 2

Используйте правило логарифмов, чтобы записать первый логарифмический член в простой форме.

$ \ подразумевает 5 \ times \ large \ log_ {x} \ normalsize 2 — \ large \ log_ {2} x \ normalsize = 4 $

$ \ подразумевает 5 \ large \ log_ {x} \ normalsize 2 — \ large \ log_ {2} x \ normalsize = 4 $

Запомните это логарифмическое уравнение, и оно решается двумя разными способами, чтобы получить значение $ x $. Используйте изменение основного правила логарифмов, чтобы преобразовать $ \ large \ log_ {x} \ normalsize 2 $ в $ \ large \ log_ {2} x $ или наоборот.

Метод: 1

$ \ подразумевает 5 \ large \ log_ {x} \ normalsize 2 — \ large \ log_ {2} x \ normalsize = 4 $

В этом методе выразите $ \ large \ log_ {x} \ normalsize 2 $ в его обратной форме, используя правило изменения основания логарифмов.5}

$ \ следовательно \, \, \, \, \, \, x = 2 $ и $ x = \ dfrac {1} {32} $

Следовательно, это необходимое решение данной проблемы. Литерал $ x $ имеет два значения: $ 2 $ и $ \ dfrac {1} {32} $.

Метод: 2

Вернитесь к нашему логарифмическому уравнению, $ 5 \ large \ log_ {x} \ normalsize 2 — \ large \ log_ {2} x \ normalsize = 4 $

Теперь выразите $ \ large \ log_ {2} \ normalsize x $ в его обратной форме, используя правило изменения базы логарифмов.

$ \ подразумевает 5 \ large \ log_ {x} \ normalsize 2 — \ dfrac {1} {\ large \ log_ {x} \ normalsize 2} \ normalsize = 4 $

Шаг: 3

Теперь предположим, что $ \ large \ log_ {x} \ normalsize 2 = z $.2-4 \ times 5 \ times (-1)}} {2 \ times 5}

$ \ подразумевает z = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 + 20}} {10}

$ \ подразумевает z = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {36}} {10} $

$ \ подразумевает z = \ dfrac {4 \ pm 6} {10}

$ \ подразумевает z = \ dfrac {4 + 6} {10} $ и $ z = \ dfrac {4-6} {10} $

$ \ подразумевает z = \ dfrac {10} {10} $ и $ z = \ dfrac {-2} {10} $

$ \ require {cancel} \ implies z = \ dfrac {\ cancel {10}} {\ cancel {10}} $ и $ z = \ dfrac {\ cancel {-2}} {\ cancel {10}} $

$ \, следовательно, \, \, \, \, \, \, z = 1 $ и $ z = \ dfrac {-1} {5} $

Шаг: 5

Теперь замените $ z $ его фактическим значением и решите каждое решение, чтобы получить ответ на эту проблему.5}

$ \ следовательно \, \, \, \, \, \, x = 2 $ и $ x = \ dfrac {1} {32} $

Калькулятор по базе логарифма 2

Добро пожаловать в калькулятор по базе логарифма компании Omni . Ваш любимый инструмент для вычисления значения log₂ (x) для произвольных (положительных) x . Операция представляет собой частный случай логарифма, т.е. когда основание журнала равно 2 . Поэтому мы иногда называли его двоичным логарифмом .

Так что, например, лог с базой 2 из 8 ? Или log₂ 16 ? Или log₂ 32 ? Что ж, давайте сразу перейдем к статье и узнаем!

Что такое логарифм?

Как только человечество научилось складывать числа, оно нашло способ упростить запись для , добавив одно и то же число несколько раз: умножение.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 * 5

Тогда возник очевидный вопрос: как мы могли написать , умножая одно и то же число несколько раз? И снова пришел какой-то умный математик, который ввел экспоненты.

5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 5⁸

Однако всегда найдется один любопытный человек, который задает самые дикие вопросы. В этом случае они задавались вопросом, есть ли способ инвертировать все эти операции .К счастью для нас, математики и всего мира науки, другие любопытные люди нашли ответ.

Для сложения это было просто: обратная операция — это вычитание . Для умножения все еще довольно просто: это деление. Однако для экспонентов история усложняется . В конце концов, мы знаем, что 5 + 8 = 8 + 5 и 5 * 8 = 8 * 5 , но 5⁸ сильно отличается от 8⁵ . Так что же должна дать обратная операция? Если у нас есть 5⁸ , должно ли оно возвращать 5 или 8 ?

Логарифм (от основания 5 ) был бы операцией, если бы мы выбрали вариант 8 .Другими словами, это функция, которая сообщает вам показатель степени, необходимый для получения значения . Символически мы можем записать определение так:

Для сравнения обратная операция, которая вернет 5 из 5⁸ , будет просто корнем ( 8 -й).Если бы мы хотели получить немного более технический , то мы могли бы сказать, что, в общем, если бы у нас было выражение xʸ , то корень является обратной операцией для x , а логарифм равен y. . И если бы мы хотели получить еще более технический , мы бы сказали, что первый инвертирует полиномиальную функцию, а второй — экспоненциальную.

Прежде чем мы двинемся дальше, давайте составим красивый список с и несколько важных моментов информации о нашем новом друге, логарифмической функции .

• Есть два очень частных случая логарифма , которые имеют уникальную запись: натуральный логарифм и логарифм с основанием 10 . Обозначим их ln (x) и log (x) (второй просто без малого 10 ), а их основаниями являются, соответственно, число Эйлера e и (сюрприз, сюрприз!) номер 10 .
• Функция логарифма определена только для положительных чисел. Другими словами, всякий раз, когда мы пишем logₐ (b) , нам требуется, чтобы b было положительным.
• Независимо от основания, логарифм 1 равен 0 . В конце концов, что бы мы ни возводили в степень 0 , мы получаем 1 .
• Логарифмы чрезвычайно важны. А мы имеем в виду ЧРЕЗВЫЧАЙНО важный. Вне математики они используются в статистике (например, логнормальное распределение), экономике (например, логнормальное распределение).g., индекс ВВП), , медицина, (например, индекс QUICKI) и , химия, (например, распад периода полураспада). Кроме того, довольно несколько физических единиц основаны на логарифмах, например шкала Рихтера, шкала pH и шкала дБ.

Сегодня мы сосредоточимся на , очень частном случае логарифма , то есть на основании 2 , которое мы иногда называем двоичным логарифмом . По сути, мы сосредоточимся на использовании степеней , 2, и… Ну, если подумать, почему бы нам не посвятить этому целый раздел?

Двоичный логарифм

Как упоминалось в конце предыдущего раздела, двоичный логарифм является частным случаем логарифмической функции с основанием 2 . Это означает, что у нас будут выражения вида log₂ (x) , и мы спросим себя, до какой степени мы должны возвести 2 , чтобы получить x . Например, мы легко можем заметить, что log₂ 4 = 2 .

Казалось бы, 2 — это число, как и любой другой . Однако у него есть некоторые интересные свойства. Например, это наименьшее простое число и единственное четное число. Более того, это база для любых компьютерных операций через двоичное представление.

Поскольку это так важно, давайте вспомним несколько основных степеней 2 . Помните, что показатель степени также может быть 0 или даже отрицательным.

  импорт математики
e = - (t / T) * math.log ((t / T) [, 2])
  

  In [22]: импорт математики

В [23]: math.log?
Тип: builtin_function_or_method
Базовый класс: 
Строковая форма: <встроенный журнал функций>
Пространство имен: Интерактивное
Строка документации:
    log (x [, base]) -> логарифм x по заданному основанию.
    Если основание не указано, возвращает натуральный логарифм (основание e) числа x.


В [25]: math.log (8,2)
Из [25]: 3.0
  

  импорт математики

log2 = математика.журнал (х, 2,0)
log2 = math.log2 (x) # python 3.3 или новее
  

  log2int_slow = int (math.floor (math.log (x, 2.0))) # они дают
log2int_fast = math.frexp (x) [1] - 1 # тот же результат
  

  log2int_faster = x.bit_length () - 1
  

  импорт математики
'находит log base2 of x'
ответ = math.log2 (x)
  

  импорт математики
'находит log base2 of x'
ответ = математика.журнал (x) /math.log (2)
  

  In [1]: импортировать numpy как np

В [2]: нп.log2?
Тип: функция
Базовый класс: 
Строковая форма: <функция log2 в 0x03049030>
Пространство имен: Интерактивное
Файл: c: \ python26 \ lib \ site-packages \ numpy \ lib \ ufunclike.py
Определение: np.log2 (x, y = None)
Строка документации:
    Вернуть логарифм по основанию 2 входного массива поэлементно.

Параметры
----------
x: array_like
  Входной массив.
y: array_like
  Необязательный выходной массив той же формы, что и `x`.

Возврат
-------
y: ndarray
  Логарифм по основанию 2 от `x` поэлементно.NaN возвращаются там, где `x` отрицательно.

Смотрите также
--------
журнал, log1p, log10

Примеры
--------
>>> np.log2 ([- 1, 2, 4])
массив ([NaN, 1., 2.])

В [3]: np.log2 (8)
Вых [3]: 3.0
  

  def lg (x, tol = 1e-13):
  res = 0,0

  # Целая часть
  в то время как x <1:
    res - = 1
    х * = 2
  в то время как x> = 2:
    res + = 1
    х / = 2

  # Дробная часть
  fp = 1.0
  а fp> = tol:
    fp / = 2
    х * = х
    если x> = 2:
        х / = 2
        res + = fp

  вернуть res
  

  >>> def log2 (x):
... вернуть math.log (x) / math.log (2)
...
>>> log2 (2)
1.0
>>> log2 (4)
2.0
>>> log2 (8)
3.0
>>> log2 (2.4)
1,2630344058337937
>>>
  

  импорт математики
печать (математика.log (8,2)) # math.log (число, основание)
  

  импорт математики

математика.log2 (х)
math.log10 (x)
math.log1p (x)
  

  myLog2Answer = log10 (myInput) / log10 (2)