Log по основанию 5: Х в степени log x по основанию 5=625

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения  и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная  может принимать любое действительное значение, тогда на переменные  и накладываются такие ограничения: ,  ,  

Если нам известны значения  и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое  действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа  по основанию :

Итак,

Логарифмом числа  по основанию  называется показатель степени, в которую надо возвести  , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

            ,  ,  

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(,  ,   ,  ,  

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Следующая группа свойств позволяет представить  показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента  перед знаком логарифма:

6. 

7. 

8. 

9. 

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. 

11. 

12. (следствие из свойства 11)

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13.  

14. 

15. 

 

Частные случаи:

— десятичный логарифм

 —  натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

 

Пример 2. Вычислить:

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Применим свойства 4 и 6:

Введем замену  

Получим:

Ответ:  1 

 

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

log(по основанию 5)x + log(по основанию 5)(4x-1)=1

РЕШЕНИЕ: log(по основанию 5)x + log(по основанию 5)(4x-1)=1

Алгебра -> Решатели логарифмов, тренажеры и текстовые задачи -> РЕШЕНИЕ: журнал (по основанию 5) x + журнал (по основанию 5) (4x-1) = 1 Войти

Алгебра: логарифм Раздел РешателиРешатели УрокиУроки Архив ответовОтветы     Нажмите здесь, чтобы увидеть ВСЕ задачи на логарифм Вопрос 408800: log(по основанию 5)x + log(по основанию 5)(4x-1)=1 Ответ от jsmallt9(3758)    (Показать источник): Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ сайте! Решение уравнений, в которых переменная является аргументом (или основанием) логарифма, обычно начинается с преобразования уравнения в одну из следующих форм: log(выражение) = другое-выражение или log(выражение) = log(другое-выражение) С нелогарифмическим членом 1 в вашем уравнении будет легче достичь первой формы. Итак, мы хотим найти способ объединить два логарифма в один. Два логарифма не похожи на члены, поэтому мы не можем просто сложить их вместе. (Подобно тому, как логарифмические термины имеют логарифмы одного основания с одинаковыми аргументами.) К счастью, у логарифмов есть свойство , которое является еще одним способом объединения двух логарифмов, между которыми есть знак «+». Это свойство требует только, чтобы основания были одинаковыми, а коэффициенты логарифмов были равны единицам. Ваши логарифмы удовлетворяют обоим требованиям, поэтому мы можем использовать их для объединения двух логарифмов в один: , что упрощается до: Теперь у нас есть первая форма. Следующим шагом с этой формой является переписывание уравнения в экспоненциальной форме. В целом эквивалентно . Используя этот шаблон в вашем уравнении, мы получаем: , что упрощается до: Это уравнение мы можем решить. Он квадратичен, поэтому мы хотим, чтобы одна сторона была равна нулю. Вычитая по 5 с каждой стороны, мы получаем: Затем мы факторизуем (или используем квадратичную формулу). Это довольно легко разложить: (4x-5)(x+1) = 0 Из свойства нулевого продукта мы знаем, что этот (или любой) продукт может быть равен нулю только , если один (или несколько) множителей равен нулю. Итак: 4x-5 = 0 или x+1 = 0 Решив их, мы получим: x = 5/4 или x = -1 С логарифмическими уравнениями, подобными вашему, вы должны проверить свое решение(я). Вы должны убедиться, что они делают аргументы (и основания) всех логарифмов положительными. Любое «решение», которое делает аргумент или основание нуля или отрицательным, должно быть отклонено. И эти отвергнутые «решения» могут встречаться , даже если при решении не было допущено ошибок! Таким образом, вы всегда должны проверять это, независимо от того, насколько хорошо вы разбираетесь в математике. Для проверки всегда используйте исходное уравнение: Проверка x = 5/4: , которое упрощается следующим образом: Мы видим, что оба аргумента (и основания) положительны. Так что нет причин отказываться от этого решения. Это обязательная часть чека. Оставшаяся часть чека покажет нам, допустили ли мы ошибку. Вы можете закончить проверку. Проверка x = -1: Мы уже видим, что один аргумент отрицательный. Аргументы логарифмов и никогда не могут быть отрицательными (поскольку невозможно возвести 5 в в любой степени и получить отрицательное число). Поэтому мы должны отказаться от этого решения. (Важно: мы отклонили x = -1 в качестве решения не потому, что x было отрицательным. Мы отклонили решение, потому что аргумент логарифма отрицателен, когда x равен -1. Иногда отрицательные значения для x допустимы. Иногда положительные значения для x отклоняются. Все зависит от того, как сработают аргументы.) Таким образом, единственное решение вашего уравнения: x = 5/4

логарифмов — найти логарифм с основанием 5 из 84, когда заданы другие логарифмы

спросил 3 года, 6 месяцев назад

Изменено 3 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 240 раз

$\begingroup$

Пытался помочь студенту с задачей на логарифмы, которая уже неделю ставит меня в тупик. Я знаю ответ, но не знаю, как к нему добраться. Это выглядит так:

Предположим, что $\log_{12}5 =a$ и $\log_{12}7=b$.

Я должен использовать правила и свойства логарифмов, чтобы записать это в терминах a и b: $\log_{5}84$.

Я знаю, что ответ: $(1 + b)/a$, но никак не могу его найти.

• логарифмы

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Здесь нужно помнить четыре важные вещи.

Во-первых, вы можете разложить числа на множители, и здесь мы имеем $84 = 12\cdot 7$

Во-вторых, $\log_x(y\cdot z) = \log_x(y) + \log_x(z)$

В-третьих, $\log_x(y) = \dfrac{\log_z(y)}{\log_z(x)}$

Наконец, помните, что $\log_x(x)=1$

Это верно для всех положительных действительных значений $x,y,z$, отличных от $1$.

Итак… у нас есть $\log_{12}(5)=a$ и $\log_{12}(7)=b$

Используя их, поскольку эти логарифмы являются одним и тем же основанием, мы можем найти $\ log_5(7)$ как $\frac{b}{a}$, но это не совсем то, что нас интересует, но близко к этому.

No related posts.