Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
11.20
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Решено
3.
Даны параллельные плоскости 𝛼 и 𝛽. Через точки А и В плоскости 𝛼 проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость 𝛽 в точках A1 и B1 .
Решено
Дан куб ABCDA1B1C1D1 Найдите угол между прямыми AD1 и BM, где М-середина ребра DD1
Решено
Найдите значения х,при которых значения…
Напишите уравнение прямой проходящей через точки A (-1;2) и B (2;-3).
Решено
Даны координаты векторов a⃗ и b⃗ . Определи координаты векторов u⃗ и v⃗ , если u⃗ =3a⃗ −2b⃗ и v⃗ =2a⃗ +b⃗ . a⃗ {7;8} b⃗ {5;7}
Пользуйтесь нашим приложением
12.
4: Свойства логарифма — Mathematics LibreTexts- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 45120
- Darlene Diaz
- Santiago Canyon College через Инициативу открытых образовательных ресурсов ASCCC
В этом разделе мы делаем логарифмы еще на один шаг и обсуждаем свойства логарифмов. Поскольку логарифмы являются экспонентами, а у нас есть много свойств экспоненты, как мы узнали из главы Полиномы , имеет смысл, что у нас есть аналогичные свойства для логарифмов. Например, если произведение двух множителей с одинаковым основанием дает сумму их показателей, то мы имеем свойство произведения логарифмов; если частное двух множителей с одним и тем же основанием дает разность их показателей, то мы имеем частное свойство логарифмов; аналогичный случай для правила степени логарифмов.
Понимание свойств логарифмов
Произведение Свойства логарифмов
Логарифм произведения есть сумма логарифмов:
\[\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\не число\]
, где \(a\) — база, \(a > 0\) и \(a\neq 1\) и \(M,\: N > 0\).
Пример 12.4.1
Переписать в виде суммы логарифмов: \(\log_3 (6\cdot 5)\)
Раствор
Так как \(3\) — основание, а \(6\) и \(5\) — множители, то в формуле мы видим \(\log_a (MN)\), \(a = 3\), \ (М = 6\) и \(N = 5\). Следовательно,
\[\log_3 (6\cdot 5)=\log_3 6+\log_3 5\не число\]
Пример 12.4.2
Переписать в виде суммы логарифмов: \(\ln(2k)\)
Раствор
Поскольку \(e\) является основанием, а \(2\) и \(k\) являются множителями (вы видите это, когда мы записываем \(2k\) как \(2\cdot k\)), мы видим в формулах \(\log_a (MN)\), \(a = e\), \(M = 2\) и \(N = k\). Следовательно,
\[\ln(2k) = \log_e (2\cdot k) = \log_e 2 + \log_e k = \ln 2 + \ln k\nonumber\]
Частное свойство логарифмов
Логарифм частного есть разность логарифмов:
\[\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M — \log_a N\nonumber\]
, где \(a\) — база, \(a > 0\) и \(a\neq 1\) и \(M,\: N > 0\).
Пример 12.4.3
Переписать как разность логарифмов: \(\log_3\left(\dfrac{7}{5}\right)\)
Раствор
Поскольку \(3\) — основание, \(7\) — числитель, а \(5\) — знаменатель, в формуле мы видим \(\log_a\left(\dfrac{M}{N} \справа)\), \(а = 3\), \(М = 7\) и \(N = 5\). Следовательно,
\[\log_3\left(\dfrac{7}{5}\right)=\log_3 7-\log_3 5\номер\]
Примечание
Обратите внимание, что значение журнала после знака минус является значением знаменателя дроби.
Пример 12.4.4
Перепишем как разность логарифмов: \(\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\)
Раствор
Поскольку \(e\) — основание, \(7\) — числитель, а \(2\) — знаменатель, мы видим в формуле \(\log_a\left(\dfrac{M}{N} \справа)\), \(а = е\), \(М = 7\) и \(N = 2\). Следовательно, 9{\ color{blue}{\sqrt{2}}}&\color{black}{=}\color{blue}{\sqrt{2}}\color{black}{\cdot}\ln x \\ & =\sqrt{2}\ln x\end{выровнено}\]
Уведомление \(\sqrt{2}\) и \(\ln x\) становятся факторами.
Другие свойства логарифмов
Вот несколько других свойств логарифмов, которые мы находим полезными при упрощении. Напомним, мы используем эти свойства, чтобы иметь лучшую технику, когда нам нужно решать уравнения с логарифмами.
Другие свойства логарифмов
9{\log_{12}\sqrt{12}}=\sqrt{12}\).Расширение и сокращение логарифмов
Мы обсуждаем расширение и сокращение логарифмических выражений как часть применения свойств. В следующем разделе мы применим эти свойства для решения логарифмических уравнений.
Эмпирические правила для разложения логарифмов
Когда разлагают логарифмы из одного выражения, обязательно записывайте все логарифмы числа
Правило 1. Произведения как суммы
Правило 2. Частные как разности
Правило 3. Степени как множители
Мы используем порядок операций при расширении выражения и применяем свойство степени, а затем свойства произведения и частного — в этом порядке.
{1/2}-\log y &\text{Применить свойство степени логарифмов} \\ \log 1000+\dfrac{1} {2}\log x-\log y &\text{Расширенное логарифмическое выражение}\end{массив}\nonumber\] 9{1/2}\), чтобы увидеть, что у \(x\) есть степень, в которой мы должны использовать свойство произведения логарифмов, чтобы уменьшить его как множитель. Таким образом, все произведения записываются в виде сумм, все частные — в виде разностей, а все степени — в виде множителя
Эмпирические правила сокращения логарифмов
Когда сокращает логарифмы из одного выражения, обязательно записывайте любое
Правило 1. Кратность логарифма как степень аргумента
Правило 2. Суммы логарифмов как логарифм произведения
Правило 3. Разность логарифмов как логарифм частного
Пример 12.4.9
Запишите \(\log_2 9 + 2 \log_2 x − \log_2 (x − 4)\) в виде единичного логарифма
Раствор
Сразу же мы видим сумму и разность с логарифмами, поэтому мы знаем, что будем использовать свойство частного и произведения логарифмов.
Кроме того, нам придется использовать свойство мощности логарифмов. 92\), чтобы увидеть, что есть степень на \(x\), в которой мы должны были использовать свойство произведения логарифмов, чтобы записать \(2\) в качестве показателя степени. Таким образом, все множители записываются в виде степеней, все суммы записываются в виде произведений, а все разности записываются в виде частных.
Примечание
Шотландский математик Джон Нэпьер опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его цель состояла в том, чтобы помочь в умножении величин, которые тогда назывались синусами. Весь синус был величиной стороны прямоугольного треугольника с большой гипотенузой.
Изменение формулы основания
la Иногда нам нужно иметь возможность переписывать логарифмы в терминах других оснований. Это особенно полезно при счете в разных системах счисления. Например, в компьютерном языке мы считаем в двоичной системе счисления с основанием \(2\). Мы можем использовать изменение базовой формулы для перезаписи чисел в различных системах счисления, и это особенно полезно в информатике.
Однако в этом учебнике мы изучаем изменение базовой формулы 9.y =\log M&\text{Применить правило степени логарифмов} \\ y\log a=\log M&\text{Найти} y \\ y=\dfrac{\log M}{\log a}&\ text{Это изменение базовой формулы}\end{массив}\nonumber\]
Изменение базовой формулы
Если \(a\), \(b\), \(M>0\), и \(a\), \(b\neq 1\), затем
\[\log_a M=\dfrac{\log M}{\log a}\quad\text{or}\quad \log_a M=\dfrac{\ln M}{\ln a}\nonumber\]
, где log — десятичный логарифм, а ln — натуральный логарифм. Мы можем использовать любую формулу и получить тот же результат.
Пример 12.4.10
Перепишите выражение, используя формулу изменения основания, а затем аппроксимируйте ответ до трех знаков после запятой.
\[\log_2 9\номер\]
Раствор
Мы хотели бы приблизить это значение с помощью калькулятора, но не можем легко ввести логарифм по основанию \(2\). Мы должны переписать \(\log_2 9\) так, чтобы мы могли легко ввести его в калькулятор.
Здесь пригодится формула изменения базы (COB). Обратите внимание на основание \(a = 2\) и значение \(M = 9\). Используя формулу COB, мы перепишем \(\log_2 9\) как
\[\log_{\color{red}{2}}\color{blue}{9}\color{black}{=}\dfrac{\log\color{blue}{9}}{\log\color {красный}{2}}\номер\]
Напомним, log — это десятичный логарифм, \(\log_{10}\). Подставив \(\dfrac{\log 9}{\log 2}\) в калькулятор, мы аппроксимируем \(3,170\).
Примечание
Мы могли бы легко использовать натуральный логарифм в формуле COB и получить тот же результат. Нет необходимости использовать обе формулы — достаточно одной. 97}\справа)\)
Используйте формулу изменения основания и калькулятор, чтобы вычислить логарифм. Округлите до четырех знаков после запятой.
Упражнение 12.4.9
\(\log_3 23\)
Упражнение 12.4.10
\(\log_{0.4}20\)
Упражнение 12.4.11
\(\log_{19}57,8\)
Вычислите каждый логарифм.
Упражнение 12.4.12
\(\log_{23}23\)
Упражнение 12.4.13 9{\log_{247}\sqrt{5}}\)
Упражнение 12.4.15
\(\log_{\dfrac{1}{3}}1\)
Эта страница под названием 12.4: Свойства логарифма распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дарлин Диаз (Инициатива открытых образовательных ресурсов ASCCC) с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем. и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Дарлин Диас
- Лицензия
- CC BY-NC-SA
- Версия лицензии
- 4,0
- Программа ООР или издатель
- Программа ASCCC OERI
- Показать страницу TOC
- нет
- Теги
- source@https://www.
- source@https://www.
