Лекции по теме «Логарифмы».
11 класс тема «Логарифм» Учитель: Рудая В.В.
ЛЕКЦИЯ 2 Свойства логарифма
Вспомним полученные знания из лекции 1 по данной теме и ответим на вопросы (устно):
1. Дайте определение логарифма числа.
2. Дайте определение десятичного логарифма.
3. Сформулируйте основное логарифмическое тождество
4. Перечислите изученные свойства логарифмов.
Вычислите (в тетрадях):
5 10. 2+
11.
2 12. —
13. 2
14.
()
Если возникли трудности, то вспомни свойства степеней и корней:
Введем новые свойства логарифмов, с помощью которых вы должны научиться решать и упрощать выражения, содержащие логарифмы
В тетради оформляем таблицу (переписываем и разбираемся по каждому свойству!)
№ | Название свойства логарифмов | Свойства логарифмов | Пример |
1. | Логарифм единицы. | log a1 = 0, a 0, a 1. | log321 =0 |
2. | Логарифм основания. | log aa = 1, a 0, a 1. | Log328 + Log324 |
Логарифм произведения. | log a(xy) = log ax + logay, a 0, a 1, x 0, y 0. | log328 + log324 = =log3232 =1 | |
4. | Логарифм дроби. | log a = log ax – logay, a 0, a ? 1, x 0, y 0. |
log3 54 — log32 = =log327 =3 |
5. | Логарифм степени. | log ax = log ax, | log3 2767 = 67 log3 27= 67*3 = 201 log3 (-27)8 = 8 log3 | —27|= 8*3 = 24 (под логарифмом не может быть отрицательного числа !!!) |
Замечание. | log ax2k = 2k log a |x| , | ||
6. | Логарифм выражения по основанию, которое является степенью. | log a x = log ax, a 0, | Этого свойства в учебнике нет, но оно важное! =1/4 log2 2 = ¼ = 0,25 (т. Лишний раз проверь при вынесения показателя – под логарифмом должно остаться положительное число!!! = 7/4 log2 2 = 7/4 =1,75 (если сразу использовать свойства 5 и 6) |
Замечание: | 1. log a2kx = log |a|x, | ||
7. | Переход к новому основанию. | = a 0, a 1, c 0, c 1, b 0. |
= ; = = (это свойство используется когда основание надо поменять местами с подлогарифмируемым выражением) |
 | log ab = , |
о, показатель основания «выходит» из логарифма обратным числом)Вся теория логарифмов строится на определении и свойствах. Определение надо выучить, а свойства отработать на упражнениях. Приступим!
Из учебника в тетради выполнить задания №488, №489, №490, №495, 496.
У многих из вас возникает вопрос «А где же эти логарифмы встречаются и применяются в жизни?»
Историческая справка по теме.
«Зачем и где применяются логарифмы»
Знания логарифмов и основных логарифмических свойств необходимы для людей многих профессий: физиков, химиков, астрономов, психологов, географов и экологии.
Логарифмы по основанию 10 до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки
Логарифмическая линейка хорошо знакома нашим родителям. Она позволяет выполнять умножение и деление чисел, возведение в степень и вычисление квадратных и кубических корней.
Шкала Рихтера — классификация силы землетрясений, созданная и представленная в 1935 г. геологом Чарльзом Рихтером. Шкала основана на принципе логарифма: каждое деление увеличивается в 10 раз, и его основанием является общая энергия, выделяемая при землетрясении.
В 1858 году немецкий физик и психолог Густав Фехнер доказал, основной психофизический закон, в котором говорится, что интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии».
Логарифмы применяются и в психических явлениях. «Шкала Ландау» самый яркий пример. Знаменитый физик по ней оценивал заслуги своих коллег. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков имел класс 0,5, Бор, Дирак, Гейзенберг имели класс 1
Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах.
Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Её направление обратное: чем больше значение звездной величины, тем слабее блеск объекта.
Xимическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин. Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, основанием логарифма служит число 10.
Играя на рояле, пианист играет на логарифмах. Ступени темперированной хроматической гаммы представляют логарифмы этих величин с основанием
Логарифмическая спираль часто встречается в природе. Впервые логарифмическая спираль описана Декартом, а потом была исследована Бернулли.
Паук Эпейра сплетая паутину, закручивает паутину, скручивая нити вокруг центра по логарифмической спирали.
Живые существа обычно растут во всех направлениях , сохраняя общее начертание своей формы. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться.