Локальный максимум: Mathway | Популярные задачи

2

Локальные И Глобальные Экстремумы — CIDAC

Оглавление публикации

• Функции Нескольких Переменных
• Скалярное Поле Поведение Скалярного Поля Характеризуют Производная По Направлению; Градиент.
• Дифференциал Функций Методические Указания Для Практических Занятий
• Уравнения Прямой И Плоскости Методические Указания Для Практических Занятий
• Правило Лопиталя Методические Указания Для Практических Занятий. Министерство Образования И Науки Российской Федерации
• Решение Задач По Теории Поля

Последние называют еще задачами оптимизации. Будем говорить, что функция имеет в точке локальный экстремум, если она имеет этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум. Если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется строгое неравенство , то точка являетсяточкой строгого локального минимума. Если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется строгое неравенство , то точка являетсяточкой строгого локального максимума.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума – локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

• Будем говорить, что функция имеет в точке локальный максимум [локальный минимум], если найдется такая -окрестность точки в пределах которой значение является наибольшим [наименьшим] среди всех значений этой функции.
• При малых слагаемое как угодно мало, поэтому знак производной зависит от .
• При принимает значения сколько угодно раз.
• Двигаясь по градиенту (антиградиенту) можно достичь максимума (минимума) функции.
• Грубо говоря, в любой -окрестности точки куски поверхности есть и сверху, и снизу.
• то функция может иметь и не иметь экстремум в .

Например, функции иудовлетворяют условиям в точке , но первая из них не имеет экстремума в этой точке, а вторая – имеет, а именно, минимум. Следующий метод divide-and-conquer должен найти локальный минимум в O , если существует хотя бы один локальный минимум.

Формально доказать это утверждение нетрудно, идея состоит в том, чтобы построить такой массив для каждого метода сканирования, чтобы этот метод работал в линейном времени на построенном массиве. Обратное утверждение справедливо далеко не всегда.

Функции Нескольких Переменных

Рассмотренный алгоритм исследования распространяется и на функции бОльшего количества переменных. Я бы мог расписать его в общем виде, но заметная часть аудитории локальный минимум просто на дух не переносит общие формулы с нагромождением цифр и индексов. Поэтому разберём ещё случай функции 4 переменных, а дальше – будет понятно.

Для решения задач поиска максимума и минимума чаще всего применяются те же самые итерационные градиентные численные методы, что и для решения нелинейных уравнений. Для решения задачи на экстремум функции так же следует задать начальное приближение – нулевую итерацию. Отличием является критерий, согласно которому строятся следующие итерации. — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Скалярное Поле Поведение Скалярного Поля Характеризуют Производная По Направлению; Градиент.

‘all’ — Укажите на все элементы плоской области как локальные минимумы. Элементы TF соответствие всем частям плоского равняется 1. задает дополнительные параметры для нахождения локальных минимумов с помощью одного или нескольких аргументов пары “имя-значение”.

Сформулированное определение говорит нам о том, что функция достигает минимума в точке , если существует хоть какая-то -окрестность этой точки, в которой значение высоты меньше ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ значений . Минимальное выдающееся положение в виде разделенной запятой пары, состоящей из ‘MinProminence’ и неотрицательный скаляр. islocalmin возвращает только локальные минимумы, выдающееся положение которых является, по крайней мере, заданным значением. Тогда в точке имеет https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D1%80%D0%B6%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F (максимум). П р и м е р 2.Мы видим, что при , при , и, кроме того, непрерывна в точке , поэтому по теореме 3 функция имеет локальный максимум в точке .

Дифференциал Функций Методические Указания Для Практических Занятий

Например, islocalmin(A,’SamplePoints’,t) находит локальные минимумы A относительно меток времени, содержавшихся во временном векторе t. возвращает логический массив, элементы которого равняются 1 когда локальный минимум обнаруживается в соответствующем элементе массива, таблицы или расписания. а) Допустимое множество задачи открыто и неограничено, что делает невозможным применение TW.

Табличные переменные, чтобы работать с в виде разделенной запятой пары, состоящей из ‘DataVariables’ и одна из опций в этой таблице. ‘DataVariables’ значение указывает который переменные входной таблицы исследовать на локальные минимумы. Тип данных, сопоставленный с обозначенными переменными, должен быть числовым или logical. Другие переменные в таблице, не заданной ‘DataVariables’ на не управляют, таким образом, выход содержит false значения для тех переменных.

Уравнения Прямой И Плоскости Методические Указания Для Практических Занятий

Аналогично можно доказать первое достаточное условие для строгого максимума функции. не имеет локального экстремума (это – так называемая седловая точка). Выдающееся положение локального минимума (или овраг) измеряется, как овраг выделяется относительно своей глубины и местоположения относительно других оврагов. локальный минимум Максимальное количество минимумов, обнаруженных в виде разделенной запятой пары, состоящей из ‘MaxNumExtrema’ и положительный целочисленный скаляр. islocalmin находит не больше, чем конкретное количество большинства видных минимумов, которое является длиной операционной размерности по умолчанию.

Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Локальный максимум — это определённая точка на графике, обладающая некоторыми свойствами. Функция имеетлокальный максимумв точке , если для всех точек , принадлежащих окрестности , выполняется неравенство .

Автор: Alexander Zotin

La reproducción total de este contenido no está permitida sin autorización previa de CIDAC. Para su reproducción parcial se requiere agregar el link a la publicación en cidac.org. Todas las imágenes, gráficos y videos pueden retomarse con el crédito correspondiente, sin modificaciones y con un link a la publicación original en cidac.org

Comentarios

Локальный максимум — нахождение локального максимума

LearnPracticeDownload

Локальный максимум — это точка в области определения функций, имеющая максимальный диапазон. Локальный максимум можно вычислить, найдя производную функции. Критерий первой производной и критерий второй производной — два важных метода нахождения локального максимума функции.

Давайте узнаем больше о том, как найти локальный максимум, о методах поиска локального максимума и примерах локального максимума.

1.	Что такое локальный максимум?
2.	Методы поиска локального максимума
3.	Использование локального максимума
4.	Примеры локального максимума
5.	Практические вопросы
6.	Часто задаваемые вопросы о локальном максимуме

Что такое локальный максимум?

Локальные максимумы — это входное значение, для которого функция выдает максимальные выходные значения. Уравнения функции или графика функции недостаточно для нахождения локального максимума. Производная функции очень помогает найти локальный максимум функции. На приведенном ниже графике показан локальный максимум в пределах определенного интервала домена. Кроме того, функция имеет еще одно максимальное значение диапазона по всему домену, которое называется глобальным максимумом.

Рассмотрим функцию f(x). Входное значение \(x_1\), для которого \(f(x_1)\) > 0, называется локальным максимумом, а \(f(x_1)\) — локальным максимальным значением. Локальный максимум рассчитывается только для определенного интервала и не применяется ко всему диапазону функции.

Методы поиска локального максимума

Локальный максимум можно определить, взяв производную от заданной функции. Проверка первой производной и проверка второй производной полезны для нахождения локального максимума. Давайте разберемся подробнее в каждом из этих тестов.

Проверка первой производной

Проверка первой производной помогает найти поворотные точки, в которых выход функции имеет максимальное значение. Для теста первой производной. определим функцию f(x) на открытом интервале I. Пусть функция f(x) непрерывна в критической точке c интервала I. Здесь, если f ′(x) меняет знак с положительного на отрицательный при увеличении x через c, т. е. если f ′(x) >

0 в каждой точке, достаточно близкой к c и левее, и f ′(x) < 0 в каждой точке, достаточно близкой к c и правее, то c является точка локального максимума.

Следующие шаги помогут выполнить тест первой производной и найти локальный максимум.

• Найдите первую производную заданной функции и найдите предельные точки, приравняв выражение первой производной к нулю.
• Найдите по одной точке в соседней левой и в соседней правой частях предельной точки и подставьте эти соседние точки в функции первой производной.
• Если для соседней точки слева производная функции положительна, а для соседней точки справа отрицательна, то предельной точкой являются локальные максимумы.

Проверка второй производной

Проверка второй производной — это систематический метод нахождения локального максимума функции с действительным знаком, заданной на замкнутом или ограниченном интервале. Здесь мы рассматриваем дважды дифференцируемую функцию f(x), определенную на отрезке I, и точку x=k, принадлежащую этому отрезку (I). Здесь x = k — точка локального максимума, если f'(k) = 0 и f»(k) < 0. Точка при x = k — локальный максимум, а f(k) называется локальное максимальное значение функции f(x).

Следующая последовательность шагов облегчает проверку второй производной, чтобы найти локальные максимумы и локальные минимумы функции с действительным знаком.

• Найти первую производную f'(x) функции f(x) и приравнять первую производную к нулю f'(x) = 0, к предельным точкам \(x_1, x_2\).
• Найдите вторую производную функции f»(x) и подставьте предельные точки во вторую производную\(f»(x_1), f»(x_2)\)..
• Если вторая производная больше нуля\(f»(x_1) > 0\), то предельная точка \((x_1)\) является локальным минимумом.
• Если вторая производная меньше нуля \(f»(x_2)<0\), то предельная точка \((x_2)\) является локальным максимумом.

Использование локального максимума

Концепция локального максимума имеет множество применений в бизнесе, экономике, технике. Давайте найдем некоторые из важных применений локального максимума.

• Цена акции, представленная в виде функционального уравнения и графика, помогает найти точки, в которых цена акции максимальна.
• Напряжение в электроприборе, при котором оно достигает максимума, можно определить с помощью локального максимума функции напряжения.
• В пищевых установках влажность представлена ​​функцией, и максимальную влажность, при которой продукты портятся, можно найти с помощью локального максимума.
• Количество семян, которое нужно посеять на поле, чтобы получить максимальный урожай, можно найти с помощью понятия локального максимума.
• Для параболического уравнения локальный максимум помогает узнать точку, в которой находится вершина параболы.
• Максимальную высоту, на которую поднялся мяч, брошенный в воздух и движущийся по параболе, можно найти, зная локальный максимум.

Связанные темы

Следующие темы помогают лучше понять локальный максимум.

• Производная формула
• Дифференциация
• Теорема о среднем значении
• Теорема Ролля
• Формула дифференциальных уравнений
• Применение деривативов

 

Примеры локального максимума

1. Пример 1: Используя критерий первой производной, найдите локальный максимум функции y = 2x ³ + 3x ² — 12x + 5.

   Решение:

   Данная функция есть y = f (х) = 2х ³ + 3x ² — 12x + 5

   f'(x) = 6x ² + 6x — 12

   f'(x) = 0; 6x ² — 6x — 12 = 0, 6(x ² + x — 2) = 0, 6(x — 1)(x + 2) = 0

   Следовательно, предельные точки равны x = -2, и x = 1.

   Теперь возьмем точки в непосредственной близости от x = -2. Очки равны {-3, -1}.

   f'(-3) = 6((-3) ² + (-3) — 2) = 6(4) = +24 и f'(-1) = 6((-1) ² + (-1) -2) = 6(-2) = -12

   Производная функции положительна слева от x = -2 и отрицательна справа. Следовательно, x = -2 — локальные максимумы.

   Следовательно, локальный максимум равен -2.

2. Пример 2: Каков локальный максимум и максимальное значение функции f(x) = x ³ — 6x ² +9x + 15? Здесь используйте тест второй производной, чтобы найти локальный максимум.

   Решение:

   Данная функция есть f(x) = x ³ — 6x ² +9x + 15.

   f'(x) = 3x ² — 12x + 9

   f'(0) = 3(x ²

6 — 9002 + 03) х ² — 4х + 3 = 0 или (х — 1)(х — 3)=0.

Здесь x = 1, и x = 3

Здесь, используя тест второй производной, мы имеем f»(x) = 6x — 12

f»(1) = 6(1) — 12 = 6 — 12 = -6, f»(1) < 0, x = 1 - максимумы.

Следовательно, при использовании теста второй производной локальный максимум равен 1, а максимальное значение равно f(1) = 19.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Забронировать бесплатный пробный урок

Практические вопросы по локальному максимуму

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о локальном максимуме

Как найти локальный максимум?

Локальный максимум находится путем дифференцирования функции и нахождения точек поворота, в которых наклон равен нулю. Далее, эти поворотные точки можно проверить разными методами, чтобы найти локальный максимум. Проверка первой производной или проверка второй производной помогают найти локальный максимум заданной функции.

В чем разница между локальным максимумом и относительным максимумом?

Локальный максимум — это точка внутри интервала, в которой функция имеет максимальное значение. Относительные максимумы — это максимальная точка в области определения функции по отношению к точкам, находящимся в непосредственной близости от заданных точек.

Какими методами можно найти локальный максимум?

Два важных метода нахождения локального максимума — это проверка первой производной и проверка второй производной. Проверка первой производной — это приближенный метод нахождения локальных максимумов, а проверка второй производной — это систематический процесс нахождения локального максимума.

Какая польза от локального максимума?

Локальный максимум используется для нахождения оптимального значения функции. Понятие локального максимума используется в бизнесе, экономике, физике и технике. Локальный максимум используется для нахождения оптимальной цены акции, для нахождения пикового напряжения пробоя электроприбора или для нахождения оптимальной температуры хранения пищевых продуктов.

Рабочие листы по математике и визуальный учебный план

Локальные минимумы и максимумы (тест первой производной)

Функция $f$ имеет локальных максимумов или относительных максимумов в точка $x_o$, если все значения $f(x)$ $f$ для $x$ «около» $x_o$ равны меньше, чем $f(x_o)$. Таким образом, график $f$ вблизи $x_o$ имеет пик в $x_o$. Функция $f$ имеет локальный минимум или относительный минимум в точка $x_o$, если все значения $f(x)$ $f$ для $x$ «около» $x_o$ равны больше, чем $f(x_o)$. Таким образом, график $f$ вблизи $x_o$ имеет через в $x_o$. (Чтобы прояснить различие, иногда «простой» максимум и минимум называется абсолютным максимальным и минимальным. )

Да, в обоих этих «определениях» мы допускаем двусмысленность в отношении что будет означать «около», хотя требование пика/минимума на граф может быть переведен в менее двусмысленное определение. Но в любом случае мы сможем выполнить процедуру, приведенную ниже, чтобы найти локальные максимумы и минимумы, не беспокоясь о формальном определении.

Эта процедура всего лишь вариант того, что мы уже сделали для анализировать интервалы возрастания и убывания функции, или найти абсолютные максимумы и минимумы. Эта процедура начинается так же так же как и анализ интервалов возрастания/убывания, а также процедура нахождения («абсолютных») максимумов и минимумов функций.

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции $f$ на интервале $[a,b]$:

• Решите $f'(x)=0$, чтобы найти критические точки из $ф$.
• Исключить из списка все критические точки, которых нет в интервал $[a,b]$.
• Добавьте в список конечные точки (и любые точки разрыва или недифференцируемость): у нас есть упорядоченный список специальных точки в интервале: $$а=х_о
• Между каждой парой $x_i производная $f’$ вообще вспомогательные точки.
• Для каждой критической точки $x_i$ у нас есть вспомогательные точки для с каждой стороны: $t_i лучший вспомнил, нарисовав картинку! :
• , если $f'(t_i)>0$ и $f'(t_{i+1}) увеличивается слева от $x_i$ и уменьшив справа от $x_i$, тогда $f$ имеет локальный максимум в $x_o$.
• , если $f'(t_i) 0$ (поэтому $f$ равно уменьшению слева от $x_i$ и , увеличивая справа от $x_i$, тогда $f$ имеет локальный минимум в $x_o$.
• , если $f'(t_i) уменьшается слева от $x_i$ и , также уменьшая справа от $x_i$, тогда $f$ имеет ни ни локальный максимум, ни локальный минимум в $x_o$.
• , если $f'(t_i)>0$ и $f'(t_{i+1})>0$ (таким образом, $f$ равно , увеличивая слева от $x_i$ и , также увеличивая справа от $x_i$, тогда $f$ не имеет ни ни локального максимума, ни локального минимума в $x_o$.

Конечные точки требуют отдельной обработки: имеется вспомогательная точка $t_o$ только до правой левой конечной точки $a$, а вспомогательная точка $t_n$ как раз к слева от правой конечной точки $b$:

• В левой конечной точке $a$, если $f'(t_o) убывает вправо от $a$), то $a$ является локальным максимумом .
• В левой конечной точке $a$, если $f'(t_o)>0$ (так что $f’$ равно , увеличивающему вправо от $a$), тогда $a$ является локальным минимумом .
• В правой конечной точке $b$, если $f'(t_n) убывает по мере приближения к $b$ слева), тогда $b$ является локальным минимумом .
• В правой конечной точке $b$, если $f'(t_n)> 0$ (таким образом, $f’$ равно , увеличивая по мере приближения к $b$ слева), тогда $b$ является локальным максимумом .

Возможно, сбивающий с толку список возможностей на самом деле не должно вызывать недоумение после того, как вы к ним привыкнете. мы уже знаком с вычислением $f’$ во вспомогательных точках между критические точки, чтобы увидеть, является ли функция возрастающей или уменьшается, и теперь мы просто применяем эту информацию, чтобы увидеть ли граф 92-18x=0$ или $x(x-3)=0$, поэтому две критические точки, $0$ и $3$. Так как $3$ не находится в интервале мы заботимся о, мы исключаем его из нашего списка. Добавление конечных точек в список, у нас есть $$-2 0$, так что функция там возрастает. При $+1$ производная равна $f'(1)=-12 локальный максимум. Так как $f$ возрастает до справа от левой конечной точки $-2$, эта левая конечная точка должна давать локальный минимум . Так как оно убывает слева от права конечная точка $+2$, правая конечная точка должна быть местный минимум .

Обратите внимание, что хотя процессы нахождения абсолютного максимумов и минимумов и местных максимумов и минимумов много в общие, они имеют существенные различия. В частности, единственный отношения между ними таковы, что критические точки и конечные точки (и точки разрыва и т. д.) играют большую роль в оба, и что абсолютный максимум , безусловно, местный максимум, а также абсолютный минимум , безусловно, является локальным минимумом .

Например, простое включение критических точек в функцию не достоверно указывают, какие точки являются локальными максимумами и минимумами.