Математика формулы производные: Таблица производных и правила дифференцирования

Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .

Тема урока : Производная функции. Формулы  и правила дифференцирования .

 

                           Конспект урока

Производные — это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной.

После закрепления знаний по таблице производной, приступаем к изучению теорем дифференцирования.

Теорема 1. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:

Теорема 2. Производная произведения двух функций равна:

Теорема 3. Производная частного двух функций равна:

  Приложение 1

 Ранее мы рассматривали производные отдельных функций. Здесь мы рассмотрим правила дифференцирования, то есть правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного отдельных функций.

Мы выведем соответствующие формулы, обоснуем их и решим типовые примеры.

Производная суммы

Дано:  ;  .

Существует  ;  .

Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:

Доказательство

Пусть задана функция  , требуется найти  .

По стандартному алгоритму требуется найти отношение  :

При   получаем:

Что и требовалось доказать.Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.Аналогично производная разности функций равна разности производных:

Пример

1.  .

2. Найти значение производной функции   в точке  :

;   

Производная произведения

Дано:  ;  .

Существует  ;  .

Доказать, что существует производная от произведения   и вычисляется она по правилу:

Доказательство .Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать.

Пусть есть прямоугольник со сторонами  ;  . Пусть первая сторона получает приращение  , вторая, соответственно,  . Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.

Рис. 1. Разностное соотношениеПлощадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.Составим разностное соотношение. Пусть  , ищем  :

При  :

А первое слагаемое стремится к нулю, так как   стремится к нулю.

Так, производная произведения функций:

Что и требовалось доказать.Рассмотрим важное следствие. Пусть  , константа. Согласно правилу:

Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Производная степенной функции

Производная степенной функции:

Рассмотрим частные случаи:

; 

Найдем эту производную по правилу произведения:

С другой стороны:

И так далее. Поэтому угадывается формула:

 – мы принимаем ее без доказательства.

Производная частного

Дано:  ;  .

Существуют  ;  .

При этом  , а значит, существует дробь  .

Доказать, что существует производная частного   и вычисляется по формуле:

Доказательство

Представим  .

Тогда по формуле производной произведения:

С другой стороны:

Из этих двух выражений получаем уравнение:

Умножим все уравнение на  :

Что и требовалось доказать.

Решение примеров

Пример

 .

.

 

Домашнее задание: Итоговые тесты по теме «Производная функции»

1. Найдите производную функции

y_(х) = x⁴+ 3x³ + 4.

1) 4x³ + 9x² + 4

2) 4x³ + 9x² + 4x

3) 4x² + 3x² + 4

4) 4x³ + 9x²

2. Производная функции F(x) = cos(4x) равна:

1) -4sin(4x)

2) 4cos(- 4x)

3) 4xsin(4x)

4) 4xcos(- 4x)

 

3. Найдите значение производной функции при х=1

1) 0,5

2) -1

3) -0,5

4) 1

4. Вычислите значение производной функции в точке .

1)

16

2)

64

3)

– 16

4)

– 64

 

5. Найдите производную функции .

 

1)		3)
2)		4)

_{6. Найдите производную функции}

1)		3)
2)		4)

 

 

Просмотр содержимого документа
«Тема урока : Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .»

Тема урока : Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .

Конспект урока

Производные — это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной.

После закрепления знаний по таблице производной, приступаем к изучению теорем дифференцирования.

Теорема 1. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:

Теорема 2. Производная произведения двух функций равна:

Теорема 3. Производная частного двух функций равна:

Приложение 1

Ранее мы рассматривали производные отдельных функций. Здесь мы рассмотрим правила дифференцирования, то есть правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного отдельных функций.

Мы выведем соответствующие формулы, обоснуем их и решим типовые примеры.

Производная суммы

Дано:  ;  .

Существует  ;  .

Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:

Доказательство

Пусть задана функция  , требуется найти  .

По стандартному алгоритму требуется найти отношение  :

При   получаем:

Что и требовалось доказать.Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.Аналогично производная разности функций равна разности производных:

Пример

1.  .

2. Найти значение производной функции   в точке  :

;   

Производная произведения

Дано:  ;  .

Существует  ;  .

Доказать, что существует производная от произведения   и вычисляется она по правилу:

Доказательство .Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной.

Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами  ;  . Пусть первая сторона получает приращение  , вторая, соответственно,  . Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.

Рис. 1. Разностное соотношениеПлощадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.Составим разностное соотношение. Пусть  , ищем  :

При  :

А первое слагаемое стремится к нулю, так как   стремится к нулю.

Так, производная произведения функций:

Что и требовалось доказать.Рассмотрим важное следствие. Пусть  , константа. Согласно правилу:

Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Производная степенной функции

Производная степенной функции:

Рассмотрим частные случаи:

; 

Найдем эту производную по правилу произведения:

С другой стороны:

И так далее. Поэтому угадывается формула:

 – мы принимаем ее без доказательства.

Производная частного

Дано:  ;  .

Существуют  ;  .

При этом  , а значит, существует дробь  .

Доказать, что существует производная частного   и вычисляется по формуле:

Доказательство

Представим  .

Тогда по формуле производной произведения:

С другой стороны:

Из этих двух выражений получаем уравнение:

Умножим все уравнение на  :

Что и требовалось доказать.

Решение примеров

Пример

.

.

Домашнее задание: Итоговые тесты по теме «Производная функции»

1. Найдите производную функции y_(х) = x⁴+ 3x³ + 4.

1) 4x³ + 9x² + 4

2) 4x³ + 9x² + 4x

3) 4x² + 3x² + 4

4) 4x³ + 9x²

2. Производная функции F(x) = cos(4x) равна:

1) -4sin(4x)

2) 4cos(- 4x)

3) 4xsin(4x)

4) 4xcos(- 4x)

3. Найдите значение производной функции
при х=1

1) 0,5

2) -1

3) -0,5

4) 1

4. Вычислите значение производной функции в точке .

1)

16

2)

64

3)

– 16

4)

– 64

5. Найдите производную функции .

1)		3)
2)		4)

_{6. Найдите производную функции}

1)		3)
2)		4)

Полная таблица производных: формулы, правила

Понятие производной

Производная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. {2} x}\]

Используя данный вид формулы, можно решать задачи данной категории производных значений.

Математические формулы для применения производных, класс 12

Математические формулы

Эта страница подготовлена ​​экспертом факультета физики Уоллахом, мы тщательно отобрали все важные формулы и уравнения главы «Применение производных» и загрузили PDF-файл таблицы формул для 12-го класса по математике, глава «Применение производных ».

Учащиеся и абитуриенты могут бесплатно загрузить в формате pdf лист формул главы «Применение производных» в 12-м классе, который состоит из всех важных формул главы «Применение производных», очень полезной для быстрого пересмотра и полезной для сохранения всех важных формул в течение длительного времени. Физика Wallah подготовила Решения NCERT для справочного использования. Попробуйте решить вопросы из упражнений с помощью Решений NCERT для класса 12 по математике , подготовленных физикой Wallah.

Производная определяется как скорость изменения одной величины по отношению к другой. Скорость изменения функции определяется как dy/dx = f(x) = y’ в терминах функции. Производное понятие используется в малом и большом масштабе. Понятие производной, которое используется во многих смыслах, таких как изменение температуры или скорость изменения формы и размера объекта в зависимости от условий и т. д.

Функции возрастания и убывания

Пусть функция f, непрерывная на [a,b] и дифференцируемая на отрезке (a,b), тогда

1. f возрастает в [a,b], если f'(x)>0 для каждого x в (a,b)
2. f убывает в [a,b], если f'(x)<0 для каждого x в (a,b)
3. f — постоянная функция в [a,b], если f'(x) = 0 для каждого x в (a,b)

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Q1. Что такое формула производной?

Ответ. Производные являются основным инструментом исчисления. Производная функции действительной переменной измеряет чувствительность к изменению величины, которая определяется другой величиной. Производная формула задается как f ₁ ( x ) = Lim△ x → 0 f ( x + △ x ) — f ( x ) △ x .

Q2. Каковы приложения производных?

Ответ. Применение производных в математике

• Нахождение скорости изменения величины.
• Нахождение значения приближения.
• Нахождение уравнения касательной и нормали к кривой.
• Нахождение максимума и минимума и точки перегиба.
• Определение возрастающих и убывающих функций

Q3. Что такое производная математика класс 12?

Ответ. Скорость изменения y относительно другого x называется производной или дифференциальным коэффициентом y относительно x.

Q4. Какова формула предела?

Ответ. Рассмотрим y = f (x) как функцию от x. Если в точке х = а f(x) принимает неопределенный вид, то можно рассматривать значения функции, ближайшей к а. Если эти значения склоняются к конкретному уникальному числу, как стремится x, то это уникальное число называется пределом f (x) для x = a.

В5. Как решить вывод?

Ответ. Ниже приведены шаги, указанные ниже:

• Разделите обе части уравнения px ² + qx + r = 0 на p.
• Перенесите величину c/a в правую часть уравнения.
• Дополните квадрат, добавив b ² / 4a ² к обеим частям уравнения.
• Фактор левой стороны и объединить правую сторону.

Загрузить лист формул в формате Pdf Class 12 Math для главы 6 Применение производных

3: Производные — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

2489

• Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
• OpenStax

Вычисление скорости и изменения скорости — важное применение исчисления, но оно гораздо более распространено. Исчисление важно во всех областях математики, науки и техники, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления — производную — и покажем удобные способы вычисления производной. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем исследовать применение этих методов.

• 3.0: Prelude to Derivatives

  Вычисление скорости и изменения скорости — важное применение исчисления, но оно гораздо более распространено. Исчисление важно во всех областях математики, науки и техники, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления — производную — и покажем удобные способы вычисления производной. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем изучить их применение.0118

• 3.1: Определение производной

  Наклон касательной к кривой измеряет мгновенную скорость изменения кривой. Мы можем вычислить его, найдя предел разностного отношения или разностного отношения с приращением h. Производная функции f(x) при значении a находится с использованием любого из определений наклона касательной. Скорость – это скорость изменения положения. Таким образом, скорость v(t) в момент времени t является производной положения s(t) в момент времени t.

  • 3.1E: Упражнения к разделу 3.1

• 3.2: Производная как функция

  Производной функции f(x) является функция, значение которой f′(x) в точке x . График производной функции f(x) связан с графиком f(x). Где (f(x) имеет касательную с положительным наклоном, f′(x)>0. Где (x) имеет касательную с отрицательным наклоном, f′(x)<0. Где f(x) имеет горизонтальную касательной, f′(x)=0. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

  • 3.2E: Упражнения к разделу 3.2

• 3. 3: Правила дифференцирования

  Производная постоянной функции равна нулю. Производная степенной функции — это функция, в которой степень x становится коэффициентом при члене, а степень x в производной уменьшается на 1. Производная константы c, умноженная на функцию f, равна константе умножить на производную. Производная суммы функции f и функции g равна сумме производной функции f и производной функции g.

  • 3.3E: Упражнения к разделу 3.3

• 3.4: Производные как скорость изменения изменения функции. Эти приложения включают ускорение и скорость в физике, темпы роста населения в биологии и предельные функции в экономике.

  • 3.4E: Упражнения к разделу 3.4

• 3.5: Производные тригонометрических функций

  Мы можем найти производные sin x и cos x, используя определение производной и предельные формулы, найденные ранее. {n−1}g′(x)\).

  • 3.6E: Упражнения к разделу 3.6

• 3.7: Производные обратных функций

  Теорема об обратной функции позволяет вычислять предельные производные обратных функций без использования предельных производных обратных функций. Мы можем использовать теорему об обратной функции для разработки формул дифференцирования для обратных тригонометрических функций.

  • 3.7E: Упражнения для раздела 3.7

• 3.8: Неявное дифференцирование

  Мы используем неявное дифференцирование для нахождения производных неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями). Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

  • 3.8E: упражнения к разделу 3.8

• 3. 9: производные экспоненциальных и логарифмических функций

  Как мы обсуждали во Введении в функции и графики, экспоненциальные функции играют важную роль в моделировании роста населения и распада радиоактивных материалов. Логарифмические функции могут помочь изменить масштаб больших величин и особенно полезны для перезаписи сложных выражений.

  • 3.9E: упражнения для раздела 3.9

• 3.10: Глава 3 Обзорные упражнения

Thumbnail: Derivative (CC ;7

Thumbnail: Derivative (CC;

---

Эта страница под названием 3: Деривативы распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Глава

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Программа ООР или издатель

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

2. Метки

   1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
   2. автор@Гилберт Странг
   3. источник@https://openstax.

      No related posts.