Матрицы примеры умножение: примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения

примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения

Произведение двух матриц

Определение 1

Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

C⏟m×n=A⏟m×p×B⏟p×n

Пример 1

 Даны матрицы:

• A=a(ij) размеров m×n;
• B=b(ij) размеров p×n

Матрицу C, элементы cij которой вычисляются по следующей формуле:

cij=ai1×b1j+ai2×b2j+…+aip×bpj, i=1,…m, j=1,…m

Пример 2

Вычислим произведения АВ=ВА:

А=121012, В=100111

Решение, используя правило умножения матриц:

А⏟2×3×В⏟3×2=121012×100111=1×1+2×0+1×11×0+2×1+1×10×1+1×0+2×10×0+1×1+2×1==2323⏟2×2

В⏟3×2×А⏟2×3=100111×121012=1×1+0×01×2+0×11×1+0×20×1+1×00×2+1×10×1+1×21×1+1×01×2+1×11×1+1×2=121012133⏟3×3

Произведение АВ и ВА найдены, но являются матрицами разных размеров: АВ не равна ВА.

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

• (АВ)С = А(ВС) — ассоциативность умножения матриц;
• А(В+С) = АВ + АС — дистрибутивность умножения;
• (А+В)С = АС + ВС — дистрибутивность умножения;
• λ(АВ)=(λА)В

Пример 1

Проверяем свойство №1: (АВ)С = А(ВС):

(А×В)×А=1234×5678×1002=19224350×1002=194443100,

А(В×С)=1234×56781002=1234×512716=194443100.

Пример 2

Проверяем свойство №2: А(В+С) = АВ + АС:

А×(В+С)=1234×5678+1002=1234×66710=20264658,

АВ+АС=1234×5678+1234×1002=19224350+1438=20264658.

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц АВС вычисляют 2-мя способами:

• найти АВ и умножить на С: (АВ)С;
• либо найти сначала ВС, а затем умножить А(ВС).

​​​​​Пример 3

Перемножить матрицы 2-мя способами:

4375×-289338-126×7321

Алгоритм действий:

• найти произведение 2-х матриц;
• затем снова найти произведение 2-х матриц.

1). АВ=4375×-289338-126=4(-28)+3×384×93+3(-126)7(-28)+5×387×93+5(-126)=2-6-621

2). АВС=(АВ)С=2-6-6217321=2×7-6×22×3-6×1-6×7+21×2-6×3+21×1=2003.

Используем формулу АВС=(АВ)С:

1). ВС=-289338-1267321=-28×7+93×2-28×3+93×138×7-126×238×3-126×1=-10914-12

2). АВС=(АВ)С=7321-10914-12=4(-10)+3×144×9+3(-12)7(-10)+5×147×9+5(-12)=2003

Ответ: 4375-289338-1267321=2003

Умножение матрицы на число

Определение 2

Произведение матрицы А на число k — это матрица В=Аk того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

bi,j=k×ai,j

Свойства умножения матрицы на число:

• 1×А=А
• 0×А=нулевая матрица
• k(A+B)=kA+kB
• (k+n)A=kA+nA
• (k×n)×A=k(n×A)

Пример 4

Найдем произведение матрицы А=4290   на 5.

Решение:

5А=542905×45×25×95×0=2010450

Умножение матрицы на вектор

Определение 3

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

• если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
• результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:

АВ=а11а12⋯а1nа21а22⋯а2n⋯⋯⋯⋯аm1аm2⋯аmnb1b2⋯b1n=a11×b1+a12×b2+⋯+a1n×bna21×b1+a22×b2+⋯+a2n×bn⋯⋯⋯⋯am1×b1+am2×b2+⋯+amn×bn=c1c2⋯c1m

• если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

АВ=аа⋯аbb⋯b=a1×b1a1×b2⋯a1×bna2×b1a2×b2⋯a2×bn⋯⋯⋯⋯an×b1an×b2⋯an×bn=c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋯⋯⋯⋯cn1cn2⋯cnn

Пример 5

Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:

АВ=240-213-10112-1=2×1+4×2+0×(-1)-2×1+1×2+3×(-1)-1×1+0×2+1×(-1)=2+8+0-2+2-3-1+0-1=10-3-2

Пример 6

Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:

А=320-1, В=-1102

Решение:

АВ=3201×-1102=3×(-1)3×13×03×22×(-1)2×12×02×20×(-1)0×10×00×21×(-1)1×11×01×2=-3306-22040000-1102

Ответ: АВ=-3306-22040000-1102

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Умножение матриц » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Воскресенье, 5 июля 2009 г.
Рубрика: Алгебра матриц
Просмотров: 45408
Подписаться на комментарии по RSS

Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу:

.

Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено.

Пример.

Определение. Произведением матрицы  размера  на матрицу  размера  называют матрицу  размера , где элемент  является результатом произведения – й строки матрицы А на – й столбец матрицы В для всех значений индексов , , т.е.

или

.

Обозначение: .

Другими словами, чтобы умножить две матрицы, нужно каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матрицы. Умножая первую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы мы получим все элементы первой строки матрицы произведения, затем делаем то же самое для второй строки первой матрицы и т. д.

Замечание. Из определения следует, что умножение матриц возможно только тогда, когда ширина первой матрицы (т.е. число ее столбцов) равна высоте второй (т.е. числу ее строк)

Пример.

.

Определение. Квадратную матрицу – го порядка называют единичной матрицей n-го порядка и обозначают буквой Е, если для любой квадратной матрицы А – го порядка справедливо равенство: .

Множество всех квадратных матриц n-го порядка будем обозначать через .

Теорема. Множество  содержит единичную матрицу n-го порядка, которой является матрица

.

Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.

Теорема. Единичная матрица Е является единственной в множестве .

Доказательство. Пусть  еще одна единичная матрица. Тогда, по определению, . Положим , тогда . Далее, по определению,  . Положим здесь . Получаем равенство, отсюда имеем , ч.т.д.

Заметим, что точно также доказывается единственность нейтрального элемента (при условии его существования) в любой алгебраической структуре.

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что никакая другая матрица, кроме матрицы  не является единичной.

Теорема. (Свойства умножения матриц.)

Умножение матриц подчиняется следующим законам:

9) ассоциативность:

;

10) существование единичной матрицы:

:  ;

дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

11)  дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

 и

12)  умножение матриц связано с умножением матрицы на число естественным законом:  и  верно равенство:

.

Замечание. Для квадратных матриц одного порядка выполняются все 12 свойств. Это говорит о том, что множество всех квадратных матриц одного и того же порядка образует алгебру матриц над полем К.

Замечание. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Для доказательства достаточно привести один контрпример.

Пусть , . Тогда , .

Аналогичный пример можно привести для квадратных матриц любого порядка.

Последнее равенство говорит о том, что квадратные матрицы имеют делители нуля.

Следствие. Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем K является некоммутативным кольцом с единицей и с делителями нуля.

Доказательство. На множестве  всех квадратных матриц n-го порядка над полем K определены две операции: сложение матриц и их умножение, которые подчиняются законам 1) – 4) и 9) – 11), откуда и следует, по определению, что  является кольцом с единицей (см. лекцию 1, п.14 и п.15). Пример, приведенный перед формулировкой данного следствия, показывает, что кольцо  имеет делители нуля.

Следствие доказано.

Определение. Натуральной степенью квадратной матрицы А называется матрица  .

Нулевую степень квадратной матрицы А – го порядка по определению полагают равной единичной матрице того же порядка: .

Умножение матриц

Марко Табога, доктор философии

Эта лекция знакомит с умножением матриц, одним из основных алгебраических операции, которые можно выполнять на матрицы.

Table of contents

1. Dot product

2. Matrix product

3. Motivation

4. Properties of matrix multiplication

5. Other properties

   1. Transpose of a product

6. Solved exercises

   1. Exercise 1

   2. Exercise 2

   3. Exercise 3

Dot product

Прежде чем определить умножение матриц, нам нужно ввести понятие точечного произведение двух векторов.

Определение Позволять быть вектор строки и а вектор-столбец. Обозначим их записи через и по , соответственно. Затем их скалярный продукт это

Обратите внимание, что в приведенном выше определении порядок произведения имеет значение, т. е. не то же самое, что , потому что первый вектор () должен быть вектором-строкой, а второй () должен быть вектор-столбцом. Кроме того, скалярный продукт определен, только если и иметь одинаковое количество записей ().

Пример Позволять быть вектор определен мимо а вектор определен по их скалярное произведение

Произведение матрицы

Теперь мы готовы определить матричное произведение.

Определение Позволять быть матрица и а матрица. Затем их продукт это матрица, чья -й запись равна скалярному произведению между -й ряд и -й столбец , для и .

Другими словами, -й запись

Обратите внимание, что порядок продукта имеет значение, т. не то же самое, что . Кроме того, количество столбцов должно быть равно количеству строк (в этом случае говорят, что две матрицы

созвучны для умножения ).

Следующая диаграмма суммирует измерения, связанные с матрицей умножение:

Пример Определите матрица и в матрица Они созвучны для умножения потому что количество столбцов равно количеству строк . Размер матрицы является . Продукт это здесь, например, -й запись был получен из скалярного произведения второй строки с первой колонкой :

Мотивация

Почему умножение матриц определяется таким образом? Есть много возможных ответов на этот вопрос, но самый простой из них связан с необходимостью получение простого матричного представления для систем линейных уравнений.

следующий пример показывает, как это сделать.

Пример Рассмотрим следующую систему двух уравнений в двух неизвестные: это можно представить в матричной форме как где матрица коэффициентов это вектор неизвестных остров вектор констант это ты можно легко проверить, что два способа записи системы уравнений эквивалентно, выполняя матрицу умножение

Другая причина, по которой умножение матриц определяется так, как показано выше. заключается в том, что он позволяет нам легко иметь дело с системами ввода-вывода, в которых выходы могут быть получены из фиксированных комбинаций входов.

Пример Фабрика может производить два товара, обозначаемых и , используя различные комбинации двух входов, и . В частности, единицы и единица необходимы для производства единицы , и единица и единицы необходимы для производства единицы .

Эта информация может быть обобщена вводом-выводом матрицагде две строки соответствуют двум выходам, а два столбца соответствуют два входа. Каждая единица расходы долларов, а каждая единица расходы доллар. Эту информацию можно обобщить вектором ценыВ Чтобы найти затраты на производство двух выпусков, достаточно выполнить следующая матрица умножение Итак, оба выпуска имеют себестоимость производства долларов.

Свойства умножения матриц

Как мы уже говорили, в отличие от умножения действительных чисел, матрица умножение не обладает свойством коммутативности, т. е. не то же самое, что . Однако некоторые свойства, которыми обладает умножение действительных чисел, также пользуется умножением матриц.

Предложение (распределительное свойство) Умножение матриц является дистрибутивным по отношению к сложению матриц, т. е. для любые матрицы , и таким образом, что приведенные выше умножения и сложения имеют осмысленное определение.

Доказательство

Начнем с продуктПусть и быть матрицы и ан матрица. Обозначим общий -й элемент матрицы к , и общий -й элемент продукта между и к . По определениям сложения матриц и умножение матриц, мы имеем это где: по шагам и мы использовали определение умножения матриц; в ногу мы использовали определение сложения матриц. Это справедливо для любого -й элемент матрицы. Таким образом, у нас есть что

Почти идентичным аргументом можно доказать что

Предложение (ассоциативное свойство) Умножение матриц ассоциативно, т. для любые матрицы , и таким образом, что приведенные выше умножения содержательно определены.

Доказательство

Предположим имеет измерение , имеет измерение , и имеет измерение . Ассоциативность сохраняется, потому что общий -й элемент матрицы это здесь мы использовали определение продукта между и (шаг ), между и (шаг ), между и (шаг ), между и (шаг ).

Другое имущество

Другие свойства матричных произведений перечислены здесь.

Транспонирование продукта

Предложение Позволять быть матрица и а матрица. Позволять и быть их транспонированием. Тогда

Доказательство

-й запись является скалярным произведением -й ряд и -й столбец :К определение транспонирования матрицы, последняя равна -й запись : -й вход является скалярным произведением -й ряд и -й столбец : С в -й ряд равно -й столбец , и -й столбец равно -й ряд , мы естьТаким образом, для любой и . Следовательно,

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Определите матрица и а матрицаВычислить продукт .

Решение

Размеры, связанные с этим умножение сводится к следующему диаграмма: Таким образом, это матрица такая, что для каждого и , в -й элемент равно скалярному произведению между -й ряд и -й ряд :

Упражнение 2

Учитывая матрицы и определено выше, вычислить произведение .

Решение

Матрицы и не созвучны для умножения потому что количество столбцов не равно количеству строк . Следовательно, умножение не может быть выполнено.

Упражнение 3

Определите столбец вектори а ряд векторвычислить продукт .

Решение

Размеры, задействованные в этом умножение сводится к следующему диаграмма: Таким образом, это матрица. {n} a_{ik}b_{kj}$, где $i=1,…m, j=1,…p$

Вы говорите, что знаете, как перемножать матрицы, поэтому взгляните на один конкретный элемент в произведении $C=AB$, а именно на элемент в позиции $(i,j)$, т.е. в $i$-й строке и $j$-й столбец.

Чтобы получить этот элемент, нужно:

• сначала умножить на все элементы $i$-й строки матрицы $A$ попарно на все элементы $j$-го столбца матрица $B$;
• , а затем добавить этих $n$ товаров.

Вы должны повторить эту процедуру для каждого элемента $C$, но давайте пока увеличим этот конкретный (но произвольный) элемент в позиции $(i,j)$:

$$\begin{pmatrix} a_{11} &\ldots &a_{1n}\\ \vdots& \ddots &\vdots\\ \color{blue}{\mathbf{a_{i1}}} &\color{blue}{\rightarrow} &\color{blue}{\mathbf{a_{in}}}\\ \vdots& \ddots &\vdots\\ a_{m1} &\ldots &a_{mn} \end{pматрица} \cdot \begin{pmatrix} b_{11}&\ldots &\color{red}{\mathbf{b_{1j}}} &\ldots &b_{1p}\\ \vdots& \ddots &\color{red}{\downarrow} & \ddots &\vdots\\ b_{n1}&\ldots &\color{red}{\mathbf{b_{nj}}}&\ldots &b_{np} \end{pматрица} «=» \begin{pmatrix} c_{11}&\ldots& c_{1j} &\ldots &c_{1p}\\ \vdots& \ddots & & &\vdots\\ c_{i1}& & \color{purple}{\mathbf{c_{ij}}} & &c_{ip}\\ \vdots& & & \ddots &\vdots\\ c_{m1} &\ldots& c_{mj} &\ldots &c_{mp} \end{pmatrix}$$ с элементом $\color{purple}{\mathbf{c_{ij}}}$, равным: $$\mathbf{\color{purple}{c_{ij}} = \color{blue}{a_{i1}} \color{red}{b_{1j}} + \color{blue}{a_{i2} } \color{red}{b_{2j}} + \cdots + \color{blue}{a_{in}} \color{red}{b_{nj}}}$$ Теперь обратите внимание, что в приведенной выше сумме левый внешний индекс всегда равен $i$ ($i$-я строка в $A$), а правый внешний индекс всегда равен $j$ ($j$-й столбец в $B$).