Уравнения логарифм: Логарифмические уравнения и неравенства — Умскул Учебник

6. Логарифмические уравнения

М. Борна

Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов

Население мира

Не пропустите приложение о населении мира ниже.

Перейти к населению мира.

Законы логарифмирования, с которыми мы познакомились ранее, особенно полезны для решения уравнения, в которых есть показатели.

Пример 1

Решите уравнение 3 ^x = 12,7.

Ответ 9х= лог\ 12,7`

Теперь, используя 3-е правило журнала

log _b ( x ⁿ ) = n log _b x ,

имеем:

`x\ log\ 3 = log\ 12,7`

Теперь разделите обе части на `log\ 3`:

`x= (log\ 12,7)/(log\ 3)«= 2,3135`

Правильно? Проверяя исходный вопрос, мы имеем: «3 ^ 2,3135 = 12,7». Проверяет нормально. Кроме того, наш ответ находится между «2» и «3», как мы оценивали ранее. 9(t+2` и и ^{2 т} соответственно. В какое время население одинаковое?

Ответить

Эта задача требует от нас решения уравнения:

5 ^{t +2} = e ^{2 t}

Нам нужно использовать журнал _e из-за базы e на Правая сторона.

лн (5 ^{т +2} ) = лн ( е ^{2 т} )

( t + 2) ln 5 = 2 t ln e

Теперь, ln e = 1, и нам нужно собрать t членов вместе:

т пер 5 + 2 пер 5 = 2 т

t (ln 5 − 2) = −2 ln 5

Так

`t=(-2\ ln\ 5)/(ln\ 5-2)=8. 241649476`

9(1″/»3)+1)`

`=1,577217345`

Всегда проверяйте свои ответы на калькуляторе!

(3) Найти x :

`log_2 x + log_2 7 = log_2 21`

Ответить

Сначала мы объединяем 2 логарифма слева в один логарифм.

`log_2\ 7x=log_2\ 21`

`7x=21`

`х=3`

Чтобы получить вторую строку, мы на самом деле возводим «2» в степень левой части и «2» в степени правой части. На самом деле мы не «отменяем» журналы, но это эффект (только если они имеют одинаковую базу).

(4) Найти x :

`3\ ln\ 2+ln(x-1)=ln\ 24`

Ответить

Напомним, что `3\ln\2` означает `3\log_e\2`.

`3 ln\ 2+ln(x-1)=ln\ 24`

`ln\ 8+ln(x-1)=ln\ 24`

`ln\ 8(x-1)=ln \ 24`

Берем » e в обе стороны»:

`8(x-1)=24`

`x-1=3`

`x=4`

(5) [ Вопрос читателя. ]

У меня есть следующая формула: 92 — 2`.

Мы видим, что есть 2 корня (2 места, где график пересекает ось `x`).

На графике две ветви, потому что мы возвели в квадрат член `(x+2)`, что означает, что он будет иметь значение `> 0`, поэтому мы можем без проблем взять его `ln` (за исключением точки `x =-2,` конечно, так как он там не определен).

Теперь давайте посмотрим на график `y = ln (x+2) — 1`, основываясь на конечном выражении:

24-2-4-6-82-2xyОткрыть изображение на новой странице

График `y = ln (x+2) — 1`. 92` как `2ln (x+2)`, на самом деле это не одна и та же функция.

Приложение

— Рост населения мира

Население Земли растет на примерно «1,3%» в год. Население в начале В 2000 году было чуть больше 6 миллиардов. Через сколько еще лет население удвоится до «12» миллиардов?

Ответить

Нам нужно выражение для населения в момент времени t .

Через год численность населения будет на «1,3%» выше, чем в 2000 г. (1,3% = 0,013) 9т`

Используя третий логарифмический закон, мы имеем:

`log\ 2 = t\ log\ 1,013`

Итак,

`t=(log\ 2)/(log\ 1,013)=53,66`

Таким образом, потребуется всего около 54 лет, чтобы удвоить население мира, если оно продолжит расти нынешними темпами.

Когда население мира составляет 12 миллиардов, чистая численность человек в мире будет расти со скоростью около 5

в секунду , если темп роста еще 1,3%. В настоящее время появляется около 2,6 новых людей в секунду. Однако ожидается, что темпы роста значительно снизятся. примерно до 0,5% в течение 50 лет.

В 2001 году население Индии превысило один миллиард , что сделало ее второй страной после Китая, достигшей этого страшного рубежа.

Население мира

Текущее население мира составляет примерно:

Загружается…

Интерактивный апплет — Население мира

Перейдите к интерактивному разделу «Население мира», в котором можно сравнить текущий, прошлый и будущий прирост населения.

Предсказание населения мира

На следующем графике показана одна из оценок роста населения мира в 21 веке. Мы видим, что к 2100 году население составит 11 миллиардов! Подумайте о качестве воды, загрязнении воздуха, глобальном потеплении, социальных сплоченность и нехватка пищи. Несомненно, это один из самых важных графиков во всей математике.

Но я отвлекся.

Мы, конечно, говорим на американском английском, здесь. Британский миллиард имеет 12 нулей (Ну, даже у них есть недавно принял 9(т-2000)`, где

6,1 млрд населения в 2000 г.;

скорость роста представлена ​​как «1+6/100 = 1,006»; и

`t` — время из 2000 года.

См. «живую» оценку населения мира на следующей странице.

Логарифмические уравнения | Superprof

Знакомство с логарифмами

Прежде чем перейти к логарифмическим уравнениям, давайте посмотрим, что такое логарифмы. Логарифмы на самом деле являются еще одним способом записи экспоненциальных функций. Вы знаете, что в экспоненциальных функциях независимой переменной является показатель степени или степень. Показательная функция значит, возведенная в степень, равна . В логарифмической форме это записывается так, что означает, что логарифм 16 по основанию 4 равен 2.

Помните, что основание логарифма не может быть равно 0. Поскольку любое число, возведенное в степень 0, равно 1, то при преобразовании в логарифмическую форму оно будет записано как . Когда вы используете калькулятор для вычисления, ответ равен нулю. Логарифмы 0 и отрицательных чисел не существуют.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Логарифмические уравнения

Вы уже знакомы с тем фактом, что целью уравнений является нахождение значений неизвестных переменных. В уравнении может быть одна или несколько переменных. В зависимости от формы уравнения делятся на линейные, показательные, квадратичные и логарифмические. В этой статье мы обсудим, как решать логарифмические уравнения, используя правила логарифмирования.

Существует два вида логарифмических уравнений. Один тип — это когда логарифм находится только на одной стороне уравнения. Эти типы уравнений просты и могут быть решены путем преобразования их в экспоненциальную форму. Знаете ли вы, как логарифмические и показательные уравнения связаны друг с другом? Что ж, ответ прост. Оба уравнения являются обратными друг другу. Но интересен тот факт, что основы обеих функций одинаковы.

Например, рассмотрим следующее логарифмическое уравнение:

Преобразуйте приведенное выше уравнение в экспоненциальную форму следующим образом:

Вы можете видеть, что основание логарифмической функции и основание соответствующей экспоненциальной функции также равно .

Второй тип уравнений имеет логарифм в обеих частях уравнений. Например, рассмотрим следующий пример:

Поскольку приведенное выше логарифмическое уравнение имеет один логарифм и одинаковое основание в обеих частях уравнения. Итак, логарифмические функции сократятся и результирующее уравнение будет выглядеть так:

Помните, что если логарифмических функций на одной стороне больше, чем на других, то даже если они содержат одинаковое основание, отменить логарифмические функции нельзя. Вместо этого вам нужно применить логарифмические правила, чтобы упростить сторону, содержащую более одной логарифмической функции, а затем отменить логарифмическую функцию с обеих сторон, учитывая, что они имеют одинаковые основания. Эти понятия будут прояснены, когда мы рассмотрим пару примеров в этой статье.

Найдите рядом со мной хорошего репетитора по математике.

Логарифмические правила

Как и правила экспоненты, существуют некоторые логарифмические правила, которые используются при решении логарифмических уравнений. В следующей таблице приведены некоторые логарифмические правила.

Logarithm Rules	Mathematical Notation
Logarithm product rule
Logarithm quotient rule
Logarithm power rule
Logarithm base switch rule
Logarithm root rule
Logarithm change of base rule

 

Example 1

Solve the logarithmic equation

Solution

В приведенном выше примере есть три функции журнала. Чтобы решить логарифмические уравнения, у нас должно быть 2, поэтому мы будем использовать правило логарифмического произведения в левой части уравнения, чтобы сделать его одинарным логарифмом. Помните, что мы предполагаем, что логарифмическая функция без основания является десятичным логарифмом с основанием 10.

В приведенном выше примере ни одна из сторон уравнения не имеет оснований, поэтому мы предположили, что логарифмы в обеих частях имеют одно и то же основание 10.

уравнение и решить для полученного уравнения:

Установите уравнение на 0, взяв 1 в правой части уравнения:

Теперь мы факторизуем приведенное выше алгебраическое выражение сначала расширив его, а затем найдя общие множители из таких пар:

Либо или

Если то . Если , то .

Как видите, мы получили одно положительное и одно отрицательное число в качестве решения. Мы исключим отрицательное число из решения, потому что, когда мы подставим это отрицательное значение в исходное уравнение, мы в конечном итоге возьмем логарифм отрицательного числа.

Следовательно, единственное решение, которое мы здесь рассматриваем, это .

Проверка

Давайте проверим наше решение, подставив это значение в уравнение.

Согласно правилу логарифмического произведения можно записать как . Согласно правилу логарифмического отношения можно записать как .

Нам нужно преобразовать выражение в левой части уравнения в одну логарифмическую функцию.

Отмените логарифмические функции с обеих сторон уравнения, чтобы получить следующее алгебраическое выражение:

Таким образом, подтверждено, что это решение логарифмического уравнения. Пример 2 , поэтому мы сократим логарифмические функции и запишем выражение алгебраически следующим образом:

Установите уравнение равным 0, поднеся члены справа к левой части уравнения.

Найдите множители приведенного выше выражения, сначала расширив его, а затем соединив его, чтобы найти общие множители:

Либо или . Отсюда или .

Поскольку одно решение положительное, а другое отрицательное, мы будем рассматривать только положительное решение уравнения, которое равно .

 

Проверка

Подставив исходное уравнение, мы получим логарифмирование отрицательного числа, что невозможно, поэтому мы исключим его из решения.

Введите в исходное уравнение, чтобы проверить свой ответ.

Применив здесь правило отношения, мы получим следующую логарифмическую функцию:0003

Следовательно, доказано, что это решение логарифмического уравнения.

До сих пор мы решали уравнения, в которых каждое число в обеих частях уравнения было логарифмировано. Теперь мы решим другой тип уравнений, которые не имеют логарифма с каждым числом.

 

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Возьмем логарифмические выражения в левой части уравнения:

Мы применим здесь правило логарифмического отношения и запишем выражения в левой части в виде одинарного логарифма следующим образом:

Преобразуем приведенную выше логарифмическую функцию в экспоненциальную форму:

3 90 Зададим уравнение равным 0 путем переноса выражений из правой части в левую часть уравнения:

Умножьте приведенное выше выражение на множители, разложив его:

Либо или . Отсюда или .

Нам нужно проверить, являются ли и решениями логарифмического уравнения или нет.

 

Проверка

Мы проведем проверку вышеуказанной задачи иначе, чем другие, потому что уравнение также имеет константу с одной стороны с логарифмическими функциями с одинаковыми основаниями с обеих сторон уравнения.

Проверим наше решение, подставив и в исходное уравнение.

Итак, подставляя решение, мы получаем отрицательные числа в логарифмах, так что это не может быть решением.

Итак, когда мы подставляем 3 в приведенное выше уравнение, мы получаем все положительные числа в логарифмах, так что это решение уравнения.

 

Пример 4

Решить логарифмическое уравнение

Решение

Перенести логарифмическую функцию из правой части уравнения в левую:

Примените правило логарифмического произведения к левой части уравнения:

Поскольку мы можем предположить, что логарифмическая функция без основания является обычной логарифмической функцией с основанием 10, поэтому мы напишем выше функция в экспоненциальной форме, например:

Приравняйте уравнение к 0, взяв в левой части уравнения:

Разложите приведенное выше выражение на множители:

Либо либо .