Математика высшая первый курс – . . 1.: »

Открытое образование — Высшая математика. 1 семестр

  • 11 недель
  • от 10 до 14 часов в неделю
  • 4 зачётных единицы

Курс высшей математики для общетехнических специальностей. Включает программу 1 семестра, соответствующую ГОС.

О курсе

Данный курс предназначен для студентов и слушателей, желающих изучить основы высшей математики. Курс соответствует государственным образовательным стандартам.

В первом семестре изучаются 4 раздела: элементы линейной алгебры, векторная алгебра, аналитическая геометрия и начала математического анализа.

Рекомендуется к использованию для студентов-заочников общетехнических направлений и в качестве дополнения к основному курсу высшей математики высших технических учебных заведений.

Формат

Курс включает видеолекции, в которых разобраны основные понятия: определения и теоремы, некоторые из которых доказываются, а также разбираются практические задачи и примеры. Более полное изложение курса содержится в приведенной литературе. Кроме того, по каждой теме предлагается небольшой online тест на проверку полученных знаний. В конце курса – итоговый тест, по результатам которого выдается сертификат о прохождении курса высшей математики за 1 семестр.

Программа курса

Раздел 1. Линейная алгебра: определители, матрицы, системы линейных уравнений

  • Определители и системы линейных уравнений
  • Матрицы и действия с ними
  • Общая теория линейных систем

Раздел 2. Векторная алгебра

  • Линейные операции над векторами
  • Операции умножения векторов

Раздел 3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

  • Прямая на плоскости
  • Плоскость и прямая в пространстве
  • Кривые и поверхности второго порядка

Раздел 4. Начала математического анализа: предел числовой последовательности, предел и непрерывность функции

  • Множества и функции
  • Предел числовой последовательности
  • Предел и непрерывность функции

Результаты обучения

Студент должен освоить программу высшей математики за первый семестр. Научиться решать произвольные линейные системы, освоить векторную алгебру, аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве. Также студент должен изучить основы математического анализа, научиться вычислять пределы и исследовать функцию на непрерывность.

Формируемые компетенции

  • Рассматривает возможные варианты решения задачи, оценивая их достоинства и недостатки
  • Анализирует задачу, выделяя ее базисные составляющие, осуществляет декомпозицию задачи

openedu.ru

Открытое образование — Высшая математика. Математический анализ

  • 16 недель
  • 3 зачётных единицы

О курсе

Этот курс логически является первой частью двойного авторского курса Алексея Савватеева «Высшая математика для всех». Здесь излагаются основные понятия математического анализа: предел и его различные применения (сумма ряда, предел последовательности, производная, интеграл), непрерывность, построение графиков функций, функциональные последовательности и ряды (в частности, степенные). Курс в первую очередь ориентирован на слушателей, начинающих изучение этих тем или знакомых с ними поверхностно и желающих разобраться глубже. В отличие от классических курсов высшей математики, лектор не стремится к строгому формальному изложению материала и систематическому покрытию всех тем. Изложение строится вокруг ряда математических сюжетов, которые обсуждаются сначала неформально и на примерах, и только потом − с использованием строгих формулировок. Главной сюжетной линией является построение экспоненты как функции сначала вещественной, а потом и комплексной переменной (а в последующей второй части курса, посвящённой линейной алгебре, будет строиться экспонента от оператора). В связи с этой задачей оказываются задействованными основные инструменты математического анализа и типичные приёмы математических рассуждений, вокруг чего и строится материал лекций и семинаров.

Формат

Курс включает 13 недель лекционных и семинарских занятий. На лекциях излагаются основные идеи, примеры, сюжеты, теория. На семинарах − более технические вопросы и задачи, иллюстрирующие использование методов. В конце каждой недели слушателям предлагаются контрольные задачи, а по окончании всех недель − проверочный экзамен. В основном задачи ориентированы на проверку понимания материалов лекций и семинаров, но есть и более сложные задания, требующие самостоятельной работы.

Логическим продолжением этого курса является вторая часть двойного курса «Высшая математика для всех» − «Линейная алгебра и элементы топологии». По замыслу автора эти две части − математический анализ и линейная алгебра − должны восприниматься слушателями как единое целое. Перед изучением второй части курса очень желательно быть знакомым с первой частью.

Требования

Курс не требует предварительных знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. 

Программа курса

  1. Мотивирующие примеры: как далеко видно с горы, приближенные вычисления, последовательность вложенных треугольников.
  2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Полнота множества вещественных чисел. Признаки сходимости рядов: интегральный, Даламбера и Коши.
  3. Последовательности, интуитивное представление о сходимости. Сходимость без указания предела (фундаментальные последовательности). Предел последовательности, его связь с суммой ряда. Примеры пределов последовательностей. Рекуррентные последовательности.
  4. Общее понятие предела, основанное на системе окрестностей. Использование пределов в математическом анализе: производная, задание и вычисление вещественных чисел, интеграл, асимптотика.
  5. Многочлены и их графики. Корни многочлена и теорема Безу. Локальные экстремумы и производная. Старшие производные.
  6. Экспонента: введение. Возникновение экспоненты и числа e в различных задачах.
  7. Экспонента: алгебраический подход. Теорема о промежуточном значении и неизменность знака экспоненты. Построение экспоненты «по непрерывности».
  8. Степенные ряды. Экспонента как степенной ряд. Число e − основание степени в экспоненте. «Замечательный предел» для числа e и экспоненты. Продолжение экспоненты на комплексную плоскость. Раскрытие скобок в произведении рядов. Абсолютная сходимость ряда и перестановка слагаемых. Условно сходящиеся ряды.
  9. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Мажорируемая сходимость. Радиус сходимости степенного ряда.
  10. Комплексная экспонента. Комплексные тригонометрические функции.

openedu.ru

Высшая математика (краткий курс лекций)

113

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

§1. Понятие множества. Некоторые сведения о математической логике.

§2. Числовые множества. Множество действительных чисел.

§3. Числовые промежутки.

§4. Модуль действительного числа.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

§1. Понятие функции и способы ее задания.

§2. Основные характеристики функций.

§3. Элементарные функции.

§4. Приложение функций в экономике.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

§1. Числовая последовательность и ее предел.

Понятие предела является фундаментальным в математическом анализе. Начальные сведения о пределах встречаются еще в школьном курсе. Например, в алгебре с понятием предела связан вопрос о сумме членов бесконечной убывающей прогрессии, в геометрии – вопрос о вычислении длины окружности, площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел вращения.

В курсе математического анализа с помощью предела вводятся понятия производной, определенного интеграла.

Ознакомимся с понятием числовой последовательности и ее предела.

Определение.Если каждому натуральному числуnпоставлено в соответствие числохn, то говорят, что заданапоследовательность

x1, х2, …, хn

= {xn} (1.1)

Общий элемент последовательности является функцией отn.

xn = f(n)

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Примеры.

10) {xn} = {3n} или {xn} = 3; 6; 9; 12; …

20) {xn} = {} или {xn} = 1;;;

; …

30) {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

40) {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; -1; 0; …

50) {xn} = {6} или {xn} = 6; 6; 6; 6; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

  1. Умножение последовательности на число m:m{xn} = {mxn}, т.е.mx1,mx2, …

  2. Сложение (вычитание) последовательностей: {xn}±{yn} = {xn±yn}.

  3. Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

  4. Частное последовательностей: при{yn} ¹ 0.

Замечание.Если переменнаяxn принимает значенияx1, х2, …, хn,…, то говорят, что эта переменная «пробегает» числовую последовательность{xn}. Такую переменную называют «упорядоченной». Часто упорядоченную переменную отождествляют с числовой последовательностью, которую она «пробегает» и обозначаютxn. Переменнаяxn не является непрерывной, она –дискретная.

Заметим, что n(номер) можно увеличивать неограниченно, пишутn→∞и последовательность (1.1) являетсябесконечнойчисловой последовательностью.

Вернемся к рассмотренному примеру 10): {xn} = {3n} или {xn} = 3; 6; 9; 12; … На данном примере можно заметить, что приn→∞переменная величинаxnтоже неограниченно возрастает. Такие величины называют бесконечно большими.

Определение.Переменная величинаxnназывается бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) М>0 можно найти такой номерn=N,начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству:

|xn|³M

Рассматривая пример 20), можно заметить, что величинаxn=→ 0 приn → ∞. Такие величины называютсябесконечно малыми.

Рассмотрим еще один пример: {xn} = {} или {xn} = 0;;;

По мере возрастания номера nчлены числовой последовательности приближаются к числу 1. Говорят, что 1 – предел этой числовой последовательности. Точно так же в примере 20) 0 – предел этой последовательности. Кратко это записывается так .

Определение. Окрестностью точкианазывается любой интервал (α, β), содержащий точкуа. В частности, симметричный интервал (а — ε;а+ ε), где ε > 0, называется ε-окрестностью точкиа.

Замечание.х (а — ε;а+ ε)

В общем случае, если последовательность {xn}имеет своим пределом числоа, то это записывают так .

Геометрически это означает, что начиная с некоторого номера n=N,N+1,N+2, …все члены последовательности попадают в ε-окрестность точкиа. (ε – достаточно малое положительное число) или

Последовательности 30),40) не имеют предела (расходятся). Последовательность, которая имеет предел – сходится.

Определение.Числоаназываетсяпределомпоследовательности {xn}, если для любого положительногоe>0 существует такой номерN, что для всехn>Nвыполняется условие:

Это записывается:

В этом случае говорят, что последовательность {xn} сходитсяка приn®¥.

Свойство:Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример.Доказать, что предел последовательностиlim .

Пусть при n>Nверно , т.е.. Это верно при, таким образом, если заNвзять целую часть от, то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример.Показать, что приn®¥последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n=xn– 2

Очевидно, что существует такое число n, что, т.е.lim {xn}= 2.

Теорема.Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство.Предположим, что последовательность {xn}имеет два пределаa иb, не равные друг другу, т.еxn ® a; xn ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e>0, что

Запишем выражение:

А т.к. e-любое число, то, т.е.a=b. Теорема доказана.

Замечание.Говорят, чтонепрерывнаяпеременнаяха, если эту переменную можно представить как бесконечное число числовых последовательностей, каждая из которых имеет пределом числоа.

Переменная хстремится каслева (справа), если все члены последовательностей, имеющих пределом числоа,

ха-0

ха+0

Переменная х→ +, если для любого сколь угодно большого М>0 найдетсях, начиная с которого все следующие значенияхбудут больше М :х> М их→ —, если для любого сколь угодно большого М>0 найдетсях, начиная с которого все следующие значенияхбудут меньше — М :х<- М. В этих случаях переменнаяхназывается бесконечно большой.

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *