Матпрофи двойной интеграл: Математическое Бюро. Страница 404

Двойной интеграл — основные понятия и определения с примерами решения и образцами выполнения

Содержание:

1. Двойной интеграл
2. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах
3. Двойной интеграл в полярных координатах
4. Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования
5. Геометрический смысл двойного интеграла
6. Свойства двойного интеграла
7. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
8. Двойной интеграл в полярных координатах
9. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла
10. Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл

На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.

Задача.

Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью снизу конечной замкнутой областью плоскости и с боков прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе области и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости (рис. 245).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Тело указанного вида для краткости называется цилиндроидом. В частном случае, когда верхнее основание цилиндроида есть плоскость, параллельная нижнему основанию его, то цилиндроид называется цилиндром.

Примером цилиндра служит круговой цилиндр, рассматриваемый в средней школе.

Обобщая рассуждение, обычно применяемое для нахождения объема кругового цилиндра, нетрудно доказать, что объем цилиндра с площадью основания и высотой равен

Для вычисления объема данного цилиндроида разобьем основание его на конечное число элементарных ячеек (вообще говоря, криволинейных). В каждой из этих ячеек выберем точку и построим прямой цилиндрический столбик с основанием и высотой равной аппликате поверхности в выбранной точке.

Объем такого столбика на основании формулы объема цилиндра, очевидно, равен

где — площадь соответствующей ячейки. Сумма объемов этих цилиндрических столбиков представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное криволинейное тело, причем аппроксимация является, вообще говоря, тем более точной, чем меньше диаметры ячеекПоэтому объем нашего цилиндроида приближенно выразится суммой

Формула (2) дает возможность найти объем с любой степенью точности, если число ячеек достаточно велико и линейные размеры их весьма малы. Обозначим через диаметр ячейки , т. е. наибольший линейный размер ее. Точнее говоря, под диаметром ограниченной замкнутой (т. е. с присоединенной границей) фигуры (дуги, площадки и т. п.) понимается длина наибольшей ее хорды где (рис. 246)2)

Из данного определения следует, что фигура имеющая диаметр целиком помещается внутри круга радиуса описанного из любой ее точки как из центра. Поэтому если то фигура «стягивается в точку». Аналогично определяется диаметр пространственного тела.

Пусть — наибольший из диаметров ячеек Предполагая, что в формуле (2) число ячеек неограниченно возрастает причем диаметр наибольшей из них становится сколь угодно малым в пределе получаем точную формулу для объема цилиндроида

Выражение, стоящее в правой части формулы (3), называется двойным интегралом от функции распространенным на область и обозначается следующим образом:

Поэтому для объема цилиндроида окончательно имеем

Обобщая конструкцию, примененную для вычисления объема цилиндроида, приходим к следующим определениям.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Разложить в ряд фурье

Ряд фурье функции

Вычислить двойной интеграл

Криволинейный интеграл: примеры решения

Опрелеление 1. Двумерной интегральной суммой (2) от данной функции распространенной на данную область называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек области назначения функции в выделенных точках этих ячеек (рис. 247).

Опрелеление 2. Двойным интегралом (4) от функции распространенным на данную область называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы (2) при неограниченном возрастании числа элементарных ячеек и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа дробления области на элементарные ячейки и выбора точек в них. В формуле (4) называется подынтегральной функцией, — областью интегрирования, а — элементом площади.

Справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА. Если область с кусочно-гладкой границей ограничена и замкнута а функция непрерывна в области то двойной интеграл существует, т. е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа дробления области на элементарные ячейки и выбора точек в них.

В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.

В формуле (6) нет необходимости указывать, что так как из очевидно, следует

Если то двойной интеграл (6) представляет собой объем прямого цилиндроида, построенного на области как на основании и ограниченного сверху поверхностью (геометрический смысл двойного интеграла).

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем при решении задач мы будем использовать это обстоятельство, выбирая наиболее подходящие сетки. Весьма часто удобной оказывается прямоугольная сетка, образованная пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям и (рис. 248).

В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники со сторонами, равными и за исключением, возможно, ячеек, примыкающих к границе Чтобы подчеркнуть использование прямоугольной сетки, в обозначении интеграла (4) полагают (двумерный элемент площади в прямоугольных координатах), причем где и сумма (8) распространяется на все значения и для которых (можно показать, что непрямоугольные ячейки, примыкающие к кусочно-гладкой границе не влияют на значение предела (8)).

В следующих параграфах мы рассмотрим основные способы вычисления двойного интеграла.

Примеры с решением

Пример 1.

Найти

где — квадрат

Расставляя пределы интегрирования, будем иметь Геометрически представляет собой объем цилиндроида с квадратным нижним основанием, ограниченного сверху параболоидом вращения (рис. 254).

Пример 2.

Вычислить двойной интеграл

где — прямоугольник

Расставляя пределы интегрирования и разделяя переменные, будем иметь

Пример 3.

Вычислить где — треугольник с вершинами (рис. 255).

Область ограничена прямыми 2 и является стандартной как относительно оси так и оси

Для вертикали точка входа в область есть «точка выхода» — Таким образом, при фиксированном переменная для точек области меняется от до Поэтому, интегрируя в двойном интеграле (10) сначала по при а затем по согласно формуле (5) будем иметь

Аналогично, для горизонтали «точка входа» в область есть и «точка выхода» — Следовательно, при фиксированном переменная для точек области меняется от до Произведя в двойном интеграле (10) интегрирование сначала по при а затем по на основании формулы (9) получаем

Мы пришли, как и следовало ожидать, к тому же самому результату, причем второй способ вычисления оказался несколько более сложным.

Пример 4.

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Область интегрирования ограничена кривыми (рис. 256). Отсюда, изменяя роли осей координат, получаем

Следовательно,

Пример 5.

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле если область интегрирования есть круговое кольцо, ограниченное окружностями (рис. 257). Область не является стандартной. Для расстановки пределов интегрирования в интервале (13) разбиваем область на четыре стандартные относительно оси области как указано на рисунке. Используя уравнение окружностей

имеем

Аналогичная формула получится, если мы будем расставлять пределы интегрирования в другом порядке.

Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах

Предположим для определенности, что область интегрирования представляет собой криволинейную трапецию (рис. 249)

где — однозначные непрерывные функции на отрезке Такую область будем называть стандартной относительно оси Заметим, что вертикаль, проходящая через точку оси при пересекает границу области только в двух точках («точка входа») и («точка выхода»).

Пусть — функция, непрерывная в области и = — ее двойной интеграл.

1) Предположим сначала, что в области Тогда двойной интеграл представляет собой объем цилиндроида (рис. 250), ограниченного снизу областью сверху поверхностью и с боков прямой цилиндрической поверхностью

Для вычисления объема применим метод сечений (гл. XV, § 5). А именно, пусть — площадь сечения цилиндроида плоскостью перпендикулярной оси в точке ее (рис. 250).

Тогда имеем

Но представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком и сверху кривой

Поэтому

Можно доказать, что при наших условиях непрерывна при

Подставляя выражение (4) в формулу (3), получим окончательно

Таким образом, двойной интеграл равен соответствующему повторному интегралу (5), т. е. вычисление двойного интеграла сводится к двум квадратурам. Заметим, что при вычислении внутреннего интеграла в формуле (5) рассматривается как постоянная величина.

2) В случае знакопеременной функции например, если при и при двойной интеграл (2) равен алгебраической сумме объемов цилиндроидов, построенных соответственно на основаниях (pиc. 251),

т. е. Можно доказать, что формула (5) справедлива и в этом случае.

Отметим один важный случай: пусть — прямоугольник (рис. 252) и где — функция, непрерывная на и зависящая только от и — функция, непрерывная на и зависящая только от

В силу формулы (5) имеем

Но внутренний интеграл в формуле (7) есть постоянное число, поэтому его можно вынести за знак внешнего интеграла и мы получим

т. е. двойной интеграл (8) равен произведению двух однократных интегралов.

Замечание 1. Если область — стандартная относительно оси (рис. 253) то по аналогии с формулой (5) получаем

В частности, если область есть прямоугольник: a есть прямоугольник: a то имеем

Отсюда получаем

т е. если пределы интегрирования в повторном интеграле от непрерывной функции конечны и постоянны, то результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам и , полагая

Область интегрирования разобьем на элементарные ячейки с помощью координатных линий (окружности) и = (лучи) (рис. 258).

Введем обозначения Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна

Что касается ячеек неправильной формы, примыкающих к границе области интегрирования то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла (ср. § 1, формула (8)) и мы их будем игнорировать.

В качестве точки для простоты выберем вершину ячейки с полярными координатами и Тогда декартовы координаты точки равны

и, следовательно,

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости. Поэтому, учитывая формулы (3) и (3′)» получаем

где — максимальный диаметр ячеек и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области

С другой стороны, величины и суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовы координаты некоторых точек плоскости Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами и Следовательно,

Выравнивая формулы (4) и (5), получаем окончательно

Выражение называется двумерным элементом площади в полярных координатах (ср. гл. XV, § 2).

Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты и заменить по формулам (2), а вместо элемента площади и подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования определяется неравенствами

где — однозначные непрерывные функции на отрезке (рис. 259) Тогда по аналогии с прямоугольными координатами (см. § 2) имеем

где

Пример 6.

Переходя к полярным координатам и вычислить двойной интеграл где первая четверть круга радиуса с центром в точке (рис. 260). Так как то , применяя формулу (6), получаем

Область определяется неравенствами Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 7.

В интеграле

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник. ограниченный прямыми (рис. 261).

В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: и, следовательно, область определяется неравенствами Отсюда на основании формул (6) и (8), учитывая, что имеем

Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования

Понятие «двойной интеграл» является естественным обобщением понятия «определенный интеграл» на случай функции двух переменных. Поэтому его определение принципиально не отличается от определения определенного интеграла и вводится аналогичным образом.

Пусть функция или где определена и непрерывна в замкнутой области плоскости то есть на множестве точек координатной плоскости, ограниченная сомкнуты линией (или линиями) , с учетом точек линии — пределы области.

Выполним такую (стандартную) процедуру:

1) разобьем область произвольным образом какими-либо линиями на n частичных областей с площадями (или просто — на плоскостей (рис. 26.1) и самую большую из расстояний между двумя точками границы плоскости назовем

диаметром плоскости  а максимальный среди них — диаметром разбиения области
2) выберем на каждой из плоскостей произвольным образом по точке вычислим и найдем произведения
3) составим сумму всех таких произведений

которую назовем интегральной суммой для функции в области
4) вычислим границу (если она существует) интегральной суммы (26. 1) при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю при неограниченном росте то есть вместе с

Рис. 26.1

Конечна граница интегральной суммы когда диаметр разбиения стремится к нулю а называется

двойным интегралом (от) функции по области и обозначается так:

 или 

где — знак (символ) двойного интеграла;

— область интегрирования;

— подынтегральная функция;

— подынтегральное выражение;

— переменные интегрирования;

— элемент площади, или дифференциал площади.

Следовательно, по определению

Теорема 26.1 (существование двойного интеграла). Если задана функция двух переменных непрерывна в рассматриваемой замкнутой области, то существует конечное предел интегральной суммы (то есть двойной интеграл), и она не зависит ни от способа разбиения области на плоскости, ни от выбора точек в них для составления интегральной суммы.

Теорему приводим без доказательства.
Функция для которой существует двойной интеграл по области называется

интегрируемой на этой области.

Согласно теореме 26.1 разбиения области можно осуществлять простым из возможных способов (рис. 26.2), а именно: в декартовой системе координат — прямыми, параллельными координатным осям.

Рис. 26.2

В этом случае плоскость — прямоугольник со сторонами который образуется при переходе от точки к точке где Поэтому потому приросты независимых переменных  равны их дифференциалам:

Таким образом, можно записать:

Геометрический смысл двойного интеграла

В дальнейшем тело, ограниченное поверхностью плоскостью и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси а направляющей предел области (рис. 26.3), коротко будем называть цилиндрическим телом для функции на (области)

Анализируя с геометрической точки зрения процедуру, которая предшествовала определению двойного интеграла для неотъемлемой в области функции приходим к выводу: каждое слагаемое интегральной суммы численно равен объему прямой призмы с площадью основания и высотой (рис. 26.3), а интегральная сумма численно дает приближенное значение объема цилиндрического тела для функции  на области

Рис. 26.3

Свойства двойного интеграла

Сравнивая определение двойного интеграла и определение определенного интеграла функции одной переменной, можно сделать вывод, что по структуре эти определения аналогичны. Поэтому свойства двойного интеграла, а также их доведения почти повторяют соответствующие свойства определенного интеграла. Приведем эти свойства.

1. Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3. Если область разбить на две области и которые не имеют общих внутренних точек, и функция непрерывна в области то

4. Если в области то

5. Если в каждой точке области функции и непрерывны и удовлетворяют условию то

6. Если функция непрерывна в области и удовлетворяет двойное неравенство где и — наименьшее и наибольшее значение функции в области , то

где — площадь области

7. Если функция   непрерывна в области то в этой области существует такая точка что

где — площадь области

Значение называется средним значением функции в области

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Установим формулы для вычисления двойного интеграла  опираясь на его геометрический смысл (26.3) и формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла: (26.11) где — площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси а и = — уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Область плоскости называется правильной, или

простой, в направлении оси если она ограничена прямыми  и двумя непрерывными кривыми и  а любая прямая параллельная оси пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис. 26.4 а, б).

Рис. 26.4

Рассмотрим цилиндрическое тело для функции на правильной в направлении оси области (рис. 26.5). Проведем произвольную плоскость, параллельную плоскости В сечении цилиндрического тела этой плоскостью получаем криволинейную трапецию, площадь которой выражается интегралом от функции где фиксировано, а меняется от Таким образом, площадь сечения равна:

Согласно формуле (26.11) объем данного цилиндрического тела равна:

Рис. 26.5

С другой стороны, на основании геометрического смысла двойного интеграла имеем:

Сопоставляя последние две формулы, окончательно получаем:

или в более удобной (для использования) форме:

Правую часть формулы (26.12) как определенный интеграл от определенного интеграла называют двукратным или повторным интегралом от функции по области В нем интеграл по переменной y называют внутренним, а по переменной — внешним интегралом

Согласно формуле (26. 12) сначала проводят интегрирования по переменной то есть находят внутренний интеграл (при этом переменная считается постоянной), после чего полученную функцию от интегрируют в пределах от до с переменной то есть вычисляют внешний интеграл.

Аналогично область плоскости называется правильной, или простой, в направлении оси если она ограничена прямыми и  и двумя непрерывными кривыми и а любая прямая , параллельная оси пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис.26.6 а, б).

Рис. 26.6

Для правильной в направлении оси области вычисления двойного интеграла сводится к вычислению двукратного или повторного, интеграла по формуле:

Как итог рассматриваемого наведем порядок нахождения двойного интеграла:

1) строим область интегрирования ограниченную заданными линиями;
2) анализируем ее с целью установления того, является ли она правильной в направлении хотя бы одной из осей координат, и определяем границы интегрирования;
3) применяем одну из формул, (26. 12) или (26.13), и находим сначала внутренний интеграл (как правило, со сменными пределами интегрирования), а затем — внешний (с постоянными пределами интегрирования).

Рис. 26.7

Если область не является правильной, то ее подают в виде объединения правильных областей, осуществив ее разбиение на части прямыми, параллельными координатным осям, и применяют свойство 3 двойного интеграла, а именно:

Формулы приведения двойного интеграла к повторным (26.12) и (26.13) существенно упрощаются, если область является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис. 26.7).

В этом случае пределы интегрирования являются постоянными не только для внешнего, но и для внутреннего интеграла:

и в каком порядке интегрировать сначала по переменной а затем по переменной или наоборот, не имеет значения.

Вычислим если область — прямоугольник:  

По формуле (26.15) имеем:

Если подынтегральная функция является произведением функции от с функцией от и пределы интегрирования постоянные, то двойной интеграл равен произведению определенных интегралов по каждой переменной.

Вычислим  если область ограничена линиями: и

Построим область интегрирования (рис. 26.8). Она является правильным в направлении оси поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной а внешнее — по

Рис. 26.8

Вычислим если область  ограничена линиями:
и

Построим область (рис. 26.9).

Рис. 26.9

Она является правильной в направлении оси поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной  а внешнее — по

Вычислим если область ограничена линиями:
и

Построим область (рис. 26.10).
Находим точки взаимного пересечения каждой пары линий, ограничивающих .
Линии — пересекаются в начале координат

Рис. 26.10

Область не является правильным ни в направлении оси ни в направлении оси Разобьем ее прямой на две правильные в направлении оси области и По формуле (26.14) имеем:

Двойной интеграл в полярных координатах

При переходе в двойном интеграле от декартовых координат и  к полярным и используют связь между координатами и (24. 4):

и выражение для дифференциала площади в полярных координатах:

Соответствующая формула перехода имеет вид:

где  и — полярные координаты точек области

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению двукратного (повторного) интеграла по переменными и .

Если область является разностью двух криволинейных секторов (рис. 26.11), то есть фигурой, ограниченной лучами, которые образуют с полярной осью углы и и кривыми и где то

 

Рис. 26.11

Если область ограничена сомкнутой линией и начало координат лежит внутри области, то

Переход к полярным координатам в двойном интеграле целесообразно делать, если область интегрирования представляет собой круг, кольцо или их частями, то есть граница области содержит дуги кругов и отрезки лучей, исходящих из полюса

Вычислим  где — круг 

Пределом области является окружность радиуса 2 с центром в точке

Применим формулы перехода от декартовых координат к полярным:

В координатах уравнение границы области примет вид:

Построим в декартовых координатах круг или  (рис. 26.12). В полярных координатах соответствующая область интегрирования — криволинейный сектор, ограниченный лучами а полярный радиус меняется от до

Рис. 26.12

По формуле (26.17) имеем:

Вычислим с помощью двойного интеграла в полярных координатах несобственный интеграл Эйлера-Пуассона:

Для этого рассмотрим двойной интеграл  где — четверть круга некоторого радиуса расположенного в первом квадранте декартовой системы координат: Для вычисления перейдем к полярным координатам: тогда

Если теперь неограниченно увеличивать радиус то получим несобственный интеграл по всей первой четверти (рис. 26.13), так как при область

Рис. 26.13

расширяется так, что любая точка первой четверти попадет в и останется в ней, а направляться в

С другой стороны, при и и поэтому можно записать:

поскольку определенный интеграл (а с ним и несобственный) не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Таким образом, откуда: 

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла

Если в формуле (26.3): положить то интегральная сумма для функции в области давать приближенно площадь этой области

а за ее точное значение принимается значение интеграла:

Если область — разность двух криволинейных секторов (рис. 26.11) — заданная в полярной системе координат неровностями то

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: 

Построим плоскую фигуру (рис. 26.14) и определим точки пересечения заданных линий — гиперболы и прямой, — решив систему их уравнений:

Рис. 26.14

Решим первое уравнение: откуда  тогда Следующим образом: . (Вторая ветвь гиперболы не показаны, поскольку она не имеет общих точек с прямой

Заданная фигура является областью, правильной и в направлении оси и в направлении оси Для вычисления ее площади воспользуемся формулой (26.19). В соответствующем повторном интеграле внешний интеграл берем по переменной от до а внутренний — по переменной от к

Вычислим площадь плоской области ограниченной кругом  и прямыми

Построим область для чего предварительно сведем уравнение окружности к каноническому виду (рис. 26.15).

Площадь заданной области целесообразно вычислить в полярных координатах: Запишем уравнение окружности в координатах или По уравнениям заданных прямых устанавливаем, что угол изменяется от до Таким образом, согласно формуле (26.20) имеем:

Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла

По определению двойного интеграла и его геометрическим смыслом было доказано, что двойной интеграл равен объему тела, ограниченного поверхностью областью плоскости и цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области и образующими, параллельными оси а именно:

Найдем объем тела, ограниченного поверхностями:

Проанализируем уравнение поверхностей и построим область интегрирования Заданное пространственное тело ограничено: сверху — плоскостью боков — двумя параболическими цилиндрами и с образующими, параллельными оси снизу — областью которая «вырезается» на плоскости цилиндрическими поверхностями и плоскостью (рис. 26.16).

Рис. 26.16

По формуле (26.3) получаем:

Найдем объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостями (в I октанте).

Построим область интегрирования согласно условию задачи (рис. 26.17).
Вычислим объем осуществив в двойном интеграле переход к полярным координатам, при этом уравнение окружности запишется как а прямые и образуют с осью углы и в соответствии.

Рис. 26.17
Итак, по формуле (26.17) получим:

Рассмотрим две задачи, в которых двойной интеграл применяется для вычислений в сфере экономики.

1. Пусть — областьь посевов некоторой сельскохозяйственной культуры. В каждой точке известна урожайность этой культуры (например, по наблюдениям из космоса). Тогда величина численно равна урожая, который можно собрать с области  при отсутствии потерь.

2. Аналогично, если функция описывает плотность населения в точке некоторого региона-области то величина численно равна численности населения этого региона.

В обоих задачах аналитическое выражение подынтегральной функции устанавливается как эмпирическая формула.

Подводя итоги темы «двойной интеграл», отметим, что рядом с двойными существуют также и многомерные (-мерные, ) интегралы. Определение соответствующих интегралов вводятся аналогично тому, как это было сделано при определении двойного интеграла, а их вычисления сводится к вычислению -кратных определенных интегралов. Наиболее распространенными являются тройные интегралы от функции по пространственной (трехмерной) области ограниченной некоторой замкнутой поверхностью. Взятие тройного интеграла сводится к последовательному вычисления трех определенных интегралов.

Двойной интеграл. Пределы интегрирования

Двойные интегралы используют в математике, механике, физике. С его помощью можно решить огромное количество непростых задач. Ниже приведено 10 примеров на двойные и тройные интегралы, которые в значительной степени облегчат подготовку к контрольной работе или экзамену. Примеры взяты из индивидуальной работы по высшей математики.

ВАРИАНТ — 12

ЗАДАНИЕ 1.18 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Сначала записываем область интегрирования, которая ограничена границами

где y=2/x — гипербола.
y=-x²-4x-3 — парабола с вершиной в точке S (-2;1), ветками вниз.
Чтобы знать, как расставить пределы интегрирования при изменении порядка интегрирования изобразим область интегрирования на плоскости
Выражаем полученные функции через переменную y: 
y=2/x, отсюда x=2/y; y=-x²-4x-3, отсюда , перед радикалом стоит знак «+» поскольку часть параболы находится в правой (положительной по x=-2) части полуплоскости.
Из рисунка видим, что при изменении порядка интегрирования область необходимо разделить на три части: D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:

Изменяем порядок интегрирования функции
Как видите ничего сложного нет, главное представлять график функции и иметь точки их пересечения — пределы интегрирования.

ЗАДАНИЕ 2.19 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями, : y=2^x, y=5, 2x-2y+3=0.
Решение: Прежде всего выполняем построение всех кривых, чтобы видеть как будут изменяться пределы интегрирования
Дальше найдем точки пересечения графиков заданных функций :
1 и 2

отсюда

Дальше точки пересечения 2 и 3 функций

отсюда

Напоследок пересечение 1 и 3 ф-й

отсюда

Заданную область будем разбивать на две области: D=D₁+D₂.
Расставим пределы для каждой из областей:

Через двойной интеграл находим площадь фигуры которая  ограничена заданными кривыми, :
Функции не тяжелые для интегрирования, поэтому в предпоследнем выражении подставьте пределы самостоятельно.
При округлении площадь криволинейной трапеции равна 2,037 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 3.20 Найти двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями: D: y=x²-1, y=3.
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций: y=x²-1 и y=3:
3=x²-1, x²-4=0, (x-2)(x+2)=0, x=-2; x=2.
Параболу и прямую изобразим графически
Расставим пределы интегрирования в заданной области D:

Вычислим двойной интеграл по области которая ограничена параболой и прямой:
Определенный интеграл равен I=224/15=14,9 (3).

 

ЗАДАНИЕ 4.21 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми

где y=R²— x², x²+y²=R²

Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом R (нижняя половина).
Используя замену переменных

перейдем к полярной системе координат (СК).
При этом подынтегральную функцию следует умножить на якобиан перехода, который находим через определитель из производных:

Перепишем подинтегральную функцию в полярной СК :

Пределы интегрирования при переходе к полярной системе координат изменятся на следующие:

Вычислим двойной интеграл:
Он равен I=Pi/4*sin (R²).

 

 

ЗАДАНИЕ 5.22 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями: D: x³=3y, y²=3x.
Решение: Найдем точку пересечения двух графиков : x₁=0, y₁=0; x₂=3, y₂=3.
Графики кривой в декартовой системе координат имеет вид
Расставим пределы интегрирования в области D:

Найдем площадь криволинейной трапеции которая ограничена указанными линиями:
Площадь равна 3 единицы квадратные.

 

ЗАДАНИЕ 6.23 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры : (x²+y²)³=4a²xy (x²-y²).
Решение: Сначала построим чотирёх лепесток

Перейдем к полярной системе координат:

Якобиан перехода из предыдущих примеров равен I=r.
Найдем пределы интегрирования в новой системе координат

Переменные приобретают значение:

Расставляем пределы интегрирования в двойном интеграле, таким образом найдем четверть площади плоской фигуры.
Дальше результат умножим на 4:
Площадь равна S=a² единиц квадратных.

Внимательно проанализируйте как определять пределы интегрирования. Это тяжелее всего, что может быть в подобных задачах.
Как вычислить определенный интеграл, как правило, должны знать все студенты. Здесь лишь расширяется его приложение.

 

Тройной интеграл

ЗАДАНИЕ 8.25 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями: V: x=2 y=3x, z=4 (x²+y²).
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Уравнение поверхности в пространстве z=4 (x²+y²) — эллиптический параболоид.
График параболоида и проекция в декартовую плоскость тела имеют вид
Пределы интегрирования расставим следующим образом:
V:
Расставляем пределы интегрирования в соответствии с областью

 

ЗАДАНИЕ 9.6 Вычислить тройные интегралы:

где V:
Решение: Выполним построение области интегрирования
Заданная область V является параллелепипедом, поэтому без трудностей расставляем пределы интегрирования и от внутреннего к внешнему находим интеграл

Вычисления не сложны, поэтому превращение в формуле проанализируйте самостоятельно.

 

ЗАДАНИЕ 10.7 Используя тройной интеграл, вычислить объем тела : где z=x², x — 2y+2=0, x+y=7 .
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Забегая наперёд, изобразим тело и его проекцию
Это поможет определить пределы интегрирования

С помощью тройного интеграла вычисляем объём тела, ограниченного поверхностями, :

Определенные интегралы не тяжелые, после их нахождений имеем объём 32 единицы кубические.

На этом расчетная работа по высшей математике решена.
Больше примеров на применение интеграла ищите на страницах сайта.
Если трудно решить контрольную работу или индивидуальное задание — обращайтесь за помощью!

Двойной интеграл примеры – Telegraph

Двойной интеграл примеры

Вычисление двойных интегралов

=== Скачать файл ===

Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Прозвучал удар гонга, который открывает второй раунд в бою с двойными интегралами. Если вы недавно надели перчатки или вообще боксируете с грушей, то, пожалуйста, начните с первого раунда Двойные интегралы для чайников. Настоятельно рекомендую разобраться со всеми примерами вводного урока без халтуры, это очень важно. К тому же, добрый дядя Саша нарисовал много картинок, которые можно распечатать и наклеить у себя в туалете. Помните, что Коперник свои блестящие открытия в астрономии делал именно там. Однако задорное получилось вступление…. Да потому что мне хорошо. А отчего хорошо, поясню в конце статьи. Вспоминаем общую запись двойного интеграла: В первой статье Двойные интегралы для чайников я очень подробно рассмотрел понятие двойного интеграла, алгоритм его решения, важнейшие задачи на обход области интегрирования. Также были прорешаны простейшие двойные интегралы в примерах на нахождение площади плоской фигуры. Снова посмотрим на общую запись двойного интеграла и заметим, что в нём притаилась функция двух переменных. А когда речь заходит о функции двух переменных , то это часто попахивает частными производными второго порядка. Поэтому для освоения примеров вам необходимо уметь более или менее уверенно их находить. В большинстве практических задач требуется формально вычислить двойной интеграл, но, помимо этого, он обладает отличным геометрическим смыслом — с помощью двойного интеграла помимо площади можно вычислить еще и объём. Геометрический смысл двойного интеграла поясню ниже на конкретных примерах. Вычислить двойной интеграл , Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом. Напоминаю, что выполнение чертежа — необходимый начальный этап решения. Чертёж крайне важно выполнить правильно и точно, поскольку ошибка в графике незамедлительно запорет всё задание. Выберем следующий порядок обхода: Вопросы порядка обхода области интегрирования, я комментировать практически не буду, пожалуйста, смотрите статью Двойные интегралы для чайников. Обратите внимание на следующее действие: А любую константу можно вынести за знак интеграла, что благополучно и сделано. Замечательно, если у вас под рукой есть микрокалькулятор, на котором можно считать обыкновенные дроби, он значительно ускорит заключительные вычисления. В последующих примерах я не буду подробно расписывать приведение дробей к общему знаменателю, а просто запишу ответ. Выполняем вторую часть задания: Перейдём к обратным функциям: Для наглядности еще раз приведу чертёж, он будет точно таким же, но с другими обозначениями графиков: Второй способ обхода области: Всегда проявляйте повышенное внимание при подстановке пределов интегрирования. Если есть время, постарайтесь всегда проводить проверку, даже если этого не требуется в условии: Вычислить двойной интеграл , Выполнить проверку: Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что в двойном интеграле изначально присутствует константа. А константу можно вынести за знак двойного интеграла , в данном случае: В ходе решения вынесение константы целесообразно проводить в момент перехода к повторным интегралам. Интеграл от интеграла недалеко падает. Самое главное потом при вычислениях вынесенную константу не потерять. А забывают о ней часто. Рассмотрим основной геометрический смысл двойного интеграла. Для определенности считаем, что , то есть поверхность располагается над плоскостью. В нём мы рассматривали двойной интеграл , причём область интегрирования имела следующий вид: Из начала координат перпендикулярно экрану монитора мысленно проведите на себя стрелку оси. Двойной интеграл может быть и отрицательным, в таких случаях график функции полностью или бОльшей частью лежит под областью. Однако на практике почти всегда встречаются задачи на формальный расчёт двойных интегралов, поэтому мы продолжим совершенствовать технику вычислений:. Вычислить двойной интеграл ,. Изобразим область интегрирования на чертеже: После того, как корректно выполнен чертеж и правильно найдена область интегрирования, самое время разобраться с порядком обхода. Согласно первому способу обхода, область придется разделить на две части, при этом необходимо будет вычислить следующие интегралы: Энтузиазма, прямо скажем, мало. Проанализируем, а не проще ли использовать второй способ обхода области? Перейдем к обратным функциям, переход здесь элементарен: Ну вот, совсем другое дело. Всё-таки подстановка пределов интегрирования, порой, выглядит своеобразно. Будьте внимательны при подстановках! Для тренировки можете попробовать вычислить двойной интеграл менее рациональным способом: Полное решение и ответ в конце урока. Усложняем задачу, теперь подынтегральная функция будет представлять собой сумму. Рассмотрим еще два примера, где я остановлюсь на приёме вычисления интеграла, который типичен и эффективен для кратных интегралов:. Сначала рассмотрим то, чего делать не нужно — в данном случае не следует использовать свойства линейности кратного интеграла и представлять его в виде: Решение, как обычно, начинаем с построения области интегрирования: В данном примере, как легко заметить, не имеет особого значения порядок интегрирования, поэтому выберем первый, более привычный вариант обхода области: Здесь, в отличие от двух предыдущих примеров, из внутреннего интеграла ничего вынести нельзя, поскольку начинкой является сумма. С повторными интегралами опять разбираемся по отдельности. Да, кстати, кто хочет посмотреть, как решать повторные интегралы одной строкой, пожалуйста, зайдите на страницу Готовые решения по высшей математике и закачайте архив с примерами решений кратных интегралов. Хотелось бы остановиться на нескольких существенных моментах. Во-первых, о частном интегрировании. О нём я уже подробно рассказывал в статье Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Получена исходная подынтегральная функция, значит, всё в порядке. Момент второй, подстановка пределов интегрирования. И, наконец, может показаться странным результат: Ведь можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые! В данном случае это сделать несложно, и чайникам, вероятно, лучше так и поступить. Но если будет не вторая, а 3-я или 4-я степень? На самом деле линейную функцию в степени выгоднее проинтегрировать, не раскрывая скобок! Данный прием я уже применял и подробно комментировал во втором параграфе урока Как вычислить объем тела вращения? Ещё раз посмотрим, как он работает:. Где-нибудь возникли сомнения в правильности интегрирования? В образце решения, как и в разобранном примере, использован первый способ обхода области. Рассмотрим практический пример на данную тему:. Вычислить двойной интеграл по области. Начинающим чайникам всегда рекомендую выполнять проверку, особенно в подобных примерах: Будьте предельно внимательны в подстановке пределов интегрирования: В оформлении вполне допустимо записать один, а не несколько нолей, как это сделано в данном примере. Получена подынтегральная функция, что и хотелось увидеть. Подстановка пределов интегрирования здесь сложнее: Степени рекомендую оставить в виде , а не преобразовывать их в корни — будет удобнее интегрировать на втором шаге:. Дроби в рассмотренном примере еще худо-бедно можно привести к общему знаменателю вручную. Похожие двойные интегралы встречаются в известном задачнике Кузнецова, и по этой причине пример тоже уместен. Студенты-заочники почти всегда сталкиваются с двойными интегралами наподобие тех, которые уже рассмотрены, но никто не застрахован от творческих примеров, где в подынтегральной функции есть какие-нибудь синусы, косинусы, экспоненты и т. В ходе выполнения чертежа может возникнуть трудность с построением прямой , которая параллельна оси. Рассмотрим первый способ обхода: Но есть еще и второй способ обхода области: Если возникают трудности с интегрированием, можно прибегнуть даже к такому способу: Второй интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала. Таким образом, выбор порядка обхода иногда зависит не только от самой области интегрирования, но и от подынтегральной функции. Хочется привести ещё примеры, но в первом раунде я обещал не маньячить, поэтому скрепя сердце, заканчиваю статью. Множество других примеров на вычисление двойных интегралов можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике. Если тема проработана качественно, то рискну предположить, что многие читатели без особого труда разберутся и и в тройных интегралах — принципы решения очень похожи! И напоследок раскрою обещанный секрет — так почему же мне сегодня хорошо? Я много раз высказывал своим ученикам эту мудрую мысль, но они почему-то смеялись:. Изменим порядок обхода области: Изобразим область интегрирования на чертеже. Выберем следующий порядок обхода области: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену. 2 } . } $

Далее:

Булевы функции от $n$ переменных

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Нахождение потенциала

Механические приложения тройного интеграла

Теорема Остроградского

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Соленоидальное векторное поле

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

Логические следствия

Теорема о полныx системаx в Pk

Огравление $\Rightarrow $

23 сентября 2016, 02:35    проектирование км, кмд, кж Двойной интеграл 0    26256 0

Вычисление двойного интеграла

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 16Следующая ⇒ Случай прямоугольной области Двойной интеграл по прямоугольной области вычисляется по формулам:              (1)              (2)             Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где Решение. В соответствии с формулой (1) запишем . Вычислим внутренний интеграл, считая переменную х постоянным числом: . Затем вычисляем внешний интеграл по переменной х: . Таким образом,     Случай криволинейной области Если функция f( x, y) непрерывна в замкнутой области G, ограниченной линиями х = a, x = b, ( a < b), y = j( x), y = y( x), где j и y — непрерывные функции и j £ y, тогда              (3)   Если функция f( x, y) непрерывна в замкнутой области G, ограниченной линиями y = c, y = d ( c < d), x = F( y), x = Y( y) ( F( y) £ Y( y)), то                                    (4)                                                       Пример 2. Вычислить интеграл , если область G ограничена линиями:        y = 0, y = x2, x = 2. Решение. Построим область G и вычислим интеграл по формуле (3)                                             y                                              4                                                         G                                            0       2                x         =   Пример 3. Вычислить интеграл , если область G ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2. Решение. Построим область G и вычислим интеграл по формуле (4)                                                  y                                                           y = x                                              2                                                       G                                              1                                                0                                x     Практическое занятие №25 Наименование занятия: Приложения двойных интегралов Цель занятия: Научиться применять двойные интегралы к вычислению площадей фигур. Формировать ОК-2, ОК-5. Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных». Литература: Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г. Задание на занятие: Используя двойной интеграл, вычислить площади фигур, ограниченных линиями:     Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 1 ху = 4, у =2, х = 1 у = х2, 4у = х2, у = 4 y = x2 – 2x, y = x ху = 4, у = х, х = 4 у2 = 4 + х, х + 3у = 0 2 , ,  у = 3, у = 4 , , у = 2, у = 7 , , у = 1, у = 6 , , у = 2,  у = 5 , , у = 3, у = 8 3 х = 8 – у2, х = –2у у = 11 – х2, у = –10х х = 5 – у2, х = –4у у = 20 – х2, у = –8х у = 32 – х2, у = –4х 4 , ,  х = 9 , , х = 4 , , х = 16 , , х = 16 , , х = 9   Порядок проведения занятия: Получить допуск к работе Выполнить задания Ответить на контрольные вопросы. Содержание отчета: Наименование, цель занятия, задание; Выполненное задание; Ответы на контрольные вопросы. Контрольные вопросы для зачета: Как вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла?   ПРИЛОЖЕНИЕ Геометрические приложения двойных интегралов Вычисление площадей в декартовых координатах                                               y                                                                              y = j( x)                                                                   S                                                                              y = f( x)                                                          a              b                    x   Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:   Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.     Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от  до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:   S =   Практическое занятие №26 Наименование занятия:  Решение дифференциальных уравнений ⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒ Читайте также:  Где возникла философия и почему? Относительная высота сжатой зоны бетона Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии Тарифы на перевозку пассажиров 

Последнее изменение этой страницы: 2021-05-11; просмотров: 106; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 176.9.44.166 (0.013 с.)

Вычисление ⭐ объемов тел с помощью определенного интеграла: примеры решения задач

Вычисление объема тел с помощью интеграла

Понятие интеграла является довольно обширным и делится на несколько классов: определенный/неопределенный, двойной/тройной/одиночный.

Известно, что определенный интеграл численно равен площади под кривой, уравнение которой находится под интегралом.

Перейдем от задач на плоскости к задачам в пространстве. Пусть дано цилиндрическое тело D. Зададим оси координат так, что бы основание D — σ лежало в плоскости XOY, а поверхность, задаваемая функцией f(x, y) ограничивала тело D сверху.

Определение  1

Цилиндрическим называют тело, ограниченное поверхностями, параллельными друг другу.

Тогда объем тела D можно вычислить по формуле: 

Формула 1

VD=∫∫σf(x, y) dxdy

Примечание 

Двойной интеграл — обобщенное понятие интеграла в случае функции двух переменных. Физический смысл двукратного интегрирования — вычисление объема.

Далее рассмотрим случаи нахождения объемов с помощью двойных и тройных интегралов. Советуем составить краткие конспекты алгоритмов расчета.

Вычисление объема с помощью двойного интеграла

Вычисление объема сводится к записи определенного двойного интеграла и последующего его решения.

Сначала приведем несколько свойств двойного интеграла, которые помогут упростить работу по его вычислению:

1. Двойной интеграл по основанию тела равен площади самой поверхности:∫∫σdxdy=Sσ.
2. Константу можно вынести за знак интеграла: ∫∫σC·f(x, y)dxdy=C·∫∫σf(x, y)dxdy.
3. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов: ∫∫σ[f1(x, y)+f2(x, y)]dxdy=∫∫σf1(x, y)dxdy+∫∫σf2(x, y)dxdy.
4. Если основание σ можно разбить на две поверхности так, что они не будут иметь внутренних общих точек, то: ∫∫σf(x, y)dxdy=∫∫σ1f(x, y)dxdy+∫∫σ2f(x, y)dxdy.

Рассмотрим алгоритм вычисления объема тела с помощью двойного интеграла:

1. Рекомендуется построить на плоскости XOY область интегрирования. Для этого строят графики функций и штрихуют заданную область. Этот пункт уместен, когда заданные поверхности и кривые достаточно просто представить графически.
2. Определить порядок обхода, расставить пределы интегрирования.
3. Вычислить внутренний интеграл.
4. Вычислить внешний интеграл.

Для некоторых поверхностей, например, сферических, удобнее записывать и решать двойные интегралы в полярной системе координат.

Тогда, если область интегрирования σ в полярных координатах задана неравенствами:α≤φ≤β  и R1(φ)≤r≤R2(φ), а функции R1(φ),R2(φ)  являются непрерывными на отрезке [α,β], объем вычисляется по формуле:

Формула 2

∫∫σf(x, y)dxdy=∫αβdφ∫R1(φ)R2(φ)f(rcosφ, rsinφ)·r·dr

Во втором интеграле появился дополнительный множитель — якобиан. В данном случае якобиан равен r.

Определение 2

Якобиан — понятие в математическом анализе, неравенство нулю которого определяет возможность преобразований старых координат в новые в малой окрестности точки.

Вычисление объема тел с помощью тройного интеграла

В том случае, когда тело ограничено сверху и снизу двумя плоскими поверхностями, используют двойной интеграл. Но в случае, когда тело ограничено некоторыми поверхностями, использование двойного интеграла неприемлемо.

Чтобы вычислить объем тела, ограниченного некоторыми не плоскими поверхностями, используют тройной интеграл:

Формула 3

V=∫∫∫Тdxdydz

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойного. Последовательность действий при двукратном и троекратном интегрировании также аналогична.

Тройное интегрирование возможно выполнять в цилиндрических координатах (аналог полярной системы координат в пространстве): 

Формула 4

V=∫∫∫Тr·drdφdz

и в сферических: 

Формула 5

V=∫∫∫Tρ2sinθdρdφdθ

Примеры решения задач с ответами

Пример 1

Найти объем тела, ограниченного поверхностями y=2×2,y=2,-x-y+4=z,z=0.

Решение.

Сначала построим основание заданного тела. Поверхность ограничена параболой y=2×2 и прямой y=2.

Выберем порядок обхода: 0≤y≤2и-y2≤x≤y2.

Запишем двойной интеграл и вычислим его:

V=∫∫ABCzdxdy=∫02dy∫-y2y2(-x-y+4)dx=∫02(4-y)x-x22y2-y2=22∫02(4y-yy)dy=228y33-2y55|20≈6,14  

Ответ: V≈6,14.

Пример 2

Вычислить объем единичной полусферы.

Решение.

Уравнение сферы имеет вид:x2+y2+z2=1. Уравнение полусферы, расположенной в положительной части оси OZ:z=1-(x2+y2).

Чтобы найти объем, переведем уравнение в полярную систему координат:z (r, φ)=1-r2 .

Выберем порядок обхода: 0≤r≤1 и 0≤φ≤2π. Запишем двойной интеграл: V=∫02πdφ∫011-r2·rdr.

Сделаем подстановку: 1-r2=u→dudr=-2r →dr=-12r.

Тогда: V=∫02πdφ∫01-12udu=∫02π(-(1-r2)33)|10dφ=∫02π13dφ=2π3.

Ответ: V=2π3.

Пример 3

Дана сфера радиусом 2R. Вычислить объем сферы, используя интегралы.

Решение.

Для решения не понадобится чертеж, так как фигура является достаточно простой. Объем найдем с помощью тройного интеграла в сферической системе координат.

V=∫∫∫Tρ2sinθdρdφdθ=∫02πdφ∫0πsinθdθ∫02Rρ2dρ=∫02πdφ∫0πsinθρ33|2R0dθ= =∫02π8R33-cosθ|π0dφ=16R33∫02πdφ=32πR33.

Ответ: V=32πR33.

2\справа. = \ гидроразрыв {4} {6} = \ гидроразрыв {2} {3}. \конец{выравнивание*} Как и должно быть, этот повторный интеграл дает тот же ответ.

Пример 2

Прямоугольные области просты, потому что пределы ($a \le x \le b$ и $c \le y \le d$) фиксированы, то есть диапазоны $x$ и $y$ не зависят друг от друга. Для регионов другой формы диапазон одной переменной будет зависеть от другой. Вот пример где мы интегрируем по области, определяемой $0 \le x \le 2$ и $0 \ле у \ле х/2$. Тот факт, что диапазон $y$ зависит от $x$, означает, что эта область не является прямоугольником. На самом деле область представляет собой треугольник, изображенный ниже. 92$ как в примере 1, вычислить $\iint_\dlr f\,dA$ где $\dlr$ — указанный выше треугольник.

Решение : Треугольник немного сложнее прямоугольника, потому что пределы одной переменной будут зависеть от другой переменной. Для треугольника, заданного $0 \le x \le 2$ и $0 \le y \le x/2$, пределы $y$ зависят от $x$. 2\вправо. = \frac{32}{5 \cdot 24} = \frac{4}{15}. \конец{выравнивание*}

Пример 2′

Теперь вычислите интеграл по тому же треугольнику $\dlr$, но сделайте $y$ — внешняя переменная интегрирования.

Решение : Теперь нам нужно указать постоянные пределы для $y$. В качестве показано ниже, общий диапазон $y$ внутри треугольника находится между от $0$ до $1$. Тогда для заданного значения $y$ $x$ принимает вид значения между $2y$ и $2$ (как показано горизонтальной пунктирной линией между $(2y,y)$ и $(2,y)$). Следовательно, мы можем описать треугольник как $0 \le y \le 1$ и $2y \le x \le 2$.

Вас смущает, что пределы $x$ составляют $2y \le x \le 2$, а чем $0 \le x \le 2$ (что было бы более близко к приведенному выше Пример 2)? Если мы допустим $x$ в диапазоне от $0$ до $2y$, то треугольник будет верхний левый треугольник на картинке выше. Мы хотим вычислить интеграл по области $\dlr$, которая является нижним правым треугольник, заштрихованный красным. В этом треугольнике $y \lt x/2$ (как использовано выше в Пример 2), что означает, что для этого примера мы должны использовать $x > 2y$. 91\\ &= 2 \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{5} -(0-0)\right)\\ &= 2 \cdot \frac{2}{15} \goodbreak = \frac{4}{15}. \конец{выравнивание*} К счастью, это согласуется с ответом, полученным в примере 2.

Другие примеры

Чтобы перейти от примера 2 к примеру 2′, мы «изменили порядок интеграция». Ты можешь видеть более примеры изменения порядка интегрирования в double интегралы. Вы также можете увидеть больше примеров двойных интегралов из частных случаев интерпретации двойных интегралов как площади и двойных интегралов как объема.

Доступное жилье Reader

%PDF-1.4 % 1 0 объект > эндообъект 5 0 объект > эндообъект 2 0 объект > эндообъект 3 0 объект > эндообъект 4 0 объект > ручей

Считыватель доступного жилья

конечный поток эндообъект 6 0 объект > эндообъект 7 0 объект > эндообъект 8 0 объект > эндообъект 9 0 объект > эндообъект 10 0 объект > эндообъект 11 0 объект > эндообъект 12 0 объект > эндообъект 13 0 объект > эндообъект 14 0 объект > эндообъект 15 0 объект > эндообъект 16 0 объект > эндообъект 17 0 объект > эндообъект 18 0 объект > эндообъект 190 объект > эндообъект 20 0 объект > эндообъект 21 0 объект > эндообъект 22 0 объект > эндообъект 23 0 объект > эндообъект 24 0 объект > эндообъект 25 0 объект > эндообъект 26 0 объект > эндообъект 27 0 объект > эндообъект 28 0 объект > эндообъект 29 0 объект > эндообъект 30 0 объект > эндообъект 31 0 объект > эндообъект 32 0 объект > эндообъект 33 0 объект > эндообъект 34 0 объект > эндообъект 35 0 объект > эндообъект 36 0 объект > эндообъект 37 0 объект > эндообъект 38 0 объект > эндообъект 39 0 объект > эндообъект 40 0 объект > эндообъект 41 0 объект > эндообъект 42 0 объект > эндообъект 43 0 объект > эндообъект 44 0 объект > эндообъект 45 0 объект > эндообъект 46 0 объект > эндообъект 47 0 объект > эндообъект 48 0 объект > эндообъект 490 объект > эндообъект 50 0 объект > эндообъект 51 0 объект > эндообъект 52 0 объект > эндообъект 53 0 объект > эндообъект 54 0 объект > эндообъект 55 0 объект > эндообъект 56 0 объект > эндообъект 57 0 объект > эндообъект 58 0 объект > эндообъект 59 0 объект > эндообъект 60 0 объект > эндообъект 61 0 объект > эндообъект 62 0 объект > эндообъект 63 0 объект > эндообъект 64 0 объект > эндообъект 65 0 объект > эндообъект 66 0 объект > эндообъект 67 0 объект > эндообъект 68 0 объект > эндообъект 69 0 объект > эндообъект 70 0 объект > эндообъект 71 0 объект > эндообъект 72 0 объект > эндообъект 73 0 объект > эндообъект 74 0 объект > эндообъект 75 0 объект > эндообъект 76 0 объект > эндообъект 77 0 объект > эндообъект 78 0 объект > эндообъект 790 объект > эндообъект 80 0 объект > эндообъект 81 0 объект > эндообъект 82 0 объект > эндообъект 83 0 объект > эндообъект 84 0 объект > эндообъект 85 0 объект > эндообъект 86 0 объект > эндообъект 87 0 объект > эндообъект 88 0 объект > эндообъект 89 0 объект > эндообъект 90 0 объект > эндообъект 91 0 объект > эндообъект 92 0 объект > эндообъект 93 0 объект > эндообъект 94 0 объект > эндообъект 95 0 объект > эндообъект 96 0 объект > эндообъект 97 0 объект > эндообъект 98 0 объект > эндообъект 99 0 объект > эндообъект 100 0 объект > эндообъект 101 0 объект > эндообъект 102 0 объект > эндообъект 103 0 объект > эндообъект 104 0 объект > эндообъект 105 0 объект > эндообъект 106 0 объект > эндообъект 107 0 объект > эндообъект 108 0 объект > эндообъект 1090 объект > эндообъект 110 0 объект > эндообъект 111 0 объект > эндообъект 112 0 объект > эндообъект 113 0 объект > эндообъект 114 0 объект > эндообъект 115 0 объект > эндообъект 116 0 объект > эндообъект 117 0 объект > эндообъект 118 0 объект > эндообъект 119 0 объект > эндообъект 120 0 объект > эндообъект 121 0 объект > эндообъект 122 0 объект > эндообъект 123 0 объект > эндообъект 124 0 объект > эндообъект 125 0 объект > эндообъект 126 0 объект > эндообъект 127 0 объект > эндообъект 128 0 объект > эндообъект 129 0 объект > эндообъект 130 0 объект > эндообъект 131 0 объект > эндообъект 132 0 объект > эндообъект 133 0 объект > эндообъект 134 0 объект > эндообъект 135 0 объект > эндообъект 136 0 объект > эндообъект 137 0 объект > эндообъект 138 0 объект > эндообъект 1390 объект > эндообъект 140 0 объект > эндообъект 141 0 объект > эндообъект 142 0 объект > эндообъект 143 0 объект > эндообъект 144 0 объект > эндообъект 145 0 объект > эндообъект 146 0 объект > эндообъект 147 0 объект > эндообъект 148 0 объект > эндообъект 149 0 объект > эндообъект 150 0 объект > эндообъект 151 0 объект > эндообъект 152 0 объект > эндообъект 153 0 объект > эндообъект 154 0 объект > эндообъект 155 0 объект > эндообъект 156 0 объект > эндообъект 157 0 объект > эндообъект 158 0 объект > эндообъект 159 0 объект > эндообъект 160 0 объект > эндообъект 161 0 объект > эндообъект 162 0 объект > эндообъект 163 0 объект > эндообъект 164 0 объект > эндообъект 165 0 объект > эндообъект 166 0 объект > эндообъект 167 0 объект > эндообъект 168 0 объект > эндообъект 1690 объект > эндообъект 170 0 объект > эндообъект 171 0 объект > эндообъект 172 0 объект > эндообъект 173 0 объект > эндообъект 174 0 объект > эндообъект 175 0 объект > эндообъект 176 0 объект > эндообъект 177 0 объект > эндообъект 178 0 объект > эндообъект 179 0 объект > эндообъект 180 0 объект > эндообъект 181 0 объект > эндообъект 182 0 объект > эндообъект 183 0 объект > эндообъект 184 0 объект > эндообъект 185 0 объект > эндообъект 186 0 объект > эндообъект 187 0 объект > эндообъект 188 0 объект > эндообъект 189 0 объект > эндообъект 190 0 объект > эндообъект 191 0 объект > эндообъект 192 0 объект > эндообъект 193 0 объект > эндообъект 194 0 объект > эндообъект 195 0 объект > эндообъект 196 0 объект > эндообъект 197 0 объект > эндообъект 198 0 объект > эндообъект 199 0 объект > эндообъект 200 0 объект > эндообъект 201 0 объект > эндообъект 202 0 объект > эндообъект 203 0 объект > эндообъект 204 0 объект > эндообъект 205 0 объект > эндообъект 206 0 объект > эндообъект 207 0 объект > эндообъект 208 0 объект > эндообъект 209 0 объект > эндообъект 210 0 объект > эндообъект 211 0 объект > эндообъект 212 0 объект > эндообъект 213 0 объект > эндообъект 214 0 объект > эндообъект 215 0 объект > эндообъект 216 0 объект > эндообъект 217 0 объект > эндообъект 218 0 объект > эндообъект 2190 объект > эндообъект 220 0 объект > эндообъект 221 0 объект > эндообъект 222 0 объект > эндообъект 223 0 объект > эндообъект 224 0 объект > эндообъект 225 0 объект > эндообъект 226 0 объект > эндообъект 227 0 объект > эндообъект 228 0 объект > эндообъект 229 0 объект > эндообъект 230 0 объект > эндообъект 231 0 объект > эндообъект 232 0 объект > эндообъект 233 0 объект > эндообъект 234 0 объект > эндообъект 235 0 объект > эндообъект 236 0 объект > эндообъект 237 0 объект > эндообъект 238 0 объект > эндообъект 239 0 объект > эндообъект 240 0 объект > эндообъект 241 0 объект > эндообъект 242 0 объект > эндообъект 243 0 объект > эндообъект 244 0 объект > эндообъект 245 0 объект > эндообъект 246 0 объект > эндообъект 247 0 объект > эндообъект 248 0 объект > эндообъект 2490 объект > эндообъект 250 0 объект > эндообъект 251 0 объект > эндообъект 252 0 объект > эндообъект 253 0 объект > эндообъект 254 0 объект > эндообъект 255 0 объект > эндообъект 256 0 объект > эндообъект 257 0 объект > эндообъект 258 0 объект > эндообъект 259 0 объект > эндообъект 260 0 объект > эндообъект 261 0 объект > эндообъект 262 0 объект > эндообъект 263 0 объект > эндообъект 264 0 объект > эндообъект 265 0 объект > эндообъект 266 0 объект > эндообъект 267 0 объект > эндообъект 268 0 объект > эндообъект 269 ​​0 объект > эндообъект 270 0 объект > эндообъект 271 0 объект > эндообъект 272 0 объект > эндообъект 273 0 объект > эндообъект 274 0 объект > эндообъект 275 0 объект > эндообъект 276 0 объект > эндообъект 277 0 объект > эндообъект 278 0 объект > эндообъект 2790 объект > эндообъект 280 0 объект > эндообъект 281 0 объект > эндообъект 282 0 объект > эндообъект 283 0 объект > эндообъект 284 0 объект > эндообъект 285 0 объект > эндообъект 286 0 объект > эндообъект 287 0 объект > эндообъект 288 0 объект > эндообъект 289 0 объект > эндообъект 290 0 объект > эндообъект 291 0 объект > эндообъект 292 0 объект > эндообъект 293 0 объект > эндообъект 294 0 объект > эндообъект 295 0 объект > эндообъект 296 0 объект > эндообъект 297 0 объект > эндообъект 298 0 объект > эндообъект 299 0 объект > эндообъект 300 0 объект > эндообъект 301 0 объект > эндообъект 302 0 объект > эндообъект 303 0 объект > эндообъект 304 0 объект > эндообъект 305 0 объект > эндообъект 306 0 объект > эндообъект 307 0 объект > эндообъект 308 0 объект > эндообъект 3090 объект > эндообъект 310 0 объект > эндообъект 311 0 объект > эндообъект 312 0 объект > эндообъект 313 0 объект > эндообъект 314 0 объект > эндообъект 315 0 объект > эндообъект 316 0 объект > эндообъект 317 0 объект > эндообъект 318 0 объект > эндообъект 319 0 объект > эндообъект 320 0 объект > эндообъект 321 0 объект > эндообъект 322 0 объект > эндообъект 323 0 объект > эндообъект 324 0 объект > эндообъект 325 0 объект > эндообъект 326 0 объект > эндообъект 327 0 объект > эндообъект 328 0 объект > эндообъект 329 0 объект > эндообъект 330 0 объект > эндообъект 331 0 объект > эндообъект 332 0 объект > эндообъект 333 0 объект > эндообъект 334 0 объект > эндообъект 335 0 объект > эндообъект 336 0 объект > эндообъект 337 0 объект > эндообъект 338 0 объект > эндообъект 3390 объект > эндообъект 340 0 объект > эндообъект 341 0 объект > эндообъект 342 0 объект > эндообъект 343 0 объект > эндообъект 344 0 объект > эндообъект 345 0 объект > эндообъект 346 0 объект > эндообъект 347 0 объект > эндообъект 348 0 объект > эндообъект 349 0 объект > эндообъект 350 0 объект > эндообъект 351 0 объект > эндообъект 352 0 объект > эндообъект 353 0 объект > эндообъект 354 0 объект > эндообъект 355 0 объект > эндообъект 356 0 объект > эндообъект 357 0 объект > эндообъект 358 0 объект > эндообъект 359 0 объект > эндообъект 360 0 объект > эндообъект 361 0 объект > эндообъект 362 0 объект > эндообъект 363 0 объект > эндообъект 364 0 объект > эндообъект 365 0 объект > эндообъект 366 0 объект > эндообъект 367 0 объект > эндообъект 368 0 объект > эндообъект 3690 объект > эндообъект 370 0 объект > эндообъект 371 0 объект > эндообъект 372 0 объект > эндообъект 373 0 объект > эндообъект 374 0 объект > эндообъект 375 0 объект > эндообъект 376 0 объект > эндообъект 377 0 объект > эндообъект 378 0 объект > эндообъект 379 0 объект > эндообъект 380 0 объект > эндообъект 381 0 объект > эндообъект 382 0 объект > эндообъект 383 0 объект > эндообъект 384 0 объект > эндообъект 385 0 объект > эндообъект 386 0 объект > эндообъект 387 0 объект > эндообъект 388 0 объект > эндообъект 389 0 объект > эндообъект 390 0 объект > эндообъект 391 0 объект > эндообъект 392 0 объект > эндообъект 393 0 объект > эндообъект 394 0 объект > эндообъект 395 0 объект > эндообъект 396 0 объект > эндообъект 397 0 объект > эндообъект 398 0 объект > эндообъект 399 0 объект > эндообъект 400 0 объект > эндообъект 401 0 объект > эндообъект 402 0 объект > эндообъект 403 0 объект > эндообъект 404 0 объект > эндообъект 405 0 объект > эндообъект 406 0 объект > эндообъект 407 0 объект > эндообъект 408 0 объект > эндообъект 409 0 объект > эндообъект 410 0 объект > эндообъект 411 0 объект > эндообъект 412 0 объект > эндообъект 413 0 объект > эндообъект 414 0 объект > эндообъект 415 0 объект > эндообъект 416 0 объект > эндообъект 417 0 объект > эндообъект 418 0 объект > эндообъект 4190 объект > эндообъект 420 0 объект > эндообъект 421 0 объект > эндообъект 422 0 объект > эндообъект 423 0 объект > эндообъект 424 0 объект > эндообъект 425 0 объект > эндообъект 426 0 объект > эндообъект 427 0 объект > эндообъект 428 0 объект > эндообъект 429 0 объект > эндообъект 430 0 объект > эндообъект 431 0 объект > эндообъект 432 0 объект > эндообъект 433 0 объект > эндообъект 434 0 объект > эндообъект 435 0 объект > эндообъект 436 0 объект > эндообъект 437 0 объект > эндообъект 438 0 объект > эндообъект 439 0 объект > эндообъект 440 0 объект > эндообъект 441 0 объект > эндообъект 442 0 объект > эндообъект 443 0 объект > эндообъект 444 0 объект > эндообъект 445 0 объект > эндообъект 446 0 объект > эндообъект 447 0 объект > эндообъект 448 0 объект > эндообъект 4490 объект > эндообъект 450 0 объект > эндообъект 451 0 объект > эндообъект 452 0 объект > эндообъект 453 0 объект > эндообъект 454 0 объект > эндообъект 455 0 объект > эндообъект 456 0 объект > эндообъект 457 0 объект > эндообъект 458 0 объект > эндообъект 459 0 объект > эндообъект 460 0 объект > эндообъект 461 0 объект > эндообъект 462 0 объект > эндообъект 463 0 объект > эндообъект 464 0 объект > эндообъект 465 0 объект > эндообъект 466 0 объект > эндообъект 467 0 объект > эндообъект 468 0 объект > эндообъект 469 0 объект > эндообъект 470 0 объект > эндообъект 471 0 объект > эндообъект 472 0 объект > эндообъект 473 0 объект > эндообъект 474 0 объект > эндообъект 475 0 объект > эндообъект 476 0 объект > эндообъект 477 0 объект > эндообъект 478 0 объект > эндообъект 4790 объект > эндообъект 480 0 объект > эндообъект 481 0 объект > эндообъект 482 0 объект > эндообъект 483 0 объект > эндообъект 484 0 объект > эндообъект 485 0 объект > эндообъект 486 0 объект > эндообъект 487 0 объект > эндообъект 488 0 объект > эндообъект 489 0 объект > эндообъект 490 0 объект > эндообъект 491 0 объект > эндообъект 492 0 объект > эндообъект 493 0 объект > эндообъект 494 0 объект > эндообъект 495 0 объект > эндообъект 496 0 объект > эндообъект 497 0 объект > эндообъект 498 0 объект > эндообъект 499 0 объект > эндообъект 500 0 объект > эндообъект 501 0 объект > эндообъект 502 0 объект > эндообъект 503 0 объект > эндообъект 504 0 объект > эндообъект 505 0 объект > эндообъект 506 0 объект > эндообъект 507 0 объект > эндообъект 508 0 объект > эндообъект 5090 объект > эндообъект 510 0 объект > эндообъект 511 0 объект > эндообъект 512 0 объект > эндообъект 513 0 объект > эндообъект 514 0 объект > эндообъект 515 0 объект > эндообъект 516 0 объект > эндообъект 517 0 объект > эндообъект 518 0 объект > эндообъект 519 0 объект > эндообъект 520 0 объект > эндообъект 521 0 объект > эндообъект 522 0 объект > эндообъект 523 0 объект > эндообъект 524 0 объект > эндообъект 525 0 объект > эндообъект 526 0 объект > эндообъект 527 0 объект > эндообъект 528 0 объект > эндообъект 529 0 объект > эндообъект 530 0 объект > эндообъект 531 0 объект > эндообъект 532 0 объект > эндообъект 533 0 объект > эндообъект 534 0 объект > эндообъект 535 0 объект > эндообъект 536 0 объект > эндообъект 537 0 объект > эндообъект 538 0 объект > эндообъект 5390 объект > эндообъект 540 0 объект > эндообъект 541 0 объект > эндообъект 542 0 объект > эндообъект 543 0 объект > эндообъект 544 0 объект > эндообъект 545 0 объект > эндообъект 546 0 объект > эндообъект 547 0 объект > эндообъект 548 0 объект > эндообъект 549 0 объект > эндообъект 550 0 объект > эндообъект 551 0 объект > эндообъект 552 0 объект > эндообъект 553 0 объект > эндообъект 554 0 объект > эндообъект 555 0 объект > эндообъект 556 0 объект > эндообъект 557 0 объект > эндообъект 558 0 объект > эндообъект 559 0 объект > эндообъект 560 0 объект > эндообъект 561 0 объект > эндообъект 562 0 объект > эндообъект 563 0 объект > эндообъект 564 0 объект > эндообъект 565 0 объект > эндообъект 566 0 объект > эндообъект 567 0 объект > эндообъект 568 0 объект > эндообъект 5690 объект > эндообъект 570 0 объект > эндообъект 571 0 объект > эндообъект 572 0 объект > эндообъект 573 0 объект > эндообъект 574 0 объект > эндообъект 575 0 объект > эндообъект 576 0 объект > эндообъект 577 0 объект > эндообъект 578 0 объект > эндообъект 579 0 объект > эндообъект 580 0 объект > эндообъект 581 0 объект > эндообъект 582 0 объект > эндообъект 583 0 объект > эндообъект 584 0 объект > эндообъект 585 0 объект > эндообъект 586 0 объект > эндообъект 587 0 объект > эндообъект 588 0 объект > эндообъект 589 0 объект > эндообъект 590 0 объект > эндообъект 591 0 объект > эндообъект 592 0 объект > эндообъект 593 0 объект > эндообъект 594 0 объект > эндообъект 595 0 объект > эндообъект 596 0 объект > эндообъект 597 0 объект > эндообъект 598 0 объект > эндообъект 599 0 объект > эндообъект 600 0 объект > эндообъект 601 0 объект > эндообъект 602 0 объект > эндообъект 603 0 объект > эндообъект 604 0 объект > эндообъект 605 0 объект > эндообъект 606 0 объект > эндообъект 607 0 объект > эндообъект 608 0 объект > эндообъект 609 0 объект > эндообъект 610 0 объект > эндообъект 611 0 объект > эндообъект 612 0 объект > эндообъект 613 0 объект > эндообъект 614 0 объект > эндообъект 615 0 объект > эндообъект 616 0 объект > эндообъект 617 0 объект > эндообъект 618 0 объект > эндообъект 6190 объект > эндообъект 620 0 объект > эндообъект 621 0 объект > эндообъект 622 0 объект > эндообъект 623 0 объект > эндообъект 624 0 объект > эндообъект 625 0 объект > эндообъект 626 0 объект > эндообъект 627 0 объект > эндообъект 628 0 объект > эндообъект 629 0 объект > эндообъект 630 0 объект > эндообъект 631 0 объект > эндообъект 632 0 объект > эндообъект 633 0 объект > эндообъект 634 0 объект > эндообъект 635 0 объект > эндообъект 636 0 объект > эндообъект 637 0 объект > эндообъект 638 0 объект > эндообъект 639 0 объект > эндообъект 640 0 объект > эндообъект 641 0 объект > эндообъект 642 0 объект > эндообъект 643 0 объект > эндообъект 644 0 объект > эндообъект 645 0 объект > эндообъект 646 0 объект > эндообъект 647 0 объект > эндообъект 648 0 объект > эндообъект 6490 объект > эндообъект 650 0 объект > эндообъект 651 0 объект > эндообъект 652 0 объект > эндообъект 653 0 объект > эндообъект 654 0 объект > эндообъект 655 0 объект > эндообъект 656 0 объект > эндообъект 657 0 объект > эндообъект 658 0 объект > эндообъект 659 0 объект > эндообъект 660 0 объект > эндообъект 661 0 объект > эндообъект 662 0 объект > эндообъект 663 0 объект > эндообъект 664 0 объект > эндообъект 665 0 объект > эндообъект 666 0 объект > эндообъект 667 0 объект > эндообъект 668 0 объект > эндообъект 669 0 объект > эндообъект 670 0 объект > эндообъект 671 0 объект > эндообъект 672 0 объект > эндообъект 673 0 объект > эндообъект 674 0 объект > эндообъект 675 0 объект > эндообъект 676 0 объект > эндообъект 677 0 объект > эндообъект 678 0 объект > эндообъект 6790 объект > эндообъект 680 0 объект > эндообъект 681 0 объект > эндообъект 682 0 объект > эндообъект 683 0 объект > эндообъект 684 0 объект > эндообъект 685 0 объект > эндообъект 686 0 объект > эндообъект 687 0 объект > эндообъект 688 0 объект > эндообъект 689 0 объект > эндообъект 690 0 объект > эндообъект 691 0 объект > эндообъект 692 0 объект > эндообъект 693 0 объект > эндообъект 694 0 объект > эндообъект 695 0 объект > эндообъект 696 0 объект > эндообъект 697 0 объект > эндообъект 698 0 объект > эндообъект 699 0 объект > эндообъект 700 0 объект > эндообъект 701 0 объект > эндообъект 702 0 объект > эндообъект 703 0 объект > эндообъект 704 0 объект > эндообъект 705 0 объект > эндообъект 706 0 объект > эндообъект 707 0 объект > эндообъект 708 0 объект > эндообъект 7090 объект > эндообъект 710 0 объект > эндообъект 711 0 объект > эндообъект 712 0 объект > эндообъект 713 0 объект > эндообъект 714 0 объект > эндообъект 715 0 объект > эндообъект 716 0 объект > эндообъект 717 0 объект > эндообъект 718 0 объект > эндообъект 719 0 объект > эндообъект 720 0 объект > эндообъект 721 0 объект > эндообъект 722 0 объект > эндообъект 723 0 объект > эндообъект 724 0 объект > эндообъект 725 0 объект > эндообъект 726 0 объект > эндообъект 727 0 объект > эндообъект 728 0 объект > эндообъект 729 0 объект > эндообъект 730 0 объект > эндообъект 731 0 объект > эндообъект 732 0 объект > эндообъект 733 0 объект > эндообъект 734 0 объект > эндообъект 735 0 объект > эндообъект 736 0 объект > эндообъект 737 0 объект > эндообъект 738 0 объект > эндообъект 7390 объект > эндообъект 740 0 объект > эндообъект 741 0 объект > эндообъект 742 0 объект > эндообъект 743 0 объект > эндообъект 744 0 объект > эндообъект 745 0 объект > эндообъект 746 0 объект > эндообъект 747 0 объект > эндообъект 748 0 объект > эндообъект 749 0 объект > эндообъект 750 0 объект > эндообъект 751 0 объект > эндообъект 752 0 объект > эндообъект 753 0 объект > эндообъект 754 0 объект > эндообъект 755 0 объект > эндообъект 756 0 объект > эндообъект 757 0 объект > эндообъект 758 0 объект > эндообъект 759 0 объект > эндообъект 760 0 объект > эндообъект 761 0 объект > эндообъект 762 0 объект > эндообъект 763 0 объект > эндообъект 764 0 объект > эндообъект 765 0 объект > эндообъект 766 0 объект > эндообъект 767 0 объект > эндообъект 768 0 объект > эндообъект 7690 объект > эндообъект 770 0 объект > эндообъект 771 0 объект > эндообъект 772 0 объект > эндообъект 773 0 объект > эндообъект 774 0 объект > эндообъект 775 0 объект > эндообъект 776 0 объект > эндообъект 777 0 объект > эндообъект 778 0 объект > эндообъект 779 0 объект > эндообъект 780 0 объект > эндообъект 781 0 объект > эндообъект 782 0 объект > эндообъект 783 0 объект > эндообъект 784 0 объект > эндообъект 785 0 объект > эндообъект 786 0 объект > эндообъект 787 0 объект > эндообъект 788 0 объект > эндообъект 789 0 объект > эндообъект 790 0 объект > эндообъект 791 0 объект > эндообъект 792 0 объект > эндообъект 793 0 объект > эндообъект 794 0 объект > эндообъект 795 0 объект > эндообъект 796 0 объект > эндообъект 797 0 объект > эндообъект 798 0 объект > эндообъект 799 0 объект > эндообъект 800 0 объект > эндообъект 801 0 объект > эндообъект 802 0 объект > эндообъект 803 0 объект > эндообъект 804 0 объект > эндообъект 805 0 объект > эндообъект 806 0 объект > эндообъект 807 0 объект > эндообъект 808 0 объект > эндообъект 809 0 объект > эндообъект 810 0 объект > эндообъект 811 0 объект > эндообъект 812 0 объект > эндообъект 813 0 объект > эндообъект 814 0 объект > эндообъект 815 0 объект > эндообъект 816 0 объект > эндообъект 817 0 объект > эндообъект 818 0 объект > эндообъект 8190 объект > эндообъект 820 0 объект > эндообъект 821 0 объект > эндообъект 822 0 объект > эндообъект 823 0 объект > эндообъект 824 0 объект > эндообъект 825 0 объект > эндообъект 826 0 объект > эндообъект 827 0 объект > эндообъект 828 0 объект > эндообъект 829 0 объект > эндообъект 830 0 объект > эндообъект 831 0 объект > эндообъект 832 0 объект > эндообъект 833 0 объект > эндообъект 834 0 объект > эндообъект 835 0 объект > эндообъект 836 0 объект > эндообъект 837 0 объект > эндообъект 838 0 объект > эндообъект 839 0 объект > эндообъект 840 0 объект > эндообъект 841 0 объект > эндообъект 842 0 объект > эндообъект 843 0 объект > эндообъект 844 0 объект > эндообъект 845 0 объект > эндообъект 846 0 объект > эндообъект 847 0 объект > эндообъект 848 0 объект > эндообъект 8490 объект > эндообъект 850 0 объект > эндообъект 851 0 объект > эндообъект 852 0 объект > эндообъект 853 0 объект > эндообъект 854 0 объект > эндообъект 855 0 объект > эндообъект 856 0 объект > эндообъект 857 0 объект > эндообъект 858 0 объект > эндообъект 859 0 объект > эндообъект 860 0 объект > эндообъект 861 0 объект > эндообъект 862 0 объект > эндообъект 863 0 объект > эндообъект 864 0 объект > эндообъект 865 0 объект > эндообъект 866 0 объект > эндообъект 867 0 объект > эндообъект 868 0 объект > эндообъект 869 0 объект > эндообъект 870 0 объект > эндообъект 871 0 объект > эндообъект 872 0 объект > эндообъект 873 0 объект > эндообъект 874 0 объект > эндообъект 875 0 объект > эндообъект 876 0 объект > эндообъект 877 0 объект > эндообъект 878 0 объект > эндообъект 8790 объект > эндообъект 880 0 объект > эндообъект 881 0 объект > эндообъект 882 0 объект > эндообъект 883 0 объект > эндообъект 884 0 объект > эндообъект 885 0 объект > эндообъект 886 0 объект > эндообъект 887 0 объект > эндообъект 888 0 объект > эндообъект 889 0 объект > эндообъект 890 0 объект > эндообъект 891 0 объект > эндообъект 892 0 объект > эндообъект 893 0 объект > эндообъект 894 0 объект > эндообъект 895 0 объект > эндообъект 896 0 объект > эндообъект 897 0 объект > эндообъект 898 0 объект > эндообъект 899 0 объект > эндообъект 900 0 объект > эндообъект 901 0 объект > эндообъект 902 0 объект > эндообъект 903 0 объект > эндообъект 904 0 объект > эндообъект 905 0 объект > эндообъект 906 0 объект > эндообъект 907 0 объект > эндообъект 908 0 объект > эндообъект 909 0 объект > эндообъект 910 0 объект > эндообъект 911 0 объект > эндообъект 912 0 объект > эндообъект 913 0 объект > эндообъект 914 0 объект > эндообъект 915 0 объект > эндообъект 916 0 объект > эндообъект 917 0 объект > эндообъект 918 0 объект > эндообъект 919 0 объект > эндообъект 920 0 объект > эндообъект 921 0 объект > эндообъект 922 0 объект > эндообъект 923 0 объект > эндообъект 924 0 объект > эндообъект 925 0 объект > эндообъект 926 0 объект > эндообъект 927 0 объект > эндообъект 928 0 объект > эндообъект 929 0 объект > эндообъект 930 0 объект > эндообъект 931 0 объект > эндообъект 932 0 объект > эндообъект 933 0 объект > эндообъект 934 0 объект > эндообъект 935 0 объект > эндообъект 936 0 объект > эндообъект 937 0 объект > эндообъект 938 0 объект > эндообъект 939 0 объект > эндообъект 940 0 объект > эндообъект 941 0 объект > эндообъект 942 0 объект > эндообъект 943 0 объект > эндообъект 944 0 объект > эндообъект 945 0 объект > эндообъект 946 0 объект > эндообъект 947 0 объект > эндообъект 948 0 объект > эндообъект 949 0 объект > эндообъект 950 0 объект > эндообъект 951 0 объект > эндообъект 952 0 объект > эндообъект 953 0 объект > эндообъект 954 0 объект > эндообъект 955 0 объект > эндообъект 956 0 объект > эндообъект 957 0 объект > эндообъект 958 0 объект > эндообъект 959 0 объект > эндообъект 960 0 объект > эндообъект 961 0 объект > эндообъект 962 0 объект > эндообъект 963 0 объект > эндообъект 964 0 объект > эндообъект 965 0 объект > эндообъект 966 0 объект > эндообъект 967 0 объект > эндообъект 968 0 объект > эндообъект 969 0 объект > эндообъект 970 0 объект > эндообъект 971 0 объект > эндообъект 972 0 объект > эндообъект 973 0 объект > эндообъект 974 0 объект > эндообъект 975 0 объект > эндообъект 976 0 объект > эндообъект 977 0 объект > эндообъект 978 0 объект > эндообъект 979 0 объект > эндообъект 980 0 объект > эндообъект 981 0 объект > эндообъект 982 0 объект > эндообъект 983 0 объект > эндообъект 984 0 объект > эндообъект 985 0 объект > эндообъект 986 0 объект > эндообъект 987 0 объект > эндообъект 988 0 объект > эндообъект 989 0 объект > эндообъект 990 0 объект > эндообъект 991 0 объект > эндообъект 992 0 объект > эндообъект 993 0 объект > эндообъект 994 0 объект > эндообъект 995 0 объект > эндообъект 996 0 объект > эндообъект 997 0 объект > эндообъект 998 0 объект > эндообъект 999 0 объект > эндообъект 1000 0 объект > эндообъект 1001 0 объект > эндообъект 1002 0 объект > эндообъект 1003 0 объект > эндообъект 1004 0 объект > эндообъект 1005 0 объект > эндообъект 1006 0 объект > эндообъект 1007 0 объект > эндообъект 1008 0 объект > эндообъект 1009 0 объект > эндообъект 1010 0 объект > эндообъект 1011 0 объект > эндообъект 1012 0 объект > эндообъект 1013 0 объект > эндообъект 1014 0 объект > эндообъект 1015 0 объект > эндообъект 1016 0 объект > эндообъект 1017 0 объект > эндообъект 1018 0 объект > эндообъект 10190 объект > эндообъект 1020 0 объект > эндообъект 1021 0 объект > эндообъект 1022 0 объект > эндообъект 1023 0 объект > эндообъект 1024 0 объект > эндообъект 1025 0 объект > эндообъект 1026 0 объект > эндообъект 1027 0 объект > эндообъект 1028 0 объект > эндообъект 1029 0 объект > эндообъект 1030 0 объект > эндообъект 1031 0 объект > эндообъект 1032 0 объект > эндообъект 1033 0 объект > эндообъект 1034 0 объект > эндообъект 1035 0 объект > эндообъект 1036 0 объект > эндообъект 1037 0 объект > эндообъект 1038 0 объект > эндообъект 1039 0 объект > эндообъект 1040 0 объект > эндообъект 1041 0 объект > эндообъект 1042 0 объект > эндообъект 1043 0 объект > эндообъект 1044 0 объект > эндообъект 1045 0 объект > эндообъект 1046 0 объект > эндообъект 1047 0 объект > эндообъект 1048 0 объект > эндообъект 10490 объект > эндообъект 1050 0 объект > эндообъект 1051 0 объект > эндообъект 1052 0 объект > эндообъект 1053 0 объект > эндообъект 1054 0 объект > эндообъект 1055 0 объект > эндообъект 1056 0 объект > эндообъект 1057 0 объект > эндообъект 1058 0 объект > эндообъект 1059 0 объект > эндообъект 1060 0 объект > эндообъект 1061 0 объект > эндообъект 1062 0 объект > эндообъект 1063 0 объект > эндообъект 1064 0 объект > эндообъект 1065 0 объект > эндообъект 1066 0 объект > эндообъект 1067 0 объект > эндообъект 1068 0 объект > эндообъект 1069 0 объект > эндообъект 1070 0 объект > эндообъект 1071 0 объект > эндообъект 1072 0 объект > эндообъект 1073 0 объект > эндообъект 1074 0 объект > эндообъект 1075 0 объект > эндообъект 1076 0 объект > эндообъект 1077 0 объект > эндообъект 1078 0 объект > эндообъект 10790 объект > эндообъект 1080 0 объект > эндообъект 1081 0 объект > эндообъект 1082 0 объект > эндообъект 1083 0 объект > эндообъект 1084 0 объект > эндообъект 1085 0 объект > эндообъект 1086 0 объект > эндообъект 1087 0 объект > эндообъект 1088 0 объект > эндообъект 1089 0 объект > эндообъект 1090 0 объект > эндообъект 1091 0 объект > эндообъект 1092 0 объект > эндообъект 1093 0 объект > эндообъект 1094 0 объект > эндообъект 1095 0 объект > эндообъект 1096 0 объект > эндообъект 1097 0 объект > эндообъект 1098 0 объект > эндообъект 1099 0 объект > эндообъект 1100 0 объект > эндообъект 1101 0 объект > эндообъект 1102 0 объект > эндообъект 1103 0 объект > эндообъект 1104 0 объект > эндообъект 1105 0 объект > эндообъект 1106 0 объект > эндообъект 1107 0 объект > эндообъект 1108 0 объект > эндообъект 11090 объект > эндообъект 1110 0 объект > эндообъект 1111 0 объект > эндообъект 1112 0 объект > эндообъект 1113 0 объект > эндообъект 1114 0 объект > эндообъект 1115 0 объект > эндообъект 1116 0 объект > эндообъект 1117 0 объект > эндообъект 1118 0 объект > эндообъект 1119 0 объект > эндообъект 1120 0 объект > эндообъект 1121 0 объект > эндообъект 1122 0 объект > эндообъект 1123 0 объект > эндообъект 1124 0 объект > эндообъект 1125 0 объект > эндообъект 1126 0 объект > эндообъект 1127 0 объект > эндообъект 1128 0 объект > эндообъект 1129 0 объект > эндообъект 1130 0 объект 896 эндообъект 1131 0 объект > ручей xYێE}+q_= ʹjV+Z~YU=��q~$F’2″2. ‘7fg’k$کb&0IRϐCw]ü6oP7o

Том. 13 № 1 (2020): IEJEE

• 2022 Том 14 №: 4
• 2022 Том 14 №: 3
• 2021 Том 14 №: 2
• 2021 Том 14 №: 1
• 2021 Том 13 №: 5
• 2021 Том 13 №: 4
• 2021 Том 13 №: 3
• 2020 Том 13 №: 2
• 2020 Том 13 №: 1
• 2020 Том 12 №: 5
• 2020 Том 12 №: 4
• 2020 Том 12 №: 3
• 2019 Том 12 №: 2
• 2019 Том 12 №: 1
• 2019Том 11 №: 5
• 2019 Том 11 №: 4
• 2019 Том 11 №: 3
• 2018 Том 11 №: 2
• 2018 Том 11 №: 1
• 2018 Том 10 №: 5
• 2018 Том 10 №: 4
• 2018 Том 10 №: 3
• 2017 Том 10 №: 2
• 2017 Том 10 №: 1
• 2016 Том 8 №: 4
• 2017 Том 9 №: 4
• 2017 Том 9 №: 3
• 2016 Том 9№: 2
• 2016 Том 9 №: 1
• 2016 Том 8 №: 3
• 2015 Том 8 №: 2
• 2015 Том 8 №: 1
• 2015 Том 7 №: 3
• 2015 Том 7 №: 2
• 2014 Том 7 №: 1
• 2014 Том 6 №: 3
• 2014 Том 6 №: 2
• 2013 Том 6 №: 1
• 2013 Том 5 №: 3
• 2013 Том 5 №: 2
• 2012 Том 5 №: 1
• 2012 Том 4 №: 3
• 2012 Том 4 №: 2
• 2011 Том 4 №: 1
• 2011 Том 3 №: 3
• 2011 Том 3 №: 2
• 2010 Том 3 №: 1
• 2010 Том 2 №: 3
• 2010 Том 2 №: 2
• 2009 г. Том 2 №: 1
• 2009 г. Том 1 №: 3
• 2009 г. Том 1 №: 2
• 2008 г. Том 1 №: 1

Уважаемые читатели IEJEE,

С марта 2020 года мы переживаем тяжелые времена из-за COVID-19.

No related posts.