Почему мы трансформируем трёхмерные векторы матрицами 4х4? / Хабр
Почему не матрица 3х3? Почему в матрице 4х4 всё уложено именно так? Зачем там последняя строка, заполненная нулями и одной единицей в конце? Этими вопросами я задался накануне, решил поисследовать вопрос и рассказываю что выяснил.
В статье нас будут интересовать только афинные преобразования, а в частности вращение, масштабирование и перемещение, которые активно используются в программировании графики и разработке игр в целом.
Афинное преобразование является композицией двух функций: линейной и нелинейной трансформаций. Через линейные реализуются вращение и масштабирование, а сама трансформация задается матрицей той же размерности, что и пространство, в котором она применяется (A⋅x). Через нелинейные реализуются перемещения, но из свойства таковы, что такие трансформации не могут быть выражены матрицей, зато легко могут быть выражены слагаемым вектором (+b).
Афинное преобразование T, примененное на вектор x можно записать как
Трансформации одномерного вектора
Благодаря одномерности для простоты мы можем представить одномерную матрицу А, вектор b и вектор x как числа на вещественной прямой.
Так же трансформированное значение x предпочту записывать как x’, мне кажется так выглядит чуть более чисто:
Итого
Через манипуляции с а мы можем растягивать или сжимать вектор x (линейно трансформировать), а через манипуляции с b перемещать (нелинейно трансформировать).
Случаи, когда используются обе, линейная и нелинейная трансформации вместе довольно частые. Было бы удобно найти такое одно преобразование M, чтобы выразить в нём сразу оба:
Возьмём для примера трансформацию x’ = 3x + 4 (3x линейная трансформация и +4 нелинейная трансформация) и попробуем подобрать нужную матрицу.
Свойства линейных трансформаций таковы, что они могут быть выражены через матрицы (например преобразование 3x может быть выражено через одномерную матрицу [3]), однако нелинейные трансформации (x+4) таких свойств лишены, от чего не удается выразить M без зависимости от x.
Трюк: поднимается на размерность выше
Если представить +4 как +4y, введя дополнительную координату y, выразив её так же через x и саму себя, то получится система линейных уравнений
которую можно выразить через матрицу 2×2, которая в свою очередь может выразить x’ = 3x+4 и при этом не будет зависеть от x, т.е будет линейной трансформацией. Нижнюю строку я не заполнил конкретными числами, потому что на данный момент они не важны.
Так как матрица 2×2 умножается только на двумерный вектор, то необходимо предоставить не только х, но и вторую координату — y, а так как она участвует в выражении +4y и мы хотим, чтобы это превратилось просто в +4, то вместе с неизвестным x на умножение с матрицей передаем единицу:
Второе выражение в системе нам не интересно, оно введено только для того, чтобы иметь возможность получить матрицу, однако в результате вычислений будет возвращен двумерный вектор, с 3x+4 для x’ и чем-то для y’ и было бы сподручнее получить единицу в y’ вместо непонятно чего, ведь в таком случае мы получим удобный вектор
который будет удобно умножать на любую другую матрицу далее.
Чтобы получить единицу заполняем выражение соответствующими коэффициентами: y’ = 1 = 0 ⋅ x + 1 ⋅ 1
Вот так у нас получается матрица, которая может быть выражена независимо от x и способна выполнять афинные трансформации над одномерными векторами, заключенными в двумерные.
Получается в матрице заключена линейная трансформация (a), нелинейная трансформация (b) и служебная строка (0 1) которая сохраняет для y‘ значение 1, чтобы вычисления x’ проходили так, как мы ожидаем.
На самом деле трансформация — это просто хитрое слово, обозначающее функцию, но предполагающая отображение некоторого движения. Вот как трансформация из примера выглядит визуально (ссылка):
Тот же трюк, но в двумерном пространстве
Имеем матрицу для вращения или масштабирования и вектор для перемещения
Чтобы иметь возможность задать матрицей оба преобразования поднимается на размерность выше и выполняет принципиально те же действия, что в одномерном случае, только теперь новая компонента — это z, потому что y уже существует и нужна.
Матрица линейной трансформации выросла до 2х2 по понятным причинам двумерности пространства. Вектор b тоже вырос до двумерного и способен перемещать по обеим осям.
Вычисляемые значения для x’ и y’ будут такими же, как если бы мы считали по отдельности каждую трансформацию, а z’ всегда будет равен 1 для удобства.
В трёхмерном пространстве ничего нового
Два преобразования, одно (линейное) выражено через матрицу, а другое (нелинейное) через вектор:
Два преобразования выраженных через одну матрицу более высокой размерности:
Полезные материалы
Computing 2D affine transformations using only matrix multiplication
Brilliant. Linear Transformations
Explaining Homogeneous Coordinates & Projective Geometry
Nonlinear Transformation
Can non-linear transformations be represented as Transformation Matrices?
Linear transformations and matrices | Essence of linear algebra, chapter 3
Dr.
HD MA 443 SM – HDMI матрица 4×4 с мгновенным переключениемHDMI оборудование Dr.HD оптом и в розницу. Доставка по РФ и ТС.
- Главная
- Каталог товаров
- HDMI оборудование
- HDMI матрицы
- HDMI матрица 4×4 с мгновенным переключением / Dr.HD MA 443 SM
Код: 005005019
Эта матрица как нельзя лучше подойдет для создания видео стены. На ряду с традиционными HDMI входами присутствуют 4 VGA и 4 RCA интерфейса. Имеется ИК управление каждым устройством, а сама матрица может управляться с компьютера через TCP/IP и RS232 порты. Кроме того, реализована функция Seamless, что позволяет моментально переключать источники без какой-либо задержки!
Нет в наличии
Срок поставки: Снят с производства
Dr.HD MA 443 SM имеет сразу ряд отличительных особенностей, которые чаще всего интересуют профессиональных инсталляторов.
Особенности HDMI матрицы Dr.HD MA 443 SM:
- Поддержка HDMI 1.3, HDCP 1.3 и DVI 1.0
- Поддержка телевизионных форматов: PAL, NTSC3.58, NTSC4.43, SECAM, PAL/м, PAL/n
- Поддержка выходного разрешения: 1920x1080P @ 60 Гц
- Поддержка функции «Quad Multi-Viewer» для вывода на экран изображений с 4 HD источников одновременно
- Поддержка функции «Seamless Switch» для мгновенного переключения сигналов с HD источников
- Возможность одновременного вывода изображений с различным разрешением
- Поддержка цифровых аудио форматов LPCM/AC3/DTS
- Переключение источников: ручное, ИК и через RS232
- Удобное управление удаленными HD источниками по ИК
- Поддержка EDID управления
- Автоматическая регулировка входного VGA видео
Спецификация HDMI матрицы Dr.
HD MA 443 SM:
- Полоса частот: 2.25Gbps
- Входные порты: 4х HDMI, 4x VGA, 4x RC video, 4x Audio Jack 3.5, 5x ИК, 1x RS232, 1x TCP/IP
- Выходные порты: 4х HDMI, 4x ИК
- Поддерживаемые аудио форматы: PCM2, 5.1, 7.1CH, Dolby 5.1, DTS5.1
- Входные разрешения видео: вплоть до 1920×1080@60 Hz
- Поддержка разрешений:
- HDMI: 480i до 1080 P
- 12-битный Deep Color
- Питание: DC 12V/2.5A (US / EU standarts, CE / FCC / UL sertified)
- Защита от электростатического разряда: +/- 8 кВ (воздушный разряд), +/- 4 кВ (контактный разряд)
- Размеры (мм): 150 x 200 x 50
- Вес (г): 2380
- Потребляемая мощность (макс.): 13.5W
- Рабочая температура: 0 ℃ ~ 40 ℃
- Температура хранения: -20 ℃ ~ 60 ℃
- Влажность: 20 ~ 90%
Комплект поставки HDMI матрицы Dr.
HD MA 443 SM:
- HDMI матрица – 1 шт
- Блок питания 12V/2.5A – 1 шт
- Пульт управления – 1 шт
- ИК-приемник – 4 шт
- ИК-передатчик – 5 шт
- Кабель RS232 – 1 шт
- Инструкция – 1 шт
- Крепление для установки на вертикальной поверхности – 2 шт
Добавить комментарий
Этот товар, как и все остальные, представленные в нашем интернет-магазине, можно приобрести по более низкой партнерской или даже оптовой цене. Т.к. мы являемся официальными дистрибьюторами компании Dr.HD на территории РФ и стран Таможенного союза, мы готовы предоставить самые выгодные условия, самую низкую цену и официальную поддержку.
Если вы инсталляторы или интеграторы и заинтересованы в качественном и функциональном оборудовании – попробуйте HDMI оборудование Dr.HD! Мы готовы предложить продвинутые устройства по отличной цене и гибкие условия работы.
Если вы занимаетесь продажей оборудования – добро пожаловать в нашу команду! У нас широкий ассортимент, низкие оптовые цены и оперативная доставка по всей России и странам ТС.
Если вы занимаетесь закупками оборудования – найдем что предложить и вам! У нас только официальные поставки, декларации соответствия, техническое сопровождение и двухлетняя гарантия.
Мы готовы обсудить условия взаимовыгодного сотрудничества с любыми компаниями и индивидуальными предпринимателями. Мы обязательно найдем общий язык!
Скачать наш прайс-лист можно в разделе Партнерам – Прайс-лист.
Возникли вопросы? Обращайтесь:
+7 499 730-71-11
+7 499 730-73-33
Предыдущий← HDMI матрица 4×4 / Dr.HD MA 444 FSE 50 ВпередHDMI матрица 8×8 / Dr.HD MA 884 FS →
Copyright MAXXmarketing GmbH
JoomShopping Download & Support
Сайт использует cookie файлы для сбора статистики. Оставаясь на сайте, Вы даете согласие на их использование.
Впрочем, Вы всегда можете их отключить в настройках своего браузера.
линейная алгебра — Помогите найти определитель матрицы 4×4?
Извините за отсутствие обозначений, но работать будет легко, если вы знаете, что делаете.
2 = 1$. Это должно быть умножено на определитель минора. Теперь, найдя определитель, я сделал:
3 раза $$ \begin{pматрица} 0 и 3 \\ 0 и -6 \\ \end{pматрица} $$ давая $ 3 (0-0) = 0 $ затем:
0 раз $$ \begin{pматрица} -8 и 3\\ 5 и -6\\ \end{pматрица} $$
дает 0(48-15)=0
Тогда: 4 раза $$ \begin{pматрица} -8 и 0 \\ 5 и 0 \\ \end{pматрица} $$ давая $ 4 (0-0) = 0 $ складывая определители получаем $0+0+0=0$ Итак, det M1 $= 0(1) = 0$
93 = -1$$$ \begin{pматрица} 0 & 0 & -4 \\ -5 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \\ \end{pматрица} $$
о* $$ \begin{pматрица} 0 и 3 \\ 0 и -6 \\ \end{pматрица} $$ давая $ 0 (0-0) = 0 $
, очевидно, что следующая матрица будет выглядеть так же, как верхний член во втором столбце равен нулю, поэтому определитель для этого будет равен $ 0 $. Теперь, наконец,
4 раза $$ \begin{pматрица} -8 и 0 \\ 5 и 0 \\ \end{pматрица} $$ давая 4 (0-0) = 0 94 = 1$
$$ \begin{pматрица} 0 и 3 и -4 \\ -5&-8&3\ 0 и 5 и -6 \\ \end{pматрица} $$
для определителя:
0 раз $$ \begin{pматрица} -8 и 3\ 5 и -6 \\ \end{pматрица} $$ что дает $0(48-15)=0$
-3 раза $$ \begin{pматрица} -5&3\\ 0 и -6 \\ \end{pматрица} $$
, что дает $-3(30-0)= -90$
отсюда продолжать избыточно, потому что после окончательного вычисления для этого минора я получаю -100 и в результате получаю det M3 = -190 и получаю определитель нулей для следующего определителя M4.
что дает: $ 0 (5) + 0 (-7) + (-90) (2) + (0) (2) $ дает
Det Ax $= -380.$ В книге написано, что это 20$, и когда я сделал это на калькуляторе, получилось 20, но проблема в том, что и книга, и калькулятор расширяются по строке с наибольшим количеством нулей, но теоретически говоря, НЕЗАВИСИМО КАКАЯ строка или столбце, который вы решили расширить, вы должны получить тот же ответ. Так что же это? Мои вычисления неверны или мое предположение о том, что вы можете расширяться по любой строке или столбцу, неверно? Разве это не важно, только если определитель не равен нулю? или точное значение имеет значение в более сложных случаях?
линейная алгебра — Найдите ядро матрицы 4×4
спросил
Изменено 4 года, 8 месяцев назад
Просмотрено 3к раз
$\begingroup$
$$ \begin{pматрица} 1 и 2 и 3 и 4\\ 5 и 6 и 7 и 8\\ 9& 10 & 11 & 12\\ 13 и 14 и 15 и 16\\ \end{pматрица} $$
Меня просят найти ядро матрицы $M$.
После выполнения некоторой операции строки я получаю
$$
\begin{pматрица}
1 и 2 и 3 и 4\\
0 и -4 и -8 и -12\\
0 и 0 и 0 и 0\\
0 и 0 и 0 и 0\\
\end{pматрица}
$$
и для $x$ я нахожу $x = \alpha + 2\beta$, тогда как $y = -2\alpha -3\beta$ Следовательно, $$ \begin{pматрица} \альфа + 2\бета\\ -2\альфа — 3\бета\\ \альфа\\ \бета\\ \end{pматрица} $$
Когда мы берем внешние альфа и бета: получаем два вектора: $$ \begin{pматрица} 1\\ -2\\ 1\\ 0\\ \end{pматрица} $$ а также $$ \begin{pматрица} 2\\ -3\\ 0\\ 1\\ \end{pматрица} $$ которые линейно независимы и составляют базис этого $ker(M)$ Не могли бы вы подтвердить со мной, получаете ли вы тот же результат? Спасибо.
- линейная алгебра
- матрицы
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Да, это правильно, в случае сомнений вы можете проверить это непосредственно простым умножением на матрицу RREF
$$\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 и 4\\ 0 и -4 и -8 и -12\\ 0 и 0 и 0 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix}=0$$
$$\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 и 4\\ 0 и -4 и -8 и -12\\ 0 и 0 и 0 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ -3\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} =0 $$
или/и также для исходной матрицы
$$\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 и 4\\ 5 и 6 и 7 и 8\\ 9 и 10 и 11 и 12\\ 13 и 14 и 15 и 16\\ \end{bmatrix} \begin{bматрица} 1\\ -2\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix}=0$$
$$\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 и 4\\ 5 и 6 и 7 и 8\\ 9 и 10 и 11 и 12\\ 13 и 14 и 15 и 16\\ \end{bmatrix} \begin{bматрица} 2\\ -3\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} =0 $$
Обратите внимание, что и после этой проверки для правильности результата крайне важно правильно рассчитать RREF.