Матрица обратная примеры: Найти матрицу обратную матрице — примеры, решения

Примеры использования функции МОБР в Excel матрицах

Функция МОБР – это вычислительное определение матрицы. Она возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве. Обратные матрицы, как и определители, обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция МОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Определитель такой матрицы равен = 0.

Описание использования функции МОБР в Excel

Как использовать функцию МОБР в Excel рассмотрим ниже на примерах. Но сначала ознакомимся как устроена данная функции.

Аргумент функции МОБР – это массив. Он может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3 как массив констант, например {1;2;3:4;5;6:7;8;9} или как имя диапазона или массива. В случае, если хотя бы одна из ячеек массива пуста или содержит текст, функция возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!

Массив должен иметь равное количество строк и столбцов. В случае, если они не равны, то функция МОБР также возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!

Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива.

Для вывода обратного массива необходимо после выбора диапазона для данной функции нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, а не просто Enter.

Функция МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к незначительным ошибкам округления. Рассмотрим применение данной функции на конкретных примерах.



Поиск обратной матрицы в Excel с помощью функции МОБР

Пример 1. Используя пакет Excel, найти обратную матрицу для матрицы, приведенной в таблице 1.

Таблица 1:

Исходные данные
1	2
3	4

Для решения данной задачи открывает пакет Excel, в произвольной ячейке вводим исходные данные, дальше выбираем функцию МОБР. В качестве массива выбираем диапазон с введенными данными и контролируем полученный результат. В Excel общий вид функции выглядит следующим образом:

Рисунок 1 – Результат расчета.

Как найти валовый показатель по матрице взаимосвязей?

Пример 2. Связь между тремя отраслями представлена матрицей прямых затрат А. Спрос (конечный продукт) задан вектором X. Найти валовой выпуск продукции отраслей Х. Описать используемые формулы, представить распечатку со значениями и с формулами.

Исходные данные приведены на рисунке 2:

Рисунок 2 – Исходные данные.

Данная задача связана с определением объема производства каждой из N отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли. При этом каждая отрасль выступает и как производитель некоторой продукции и как потребитель своей и произведенной другими отраслями продукции. Задача межотраслевого баланса – отыскание такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Матричное решение данной задачи:

X = ( E — A )^-1 Y

где Е – единична матрица.

Для решения задачи в примере используем следующие 4 функции для работы с матрицами в Excel:

1. МОБР – нахождение обратной матрицы.
2. МУМНОЖ – умножение матриц.
3. МОПРЕД – нахождение определителя матрицы.
4. МЕДИН – нахождение единичной матрицы.

Результаты приведены на рисунке 3:

Рисунок 3 – Результат вычислений.

Функция МОБР возвращает ошибку #ЧИСЛО!

Пример 3. Найти обратную матрицу для матрицы, приведенной в таблице 2.

Таблица 2:

Исходные данные
1	2	4
2	4	8
4	8	16

Результат решения приведен на рисунке 4. Видно, что определитель данной матрицы равен 0, поэтому функция МОБР выводит в результате значение #ЧИСЛО!.

Рисунок 4 – Окончательный результат.

Обратная матрица для чайников подробные примеры решений. Обратная матрица

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a — ε x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае — расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a — предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к

а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε — δ «

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения

x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 — основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной

в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от

x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден.

ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода — в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3. 1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1|

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n — 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,…, x n ,… — последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением. 2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность — ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f»(x)/l»(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. (n-1)

Определение 1: матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Определение 2: матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Матрица «A» называется обратной матрицей , если выполняется условие A*A-1 = A-1 *A = E (единичной матрице).

Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.

Схема вычисления обратной матрицы:

1) Вычислить определитель матрицы «A», если ∆ A = 0, то обратной матрицы не существует.

2) Найти все алгебраические дополнения матрицы «A».

3) Составить матрицу из алгебраических дополнений (Aij )

4) Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений (Aij )T

5) Умножить транспонированную матрицу на число, обратное определителю данной матрицы.

6) Выполнить проверку:

На первый взгляд может показаться, что это сложно, но на самом деле всё очень просто. Все решения основаны на простых арифметических действиях, главное при решении не путаться со знаками «-» и «+», и не терять их.

А теперь давайте вместе с Вами решим практическое задание, вычислив обратную матрицу.

Задание: найти обратную матрицу «A», представленную на картинке ниже:

Решаем всё в точности так, как это указано в план-схеме вычисления обратной матрицы.

1. Первое, что нужно сделать, это найти определитель матрицы «A»:

Пояснение:

Мы упростили наш определитель, воспользовавшись его основными функциями. Во первых, мы прибавили ко 2 и 3 строке элементы первой строки, умноженные на одно число.

Во-вторых, мы поменяли 2 и 3 столбец определителя, и по его свойствам поменяли знак перед ним.

В-третьих, мы вынесли общий множитель (-1) второй строки, тем самым, снова поменяв знак, и он стал положительным. Также мы упростили 3 строку также, как в самом начале примера.

У нас получилась треугольный определитель, у которого элементы ниже диагонали равны нулю, и по 7 свойству он равен произведению элементов диагонали. В итоге мы получили ∆ A = 26, следовательно обратная матрица существует.

А11 = 1*(3+1) = 4

А12 = -1*(9+2) = -11

А13 = 1*1 = 1

А21 = -1*(-6) = 6

А22 = 1*(3-0) = 3

А23 = -1*(1+4) = -5

А31 = 1*2 = 2

А32 = -1*(-1) = -1

А33 = 1+(1+6) = 7

3. Следующий шаг — составление матрицы из получившихся дополнений:

5. Умножаем эту матрицу на число, обратное определителю, то есть на 1/26:

6. Ну а теперь нам просто нужно выполнить проверку:

В ходе проверки мы получили единичную матрицу, следовательно, решение было выполнено абсолютно верно.

2 способ вычисления обратной матрицы.

1. Элементарное преобразование матриц

2. Обратная матрица через элементарный преобразователь.

Элементарное преобразование матриц включает:

1. Умножение строки на число, не равное нулю.

2. Прибавление к любой строке другой строки, умноженной на число.

3. Перемена местами строк матрицы.

4. Применяя цепочку элементарных преобразований, получаем другую матрицу.

А-1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A-1 )

2. A-1 * A = E

Рассмотрим это на практическом примере с действительными числами.

Задание: Найти обратную матрицу.

Решение:

Выполним проверку:

Небольшое разъяснение по решению:

Сперва мы переставили 1 и 2 строку матрицы, затем умножили первую строку на (-1).

После этого умножили первую строку на (-2) и сложили со второй строкой матрицы. После чего умножили 2 строку на 1/4.

Заключительным этапом преобразований стало умножение второй строки на 2 и прибавлением с первой. В результате слева у нас получилась единичная матрица, следовательно, обратная матрица — это матрица справа.

После проверки мы убедились в правильности решения.

Как вы видите, вычисление обратной матрицы — это очень просто.

В заключении данной лекции хотелось бы также уделить немного времени свойствам такой матрицы. (2+1) = -1.

В результате вы получите матрицу дополнений, теперь транспонируйте ее. Транспонирование — это операция, симметричная относительно главной диагонали матрицы, столбцы и строки меняются местами. Таким образом, вы нашли присоединенную матрицу A*.

Обратная матрица: определение, типы, примеры

• Автор Ритеш Кумар Гупта
• Последнее изменение 25-01-2023

Обратная матрица: Матрица — это набор объектов, расположенных в строках и столбцах. Эти элементы известны как матричные элементы. Порядок матрицы определяется как количество строк, деленное на количество столбцов. Например, 2×2, 2×3, 3×2, 3×3, 4×4 и так далее. Только для квадратных матриц с одинаковым количеством строк и столбцов можно определить обратную. Обратная матрица — важный инструмент в математическом мире.

Используется при решении системы линейных уравнений. Обратные матрицы часто используются для шифрования или расшифровки кодов сообщений. Он также используется для изучения электрических цепей, квантовой механики и оптики. Эти матрицы имеют решающее значение для измерения выходной мощности батареи и преобразования электрической энергии в другую полезную энергию с помощью резисторов. При применении законов Кирхгофа для напряжения и тока для решения задач обратные матрицы чрезвычайно важны. Продолжайте читать, чтобы узнать больше.

Прежде чем изучать обратную матрицу, мы должны знать, что такое сопряжение матрицы.

Сопряженная квадратная матрица \(A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{n \times n}}\) является транспонированной матрицей \({\left[ { {A_{ij}}} \right]_{n \times n}}\) где \({A_{ij}}\) — кофактор элемента \({a_{ij}}\) матрица \(A\) обозначается через \(Adj{\rm{}}A .\)

Пусть,

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c} } {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{массив}} \right]\)

Затем \(Adj{\rm{}}A = \) Транспонировать \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{А_{11}}}&{{А_{12}}}&{{А_{13}}}\\ {{А_{21}}}&{{А_{22}}}&{{А_{23}}}\\ {{А_{31}}}&{{А_{32}}}&{{А_{33}}} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {{А_{11}}}&{{А_{21}}}&{{А_{31}}}\\ {{А_{12}}}&{{А_{22}}}&{{А_{32}}}\\ {{А_{13}}}&{{А_{23}}}&{{А_{33}}} \end{array}} \right]\)

где \({A_{ij}}\) — это сомножитель \({a_{ij}}\), который вычисляется с использованием соотношения \({A_{ij }} = {( – 1)^{i + j}}{M_{ij}}\), где \({M_{ij}}\) является минором \({a_{ij}}\).

Минором элемента \({a_{ij}}\) определителя является определитель, полученный удалением его i-й строки и j-го столбца, в котором лежит элемент \({a_{ij}}\). Минор элемента \({a_{ij}}\) обозначается через \({M_{ij}}\).

В математике кофактор используется для нахождения обратной и сопряженной матрицы. Если

\(A = \left[ {\ begin {массив} {* {20} {c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{массив}} \right]\) 9T}\), где \(C\) — матрица кофакторов \(A\).

Узнайте о матрицах здесь

См. диаграмму ниже, чтобы узнать, как вычисляется сопряжение матрицы \(A\).

Как рассчитать обратную матрицу?

Если вас спросят, что является обратным числом \(5\)?, вы быстро ответите \(\frac{1}{5}\). Но задумывались ли вы когда-нибудь о том, почему оно является обратным к \(5\)? Это потому, что \(5 \times \frac{1}{5} = 1\), что является мультипликативным тождеством.

То же самое и с матрицами; если нас спросят об обратной матрице \(A\), то что нужно умножить на \(A\), чтобы получить единичную матрицу, которая в основном является обратной матрицей \(A\). 9{ – 1}} = \frac{{adjA}}{{|A|}}\) где \(|A| \ne 0\)

Формула обратной матрицы

Ниже приведены два метода нахождения обратной матрицы:

1. Элементарные операции

Предположим, что \(X, A\) и \(B\) — матрицы одного порядка такие, что \(X = AB\). Чтобы иметь последовательность элементарных операций со строками над матричным уравнением \(X = AB\), применим эти операции одновременно к \(X\) и к первой матрице \(A\) произведения \( АВ\) справа. Аналогично, чтобы иметь последовательность элементарных операций со столбцами над матричным уравнением \(X = AB\), применим эти операции одновременно к X и ко второй матрице \(B\) произведения \(AB\) на \(RHS\). 9{– 1}}.\).

Если у квадратной матрицы \(A\) есть обратная (несингулярная), то обратная матрица уникальна.

Квадратная матрица \(A\) имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю, т. е. \(|A| \ne 0\). Точно так же матрица A сингулярна (не имеет обратной) тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. { – 1}}} \right| = \frac{1}{{|A|}}\). 9{ – 1}}\)

Пусть \(A\) и \(B\) – квадратные матрицы порядка \(n\). Если \(AB= O\), то либо \(A = O\), либо \(B = O\), либо обе \(A\) и \(B\) являются сингулярными матрицами без обратной.

Обратная матрица: примеры

Предположим, мы хотим вычислить обратную матрицу \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 3&5&0\\ 2&1&8 \end{array}} \right]\)

Чтобы найти обратную матрицу, нам сначала нужно найти сопряженную матрицу A.

Кофактор \(1 = {A_{11}} = + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0\\ 1 и 8 \end{массив}} \right| = + (40 – 0) = 40\)
Сомножитель \(2 = {A_{12}} = – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0\\ 2 и 8 \end{массив}} \right| = – (24 – 0) = – 24\)
Сомножитель \(3 = {A_{13}} = + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&5\\ 2 и 1 \end{массив}} \right| = + (3 – 10) = – 7\)
Сомножитель \(4 = {A_{21}} = – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1 и 8 \end{массив}} \right| = 0\)
Кофактор \(5 = {A_{22}} = + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 2 и 8 \end{array}} \right|= + (8 – 0) = 8\)
Сомножитель \(6 = {A_{23}} = – \left| {\begin{array}{*{20}{ в}} 1&0\\ 2 и 1 \end{массив}} \right| = – (1 – 0) = – 1\)
Сомножитель \(7 = {A_{31}} = + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 5&0 \end{массив}} \right| = 0\)
Кофактор \(8 = {A_{32}} = – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 3&0 \end{массив}} \right| = – (1 – 0) = – 1\)
Кофактор \(9= {A_{33}} = + \left| {\начать{массив}{*{20}{с}} 1&0\\ 3 и 5 \end{массив}} \right| = + (5 – 0) = 5\)
Матрица кофакторов A равна

\(\left[ {{A_{ij}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20 {с}} {{А_{11}}}&{{А_{12}}}&{{А_{13}}}\\ {{А_{21}}}&{{А_{22}}}&{{А_{23}}}\\ {{А_{31}}}&{{А_{32}}}&{{А_{33}}} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {40}&{ – 24}&{ – 7}\\ 0&8&{ – 1}\\ 0&{ – 1}&5 \end{array}} \right]\)

Теперь найдите транспонирование \({A_{ij}}\) 9{ – 1}} = \ frac{{adj\,A}}{{\left| A \right|}} = \frac{1}{{40}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {40}&0&0\\ { – 24}&8&{ – 1}\\ {– 7}&{– 1}&5 \end{array}} \right]\)

Применение обратной матрицы

Применение обратной матрицы:

• Обратная матрица используется для решения системы линейных уравнений. Это также говорит нам о последовательном или непоследовательном поведении решения уравнений.
• Линейные уравнения, некоторые коды с исправлением ошибок (линейные коды), линейные дифференциальные уравнения и линейные рекуррентные последовательности используют концепцию обратной матрицы.
• Обратные матрицы часто используются для шифрования кодов сообщений. Матрицы используются программистами для кодирования или шифрования писем. Сообщение состоит из ряда двоичных чисел, которые решаются с использованием теории кодирования для связи. В результате для решения таких уравнений используется понятие матриц.
• Инженеры и физики разрабатывают модели физических структур и выполняют точные расчеты, необходимые для работы сложной техники. Точно настроенные вычисления матричных преобразований используются в электронике, сетях, самолетах и ​​космических кораблях, а также в химической обработке.
• В физике обратная матрица используется для изучения электрических цепей, квантовой механики и оптики. { – 1}}\) не будет существовать. 9{ – 1}}\) не будет существовать.

  Q.2. Найти обратную матрицу \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&1\\ 4&{ – 3} \end{array}} \right]\), используя элементарные операции
  Ответ: Учитывая, что \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&1\\ 4&{ – 3} \end{array}} \right]\)
  Мы знаем \(A = IA \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&1\\ 4&{- 3} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{ array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{массив}} \right]A\)
  \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{1}{7}}\\ 4&{- 3} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{7}}&0\\ 0&1 \end{array}} \right] A\) (Применение \({ R_1} \ to \ frac {1} {7} {R_1} \}}
  \( \ Rightarrow \ left [ {\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & {\ frac {1} {7 }}\\ 0&1 \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{7}}&0\\ {\frac{ 4}{7}}&{ – \frac{7}{{25}}} \end{array}} \right]A\) (Применение \({R_2} \to {R_2} – 4{R_1}\ ))
  \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{1}{7}}\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1} {7}} & 0 \\ {\ frac {4} {{25}}} & { – \ frac {7} {{ 25}}} \end{array}} \right]A\) (Применение \({R_2} \to – \frac{7}{{25}}{R_2}\))
  \( \Rightarrow \left[ {\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right] = \ left [ {\ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {3}{{25}}}&{\frac{1}{{25}}}\\ {\frac{4}{{25}}}&{ – \frac{7}{{25}}} \end{array}} \right]A\) (Применение \({R_1} \to {R_1} – \frac{1}{7}{R_2}\)) 9{ – 1}} = \frac{1}{{25}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1\\ 4&{ – 7} \end{массив}} \right ]\)

  Q. 3. Найдите обратную матрицу \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2\\ 1&2&3\\ 3&1&1 \end{array}} \right]\), используя элементарные операции
  Ответ:
  Учитывая, что \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2\\ 1&2&3\\ 3&1&1 \end{array}} \right]\)
  Мы знаем \(A = IA \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2\\ 1&2&3\\ 3&1&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{* {20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{массив}} \right]A\)
  \( \Стрелка вправо \влево[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2\\ { – 2}&1&2\\ 3&1&1 \end{массив}} \right] = \left[ {\begin {array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&{ – 1}\\ 0&0&1 \end{array}} \right]A\) (Применение \({R_2} \to {R_2} – {R_3 }\))
  \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2\\ { – 2}&1&2\\ 3&1&1 \end{array}} \right] = \left [ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&{ – 1}\\ 0&0&1 \end{array}} \right]A\) (Применение \({R_1} \to {R_1 } – {R_3}\))
  \( \Стрелка вправо \влево[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&0&1\\ 0&3&4\\ 0&{ – 2}&{ – 2} \end{array}} \ right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ – 1}\\ { – 2}&3&{ – 1}\\ 3&{ – 3}&1 \end{array} } \right]A\) (Применение \({R_2} \to 3{R_2} – 2{R_1}\))
  \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c} } { – 3}&0&1\\ 0&3&4\\ 0&{ – 2}&{ – 2} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& { – 1}\\ { – 2}&3&{ – 1}\\ 3&{ – 3}&1 \end{массив}} \right]A\) (Применение \({R_3} \к {R_3} – {R_2 }\))
  \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&0&1\\ 0&3&4\\ 0&1&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin {массив}{*{20}{c}} 1&0&{ – 1}\\ { – 2}&3&{ – 1}\\ {\ frac {{ – 3}}{2}} & {\ frac {3} {2}}&{\frac{{ – 1}}{2}} \end{array}} \right]A\) (Применение \({R_2} \to {R_2} – 4{R_3}\))
  \( \Стрелка вправо \влево[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&0&1\\ 0&{ – 1}&0\\ 0&0&1 \end{массив}} \right] = \ слева [ {\ begin {массив} {* {20} {c}} 1 & 0 & { — 1} \\ 4 & { — 3} & 1 \\ {\ frac {5} {2}} & {\ frac {{ — 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right]A\) (Применение \({R_3} \to {R_3} – {R_2}\)) 9{ – 1}} = \ left[ {\ begin {массив} {* {20} {c}} {\ frac {1} {2}} & {\ frac {{ — 1}} {2}} & { \ frac {1} {2}} \\ { — 4} & 3 & { — 1} \\ {\ frac {5} {2}} & {\ frac {{ — 3}} {2}} & {\ frac {1}{2}} \end{массив}} \right]\)

  Q. 4. Решите следующую систему линейных уравнений методом обращения матриц: \(5x + 2y = 3,\,3x + 2y = 5\)
  Ответ:
  Матричная форма системы имеет вид \(AX = B,\), где \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 3&2 \end{array}} \right],\,X = \left[ {\begin{array}{ *{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right],\,B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 5 \end {массив}} \справа].\) 9{ – 1}}B,\) получаем
  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \frac{1 }{4}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 2}\\ { – 3}&5 \end{array}} \right]\left[ {\begin{ array}{*{20}{c}} 3\\ 5 \end{массив}} \right] = \frac{1}{4}\left[ {\begin{array}{*{20}{c} } 6&{ – 10}\\ { – 9}&{ + 25} \end{массив}} \right] = \frac{1}{4}\left[ {\begin{array}{*{20}{ c}} { – 4}\\ {16} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ – 4}}{ 4}}\\ {\frac{{16}}{4}} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}\ \ 4 \end{массив}} \right]\)
  Следовательно, решение равно \(\left( {x = – 1,\,y = 4} \right). \)

  Q.5. Решите следующую систему уравнений методом обращения матриц: \(2{x_1} + 3{x_2} + 3{x_3} = 5
  {x_1} – 2{x_2} + {x_3} = – 4
  3{x_1 } – {x_2} – 2{x_3} = 3\)
  Ответ: Матричная форма системы имеет вид \(AX=B\), где
  \(A = \left[ {\begin{array}{* {20}{c}} 2&3&3\\ 1&{ – 2}&2\\ 3&{ – 1}&{ – 2} \end{массив}} \right],\,X = \left[ {\begin{массив }{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{массив}} \right],\,B = \left[ {\begin{ array}{*{20}{c}} 5\\ { – 4}\\ 3 \end{array}} \right].\) Находим \(\left| A \right| = \left[ {\ begin{array}{*{20}{c}} 2&3&3\\ 1&{ – 2}&2\\ 3&{ – 1}&{ – 2} \end{массив}} \right] = 2\left( {4 + 1} \вправо) – 3\влево( { – 2 – 3} \вправо) + 3\влево( { – 1 + 6} \вправо) = 10 + 15 + 15 = 40 \ne 0.\) 9{ – 1}}B,\) получаем \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{массив}} \right] = \frac{1}{{40}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5&3&9\\ 5&{ – 13}&1\\ 5& {11}&{ – 7} \end{массив}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { – 4}\\ 3 \end{массив} } \right] = \frac{1}{{40}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {25}&{ – 12}&{ + 27}\\ {25 }&{ + 52}&{ + 3}\\ {25}&{ – 44}&{ – 21} \end{массив}} \right] = \frac{1}{{40}}\left[ { \begin{array}{*{20}{c}} {40}\\ {80}\\ { – 40} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{ 20}{c}} 1\\ 2\\ { – 1} \end{массив}} \right]\)
  Следовательно, решение равно \(\left( {{x_1} = 1, {x_2} = 2, {x_3} = – 1} \right)\)

  Резюме

  Обратная матрица является важным инструментом в математике . Мы узнали об обратной матрице, ее свойствах и примерах. С его помощью можно решить массу сложных задач. Он используется для решения линейных уравнений и других математических функций, таких как исчисление, оптика и квантовая физика. Он имеет широкий спектр реальных приложений, что привело к тому, что он играет решающую роль в математике.

  Часто задаваемые вопросы об обратной матрице

  Ниже приведены наиболее часто задаваемые вопросы об обратной матрице:

  Q.1: Что является обратной матрицей \(2 \times 2\)?
  Ответ: Для квадратной матрицы порядка \(2\) , заданной как \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{ {a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\)
  \(adj A\) можно получить путем замены \({{a_{11}}}\) и \({{a_{22}}}\) и меняя знаки перед \({{a_{12}}}\) и \({{a_{21 }}}\), т. е. 9T},\), где C — кофакторная матрица \(A.\) 

  Q.4: Может ли матрица иметь \(2\) обратную?
  Ответ: Нет, матрица не может иметь \(2\) обратную. Обратная матрица единственна. Это будет доказано с помощью метода от противного.

  Q.5: Каково использование обратной матрицы?
  Ответ: Обратная матрица используется для решения системы линейных уравнений. Он часто используется для шифрования кодов сообщений. Матрицы используются программистами для кодирования или шифрования писем. Сообщение состоит из ряда двоичных чисел, которые решаются с использованием теории кодирования для связи, а затем используется обратная матрица для расшифровки закодированного сообщения.

  Узнайте об использовании матриц здесь

  Мы надеемся, что эта статья об обратной матрице окажется вам полезной. В случае возникновения каких-либо вопросов вы можете связаться с нами в разделе комментариев, и мы вернем ответы.

  Следите за последними обновлениями Embibe.  

  Объяснение урока: Свойства обратных матриц

  В этом объяснении мы узнаем, как использовать некоторые свойства обратной матрицы.

  Матрица 𝑛×𝑛 𝐴 называется обратимой, если существует матрица 𝑛×𝑛 𝐵 такая, что произведение 𝐴 и 𝐵 равно 𝐼, где 𝐼 — единичная матрица 𝑛×𝑛: Если 𝐴𝐵=𝐼,𝐵=𝐴.

  Если 𝐵 существует, мы говорим, что это , обратное к 𝐴, обозначаемое 𝐴.

  Обратите внимание, что, как подразумевается в этом определении, матрица должна быть квадратной, чтобы быть обратимой, но квадратность не гарантирует, что обратная матрица существует.

  Чтобы найти обратную матрицу 2 × 2 𝐴 такую, что 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑, применим формулу 𝐴=1𝐴𝑑−𝑏−𝑐𝑎,det где det𝐴=𝑎𝑑−𝑏𝑐. Обратите внимание, что если определитель матрицы 𝐴 равен нулю, обратной не может быть. Если определитель не равен нулю, матрица 𝐴 будет иметь обратную. Тогда мы называем матрицу 𝐴 обратимой или невырожденной. Свойства обратных матриц, которые мы рассмотрим в этом уроке, применимы ко всем обратимым матрицам.

  Давайте воспользуемся определением обратной матрицы, чтобы вывести некоторые ключевые свойства обратных матриц.

  Пример 1.

  Определение эквивалентного выражения для матриц с использованием свойств обратных матриц

  Если 𝐴 — матрица, какое из следующего равно 𝐴?

  1. 𝐴
  2. 𝐴
  3. 𝐴
  4. 𝐴

  Ответ

  Поскольку 𝐴 существует, 𝐴 должна быть квадратной матрицей. Давайте представим, что 𝐴 — это матрица 2 × 2, такая что 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑.

  На основании определения обратной матрицы 2×2, 𝐴=1𝐴𝑑−𝑏−𝑐𝑎.det

  Если возвести в квадрат обратную величину 𝐴, то 𝐴 = 1 (𝐴) 𝑑 — 𝑏 — 𝑐𝑎𝑑 — 𝑏 — 𝑐𝑎 = 1 (𝐴) 𝑑+𝑏𝑐 — 𝑏𝑑 — 𝑐𝑑 — 𝑎𝑐𝑏𝑐+𝑎. detdet

  Далее мы хотим рассчитать 𝐴 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑎𝑏𝑐𝑑 = 𝑎+𝑏𝑐𝑎𝑏+𝑏𝑑𝑎𝑐+𝑐𝑑𝑏𝑐+𝑑.

  , взяв обратный квадрат матрицы 𝐴, у нас есть 𝐴 = 1 (𝐴) 𝑑+𝑏𝑐 — 𝑏𝑑 — 𝑎𝑏 — 𝑐𝑑 — 𝑎𝑐𝑏𝑐+𝑎.det

  Обратите внимание, что свойство детерминантов, которые определяют (𝐴𝐵) = (𝐴) (𝐵 ) позволяет нам вычислить определитель 𝐴 как (𝐴)det.

  Поскольку выражение для обратного квадрата матрицы 𝐴 совпадает с выражением для квадрата обратного к матрице 𝐴, мы показали, что для обратимой матрицы 2 × 2 𝐴, 𝐴=𝐴. 

  В предыдущем примере мы показали, что 𝐴=𝐴. Это можно обобщить для более высоких степеней обратной матрицы, так что для любой обратимой матрицы 𝐴, где 𝑛∈𝑁, 𝐴=(𝐴).

  В нашем следующем примере мы рассмотрим связь между транспонированием инверсии и инверсией транспонирования.

  Пример 2. Определение эквивалентного выражения для матриц с использованием свойств обратных матриц

  Если 𝐴 — матрица, какое из следующего равно 𝐴?

  1. 𝐴
  2. 𝐴
  3. 𝐴
  4. 𝐴
  5. 𝐴

  Ответ

  Напомним, что столица 𝑇 Записано в тексту SuperScript — это нотация для транспонирования матрицы. Это означает, что мы меняем местами строки со столбцами. Когда мы транспонируем матрицу, значения по диагонали не меняются.

  Поскольку 𝐴 существует, 𝐴 должна быть квадратной матрицей. Давайте представим, что 𝐴 — это матрица 2 × 2, такая что 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑.

  На основании определения обратной матрицы 2×2, 𝐴=1𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑑−𝑏−𝑐𝑎. 

  Если мы транспонируем обратную матрицу 𝐴, мы имеем 𝐴=1𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑑−𝑐−𝑏𝑎.

  Обратите внимание, что, поскольку дробь может быть распределена по матрице, транспонирование не влияет на нее, поэтому мы можем оставить ее снаружи матрица.

  Далее мы хотим вычислить транспонирование матрицы 𝐴, что дает 𝐴=𝑎𝑐𝑏𝑑.

  Обратное преобразование матрицы 𝐴 даст 𝐴=1𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑑−𝑐−𝑏𝑎.

  Мы только что продемонстрировали, что для обратимой матрицы 2×2 В предыдущем примере мы показали, что Это можно обобщить для всех обратимых матриц 𝐴: 𝐴=𝐴.

  В следующем примере мы рассмотрим, что происходит, когда мы находим обратную обратную матрицу.

  Пример 3. Использование свойств обратных матриц для решения задачи

  Рассмотрим матрицу 𝐴=−31−25. Найдите 𝐴.

  Ответ

  Чтобы найти обратную матрицу 𝐴, мы сначала хотим найти обратную матрицу 𝐴. Для матрицы вида 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑, обратное будет равно 𝐴=1𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑑−𝑏−𝑐𝑎. 

  Следовательно, в этом примере будет обратное 𝐴=1(−3)(5)−(1)(−2)5−12−3=−1135−12−3=⎛⎜⎜⎝−513113−213313⎞⎟⎟⎠. 

  Если бы мы нашли обратное 𝐴, мы бы взяли 1−⎛⎜⎜⎝313−113213−513⎞⎟⎟⎠, что упрощает до −13⎛⎜⎜⎝313−113213−513⎞⎟⎟⎠.

  Затем умножаем на скаляр −13: −31−25.

  Мы только что показали, что матрица, обратная обратной матрице, является исходной матрицей. Однако для решения этой задачи нет необходимости выполнять все эти вычисления, поскольку это свойство верно для всех обратимых матриц: 𝐴=𝐴.

  Как только мы покажем, что матрица 𝐴 имеет ненулевой определитель, свойства обратных матриц говорят нам, что матрица, обратная обратной, будет исходной матрицей, −31−25.

  В предыдущем примере мы продемонстрировали, что 𝐴=𝐴 для матрицы 2×2. Это можно обобщить для всех обратимых матриц: 𝐴=𝐴.

  В следующем примере мы увидим, как мы можем использовать свойства обратных матриц и единичной матрицы для упрощения решения задач.

  Пример 4. Использование свойств обратных матриц для решения задачи

  1. Имея матрицы 𝐴 и 𝐵, где 𝐴=1−230−14001 и 𝐵=1−250−14001, найдите 𝐴𝐵.
  2. Не производя дальнейших вычислений, найдите 𝐴.

  Ответ

  Часть 1

  В первой части этого вопроса нам предлагается умножить матрицу 𝐴 на матрицу 𝐵. Поскольку обе эти матрицы являются квадратными матрицами 3 × 3, их можно перемножать вместе, помня, что умножение матриц не является коммутативным. Чтобы перемножить матрицы, мы находим скалярное произведение строк в первой матрице и столбцов во второй: 𝐴𝐵=(1)(1)+(-2)(0)+(3)(0)(1)(-2)+(-2)(-1)+(3)(0)(1) (5)+(−2)(4)+(3)(1)(0)(1)+(−1)(0)+(4)(0)(0)(−2)+(−1 )(−1)+(4)(0)(0)(5)+(−1)(4)+(4)(1)(0)(1)+(0)(0)+(1) (0)(0)(−2)+(0)(−1)+(1)(0)(0)(5)+(0)(4)+(1)(1).

  Когда мы оцениваем каждое из этих выражений, мы находим 𝐴𝐵=100010001.

  Часть 2

  Во второй части вопроса нам нужно было найти обратную матрицу 𝐴 без дальнейших вычислений. Когда мы перемножили матрицы 𝐴 и 𝐵, результирующая матрица была единичной матрицей. Напомним, что любая квадратная матрица (с ненулевым определителем) имеет обратную такую, что 𝐴𝐴=𝐼. Поскольку произведение матрицы 𝐴 и матрицы 𝐵 было единичной матрицей, матрица 𝐵 должна быть обратной матрице 𝐴.

  Следовательно, 𝐴=1−250−14001.

  Есть еще одно свойство, которое мы можем использовать: связь между произведением двух матриц и их обратной.

  Для пары обратимых матриц 𝐴 и 𝐵, (𝐴𝐵)=𝐵𝐴.

  В нашем последнем примере мы рассмотрим, как применить эту связь между инверсией произведения двух матриц и произведением их соответствующих инверсий.

  Пример 5. Использование свойств обратных матриц для решения задачи

  Учитывая, что (𝐴𝐵)=165−3−3321,𝐴=−2−1−3−2, определить 𝐵.

  Ответ

  Напомним, что для пары обратимых матриц 𝐴 и 𝐵 (𝐴𝐵)=𝐵𝐴. Это означает, что мы можем переписать наше первое уравнение как 𝐵𝐴=165−3−3321. 

  Теперь нам нужна некоторая стратегия, чтобы «вычеркнуть» 𝐴 из обеих частей этого уравнения. Для этого мы используем ключевое свойство единичной матрицы. Мы знаем, что 𝐴𝐴=𝐼=𝐴𝐴. Это означает, что мы можем умножить обе части этого уравнения на матрицу 𝐴, которую нам дали, помня, что умножение матриц не является коммутативным; мы должны умножить в правильном порядке: 𝐵𝐴𝐴=165−3−3321⋅−2−1−3−2.

  Отсюда мы следуем правилам умножения матриц 2×2 и находим, что 𝐵𝐴𝐴=16(5)(−2)+(−3)(−3)(5)(−1)+(−3)(−2)(−33)(−2)+(21)(− 3)(−33)(−1)+(21)(−2)=16−113−9.

  В левой части этого уравнения мы видим, что мы умножили обратное матрицы 𝐴 на матрицу 𝐴. Мы знаем, что это равно единичной матрице. Таким образом, мы можем переписать левую часть уравнения в виде 𝐵𝐼=16−113−9.

  Вспоминая, что умножение любой матрицы на единичную матрицу дает само себя, мы можем сказать 𝐵=16−113−9.

  Последним шагом будет умножение на скаляр 16 для получения 𝐵=⎛⎜⎜⎝−161612−32⎞⎟⎟⎠.

  No related posts.