Ранг матрицы.
Ранг матрицы.Навигация по странице:
- Ранг системы строк и столбцов матрицы
- Ранг матрицы
- Свойства матрицы связанные с рангом
- Методы вычисления ранга матрицы
Онлайн калькулятор. Ранг матрицы.
Определение.
Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.
Теорема.
Ранг системы строк матрицы равен её рангу системы столбцов.
Определение.
Рангом матрицы A называется ранг её системы строк или столбцов.
Обычно ранг матрицы A обозначается rank(A) или rang(A)
Свойства матрицы связанные с рангом
Ранг матрицы не изменится, если к ее строкам (столбцам) применить элементарные преобразования.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.
Методы вычисления ранга матрицы
Метод элементарных преобразований
Используя свойства матрицы связанные с ее рангом, получен метод расчета ранга наиболее часто использующийся на практике.
Метод 1.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.
Метод окаймления миноров
Теорема.
Ранг матрицы равен наибольшему порядку не равного нулю минора.
Метод 2.
Если в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Если среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, то вся процедура повторяется.
Пример.
Вычислить ранг матрицы A, где
| A = | 4 | 2 | 0 | 1 | ||
| 2 | 1 | 2 | 3 | |||
| 0 | 3 | 10 | 1 | |||
| 4 | 2 | 4 | 6 |
Решение:
От 1-ой строки отнимем 2-ую умноженную на 2, от 4-той отнимем 2-ую умноженную на 2
| 4 | 2 | 0 | 1 | ~ | 0 | 0 | -4 | -5 | ~ | ||||
| 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | ||||||
| 0 | 3 | 10 | 1 | 0 | 3 | 10 | 1 | ||||||
| 4 | 2 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Поменяем местами строки
| ~ | 2 | 1 | 2 | 3 | ||
| 0 | 3 | 10 | 1 | |||
| 0 | 0 | -4 | -5 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 |
полученная матрица есть является ступенчатой, значит rank(A) = 3.
Ответ: rank(A) = 3.
Онлайн калькуляторы с матрицами.
Упражнения с матрицами.
вычисление ранга матрицы
вычисление ранга матрицы Вы искали вычисление ранга матрицы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление ранга матрицы».Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте.
Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычисление ранга матрицы,вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований,вычислить ранг матрицы,вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований,вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований онлайн,задачи на ранг матрицы,как вычислить ранг матрицы,как вычислить ранг матрицы для чайников,как искать ранг матрицы,как найти ранг,как найти ранг матрицы,как найти ранг матрицы 3 на 3,как найти ранг матрицы 4х4,как найти ранг матрицы для чайников,как найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров,как найти ранг матрицы методом элементарных преобразований,как найти ранг матрицы онлайн с решением,как найти ранг матрицы расширенной,как найти ранг расширенной матрицы,как находить ранг матрицы,как находить ранг матрицы для чайников,как находить ранг матрицы примеры,как определить ранг матрицы,как определить ранг матрицы для чайников,как определять ранг матрицы,как посчитать ранг матрицы,как рассчитать ранг матрицы,как решать ранг матрицы,как считать ранг матрицы,как узнать ранг матрицы,матпрофи ранг матрицы,матрица ранг,матрица ранги,матриці ранг,матрицы как найти ранг матрицы,матрицы ранг примеры,матрицы ранги,метод гаусса ранг матрицы,метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы,методом окаймляющих миноров найти ранг матрицы,методом элементарных преобразований найти ранг матрицы,минор второго порядка,минор первого порядка,найдите ранг матрицы,найти онлайн ранг матрицы методом окаймляющих миноров,найти ранг,найти ранг матрицы,найти ранг матрицы как найти,найти ранг матрицы методом гаусса,найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров,найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров онлайн,найти ранг матрицы методом элементарных преобразований,найти ранг матрицы методом элементарных преобразований онлайн,найти ранг матрицы онлайн методом окаймляющих методом,найти ранг матрицы онлайн методом окаймляющих миноров,найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований,нахождение ранга матрицы,нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров,нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований,нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований,онлайн найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров,онлайн определение ранга матрицы,определение ранг матрицы,определение ранга матрицы,определитель матрицы ранг матрицы,определить ранг матрицы,посчитать ранг матрицы,примеры ранг матрицы,ранг как найти,ранг матрица,ранг матриці,ранг матрицы,ранг матрицы вычислить,ранг матрицы для чайников,ранг матрицы и ранг расширенной матрицы,ранг матрицы как вычислить,ранг матрицы как искать,ранг матрицы как найти,ранг матрицы как находить,ранг матрицы как определить,ранг матрицы как посчитать,ранг матрицы как решать,ранг матрицы как считать,ранг матрицы матпрофи,ранг матрицы метод гаусса,ранг матрицы методом гаусса,ранг матрицы методом окаймляющих миноров,ранг матрицы методом окаймляющих миноров онлайн,ранг матрицы методом элементарных преобразований,ранг матрицы найти,ранг матрицы онлайн как найти,ранг матрицы онлайн методом окаймляющих миноров,ранг матрицы определение,ранг матрицы определить,ранг матрицы посчитать,ранг матрицы примеры,ранг матрицы примеры с решением,ранг матрицы равен,ранг матрицы ранг расширенной матрицы,ранг матрицы расширенной,ранг матрицы решение,ранг матрицы с помощью элементарных преобразований,ранг матрицы это,ранг матрицы это для чайников,ранг методом гаусса матрицы,ранг расширенной матрицы,ранг расширенной матрицы как найти,ранги матриц,ранги матрица,ранги матрицы,ранги матрицы для чайников,рангом матрицы называется,расширенной матрицы ранг,решение матрицы ранг,решение матрицы ранг матрицы,решение матрицы ранг онлайн,решение ранг матрицы,с помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы,чему равен ранг матрицы,чему равен ранг матрицы равен,что такое ранг матрицы,что такое ранг матрицы и как его найти.
Решить задачу вычисление ранга матрицы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Линейная модель— что это значит, когда матрица данных имеет полный ранг?
Я хочу связать понятие идентифицируемости с рангом матрицы плана в линейной регрессии, а также взглянуть на проблему более линейно-алгебраически, поскольку вы упомянули, что у вас есть математическое образование.
Некоторый параметр в нашей регрессионной модели называется идентифицируемым, если мы можем даже предположить, что это такое. В отличие от типичного случая, мы никогда не узнаем точное значение , равное 9.0005 любой параметр , если в процессе есть какая-либо случайность, но оценки методом наименьших квадратов могут дать хорошее предположение, если имеется достаточно хороших данных. Но когда параметр не идентифицирован, совершенно невозможно иметь какое-либо представление о том, что это такое: независимо от того, какое значение параметра установлено, выходные данные будут выглядеть точно так же. И поскольку мы используем данные, чтобы угадать, что это за параметры, если какой-то параметр не влияет на данные, данные не предоставляют нам никакой информации о нем.
Хорошим примером является ситуация, когда у нас есть категориальные факторы, например: мы хотим сравнить лечение Лечение A с Лечением B и Лечение C:
Мы также сравнили вес пациентов.
Исходы лечения («y») не показаны; они вообще не влияют на идентифицируемость.
Вот в чем проблема: лечение А и С всегда назначалось одним и тем же людям. Мы можем это сказать, потому что их столбцы содержат точно такие же данные. Интуитивно мы уже знаем, что у нас проблемы: если эти пациенты выздоравливают больше, чем обычно, возможно, лечение А делает всю работу, а лечение С инертно. Или, может быть, лечение А на самом деле вредно, но лечение С очень полезно и компенсирует это. Существует бесконечное количество возможностей, и мы не можем быть уверены, что происходит с лечением А и С по отдельности.
Более утонченная версия — общий неидентифицируемый случай. Чтобы увидеть общий случай, давайте теперь рассмотрим ранг. Ключевым следствием ранга из линейной алгебры является то, что матрица с менее чем полным рангом превращает некоторый набор векторов, которые не равны нулю, в нулевой вектор: $\mathbf{X}\mathbf{b} = \mathbf{0}$ (говорят, что эти векторы принадлежат ядру или нулевому пространству $\mathbf{x}$).
В случае приведенной выше матрицы одним из таких векторов является $c(1,0,-1,0)$:
Это математическая интерпретация нашего обсуждения выше: мы не можем знать, насколько лечение A лучше, чем лечение C, поскольку 1 в первой записи и -1 в третьей записи будут вычислять разницу между первая и третья строки при умножении матриц.
Но мы не говорили ни о каком из наших коэффициентов регрессии: у нас нет коэффициента, определяющего разницу между вариантами лечения А и С. У нас есть коэффициент отдельно для вариантов лечения А и С. Так какое нам дело до того, что 9\perp}$ ортогонален этому.
С помощью этого разложения мы видим, что мы не можем оценить не только $c(1,0,-1,0)$: всякий раз, когда компонент $\mathbf{v}_{\mathcal{N}}$ не является нулевым вектором, его нельзя оценить. Напротив, любой вектор, ортогональный вектору $c(1,0,-1,0)$ или вообще ортогональный нулевому пространству, будет идентифицируемым. Напомним из фундаментальной теоремы Гила Стрэнга о линейной алгебре, что подпространство, ортогональное ядру матрицы, является пространством строк той же самой матрицы.
Таким образом, пространство строк нашей матрицы дизайна все еще можно оценить, даже если наша матрица меньше полного ранга. Интуитивно мы должны были бы оценить эффект «лечения A» и «лечения B», и мы можем убедиться, что их сумма действительно находится в пространстве строк и, следовательно, может быть идентифицирована.
TLDR: Если ваша матрица меньше полного ранга, она отправит некоторый вектор в ноль. Это означает, что изменение коэффициентов регрессии в этом направлении не приводит к изменению данных, и мы ничего не можем узнать о том, что представляет собой эта линейная комбинация наших параметров и, следовательно, какие параметры сами по себе являются внесенными.
Блестящая вики по математике и естественным наукам
Самир Кайласа
и
Чимин Хим
внес 9мТ:Рн→Рм. Мы определяем строк ранга AAA как dim(R(A))\dim\big(R(A)\big)dim(R(A)), и аналогично столбцов ранга dim(C (А))\тусклый\большой(С(А)\большой)тусклый(С(А)).
Априори , эти числа не обязательно равны, но мы докажем, что они действительно равны.
Предположим, что ранг строки AAA равен rrr. Наш подход будет заключаться в создании rrr линейно независимых векторов в C(A)C(A)C(A). Это докажет, что dim(C(A))≥dim(R(A))\dim\big(C(A)\big) \ge \dim\big(R(A)\big)dim(C( А))≥dim(R(A)). Применяя тот же аргумент к транспонированию AAA, мы получаем обратное неравенство dim(R(A))≥dim(C(A))\dim\big(R(A)\big) \ge \dim\ big(C(A)\big)dim(R(A))≥dim(C(A)), отсюда и результат; это работает, потому что транспонирование просто меняет местами строки и столбцы. 9{r} c_i Tx_i = T(c_1 x_1 + \cdots + c_r x_r).0=i=1∑rciTxi=T(c1x1+⋯+crxr).
По построению мы знаем, что v=c1x1+⋯+crxrv= c_1 x_1 + \cdots + c_r x_rv=c1x1+⋯+crxr находится в пространстве строк AAA. Кроме того, поскольку Tv=0Tv = 0Tv=0, вычисления, сделанные в статье о пространствах строк и столбцов, предполагают, что vvv ортогонален каждой строке AAA. Но vvv является линейной комбинацией этих строк, поэтому vvv ортогонален самому себе; таким образом, v=0v = 0v=0.
