Матрицу возвести в степень: Онлайн калькулятор. Возведение матрицы в степень

Содержание

Математика для электро- и радиоинженеров

Андре Анго. Математика для электро — и радиоинженеров. (С предисловием Луи де Бройля). — М.: Издательство «Наука», 1967. — 780 с.

Главная задача книги — представить в удобной и доступной форме те основные математические сведения, которые должен иметь инженер со средней подготовкой, чтобы с пользой для себя читать статьи и работы, в которых рассматриваются достижения науки в области слабых и сильных токов.

Функции комплексной переменной, ряды и интегралы Фурье, векторное и тензорное исчисление, матричная алгебра, дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных в прямоугольных или криволинейных координатах, изучение важных функций, в частности бесселевых и Лежандра, операционный анализ, теория вероятностей и математическая статистика — таковы вопросы, рассматриваемые в данной работе.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.1.2. Сложение.
1.1.3. Умножение.
1.1.4. Замена обозначений.
1.1.5. Сопряженные комплексные числа.
1.1.6. Степень комплексного числа.
1.1.7. Корни из комплексного числа.
1.1.8. Корни из единицы.
1.1.9. Ряды с комплексными членами.
1.1.10. Степенные ряды.
1.1.11. Экспоненциальная функция и логарифм.
1.1.12. Дифференцирование и интегрирование по аргументу.
1.1.13. Суммирование тригонометрических функций, аргументы которых составляют арифметическую прогрессию.
1.2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ РАСЧЕТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ
1.2.2. Графическое изображение синусоидальной функции.
1.2.3. Представление с помощью комплексных чисел.
1.2.4. Ограничения метода.
1.2.5. Понятие комплексного полного сопротивления.

1.2.6. Комплексное полное сопротивление при последовательном и параллельном соединении.
1.2.7. Законы Кирхгофа.
1.2.8. Обобщение понятия комплексного полного сопротивления.
1.2.9. Комплексный вектор.
1.3. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.3.5. Криволинейный интеграл от функции комплексной переменной.
1.3.6. Теорема Коши.
1.3.8. Ряд Тейлора.
1.3.9. Особые точки.
1.3.10. Разложение в ряд Лорана.
1.3.11. Теорема о вычетах.
1.3.12. Вычисление вычетов.
1.3.13. Вычисление вычетов относительно кратных полюсов с помощью производных.
1.3.14. Лемма Жордана.
1.3.15. Применение леммы Жордана к единичной функции.
1.3.16. Интегрирование при наличии точки разветвления.
1.3.17. Контур Бромвича.
1.3.18. Интеграл Бромвича — Вагнера.
1.3.19. Эквивалентный контур.
1.3.20. Теорема о числе полюсов и числе нулей.
Применение теоремы о вычетах к вычислению некоторых определенных интегралов
1.3.25. Применение теоремы о вычетах к суммированию некоторых рядов.

1.4. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1.4.2. Несколько примеров конформных отображений.
1.4.3. Последовательные отображения.
1.4.4. Отображение Шварца.
1.4.5. Различные применения конформных отображений.
ГЛАВА II. РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
2.1. РЯД ФУРЬЕ
2.1.2. Разложение в ряд по ортогональным функциям.
2.1.3. Частные случаи.
2.1.4. Интегрирование и дифференцирование.
2.1.5. Случай, когда разложение в ряд Фурье ограничено первыми n членами.
2.1.6. Изучение разложения в ряд Фурье вблизи точки разрыва. Явление Гиббса.
2.1.7. Случай произвольного промежутка.
2.1.8. Ряды с комплексными членами.
2.1.9. Графическое представление. Спектр.
2.1.10. Среднее значение произведения двух функций одного периода, разложимых в ряд Фурье.

2.1.11. Распространение ряда Фурье на почти периодические функции.
2.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
2.2.2. Комплексная форма интеграла Фурье.
2.2.3. Применение к электрическим цепям.
2.2.4. Случай незатухающей цепи.

2.2.5. Спектр частот.
2.2.6. Единичная функция Хевисайда.
2.2.7. Пары функций.
2.2.8. Преобразование Фурье.
2.2.9. Физическая реальность интеграла Фурье.
2.2.10. Изучение диаграмм направленности.
ГЛАВА III. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
3.1.6. Векторы.
Операции над векторами
3.1.12. Скалярное произведение.
3.1.13. Векторное произведение.
3.1.14. Смешанное произведение трех векторов.
3.1.15. Двойное векторное произведение трех векторов.
3.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ
3.2.2. Производная вектора по другому вектору.
3.2.3. Основные формулы дифференцирования.
3.2.4. Интеграл от вектора.
Функции точки
3.2.11. Дивергенция и вихрь.
3.2.12. Оператор Лапласа.
3.2.13. Символический вектор набла (оператор Гамильтона).
3.2.14. Наиболее употребительные формулы.
3.2.15. Смысл вектора rot a.
3.2.16. Скалярный потенциал.
3.2.17. Частный случай: вектор проходит через фиксированную точку.

3.2.18. Векторный потенциал.
3.2.19. Общий случай векторного поля.
3.3. ВЕКТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.3.1. Циркуляция вектора.
3.3.2. Поток вектора.
Основные формулы
3.3.3. Теорема Остроградского.
3.3.4. Смысл скаляра div a.
3.3.5. Формула для градиента.
3.3.6. Формула для вихря.
3.3.7. Инвариантность градиента, дивергенции, вихря.
3.3.8. Формула Грина.
3.3.9. Формула Стокса.
Приложение векторного исчисления к теории электромагнитного поля

3.3.10. Электростатическое поле.
3.3.11. Магнитное поле постоянных токов.
3.3.12. Электромагнитное поле.
3.3.13. Закон Фарадея.
3.3.14. Закон Ампера.
3.3.15. Уравнения Максвелла.
3.3.16. Векторный потенциал магнитного поля, возбужденного током.
3.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
3.4.2. Дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах.
Важнейшие системы ортогональных криволинейных координат в пространстве
3.4.3. Система цилиндрических координат.

3.4.4. Система сферических координат.
3.4.5. Система параболических цилиндрических координат.
3.4.6. Система параболических координат вращения (параболоидальные координаты).
3.4.7. Система эллиптических цилиндрических координат.
3.4.8. Система вытянутых эллипсоидальных координат (вращения).
3.4.9. Система сплюснутых эллипсоидальных координат (вращения).

3.4.10. Система бицилиндрических координат.
3.4.11. Системы тороидальных и бисферических координат.
3.4.12. Система софокусных поверхностей второго порядка (система общих эллипсоидальных координат).
3.4.13. Приложение к уравнениям Максвелла. Уравнения Максвелла в ортогональных криволинейных координатах.
ГЛАВА IV. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. АЛГЕБРА МАТРИЦ
4.1.4. Представление плоских преобразований с помощью матриц.
4.1.5. Произведение двух матриц.
4.1.6. Представление вектора посредством матрицы.
4.1.7. Обобщение на n-мерное пространство.
4.1.8. Равенство двух матриц.
4.

1.9. Сложение двух матриц.
4.1.10. Умножение матрицы на число.
4.1.11. Умножение матриц.
4.1.12. Симметричные матрицы.
4.1.13. Кососимметричные матрицы.
4.1.14. Диагональные матрицы.
4.1.15. Единичная матрица. Нулевая матрица.
4.1.16. Порядок, ранг матрицы.

4.1.17. Необходимые условия равенства нулю произведения двух матриц.
4.1.18. Транспонированная матрица.
4.1.19. Обратная матрица.
4.1.20. Применение матричного исчисления к решению системы линейных уравнений.
4.1.21. Преобразование системы координат.
4.1.22. Ортогональное преобразование.
4.1.23. Пример ортогональных преобразований. Поворот.
Обобщение на комплексное пространство
4.1.24. Эрмитова матрица.
4.1.25. Эрмитово-сопряженная матрица.
4.1.26. Модуль и скалярное произведение в комплексном пространстве.
4.1.27. Ортогональное преобразование комплексного пространства (унитарное преобразование).
4.1.28. Собственные значения, собственные векторы и характеристическое уравнение матрицы.

4.1.29. Свойства характеристического уравнения.
4.1.30. Матрица, отнесенная к собственным направлениям.
4.1.31. Условия коммутативности двух матриц.
4.1.32. Собственные значения и собственные направления эрмитовой матрицы.
Функции от матриц
4.1.33. Степень матрицы.
4.1.34. Теорема Кэли-Гамильтона.
4.1.35. Функции от матриц. Теорема Сильвестра.
4.1.36. Формула Бэкера.
4.1.37. Высокие степени матрицы.
4.1.38. Дробная степень матрицы.
4.1.39. Приближенное вычисление собственных значений матрицы.
4.1.40. Приближенное вычисление корней уравнения n-й степени.
Дифференциальные операции над матрицами. Применение к решению дифференциальных уравнений
4.1.41. Дифференцирование и интегрирование матрицы.
4.1.42. Решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
4.1.43. Система дифференциальных уравнений первого порядка, с постоянными коэффициентами.
4.1.44. Случай линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

4.2. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ИЗУЧЕНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

4.2.2. Соединение четырехполюсников по цепной схеме.
4.2.3. Параллельное соединение четырехполюсников.
4.2.4. Последовательное соединение четырехполюсников.
4.2.5. Последовательно-параллельное и параллельно-последовательное соединение четырехполюсников.
4.2.6. Сопротивления холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника.
4.2.7. Пассивные четырехполюсники.
4.2.8. Симметричные четырехполюсники.
Примеры простых четырехполюсников
4.2.14. Трансформатор
4.2.15. Электронная лампа.
4.2.16. Повторное сопротивление четырехполюсника.
4.2.17. Случай пассивного четырехполюсника.
4.2.18. Цепные фильтры.
4.2.19. Полоса пропускания четырехполюсника.
4.2.20. Расчет свободных колебаний цепи.
4.2.21. Контуры с периодически меняющимися параметрами.
4.2.22. Матрицы в квантовой механике.
ГЛАВА V. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ
5.1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
5.

1.3. Ковариантные и контравариантные векторы.
5.1.4. Определение тензора.
5.1.5. Матричная форма формул преобразования координат.
5.1.6. Немой индекс.
5.1.7. Симметрия и антисимметрия.
5.1.8. Псевдоскаляры. Скалярная плотность и скалярная емкость.
5.1.9. Тензорная плотность и тензорная емкость.
5.1.10. Антисимметричный тензор второй валентности в трехмерном пространстве.
Операции над тензорами
5.3.11. Сложение двух тензоров.
5.1.12. Свертывание тензора.
5.1.13. Умножение тензоров.
5.1.14. Свертывание произведения.
5.1.15. Установление типа тензора.
5.2. ТЕНЗОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
5.2.2. Фундаментальный метрический тензор.
5.2.3. Преобразование определителя g фундаментального метрического тензора при преобразовании координат.
5.2.4. Выражение для элемента объема.
5.2.5. Косоугольная система координат на плоскости.
5.2.6. Ортогональные криволинейные координаты в трехмерном пространстве.
5.2.7. Случай произвольных криволинейных координат.

5.2.8. Контравариантные или ковариантные компоненты одного и того же вектора.
5.2.9. Изменение вариантности тензора.
5.2.10. Смешанный фундаментальный метрический тензор.
5.2.11. Случай прямолинейной прямоугольной системы координат.
Геометрическое представление контравариантных и ковариантных компонент вектора
5.2.12. Случай прямолинейной косоугольной системы координат.
5.2.13. Случай криволинейных координат.
5.2.14. Частный случай ортогональных криволинейных координат.
5.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Частный случай ортогональных криволинейных координат
5.3.9. Тензорная форма уравнений Максвелла.
5.4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
5.4.1. Элементы электрических цепей с сосредоточенными постоянными.
5.4.2. Метод составления уравнений для цепи наиболее общего вида.
5.4.3. Соединение цепей посредством проводников.
5.4.4. Соединение цепей посредством магнитопроводов.

5.4.5. Анализ эквивалентных цепей.
5.4.6. Цепи с внешним питанием.
5.5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
5.5.2. Диэлектрические свойства кристалла.
5.5.3. Матрицы преобразования для некоторых часто встречающихся систем координат.
Механические свойства кристалла
5.5.8. Применение шестимерного пространства.
5.5.9. Модуль Юнга.
Пьезоэлектричество
5.5.10. Электрическая поляризация.
5.5.11. Закон Кюри.
5.5.12. Пьезоэлектрические свойства кварца.
5.5.13. Распространение упругих волн в кристаллах.
5.5.14. Плоские волны.
ГЛАВА VI. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
6.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
6.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными.
6.1.3. Однородные уравнения.
6.1.4. Уравнение в полных дифференциалах.
6.1.5. Линейное уравнение.
6.1.6. Уравнение Бернулли.
6.1.7. Уравнение Риккати.
6.1.8. Уравнение Лагранжа.
6.1.9. Уравнение Клеро.
6.

1.10. Общий случай f(x,y,dy/dx)=0
6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
6.2.9. Уравнение Эйлера.
6.2.10. Интегрирование при помощи степенных рядов.
6.2.11. Некоторые теоремы о свойствах решений линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
6.3. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
6.3.1. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами, однородное относительно частных производных.
6.3.2. Уравнение с правой частью.
6.3.3. Уравнение колебаний струны.
6.3.4. Телеграфное уравнение.
6.3.5. Уравнение Лапласа.
6.3.6. Прямоугольная система координат.
6.3.7. Система цилиндрических координат.
6.3.8. Система сферических координат.
6.3.9. Система эллиптических цилиндрических координат.
6.3.10. Система параболических цилиндрических координат.
6.3.11. Другие системы координат.
6.

3.12. Уравнение Пуассона.
6.3.13. Решение уравнений Максвелла методом Бромвича.
6.3.14. Пример. Электромагнитные колебания в прямоугольной полости.
ГЛАВА VII. НАИБОЛЕЕ УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
7.0.1. Асимптотическое разложение.
7.1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7.1.2. Обратные гиперболические функции.
7.1.3. Приложение гиперболических функций к расчету длинных линий. Метод Броуна. Абаки Блонделя — Кеннеди.
7.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС И КОСИНУС
7.3. ФУНКЦИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОК
7.3.7. Интегралы Френеля.
7.4. ГАММА-ФУНКЦИЯ
7.4.2. Свойства гамма-функции.
7.4.3. Некоторые значения функции Г(z).
7.4.4. Логарифмическая производная гамма-функции.
7.4.5. Представление гамма-функции через интеграл Коши.
7.4.6. Связь между эйлеровыми интегралами первого и второго рода.
7.5. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Функции Бесселя первого и второго рода
7.5.6. Интегралы Ломмеля.
7.5.7. Соотношение между двумя функциями, индексы которых отличаются на целое число.

7.5.8. Применение интегралов Ломмеля к разложению в ряд по бесселевым функциям.
7.5.9. Бесселевы функции первого и второго рода с полуцелым индексом.
7.5.10. Применение бесселевых функций к вычислению интегралов Френеля.
7.5.11. Случай, когда индекс равен целому числу v=n
7.5.12. Представление Jv(z) через определенный интеграл.
7.5.13. Представление Jv(z) с помощью интеграла Коши.
7.5.14. Теорема сложения.
7.5.15. Бесселевы функции третьего рода или функции Ханкеля. Определение.
7.5.17. Нахождение численных значений бесселевых функций.
7.5.18. Асимптотические выражения для бесселевых функций при больших значениях аргумента.
7.5.19. Корни бесселевых функций.
Модифицированные бесселевы функции первого и второго рода
7.5.26. Модифицированная бесселева функция второго рода.
7.5.27. Асимптотические разложения.
7.5.28. Рекуррентные формулы.
Функции Кельвина
7.5.32. Функция Кельвина v-го порядка.
7.5.33. Представление функций Кельвина через модуль и аргумент.

7.5.34. Производные функций Кельвина.
Дифференциальные уравнения, решение которых может быть выражено через решение дифференциального уравнения Бесселя
Некоторые примеры применения бесселевых функций
7.5.38. Исследование решения волнового уравнения в цилиндрических координатах.
7.5.39. Колебания равномерно натянутой мембраны.
7.5.40. Случай круглой мембраны.
7.5.41. Собственные электромагнитные колебания резонатора, имеющего форму кругового цилиндра.
7.5.42. Распространение электромагнитной волны внутри бесконечного кругового цилиндра.
7.5.43. Случай коаксиального проводника.
7.5.44. Скин-эффект переменных токов, проходящих по цилиндрическому проводнику круглого сечения.
Таблицы бесселевых функций
7.6. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
7.6.3. Полиномы Лежандра.
7.6.4. Производящая функция полиномов Лежандра.
7.6.6. Представление полиномов Лежандра через определенный интеграл. Формула Лапласа.
7.6.8. Формула Родрига.
7.6.9. Ортогональность полиномов Лежандра.

7.6.10. Некоторые значения полиномов Лежандра.
7.6.11. Корни полиномов Лежандра.
7.6.12. Интеграл Шлефли.
7.6.13. Обобщение полиномов Лежандра. Полиномы Гегенбауера.
7.6.14. Функции Лежандра первого рода.
7.6.16. Корни функций Лежандра первого рода.
7.6.18. Определение функции Лежандра первого рода через интеграл Коши.
7.6.19. Функция Лежандра второго рода.
7.6.20. Определение функции Лежандра второго рода через интеграл Коши.
7.6.21. Присоединенные функции Лежандра.
7.6.22. Присоединенные функции Лежандра для целых положительных индексов.
7.6.24. Ортогональность присоединенных функций Лежандра.
7.6.25. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра.
7.6.26. Сферические гармоники.
7.6.25. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра.
7.6.31. Приложение функций Лежандра. Решение задачи об электромагнитных колебаниях сферического резонатора.
7.7. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
7.7.2. Ортогональность функций Матье первого рода.

Функции Матье: 7.7.3. Разложение в ряд Фурье.
Функции Матье: 7.7.4. Характеристическое уравнение.
Функции Матье: 7.7.5. Поведение функций …
7.7.6. Присоединенные функции Матье первого рода.
7.7.7. Функции Матье для произвольных а и q.
7.7.8. Разложение в ряды по бесселевым функциям.
7.7.9. Функции Матье второго рода.
7.8. ФУНКЦИИ ВЕБЕРА — ЭРМИТА. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
7.8.2. Полиномы Эрмита.
7.8.3. Производящая функция и ортогональность полиномов Эрмита.
7.9. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
7.9.3. Основные свойства полиномов Чебышева.
7.9.4. Фундаментальное свойство полиномов Чебышева.
7.9.5. Приложение.
ГЛАВА VIII. СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИЛИ ОПЕРАЦИОННОЕ, ИСЧИСЛЕНИЕ
8.1.3. Расчет переходных режимов.
8.1.4. Единичная ступень.
8.2. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ХЕВИСАЙДА
8.2.2. Вычисление переходной реакции.
8.3. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Правила операционного исчисления
8.3.10. Теорема свертывания, или теорема Бореля.
8.3.11. Различные формулы.

8.3.12. Теорема разложения Хевисайда.
8.3.13. Приложение теоремы разложения к электрическим цепям.
8.3.14. Случай переменного напряжения.
8.3.15. Случай кратных корней.
Преобразование некоторых употребительных функций
8.3.16. Оригиналы некоторых рациональных функций.
8.3.17. Изображения бесселевых функций целого порядка.
8.3.18. Изображение ln t.
8.3.19. Изображение интегральных косинуса и синуса.
8.3.20. Изображение функции ошибок.
8.3.21. Изображение единичного импульса
Применение формулы обращения
8.3.22. Теорема Меллина — Фурье.
8.3.23. Замечания о применении формулы обращения.
8.3.24. Обобщение теоремы разложения Хевисайда.
Изображения разрывных функций. Приложения
Таблица соответствия
8.4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЦЕПЯМ
8.4.2. Пример применения к системе двух связанных контуров.
8.4.3. Случай, когда цепь не находится в равновесии в начальный момент времени.
8.4.4. Электрические фильтры.

8.4.5. Фильтр нижних частот.
8.4.6. Фильтр верхних частот.
8.4.7. Фильтр нижних частот без искажений.
8.4.8. Усилители. Отрицательная обратная связь. Критерий Найквиста.
8.4.9. Расчет переходных явлений, вызванных размыканием или замыканием выключателя.
Распространение электрических возмущений вдоль линий передач
8.4.11. Бесконечная или замкнутая на волновое сопротивление линия.
8.4.12. Линия без потерь.
8.4.13. Линия без искажений.
8.4.14. Подземный кабель.
8.4.15. Линия с идеальной изоляцией.
8.4.16. Общий случай. Произвольная линия.
8.4.17. Линия передачи конечной длины.
8.4.18. Закороченная с одного конца линия с пренебрежимо малыми проводимостью изоляции и индуктивностью (подземный кабель).
8.4.19. Линия конечной длины без потерь, замкнутая на сопротивление.
8.4.20. Сопротивление, сосредоточенное в начале линии.
8.4.21. Повреждение на линии.
8.5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений
8.

5.3. Линейное дифференциальное уравнение с переменными алгебраическими коэффициентами (метод ван дер Поля).
Применение операционного исчисления к решению некоторых интегральных уравнений
8.5.5. Нелинейные интегральные уравнения.
8.5.6. Интегродифференциальные уравнения.
8.5.7. Применение операционного исчисления к исследованию функций.
8.5.8. Применение операционного исчисления к разложению в асимптотический ряд.
8.6. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
8.6.1. Замечания об операционном исчислении Хевисайда.
ГЛАВА IX. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ
9.1.1. Определение вероятности.
9.1.2. Независимые события. Теорема умножения вероятностей.
9.1.3. Несовместные события. Теорема сложения вероятностей.
9.1.4. Формула Стирлинга.
Законы распределения случайных величин
9.1.5. Дискретные случайные величины.
9.1.6. Непрерывные случайные величины.
9.1.7. Характеристическая функция.
9.1.8. Распределение системы двух случайных величин.
9.1.9. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин.

Основные законы распределения случайных величин
9.1.10. Биномиальный закон распределения.
9.1.11. Характеристическая функция биномиального закона.
9.1.12. Формула Лапласа. Нормальный закон распределения (закон Лапласа — Гаусса).
9.1.13. Характеристическая функция нормального закона распределения.
9.1.14. Теорема Бернулли.
9.1.15. Замечания о переходе от биномиального закона распределения к нормальному.
9.1.16. Закон распределения Пуассона.
9.1.17. Характеристическая функция и моменты закона распределения Пуассона.
9.1.18. Приложение к задачам автоматической телефонии.
9.1.19. Согласование наблюденных данных с теоретическим законом распределения.
9.1.20. Частный случай нормального закона распределения.
Ошибки измерений и способ наименьших квадратов
9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.
9.1.22. Способ наименьших квадратов.
9.1.23. Линейная комбинация ошибок.
9.1.24. Точность группы измерений.
9.1.

25. Наивероятнейшее значение меры точности.
9.1.26. “Вес” наблюдения.
9.1.27. Критерий ошибочного наблюдения.
9.1.28. Срединная (вероятная) ошибка функции.
9.1.29. Эмпирические формулы.
9.2. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
9.2.2. Функции распределения.
Проблема сходимости
9.2.4. Сходимость в смысле Бернулли.
9.2.5. Сходимость по вероятности.
9.2.6. Сходимость в среднем квадратическом (сходимость с. к.).
9.2.7. Почти достоверная сходимость.
Стационарные случайные функции. Изучение постоянных режимов
9.2.9. Изучение моментов второго порядка. Определение.
Общие свойства стационарных случайных функций второго порядка
9.2.10. Корреляционные функции.
9.2.11. Непрерывность. Дифференцируемость.
9.2.12. Энергетический спектр.
9.2.13. Передача энергии стационарной линейной системой.
9.2.14. Недостаточность рассмотрения моментов второго порядка и корреляционной функции.
Стационарные случайные функции Лапласа — Гаусса. Применение к чисто дробовому эффекту
9.

2.17. Флуктуации в нелинейных системах.
9.2.18. Вычисление корреляционной функции на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта постоянного тока.
ГЛАВА X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
10.1. РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
10.1.2. Метод Ньютона и метод пропорциональных частей
10.1.3. Метод итерации.
10.1.4. Приближенное решение системы двух уравнений.
10.2. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
10.2.1. Численное решение уравнений третьей и четвертой степени.
10.2.2. Схема Горнера.
10.2.3. Построение Лилла.
10.2.4. Способ Лагранжа.
10.2.5. Метод Лобачевского — Греффе — Данделена.
10.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
Приближение функции полиномами
10.3.2. Значения аргумента распределены неравномерно. Интерполяционный полином Лагранжа.
10.3.3. Значения переменной находятся в арифметической прогрессии. Таблица разностей.
10.3.4. Интерполяционный полином Ньютона.
10.3.5. Интерполяционный полином Стнрлинга.
10.3.6.

Интерполяционный полином Бесселя.
10.3.7. Области применения интерполяционных полиномов Ньютона, Стирлинга, Бесселя.
10.3.8. Верхний предел ошибки, совершаемой при применении интерполяционных формул Ньютона, Стирлинга, Бесселя.
10.3.9. Приближение линейной комбинацией функций, определенной с помощью критерия наименьших квадратов.
10.3.10. Приближение полиномом, определенным с помощью критерия наименьших квадратов.
Приближение отрезком ряда Фурье. Задача гармонического анализа
10.3.14. Приближение эмпирической функции линейной комбинацией показательных функций.
10.3.15. Приближение функции по Чебышеву.
10.3.16. Применение ряда Тейлора.
10.4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
10.5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
10.5.2. Полином Бернулли.
10.5.3. Формула Эйлера.
10.5.4. Формула трапеций.
10.5.5. Формула Симпсона.
10.5.6. Формула Уэддля.
10.5.7. Формула Грегори.
10.5.8. Введение в методы Ньютона — Котеса, Чебышева, Гаусса.
10.5.9.

Метод Ньютона — Котеса.
10.5.10. Метод Чебышева.
10.5.11. Метод Гаусса.
10.5.12. Применение интерполяционных полиномов Ньютона.
10.5.13. Исключительные случаи.
10.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
10.6.2. Приближенное интегрирование дифференциального уравнения первого порядка.
10.6.3. Решение с помощью ряда Тейлора.
10.6.4. Способ Адамса.
10.6.5. Сокращенный вариант.
10.6.6. Приближенное интегрирование системы дифференциальных уравнений первого порядка.
10.6.7. Использование ряда Тейлора.
10.6.8. Применение интерполяционного полинома Ньютона с нисходящими разностями.
10.6.9. Способ Пикара.
10.7. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
10.7.2. Графическое решение дифференциальных уравнений второго порядка способом радиусов кривизны.
10.8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
10.9. НОМОГРАММЫ
10.9.3. Номограммы с выравненными точками.
10.9.4. Номограммы с тремя параллельными прямолинейными шкалами.

10.9.5. Номограммы с двумя параллельными прямолинейными шкалами и одной криволинейной.
10.9.6. N-образная номограмма.
10.9.7. Номограмма с двумя криволинейными шкалами и одной прямолинейной
10.9.8. W-образная номограмма.
10.9.9. Z-образная номограмма.
10.9.10. Номограмма с тремя криволинейными шкалами.
10.9.11. Сложные номограммы.

Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования

Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования

Недавно на хабре появилась неплохая статья про вычисление N-ного числа фибоначи за O(log N) арифметических операций. Разумный вопрос, всплывший в комментариях, был: «зачем это может пригодиться на практике». Само по себе вычисление N-ого числа фибоначи может и не очень интересно, однако подход с матрицами, использованный в статье, на практике может применяться для гораздо более широкого круга задач.

В ходе этой статьи мы разберем как написать интерпретатор, который может выполнять простые операции (присвоение, сложение, вычитание и урезанное умножение) над ограниченным количеством переменных с вложенными циклами с произвольным количеством итераций за доли секунды (конечно, если промежуточные значения при вычислениях будут оставаться в разумных пределах). Например, вот такой код, поданный на вход интерпретатору:

loop 1000000000

a += 1

b += a

end

Незамедлительно выведет

a = 1000000000000000000000000000

b = 500000000000000000000000000500000000000000000000000000

несмотря на то, что если бы программа выполнялась наивно, интерпретатору необходимо было бы выполнить октиллион операций.

Я полагаю, что у читателя есть представление о том, что такое матрица, и что такое произведение матриц. В рамках этой статьи мы будем использовать исключетельно квадратные матрицы и полагаться на очень важное свойство умножения квадратных матриц — ассоциативность.

Для простоты ограничим наш интерпретатор четырьмя переменными — A, B, C и D. Для представления состояния интерпретатора в заданный момент будем использовать вектор размера пять, первые четыре элемента которого будут содержать значения четырех переменных соответственно, а последний будет на протяжении всей работы интерпретатора равен единице.

(A, B, C, D, 1)

В начале работы интерпретатора будем полагать значения всех переменных равными нулю.

(0, 0, 0, 0, 1)

Допустим, что первая операция в коде программы содержит строку

A += 5

Эффект этой команды заключается в том, что значение переменной A увеличится на пять, в то время как значения остальных трех переменных не изменятся. Это можно претставить в виде следующей матрицы:

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

5 0 0 0 1

Если посмотреть на нее, можно заметить, что она почти идентична единичной матрице (которая, как известно, при умножении любого вектора на нее не меняет его значения), за исключением последнего элемента в первом столбце, который равен пяти. Если вспомнить, как происходит умножение вектора на матрицу, можно понять, что значения всех элементов, кроме первого, не изменятся, в то время как значение первого элемента станет равно

v[0] * 1 + v[4] * 5

Так как v[0] содержит текущее значение в переменной A, а v[4] всегда равен единице, то

v[0] * 1 + v[4] * 5 = A + 5

Если вектор текущего состояния умножить на эту матрицу, полученный вектор будет соответствовать состоянию, в котором A на пять больше, что и требовалось.

Если матрицу поменять немного, убрав единицу в первом элементе первой строки:

0 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

5 0 0 0 1

Как и прежде, значения всех элементов кроме первого не изменятся, в то время как первый элемент станет равным v[4] * 5, или просто пяти. Умножение вектора текущего состояния на такую матрицу эквивалентно выполнению команды

A = 5

Посмотрим на такую матрицу:

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 0 0 1

Единственное отличие ее от единичной матрицы — это второй элемент в четвертой строке, который равен единице. Очевидно, что умножение вектора текущего состояния на эту матрицу не изменит значения в первом и последних трех элементах, в то время как значение второго элемента изменится на

v[1] * 1 + v[3] * 1

Так как v[1] содержит текущее значение переменной B, а v[3] содержит текущее значение переменной D, то умножение вектора состояния на такую матрицу эквивалентно выполнению команды B += D

Аналогично рассуждая можно понять, что умножение вектора состояния на следующую матрицу эквивалентно выполнению команды C *= 7

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 7 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

Перейдем к комбинированию команд. Пусть вектор v задает текущее состояние, матрица Ma соответствует команде A += 5, а матрица Mm соответствует команде A *= 7. Тогда, чтобы получить вектор r для состояния после выполнения этих двух команд, надо сначала умножить v на Ma, а затем на Mm:

r = v * Ma * Mm

Как и ожидается, умножение вектора начального состояния на эти две матрицы приводит в состояние, в котором a=35:

1 0 0 0 0 7 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

5 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 5 0 0 0 1 35 0 0 0 1

Рассмотрим другой пример — пусть вместо умножения на семь, мы просто хотим прибавить пять к A семь раз. 3

Мы вычисляем матрицу, соответствующую телу цикла, только один раз, после чего возводим ее в степень.

Рассмотренных примеров достаточно, чтобы начать работать над интерпретатором простого языка, поддерживающего присваивание, сложение, вычитание, умножение (только на константу) и циклы. Для этого мы научимся представлять любую такую программу в виде матрицы размера N+1 на N+1, где N — это количество переменных, которыми программа оперирует, после чего будем просто умножать вектор с начальным состоянием на эту матрицу.

Правила представления программы в виде матрицы очень просты:

Каждая отдельная команда представляется в виде матрицы, отличающейся от единичной одним элементом (или двумя для операции присваивания). Примеры таких матриц рассмотрены выше в этой статье.
Несколько подряд идущих команд представляются в виде матрицы, равной произведению матричного представления каждой отдельной команды.
Цикл представляется в виде матрицы, представляющей тело цикла, возведенной в степень количества итераций цикла.

Если у нас есть функция identity, возвращающая единичную матрицу:

def identity():

return [[1 if i == j else 0 for j in range(REGS + 1)] for i in range(REGS + 1)]

То фукнция, строящая матрицу для команды r1 += r2 (где r1 и r2 — переменные) может выглядеть так:

def addreg(r1, r2):

ret = identity()

ret[r2][r1] = 1

return ret

А для команды r += val (r — переменная, val — константа) вот так:

def addval(r, val):

ret = identity()

ret[REGS][r] = val

return ret

Функции для построения матриц других команд выглядят похоже — получается единичная матрица, в которой заменяется один элемент.

Интерпретатор без циклов теперь пишется очень просто — пусть матрица mat соответствует уже прочитанному коду. В начале она равна единичной матрице, потому что пустая программа не меняет состояния. Затем мы считываем команды по одной, разбиваем их на три элемента (левый операнд, оператор, правый операнд), и в зависимости от оператора домножаем матрицу, соответствующую всей программе, на матрицу, соответствующую текущей команде:

def doit():

mat = identity()

while True:

line = sys. stdin.readline().lower()

tokens = line.split()

if tokens[0] == ‘loop’:

# тут будет код для циклов

elif tokens[0] == ‘end’:

return mat

else:

r1 = reg_names.index(tokens[0])

try:

r2 = reg_names.index(tokens[2])

except:

r2 = -1

if tokens[1] == ‘+=’:

if r2 == -1: cur = addval(r1, long(tokens[2]))

else: cur = addreg(r1, r2)

elif tokens[1] == ‘-=’:

….

mat = matmul(mat, cur)

Осталось дело за малым — добавить поддержку циклов. Цикл возводит матрицу тела цикла в степень количества итераций цикла. Возведение в степень, как известно, требует только O(log N) операций, где N — это степень, в которую матрица возводится. Алгоритм возведения в степень очень прост:

Если степень равна нулю, вернуть единичную матрицу. 2N, и вернуть полученную матрицу, умноженную на M.

Так как каждые две итерации степень сокращается в двое, сложность такого алгоритма логарифмическая.

def matpow(m, p):

if p == 0: return identity()

elif p % 2 == 0:

tmp = matpow(m, p / 2)

return matmul(tmp, tmp)

else: return matmul(m, matpow(m, p — 1))

В интерпретаторе теперь осталось добавить одну строку:

…

if tokens[0] == ‘loop’:

cur = matpow(doit(), long(tokens[1]))

…

И интерпретатор готов.

Пример интерпретатора доступен на гитхабе. Весь код занимает меньше 100 строк.

Для теста скорости можно вернуться к уже упомянутым числам фибоначи. Например, такой код:

A = 1

B = 1

loop 100

C = A

C += B

A = B

B = C

end

Вычислит 101-ое и 102-ое числа фибоначи:

A = 573147844013817084101, B = 927372692193078999176

Замена 100 на 1000000 вычислит миллион первое и миллион второе числа за четыре секунды. Выполнение такой программы в лоб заняло бы гораздо больше, потому что программе приходится оперировать многотысячезначными числами. Если написать код, которому не приходится оперировать большими числами, например код для вычисления суммы арифметической прогрессии, приведенный в начале статьи, то количество итераций может уходить за рамки разумного, но код будет выполняться за доли секунды

loop 1000000000000000000000000000000000000000000000

a += 1

b += a

end

На практике этот подход может применяться, например, в оптимизирующих компиляторах, которые могут таким образом сворачивать циклы с большим количеством итераций, оперирующие на небольшом количестве переменных.

матриц — Возведение матрицы в бесконечную степень

Введение

В этом ответе мы рассмотрим

Как решить вопрос ОП, используя хитрое $D,N$-разложение.
Использование канонической формы Жордана для взятия бесконечных степеней матриц (а когда можно взять бесконечную степень?)
Бесконечные степени стохастических матриц.
Бесконечные степени матриц с использованием концепции обобщенных инверсий.
Введение в интервальные матрицы и краткое представление о том, почему изучение бесконечных степеней для таких матриц может помочь получить бесконечные степени для больших классов матриц.

Специальное наблюдение

Ваша матрица имеет вид $D+N$, где $D$ — диагональная матрица с элементами $[0,0,1,1,1]$ и $$ N = \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\ \фракция 23 &0&0&0&0\\ \фракция 13&0&0&0&0\\ 0&\фракция 37&0&0&0\\ 0&\фракция 47&0&0&0 \end{pматрица} $$ 92+Н+И) $$

по желанию. Вычислите это количество для ваших $D$ и $N$, чтобы увидеть, что вы получите.

Жордановая каноническая форма и условие N&S для сходимости мощности

Мы не использовали стандартный метод для решения этого вопроса. Действительно, то, что мы сделали, было относительно случайным: разбили матрицу на две части, которые легко возводятся в степень и чьи коммутативные свойства хороши.

Существует стандартный метод бесконечного возведения в степень: жордановая каноническая форма. 9k$ существует тогда и только тогда, когда для каждого собственного значения $\lambda$ оператора $A$

Либо $|\lambda|<1$, либо
$\lambda=1$, а $\lambda$ является правильным (т.е. алгебраическая и геометрическая кратности $\lambda$ как собственного значения $A$ совпадают) и доминирующим (т.е. каждое второе собственное значение $\mu \neq \lambda$ удовлетворяет $|\mu|<1$).

Это будет отражено в матрице Джордана $D+N$ следующим образом: каждый диагональный элемент либо имеет модуль меньше $1$, либо имеет $1$, где соответствующий элемент над $1$ равен $0 $.

Стохастические матрицы и матрицы с положительными элементами

Большой класс матриц, для которых можно установить и найти предел при некоторых условиях, это класс матриц со строго положительными элементами (все элементы $>0$). Здесь нам поможет теорема Перрона и Фробениуса.

Теорема[7] : Пусть $A$ — матрица со строго положительными элементами. Тогда существует положительное действительное число $r>0$ со следующим свойством: $r$ является собственным значением $A$ кратности $1$, и каждое другое собственное значение меньше $r$ по модулю. Кроме того, собственный вектор, соответствующий $r$, имеет строго положительные элементы. 9l$ имеют строго положительные элементы (неприводимые апериодические).

Этот замечательный результат используется при анализе цепей Маркова с конечным временем, переходные матрицы которых часто обладают предложенным свойством.

Отношение с обобщенными обратными

Обобщенные обратные — довольно интересная концепция, поскольку они могут существовать, даже если матрица необратима. Подробности см. в [2].

Определение. Говорят, что матрица $A$ имеет обобщенную обратную тогда и только тогда, когда существует матрица $X$ такая, что $$ А= АХА \quad ; \quad X = XAX\quad ; \quad AX = XA $$ все держать. {\#}$ уникален, если они выполнены, и называется обобщенным обратным к $A$. 9*$) Здесь определяется главный минор матрицы.
Подробнее о таких матрицах и их степенях см. в [3].
Интервальные матрицы
Очень интересная концепция — одна из интервальных матриц. Это матрицы, элементами которых являются не действительные числа, а на самом деле действительных интервалов . Они используются для доказательства результатов для матриц, элементы которых лежат в пределах изображенных интервалов. Например, $$ \begin{pматрица} 2 и 3\\ 4 и 5 \end{pматрица} \in\begin{pmatrix} [-1,3] & \{3\}\\ [2,5] & [1,5,7,65] \end{pматрица} $$ где $\in$ не означает «принадлежит», а означает «покрыт в» , так что результат для этой конкретной интервальной матрицы будет справедлив и для реальной матрицы. Мы будем использовать $[\cdot]$ для обозначения интервальной матрицы. 9п]Х$.
Оказывается, есть результаты, которые могут доказать сходимость степеней и для этих интервальных матриц, тем самым доказав сходимость степеней для многих матриц сразу. Некоторые из них обсуждаются в [1].
Критерии назвать сложно, но они очень эффективны и находят применение в компьютеризированной проверке устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (которые обычно лежат в некотором компактном интервале, отсюда необходимость интервального анализа) .
Ссылки
[1] Арндт, Ханс-Роберт; Майер, Гюнтер , Новые критерии полусходимости интервальных матриц , SIAM J. Matrix Anal. заявл. 27, № 3, 689-711 (2005). ЗБЛ1129.65029.
[2] Plemmons, R. J. , M-матрицы, ведущие к полусходящимся расщеплениям , Linear Algebra Appl. 15, 243-252 (1976). ЗБЛ0358.15016.
[3] Мейер, Карл Д. младший; Plemmons, R. J. , Сходящиеся степени матрицы с приложениями к итерационным методам для сингулярных линейных систем , SIAM J. Numer. Анальный. 14, 699-705 (1977). ЗБЛ0366.65017.
[4] Степень матрицы в жордановой форме
[5] Предельное распределение цепи Маркова
[6] Степени матриц
[7] Теорема Перрона-Фробениуса
Поднять квадратную матрицу в степени n в линейной алгебре с использованием NumPy в Python
Улучшить статью
Сохранить статью
Последнее обновление: 05 июня 2022 г.
Читать
Обсудить
Улучшить статью
Сохранить статью
В этой статье мы обсудим, как возвести квадратную матрицу в степень n в линейной алгебре в Python.
Метод numpy.linalg.matrix_power() используется для возведения квадратной матрицы в степень n. Он будет принимать два параметра. Первый параметр — это входная матрица, созданная с использованием массива NumPy, а второй параметр — это показатель степени n, который относится к степени, которая может быть равна нулю или ненулевым целым числам.
Синтаксис : numpy.linalg.matrix_power(input_numpy_matrix,n)
Параметры:
input_numpy_matrix — матрица.
n относится к целочисленному значению, которое увеличивает матрицу.
Возврат : Возвращает матрицу, возведенную в степень n
Пример 1
В этом примере мы создаем двумерный массив (матрицу) с 2 строками и 2 столбцами и возвращаем поднятую матрицу. в 0-й степени, матрица в 4-й степени и матрица в 5-й степени.
Python3
import numpy
from numpy.linalg import matrix_power

input_array = numpy.array([[ 3 , 4 ], [ 4 , 5 ]])

print (input_array)

print (matrix_power(input_array, 0 ))

print ()

print (matrix_power(input_array, 4 ))

print ()

print (matrix_power(input_array, 5 ))
Вывод:
93432 [[[[] [4 5]] [[1 0] [0 1]] [[1649 2112] [2112 2705]] [[13395 17156] [17156 21973]]
Пример 2
В этом примере мы создаем двумерный массив (матрицу) с 4 строками и 4 столбцами и возвращаем матрицу в 0-й степени, матрицу в 4-й степени и матрицу в 4-й степени.
No related posts.