Матрицы 5 порядка примеры: Определитель матрицы 5 порядка примеры с решением. Метод понижения порядка

Содержание

Теорема Лапласа (без доказательства) — ПриМат

Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.

Определение Пусть дана матрица $A \in M_{m \times n}(P).$ Возьмем в ней любые $i$ строк и $i$ столбцов, причем $i > 0$ и $i$ меньше минимального из $m$ и $n.$ Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу $i-$го порядка. Определитель этой матрицы называется минором $i-$го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.

Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка $$ \begin{vmatrix} -8 & -5 & 2 & 7 \\ 1 & 3 & -9 & -3 \\ 4 & -4 & -1 & 9 \\ -5 & 3 & -4 & 8 \end{vmatrix}.$$ Выберем, например, $2$-й и $4$-й столбцы и $1$-ю и $3$-ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор $2-$го порядка: $$ \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 28 = -17.

{S_1 + S_2}$, в котором $S_1$ — это сумма номеров строк, а $S_2$ — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.

Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка $$ \begin{vmatrix} -7 & 5 & 3 & -2 & 6 \\ 9 & -8 & 7 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 9 \\ -3 & 2 & -2 & -4 & -8 \\ 4 & 9 & 5 & -1 & 1 \end{vmatrix}.$$ Выберем в нем, к примеру $1-$ю и $4-$ю строки, а также $2-$й и $5-$й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор $2-$го порядка $$ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = -40-12 = -52.$$ Дополнительным минором к нему будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 9 + 0-140 + 12 + 0 + 225 = 106.$$ Наконец, алгебраическим дополнением к минору будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \cdot (-1)^{(1 + 4) + (2 + 5)} = 106 \cdot (-1)^{12} = 106,$$ где степени $-1$ являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в $1-$й и $4-$й строках и во $2-$м и в $5-$м столбцах.

Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.

Теорема (Лапласа) Если в определителе порядка $m$ выбрать $i$ строк (столбцов), где $i > 0$ и $i < m,$ то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь $i-$й порядок.

Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя $m-$го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков ($i$), что упрощает нам задачу.

Следствием (а также частным случаем, для которого $i = 1$) из теоремы Лапласа является Теорема о разложении определителя по строке.

Пример 4 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{pmatrix}.$$ Разложим определитель этой матрицы по теореме Лапласа, выбрав $1-$ю и $3-$ю строки: $$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (1 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (1 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -6 & 5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (3 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 9 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 7 \\ -3 & -6 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -5 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^7 \cdot (12-0) \cdot (0 + 25) +$$ $$+ (-1)^8 \cdot (3-0) \cdot (0-30) + (-1)^9 \cdot (6-0) \cdot (35 + 12) +$$ $$+ (-1)^{10} \cdot (10-36) \cdot (-5 + 6) + (-1)^{11} \cdot (12-9) \cdot (6 + 21) +$$ $$+ (-1)^9 \cdot (5-24) \cdot (0-15) = -(12 \cdot 25)-3 \cdot 30-6 \cdot 47-26 \cdot 1-3 \cdot 27-$$ $$-(19 \cdot 15) = -300-90-282-26-81-285 = -1064. $$

Как мы могли заметить, для нахождения определителя $4-$го порядка нам понадобилось искать лишь определители $2-$го порядка, что намного легче. Разберем этот пример подробнее.

Для начала, вторым множителем каждого слагаемого является минор, расположенный в выбранных в начале решения строках. Мы берем все существующие в данных строках миноры. Далее, первым множителем каждого слагаемого является $(-1)$ в степени, которая является суммой номеров строк и столбцов, в которых расположен соответствующий минор. Третьим же множителем является дополнительный минор к соответствующему. Произведение дополнительного минора и $(-1)$ в соответствующей степени образует алгебраическое дополнение к своему минору.

Таким образом мы расписываем все миноры, находящиеся в выбранных строках, умножаем на их алгебраические дополнения и суммируем полученные произведения. После этого решаем полученное выражение, приходя к ответу, который является значением определителя исходной матрицы.

Пример 5 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & -6 & 4 \\ -5 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}. {10} \cdot (-2-60) \cdot (120-0) = -67 \cdot 47-89 \cdot 110 + 23 \cdot 28 + 169 \cdot 60-$$ $$-3 \cdot 36-62 \cdot 120 = -3149-9790 + 644 + 10140-108-7440 = -9703. $$

[свернуть]

А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 3, §3, «Упражнения» (стр. 150)
Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 1, §6, «Вычисление определителей» (стр. 51)
Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.

Тест на проверку знаний о теореме Лапласа и определений, необходимых для формулировки данной теоремы.

Определение матрицы идентичности — веб-формулы

· Изгиб векторного поля
· Дивергенция векторного поля
· Градиент скалярного поля
· Свойства транспонирования
· Транспонирование матрицы

· Декартова координата
· Цилиндрическая координата
· Сферическая координата
· Преобразование декартовой системы координат в цилиндрическую
· Преобразование декартовой системы координат в сферическую
· Преобразование цилиндрической системы координат в декартову
· Преобразование сферической системы координат в декартову
· Теорема о дивергенции/теорема Гаусса
· Теорема Стокса
· Определение матрицы

Текущее местоположение > Математические формулы > Линейная алгебра > Определение матрицы идентичности

Квадратная матрица, в которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы — 0, называется матрицей идентичности. Матрица идентичности также называется Матрица единиц или Элементарная матрица . Матрица идентичности обозначается буквой « I _n×n», где n×n представляет собой порядок матрицы. Одним из важных свойств матрицы идентификации является: A × I _{N × N} = A , где A Any Square Square is Any Squaric .

Примеры идентификационной матрицы

— единичные матрицы порядка 1×1, 2×2, 3×3,………… n×n.

Пример 1: Приведите пример идентичности заказа 4×4 или единичной матрицы.
Решение:

Мы знаем, что единичная матрица или единичная матрица — это матрица со всеми «единицами» на главной диагонали, а остальные элементы — «нули». Таким образом, идентичность порядка 4×4 или единичная матрица может быть записана следующим образом:
Пример 2: Является ли следующая матрица матрицей идентичности?

Решение:
Нет, данная матрица не является единичной матрицей, потому что единичная или единичная матрица является квадратной матрицей. В этом случае A — это матрица порядка 3×4, которая не является квадратной матрицей.
Пример 3: Является ли следующая матрица единичной матрицей?

Решение:
Нет, данная матрица не является единичной матрицей, поскольку единичная матрица должна содержать только значение 0 помимо диагональных значений 1.

Пример 4: Каково произведение матрицы A на единичную матрицу 5-го порядка, если A является квадратной матрицей 5-го порядка?
Решение :
Мы знаем, что единичная матрица удовлетворяет условию A × I _n×n = A , где A 0025 — любая квадратная матрица порядка n×n . Поэтому умножение матрицы 5 × 5 A на единичную матрицу порядка 5 равно A .
youtube.com/v/pCIObOoSi50&hl=en_US&fs=1&color1=0x006699&color2=0x54abd6″ allowscriptaccess=»always» allowfullscreen=»true»>
Диагональная матрица — определение, пример, инверсия и часто задаваемые вопросы
Матрица определяется как прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах. Размер матрицы можно определить по количеству строк и столбцов в ней. Говорят, что матрица представляет собой матрицу «m на n», если она имеет «m» строк и «n» столбцов и записана как матрица «m × n». Например, порядок матрицы, состоящей из пяти строк и четырех столбцов, равен «5 × 4». У нас есть различные типы матриц, такие как прямоугольные, квадратные, треугольные, симметричные, сингулярные и т. Д. Изображение, приведенное ниже, представляет собой матрицу размера m × n, которая имеет «m» строк и «n» столбцов.
Что такое диагональная матрица?
Диагональная матрица — это квадратная матрица, в которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю. Он является как верхним, так и нижним треугольным, так как все элементы, кроме элементов главной диагонали, являются нулями. Квадратная матрица «A = [a _ij]» называется диагональной матрицей, если a _ij = 0, когда i ≠ j. Приведенная ниже матрица представляет собой диагональную матрицу порядка «5 × 5».

Примеры диагональной матрицы
Some common examples of diagonal matrices of different orders are given below:
Diagonal Matrix of order (3 × 3)

Diagonal Matrix of order (4 × 4)

Свойства диагональной матрицы
Ниже приведены свойства сингулярной матрицы:
Каждая диагональная матрица является квадратной матрицей, т. е. матрицей, имеющей равное количество строк и столбцов.
Скалярные матрицы, единичные матрицы и нулевые матрицы являются примерами диагональных матриц, поскольку их неглавные диагональные элементы являются нулями.
Результирующая матрица суммы двух диагональных матриц также является диагональной матрицей.
Результирующая матрица произведения диагональных матриц также является диагональной матрицей, где главные диагональные элементы результирующей матрицы являются произведениями соответствующих элементов исходных матриц.
Если  и , то .
Диагональная матрица является симметричной матрицей, так как транспонирование диагональной матрицы является той же самой матрицей.
Если — диагональная матрица, то, т. е. D = D ^T .
Диагональная матрица является симметричной матрицей, так как транспонирование диагональной матрицы является той же самой матрицей.
Если и  являются двумя диагональными матрицами, то
Блочная диагональная матрица
Термин «блочная матрица» относится к матрице, которая разделена на блоки. В таких матрицах недиагональные блоки являются нулевыми матрицами, тогда как главные диагональные блоки являются квадратными матрицами. Матрица «A = [a _ij ]» называется блочно-диагональной матрицей, когда a _ij = 0, для i ≠ j, т. е. когда недиагональные блоки равны нулю.
Определитель диагональной матрицы
Определитель диагональной матрицы равен произведению ее главных диагональных элементов.
Если,
|D| = ₁₁ × ₂₂ × ₃₃ .
Обратная диагональная матрица
Обратная диагональная матрица также является диагональной матрицей, элементы главной диагонали которой являются обратными величинами соответствующих элементов исходной матрицы.
Если , то .
Антидиагональная матрица
Антидиагональная матрица или недиагональная матрица называется зеркальным отображением диагональной матрицы в отношении размещения элементов. В антидиагональной матрице все элементы равны нулю, кроме диагональных (не главной диагонали) элементов от верхнего правого края до нижнего левого края. Приведенная ниже матрица представляет собой антидиагональную матрицу порядка «3 × 3».
Также проверьте
Minors and Cofactors of Determinants
Adjoint of a Matrix
Determinant of a Matrix
Solved Examples on Diagonal Matrix
Example 1: If   , then prove that A = A ^T .
Решение:
Данная матрица, A =
= A
Итак, A = A ^T
Отсюда доказано.
Пример 2: Найдите определитель матрицы, приведенной ниже.
Решение:
Данная матрица, D =
Мы можем заметить, что данная матрица является диагональной матрицей. Мы знаем, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее главных диагональных элементов.
Итак, |D| = -5 × 0 × 14 = 0
Следовательно, определитель данной матрицы равен 0.
Пример 3: Найдите обратную матрицу, приведенную ниже.
Решение:
Мы можем заметить, что данная матрица является диагональной матрицей. Мы знаем, что матрица, обратная диагональной, получается заменой элементов главной диагонали на обратные величины соответствующих элементов исходной матрицы, а остальные элементы остаются прежними.
Итак,  .
Пример 4. Докажите, что A + B = B + A, если и .
Решение:
Даны матрицы,
Итак, А + В = В + А
Следовательно, доказано.
Часто задаваемые вопросы о диагональной матрице
Вопрос 1.

No related posts.