Матрицы определитель 2 порядка: Определители второго и третьего порядков

Определители квадратных матриц

К оглавлению

I. Определитель матрицы первого порядка

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент, называется элемент  а₁₁:

.

II. Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

.

Например, пусть

.

III. Определитель матрицы третьего порядка

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение.

Замечание. Вычисление определителей четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как

·        для нахождения определителя первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя,

·        для нахождения определителя второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей,

·        для нахождения определителя третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей,

·        для нахождения определителя четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т. д.

Определить количество слагаемых в алгебраической сумме, можно вычислив факториал:

Вычисление определителя четвертого порядка приводит к большим вычислениям. Поэтому в этом случае используют искусственные методы, о которых мы остановимся позже.

IV. Примеры для самостоятельного решения

А. Вычислить определитель второго порядка:

Б. Вычислить определитель третьего порядка:

В. Решить уравнение:

К оглавлению

Определители 2-го, 3-го и n-го порядков, их свойства и методы вычисления.

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определителем третьего порядка называется число, задаваемое равенством

Понятие определителя может быть введено для квадратной матрицы любого порядка n:

Для вычисления определителей n-го порядка () на практике применяется многократное разложение этих определителей по строке (столбцу), что позволяет уменьшать каждый раз порядок вычисляемых определителей на единицу.

Вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению алгебраической суммы трех определителей 2-го порядка

Свойства определителей

Свойство 1. Если все строки определителя заменить на столбцы с теми же номерами, то определитель не изменится

Свойство 2. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный (абсолютная величина определителя при этом не меняется)

Свойство 3. Если в определителе есть две одинаковые строки (столбца), то такой определитель равен нулю

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя

Свойство 5. Если все элементы некоторого строки (столбца) определителя равны нулю, то этот определитель равен нулю

Свойство 6. Если все элементы одной строки (столбца) пропорциональны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю

Свойство 7. Если каждый элемент некоторой строки определителя равен сумме двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей, у первого из которых элементы этой строки – первые слагаемые, а у второго определителя – вторые слагаемые

Свойство 8. Если каждому элементу некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число, то определитель не изменится

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Пусть дана система

(1.3)

где х_1, х₂ – переменные, а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ – коэффициенты (первый индекс соответствует номеру уравнения, второй – номеру переменной),

b₁, b₂ – свободные члены.

Решением системы (1.3) является пара чисел (х_1, х₂), подстановка которых в оба уравнения системы обращает эти уравнения в верные равенства.

Теорема Крамера (в случае n = 2). Если определитель системы (1.3) не равен нулю,   0, то система (1.3) имеет единственное решение , где

. (1.4)

Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пусть дана система трех уравнений с тремя неизвестными:

(1.5)

Определителем системы (1.5) является определитель

а дополнительными определителями являются определители

Теорема Крамера (в случае n = 3). Если определитель системы (1.5) не равен нулю,   0, то система (1. 5) имеет единственное решение , где

. (1.6)

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Теорема Крамера остается верной для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть дана система n уравнений с n неизвестными:

(1.7)

Определителем системы (1.7) является определитель

а дополнительные определители получается из определителя  заменой столбца коэффициентов при неизвестном x_i на столбец свободных членов.

Теорема Крамера (в случае произвольного значения n). Если определитель системы (1.7) не равен нулю,   0, то система (1.7) имеет единственное решение , где

3. Векторы и линейные операции над нами. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях. Разложение вектора по базису, декартова система координат. Координаты вектора и точки. Простейшие задачи, в которых вычисляются: длина вектора; его направляющие косинусы; расстояние между точками; координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

Вектором называется направленный отрезок

Линейные операции над векторами

Произведением вектора на число (скаляр) λ называется новый вектор, имеющий длину и направленный одинаково с при λ > 0 или направленный противоположно с при λ < 0.

Для сложения двух векторов и применяют правило параллелограмма или правило треугольника Для сложения трех некомпланарных векторов применяют правило параллелепипеда.

В общем случае для сложения любого числа векторов применяют правило многоугольника

Разностью векторов и называется третий вектор (=–), который нужно сложить с вектором , чтобы получить вектор

Проекцией вектора на ось называется число, равное произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью, т.

е.

Если угол – острый, то , если – тупой , то

Свойства проекций

1. .

_2.

Определитель матрицы

Определитель — это специальное число , которое можно вычислить по матрице.

Матрица должна быть квадратной (одинаковое количество строк и столбцов), как эта:

Матрица
(у нее 2 строки и 2 столбца)

Вычислим определитель этой матрицы:

3×6 − 8×4
= 18 − 32
= −14

Полегче, а? Вот еще пример:

Пример:

Символ для определителя представляет собой две вертикальные линии с каждой стороны, например:

|B| = 1×4 − 2×3
= 4 − 6
= −2

(Примечание: это тот же символ, что и абсолютное значение.)

Для чего это?

Определитель помогает нам найти обратную матрицу, рассказывает нам о матрице, что полезно в системах линейных уравнений, исчислении и многом другом.

Вычисление определителя

Прежде всего, матрица должна быть квадрат (т.е. иметь такое же количество строк, как и столбцов). Тогда это просто арифметика.

Для матрицы 2×2

Для матрицы 2×2 (2 строки и 2 столбца):

Определитель:

|А| = ad − bc
«Определитель A равен a, умноженному на d минус b, умноженному на c»

Легко вспомнить, когда думаешь о кресте: Синий положительный (+реклама), Красный отрицательный (−bc)

Пример: найти определитель

Отвечать:

|C|= 4×8 − 6×3

 = 32 − 18

 = 14

Для матрицы 3×3

Для матрицы 3×3 (3 строки и 3 столбца):

А =

абв деф ги

Определитель:

|А| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
«Определитель A равен . .. и т.д.»

Это может показаться сложным, но есть шаблон :

Чтобы вычислить определитель матрицы 3×3 :

• Умножьте на на определитель матрицы 2×2 , который равен не в строке или столбце .
• Аналогично для b и для c
• Суммируйте их, но помните минус перед б

Как формула (помните, что вертикальные черточки || означают «детерминант») :

«Определитель A равен a, умноженному на определитель … и т.д.»

Пример:

Д =

611 4−25 287

|Д| = 6×(−2×7 − 5×8) − 1×(4×7 − 5×2) + 1×(4×8 − (−2×2))

 = 6×(−54) − 1×(18) + 1×(36)

 = −306

Для матриц 4×4 и выше

Шаблон продолжается для матриц 4×4:

• плюс определитель матрицы, который равен а не в строке или столбце,
• минус b , умноженный на определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце b ,
• плюс c умноженный на определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце c ,
• минус d , умноженный на определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце d ,

В виде формулы:

Обратите внимание на шаблон +-+- (+a. .. -b… +c… -d…). Это важно помнить.

 

Паттерн продолжается для матриц 5×5 и выше. Обычно для этого лучше всего использовать матричный калькулятор!

 

Не единственный способ

Этот метод расчета называется «расширение Лапласа», и мне он нравится, потому что его легко запомнить. Но есть и другие методы (чтобы вы знали).

Резюме

• Для матрицы 2×2 определитель равен ad — bc
• Для матрицы 3×3 умножьте a на определитель матрицы 2×2 , который равен , а не в строке или столбце a , аналогично для b и c , но помните, что b имеет отрицательный знак!
• Шаблон продолжается для больших матриц: умножьте на на определитель матрицы , то есть , а не в строке или столбце на , продолжайте таким же образом по всей строке, но помните + — + — шаблон.

 

718 2390 2391 2392 8477 719 2393 8478 8479 8480

Определители матриц высшего порядка

Определители матриц высшего порядка

Как мы уже говорили ранее, идея состоит в том, чтобы предположить, что предыдущие свойства, которым удовлетворяет определитель матриц 2-го порядка, в общем случае остаются в силе. Другими словами, мы предполагаем:

1.

Любая матрица A и ее транспонирование имеют один и тот же определитель, т.е.

2.

Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

3.

Если поменять местами две строки, определитель новой матрицы будет противоположен старому.

4.

Если мы умножим одну строку на константу, определитель новой матрицы будет определителем старой, умноженным на константу.

5.

Если мы добавим одну строку к другой, умноженной на константу, определитель новой матрицы будет таким же, как у старой.

6.

У нас есть

В частности, если A обратимо (что происходит тогда и только тогда, когда ), тогда

Итак, давайте посмотрим, как это работает в случае матрицы порядка 4.

Пример. Оценить

У нас есть

Если мы вычтем каждую строку, умноженную на соответствующее число, из первой строки, мы получим

Первый ряд не трогаем и работаем с остальными рядами. Меняем местами второе с третьим, чтобы получить

Если мы вычтем каждую строку, умноженную на соответствующее число, из второй строки, мы получим

Используя предыдущие свойства, мы имеем

Если мы умножим третью строку на 13 и прибавим к четвертой, то получим

что равно 3. Сложив все числа вместе, получим

Эти расчеты кажутся довольно длинными. Позже мы увидим, что общая формула для определителя существует.

Пример. Оценить

В этом примере мы не будем приводить детали элементарных операций. У нас есть

Пример. Оценить

У нас есть

Общая формула определителя Пусть A — квадратная матрица порядка n. Напишите A = ( a _ij ), где a _ij — запись в строке номер i и столбце номер j, для а также . Для любых i и j , установите A _ij (называемые кофакторами ) в качестве определителя квадратной матрицы порядка (n-1), полученной из A удалением строки с номером i и номер столбца j, умноженный на (-1) ^{i + j} . У нас есть

для любых фиксированных i и

для любого фиксированного j . Другими словами, у нас есть два типа формул: по строке (число и ) или по столбцу (номер и ). Подойдет любая строка или любой столбец. Хитрость заключается в использовании строки или столбца с большим количеством нулей.
В частности, у нас по рядам

или же

или же

В качестве упражнения напишите формулы по столбцам.

Пример. Оценить

Мы будем использовать общую формулу по третьей строке. У нас есть

Какой метод вычисления определителя проще? Ответ зависит от человека, который оценивает определитель. Кому-то нравятся элементарные операции со строками, а кому-то нравится общая формула. Все, что имеет значение, это получить правильный ответ.

Заметим, что все вышеперечисленные свойства остаются в силе и в общем случае. Также следует помнить, что понятие определителя существует только для квадратных матриц.

[Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра]

S.O.S MATH: Домашняя страница

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.