Матрицы определитель задачи: Как найти определитель матрицы, примеры

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить размерность следующих матриц:

.

2. Найти если .

3. Найти и установить, существует ли , если

.

4. Найти если .

5. Показать, что если .

6. Решить матричное уравнение

где .

7. Показать, что ,

где – единичная матрица.

8. Дано,  .

Найти и показать, что

.

1.2. Определитель матриц

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц . Определитель обозначается или .

Определитель первого порядка матрицы равен ее элементу, т.

е. .

Определителем второго порядка матрицы называется число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, т. е.

. (1.1)

Определителем третьего порядка матрицы называется число, вычисляемое по формуле

. (1.2)

Чтобы составить выражение (1.2), используют символическое правило треугольников (правило Саррюса):

Минором элемента квадратной матрицы А п-го порядка называется число, равное определителю (п-1)-го порядка матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число, равное

.

Определителем п-го порядка матрицы называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

, (1. 3)

или

. (1.4)

Формулы (1, 3), (1, 4) называются формулами Лапласа разложения определителя по элементам i-й строки, j-го столбца соответственно.

Определитель матрицы не зависит от выбора строки (столбца), по которой идет разложение.

Основные свойства определителей

1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании, т. е.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

3. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы можно вынести за знак ее определителя.

4. Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

5. Определитель матрицы не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

6. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т. е. .

Примеры

7. Вычислить определитель второго порядка

.

Р е ш е н и е. Вычислим определитель по формуле (1.1). Имеем

8. Вычислить определитель второго порядка

.

Р е ш е н и е. Используем свойство 3 определителей и формулу (1.1). Имеем

.

9. Вычислить определитель третьего порядка

1. по правилу треугольников;

2. по формуле Лапласа.

Р е ш е н и е. 1. По формуле (1.2) непосредственно находим

2. Разложим определитель по элементам первой строки. Тогда из формулы (1.3) следует

.

10. Показать, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:

.

Р е ш е н и е. Применим последовательно формулу (1.4) разложения определителя по элементам первого столбца.

Имеем

.

В частности, определитель единичной матрицы равен единице, .

Задачи. Матрицы. Вычисление определителей

Контрольная работа

• формат xls
• размер 438.5 КБ
• добавлен 17 июля 2011 г.

Вычисление определителя матрицы А методом диагоналей.

Вычисление определителя матрицы А методом треугольников.
Вычисление определителя матрицы А с помощью элементарных преобразований.
Вычисление определителя матрицы В, раскрывая его по элементам любой строки.
Вычисление определителя матрицы С, раскрывая его по элементам любого столбца.
Вычисление определителя матрицы средствами MS EXCEL.
Для решения задач необходимо ввести исходные данные и подкорректировать текстовые пояснения в соответствии с цветными подсказками. В зависимости от уровня владения Microsoft Excel это займёт несколько минут. Текст размером 14 п отформатирован на полуторный интервал.

Смотрите также

Контрольная работа

• формат xls
• размер 718.5 КБ
• добавлен 17 июля 2011 г.

Произведение двух квадратных матриц. Транспонированная матрица. Умножение элементов матрицы на число. Сумма (разность) матриц. Получение транспонированной матрицы в MS EXCEL. Нахождение произведения двух матриц в MS EXCEL. Для решения задач необходимо ввести исходные данные и подкорректировать текстовые пояснения в соответствии с цветными подсказками. В зависимости от уровня владения Microsoft Excel это займёт несколько минут. Текст размером 14 п…

Контрольная работа

• формат xls
• размер 572 КБ
• добавлен 17 июля 2011 г.

Найти обратную матрицу, используя транспонированную матрицу. Найти обратную матрицу методом Гаусса. Нахождение обратной матрицы в MS EXCEL. Для решения задач необходимо ввести исходные данные и подкорректировать текстовые пояснения в соответствии с цветными подсказками.

В зависимости от уровня владения Microsoft Excel это займёт несколько минут. Текст размером 14 п отформатирован на полуторный интервал.

Контрольная работа

• формат xls
• размер 88.5 КБ
• добавлен 17 июля 2011 г.

Нахождение ранга матриц размером 3х3 и 4х4. Для решения задач необходимо ввести исходные данные и подкорректировать текстовые пояснения в соответствии с цветными подсказками. В зависимости от уровня владения Microsoft Excel это займёт несколько минут. Текст размером 14 п отформатирован на полуторный интервал.

Контрольная работа

• формат rtf
• размер 1.72 МБ
• добавлен 02 ноября 2011 г.

МИЭП, 3 курс, 2011 год. Задание 1: модель Леонтьева, нахождение матрицы полных и прямых затрат. Задание 2: методы линейного программирования, нахождение оптимального плана геометрическим и симплекс-методами. Формулировка двойственной задачи. Задание 3: платежная матрица игры 2 лиц. Нахождение оптимальной стратегии и цены игры. Задание 5: теория массового обслуживания, анализ работы операторов, пребывания клиентов в очереди.

Курсовая работа

• формат doc
• размер 152.14 КБ
• добавлен 14 ноября 2011 г.

Оренбургский государственный университет, финансово-экономический ф-т, кафедра МММЭ, Оренбург, 2001 г., 29 стр. Содержание. Задание. Введение. Исследование на мультиколлинеарность. Метод главных компонент. Вычисление главных компонент. Экономическая интерпретация полученных главных компонент. Матрица наблюденных значений главных компонент. Классификация объектов. Уравнение регрессии на главные компоненты. Факторный анализ. Преобразование матрицы…

Статья

• формат doc
• размер 273 КБ
• добавлен 29 ноября 2008 г.

Матрицы, определители матриц, системы линейных уравнений, аналитическое задание прямой на плоскости, векторное пространство, задачи векторной алгебры, примеры решения задач на матрицах, решение систем линейных уравнений.

• формат doc
• размер 2.95 МБ
• добавлен 28 декабря 2011 г.

Учебно-методический комплекс дисциплины. – Красноярск: КФ МЭСИ, 2004, — 120 с. В учебно-методическом комплексе представлены основные разделы дисциплины «Высшая математика», необходимой для успешного усвоения дальнейших глав математики, а также общетеоретических специальных дисциплин в области экономики, статистики и бизнеса, менеджмента и информационных технологий. Содержание Введение Программы, цель и задачи дисциплины, сфера профессионального…

Контрольная работа

• формат docx
• размер 44.22 КБ
• добавлен 25 апреля 2011 г.

Расчетно-графическая работа. по дисциплине: Теория игр и исследование операций «Решение задачи ЛП симплекс-методом» Задача решена двумя способами: с помощью программы Mathcad и «вручную» симплекс-методом для заданной матрицы выигрышей размерностью 4х4. В симплекс методе: Определено максимальное значение целевой функции F(X) = x1 + x2 + x3 + x4 при заданных ограничениях. Найдено оптимальное решение, минимаксная и максиминные стратегии игроков.rn…

• формат doc
• размер 3.74 МБ
• добавлен 13 декабря 2010 г.

Учебник, В 2-х ч. Часть 1. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 224 с.: ил. Содержание курса охватывает вопросы линейной алгебры и ее приложений в экономике. В учебнике подробно изложены следующие вопросы: арифметические векторы и системы линейных уравнений, матрицы и определители, линейные экономические модели, элементы аналитической геометрии, метод наименьших квадратов, решение общей задачи линейного программирования, теория двойственности. Для…

• формат djvu
• размер 1.55 МБ
• добавлен 10 сентября 2009 г.

Учебник. В 2-х ч. Часть 1. — М.: «Финансы и статистика», 2000. — 224 с. Первая часть курса охватывает вопросы линейной алгебры и ее приложений в экономике. В учебнике подробно изложены следующие вопросы: арифметические векторы и системы линейных уравнений, матрицы и определители, линейные экономические модели, элементы аналитической геометрии, метод наименьших квадратов, решение общей задачи линейного программирования, теория двойственности. Во…

linear_алгебра: определители

• Определители

  • Формулы

  • Геометрическая интерпретация

  • Свойства

  • Приложения

  • Упражнения

  • Ссылки

Определитель матрицы, обозначается $\det(A)$ или $|A|$, — это особый способ умножения элементов матрицы и получения одного числа. Операция определителя принимает квадратную матрицу в качестве входных данных и производит число в качестве выходных данных: \[ \textrm{det}: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}. \] Мы используем определители для всех видов задач: для вычисления площадей и объемов, решать системы уравнений, проверить, обратима матрица или нет, и многие другие задачи. Вычисление определителя можно интерпретировать по-разному.

Наиболее интуитивно понятной интерпретацией определителя является геометрическая. Рассмотрим геометрическую фигуру, построенную с использованием строк матрицы $A$ в качестве ребер фигуры. Определитель – это «объем» этой геометрической фигуры. Для матриц $2\times 2$ определитель соответствует площади параллелограмма. Для матриц $3 \times 3$ определитель соответствует объему параллелепипеда. Для размерностей $d>3$ говорят, что определитель измеряет $d$-мерное гиперобъем $d$-мерного параллели-чего-то.

Определитель матрицы $A$ равен масштабному коэффициенту , связанному с линейным преобразованием $T_A$ который определяется как матрично-векторное произведение с $A$: $T_A(\vec{x}) \equiv A\vec{x}$. Масштабный коэффициент линейного преобразования $T_A$ описывает как единичный куб (куб с размерами $1\times 1 \ldots \times 1$ во входном пространстве преобразится после прохождения через $T_A$. Объем единичного куба после прохождения $T_A$ равен $\det(A)$.

Вычисление определителя можно использовать для проверки линейной независимости набора векторов. Определитель матрицы также говорит нам, является ли матрица обратимой или нет. Если $\det(A)=0$, то $A$ необратима. В противном случае, если $\det(A)\neq 0$, то $A$ обратим.

Определитель имеет важную связь с векторным векторным произведением. а также используется в определении уравнения на собственные значения. В этом разделе мы представим все эти аспекты определителей. Я призываю вас попытаться соединить геометрические, алгебраические и вычислительные аспекты детерминант по мере чтения. Не переживайте, если сразу не все понятно — вы всегда можете вернуться и просмотрите этот раздел, как только вы узнаете больше о линейных преобразованиях, геометрия векторного произведения и уравнение собственных значений.

Формулы

Для матрицы $2\times2$ определитель равен \[ \дет \!\левый( \begin{bматрица} а_{11} и а_{12} \nl а_{21} и а_{22} \end{bmatrix} \верно) \экв \begin{vmatrix} а_{11} и а_{12} \nl а_{21} и а_{22} \end{vmatrix} =а_{11}а_{22}-а_{12}а_{21}. \]

Формулы для определителей больших матриц определяются рекурсивно. Например, матрица $3\times 3$ определяется с помощью определителей $2\times 2$:

\[ \начать{выравнивать*} \ &\!\!\!\!\!\!\!\! \begin{vmatrix} а_{11} и а_{12} и а_{13} \nl а_{21} и а_{22} и а_{23} \nl а_{31} и а_{32} и а_{33} \end{vmatrix} = \nl «=» а_{11} \begin{vmatrix} а_{22} и а_{23} \nl а_{32} и а_{33} \end{vmatrix} — а_{12} \begin{vmatrix} а_{21} и а_{23}\nl а_{31} и а_{33} \end{vmatrix} + а_{13} \begin{vmatrix} а_{21} и а_{22} \nl а_{31} и а_{32} \end{vmatrix} \nl «=» а_{11}(а_{22}а_{33}-а_{23}а_{32}) — а_{12}(а_{21}а_{33} — а_{23}а_{31}) + а_{13}(а_{21}а_{32} — а_{22}а_{31})\nl «=» а_{11}а_{22}а_{33} — а_{11}а_{23}а_{32} -а_{12}а_{21}а_{33} + а_{12}а_{23}а_{31} +а_{13}а_{21}а_{32} — а_{13}а_{22}а_{31}. \конец{выравнивание*} \]

Существует изящный вычислительный прием для быстрого вычисления $3 \times 3$ определителей. который состоит из расширения матрицы $A$ в массив $3\times 5$, который содержит циклическое расширение столбцов $A$. Первый столбец $A$ копируется в четвертый столбец массива. и второй столбец $A$ копируется в пятый столбец.

Вычисление определителя — это не задача вычисления суммы трех положительных диагоналей (сплошные линии). и вычитание трех отрицательных диагоналей (пунктирные линии). 9{i+j}$, который переключается между $1$ и $-1$ для различные члены в формуле.

В случае матриц $3 \times 3$ формула определителя имеет вид \[ \начать{выравнивать*} \det{А} &= (1)a_{11}\det(M_{11}) + (-1)a_{12}\det(M_{12}) + (1)a_{13}\det(M_{13}) \nl «=» а_{11} \begin{vmatrix} а_{22} и а_{23} \nl а_{32} и а_{33} \end{vmatrix} — а_{12} \begin{vmatrix} а_{21} и а_{23}\nl а_{31} и а_{33} \end{vmatrix} + а_{13} \begin{vmatrix} а_{21} и а_{22} \nl а_{31} и а_{32} \end{vmatrix} \конец{выравнивание*} \]

Определитель матрицы $4 \times 4$ равен \[ \det{А} = (1)a_{11}\det(M_{11}) + (-1)a_{12}\det(M_{12}) + (1)a_{13}\det(M_{13}) + (-1)a_{14}\det(M_{14}). \]

Общая формула, которую мы привели выше, расширяет определитель по первой строке матрицы. На самом деле формулу для определителя можно получить, разложив по любую -ю строку или столбец матрицы. Например, разложение определителя матрицы $3\times 3$ по второму столбцу соответствует следующая формула $\det{A} = (-1)a_{12}\det(M_{12}) + (1)a_{22}\det(M_{22}) + (-1)a_{32 }\det(M_{32})$. Раскрытие детерминантов вдоль любой строки или столбца иногда может быть очень удобным: если вам нужно вычислить определитель матрицы, которая имеет одну строку (или столбец) со многими нулевыми элементами, то имеет смысл расширяться по этой строке потому что многие члены в формуле будут равны нулю. Как крайний случай этого, если матрица содержит строку (или столбец), полностью состоящую из нулей, ее определитель равен нулю. 92$ и мы строим параллелограмм с угловыми точками $(0,0), \vec{v}, \vec{w} и \vec{v}+\vec{w}$.

Площадь этого параллелограмма равна определителю матрицы, состоящей из строк $(v_1, v_2)$ и $(w_1, w_2)$:

\[ \textrm{область} =\left|\begin{массив}{cc} v_1 и v_2\nl w_1 и w_2 \конец{массив}\право| = v_1w_2 — v_2w_1. 3$ и построим параллелепипед с угловыми точками: $(0,0,0),\vec{v}, \vec{w}, \vec{v}+\vec{w}$, $\vec{u},\vec{u}+\vec{v}, \vec{u}+\vec{w} и \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ .

Объем этого параллелепипеда равен определителю матрицы, в которую входит векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$ и $\vec{w}$ в виде строк: \[ \начать{выравнивать*} \textrm{объем} «=» \left|\begin{массив}{ccc} u_1 & u_2 & u_3 \nl v_1 & v_2 & v_3\nl w_1 & w_2 & w_3 \конец{массив}\право| \nl «=» u_{1}(v_{2}w_{3} — v_{3}w_{2}) — u_{2}(v_{1}w_{3} — v_{3}w_{1}) + u_{3}(v_{1}w_{2} — v_{2}w_{1}). \конец{выравнивание*} \]

Знак и модуль определителя

Вычисление площади параллелограмма и объема параллелепипеда использование определителей может привести к положительным или отрицательным числам.

Рассмотрим случай двух измерений. Даны два вектора $\vec{v}=(v_1,v_2)$ и $\vec{w}=(w_1,w_2)$, можно построить следующий определитель: \[ D \ экв. \left|\begin{массив}{cc} v_{1} и v_{2} \nl w_{1} и w_{2} \конец{массив}\право|. \] Обозначим значение определителя через $D$. Абсолютное значение определителя равно площадь параллелограмма, построенного векторами $\vec{v}$ и $\vec{w}$. Знак определителя (положительный, отрицательный или нулевой) сообщает нам информацию об относительной ориентации векторов $\vec{v}$ и $\vec{w}$. Пусть $\theta$ — мера угла от $\vec{v}$ к $\vec{w}$, тогда 9\circ]$), определитель будет отрицательным $D<0$. * Когда $\theta=0$ (вектора указывают в одном направлении), или когда $\theta=\pi$ (векторы указывают в противоположных направлениях), определитель будет равен нулю, $D=0$.

Формула площади параллелограмма $A=b\times h$, где $b$ — длина основания параллелограмма $h$ — высота параллелограмма. В случае параллелограмма в {детерминанте двух векторов} TODO FIX FIG REF, длина основания равна $\|\vec{v}\|$, а высота равна $\|\vec{w}\|\sin\theta$, где $\theta$ — мера угла между $\vec{v}$ и $\vec{w}$. Геометрическая интерпретация определителя $2\times 2$ описывается следующей формулой: \[ D \ экв. \left|\begin{массив}{cc} v_{1} и v_{2} \nl w_{1} и w_{2} \конец{массив}\право| \эквив v_1w_2 — v_2w_1 = \|\vec{v}\|\|\vec{w}\|\sin\theta. \] Обратите внимание, что «высота» параллелограмма отрицательна, когда $\theta$ находится между $\pi$ и $2\pi$. 9{n} \lambda_i$,

где $\{\lambda_i\} = \textrm{eig}(A)$ — собственные значения оператора $A$.

TODO: больше внимания уделяйте detA = 0 или условию

Влияние операций со строками на определители

Вспомните операции с тремя строками, которые мы использовали для создания сокращенной ступенчатой ​​формы матрицы строк. как часть процедуры исключения Гаусса-Жордана:

1. Добавить кратность одной строки к другой строке.

2. Поменять местами две строки.

3. Умножить строку на константу.

На следующих рисунках показано влияние операций над строками на определитель матрицы.

Полезно думать об эффектах операций со строками с точки зрения геометрической интерпретации определителя. 3$ путем вычисления определителя матрицы. Поместим векторы $\hat{\imath}$, $hat{\jmath}$ и $\hat{k}$ в первую строку матрицы, затем запишите векторы $\vec{v}$ и $\vec{w}$ во второй и третьей строках. Разложив определитель по первой строке, получим векторное произведение: \[ \начать{выравнивать*} \vec{v}\times\vec{ш} «=» \left|\begin{массив}{ccc} \ шляпа {\ imath} & \ шляпа {\ jmath} & \ шляпа {k} \nl v_1 & v_2 & v_3\nl w_1 & w_2 & w_3 \конец{массив}\право| \nl «=» \ шляпа {\ имат} \left|\begin{массив}{cc} v_{2} и v_{3} \nl w_{2} и w_{3} \конец{массив}\право| \- \шляпа{\jmath} \left|\begin{массив}{cc} v_{1} и v_{3} \nl w_{1} и w_{3} \конец{массив}\право| \ + \ шляпа {к} \left|\begin{массив}{cc} v_{1} и v_{2} \nl w_{1} и w_{2} \конец{массив}\право| \nl &= (v_2w_3-v_3w_2)\шляпа{\imath} -(v_1w_3 — v_3w_1)\шляпа{\jmath} +(v_1w_2-v_2w_1)\шляпа{k} \nl & = (v_2w_3-v_3w_2,\v_3w_1 — v_1w_3,\v_1w_2-v_2w_1). \конец{выравнивание*} \]

Обратите внимание, что антилинейное свойство векторного векторного произведения $\vec{v}\times\vec{w} = — \vec{w}\times\vec{v}$ соответствует свойство замены-строки-меняет-знак определителей.

Трюк с расширенным массивом для вычисления $3 \times 3$ определителей который мы представили ранее, является очень полезным подходом для вычисления векторных произведений вручную.

Используя приведенное выше соответствие между векторным произведением и определителем, мы можем записать определитель матрицы $3\times 3$ в терминах скалярного произведения и перекрестного произведения: \[ \left|\begin{массив}{ccc} u_1 & u_2 & u_3 \nl v_1 & v_2 & v_3\nl w_1 & w_2 & w_3 \nl \конец{массив}\право| «=» \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). \]

Правило Крамера

Правило Крамера — это способ решения систем линейных уравнений с использованием вычислений определителя. Рассмотрим систему уравнений \[ \начать{выравнивать*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 & = b_1, \nl a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 & = b_2, \nl a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 & = b_3. \конец{выравнивание*} \] Ищем вектор решения $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$, удовлетворяющий этой системе уравнений. {th}$ коэффициентов в расширенной матрице, а $\vec{b}$ — столбец констант.

Правило Крамера требует вычисления двух определителей. Чтобы найти $x_1$, первую компоненту неизвестного вектора $\vec{x}$, мы вычисляем следующее соотношение определителей: \[ х_1= \ гидроразрыв { \left|\begin{массив}{ccc} | & | & | \nl \vec{b} & \vec{a}_2 & \vec{a}_2 \nl | & | & | \конец{массив}\право| }{ \left|\begin{массив}{ccc} | & | & | \nl \vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_2 \nl | & | & | \конец{массив}\право| } «=» \ гидроразрыв { \left|\begin{массив}{ccc} b_1 и a_{12} и a_{13} \nl b_2 и a_{22} и a_{23} \nl б_3 и а_{32} и а_{33} \конец{массив}\право| }{ \left|\begin{массив}{ccc} а_{11} и а_{12} и а_{13} \nl а_{21} и а_{22} и а_{23} \nl а_{31} и а_{32} и а_{33} \конец{массив}\право| }\;. \] По сути, мы заменяем столбец, соответствующий неизвестному, для которого мы хотим найти (в данном случае первый столбец). с вектором констант $\vec{b}$ и вычислить определитель.

Чтобы найти $x_2$, мы должны вычислить отношение определителей, где $\vec{b}$ заменяет коэффициенты во втором столбце, и аналогично, чтобы найти $x_3$, мы заменим третий столбец на $\vec{b}$. Правило Крамера не имеет большого значения, но это изящный вычислительный трюк, который может пригодиться, если вы когда-нибудь захотите найти один конкретный коэффициент в неизвестном векторе $\vec{x}$, а остальные вас не волнуют.

Проверка линейной независимости

Предположим, вам дан набор $n$, $n$-мерных векторов $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n \}$ и вы попросили проверить, являются ли эти векторы линейно независимыми.

Мы можем использовать процедуру исключения Гаусса-Джордана для выполнения этой задачи. Запишите векторы $\vec{v}_i$ в виде строк матрицы $M$. Затем используйте операции со строками, чтобы найти сокращенную эшелонированную форму строк (RREF) матрицы $M$. Операции со строками не изменяют линейную независимость между строками матрицы. 2 — \underbrace{(a_{11}+a_{22})}_{\textrm{Tr}(A)}\lambda + \underbrace{(a_{11}a_{22} — a_ {12}a_{21})}_{\det{A}} \конец{выравнивание*} \]

Мы не хотим вдаваться в подробное обсуждение свойств характеристического многочлена. $p(\lambda)$ в этот момент. Тем не менее, я хотел, чтобы вы знали, что характеристический полином определяется как определитель $A$ с $\lambda$s (греческая буква лямбда ) вычитается из диагонали. Мы формально введем характеристический многочлен, собственные значения и собственные векторы в разделе~\ref{собственные значения и собственные векторы}. TODO проверьте приведенную выше ссылку на раздел собственных значений.

Упражнения

Упражнение 1. Найдите определитель

\[ А = \left[\begin{массив}{cc} 1&2\nl 3&4 \конец{массив} \верно] \квадрат \квадрат Б = \left[\begin{массив}{cc} 3&4\nl 1 и 2 \конец{массив} \верно] \]

\[ С = \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 1 и 1 \nl 1 и 2 и 3 \nl 1 и 2 и 1 \конец{массив} \верно] \квадрат \квадрат Д = \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \nl 0 & 0 & 0 \nl 1 и 3 и 4 \конец{массив} \верно] \]

Ответ: $|A|=-2, \ |B|=2, \ |C|=-2, \ |D|=0$.

Заметим, что матрицу $B$ можно получить из матрицы $A$, поменяв местами первую и вторую икры. Определители $A$ и $B$ имеют одинаковые абсолютные значения, но разные знаки.

Упражнение 2. Найдите объем

Найдите объем параллелепипеда, построенного из векторов $\vec{u}=(1, 2, 3)$, $\vec{v}= (2,-2,4)$ и $\vec{w}=(2,2,5)$.
Сол: http://bit.ly/181ugMm
Ответ: $\textrm{volume}=2$.

Ссылки

[Дополнительная информация из Википедии]
http://en.wikipedia.org/wiki/Определитель
http://en.wikipedia.org/wiki/Минор_(линейная_алгебра)

Задание 16 — Вычисление детерминантов.

Задание 16 — Расчет детерминантов.

1. Начало работы

   Пожалуйста, обратитесь к этому страница для получения информации о том, как работать над вашим заданием.

2. Общий план

   Основная цель этого задания — вычислить определитель матрицы. Здесь вычисления производятся не в самих числах, а в кольце по модулю некоторого фиксированного числа. Если это число 92, затем сложение, вычитание и умножение имеют аргументы и результаты в наборе {0,1,2,…,90,91} и работать, как показано в следующих примерах:

        5 + 8 == 13
       22 + 8 == 30
       90 + 8 == 6
        4 - 3 == 1
        4 - 6 == 90
        8 - 9 == 91
       16 * 4 == 64
       16 * 6 == 4
       32 * 6 == 8
       23 * 8 == 0
    

   Теперь задача состоит в том, чтобы вычислить в этой модифицированной арифметике определитель матрица. Хотя существует сложный многочлен для вычисления определитель напрямую, этот полином очень велик и поэтому математики используют другие методы для его вычисления: они преобразуют матрицу с операциями, сохраняющими определитель до тех пор, пока нижний треугольник матрица под диагональю полностью состоит из нулей. Затем определитель — это просто произведение элементов на диагонали. Цель этого задания состоит в том, чтобы запрограммировать это для некоторой случайно выбранной матрицы и затем отобразить эту новую матрицу. Итак, пример вывода правильной программы будет следующим:

   Вычисление определителя.
   Вычисления по модулю 92; матрица имеет размер 11 умножить на 11.
   Решение 69.
   Печать матрицы.
   57 34 85 56 8 69 87 67 80 88 51
   20 40 48 80 57 88 50 18 76 60 89
   57 73 10 7 11 41 55 36 2 80 32
   43 64 11 41 11 42 35 67 26 12 72
   48 17 64 88 14 32 32 0 88 16 8
   58 12 80 55 5 6 34 5 1 29 12
   46 53 68 43 52 50 65 83 6 76 49
   86 18 54 70 75 78 30 73 56 44 72
   30 26 22 8 24 1 14 43 15 46 69
   74 65 65 11 10 69 70 63 52 15 50
   25 55 53 50 13 35 37 965 83 75
   Печать матрицы.
    1 66 65 68 19 33 17 21 68 28 38
    0 1 87 41 70 60 10 61 26 48 16
    0 0 1 22 77 9 68 57 24 72 13
    0 0 0 1 23 59 78 26 74 28 23
    0 0 0 0 1 32 78 46 84 64 77
    0 0 0 0 0 1 24 70 53 23 78
    0 0 0 0 0 0 1 67 9 83 85
    0 0 0 0 0 0 0 1 48 47 91
    0 0 0 0 0 0 0 0 1 75 0
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 19
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23
   Определитель равен 69.
    

   Чего не хватает в данном задании, так это процедуры для преобразования матрица, и это должно быть запрограммировано. Дополнительная информация о матрицах доступен на Википедия.

3. Алгоритм

   Выбранный здесь алгоритм подходит для матриц малых конечных колец получается путем вычисления по модулю небольшого натурального числа (например, 92 в пример выше). Этот алгоритм не будет работать с реальными числами. Как-то, у него есть то преимущество, что он не нуждается в разделении, которого на самом деле нет. доступно во всех случаях, так как могут быть коэффициенты 0; например 2, 4, 8, 23 и 46 в случае вычисления по модулю 92. Основная идея реализация следующая:

      Если добавить или вычесть строки в матрице, то
      определитель матрицы не изменится. Итак, для вычислений
      по модулю 92 следующие матрицы имеют одинаковый определитель
      так как каждый из них получается из предыдущего прибавлением к
      одну строку или вычитание из одной строки числа, кратного какой-либо другой строке.
         1 3 2 8
         2 6 90 1
         1 6 90 4
         3 15 90 20
         
         1 3 2 8
         0 0 86 77 строка 0 дважды вычитается из строки 1
         0 3 88 88 строка 0 вычитается из строки 2
         0 6 84 88 строка 0 трижды вычитается из строки 3
         1 3 2 8
         0 0 86 77
         0 3 88 88
         0 0 0 4 2-я строка дважды вычитается из 3-й строки
           
         1 3 2 8
         0 3 82 73 строка 2 добавлена ​​к строке 1
         0 3 88 88
         0 0 0 4
       
         1 3 2 8
         0 3 82 73
         0 0 6 15 строка 1 вычитается из строки 2
         0 0 0 4
       Все эти матрицы имеют определитель 1*3*6*4, т. е.
       72 по модулю 92.
    

   Эти примеры показывают, что в принципе можно получить матрицу в желаемая форма. Теперь задача состоит в том, чтобы реализовать это системно. Вот некоторые детали реализации:

   • Переменная modnum имеет вычисляемое число по модулю. В приведенных выше примерах это число равно 92, но на самом деле это случайное число. число, выпавшее при каждом запуске программы.
   • размер переменная имеет размер матрицы, т.е. количество строк и количество столбцов. Количество записей в матрица размер  ×  размер .
   • Переменная matrix просто содержит матрицу. Это реализован как массив массивов в JavaScript, и каждый массив состоит из такого количества элементов, как значение переменной размера .
   • rowadd(matrix, m, n, p) функция добавляет п ^й ряд р раза до м ^й матрицы в переменной той же имя. Эта функция игнорирует вызовы, где m и n имеют одинаковое значение, поэтому вызов этой функции невозможен. изменить значение определителя. Обратите внимание, что вы можете использовать значение -1 для p в том случае, если вы хотите вычесть и значение +1 в случае, если вы хотите добавить п ^й ряд до м ^-й ряд.
   • Процедура умножения диагональных элементов уже реализована. Конечно, это дает неправильный результат, когда матрица не необходимая форма.
   • Функция matrixprint(matrix) печатает матрицу в одноименная переменная.

   Таким образом, общая идея состоит в том, чтобы использовать вышеуказанные переменные и рядадд() функция для выполнения подходящих сложений и вычитаний строк до тех пор, пока все записи ниже диагонали равны 0.

   No related posts.