Матрицы ранг матрицы пример: определение, методы нахождения и примеры решения задач

Ранг матрицы. Подробный пример решения

Чтобы найти ранг матрицы необходимо привести ее к треугольному виду, с помощью которого можно будет либо найти определитель, либо миноры матрицы. Ранг определителя или минора отличного от нуля и будет являться рангом всей матрицы.

Пример №1. Исходная матрица имеет размерность 3×4.

3	4	2	7
4	1	2	3
6	8	4	14

Решение будем искать с помощью данного калькулятора. Работаем с первым столбцом. Умножим первую строку на 4, а 2-ую строку на (-3). Добавим 2-ую строку к 1-ой.

0	13	2	19
4	1	2	3
6	8	4	14

Умножим вторую строку на 6, а 3-ую строку на (-4) и сложим. Результат сложения запишем во второй строке.

0	13	2	19
0	-26	-4	-38
6	8	4	14

Первую строку, умноженную на 2 складываем со второй строкой.

0	0	0	0
0	-26	-4	-38
6	8	4	14

Первая строка состоит полностью из нулей, т.е. является линейной комбинацией других строк. Ее можно вычеркнуть:

0	-26	-4	-38
6	8	4	14

Количество строк у этой матрицы (row=2) не равно количеству столбцов (col=4), поэтому определитель найти не получиться. Если рассмотреть все миноры сокращенной матрицы, то все они будут отличны от 0. Количество строк у этой матрицы равно двум, поэтому ранг исходной матрицы равен r=2.

Пример №2. Рассмотрим пример для матрицы размерностью 3×3.

7	8	1
-2	2	8
0	1	1

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	1	1
-2	2	8
7	8	1

Умножим 2-ую строку на 7. Умножим 3-ую строку на 2. Добавим 3-ую строку к 2-ой.

0	1	1
0	30	58
7	8	1

Умножим первую строку на (30) и вычтем из нее вторую строчку.

0	0	-28
0	30	58
7	8	1

Количество строк и столбцов матрицы равны, можно найти ее определитель: detA = (-28)·30·7 / 210 = -28 > 0
где z = 7·30 = 210 — произведение чисел, на которые умножали строки матрицы при приведении к треугольному виду (см. как найти определитель методом Гаусса).

Определитель ≠ 0, поэтому ранг матрицы равен количеству строк, т.е. r=3.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Ранг матрицы

Ранг матрицы

Главная » Аналитическая геометрия » Матрицы и системы линейных уравнений » Ранг матрицы

ранг матрицыранг произведения матриц

Содержание

1. Определение ранга матрицы.

   Начать изучение

2. Основные теоремы.

   Начать изучение

3. Ранг произведения матриц.

   Начать изучение

4. Нахождение ранга матрицы.

   Начать изучение

Определение ранга матрицы.

Определение

Пусть в матрице A существует линейно независимая система из r строк, и нет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы A равен r. Нулевая матрица не содержит никакой линейно независимой системы строк, и ее строчный ранг по определению равен нулю.

Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Он равен r_{1}, если есть линейно независимая система из r_{1} столбцов, и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов. Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.

Определение

В матрице A размеров m \times n подматрица порядка r называется базисной, если она невырождена, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены.

Столбцы и строки матрицы A, на пересечении которых стоит базисная подматрица, называются базисными столбцами и строками A.

В силу утверждения 1 базисные столбцы и строки линейно независимы.

Определение

Рангом матрицы называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют невырожденные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем.

Отметим два очевидных свойства ранга.

Свойство 1

\bullet Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются, и при этом невырожденные подматрицы остаются невырожденными, а вырожденные — вырожденными.

Свойство 2

\bullet Если A’ — подматрица матрицы A, то ранг A’ не превосходит ранга A, так как любая невырожденная подматрица, входящая в A’, входит и в A.

Основные теоремы.

Из утверждения 1 прямо следует теорема о ранге матрицы:

Теорема 1.

Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу.

Доказательство.

Действительно, если строчный ранг A равен r, то в A найдется линейно независимая система из r строк, а значит, и невырожденная подматрица порядка r. Если при этом есть p > r различных строк A, то они линейно зависимы, и любая подматрица порядка p в них вырождена. Столбцовый ранг равен строчному рангу A^{T}, значит, и рангу A^{T}, а потому — рангу A.

Таким образом, мы видим, что все три определения на самом деле определяют одно и то же число, и впредь не будем их различать. Будем говорить ранг матрицы и обозначать его \mathbf{Rg}\,A.

Из теоремы о ранге матрицы мы получаем теорему о базисном миноре, на которую существенно опирается все дальнейшее изложение. Слово “минор” означает “детерминант подматрицы”. В частности, базисный минор — это детерминант базисной подматрицы. О детерминантах будет речь в следующем параграфе, а здесь это слово можно воспринимать просто как составную часть названия теоремы.

Теорема 2.

Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Доказательство.

Каждый из базисных столбцов, разумеется, раскладывается по базисным: для этого достаточно взять его самого с коэффициентом 1, а остальные с нулевыми коэффициентами.

Пусть теперь \boldsymbol{a}_{j} — не базисный столбец. Базисные столбцы обозначим через \boldsymbol{a}_{i_{1}},…, \boldsymbol{a}_{i_{r}}. {-1}\alpha_{r}\boldsymbol{a}_{i_{r}}.

Следствие.

Каждая строка матрицы раскладывается по ее базисным строкам.

Ранг произведения матриц.

Согласно ранее доказанным утверждениям элементарные преобразования не меняют столбцового ранга. Таким образом, справедливо

Отсюда и из ранее доказанного утверждения прямо следует

В общем случае имеет место

Аналогично доказывается, что \mathbf{Rg}\,AB \leq\mathbf{Rg}\,B. Для этого надо составить матрицу D’ из всех строк матриц B и AB.

Нахождение ранга матрицы.

Определение

Матрица размеров m \times n называется упрощенной (или имеет упрощенный вид), если некоторые r ее столбцов являются первыми r столбцами единичной матрицы порядка m и, в случае m > r, ее последние (m-r) строк — нулевые.

Пусть мы привели матрицу A к упрощенному виду, и в упрощенной матрице A’, столбцы \boldsymbol{a}_{j_{1}},…, \boldsymbol{a}_{j_{r}}\ (j_{1} <…< j_{r}) превращены в столбцы единичной матрицы \boldsymbol{e}_{1},. .., \boldsymbol{e}_{r}. Можно считать, что \boldsymbol{a}_{j_{k}} \rightarrow \boldsymbol{e}_{k} для всех k=1,…, r. Это достигается перестановкой строк.

Рассмотрим упрощенную матрицу A’. В ней есть невырожденная подматрица порядка r, а невырожденных подматриц большего порядка, очевидно, нет. Следовательно, ранг матрицы равен r, а подматрица базисная.

Из этого следует, что \mathbf{Rg}\,A=r, так как ранг не изменился при элементарных преобразованиях. За базисную подматрицу в A можно принять подматрицу, расположенную в столбцах с номерами j_{1},…, j_{r} и строках, которые после перестановок попали на места 1,…, r в упрощенной матрице. Это видно из того, что, преобразуя матрицу, мы не прибавляли к пересекающим ее строкам никаких строк, которые ее не пересекают.

Таким образом, если мы не знали ранга матрицы и ее базисной подматрицы, то приведя ее к упрощенному виду, мы их определим. С другой стороны, имеет место

Ранг матрицы. Определение

Ранг матрицы равен количеству линейно независимых строк (или столбцов) в ней.

Следовательно, он не может превышать количество строк и столбцов. Например, если мы рассмотрим единичную матрицу порядка 3 × 3, все ее строки (или столбцы) линейно независимы, и, следовательно, ее ранг равен 3.

Давайте узнаем больше о ранге матрицы вместе с ее математическим определением и давайте посмотрим, как найти ранг матрицы вместе с примерами.

1.	Что такое ранг матрицы?
2.	Как найти ранг матрицы?
3.	Нахождение ранга матрицы методом минора
4.	Ранг матрицы с использованием формы Echelon
5.	Ранг матрицы с использованием нормальной формы
6.	Ранг столбца и ранг строки матрицы
7.	Свойства ранга матрицы
8.	Часто задаваемые вопросы о ранге матрицы

Каков ранг матрицы?

Ранг матрицы — это порядок старшего ненулевого минора. Рассмотрим ненулевую матрицу A. Говорят, что действительное число r является рангом матрицы A, если оно удовлетворяет следующим условиям:

• каждый минор порядка r + 1 равен нулю.
• Существует по крайней мере один минор порядка ‘r’, отличный от нуля.

Ранг матрицы A обозначается через ρ (A). Здесь «ρ» — греческая буква, которую следует читать как «ро». Таким образом, ρ (A) следует читать как «ро A» (или) «ранг A».

Как найти ранг матрицы?

Ранг матрицы можно определить тремя способами. Самый простой из этих способов — «преобразование матрицы в эшелонированную форму».

• Второстепенный метод
• Использование формы эшелона
• Использование обычной формы

Рассмотрим подробно каждый из этих методов.

Нахождение ранга матрицы методом минора

Вот шаги, чтобы найти ранг матрицы A минорным методом.

• Найдите определитель матрицы A (если матрица A квадратная). Если det (A) ≠ 0, то ранг A = порядок A.
• Если либо det A = 0 (в случае квадратной матрицы), либо A — прямоугольная матрица, то проверьте, существует ли минор максимально возможного порядка, отличный от нуля. Если существует такой ненулевой минор, то ранг A = порядок этого конкретного минора.
• Повторите описанный выше шаг, если все миноры порядка, рассмотренного на предыдущем шаге, равны нулю, а затем попытайтесь найти ненулевой минор порядка, который на 1 меньше, чем порядок из предыдущего шага.

Вот пример.

Пример: Найдите ранг матрицы ρ (A), если A = \(\left[\begin{array}{lll}

1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{массив}\right]\).

Решение:

A — квадратная матрица, поэтому мы можем найти ее определитель.

дет (А) = 1 (45 — 48) — 2 (36 — 42) + 3 (32 — 35)
= -3 + 12 — 9
= 0

Итак, ρ (A) ≠ порядок матрицы. т. е. ρ (A) ≠ 3.

Теперь посмотрим, сможем ли мы найти любой ненулевой минор порядка 2.

\(\left|\begin{array}{ll}
1 и 2 \\\
4 и 5
\end{array}\right|\) = 5 — 8 = -3 ≠ 0.

Итак, существует минор порядка 2 (или 2 × 2), отличный от нуля. Итак, ранг A, ρ (A) = 2,

Ранг матрицы с использованием формы Echelon

Что, если в приведенном выше примере первый минор порядка 2 × 2, который мы нашли, был равен нулю? Нам нужно было найти все возможные миноры порядка 2 × 2, пока мы не получим ненулевой минор, чтобы убедиться, что ранг равен 2. Этот процесс может быть утомительным, если порядок матрицы больше. Чтобы упростить процесс нахождения ранга матрицы, мы можем преобразовать ее в эшелонированную форму. Говорят, что матрица «А» находится в форме эшелона, если она находится либо в форме верхнего треугольника, либо в форме нижнего треугольника. Мы можем использовать элементарные преобразования строки/столбца и преобразовать матрицу в форму Echelon.

Преобразование строки (или столбца) может быть одним из следующих:

• Замена двух строк местами.
• Умножение строки на скаляр.
• Умножение строки на скаляр и последующее добавление его к другой строке.

Вот шаги, чтобы найти ранг матрицы.

• Преобразуйте матрицу в форму Echelon, используя преобразование строки/столбца.
• Тогда ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в результирующей матрице.

Ненулевая строка матрицы — это строка, в которой хотя бы один элемент отличен от нуля.

Пример: Найти ранг матрицы A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{array}\right]\) (та же матрица, что и в предыдущем примере), преобразовав ее в эшелонированную форму.

Решение:

Дана матрица A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{массив}\right]\).

Применяем R ₂ → R ₂ — 4R ₁ и R ₃ → R ₃ — 7R ₁ , получаем: 90}{lbegin\lbegin }
1 и 2 и 3 \\
0&-3&-6\
0 и -6 и -12
\end{array}\right]\)

Теперь применим R ₃ → R ₃ — 2R ₂ , получаем:

\(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
0&-3&-6\
0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)

Теперь он в форме Echelon, поэтому теперь нам нужно подсчитать количество ненулевых строк.

Количество ненулевых строк = 2 = ранг A.

Следовательно, ρ (A) = 2.

Обратите внимание, что мы получили тот же ответ, когда вычисляли ранг с использованием миноров.

Ранг матрицы с использованием нормальной формы

Если прямоугольную матрицу A можно преобразовать в форму \(\left[\begin{array}{ll}
I_r&0\\
0 и 0
\end{array}\right]\) с помощью элементарных преобразований строк, то говорят, что A находится в нормальной форме. Здесь I_r — единичная матрица порядка «r», и когда A преобразуется в нормальную форму, ее ранг равен ρ (A) = r. Вот пример. Преобразование в нормальную форму полезно при определении ранга прямоугольной матрицы. Но его можно использовать и для нахождения ранга квадратных матриц.

Пример: Найти ранг матрицы A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 1 и 2 \\
1 и 3 и 2 и 2 \\
2 и 4 и 3 и 4 \\
3 и 7 и 4 и 6
\end{array}\right]\) (снова та же матрица), приведя ее к нормальной форме.

Решение:

Применить R ₂ → R ₂ — R ₁ , R ₃ → R ₃ — 2R ₁ , и R ₄ → R ₄ — 3R ₁ получаем:

\(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 1 и 2 \\
0&1&1&0\
0&0&1&0\
0 и 1 и 1 и 0
\end{array}\right]\)

Теперь применим, R ₁ → R ₁ — 2R ₂ и R ₄ → R ₄ — R _{2 2 (0 \9\0180 , 0 слева[\begin{массив}{lll}
1 и 0 и -1 и 2 \\
0&1&1&0\
0&0&1&0\
0 и 0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)}

Применить R ₁ → R ₁ + R ₃ и R ₂ → R ₂ — R ₃ ,

\begin{массив}{lll}
1 & 0 & 0 & 2 \
0&1&0&0\
0&0&1&0\
0 и 0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)

Теперь применим C ₄ → C ₄ — 2C ₁ ,

\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 & 0 \
0&1&0&0\
0&0&1&0\
0 и 0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)

То же, что и \(\left[\begin{array}{ll}
I_3&0\\
0 и 0
\end{массив}\right]\).

Следовательно, ранг A равен ρ (A) = 3,

Ранг столбца и ряд строки матрицы

Когда мы вычислили ранг матрицы, используя ступенчатую форму и нормальную форму, мы увидели, что ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в приведенной форме матрицы. На самом деле это известно как «ранг строки матрицы», поскольку мы подсчитываем количество ненулевых «строк». Точно так же ранг столбца — это количество ненулевых столбцов, или, другими словами, это количество линейно независимых столбцов. Например, в приведенном выше примере (из предыдущего раздела)

• Ранг строки = количество ненулевых строк = 3
• Ранг столбца = количество ненулевых столбцов = 3

Из этого очень ясно, что здесь «ранг строки = ранг столбца». На самом деле это верно для любой матрицы.

Свойства ранга матрицы

• Если A невырожденная матрица порядка n, то ее ранг равен n. т. е. р (А) = п.
• Если A находится в форме Echelon, то ранг A = количеству ненулевых строк A.
• Если A находится в нормальной форме, то ранг A = порядок единичной матрицы в ней.
• Если A — сингулярная матрица порядка n, то ρ (A) < n.
• Если A — прямоугольная матрица порядка m x n, то ρ (A) ≤ минимума {m, n}.
• Ранг единичной матрицы порядка n равен самому n.
• Ранг нулевой матрицы равен 0.

Важные примечания о ранге матрицы:

• При преобразовании матрицы в ступенчатую или нормальную форму мы можем использовать преобразование строк или столбцов. Мы также можем использовать сочетание преобразований строк и столбцов.
• Чтобы найти ранг матрицы, приведя ее к ступенчатой ​​или нормальной форме, мы можем подсчитать количество ненулевых строк или ненулевых столбцов.
• Ранг столбца = ранг строки для любой матрицы.
• Ранг квадратной матрицы порядка n всегда меньше или равен n.

☛ Связанные темы:

• Калькулятор определителя
• Калькулятор собственных значений
• Калькулятор сложения матриц
• Калькулятор умножения матриц

Часто задаваемые вопросы о ранге матрицы

Что такое определение ранга матрицы?

Ранг матрицы — это количество линейно независимых строк или столбцов в ней. Ранг матрицы A обозначается ρ (A), что читается как «ро матрицы A». Например, ранг нулевой матрицы равен 0, так как в ней нет линейно независимых строк.

Как найти ранг матрицы?

Чтобы найти ранг матрицы, мы можем использовать один из следующих методов:

• Найти ненулевой минор старшего порядка, и его порядок даст ранг.
• Преобразуйте матрицу в эшелонированную форму, используя операции со строками и столбцами. Тогда количество ненулевых строк в ней даст ранг матрицы.
• Преобразование матрицы в нормальную форму \(\left[\begin{array}{ll}
  I_r&0\\
  0 и 0
  \end{array}\right]\), где I_r — единичная матрица порядка ‘r’. Тогда ранг матрицы = r.

Каков ранг матрицы порядка 3 × 3?

Ранг матрицы порядка 3 × 3 равен 3, если ее определитель НЕ равен 0. Если ее определитель равен 0, то преобразовать ее в ступенчатую форму с помощью преобразования строки/столбца, тогда количество ненулевых строк/столбцов присвоил бы звание.

Каков ранг матрицы порядка 2 × 2?

Если определитель матрицы 2 × 2 НЕ равен 0, то ее ранг равен 2. Если ее определитель равен 0, то ее ранг равен либо 1, либо 0. Точный ранг можно найти, приведя ее к ступенчатой ​​или нормальной форме. форма.

Как найти ранг матрицы с помощью определителя?

Чтобы найти ранг матрицы порядка n, сначала вычислите ее определитель (в случае квадратной матрицы). Если НЕ 0, то его ранг = n. Если он равен 0, то посмотреть, существует ли ненулевой минор порядка n — 1. Если такой минор существует, то ранг матрицы = n — 1. Если все миноры порядка n — 1 нули, то мы должны повторить процесс для миноров порядка n — 2, и так далее, пока мы не сможем найти ранг.

Каков ранг нулевой матрицы?

Нулевая матрица представляет собой квадратную матрицу, в которой все элементы равны 0. Определитель нулевой матрицы и любого ее минора сам равен 0. Следовательно, не существует минора нулевой матрицы, отличного от нуля. Следовательно, ранг нулевой матрицы равен 0.

Как быстро найти ранг матрицы?

Если определитель матрицы не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку матрицы. Это можно использовать как ярлык. Но этот ярлык не работает, когда определитель равен 0. В этом случае мы должны использовать либо минорную форму, форму эшелона, либо нормальную форму, чтобы найти ранг, как процессы объясняются на этой странице.

Каковы применения ранга матрицы?

Ранг матрицы в основном используется для определения количества решений системы уравнений. Если система имеет «n» уравнений с «n» переменными, то сначала мы находим ранг расширенной матрицы и ранг матрицы коэффициентов.

• Если ранг (расширенная матрица) ≠ ранг (матрица коэффициентов), то система не имеет решения (несовместна).
• Если ранг (расширенная матрица) = ранг (матрица коэффициентов) = количество переменных, то система имеет единственное решение (непротиворечивое).
• Если ранг (расширенная матрица) = ранг (матрица коэффициентов) < количества переменных, то система имеет бесконечное число решений (непротиворечивых).

О чем говорит нам ранг матрицы?

Ранг матрицы определяет количество линейно независимых строк (или столбцов). Чем больше ранг матрицы, тем больше линейно независимых строк, а также тем больше информативность.

Может ли ранг матрицы быть больше количества строк или столбцов?

Нет, ранг матрицы всегда меньше или равен количеству строк и количеству столбцов.

Какая связь между рангом матрицы и собственными значениями?

Существует очень тесная связь между рангом матрицы и собственными значениями. Ранг матрицы точно равен количеству ненулевых собственных значений.

Теорема о рангах

Цели

1. Научитесь понимать и использовать теорему о рангах.
2. Изображение: ранговая теорема.
3. Теорема : теорема о рангах .
4. Словарные слова: ранг , недействительность .

В этом разделе мы представляем ранговую теорему, которая является кульминацией всей проделанной нами работы.

Читатель мог заметить взаимосвязь между пространством столбца и пустым пространством матрицы. В этом примере в разделе 2.6 пространство столбца и пустое пространство матрицы 3 × 2 являются строками в R2 и R3 соответственно:

Nul(A)Col(A)A=C111111D

В этом примере из раздела 2.4 нулевое пространство матрицы 2 × 3 A1−12−22−4B является плоскостью в R3, а пространство столбцов натянуто на линию в R2. по A1-2B:

Col(A)Nul(A)A=E1−12−22−4F

В этом примере из раздела 2.4 нулевое пространство матрицы 3 × 3 — это линия в R3, а пространство столбца — это плоскость в R3:

Col(A)Nul(A)A=C10−1011110D

Во всех примерах размерность пространства столбца плюс размерность пустого пространства равна числу 9.0477 столбцов матрицы. Это содержание теоремы о рангах.

Определение

Ранг матрицы A, обозначаемый как rank(A), является размерностью пространства столбцов Col(A).

Недействительность матрицы A, записанная недействительностью (A), является размерностью пустого пространства Nul (A).

Ранг матрицы A дает нам важную информацию о решениях Ax=b. Напомним из этого примечания в разделе 2.3, что Ax=b непротиворечиво точно, когда b находится в диапазоне столбцов A, другими словами, когда b находится в пространстве столбцов A. Таким образом, rank(A) — это размерность набор b со свойством, что Ax=b непротиворечив.

Мы знаем, что ранг A равен количеству опорных столбцов (см. эту теорему в разделе 2.7), а недействительность A равна количеству свободных переменных (см. эту теорему в разделе 2.7), что является количество столбцов без точек опоры. Подводя итог:

rank(A)=dimCol(A)=количество столбцов со сводными точками nullity(A)=dimNul(A)=число свободных переменных=количество столбцов без опорных точек

Ясно

#(столбцы со стержнями)+#(столбцы без стержней)=#(столбцы),

, поэтому мы доказали следующую теорему.

Ранговая теорема

Если A — матрица с n столбцами, то

ранг(А)+недействительность(А)=n.

Другими словами, для любой непротиворечивой системы линейных уравнений

(dimofcolumnspan)+(dimofsolutionset)=(число переменных).