Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Высшая математика » Системы линейных алгебраических уравнений » Метод Крамера
Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:
- Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $\Delta\neq 0$.
- Для каждой переменной $x_i$($i=\overline{1,n}$) необходимо составить определитель $\Delta_{x_i}$, полученный из определителя $\Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
- Найти значения неизвестных по формуле $x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}$ ($i=\overline{1,n}$).
Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.
Пример №1
Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end{aligned}\right.$ методом Крамера.
Решение
Матрица системы такова: $ A=\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right)$. Определитель этой матрицы:
$$\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17.$$
Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.
Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $\Delta_{x_1}$ и $\Delta_{x_2}$. Определитель $\Delta_{x_1}$ получаем из определителя $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)$:
$$
\Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc}-11&2\\15&5\end{array}\right|=-55-30=-85.
$$
Аналогично, заменяя второй столбец в $\Delta=\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&5\end{array}\right|$ столбцом свободных членов, получим:
$$ \Delta_{x_2}=\left|\begin{array} {cc} 3 & -11\\ -1 & 15\end{array}\right|=45-11=34. $$
Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.
$$x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{-85}{17}=-5;\;x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{34}{17}=2.$$
В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:
$$\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=3\cdot(-5)+2\cdot{2}=-11;\\ & -x_1+5x_2=-(-5)+5\cdot{2}=15. \end{aligned}\right.$$
Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.
Осталось лишь записать ответ.
Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.
Пример №2
Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end{aligned} \right.$, используя метод Крамера.
Решение
Определитель системы:
$$\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5.$$
Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.
Заменяя первый столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_1}$:
$$ \Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\\ -7 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right|=6-4-4+7=5. $$
Заменяя второй столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_2}$:
$$
\Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ 3 & -7 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=-14+6+6-7-9+8=-10.
$$
Заменяя третий столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_3}$:
Учитывая все вышеизложенное, имеем:
$$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{5}{5}=1;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-10}{5}=-2; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{-15}{5}=-3. $$
Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:
$$\left\{\begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=2\cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\\
& 3x_1+2x_2+2x_3=3\cdot{1}+2\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-7;\\
& x_1+x_3=1+(-3)=-2.
\end{aligned} \right.$$
Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.
Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.
Пример №3
Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\right.$ используя метод Крамера.
Решение
Матрица системы $ \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:
$$ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2=x_3+15;\\ & -9x_1-2x_2=-5x_3-7. \end{aligned} \right. $$
Теперь матрица системы $ \left( \begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) $ стала квадратной, и определитель её $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|=-4+27=23$ не равен нулю.
$$ \begin{aligned} & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {cc} x_3+15 & 3\\ -5x_3-7 & -2 \end{array}\right| =-2x_3-30-\left(-15x_3-21\right) =13x_3-9;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {cc} 2 & x_3+15\\ -9 & -5x_3-7 \end{array}\right| =-10x_3-14-\left(-9x_3-135\right) =-x_3+121. \end{aligned} $$ $$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{13x_3-9}{23};\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-x_3+121}{23}. $$
Ответ можно записать в таком виде: $\left\{\begin{aligned}
& x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\
& x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\
& x_3\in R.
\end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.
Примечание
В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ
$\left\{\begin{aligned}
& 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\
& -4x_1+10x_2-7x_3=5.
\end{aligned}\right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $
\left\{\begin{aligned}
&2x_1-5x_2=-10x_3+14;\\
&-4x_1+10x_2=7x_3+5.
\end{aligned}\right.$. Определитель данной системы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $
\left\{\begin{aligned}
&2x_1+10x_3=5x_2+14;\\
&-4x_1-7x_3=-10x_2+5.
\end{aligned}\right.$, определитель которой $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|=-14+40=26$ не равен нулю.
Пример №4
Решить СЛАУ
$$\left\{\begin{aligned} &x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ &2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ &-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end{aligned}\right.$$
методом Крамера.
Решение
Матрица системы $\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end{array}\right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:
$$
\left\{\begin{aligned}
& x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\\
& 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \\
& -x_1+4x_2+5x_3=3x_4.
\end{aligned}\right.$$
$$
\begin{aligned}
& \Delta
=\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1\\ 2 & -6 & 1\\-1 & 4 & 5 \end{array}\right|
=19;\\
\\
& \Delta_{x_1}
=\left| \begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1\\ 4x_4+2x_5 & -6 & 1\\3x_4 & 4 & 5 \end{array}\right|
=-17x_4+144x_5;\\
\\
& \Delta_{x_2}
=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1\\ 2 & 4x_4+2x_5 & 1\\-1 & 3x_4 & 5 \end{array}\right|
=-15x_4+41x_5;\\
\\
& \Delta_{x_3}
=\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5\\ 2 & -6 & 4x_4+2x_5\\-1 & 4 & 3x_4 \end{array}\right|
=20x_4-4x_5.
Ответ таков: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.
Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.
Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия
Онлайн-занятия по высшей математике
Калькуляторы задач линейного программирования
Добро пожаловать
Объяснить решение ваших типичных проблем — основная идея создания этого сайта.
Графический метод линейного программирования Задача
Это первая задача, которая решается при изучении линейного программирования.
Этот метод позволяет решить задачу линейного программирования для функции двух переменных.
Решение сопровождается подробными комментариями и большим количеством фотографий.
Пример 1. Функция имеет максимальное значение в точке
Пример 2. Функция имеет минимальное значение в точке
Пример 3. Функция имеет максимальное значение на отрезке
Пример 4. Функция имеет минимальное значение на отрезке
Пример 5. Функция имеет максимальное значение на луче
Пример 6. Функция имеет минимальное значение на луче
Пример 7. Функция неограниченно возрастает
Пример 8. Функция неограниченно убывает
Пример 9. Область допустимых решений — точка
Пример 10. Область допустимых решений — пустое множество
Симплекс-метод
Симплекс-метод является универсальным. Он позволяет решать любые задачи линейного программирования.
Решение симплекс-методом не так сложно, как может показаться на первый взгляд.
Этот калькулятор находит общее решение, только если решение представляет собой отрезок прямой.
Пример 1. Симплексный метод. Нахождение максимального значения функции
Пример 2. Симплекс-метод. Нахождение минимального значения функции
Пример 3. Симплекс-метод. Нахождение максимального значения функции (искусственные переменные)
Пример 4. Симплекс-метод. Нахождение минимального значения функции (искусственные переменные)
Пример 5. Симплекс-метод. Решение не единственное
Пример 6. Симплекс-метод. Функция неограниченно возрастает
Пример 7. Симплекс-метод. Функция неограниченно убывает
Пример 8. Симплекс-метод. Область допустимых решений — пустое множество
Транспортная задача линейного программирования
Транспортная задача является специальной задачей линейного программирования.
Калькулятор находит начальное решение методом северо-западного угла или методом наименьших затрат.
При необходимости исходное решение будет улучшено методом MODI.
Решение сопровождается большим количеством иллюстраций.
Пример 1. Транспортная задача методом наименьших затрат (Сбалансированная задача)
Пример 2. Транспортная задача методом наименьших затрат (Несбалансированная задача. Фиктивный поставщик)
Пример 3. Транспортная задача методом наименьших затрат (Неуравновешенная задача. Фиктивный потребитель)
Пример 4. Транспортная задача методом северо-западного угла (Сбалансированная задача)
Пример 5. Транспортная задача методом северо-западного угла (Неуравновешенная задача. Фиктивный поставщик)
Пример 6. Транспортная задача методом Северо-Западного угла (Неуравновешенная задача. Фиктивный потребитель)
Другие интересные типовые задачи:
Определитель матрицы
Каждой квадратной матрице соответствует число, называемое определителем матрицы. Существуют правила, позволяющие вычислять определители.
Алгоритм калькулятора умеет использовать элементарные преобразования определителя.
Элементарные преобразования облегчают вычисление определителя, но это возможно только для простых задач.
Решение сопровождается большим количеством иллюстраций.
Пример 1. Нахождение определителя матрицы 3×3
Пример 2. Нахождение определителя матрицы 4×4.
Пример 3. Нахождение определителя матрицы 5×5.
Эти методы отличаются только второй частью решения.
Алгоритм калькулятора «пытается» считать без дробей.
Решение сопровождается большим количеством иллюстраций.
Пример 1. Решение системы линейных уравнений методом исключения Гаусса (одно решение)
Пример 2. Решение системы линейных уравнений методом исключения Гаусса (много решений)
Пример 3. Решение системы линейных уравнений методом исключение Гаусса (нет решения)
Пример 4. Решение системы линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана (одно решение)
Пример 5. Решение системы линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана (много решений)
Правило Крамера
Правило Крамера использует определители для решения систем линейных уравнений.
Алгоритм калькулятора умеет использовать элементарные преобразования определителя.
Решение сопровождается большим количеством иллюстраций.
Пример 1. Решение системы линейных уравнений 2×2 по правилу Крамера
Пример 2. Решение системы линейных уравнений 3×3 по правилу Крамера
Обратная матрица
Обратная матрица может быть вычислена только для квадратных матриц, но не каждая квадратная матрица имеет обратную матрицу.
Если найденная матрица A -1 является обратной для заданной матрицы A, то A -1 * A = A * A -1 = E.