Модули тема: Модуль числа — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Модули — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Основные теоретические сведения

Базовые сведения о модуле

К оглавлению…

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

Некоторые методы решения уравнений с модулями

К оглавлению…

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:

Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

Модуль числа

Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой.

Модуль обозначается с помощью символа: | |.

Запись |6| читается как «модуль числа 6», или «модуль шести».
Запись |8| читается как «модуль 8-ми».

Модуль положительного числа равен самому числу. Например, |2| = 2.
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу <=> |-3| = 3.
Модуль нуля равен нулю, то есть |0| = 0.
Модули противоположных чисел равны, то есть |-a| = |a|.

Для лучшего понимания

темы: «модуль числа» предлагаем воспользоваться методом ассоциаций.

Представим, что модуль числа — это баня , а знак «минус» — грязь .

Оказываясь под знаком модуля (то есть в «бане») отрицательное число «моется» , и выходит без знака «минус» — чистым .

Модуль

В бане могут «мыться» (то есть стоять под знаком модуля) и отрицательные

, и положительные числа

, и число ноль

. Однако будучи «чистым» положительные числа

, и ноль

свой знак при выходе из «бани»

(то есть из под знака модуля) не меняют

Модуль числа

История модуля числа или 6 интересных фактов о модуле числа

1. Слово «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера».
2. Ввел в обращение этот термин ученик Исаака Ньютона — английский математик и философ Роджер Котс (1682 – 1716).

3. Великий немецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц в своих работах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mod x.
4. Обозначение модуля было введено в 1841 году немецким математиком
Карлом Вейерштрассом (1815 — 1897).
5. При написании модуль обозначается с помощью символа: | |.
6. Еще одной версии термин «модуль» был введен в 1806 году французским
математиком по имени Жан Робер Аргáн (1768 — 1822). Но это не совсем так.
В начале девятнадцатого века математики Жан Робер Аргáн (1768 — 1822)
и Огюстен Луи Коши (1789 — 1857) ввели понятие «модуль комплексного числа»,
который изучается в курсе высшей математики.

Решение задач на тему «Модуль числа»

Задача №1. Расположи выражения: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 в порядке возрастания.

Решение:

Для начала раскроем скобки и модули:

— | 12 | = — 12
| — ( — 2) | = 2

Далее осталось расположить числа: -12, 0, 54, 2, -17 в порядке возрастания. Получим следующее неравенство:

-17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — ( — 2) | < 54.

Ответ: -17 < -|12| < 0 < | — ( — 2) | < 54.

Задача№2. Нужно расположить выражения: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
в порядке убывания.

Решение:

Для начала раскроем скобки и модули:

— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9

Далее осталось расположить числа: -14, -30, 16, -21, 9 в порядке убывания. Получим следующее неравенство:

16 > 9 > -14 > — 21 > — 30 что будет равносильно:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.

Ответ: |-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|

Введение в модулярную арифметику / Хабр

В обычной жизни мы обычно пользуемся позиционной системой счисления. В позиционной системе счисления значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда) [1]. Однако существуют и так называемые «непозиционные системы счисления», к одной из которых относится «система остаточных классов» (СОК) (или в оригинале Residue Number System (RNS)), являющаяся основой модулярной арифметики. Модулярная арифметика базируется на «Китайской теореме об остатках» [2], которая для нашего случая звучит следующим образом:

Для любой системы взаимно простых чисел p₁, … p_n, любое число X из диапазона [0; M), где M = p₁*p₂*…*p_n взаимооднозначно представимо в виде вектора (a₁, a₂, …, a_n), где a_i = X%p_i (здесь и далее «%» — операция взятия остатка от целочисленного деления X на p_i).
p₁, … p_n – модули системы
a₁, a₂, …, a_n – остатки (вычеты) числа по заданной системе модулей

На первый взгляд непонятно какое преимущество может дать такая система, однако существует 2 свойства, которые позволяют эффективно использовать модулярную арифметику в некоторых областях микроэлектроники:

Отсутствие переноса разрядов в сложении и умножении. Пусть нам дано два числа X₁ и X₂, представленные в виде системы остатков (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) и (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) по системе взаимнопростых чисел (p₁, p₂, …, p_n). В этом случае:
X₃ = X₁ + X₂ = ((x₁₁+x₂₁)%p₁, (x₁₂+x₂₂)%p₂, …, (x_1n+x_2n)%p_n)
X₄ = X₁ * X₂ = ((x₁₁*x₂₁)%p₁, (x₁₂*x₂₂)%p₂, …, (x_1n*x_2n)%p_n)
То есть что бы сложить или умножить два числа, достаточно сложить или умножить соответствующие элементы вектора, что для микроэлектроники означает, что это можно сделать параллельно и из-за малых размерностей p₁, p₂, …, p_n сделать очень быстро.
Ошибка в одной позиции вектора не влияет на расчеты в других позициях вектора. В отличие от позиционной системы счисления все элементы вектора равнозначны и ошибка в одном из них ведет всего лишь к сокращению динамического диапазона. Этот факт позволяет проектировать устройства с повышенной отказоустойчивостью и коррекцией ошибок.

Обычное умножение	Модулярное умножение

Но не всё так гладко, как хотелось бы. В отличие от позиционной системы счисления, следующие операции (называемые «немодульными») выполняются сложнее, чем в позиционной системе счисления: сравнение чисел, контроль переполнения, деление, квадратный корень и.т.д. Первые успешные попытки применения модулярной арифметики в микроэлектронике были предприняты ещё в 1950-х годах, но из-за сложностей с немодульными операциями интерес несколько утих. Однако в настоящее время модулярная арифметика снова возвращается в микроэлектронику по следующим причинам:

большое распространение мобильных процессоров, в которых требуется высокая скорость при маленьком потреблении энергии. Отсутствие переноса в арифметических операциях сложения/умножения позволяет снизить потребление энергии.
увеличивающаяся плотность элементов на кристалле в некоторых случаях не позволяет провести полное тестирование, поэтому растет важность устойчивости процессоров к возможным ошибкам.
появление специализированных процессоров с большим числом операций над векторами, которые требуют высокой скорости и включают в себя преимущественно сложение и умножение чисел (как пример умножение матриц, скалярное произведение векторов, преобразования Фурье и.т.д).

В данный момент модулярная арифметика применяется в следующих областях: цифровая обработка сигналов, криптография, обработка изображений/аудио/видео и.т.д.

Прямое преобразование

Прямое преобразование из позиционной системы счисления (обычно в двоичном виде) в систему счисления в остатках заключается в нахождении остатков от деления по каждому из модулей системы.

Пример: Пусть требуется найти представление числа X = 25 по системе модулей (3, 5, 7). X = (25%3, 25%5, 25%7) = (1, 0, 4).

Реализация нахождения вычета в микроэлектронике по заданному модулю строится на следующих свойствах вычетов:
(a+b) % p = (a%p + b%p)%p
(a*b) % p = (a%p * b%p)%p

Любое число X можно записать в виде X%p = (x_n-1*2^n-1 + x_n-2*2^n-2 + x₀*2⁰)%p = ((x_n-1)%p*2^n-1%p) + ((x_n-2)%p*2^n-2%p) + … + x₀%p)%p. Поскольку в данном случае x_n-1, … x₀ равны 0 или 1, то фактически нам требуется сложить вычеты вида (2ⁱ%p).

Пример: пусть задано число 25 или в двоичной системе счисления 11001 и требуется найти остаток по модулю 7.
25%7 = (1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*¹ + 1*2⁰)%7 = (2⁴%7 + 2³%7 + 1%7)%7 = (2 + 1 + 1)%7 = 4

Систему используемых модулей подбирают под конкретную задачу. Например, для представления 32-х битных чисел достаточно следующей системы модулей: (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) – все они взаимнопросты друг с другом, их произведение равно 6685349671 > 4294967296. Каждый из модулей не превышает 5 бит, то есть операции сложения и умножения будут производиться над 5-битными числами.
Особое значение так же имеет система модулей вида: (2ⁿ-1, 2ⁿ, 2ⁿ+1) в связи с тем, что прямое и обратное преобразование для них выполняется простейшим образом. Что бы получить остаток от деления на 2ⁿ достаточно взять последние n цифр двоичного представления числа.

Арифметические операции

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), то есть мы можем выполнять операции, результат которых не превышает 3*5*7 = 105. Умножим два числа 8 и 10.
8 = (8%3, 8%5, 8%7) = (2, 3, 1)
10 = (10%3, 10%5, 10%7) = (1, 0, 3)
8*10 = ((2*1)%3, (3*0)%5, (1*3)%7) = (2, 0, 3)
Проверяем
80 = (80%3, 80%5, 80%7) = (2, 0, 3)

Обратное преобразование

Обратное преобразование из системы счисления в остаточных классах в позиционную систему счисления производится одним из двух способов:

На базе Китайской теоремы об остатках или системы ортогональных базисов
На базе полиадического кода (другие названия mixed-radix system, система, со смешанным основанием)

Остальные предложенные в различной литературе способы, по сути, являются смесью этих двух.

Способ, основанный на Китайской теореме об остатках, базируется на следующей идее:
X = (x₁, x₂, … x_n) = (x₁, 0, …, 0) + (0, x₂, …, 0) + … + (0, 0, …., x_n) = x₁*(1, 0, …, 0) + x₂*(0, 1, …, 0) + … + x_n*(0, 0, …, 1).
То есть для обратного преобразования требуется найти систему ортогональных базисов B1 = (1, 0, …, 0), B2 = (0, 1, …, 0), …, BN = (0, 0, …, 1). Эти вектора находятся один раз для заданного базиса, а для их поиска требуется решить уравнение вида: (M_i*b_i)%p_i = 1, где M_i = M/p_i, а b_i – искомое число. В этом случае позиционное представление B_i = M_i*b_i и
X = (x₁*(M₁*b₁) + x₂*(M₂*b₂) + … + x_n*(M_n*b_n))%M

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), найдем значения M_i и b_i (0 < i <= 3)
M = 3*5*7 = 105
M₁ = 105/3 = 35
M₂ = 105/5 = 21
M₃ = 105/7 = 15
(35*b₁)%3 = 1 => b₁ = 2
(21*b₂)%5 = 1 => b₂ = 1
(15*b₃)%7 = 1 => b₃ = 1
Теперь преобразуем какое-нибудь число в системе остаточных классов. Положим
X = (2, 3, 1) = (2*35*2 + 3*21*1 + 1*15*1)%105 = (140 + 63 + 15)%105 = 218%105 = 8

Минус этого метода заключается в том, что для обратного преобразования требуется умножение и сложение больших чисел (M₁, …, M_n), а так же операция взятия остатка по модулю большого числа M.

Способ на базе полиадического кода, базируется на идее, что любое число X может быть представлено в системе взаимно простых чисел p₁, … p_n, как [4]:
X = a₁ + a₂*p₁ + a₃*p₁*p₂ +… + a_n-1*p₁*p₂*…*p_n-2 + a_n*p₁*p₂*…*p_n-1, где 0 < a_i < p_i

X%p₁ = x₁ = a₁
(X – a₁)%p₂ = (x₂ — a₁)%p₂ = (a₂*p₁)%p₂ => a₂ = ((p₁^-1)%p₂*(x₂ — a₁))%p₂
(X — a₁ — a₂*p₁)%p₃ = (a₃*p₁*p₂)%p₃ => a₃ = ((p₂^-1)%p₃*((p₁^-1)%p₃*(x₃ — a₁) — a₂))%p₃
…

Для использования этого метода требуются константы вида (p_i^-1)%p_k^-1. Можно также заметить, что начинать вычисление a₃ можно, как только появилось значение a₁. На основе этого метода можно строить конвеерные преобразователи.

Пример: Рассмотрим тот же пример — найдем позиционное представление числа X = (2, 3, 1) в системе модулей (3, 5, 7)

a₁ = x₁ = 2

a₂ = ((p₁^-1)%p₂*(x₂ — a₁))%p₂ = ((3^-1)%5*(3 — 2))%5 = 2*1 = 2

a₃ = ((p₂^-1)%p₃*((p₁^-1)%p₃*(x₃ — a₁) — a₂))%p₃ = ((5^-1)%7*((3^-1)%7*(1 — 2) — 2))%7 = (3*(5*(1-2)-2))%7 = (3*(-7))%7 = 0

X = a₁ + a₂*p₁ + a₃*p₁*p₂ = a₁ + 3*a₂ + 15*a₃ = 2 + 3*2 + 15*0 = 8

Замечание: что бы найти константу вида (3^-1)%5 требуется решить уравнение (3*x)%5 = 1, где 0 <= x < 5

P.S.

Статья написана несколько сумбурно, потому что тема достаточно большая и в одну статью вместить все не представляется возможным. В следующих статьях я попробую расписать более подробно различные аспекты модулярной арифметики. На Хабре же я не нашел вообще ничего что относится к этой теме, только краткие упоминания в других статьях, поэтому и было решено написать небольшой обзор с простенькими примерами. Для тех, кого тема заинтересовала, рекомендую прочитать книгу номер [3] из списка литературы (на английском языке), она написана доступным языком с большим количеством примеров.

Литература

[1] ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F
[2] ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%85
[3] Amos Omondi, Benjamin Premkumar, Residue Number Systems: Theory and Implementation, 2007.
[4] M. A. Soderstrand, W. K. Jenkins, G. A. Jullien and F. J. Taylor. 1986. Residue Number System Arithmetic: Modern Applications in Digital Signal Processing, IEEE Press, New York.

Технология модульного обучения

Модульное обучение – обучение, при котором учебный материал разбит на информационные блоки-модули. Технология построена на самостоятельной деятельности обучающихся, которые осваивают модули в соответствии с поставленной целью обучения.

Особенности модульного обучения

Ключевой элемент структуры в данной технологии – информационный модуль.

Модуль – это отдельный блок, включающий теоретический материал, тренировочные задания, методические рекомендации для учащихся. Составной элемент модуля – контрольные вопросы и тесты, а также ключи для самопроверки или взаимопроверки. Благодаря изучению модуля учащиеся достигают определенной дидактической или педагогической цели.

Содержание учебного занятия конструируется из нескольких логически связанных между собой модулей, каждый из которых решает конкретную учебную задачу. На выполнение модуля дается фиксированное время. Вместе все модульные блоки направлены на достижение предметных и личностных результатов.

Технология основана на деятельностном подходе, ориентирована на личность каждого ученика. Предполагается самостоятельная деятельность обучающихся в освоении материала. Минимальная продолжительность занятия – 2 академических часа. Учащиеся должны быть психологически готовы к самостоятельной деятельности с высокой степенью интенсивности. Поэтому возраст школьников, которые эффективно смогут работать в технологии модульного обучения, – 13-14 лет.

Виды модульного обучения

• Модульная программа. Планирование курса модульных уроков, которые связаны между собой целью, обеспечивающей достижение предметных, личностных и регулятивных результатов. Это программа деятельности учащихся.

• Модульный урок. Это элемент модульной программы.

• Планирование в формате модуля. Использование технологических карт – особой формы структурирования учебного материала.

Цели использования модульного обучения в средней школе

• Освоение учебного материала в процессе активной деятельности учеников.

• Развитие навыков самостоятельности и самоконтроля.

• Повышения познавательного интереса обучающихся.

• Развитие у обучающихся умения планировать свою деятельность.

Принципы

• Модульность. Учебный материал разбивается на отдельные законченные блоки, логически связанные между собой и объединенные одной дидактической целью.

• Динамичность. Модули можно свободно дополнять, заменять в зависимости от изменений в программах, по которым строится обучение.

• Гибкость. Адаптация содержания модуля к индивидуальным запросам обучающихся.

• Осознанная перспектива. Перед учащимся ставятся ближние и дальние цели. Обучение строится на осознанном отношении к процессу освоения знаний.

• Индивидуальные консультации и инструкции для каждого обучающегося.

Роль преподавателя

Учитель разбивает учебный материал на блоки, составляет модульную программу, разрабатывает модульные уроки.

Главная цель – организация самостоятельной деятельности учащихся при работе с модулем. Для этого в продолжение занятия преподаватель контролирует учебный процесс, оказывает консультационную помощь. Следит за временем выполнения каждого учебного элемента и сообщает обучающимся о лимите времени.

Преимущество для учащихся

• Самостоятельное освоение учебного материала.

• Психологическая комфортность на занятиях.

• Работа с модулями осуществляется в индивидуальном темпе.

• Индивидуальная траектория работы на каждом модульном уроке.

Преимущество для учителя

• На уроке освобождается время для индивидуального консультирования учащихся.

Основные трудности для учащихся

• Временной дефицит при выполнении заданий.

• Высокий темп выполнения заданий.

• Не все учащиеся умеют работать самостоятельно. Низкое и фрагментарное качество освоения учебных тем.

Основные трудности для учителя

• Разработка материалов для модуля (комплект заданий, тестов, инструкций) требует больших затрат времени и сил.

• Необходим высокий уровень профессиональной компетенции.

• Материальные затраты на копирование комплектов заданий для каждого учащегося.

Структура модульного урока

1. Мотивационный этап. Беседа, настраивающая на самостоятельную деятельность на уроке. Инструкции к последующей работе.

2. Работа с модульными блоками – учебными элементами (УЭ), которые структурируются в определенном порядке, нумеруются и предлагаются учащимся в индивидуальных комплектах. Ограничения: количество УЭ на уроке должно быть не более семи.

3. Рефлексия. Самооценка уровня продуктивности работы на уроке. Дифференцированное задание для работы дома, выбор которого зависит от результата работы с модулем.

Содержание учебных элементов в модуле:

• УЭ 0 – для учащегося определяется цель, которая будет достигнута в результате освоения модуля по теме урока.

• УЭ 1 – входная диагностика, проверяющая сформированность необходимых умений для освоения модуля. Дается ключ для самопроверки или взаимопроверки, если предполагается парная или групповая работа.

• УЭ 2 – УЭ 6 – обучающие модули, которые включают теоретические и практические задания.

• УЭ 7 – выходная диагностика, оценивающая степень усвоения темы. Ключ к заданию может быть у учителя или также проводится самопроверка.

В печатных комплектах для учащихся обязательно размещается технологическая карта, которая включает следующие элементы:

• Номер УЭ. Время на выполнение каждого учебного блока.

• Учебный материал.

• Инструкции для выполнения каждого учебного элемента.

• Ключи (если предусмотрена самопроверка).

Перспективы развития

Для активного внедрения технологии модульного обучения необходимо повышение мотивации ученика. У школьников должно быть хорошо развито умение самостоятельной познавательной деятельности. Важно, чтобы материальная база учебного заведения позволяла обеспечить учащихся индивидуальными комплектами для работы на модульных уроках.

организация, принципы и основы, цель модульного обучения

Что такое модульное обучение

Традиционная система образования подразумевает одновременное и последовательное изучение нескольких предметов. В среднем каждый год изучается десять и более дисциплин.

Модульная или блочная система обучения — это кардинально иной подход, при котором в рамках блока или модуля изучается 2-3 взаимосвязанных предмета. Считается, что это позволяет изучить предметы более полно и качественно.

Отличия модульной системы от традиционной

В традиционной системе изучают одновременно большое количество предметов, в модульной программе выбирают от одного до трёх и занимаются ими несколько месяцев.
Обычно ученик каждый час переключает своё внимание на совершенно другую дисциплину. В рамках модульной технологии обучения есть возможность разобрать одну тему максимально подробно за несколько дней.
Стандарты обычных образовательных программ ориентированы на усреднённого ученика. Модульные курсы всегда индивидуально подстроены под каждого ребёнка. Например, можно включить в занятия игры, если это поможет лучше усвоить материал.
Модульное обучение значительно сокращает время на получение образования, так как не требует частых повторений пройденного материала. При обычной системе так не получится, ведь каждый предмет растянут на целый год.

Виды модульных систем

Существует два подхода к модульному обучению, рассмотрим их подробнее.

Погружение в один предмет

Выбирается один предмет и изучается разными способами: при помощи лекций, практических занятий и упражнений, чтения дополнительной литературы, обсуждения пройденного, творческих заданий и так далее. Заниматься по выбранному образовательному модулю можно от нескольких недель до полугода — всё индивидуально. После того как ребёнок усвоил материал за один класс (или достиг другой образовательной цели), можно переходить к следующему предмету. Этот подход ещё называют «методом погружения», потому что у ученика есть возможность изучить дисциплину настолько глубоко, насколько он захочет.

Взаимосвязанные предметы

В этом случае выбираются два (реже три) близких предмета и изучаются параллельно. Например, можно заниматься до обеда математикой, а после — физикой или в понедельник заниматься русским языком, а во вторник литературой. Во время обучения по модульному курсу указываются взаимосвязи этих предметов. Хороший способ «связать» дисциплины друг с другом — это изучение одной темы, но с разных сторон. Например, про Средневековье можно читать художественную литературу, слушать лекции по истории и писать сочинения о рыцарях. После каждой темы делается подведение итогов. Завершить изучение всех двух или трёх предметов можно творческим проектом, работа над которым объединяла бы весь пройденный материал.

При выборе технологии модульного обучения ориентироваться нужно на личные особенности ребёнка. Например, первый вариант подойдёт для тех, кому трудно переключаться с одного предмета на другой. Такие дети достигнут лучших результатов, если сконцентрируются на чём-то одном. Второй подход больше для непосед, которым скучно сидеть

Простейшие уравнения с модулем. Тест

Определение. Геометрический смысл

Модуль (или абсолютная величина) числа (обозначается как )— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа

А именно:

Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.

Например, так как $5\geq0$ , попадаем в первую строку (ситуацию).

$5\geq0$ так как -4<0, попадаем во вторую ситуацию.

С геометрической точки зрения, – есть расстояние между числом и началом координат.

Решением уравнения, например, являются числа и , потому что расстояние от точки координатной прямой до нуля равно , и расстояние от точки до нуля также равно 6.

| a-b | с геометрической точки зрения означает расстояние между точками и .

Полезные примеры

1) Раскрыть модуль:

Так как $\pi=3,1415926...$ больше, чем , то $\pi-3>0$ , а значит $\pi-3>0$ согласно правилу раскрытия модуля.

2) Раскрыть модуль: $\pi-3>0$

Так как x^4+1 больше нуля при всех значениях , то согласно правилу раскрытия модуля.

3) Раскрыть модуль:

Так как $\sqrt5>\sqrt4=2$ , то $2-\sqrt5<0$ , а значит, $2-\sqrt5<0$ согласно правилу раскрытия модуля.

Решение уравнений

1) Решить уравнение $2-\sqrt5<0$ .

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: { $\varnothing$ }

2) Решить уравнение: $\varnothing$ .

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда $x\geq 0$ .

Ответ: $[0;+\infty).$

3) Решить уравнение: $[0;+\infty).$

Согласно геометрическому смыслу модуля $[0;+\infty).$ левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

Ответ: $(-\infty;+\infty).$

4) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) $x\geq 0$

Имеем: $x\cdot x+8x-7=0$ ,

Откуда $x=-4\pm \sqrt{23}$ .

Поскольку мы находимся в ситуации $x\geq 0$ , то подходит только корень $x=-4+\sqrt{23}$ .

б) x<0

Имеем: $x\cdot(-x)+8x-7=0$ ,

Откуда x=7 или x=1 .

Поскольку мы находимся в ситуации x<0 , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Ответ: $-4+\sqrt{23}$ .

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение: x^2-2

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

a) Первый случай:

$\begin{cases} x-1\geq 0,& &x^2-2(x-1)=2; \end{cases}$

$\begin{cases} x\geq 1,& &x^2-2x=0; \end{cases}$

$\begin{cases} x\geq 1,& &x=0,\;x=2; \end{cases}$

Что равносильно x=2 .

б) Второй случай:

$\begin{cases} x-1<0,& &x^2-2(1-x)=2; \end{cases}$

$\begin{cases} x<1,& &x^2+2x-4=0; \end{cases}$

$\begin{cases} x<1,& &x=-1\pm\sqrt5; \end{cases}$

Что равносильно $x=-1-\sqrt5$

Ответ: $2;\;-1-\sqrt5$

6) Решить уравнение: $2;\;-1-\sqrt5$

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля $2;\;-1-\sqrt5$ может «скрываться» как так и .

Поэтому или

или

Из первого уравнения x=-4 или x=-1 , а второе уравнение корней не имеет.

Ответ: $-4;\;-1.$

7) Решить уравнение: $-4;\;-1.$

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) Первый случай:

$\begin{cases} x^3-x\geq 0,& &x^3-x=x+4;& \end{cases}$

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

$x^3-x\geq 0$

$x(x^2-1)\geq 0$

$x(x-1)(x+1)\geq 0$

Рассмотрим уравнение из системы:

или

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

Откуда x=2 (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет в ответ.

б) Второй случай:

$\begin{cases} x^3-x< 0,& &-x^3+x=x+4;& \end{cases}$

$\begin{cases} x^3-x< 0,& &x=-\sqrt[3]4;& \end{cases}$

Решение неравенства системы:

Корень $x=-\sqrt[3]4$ удовлетворяет решению неравенства системы.

Собираем решения.

Ответ: $2;\;-\sqrt[3]4$

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Вы можете пройти тест по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»

Модульное обучение — e-xecutive.ru

Что такое модульное обучение?

Модульное обучение — способ организации учебного процесса на основе блочно-модульного представления учебной информации. Сущность модульного обучения состоит в том, что содержание обучения структурируется в автономные организационно-методические блоки — модули, содержание и объем которых могут варьироваться в зависимости от дидактических целей, профильной и уровневой дифференциации обучающихся, желаний обучающихся по выбору индивидуальной траектории движения по учебному курсу.

Модули могут быть обязательными и элективными. Сочетание модулей должно обеспечивать необходимую степень гибкости и свободы в отборе и комплектации требуемого конкретного учебного материала для обучения (и самостоятельного изучения) определенной категории обучающихся и реализации специальных дидактических и профессиональных целей.

Необходимым элементом модульного обучения обычно выступает рейтинговая система оценки знаний, предполагающая балльную оценку успеваемости обучающихся по результатам изучения каждого модуля.

Понятие модуля

Модуль — целостный набор подлежащих освоению умений, знаний, отношений и опыта (компетенций), описанных в форме требований, которым должен соответствовать обучающийся по завершении модуля, и представляющий составную часть более общей функции. Модуль является значимым для сферы труда. Каждый модуль оценивается и обычно сертифицируется.

Сами модули формируются как структурная единица учебного плана по специальности:

как организационно-методическая междисциплинарная структура,
в виде набора разделов из разных дисциплин, объединяемых по тематическому признаку базой;
или как организационно-методическая структурная единица в рамках учебной дисциплины.

Основными примерами учебно-методических комплексов, построенными по такому принципу могут быть современные учебники английского языка, такие как Opportunities.

Характерные черты модульного обучения

Содержание обучения представляется в информационных блоках, усвоение которых осуществляется в соответствии с целью. Дидактическая цель формулируется для обучающегося и содержит в себе не только указание на объем изучаемого содержания, но и на уровень его усвоения. Кроме того, каждый ученик получает от учителя советы в письменной форме, как рациональнее действовать, где найти нужный учебный материал и т.д.
Меняется форма общения учителя и ученика. Оно осуществляется через модули и плюс личное индивидуальное общение.
Ученик работает максимум времени самостоятельно, учится самопланированию, самоорганизации, самоконтролю и самооценке. Это дает возможность ему осознать себя в деятельности, самому определять уровень усвоения знаний, видеть пробелы в своих знаниях и умениях.
Наличие модулей с печатной основой позволяет учителю индивидуализировать работу с отдельными учениками.

Это заготовка энциклопедической статьи по данной теме. Вы можете внести вклад в развитие проекта, улучшив и дополнив текст публикации в соответствии с правилами проекта. Руководство пользователя вы можете найти здесь

Типы полей модулей и тем

Авторизоваться
Создать учетную запись разработчика

ДОМОЙ

Документация
- Документация
- Приложения и интеграции
  - Справочная документация по API
  - Руководства по интеграции API
  CMS
  - Руководства по разработке CMS
  - Справочная документация по CMS
Ресурсы

gruntjs — CSS-модули и несколько макетов / тем?

Переполнение стека

Около
Товары
Для команд

Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
Реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

Модули и темы

веб-деревьев предназначены для расширения и модификации с помощью модулей. Следующие модули были созданы членами сообщества webtrees.

Перед установкой модуля убедитесь, что модуль совместим с вашей версией веб-деревьев. Модули для веб-деревьев 1.7 не будут работать с веб-деревьями 2.0 и наоборот.

Чтобы получить поддержку или сообщить о проблемах, свяжитесь с автором модуля. Чтобы добавить свой модуль в этот список, свяжитесь с нами.

Установка / удаление модулей в webtrees 2.0

Чтобы установить модуль в webtrees 2.0, скопируйте его в папку / modules_v4 / . Темы — это просто специальные типы модулей, которые устанавливаются в одну папку. Чтобы удалить модуль, просто удалите его. Чтобы временно отключить модуль, переименуйте его с / modules_v4 / xxx на /modules_v4/xxx.disable .

Установка / удаление модулей в веб-деревьях 1.7

В webtrees 1.7 темы и модули разные.Темы устанавливаются путем копирования их в папку / themes / . Модули устанавливаются копированием в папку / modules_v3 / . Чтобы удалить модуль или тему, просто удалите их.

Веерная диаграмма предков — от MagicSunday — `2.0` — веб-сайт

Заменяет веерную диаграмму веб-деревьев, этот модуль использует библиотеку D3JS для предоставления привлекательная анимированная фан-карта.

Экспорт филиалов — BlasiusSecundus — `1,7` — сайт

Альтернатива тележке для обрезков, которая позволяет извлекать части дерева в файл GEDCOM.

Custom CSS — by makitso — `2.0` — сайт — демонстрация

Глобальные модификации всех тем, чтобы обеспечить более компактный дисплей и информация, чтобы поместиться на каждой странице.

Cousins - от vytux — `1.7` — `2.0` — сайт

Вкладка, на которой показаны все двоюродные братья и сестры человека.

Custom JS — от JustCarmen — `1.7` — скачать

Позволяет добавлять JavaScript на каждую страницу веб-деревьев.Типичное использование — добавление кода для инструменты, такие как Google Analytics, или изменение существующего контента, например добавление нижних колонтитулов.

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта функция является стандартной частью webtrees 2.0.

Extended Relationships — от ric2016 — `1.7` — веб-сайт — `2.0` — веб-сайт — демонстрация

Этот модуль предоставляет расширенную диаграмму «Взаимосвязи». Он также отображает дополнительные отношения информацию через расширенную вкладку «Семьи» и расширенную вкладку «Факты и события».

Лица — от UksusoFF — `1.7` — `2.0` — сайт

Отметить лица на фотографиях.

Fancy Branch — от JustCarmen — `1,7` — сайт

Этот модуль представляет собой модифицированную версию существующего списка веток webtrees. Это позволяет пользователю развернуть или свернуть каждую семейную ветвь, чтобы упростить просмотр.

Fancy Database Backup — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Этот модуль предоставляет возможность включить программное обеспечение резервного копирования «MySQLDumper» в ваш Панель администрирования webtrees.

Fancy Gendex — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Создать файлы gendex, которые можно импортировать в генеалогические поисковые системы.

Fancy Image Bar — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Необычная панель изображений — это ряд изображений между заголовком и содержимым вашего веб-сайта. Панель изображений состоит из изображений из медиа-объектов в вашем дереве.

Fancy Privacy List — от JustCarmen — `1.7` — сайт

Это административный модуль, который показывает список всех лиц в вашем генеалогическом древе, где вы можете просмотреть настройки конфиденциальности каждого человека.

Необычные исследовательские ссылки — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Модуль боковой панели, который предоставляет быстрые ссылки на функции поиска примерно в 30 сайты генеалогических исследований.

Fancy Tree View — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Этот модуль добавляет страницы для нескольких ветвей в ваше семейное древо.Они перечислены из от первого до последнего поколения и предоставьте повествовательный обзор вашего генеалогического древа.

Fancy Tree View PDF — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Этот модуль является расширением для модуля Fancy Tree View, который дает возможность загрузите страницу Fancy Treeview в виде файла PDF.

Галерея — by vytux — `1.7` — сайт

Показать все фотографии в папке.

Канцлеры и президенты Германии — Хартенталер — `2.0` — сайт

Содержит исторические факты (на немецком языке) — канцлеры и президенты Германии (с 1949 года).

GermanWarsAndBattlesWorldwide — от Hartenthaler — `2.0` — веб-сайт

Содержит исторические факты (на немецком языке) — Мировые войны и сражения (с 900 г.).

Gov4Webtrees — by ric2016 — `1.7` — сайт — `2.0` — сайт — демонстрация

Он дополняет места историческими и текущими данными GOV, создание иерархии мест с административными уровнями с даты соответствующего события.

JustBlack Theme — от JustCarmen — `1.7` — сайт — демонстрация

Темно-серый макет с оранжевыми и желтыми вставками. Плавное верхнее навигационное меню. Хороший шрифт для заголовков. Поддержка Colorbox для файлов PDF. Адаптивные диалоговые окна.

Также есть варианты JustBlack Theme модуль, который настраивает тему JustBlack и предоставляет больше возможностей.

JustLight Theme — от JustCarmen — `1.7` — сайт — demo

Это современная тема в чистом бело-синем цвете.Макет скорректирован максимально для использования на сенсорных устройствах, таких как планшеты и мобильные телефоны. Меню отзывчивое. Это означает, что он будет свернут на экранах меньшего размера и будет иметь только интерактивные элементы. Вы могли использовать для наведения курсора на пункт меню, чтобы получить подменю, но на сенсорных устройствах функция наведения курсора отсутствует. Вкладки на личности page заменены панелями начальной загрузки для лучшего макета на мобильных устройствах. Также боковая панель автоматически сворачивается при просмотре с небольших экранов.

Также есть варианты JustLight Theme модуль, который настраивает тему JustLight и предоставляет больше возможностей.

Добавить дополнительные пункты меню в главное меню.

OpenStreetMap — от ric2016 — `1,7` — веб-сайт

Этот модуль представляет собой альтернативу модулю Google Maps ™, используя OpenStreetMap.

Pages — от vytux — `1.7` — cайт

Добавляйте страницы информации со ссылками из главного меню.

Места и карта происхождения — от ric2016 — `2.0` — сайт

Этот модуль обеспечивает замену исходных модулей «Места» и «Карта родословной», используя данные о местоположении от GEDCOM, а также данные о местоположении, предоставленные другими модулями.

Напоминание — от UksusoFF — `2.0` — сайт

Посылает ежедневное напоминание о годовщинах.

Rural Theme — от jon48 — `1.7` — `2.0` — веб-сайт — демонстрация

Сельская тема в основном основана на коричневых тонах, как дань уважения земле, которую наши предки использовали для возделывания, с небольшим количеством зеленого цвета природы.Компаньон веб-деревьев уже более десяти лет, его характерный макет по-прежнему организован вокруг основного генеалогического контента, заключенного в гибкую белую панель на коричневом фоне.

Изображение заголовка можно настроить, заменив файл ./modules_v4/myartjaub_ruraltheme/resources/images/header.png персональным. Есть только ограничение на высоту, которая не может превышать 150 пикселей .

общих мест — от ric2016 — `1.7` — сайт — `2.0` — сайт

Этот модуль поддерживает общие места как объекты GEDCOM уровня 0 на основе GEDCOM-L приложение к Спецификация GEDCOM 5.5.1. Он отображает данные через расширенную вкладку «Факты и события», дополняя места данными. полученные из соответствующего общего места.

Topola Interactive Tree — автор PeWu — `1,7` — веб-сайт

Интерактивное дерево, показывающее предков и потомков.

Tree View Full Screen — от UksusoFF —

. Используйте модули Hugo | Hugo 
 Prerequisite 
 Большинство команд для  Hugo Modules  требует установленной более новой версии Go (см. Https://golang.org/dl/) и соответствующего клиента VCS (например, Git, см. Https: // git -scm.com/downloads/). Если у вас есть «старый» сайт, работающий на Netlify, вам, возможно, придется установить GO_VERSION на 1.12 в настройках среды.
 Для получения дополнительной информации о модулях Go см .:
 Инициализация нового модуля 
 Используйте  hugo mod init  для инициализации нового модуля Hugo.Если не удается угадать путь к модулю, вы должны указать его в качестве аргумента, например:
  hugo mod init github.com/gohugoio/myShortcodes
  
 См. Также документ CLI.
 Использование модуля для темы 
 Самый простой способ использовать модуль для темы — это импортировать его в config.
 Инициализировать систему модулей hugo:  hugo mod init github.com//  
 Импортируйте тему в конфигурацию .toml :
  [модуль]
  [[module.imports]]
    путь = "github.com/spf13/hyde/"
  
 Модули обновления 
 Модули будут загружены и добавлены, когда вы добавите их в качестве импорта в вашу конфигурацию, см. Импорт модулей.
 Для обновления или управления версиями вы можете использовать мод  hugo get .
 Некоторые примеры:
 Обновить все модули 
 Рекурсивно обновить все модули 
 Новое в v0.65.0 Update One Module 
  hugo mod get -u github.com / gohugoio / myShortcodes
  
 Получить конкретную версию 
  hugo mod получить github.com/gohugoio/[email protected]
  
 См. Также документ CLI.
 Внесение и тестирование изменений в модуле 
 Одним из способов локальной разработки модуля, импортированного в проект, является добавление директивы replace в локальный каталог с исходным кодом в  go.mod :
  replace github. com / bep / hugotestmods / mypartials => / Пользователи / bep / hugotestmods / mypartials
  
 Если у вас запущен сервер  hugo , конфигурация будет перезагружена, и файл  / Users / bep / hugotestmods / mypartials  будет помещен в список наблюдения.
 Распечатать график зависимостей 
 Используйте  hugo mod graph  из соответствующего каталога модулей, и он распечатает график зависимостей, включая продажу, замену модуля или отключенный статус.
 Например:
  hugo mod graph

github.com/bep/my-modular-site github.com/bep/hugotestmods/[email protected]
github.com/bep/my-modular-site github.com/bep/hugotestmods/[email protected]
github.com/bep/hugotestmods/[email protected] github.com/bep/hugotestmods/[email protected],4
github.com/bep/hugotestmods/[email protected] github.com/bep/hugotestmods/[email protected]
ОТКЛЮЧЕНО github.com/bep/my-modular-site github.com/spf13/[email protected]
github.com/bep/my-modular-site github.com/bep/[email protected]
github.com/bep/my-modular-site в-themesdir

  
 См. Также документ CLI.
 Поставщик ваших модулей 
  hugo mod vendor  запишет все зависимости модулей в папку  _vendor , которая затем будет использоваться для всех последующих сборок.
 Обратите внимание:
 Вы можете запустить  hugo mod vendor  на любом уровне в дереве модулей.
 Вендор не будет хранить модули, хранящиеся в вашей папке  themes .
 Большинство команд принимают флаг  --ignoreVendor , который затем запускается так, как если бы ни одна из папок  _vendor  в дереве модулей не существовала.
 См. Также документ CLI.
 Tidy go.mod, go.sum 
 Запустите  hugo mod tidy , чтобы удалить неиспользуемые записи в  go.мод  и  го. сумма .
 См. Также документ CLI.
 Очистить кэш модулей 
 Запустите  hugo mod clean , чтобы удалить весь кеш модулей.
 Обратите внимание, что вы также можете настроить кэш  модулей  с  maxAge , см. Кеши файлов.
 См. Также документ CLI.
.No related posts.

Модули — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Базовые сведения о модуле

Некоторые методы решения уравнений с модулями

Модуль числа

История модуля числа или 6 интересных фактов о модуле числа

Решение задач на тему «Модуль числа»

Введение в модулярную арифметику / Хабр

Прямое преобразование

Арифметические операции

Обратное преобразование

P.S.

Литература

Технология модульного обучения

Особенности модульного обучения

Виды модульного обучения

Цели использования модульного обучения в средней школе

Принципы

Роль преподавателя

Преимущество для учащихся

Преимущество для учителя

Основные трудности для учащихся

Основные трудности для учителя

Структура модульного урока

Содержание учебных элементов в модуле:

Перспективы развития

организация, принципы и основы, цель модульного обучения

Что такое модульное обучение

Отличия модульной системы от традиционной

Виды модульных систем

Погружение в один предмет

Взаимосвязанные предметы

Простейшие уравнения с модулем. Тест

Определение. Геометрический смысл

Полезные примеры

Решение уравнений

Модульное обучение — e-xecutive.ru

Что такое модульное обучение?

Понятие модуля

Характерные черты модульного обучения

Типы полей модулей и тем

Приложения и интеграции

CMS

gruntjs — CSS-модули и несколько макетов / тем?

Модули и темы

Установка / удаление модулей в webtrees 2.0

Установка / удаление модулей в веб-деревьях 1.7

Веерная диаграмма предков — от MagicSunday — 2.0 — веб-сайт

Экспорт филиалов — BlasiusSecundus — 1,7 — сайт

Custom CSS — by makitso — 2.0 — сайт — демонстрация

Cousins ​​- от vytux — 1.7 — 2.0 — сайт

Custom JS — от JustCarmen — 1.7 — скачать

Extended Relationships — от ric2016 — 1.7 — веб-сайт — 2.0 — веб-сайт — демонстрация

Лица — от UksusoFF — 1.7 — 2.0 — сайт

Fancy Branch — от JustCarmen — 1,7 — сайт

Fancy Database Backup — от JustCarmen — 1,7 — веб-сайт

Fancy Gendex — от JustCarmen — 1,7 — веб-сайт

Fancy Image Bar — от JustCarmen — 1,7 — веб-сайт

Fancy Privacy List — от JustCarmen — 1.7 — сайт

Необычные исследовательские ссылки — от JustCarmen — 1,7 — веб-сайт

Fancy Tree View — от JustCarmen — 1,7 — веб-сайт

Fancy Tree View PDF — от JustCarmen — 1,7 — веб-сайт

Галерея — by vytux — 1.7 — сайт

Канцлеры и президенты Германии — Хартенталер — 2.0 — сайт

GermanWarsAndBattlesWorldwide — от Hartenthaler — 2.0 — веб-сайт

Gov4Webtrees — by ric2016 — 1.7 — сайт — 2.0 — сайт — демонстрация

JustBlack Theme — от JustCarmen — 1.7 — сайт — демонстрация

JustLight Theme — от JustCarmen — 1.7 — сайт — demo

OpenStreetMap — от ric2016 — 1,7 — веб-сайт

Pages — от vytux — 1.7 — cайт

Места и карта происхождения — от ric2016 — 2.0 — сайт

Напоминание — от UksusoFF — 2.0 — сайт

Rural Theme — от jon48 — 1.7 — 2.0 — веб-сайт — демонстрация

общих мест — от ric2016 — 1.7 — сайт — 2.0 — сайт

Topola Interactive Tree — автор PeWu — 1,7 — веб-сайт

Tree View Full Screen — от UksusoFF —

Используйте модули Hugo | Hugo

Prerequisite

Инициализация нового модуля

Веерная диаграмма предков — от MagicSunday — `2.0` — веб-сайт

Экспорт филиалов — BlasiusSecundus — `1,7` — сайт

Custom CSS — by makitso — `2.0` — сайт — демонстрация

Cousins - от vytux — `1.7` — `2.0` — сайт

Custom JS — от JustCarmen — `1.7` — скачать

Extended Relationships — от ric2016 — `1.7` — веб-сайт — `2.0` — веб-сайт — демонстрация

Лица — от UksusoFF — `1.7` — `2.0` — сайт

Fancy Branch — от JustCarmen — `1,7` — сайт

Fancy Database Backup — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Fancy Gendex — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Fancy Image Bar — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Fancy Privacy List — от JustCarmen — `1.7` — сайт

Необычные исследовательские ссылки — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Fancy Tree View — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Fancy Tree View PDF — от JustCarmen — `1,7` — веб-сайт

Галерея — by vytux — `1.7` — сайт

Канцлеры и президенты Германии — Хартенталер — `2.0` — сайт

GermanWarsAndBattlesWorldwide — от Hartenthaler — `2.0` — веб-сайт

Gov4Webtrees — by ric2016 — `1.7` — сайт — `2.0` — сайт — демонстрация

JustBlack Theme — от JustCarmen — `1.7` — сайт — демонстрация

JustLight Theme — от JustCarmen — `1.7` — сайт — demo

OpenStreetMap — от ric2016 — `1,7` — веб-сайт

Pages — от vytux — `1.7` — cайт

Места и карта происхождения — от ric2016 — `2.0` — сайт

Напоминание — от UksusoFF — `2.0` — сайт

Rural Theme — от jon48 — `1.7` — `2.0` — веб-сайт — демонстрация

общих мест — от ric2016 — `1.7` — сайт — `2.0` — сайт

Topola Interactive Tree — автор PeWu — `1,7` — веб-сайт

`Добавить комментарий Отменить ответ`