Может ли дисперсия быть отрицательной?
В статистике термин дисперсия относится к тому, насколько разбросаны значения в данном наборе данных.
У студентов часто возникает вопрос о дисперсии:
Может ли дисперсия быть отрицательной?
Ответ: Нет, дисперсия не может быть отрицательной. Наименьшее значение, которое он может принимать, равно нулю.
Чтобы выяснить, почему это так, нам нужно понять, как на самом деле рассчитывается дисперсия.
Как рассчитать дисперсиюФормула для нахождения дисперсии выборки (обозначается как s 2 ):
s 2 = Σ (x i – x ) 2 / (n-1)
куда:
- x : Среднее значение выборки
- x i : i -е наблюдение в выборке
- N : Размер выборки
- Σ : греческий символ, означающий «сумма».
Например, предположим, что у нас есть следующий набор данных с 10 значениями:
Мы можем использовать следующие шаги для расчета дисперсии этой выборки:
Шаг 1: Найдите среднее
Среднее значение просто среднее.
Получается 14,7 .
Шаг 2: Найдите квадратичные отклонения
Далее мы можем рассчитать квадрат отклонения каждого отдельного значения от среднего.
Например, первый квадрат отклонения рассчитывается как (6-14,7) 2 = 75,69.
Шаг 3: Найдите сумму квадратов отклонений
Далее мы можем взять сумму всех квадратов отклонений:
Шаг 4: Рассчитайте выборочную дисперсию
Наконец, мы можем рассчитать выборочную дисперсию как сумму квадратов отклонений, деленную на (n-1):
с 2 = 330,1 / (10-1) = 330,1 / 9 = 36,678
Выборочная дисперсия оказывается равной 36,678 .
Пример нулевой дисперсииНабор данных может иметь нулевую дисперсию только в том случае, если все значения в наборе данных одинаковы .
Например, следующий набор данных имеет нулевую выборочную дисперсию:
Среднее значение набора данных равно 15, и ни одно из отдельных значений не отклоняется от среднего.
Таким образом, сумма квадратов отклонений будет равна нулю, а выборочная дисперсия будет просто равна нулю.
Более распространенным способом измерения разброса значений в наборе данных является использование стандартного отклонения, которое представляет собой просто квадратный корень из дисперсии.
Например, если дисперсия данной выборки равна s 2 = 36,678 , то стандартное отклонение (обозначаемое как s ) рассчитывается как:
с = √ с 2 = √ 36,678 = 6,056
Поскольку мы уже знаем, что дисперсия всегда равна нулю или положительному числу, это означает, что стандартное отклонение никогда не может быть отрицательным, поскольку квадратный корень из нуля или положительного числа не может быть отрицательным.
Дополнительные ресурсыПоказатели центральной тенденции: определение и примеры
Меры рассеивания: определение и примеры
Отрицательные дисперсия, рефракция и обратные поляритоны: импедансный подход
1.
Economou E. N. Surface Plasmons in Thin Films // Phys. Rew. 1969. Vol. 182, № 2. P. 539‒554. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.182.539
2. Tournoisa P., Laude V. Negative group velocities in metalfi lm optical waveguides // Optics Communications. 1997. Vol. 137. P. 41–45.
3. Liu Y. M., Pile D. F. P., Liu Z., Wu D., Sun C., Zhang X. Negative group velocity of surface plasmons on thin metallic fi lms // Proc. SPIE. 2006. Vol. 6323. P. 63231M(1‒9). DOI: https://doi.org/10.1117/12.681492
4. Федянин Д. Ю., Арсенин А. В., Лейман В. Г., Гладун А. Д. Поверхностные плазмон-поляритоны с отрицательной и нулевой групповыми скоростями, распространяющиеся по тонким металлическим пленкам // Квантовая электроника. 2009. Т. 39, № 8. P. 745‒760. DOI: https://doi.org/10.1070/QE2009v039n08ABEH014072
5. Зуев В. С., Зуева Г. Я. Очень медленные поверхностные плазмоны: теория и практика // Оптика и спектроскопия. 2008. Т. 105. С. 852–859. DOI: https://doi.org/10.1134/S0030400X09100166
6.
Tao J., Wang Q. J., Zhang J., Luo Y. Reverse surfacepolariton cherenkov radiation // Scientifi c Reports. 2016. Vol. 6. P. 30704(1‒6). DOI: https://doi.org/10.1038/srep30704
7. Fedyanin D. Yu., Arsenin A. V., Leiman V. G., Gladun A. D. Backward waves in planar insulator-metal-insulator waveguide structures // J. Opt. 2010. Vol. 12, no. 1. P. 015002(1‒7). DOI: https://doi.org/10.1088/2040-8978/12/1/1105002
8. Давидович М. В. Плазмоны в многослойных плоскослоистых структурах // Квантовая электроника. 2017. Т. 47, № 6. С. 567‒579. DOI: https://doi.org/10.1070/QEL16272
9. Давидович М. В. Максимальное замедление и отрицательная дисперсия плазмонов вдоль металлического слоя // ПЖТФ. 2017. Т. 43, № 22. С. 55‒62. DOI: https://doi.org/10.21883/PJTF.2017.22.45261.16629
10. Давидович М. В., Мещанов В. П. Дисперсия поверхностных плазмонов на метаповерхностях : метод тензорных функций Грина // Антенны. 2017. № 8(240). С. 3‒16.
11. Давидович М. В. Об условии перехода быстрой поверхностной волны в медленную // Радиотехника и электроника.
2018. Т. 63, № 6. С. 499–506.
12. Mikhailov S. A., Ziegler K. New electromagnetic mode in graphene // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99, no. 1. P. 016803(1‒4). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.016803
13. Hanson G. W. Dyadic Green’s functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene // J. Appl. Phys. 2008. Vol. 103. P. 064302(1‒8). DOI: https://doi.org/10.1063/1.2891452
14. Давидович М. В., Бушуев Н. А. О возможности создания электронно-вакуумных усилителей на поверхностных плазмонах // II Всероссийская объединенная научная конференции «Проблемы СВЧ электроники» : сб. тр. М. : ООО «Медиа Паблишер», 2015. С. 113‒117.
15. Морозов М. Ю., Моисеенко И. М., Попов В. В. Усиление плазменных волн в экранированном активном графене // Письма в ЖТФ. 2016. Т. 42, № 1 С. 80‒86. DOI: https://doi.org/10.1134/S1063785016010144
16. Popov V. V., Polischuk O. V., Davoyan A. R., Ryzhii V., Otsuji T., Shur M. S. Plasmonic terahertz lasing in an array of graphene nanocavities // Phys.
Rev. 2012. Vol. B 86. P. 195437(1‒6). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.86.195437
17. Аненков В. В., Шевченко В. В. Основные моды несимметричного планарного волновода из метаматериала // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56, № 10. С. 1194‒1200. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064226911100020
18. Давидович М. В. Гиперболическая среда из проволочек конечной длины // ЖЭТФ. 2018. Т. 154, вып. 1 (7). С. 5–25. DOI: https://doi.org/10.7868/S0044451018070015
19. Давидович М. В. Диамагнетизм и парамагнетизм метаматериала из колец с током // ПЖЭТФ. 2018. Т.108, № 5. С. 228‒233. DOI: https://doi.org/10.1134/S0370274X18170010
20. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А. Электромагнетизм и электромагнитные волны. М. : Высш. шк., 1985. 504 c.
21. Давидович М. В. Прохождение сигналов через фильтр с поглощением и отрицательное время задержки // ЖТФ. 2012. Т. 82, вып. 3. С. 15‒22. DOI: https://doi.org/10.1134/S1063784212030048
22. Рытов С. М. Некоторые теоремы о групповой скорости электромагнитных волн // ЖЭТФ.
1947. Т. 17. С. 930‒936.
23. Schulz-DuBois E. O. Energy transport velocity of electromagnetic propagation in dispersive media // Proc. IEEE. 1969. Vol. 57, № 10. P. 1748‒1757.
24. Белов П. А., Симовский К. Р., Третьяков С. А. Обратные волны и отрицательная рефракция в фотонных (электромагнитных) кристаллах // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, № 11. С. 1285‒1294.
25. Агранович В. М. Отрицательное преломление в оптическом диапазоне и нелинейное распространение волн // УФН. 2004. Т. 174, вып. 6. С. 683–684 DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0174.200406i.0683
26. Агранович В. М., Гартштейн Ю. Н. Пространственная дисперсия и отрицательное преломление света // УФН. 2006. Т. 176, вып. 10. С. 1051–1068. DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0176.200610c.1051
27. Раутиан С. Г. Об отражении и преломлении на границе среды с отрицательной групповой скоростью // УФН. 2008. Т. 178, вып. 10. С. 1017‒1024. DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0178.200810a.1017
28. Симовский К.
Р. О материальных параметрах метаматериалов (Обзор) // Оптика и спектроскопия. 2009. Т. 107, № 5. С. 766‒793. DOI: https://doi.org/10.1134/S0030400X09110101
29. Макаров В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные волны с отрицательной групповой скоростью и тензор энергии-импульса // УФН. 2011. Т. 181, вып. 12. С. 1357–1368. DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0181.201112n.1357
30. Давидович М. В. Законы сохранения и плотности энергии и импульса электромагнитного поля в диспергирующей среде. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 112 с.
31. Давидович М. В. Втекающие и вытекающие несобственные моды ‒ анализ диссипативных дисперсионных уравнений и волна Ценнека. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2014. 104 с.
32. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М. : Радио и связь, 1988. 440 с.
33. Давидович М. В. Почему не может быть использован отрицательный показатель преломления // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2011. Т. 11, вып. 1. С. 42–47.
34. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.
М. Курс теоретической физики : в 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. Изд. 2-e. М. : Наука, 1982. 624 с.
35. Лагарьков А. Н., Кисель В. Н., Сарычев А. К., Семененко В. Н. Электрофизика и электродинамика метаматериалов // Теплофизика высоких температур. 2010. Т. 48, № 6. С. 1031–1048. DOI: https://doi.org/10.1134/S0018151X10060258
36. Давидович М. В. Анализ структур фотоники и наноплазмоники методом интегральных уравнений // Наукоемкие технологии. 2016. Т. 17, № 5. С. 8‒18.
37. Вендик И. Б., Вендик О. Г., Гашинова М. С. Искусственная диэлектрическая среда, обладающая одновременно отрицательной диэлектрической и отрицательной магнитной проницаемостями // ПЖТФ. 2006. Т. 32, вып. 10. С. 30‒39. DOI: https://doi.org/10.1134%2FS106378500605018X
38. Давидович М. В. Анализ плазмонов и гомогенизация в плоскослоистых фотонных кристаллах и гиперболических метаматериалах // ЖЭТФ. 2016. Т. 160, вып. 6. С. 1069‒1083. DOI: https://doi.org/10.7868/S0044451016120026
39.
Lovat G., Hanson G. W., Araneo R., Burghignoli P. Semiclassical spatially dispersive intraband conductivity tensor and quantum capacitance of graphene // Phys. Rev. 2013. Vol. B 87. P. 115429(1‒11). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.87.115429
40. Вашковский А. В., Локк Э. Г. Прямые и обратные неколлинеарные волны в магнитных пленках // УФН. 2006. Т. 176, вып. 5. С. 557‒562. DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0176.200605i.0557
41. Келлер Ю. И., Макаров П. А., Шавров В. Г., Щеглов В. И. Поверхностные магнитостатические волны в пластине феррита с диссипацией. Ч. 1, 2 // Журнал радиоэлектроники : электрон. журн. 2016. № 2, 3. URL: http://jre.cplire.ru/mac/feb16/2/text.html; http://jre.cplire.ru/jre/mar16/1/text.html (дата обращения: 14.04.2019).
AMOS утверждает, что некоторые значения дисперсии модели отрицательны
Время от времени я получаю сообщение от Амоса, в котором говорится, что у меня отрицательные дисперсии в моей модели и что мое решение неприемлемо.
Что это значит и почему появляются эти сообщения?
Иногда в выходных данных Amos можно увидеть обе эти ошибки:
Следующие отклонения отрицательны.
Это решение недопустимо.
Хотя дисперсии не могут быть отрицательными, Амос может давать отрицательные оценки дисперсии. Тогда решение называется недопустимым.
Отрицательные отклонения и значения R-квадрата больше 1 теоретически невозможны, поэтому решение считается неправильным, а другие оценки ненадежными. Когда такие оценки дисперсии выходят за пределы диапазона, это известно как случай Хейвуда. Полезное описание дел Хейвуда можно найти в главе 2:
McDonald, R.P. (1985). Факторный анализ и родственные методы. Хиллсдейл, штат Нью-Джерси: Эрлбаум.
Макдональд отмечает, что распространенной причиной случаев Хейвуда является неспособность представить каждый фактор с достаточным количеством переменных с большими нагрузками, и предлагает исследователям убедиться, что каждый общий фактор определяется как минимум тремя, а лучше четырьмя переменными с большими нагрузками.
нагрузки на него. Он отмечает, что иногда случай Хейвуда можно «вылечить», подобрав меньшее количество факторов, но отмечает, что это может привести к неприемлемо малой подгонке данных. Ссылка на большие нагрузки отражает контекст исследовательского факторного анализа, в котором Макдональд обсуждал дела Хейвуда. В контексте подтверждающего факторного анализа подразумевается, что предпочтительно иметь более двух явных переменных, определяющих скрытую переменную. Это не обязательно, и в Руководстве пользователя AMOS есть несколько примеров скрытых переменных, которые определяются только двумя наблюдаемыми переменными. Иногда вы можете обойти случай Хейвуда, наложив дополнительные ограничения, которые могут не быть частью теории, но не противоречат ей. Например, если модель представляет собой модель с несколькими группами, дисперсии ошибок с отрицательными оценками в одной группе могут быть ограничены равными для всех групп без ограничения фактического значения. Могут быть другие ограничения, которые можно попробовать, например, ограничение дисперсии ошибок в пределах одних и тех же факторов равными.
Иногда проблему отрицательной дисперсии можно обойти, изменив метод оценки с максимального правдоподобия по умолчанию на обобщенный метод наименьших квадратов (GLS) или невзвешенный метод наименьших квадратов (ULS), поскольку два последних метода менее подвержены ошибкам. Случаи Хейвуда. Этот подход обсуждается по телефону
https://stat.utexas.edu/software-faqs/lisrel
Обсуждение там касается LISREL, но применимо к AMOS. В AMOS вы должны выбрать GLS или ULS, открыв меню «Вид» и выбрав «Свойства анализа». Затем щелкните вкладку «Оценка» в диалоговом окне «Свойства анализа» и установите переключатель «Обобщенный метод наименьших квадратов» или «Невзвешенный метод наименьших квадратов».
Сообщение об отрицательной дисперсии может указывать на то, что некоторые экзогенные переменные имеют оценочную ковариационную матрицу, которая не является положительно определенной.