На какое число делится число 4 и: Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10

Содержание

Признак делимости на 4: примеры, доказательство

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 4». Приведем здесь формулировку признака, проведем его доказательство, рассмотрим основные примеры задач. В конце раздела мы собрали сведения о подходах, которые можно применять в тех случаях, когда нам нужно доказать делимость чисел на 4, заданных буквенным выражением.

Признак делимости на 4, примеры

Мы можем пойти простым путем и поделить однозначное натуральное число на 4 для того, чтобы проверить, делится ли это число на 4 без остатка. Так же можно поступить с двузначными, трехзначными и проч. числами.  Однако, чем больше становятся числа, тем сложнее проводить с ними действия с целью проверки делимости их на 4.

Гораздо проще становится использовать признак делимости на 4. Он предполагает проведение проверки делимости одной или двух последних цифр целого числа на 4. Что это значит? Это значит, что некоторое число a делится на 4 в том случае, если одна или две крайние правые цифры в записи числа a делятся на 4. Если число, составленное из двух крайних правых цифр в записи числа a не делятся на 4 без остатка, то и число a не делится на 4 без остатка.

Пример 1

Какие из чисел 98 028, 7 612 и 999 888 777 делятся на 4?

Решение

Крайние правые цифры чисел 98 028, 7 612 составляют числа 28 и 12, которые делятся на 4 без остатка. Это значит, что и целые числа

− 98 028, 7 612​​​​​​ ​делятся на 4 без остатка.

Последние две цифры в записи числа 999 888 777 образуют число 77, которое не делится на 4 без остатка. Это значит, что и исходное число на 4 без остатка не делится.

Ответ: −98 028 и 7 612.

Если предпоследней цифрой в записи числа является 0, то нам необходимо этот ноль отбросить и смотреть на оставшуюся крайнюю правую цифру в записи. Получается, что две цифры 01 мы заменяем 1. И уже по одной оставшейся цифре мы делаем вывод о том, делится ли исходное число на 4.

Пример 2

Делится ли числа 75 003 и −88 108 на 4?

Решение

Две последние цифры числа 75 003 — видим 03. Если отбросить ноль, то у нас остается цифра 3, которая на 4 без остатка не делится. Это значит, что исходное число

75 003 на 4 без остатка не делится.

Теперь возьмем две последние цифры числа −88 108. Это 08, из которых мы должны оставить лишь последнюю цифру 8. 8 делится на 4 без остатка.

Это значит, что и исходное число −88 108 мы можем поделить на 4 без остатка.

Ответ: 75 003 не делится на 4, а −88 108 – делится.

Числа, у которых в конце записи идет сразу два нуля, также делятся на 4 без остатка. Например, 100 делится на 4, получается 25. Доказать правдивость этого утверждения нам позволяет правило умножения числа на 100.

Представим произвольно выбранное многозначное число a, запись которого справа заканчивается двумя нулями, как произведение a1·100, где число a1 получается из числа a, если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 486700=4867·100.

Произведение a1·100 содержит множитель 100, который делится на 4.

Это значит, что все приведенное произведение делится на 4.

Доказательство признака делимости на 4

Представим любое натуральное число a в виде равенства a=a1·100+a0, в котором число a1 – это число a, из записи которого убрали две последние цифры, а число a0 – это две крайние правые цифры из записи числа a. Если использовать конкретные натуральные числа, то равенство будет иметь вид undefined. Для одно- и двузначных чисел a=a0.

Определение 1

Теперь обратимся к свойствам делимости: 

  • деление модуля числа a на модуль числа b необходимо и достаточно для того, чтобы целое число a делилось на целое число b;
  • если в равенстве a=s+t все члены, кроме одного делятся на некоторое целое число b, то и этот оставшийся член делится на число b.

Теперь, освежив в памяти необходимые свойства делимости, переформулируем доказательство признака делимости на 4 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4.

Теорема 1

Деление двух последних цифр в записи числа a на 4 – это необходимое и достаточное условие для делимости целого числа a на 4.

Доказательство 1

Если предположить, что a=0, то теорема в доказательстве не нуждается. Для всех остальных целых чисел a мы будем использовать модуль числа a, который является числом положительным:a=a1·100+a0

С учетом того, что произведение a1·100всегда делится на 4, а также с учетом свойств делимости, которые мы привели выше, мы можем сделать следующее утверждение: если число a делится на 4, то и модуль числа a делится на 4, тогда из равенства a=a1·100+a0 следует, что

a0 делится на 4. Так мы доказали необходимость.

Из равенства a=a1·100+a0 следует, что модуль a делится на 4. Это значит, что и само число a делится на 4. Так мы доказали достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Рассмотрим случаи, когда нам нужно установить делимость на 4 целого числа, заданного некоторым выражением, значение которого надо вычислить. Для этого мы можем пойти следующим путем:

  • представить исходное выражение в виде  произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 4;
  • сделать вывод на основании свойства делимости о том, что все исходное выражение делится на
    4.

Помочь в решении задачи часто помогает формула бинома Ньютона.

Пример 3

Делится ли на 4 значение выражения 9n-12n+7 при некотором натуральном n?

Решение

Мы можем представить 9 в виде суммы 8+1. Это дает нам возможность применить формулу бинома Ньютона:

9n-12n+7=8+1n-12n+7==Cn0·8n+Cn1·8n-1·1+…+Cnn-2·82·1n-2+Cnn-1·8·1n-1+Cnn·1n—12n+7==8n+Cn1·8n-1·1+…+Cnn-2·82+n·8+1—12n+7==8n+Cn1·8n-1·1+…+Cnn-2·82-4n+8==4·2·8n-1+2·Cn1·8n-2+…+2·Cnn-2·81-n+2

Произведение, которое мы получили в ходе преобразований, содержит множитель 4, а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Это значит, что это произведение можно разделить на 4 без остатка.

Мы можем утверждать, что исходное выражение 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном n.

Ответ: Да.

Также мы можем применить к решению задачи метод математической индукции. Чтобы не отвлекать ваше внимание на второстепенные детали разбора решения, возьмем прежний пример.

Пример 4

Докажите, что 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном n.

Решение

Начнем с установления того, что при значении n=1 значение выражения 9n-12n+7
можно будет разделить на 4 без остатка.

Получаем: 91-12·1+7=4. 4 делится на 4 без остатка.

Теперь мы можем предположить, что при значении n=k значение выражения
9n-12n+7 будет делиться на 4. Фактически, мы будем работать с выражением 9k-12k+7, которое должно делиться на 4.

Нам необходимо доказать, что 9n-12n+7 при n=k+1будет делиться на 4 с учетом того, что 9k-12k+7​​​​​ делится на 4:

9k+1-12(k+1)+7=9·9k-12k-5=9·9k-12k+7+96k-68==9·9k-12k+7+4·24k-17

Мы получили сумму, в которой первое слагаемое 9·9k-12k+7 делится на 4 в связи с нашим предположением о том, что 9k-12k+7 делится на 4, а второе слагаемое 4·24k-17 содержит множитель 4, в связи с чем также делится на 4. Это значит, что вся сумма делится на 4.

Ответ: мы доказали, что 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном значении n методом математической индукции.

Мы можем использовать еще один подход для того, чтобы доказать делимость некоторого выражения на 4. Этот подход предполагает:

  • доказательство факта того, что значение данного выражения с переменной n делится на 4 при n=4·m, n=4·m+1, n=4·m+2 и n=4·m+3, где m – целое число;
  • вывод о доказанности делимости данного выражения на 4 для любого целого числа n.
Пример 5

Докажите, что значение выражения n·n2+1·n+3·n2+4 при любом целом nделится на 4.

Решение

Если предположить, что n=4·m, получаем:

 4m·4m2+1·4m+3·4m2+4=4m·16m2+1·4m+3·4·4m2+1

Полученное произведение содержит множитель 4, все остальные множители представлены целыми числами. Это дает нам основание предполагать, что все произведение делится на 4.

Если предположить, что 

n=4·m+1, получаем:

4m+1·4m+12+1·4m+1+3·4m+12+4==(4m·1)+4m+12+1·4m+1·4m+12+4

И опять в произведении, которое мы получили в ходе преобразований,
содержится множитель 4.

Это значит, что выражение делится на 4.

Если предположить, что n=4·m+2, то:

4m+2·4m+22+1·4m+2+3·4m+22+4==2·2m+1·16m2+16m+5·(4m+5)·8·(2m2+2m+1)

Здесь в произведении мы получили множитель 8, который можно без остатка поделить на 4. Это значит, что все произведение делится на 4.

Если предположить, что n=4·m+3, получаем:

4m+3·4m+32+1·4m+3+3·4m+32+4==4m+3·2·8m2+12m+5·2·2m+3·16m2+24m+13==4·4m+3·8m2+12m+5·16m2+24m+13

Произведение содержит множитель 4, значит делится на 4 без остатка.

Ответ: мы доказали, что исходное выражение делится на 4 при любом n.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Признаки делимости на 2,3,4,5,6,7,8 и 9. Примеры решения задач.

  • Альфашкола
  • Статьи
  • Признаки делимости (Часть 1)

Что такое делимость?

«Делимость» означает, что при делении одного числа на другое результатом должно быть целое число с нулевым остатком. Под признаком делимости понимают правило, позволяющие быстро определить, является ли число кратным заданному числу.

Пример:

\(6:3 =2; \)  \(6\) делится на \(3\), так как результат \(2\) — целое число, а остаток равен \(0\).

\(7:3=2,333…\) \(7\) не делится на \(3\) так как результат \(2,333…\) не является целым числом.

 

Признаки делимости чисел от  \(1\) до \(10\).

Признак делимости на \(1\)

Каждое целое число делится на \(1\)

Признак делимости на \(2\)

Последняя цифра должна быть четной — \(0,2,4,6,8\).

Пример : \(3456\) делится на \(2\) так как последняя цифра \(6\) — четное число.

\(343423\) не делится на \(2\), так как последняя цифра \(3\) нечетная.

Все четные числа делятся на \(2\).

Признак делимости на \(3\)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(3\). Это простой способ найти числа кратные  \(3\).

\(3789\) делится на \(3\), так как сумма \(3+7+8+9=27\) делится на \(3\).

\(43266737\) не делится на \(3\) – сумма цифр \(4+3+2+6+6+7+3+7=38\) не делится на \(3\).

Признак делимости на \(4\)

Число, образованное последними двумя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(4\).

Пример: \(23746228\) делится на \(4\) если \(28\) делится на \(4\).

\(674235642\) не делится на \(4\), так как \(4\) не кратно \(42\).

Признаки делимости на \(5\)

Последняя цифра должна быть \(0\) или \(5\).

Пример: \(42340\) делится на \(5\) так как   \(0\) — последняя цифра.

\(672234\) не делится на \(5\) так как \(4\) последняя цифра.

Признак делимости на \(6\)

Число должно быть кратным \(2\) и \(3\).

\(7563894\) делится на \(6\) —  последняя цифра \(4\)  делится на \(2\) и сумма цифр \(7+5+6+3+8+9+4=42\) делится на \(3\).

\(567423\) не делится на \(6\) —  последняя цифра \(3\), поэтому не делится на \(2\). Даже не нужно проверять на \(3\).


Признаки делимости на \(7\)

Дважды умноженная последняя цифра отнимается от оставшихся цифр в данном числе, результат должен быть кратным \(7\).

  1.  \(343\) делится на 7 так как \(34-(2*3)=28\),  \(28\) делится на \(7\).

2. \(345343\)   \(3\) — последняя цифра. Вычитаем \(2*3\) из \(34534\).

\(34534-(2*3)=34528\) число слишком большое.

\(3452-(2*8)-3436\) число слишком большое.

\(343-(2*6)=331\) повторяем снова

\(33-(2*1)=31,31\)не делится на \(7\).

\(345343\) не делится на \(7\).

Признак делимости на \(8\)

Число, образованное последними тремя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(8\).

Пример:\(234568:8-568\) делится на \(8\).

\(4568742\)не делится на \(8\) , так как  \(8\) не кратно \(742\)

Признак делимости на \(9\)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(9\).

\(456786:9 -\) если сумма \( 4+5+6+7+8+6=36\) делится на \(9\).

\(87956:9-\)  сумма \(8+7+9+5+6=25\)не делится на 9.

Признак делимости на \(10\)

Последняя цифра должна быть \(0\).

Пример: \(456780\) делится на \(10\) — если последняя цифра равна \(0\).

\(78521\) не делится на \(10\) – последняя цифра \(1\).

 

Если число \(S\) делится на два числа \(a\) и \(b\), где \(a,b\) — простые числа , то \(S\) делится на \(a*b\), где \(a\) и \(b\) простые числа.

\(24\) делится на \(2\) и \(3\) и следовательно и на \(6\).

\(36\) делится на \(2 \) и \(4\), но не делится на \(8\), так  как \(4\) не простое число.

Если число \(N\) делится на другое число \(M\), то \(N\) также делится на множители \(M\).

 Например:

  1. \(72:12=6\)
  2. \(72\) также делится на \(2,3,4,6\) так как \(12\) кратно \(2,3,4,6\).

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Тамара Анатольевна Меркулова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 7-11 классов. Математика – это ясный и логичный мир, который откроется вам, когда вы узнаете его поближе. Надеюсь, вам он тоже понравится, как нравится мне. Я помогу вам понять законы и правила математики, справиться с трудными и опасными местами там. Мы сможем спокойно и уверенно подготовиться к любым контрольным и экзаменам. Ни ОГЭ, ни ЕГЭ не будут для вас препятствием.

Елена Ивановна Качанова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Витебский государственный педагогический институт им. С.М. Кирова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 классов. На своих уроках я применяю элементы современных образовательных технологий: здоровьесберегающие технологии, личностно-ориентированный подход, игровые технологии, технологии уровневых дифференциаций, проектное обучение, технологии проблемного обучения, также комбинирую несколько образовательных технологий в одном уроке. С радостью жду Вас на своих занятиях!

Мария Николаевна Орлова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Оренбургский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по информатике с 5-9 класс. В наше время нельзя обойтись без знания информатики, так как компьютеры сейчас используются в любой сфере. В своей практике использую индивидуальный подход к каждому ученику. Ежегодно готовлю учеников к ОГЭ по информатике. Все ребята, которые сдавали ОГЭ имеют максимальные баллы. На своих занятиях разбираем теоретическую часть, но большее часть урока идет на развитие практических навыков решения различных типов задач. Будем разбирать такие темы: алгебра логики, система счисления, программирование, информационный объем.

Похожие статьи

  • Сложение дробей
  • Свойства интегралов
  • Свойства корней
  • Рациональные числа
  • Решаем олимпиадные задачи для 2 класса
  • Как легко обмануться, если не знаешь математики
  • Что делать, если учеба отнимает все время, но хочется ходить на кружки?
  • Как узнать, что у ребенка проблемы в школе?

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка.

+ Признаки делимости на 11,13,25,36.

Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.


Поиск на сайте DPVA

Поставщики оборудования

Полезные ссылки

О проекте

Обратная связь

Ответы на вопросы.

Оглавление

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Поделиться:   

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка.

  + Признаки делимости на 11,13,25,36.
  • Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
  • Признак делимости на 3 : если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
  • Признак делимости на 4 : число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
  • Признак делимости на 5 : если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
  • Признак делимости на 6 : число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
  • Признак делимости на 8 : число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
  • Признак делимости на 9 : если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
  • Признак делимости на 10 : если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.

Для отличников:

  • Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Примеры: а) 1234761 делится на 11; б) 252747 делится на 11;
  • Признак делимости на 13: чтобы узнать делится ли число на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13 то и заданное число делится на 13 Примеры: а)5525 делится на 13; б)18928 делится на 13;
  • Признак делимости на 25: число делится на 25, если его последние две цифры – нули или образуют число, делящееся на 25. Примеры: а)625 делится на 25; б)18900 делится на 25;
  • Признак делимости на 36: число делится на 36, если оно в одно время делится на 4 и 9

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Применение некоторых признаков делимости при решении задач

Цель урока: познакомиться с некоторыми признаками делимости натуральных чисел и убедиться в эффективности их применение для быстрого счета при выполнении различных математических задач и головоломок.

Оборудование, ресурсное обеспечение урока

Используемые на уроке средства ИКТ:

  • персональный компьютер учителя, мультимедийный проектор, экран;
  • персональные компьютеры учащихся с доступом в сеть Интернет.

Электронные образовательные ресурсы

  • презентация;
  • сайт (ссылка https://tanekv. wixsite.com/matem)
Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир.

И.Гете

Учитель: (2 мин) В этом году на уроках математики вы изучали основные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и 10. С помощью признаков делимости вы решали задачи, в которых необходимо было найти НОД (Наибольший Общий Делитель) или НОК (Наименьшее Общее Кратное) двух натуральных чисел, сократить дробь, определить общий множитель, решить цифровую головоломку и некоторые практические задачи. Но существуют еще и другие признаки делимости, которые в школе не изучают. Сегодня мы рассмотрим некоторые признаки делимости и постараемся убедиться, в том, что признаки делимости — это важный и существенный прием в математике, значительно облегчающий процесс расчетов при решении задач. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.

1 Выступающий: Признаки делимости известны с давних времен и всегда интересовали ученых разных народов. Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признак делимости на 9 был известен грекам в третьем столетии до нашей эры. Впервые признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (около 1179-1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки

Признак делимости Паскаля. Натуральное число, а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа, а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Проверим признак делимости Паскаля на 7:

Например, рассмотрим число 1645 и докажем, что оно делится на 7:

Число 1645=1*1000+6*100+4*10+5.

Найдем остатки от деления на 7 чисел 1000, 100, 10:

  • 1000=7*142+6, здесь 6-остаток отделения 1000 на 7,
  • 100=7*14+2, 2 — остаток от деления 100 на 7,
  • 10=7*1+3, 3- остаток от деления 10 на 7,

тогда произведение цифр числа 1645 на соответствующие остатки равно 1*6 + 6 *2 + 4*3 + 5 = 35, число 35 делится на 7, значит число 1645 делиться на 7.

2 Выступающий: Проверим признак делимости Паскаля на 3:

Докажем, что число 771 делится на 3, число 771=7*100+7*10+1 найдем остатки от деления на 3 чисел 100 и 10:

  • 100=3*33+1, здесь 1 — остаток от деления 100 на 3;
  • 10=3*3+1, 1 — остаток от деления 10 на 3;

тогда произведение цифр числа 771 на соответствующие остатки равно 7*1+7*1+1=15, число 15 делится на 3, значит число 771 делится на 3.

Другой известный признак, признак делимости на 9 похож на признак делимости на число 3. Дома попробуйте проверить признак делимости Паскаля на 9. Проверьте делимость числа 2115 на 9 с помощью признака делимости Паскаля.

Учитель: Все признаки можно разбить на четыре основные группы:

  • Делимость по сумме цифр числа: 3, 9, 11, 99;
  • Собственные признаки делимости: 7, 11, 99;
  • Делимость по последним цифрам числам: 2, 5, 10, 4, 25,8, 125;
  • Делимость составных чисел: 6, 12, 15, 18.

Рассмотрим решения задач, в которых применяются признаки делимости по сумме цифр числа. Это признаков делимости на 3 и на 9.

Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. При этом, число, которое делится на 3 не всегда делится на 9.

3 Выступающий:

2021-й год в России объявлен Годом науки и технологий.

Сейчас мы рассмотрим задачу, посвященную этой дате, для которой достаточно знать признак делимости на 9.

Задача 1: Делится ли на 9 число: Будет ли это число делиться на 3?

Решение: 102021 + 8 = 1000….008 — число записано с помощью цифр 1, 0, 0…,0, 8 и сумма этих цифр равна 9, то есть 1+0+…+0+8=9, сумма цифр этого числа равна 9, 9 делиться на 9, поэтому и само число 102021 + 8 делится на 9. (Сумма цифр числа 102021 + 8 равна 9, а 9 делится на 3, значит и это число делится на 3)

2023 год рассматривается в Правительстве как год, который будет объявлен Годом математики и информатики. Решите задачу, посвященную этим датам 2021 и 2023:

Задание классу: Делится на 3 число 102023 + 2021. Объясните почему? Будет ли это число делиться на 9?

(Обсуждают устно и затем показываем решение на экране монитора)

Решение: 102023 + 2021 = 1000….002021 — число записано с помощью цифр 1, 0, 0…,0, 2,0,2,1 и сумма этих цифр равна 6, то есть 1+0+…+0+2+0+2+1=6 , сумма цифр этого числа равна 6, число 6 делиться на 3, поэтому и само число делится на 3

4 Выступающий.

Другой интересный признак делимости по сумме цифр. Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующая группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, проверим делимость числа 74547 на 99. Для этого разобьём число 74547 на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) 7|45|47 и найдём сумму этих групп, считая их двузначными числами. Получим 47 + 45 + 7 = 99, число 99 делится на 99, значит, число 74547 делится на 99.

Этот признак можно применить при решении следующей задачи:

Задача. В числе 341*163 вместо звездочки поставьте такую цифру, чтобы это число делилось на 99.

Решение.

  • Разобьем это число на группы справа налево по две цифры, получим четыре группы 3|41|*1|63.
  • Так как звездочка в третьей группе стоит в разряде десятков вместо звездочки мы поставим 10 х, найдем сумму этих групп 3+41+ (10 х+1)+63=10 х+108, ближайшее число, делящееся на 99, это число 198. Значит, 10 х+108=198, откуда

10 х=198-108,

10x=90

x=9.

Ответ: значит, звездочка равна 9.

5 Выступающий. Решим еще одну задачу на признак делимости на 99:

Задача. В числе 24*9162 вместо звездочки поставьте такую цифру, чтобы это число делилось на 99.

Решение.

Разобьем число 24*9162 на группы справа налево, получим четыре группы чисел 2|4*|91|62.

Звездочка во второй группе стоит в разряде единиц, поэтому вместо звездочки мы поставим х, найдем сумму этих групп, получим 2+(40+х) + 91+62= х+195, ближайшее число, делящееся на 99, это число 198. Значит, х+195=198, откуда

x=198-195

х=3.

Ответ. х = 3, звездочка равна 3.

Задание классу: Чему равна звездочка в числе *2276, чтобы это число делилось на 99?

(Ответ: звездочка равна 1, так как сумма групп равна x+22+76=x+98, ближайшее число, делящееся на 99, это число 99. Значит, х+98=99, откуда x=1)

6 Выступающий: В 5 классе мы научились быстро умножать на 11, сегодня мы познакомимся с признаком делимости на 11.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующая группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, испытаем число 15235. Разбиваем это число на группы по две цифры справа налево 1|52|35 и найдем сумму этих групп: 1+52+35=88, число 88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Рассмотрим задачу на этот признак:

Задача: Какая дата в декабре 2021 года образует семизначное число кратное 11. Найдите эту дату.

Решение: дата в декабре 2021 года, которая образует семизначное число кратное 11, имеет вид *122021, разбиваем это число на группы по две цифры справа налево *|12|20|21 и найдем сумму этих групп, пусть звездочка равна x, тогда x+12+20+21=x+53, ближайшее число, делящееся на 11, это число 55. Значит, х+53=55, откуда

x=55-53

х=2.

Ответ. х = 2, звездочка равна 2.

Учитель: Вы знаете такие признаки делимости по последним цифрам числа как признак делимости на 2, на 5, на 10, но есть еще интересные признаки делимости на 4, на 25, на 8, на 125.

7 Выступающий: Признаки делимости на 4, на25. На 4, на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4, на 25.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.

Пример: 924 делится на 4, т. к. 24 делится на 4.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Пример: 275 делится на 25, т. к. 75 делится на 25.

Задача. Запиши все значения x, кратные числу 4, при которых верно неравенство 519 (на экране монитора)

Решение: Число делится на 4, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4, в числе 516 две последние цифры образуют число 16, которое делится на 4, значит это число 516.

Ответ: 516.

Задание классу. Вычеркните в числе 87153 две цифры так, чтобы получившееся число делилось на 25.

Решение: Число делится на 25, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 25, в числе 875 две последние цифры образуют число 75, которое делиться на 25, значит надо вычеркнуть цифры 1 и 3.

Ответ: 875.

8 Выступающий. Рассмотрим признаки делимости на 8 и на 125.

На 8 или на 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или на 125.

Признак делимости на 8. Число делится на 8 тогда и только тогда, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

Пример: 9136 делится на 8, т.к. 136 делится на 8.

Признак делимости на 125. Число делится на 125 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 125.

Пример: 8250 делится на 125, т. к. 250 делится на 125.

Задание классу. Между числами 125 100 и 125 108 расположено натуральное число, которое делятся на 8. Выберите это число из чисел 125102, 125104, 125106.

Решение: Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, которое делиться на 8, 104:8=13, значит на 8 делится число 125104.

Ответ: число 125104.

Учитель: Рассмотрим делимость составных чисел. Число называется составным, если оно имеет делители, отличные от единицы и самого себя. Например, это признаки делимости на 6, на 12, на 15.

9 Выступающий.

Признак делимости на 12. Число делится на 12 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 4.

Пример: 696 делится на 12, т.к. число делится и на 3, и на 4. Две последние цифры этого числа образуют число 96, которое делится на 4 и сумма цифр этого числа 6+9+6= 21, 21 делится на 3.

Рассмотрим задачу на признак делимости на 12.

Задача. Вычеркните в числе 24161 две цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. (на экране монитора)

Решение: Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 4 и на 3. Чтобы число делилось на 4, надо чтобы две последние цифры этого числа образуют число, которое делиться на 4 в нашем случае это число 16, поэтому вычеркнем последнюю 1, сумма цифр этого числа 2+4+1+6= 13, но ближайшее число, которое делится на 3 это 9, тогда 13-9=4 значит вычеркнем цифру 4.

Ответ: 216

Задание классу. Задания на компьютере.

Ссылка на сайт https://tanekv.wixsite.com/matem

Учитель. Познакомившись с признаками делимости чисел, можно сказать, что полученные знания можно применять самостоятельно для решения не только школьных и олимпиадных, но и жизненных задач. Знание признаков делимости как одного из приемов быстрого счета значительно упрощает процесс вычисления, позволяет сэкономить время, исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления, повышает вычислительную культуру учащихся. Сегодня на уроке вы узнали много нового.

Свойства делимости чисел

Признак делимости на 2

Чётное число – это число, которое делится на 2.

Нечётное число – не делится на 2.

Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.

Число 52 738 делится на 2, так как у него последняя цифра 8 которая является чётной.

Число 7691 не делится на 2, так как цифра 1 находящаяся в конце нечетная.

Число 1250 делится на 2, так как цифра, которая находится в конце нуль.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.

Число 31 800 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.

Число 325 734 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 34, которое не делится на 4.

Число 15 608 делится на 4, так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8, которое делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или формируют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.

Число 225 000 делится на 8, так как оканчивается тремя нулями.

Число 180 004 не делится на 8, так как три крайние цифры дают число 4, которое не делится на 8.

Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120, которое делится на 8.

Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16, 32, 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.

Признаки делимости на 3 и на 9

На число 3 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 3.

На число 9 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 9.

Число 17 835 делится на 3 и не может быть разделено на 9, так как сумма его цифровых значений 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 может быть разделено на 3 и не делится на 9.

Число 106 499 не может быть разделено ни на 3, ни на 9, так как составляющие его цифры в сумме даёт число 29 которое не делится как на 3, так и на 9.

Число 52 632 может быть разделено на 9, так как сумма цифр входящих его состав 18 которое делится на 9.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.

Число 126 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.

Признак делимости на 5

На 5 делятся те числа, у которых последняя цифра 0 или 5. Другие – не делятся.

Число 240 может быть разделено на 5, так как последняя цифра 0.

Число 554 не делится на 5, так как последняя цифра 4.

Признак делимости на 25

На 25 можно разделит только те числа, у которых две крайние цифры нули либо формируют число, которое может быть разделено на 25, например числа оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75. Другие — не делятся.

Число 7150 можно разделить на 25, так как оканчивается на 50.

Число 4855 не получится разделить на 25.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000

Числа делятся на 10, когда последняя цифра является нулём.

Числа делятся на 100, если две последние цифры этих чисел нули.

Числа делятся на 1000, если три конечные цифры у них нули.

8200 можно разделить на 10 и на 100.

542 000 можно разделить на 10, 100 и 1000.

Признак делимости на 11

На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11.

103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12

9 163 627 можно разделить на 11, так как при вычитании из 28 числа 6 получается 22, которое делится на 11. ( 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ) ( 1 + 3 + 2 = 6 )

461 025 не может разделено на 11, в виду того что числа 7 и 11 взаимно не ровны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 117 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11).

Существуют признаки делимости так же и на другие числа, но эти признаки гораздо сложнее.

Признаки делимости чисел / Блог / Справочник :: Бингоскул

добавить в закладки удалить из закладок

Признаки делимости от 2 до 19 и 24, 25, 36 с примерами

Признаки делимости на 2

  • На 2 делятся все четные натуральные числа или последняя цифра должна быть четной — 0, 2, 4, 6, 8.
  • Например: 24, 48, 94, 172, 1670, 67838.

Признаки делимости на 3

  • На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.
  • Например: 16734, сумма цифр = 1+6+7+3+4=21; 21 : 3 = 7 — делится на 3

Признаки делимости на 4

  • На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
  • Например: 1024 делится на 4, так как 24 делится на 4

Признаки делимости на 5

  • На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.
  • Например: 125 делится на 5, поскольку последняя цифра 5

Признаки делимости на 6

  • На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).
  • Например: 126 делится 6, так как 126 — четное и сумма = 1 + 2 + 6 = 9 кратна 3

Признаки делимости на 7

  • На 7 делятся те натуральные числа, у которых результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7
  •  Например: 17948 делится на 7, 1794 — (2 · 8) = 1778 большое число, 177 — (8 · 2) = 161 повторяем снова16 — (1 · 2) = 14

Признаки делимости на 8

  • Числа делятся на 8, если три его последние цифры делятся на 8.
  • Например: 1568 делится на 8 — 568 кратно 8

Признаки делимости на 9

  • На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.
  • Например: 1179 — сумма =1 + 1 + 7 + 9 = 18, делится на 9

Признаки делимости на 10

  • На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.
  • Например: 1570 — делится на 10, последняя цифра 0

Признаки делимости на 11

  • На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места
  • Например: 105787 делится на 11 — сумма 1 + 5 + 8 = 14 равна 0 + 7 + 7 = 14;

Признаки делимости на 12

  • Число делится на 12 тогда и только тогда, когда она делится на 3 и на 4 одновременно.
  • Например: 168 — делится на 3 и 4, следовательно делится на 12

Признаки делимости на 13

  • Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.
  • Например: 221 делится на 13: 22 + 1· 4 = 26 кратно 13

Признаки делимости на 14

  • Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признаки делимости на 15

  • Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признаки делимости на 16

  • Число делится не 16 только тогда, когда 4 последние цифры делятся на 16
  • Например: 24576 делится 16, так как 4576:16 = 286

Признаки делимости на 17

  • Число делится на 17, если разность числа кроме последней цифры справа и последней цифры умноженную на пять кратно 17.
  • Например: 272 делится на 17, 27 — 2 · 5 = 17 кратно 17

Признаки делимости на 18

  • На 18 делятся те натуральные числа, которые четные и сумма цифр делится на 9.
  • Например: 5508 — сумма = 5 + 5 + 0 + 8 = 18 кратна 9 и четное число, следовательно делится на 18

Признаки делимости на 19

  • Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19
  • Например: 646 — 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19

Признаки делимости на 24

  • Число, делится на 24, если сумма всех цифр данного числа делится на 3 и последние три цифры данного числа делится на 8.
  • Например: 1512 делится на 24 — сумма 1 + 5 + 1 + 2 = 9 кратна 3 и 512 : 8 = 64

Признаки делимости на 25

  • На 25 делятся числа, если две последние цифры делятся на 25.
  • Например: 650 — 50 : 25 = 2; 1475 — 75: 25 = 3

Признаки делимости на 36

  • Число делится на 36, если 2-е последние цифры делятся на 4 и сумма цифр кратна 9.
  • Например: 1620 — 20 : 4 = 5 и сумма 1 + 6 + 2 + 0 = 9 кратно 9; 4860 — 60 : 4 = 15 и 4 + 8 + 6 + 0 = 18 кратно 9

Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

  • задание 19 по математике базового уровня
  • задание 19 по математике профильного уровня

Поделитесь в социальных сетях:

8 марта 2018, 22:17

Could not load xLike class!



Как узнать, делится ли число на 4

Как узнать, делится ли число на 4

Чтобы определить, делится ли число на 4, выполните следующие действия:

  1. Посмотрите на две последние цифры в столбцах десятков и единиц числа.
  2. Если это двузначное число делится на 4, то исходное число делится на 4.
  3. Все двузначные числа делятся на 4, если их можно разделить пополам и еще раз пополам, чтобы получить целое число.

Если число делится на 4, это означает, что оно кратно 4. Число, которое делится на 4, находится в таблице умножения на 4 и может быть разделено точно на 4 без остатка.

Число делится на 4, если его последние 2 цифры делятся на 4. Нет необходимости смотреть на предыдущие цифры. Все числа делятся на 4, если их можно разделить пополам и еще раз пополам, чтобы получить целое число.

Например, мы проверим, делится ли 732 на 4.

Первый шаг — посмотреть на последние 2 цифры номера.

Последние две цифры числа 732 — 32.

Следующий шаг — решить, делятся ли последние 2 цифры на 4.

32 можно разделить пополам, а затем еще раз пополам, чтобы получить целое число. 32 ÷ 2 = 16, а затем 16 ÷ 2 = 8. 32 кратно 4, потому что это 4 × 8.

32 делится на 4, значит, 732 делится на 4.

Это означает, что 732 можно разделить ровно на 4.

732 разделить на 4 будет 183.

Правило делимости на 4 говорит нам только о том, делится ли число на 4, но не дает ответа на деление.

Вот пример использования правила делимости на 4 для доказательства того, что число не делится на 4.

У нас 44 422.

Глядя на две последние цифры числа 44 422, мы получаем 22.

22 не кратно 4, следовательно, число 44 422 также не кратно 4.

Мы знаем, что 22 не кратно 4, потому что его нельзя разделить пополам и еще раз пополам, чтобы получить целое число.

Половина от 22 составляет 11, а половина от 11 — 5,5.

Вот еще один пример использования правила для проверки на делимость на 4.

Вот 3740.

Последние две цифры 40.

40 кратно 4, значит, 3740 тоже кратно.

Мы видим, что 40 можно разделить пополам и еще раз пополам, чтобы получить 10. 40 — это 10 лотов по 4.

Почему работает правило делимости на 4?

Правило делимости на 4 работает, потому что 4 делится точно на все числа, кратные 100. Сотни числа всегда делятся на 4, поэтому необходимо проверять только цифры в столбцах десятков и единиц. Если последние 2 цифры делятся на 4, число делится на 4.

Все числа, кратные 100, делятся на 4. Это потому, что 4 × 25 = 100. Если 4 делится точно на 100, оно делится точно на все числа, кратные 100, такие как 200 и 300.

Все числа можно разделить на сотни, десятки и единицы. Например, 116 можно записать как 100 + 16.

100 делится на 4, поэтому нам просто нужно проверить, делится ли 16 на 4. Если и 100, и 16 делятся на 4, то 116 тоже делится на 4.

Мы просто проверяем последние две цифры числа 16.

16 делится на 4, потому что мы можем разделить его пополам и еще раз пополам, чтобы получить целое число.

16 — это 4 лота по 4.

16 кратно 4, значит, 116 кратно 4.

Все трехзначные числа и больше могут быть записаны как кратные 100 плюс двузначное число. Число, кратное 100, делится на 4, поэтому, если последние 2 цифры делятся на 4, само число делится на 4.

Например, 52 164 можно записать как 52 100 + 64. 52 100 кратно 100 и, следовательно, делится на 4. Нам просто нужно решить, кратно ли 64 4.

64 можно разделить пополам, чтобы получить 32, и еще раз разделить пополам, чтобы получить 16. 64 — это 16 × 4.

64 делится на 4, значит, 52 164 тоже делится на 4.

Стратегия «Разделить пополам и снова пополам»

Стратегия «Поделить пополам, затем снова пополам» — это метод, используемый для деления больших чисел на 4. Деление на 4 аналогично делению на 2 и последующему делению еще раз на 2. Этот метод используется для разбиения более сложных подразделений на более управляемые этапы.

Например, чтобы разделить 20 на 5, мы делим 20 пополам и еще раз делим пополам.

Половина 20 — это 10. 10 — четное число, и мы можем снова разделить его пополам.

Половина 10 равна 5. Следовательно, 20 ÷ 4 = 5.

Хотя стратегия «пополам и еще раз пополам» состоит из 2 шагов, ими, как правило, легче управлять, чем просто делением числа на 4. Это означает, что эта стратегия полезна для мысленного деления на 4.

Простой способ проверить, делится ли число на 4, нам просто нужно иметь возможность разделить его пополам и еще раз пополам. Если после деления пополам число четное, то его можно еще раз пополам. Если число дает четное число при делении пополам, то оно делится на 4.

Здесь 60 ÷ 4.

Половина от 60 — это 30. Мы видим, что 30 оканчивается на 0, значит, оно четное.

60 должно делиться на 4, потому что при делении пополам получается четное число.

Половина от 30 равна 15 и, следовательно, 4 × 15 = 60. 4 делится на 60 пятнадцать раз.

Список чисел, делящихся на 4

Существует 25 чисел от 0 до 100, которые делятся на 4:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100.

Поскольку 100 заканчивается на 0, шаблон повторяется снова для следующих 100 чисел.

У нас есть:

104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200.

На каждую сотню чисел приходится 25 кратных 4. Если известны первые 25 двузначных чисел, кратных 4, то эти же две цифры входят в каждое число, кратное 4.

Правило делимости на 4 – Методы, примеры

Правило делимости 4 гласит, что данное число делится на 4, если две последние цифры числа равны нулю, или они образуют число, которое делится на 4. Это также известно как проверка делимости на 4. Правило делимости на 4 помогает узнать, делится ли число на 4 или нет без выполнения деления. Первые четыре целых числа, которые делятся на 4, — это 0, 4, 8, 12 и 16. Все они кратны 4, и каждое кратное 4 полностью делится на 4.

1. Что такое правило делимости на 4?
2. Правило делимости на 4 для больших чисел
3. Правило делимости на 4 и 6
4. Признак делимости на 4 и 8
5. Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 4

Что такое правило делимости на 4?

Согласно правилу делимости на 4, целое число считается делящимся на 4, если оно удовлетворяет одному из двух условий:

  • Если последние две цифры данного числа — нули. Это означает, что число имеет нули в разряде десятков и разряде единиц. Например, в числе 300 последние две цифры 00, следовательно, 300 делится на 4.
  • Если последние две цифры данного числа образуют число, которое точно делится на 4. Например, в 316 последние две цифры образуют число 16, которое делится на 4. Следовательно, 316 делится на 4.

Правило делимости на 4 с примерами

Правило делимости на 4 можно понять с помощью следующих примеров.

Пример: Проверка делимость следующих чисел на 4.

а.) ) В 1124 последние две цифры в данном числе образуют число 24, которое делится на 4 (24 ÷ 4 = 6)
Таким образом, 1124 делится на 4. Это можно проверить следующим образом: 1124 ÷ 4 = 281

b.) В 1171 последние две цифры в данном числе образуют число 71, которое не делится полностью на 4 (71÷4 = 17 — частное, а 3 — остаток)
Таким образом, 1171 не делится на 4.

в) В числе 1300 последние две цифры в данном числе — нули. Это означает, что 1300 полностью делится на 4.
1300 ÷ 4 = 325
Таким образом, 1300 делится на 4.

г) В числе 500 последние две цифры данного числа — нули. Это означает, что 500 полностью делится на 4.
500 ÷ 4 = 125
Таким образом, 500 делится на 4.

Правила делимости помогают решать задачи без процесса деления.

Правило делимости на 4 для больших чисел

Правило делимости на 4 гласит, что если число имеет два нуля в конце или две последние цифры образуют число, которое точно делится на 4, то данное число также делится на 4. Следовательно, для любых больших чисел мы проверяем последние две цифры и применяем правило делимости на 4 и можем узнать, делится ли большое число на 4 или нет.

Пример 1: в 238900 последние две цифры в разряде десятков и разряде единиц равны нулю. Это означает, что 238900 делится на 4.
238900 ÷ 4 = 59725
Таким образом, 238900 делится на 4.

Пример 2: В числе 148936 две последние цифры десятков и единиц образуют число 36, которое делится на 4 (36 ÷ 4 = 9).
148936 ÷ 4 = 37234
Таким образом, 148936 делится на 4.

Правило делимости на 4 и 6

Правила делимости на 4 и 6 совершенно разные. В правиле делимости на 4, если последние две цифры равны нулю или число, образованное двумя последними цифрами, точно делится на 4, то мы можем сказать, что число делится на 4. Однако согласно правилу делимости на 6 , говорят, что число делится на 6 только в том случае, если оно делится и на 2, и на 3. В тесте на делимость 4 мы проверяем две последние цифры, а в тесте на делимость 6 мы проверяем, все ли число делится на 2 и 3 или нет. Например, давайте проверим, если 936 делится на 6. Поскольку последняя цифра числа 936 четное число, можно сказать, что 936 делится на 2. Теперь проверим его делимость на 3. Сумма цифр равна 9 + 3 + 6 = 18, что делится на 3. Это означает, что 936 тоже делится на 3. Поэтому можно сказать, что число 936 полностью делится на 6.

Признак делимости на 4 и 8

Признаки делимости 4 и 8 немного похожи. В тесте на делимость 4 мы проверяем две последние цифры, если последние две цифры — нули или число, образованное двумя последними цифрами числа, точно делится на 4, то исходное число также делится на 4. В тесте тест делимости 8, мы проверяем последние три цифры, если последние три цифры нули или число, образованное последними тремя цифрами числа, точно делится на 8, то исходное число также делится на 8. Например, пусть мы проверим, делится ли 61816 на 8. Если мы проверим последние 3 цифры, они образуют число 816, которое делится на 8. Следовательно, можно сказать, что 61816 делится на 8.

☛ Похожие темы

  • Правило делимости 3
  • Правило делимости числа 5
  • Правило делимости 6
  • Правило делимости числа 7
  • Правило делимости числа 8
  • Правило делимости числа 9
  • Правило делимости 11
  • Правило делимости 13

 

Правило делимости на 4 примера

  1. Пример 1: Узнать, делятся ли данные числа на 4 или нет, используя признак делимости на 4.

    а.) 380
    б.) 549
    в) 740

    Решение:

    а) В числе 380 последние две цифры образуют число 80, которое делится на 4. Следовательно, 380 делится на 4 (380 ÷ 4 = 95).

    б) В числе 549 последние две цифры образуют число 49, которое не делится на 4. Следовательно, 549 не делится на 4.

    в) В числе 740 последние две цифры образуют число 40, которое делится на 4. Следовательно, 740 делится на 4 (740 ÷ 4 = 185).

  2. Пример 2: Определите, делится ли наименьшее 6-значное число на 4 или нет, используя правило делимости на 4.

    Решение: последние две цифры наименьшего шестизначного числа — два нуля.
    (100000 ÷ 4 = 25000)

  3. Пример 3: Проверить, делится ли заданное большое число 434788 на 4, используя правило делимости на 4.

    Решение: В 434788 последние две цифры образуют число 88, а 88 делится на 4 точно, поэтому число 434788 делится на 4.
    (434788 ÷ 4 = 108697)

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по правилу делимости 4

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 4

Что такое правило делимости на 4?

Правило делимости числа 4 гласит, что число считается делящимся на 4, если две последние цифры числа равны нулю или образуют число, которое делится на 4. Например, 2300 делится на 4, потому что два нуля в конце числа. Точно так же 488 также делится на 4, потому что последние две цифры 88 делятся на 4.

Используя правило делимости на 4, проверьте, делится ли 14540 на 4.

Сначала нам нужно проверить, делится ли число, состоящее из двух последних цифр заданного числа, на 4 или нет. В данном числе 14540 число, образованное двумя последними цифрами, равно 40, а 40 делится на 4. Таким образом, 14540 делится на 4.

Каково правило делимости 4 и 8?

Правила делимости на 4 и 8 немного похожи. В правиле делимости на 4 мы ориентируемся на две последние цифры числа. Если последние две цифры нули или число, образованное двумя последними цифрами числа, точно делится на 4, то можно сказать, что данное число также делится на 4. Например, 800, 900 и 348 делятся на 4, поскольку они удовлетворяют условию правила делимости на 4.

В правиле делимости на 8 мы фокусируемся на трех последних цифрах числа. Если последние три цифры — нули или число, образованное последними тремя цифрами числа, точно делится на 8, то мы можем сказать, что исходное число также делится на 8. Например, 8000, 9000 и 3896 делятся. на 8, поскольку они удовлетворяют условию правила делимости на 8.

Как узнать, делится ли большое число на 4?

В соответствии с правилом делимости на 4 любое большое число делится на 4 точно, если число, состоящее из цифр, стоящих на десятках и разрядах единиц, делится на 4 точно. Например, число 2 146 484 делится на 4 точно, потому что число 84 (последние две цифры) делится на 4.

Используя правило делимости на 4, проверьте, делится ли 19500 на 4. нули в конце или две последние цифры образуют число, которое точно делится на 4, тогда это число также делится на 4.

Какие числа делятся на 4?

Согласно правилу делимости на 4, если последние две цифры данного числа равны нулю или образуют число, которое полностью делится на 4, то говорят, что данное число делится на 4. Например, 412, 532, 700 и т. д. — это несколько чисел, которые делятся на 4, потому что они удовлетворяют критерию делимости на 4.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы 9, и 10

Число a делится на число b, если a \div b имеет остаток от нуля (0). Например, 15 разделить на 3 равно 5, а это означает, что его остаток равен нулю. Затем мы говорим, что 15 делится на 3.

В другом нашем уроке мы обсуждали правила делимости для 7, 11 и 12. На этот раз мы рассмотрим правила или тесты делимости для  2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 и 10 . Поверьте мне, вы сможете выучить их очень быстро, потому что вы можете не знать, что у вас уже есть базовое и интуитивное понимание этого. Например, очевидно, что все четные числа делятся на 2. Это в значительной степени правило делимости для 9.0151 2 . Цель этого урока правил делимости — формализовать то, что вы уже знаете.

Правила делимости помогают нам определить, делится ли одно число на другое, не прибегая к фактическому процессу деления, такому как метод деления в длинное число. Если рассматриваемые числа численно достаточно малы, нам может не понадобиться использовать правила для проверки делимости. Однако для чисел, значения которых достаточно велики, мы хотим иметь некоторые правила, которые служили бы «ярлыками», чтобы помочь нам выяснить, действительно ли они делятся друг на друга.


Число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8.

Пример 1. Делится ли число 246 на 2?

Решение: Поскольку последняя цифра числа 246 оканчивается на 6, это означает, что оно делится на 2.


Пример 2. Какие из чисел 100, 514, 309 и 768 делятся на 2?

Решение: Если мы рассмотрим все четыре числа, то только число 309 не оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8. Мы можем сделать вывод, что все числа выше, кроме 309делятся на 2.


Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.

Пример 1. Делится ли число 111 на 3?

Решение:   Сложим цифры числа 111. Получим 1 + 1 + 1 = 3. Так как сумма цифр делится на 3, то и число 111 делится на 3.


Пример 2: Какое из двух чисел 522 и 713 делится на 3?

Решение: сумма цифр числа 522 (5+2+2=9) равно 9, которое делится на 3. Это делает 522 делящимся на 3. Однако число 713 имеет 11 в виде суммы его цифр, что явно не делится на 3, поэтому 713 не делится на 3. Следовательно, только 522 делится на 3.


Число делится на 4, если две последние цифры числа делятся на 4.

Пример 1. Какое единственное число в приведенном ниже наборе делится на 4?

{945, 736, 118, 429}

Решение:   Обратите внимание на две последние цифры четырех чисел в наборе. Обратите внимание, что 736 — единственное число, в котором две последние цифры (36) делятся на 4. Мы можем заключить, что 736 — единственное число в наборе, которое делится на 4.


Пример 2: Правда или Ложь. Число 5 554 делится на 4.

Решение:   Последние две цифры числа 5 554 равны 54, что не делится на 4. Это означает, что данное число НЕ делится на 4, поэтому ответ ложно .


Число делится на 5, если последняя цифра числа 0 или 5.

Пример 1. Множественный выбор. Какое число делится на 5?

А) 68

B) 71

C) 20

D) 44

Решение. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть либо 0, либо 5. вариантов, только число 20 делится на 5, поэтому ответом является выбор C .


Пример 2. Выбрать все числа, которые делятся на 5.0475 343

E) 600

Решение. И 105, и 600 делятся на 5, потому что они оканчиваются либо на 0, либо на 5. Таким образом, варианты B и E являются правильными ответами.


Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.

Пример 1. Делится ли число 255 на 6?

Решение. Чтобы число 255 делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3. Давайте сначала проверим, делится ли оно на 2. Обратите внимание, что 255 не является четным числом (любое число, оканчивающееся на 0, 2, 4). , 6 или 8), что делает его неделимым 2. Дальше проверять не нужно. Теперь мы можем сделать вывод, что это число не делится на 6. Ответ: 9.0151 НЕТ .


Пример 2. Делится ли число 4608 на 6?

Решение. Число является четным, поэтому оно делится на 2. Теперь проверьте, делится ли оно на 3. Сделаем это, сложив все цифры числа 4 608, что равно 4 + 6+ 0 + 8 = 18. Очевидно, сумма цифр делится на 3, потому что 18 ÷ 3 = 6. Поскольку число 4608 делится и на 2, и на 3, оно должно делиться и на 6. Ответ: ДА .


Число делится на 9если сумма цифр делится на 9.

Пример 1. Делится ли число 1764 на 9?

Решение: Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр также должна делиться на 9. Для числа 1764 мы получаем 1 + 7 + 6 + 4 = 18. Поскольку сумма цифр равна 18 и


Пример 2: Выберите все числа, которые делятся на 3 512

C) 8 874

D) 22 778

E) 48,069

Решение . 7,065, 7 + 0 + 6 + 5 = 18, которое делится на 9.

  • Для 3,512, 3 + 5 + 1 + 2 = 11, что равно , НЕ делится на 9.
  • Для 8,874, 8 + 8 + 7 + 4 = 27, что делится на 9.
  • Для 22 778, 2 + 2 + 7 + 7 + 8 = 26, что равно НЕ делится на 9.
  • Для 48 069 4 + 8 + 0 + 6 + 9 = 27, что делится на 9. 9.


    Число делится на 10, если последняя цифра числа равна 0.

    Числа 20, 40, 50, 170 и 990 делятся на 10, потому что их последняя цифра равна нулю, 0 С другой стороны, 21, 34, 127 и 468 не делятся на 10, так как они не оканчиваются нулем.


    Вас также может заинтересовать:

    Правила делимости на 7, 11 и 12

    Правила делимости на 4 и 8 — 3-й класс по математике

    количество.

    Делимость правила подобны ярлыкам для определения, может ли одно число делиться на другое.

    Итак, вы изучили правила делимости на 2, 5 и 10, а также правила делимости на 3, 6, 9..

    Теперь давайте выучим правила делимости на 4 и 8!

    Делится на 4

    Когда число делится на на 4 , последние две цифры делятся на 4!

    Итак, важно знать свои двузначные числа, кратные 4:

    4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 48

    И эти тоже:

    52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96

    Совет: Если вы не можете запомнить эти большие двузначные числа 👆, просто вычтите из них 40 и посмотрите, делится ли разница на 4.

    Делится ли 44 на 4?

    Если вы не помните, вычтите 40 из 44:

    44 — 40 = 4.

    Делится ли 4 на 4? Да! Значит, 44 тоже делится на 4!

    Теперь вы знаете все двузначные числа, которые делятся на 4.

    Давайте потренируемся с большими числами!

    Ис 4 , 388 делится на 4?

    Только посмотрите на две последние цифры!

    4,3 88

    88 делится на 4! 🌟

    Значит, 4388 делится на 4.

    Попробуем еще:

    Делится ли 45 061 на 4?

    Взгляните на две последние цифры:

    45,0 61

    Делится ли 61 на 4?

    № ❎

    Это означает, что 45 061 не делится на 4.

    Отличная работа! Теперь давайте узнаем о 8.

    Делится на 8

    Если последние 3 цифры числа делятся на 8, то все число делится на 8.

    Для этого вам может понадобиться сделать немного длинное деление.

    Давайте попробуем!

    Делится ли 4 , 200 на 8?

    Посмотрим, сможем ли мы разделить последние три цифры на 8 без остатка!

    Мы не можем разделить 2 на 8, поэтому переходим к 20, делённому на 8. 

    Теперь мы можем разделить 40 на 8.

    Поскольку у нас нет остатка, мы знаем, что 4 , 200 делится на 8 !

    Попробуем еще! 😎

    Делится ли 7 246 на 8 ?

    Поставим задачу на деление с тремя последними цифрами:

    Мы не можем разделить 8 на 2, поэтому делим на 24:

    Можем ли мы разделить 6 на 8? 🤔

    Нет! Итак, пишем 0 и находим остаток:

    Поскольку 8 не делится на 246 без остатка, мы знаем, что 7246 — это , а не , делимое на 8 .

    Отличная работа! 💪 Теперь вы знаете, как определить, делятся ли числа на 4 и 8!

    Теперь завершите практику. Это поможет вам помнить дольше. 🤗 

    делимость — Есть ли способ узнать, делится ли число на 4, если число состоит из 2 цифр

    спросил

    Изменено 1 год, 6 месяцев назад

    Просмотрено 1к раз

    $\begingroup$

    Я пытаюсь помочь своей дочери выучить математику. Она борется с множителями, которая заключается в том, чтобы выяснить, какие числа входят в большее число (деление).

    Я уже узнал, что при суммировании чисел, если они составляют 3, оно может делиться на 3. Я также знаю правила для 2, 5, 6, 9 и 10.

    Я пытаюсь выяснить, есть ли правило для 4. Я думаю, что нет.

    https://www.quora.com/Why-does-the-divisibility-rule-for-the-number-4-work показывает следующее

    Правило делимости на 4 для любого большого числа, если разряды десятков и единиц делятся на, то все число делится на 4.

    Это не имеет смысла. 56 делится на 4. Однако 2 числа в сумме дают 11, поэтому их нельзя разделить на 4.

    На это вполне может быть получен ответ «нет», но есть ли какая-либо закономерность/метод, который я могу использовать для определения того, число делится на 4, если оно меньше 100 (и больше 4)

    • делимость
    • образование

    $\endgroup$

    4

    $\begingroup$

    Как понять это правило делимости на $4$: это не говорит к добавить последние две цифры; это просто говорит посмотреть на последние две цифры. Поскольку $4$ делит $100$, число делится на $4$ тогда и только тогда, когда его последние две цифры (десятки и единицы) делятся на $4$. Ответ Роберта Исраэля дает метод определения того, делится ли двузначное число на 4 доллара, и правило гласит, что это практически все, что вам нужно.

    Например, если вы хотите узнать, делится ли $238

    49$ на $4$, вам просто нужно определить, делится ли $49$ на $4$. (Это не так.)

    $\endgroup$

    0

    $\begingroup$

    Десятки размещают четные и единицы $0$, $4$ или $8$ (т.е. делятся на $4$) или десятки нечетные и единицы $2$ или $6$ (четные, но не делятся на $4$).

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    Признак делимости на $4$ задано любое целое число $n$, учитывая две последние цифры; если это двузначное число делится на $4$, то делится и $n$.

    Пример.

    Возьмем 96. Поскольку 96$ делится на 4$, то и 196$ делится на

    Причина: 196$ = 100 + 96$. Число слева (которое всегда будет иметь место, даже если оно равно $0$) делится на $4$; следовательно, достаточно рассмотреть только число, представленное двумя последними цифрами целого числа $n$.

    Наконец, что касается вашего последнего вопроса, предположим, что у вас есть число 8. Описывая $8$ как $08$, тест применим и к однозначным числам.

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    Ключ в том, что 100 делится на 4. Итак, мы имеем:

    $$12345678956 = (123456789)(100) + 56 = (123456789)(25)(4) + (14)(4) = ( (123456789)(25)+14)(4)$$

    Следовательно, если первые две цифры делятся на четыре, то и все число делится на четыре. На самом деле остаток при делении на четыре равен остатку при делении только двух последних цифр, потому что 3 цифры и далее имеют нулевой остаток.

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    Здесь есть правило делимости числа $4$. Вот оно:

    Чтобы выяснить, делится ли число на четыре, вам сначала нужно посмотреть на две последние цифры, и если они делятся на четыре вместе, вы можете предположить, что все число делится на $4$ .

    Почему это работает? Что ж, 100 долларов делятся на четыре, любое числовое значение разряда, превышающее разряд сотен, кратно 100 долларам. Например, в числе $2375$ 2$ в тысячном разряде означает $2000$, а 100\умножить на 20=2000$, поэтому $2000$ кратно $100$. Если мы затем добавим две цифры ниже разряда сотен, мы можем сказать, что если все цифры над разрядом единиц и разрядом десятков делятся на четыре, если две оставшиеся цифры также делятся на четыре, это не изменится. что-либо!

    Надеюсь, это помогло вам ответить на ваш вопрос.

    $\endgroup$

    Твой ответ

    Зарегистрируйтесь или войдите в систему

    Зарегистрируйтесь с помощью Google

    Зарегистрироваться через Facebook

    Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

    Опубликовать как гость

    Электронная почта

    Требуется, но не отображается

    Опубликовать как гость

    Электронная почта

    Требуется, но не отображается

    Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

    Правила делимости (тесты)

    Легко проверить, можно ли точно разделить одно число на другое

    Делится на

    «Делится на» означает «при делении одного числа на другое получается целое число»

    Примеры:

    14 равно делится на 7, потому что 14 ÷ 7 = 2 точно

    15 равно , а не делится на 7, потому что 15 ÷ 7 = 2 1 7 (результат , а не целое число)

    0 равно , кратному 7, потому что 0 ÷ 7 = 0 ровно (90 0 целое число)

    «Делится на» и «можно точно разделить на» означают одно и то же

    Правила делимости

    Эти правила позволяют проверить, делится ли одно число на другое, без лишних вычислений!

    Пример: 723 делится на 3?

    Можно попробовать разделить 723 на 3

    Или использовать правило «3»: 7+2+3=12, а 12 ÷ 3 = 4 точно Да

    Примечание. Ноль делится на любым числом (кроме самого себя), поэтому на все эти тесты отвечает «да».

     

    1

    Любое целое число (не дробь) делится на 1


    2

    Последняя цифра четная (0,2,4,6,8)

    12 8   Да

    12 9   Нет

    3

    Сумма цифр делится на 3

    381 (3+8+1=12 и 12÷3 = 4) Да

    217 (2+1+7=10 и 10÷3 = 3  1 / 3 ) Нет

    При необходимости это правило можно повторить:

    99996 (9+9+9+9+6 = 42, тогда 4+2=6) Да

    4

    Последние 2 цифры делятся на 4

    13 12 (12÷4=3) Да

    70 19 нет (19÷4=4  3 / 4 ) Нет

    Быстрая проверка (полезно для небольших чисел) состоит в том, чтобы дважды разделить число пополам, и в результате получится целое число. .

    12/2 = 6, 6/2 = 3, 3 — целое число. Да

    30/2 = 15, 15/2 = 7,5, что не является целым числом.

    5

    Последняя цифра 0 или 5

    17 5   Да

    80 9   Нет

    6

    Является четным и делится на 3 (подходит как под правило 2, так и под правило 3 выше)

    114 (четное, и 1+1+4=6 и 6÷3 = 2) Да

    308 (четно, но 3+0+8=11 и 11÷3 = 3 2 / 3 )

    7

    Удвойте последнюю цифру и вычтите ее из числа, образованного другими цифрами. Результат должен делиться на 7. (Мы можем снова применить это правило к этому ответу)

    672 (Двойная 2 равна 4, 67−4=63 и 63÷7=9) Да

    105 (Двойная 5 равна 10, 10−10=0 и 0 делится на 7) Да

    905 (Двойная 5 равна 10, 90−10=80 и 80÷7=11 3 / 7 )

    8

    Последние три цифры делятся на 8

    109 816 (816 ÷ 8 = 102).0004 Быстрая проверка состоит в том, чтобы разделить три раза пополам, и результат все равно будет целым числом:

    816/2 = 408, 408/2 = 204, 204/2 = 102 Да

    302/2 = 151, 151/ 2 = 75,5 Нет

    9

    Сумма цифр делится на 9

    (Примечание. При необходимости это правило можно повторить)

    1629 (1+6+2+9=18 и снова 1+8=9) Да

    2013 (2+0+1+3=6) Нет

    10

    Номер заканчивается на 0

    22 0   Да

    22 1   Нет

    11

    Сложение и вычитание цифр в чередующемся порядке (добавление цифры, вычитание следующей цифры, добавление следующей цифры и т. д.). Затем проверьте, делится ли этот ответ на 11.

    1 3 6 4 (+1−3+6−4 = 0 ) Да

    3

    1 1+3 = 11 ) Да

    3 7 2 9 (+3−7+2−9 = −11 ) Да

    9 8 7 (+9−8+7 = 8 ) Нет

    6

    6

    12

    Число делится на 3 и 4 (он проходит как правило 3, так и правило 4 выше)

    648
    ( По 3? 6+4+8=18 и 18÷3=6 Да)
    (По 4? 48÷4=12 Да)
    Оба проходят, так что Да

    520004
    ( На 3? 5+2+4=11, 11÷3= 3 2 / 3 Нет)
    (Не нужно проверять по 4) Нет

    Есть намного больше! Существуют не только тесты на делимость для больших чисел, но и другие тесты для показанных нами чисел.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.