На столе лежат овощи сколькими способами можно составить набор из 2: На столе лежат овощи: свёкла, морковь, огурец, помидор. Сколькими способами можно составить набор из двух…

Содержание

Нумерация. Числа от 11 до 100. Математика 2 класс. М. И. Моро. Решебник, ГДЗ.

Категория: —>> Математика 2 класс. М. И. Моро. Часть 1.
Страинца: —>> 4 — 5 6 — 7 8 — 9

наверх

Страница 8
Страница 9

Страница 8

Задание 1.

Как изменится запись чисел, если добавить 1 десяток палочек?

Решение:

Задание 2.

Запиши число, в котором 2 дес. и 7 ед.; в котором 7 дес. и 2 ед. Сколько всего единиц в каждом из этих чисел?

Решение:

1) 27
2) 72
3) Всего 9 единиц.

Задание 3.

1) Спиши числа и объясни, что обозначает каждая цифра в их записи: 11, 14, 40, 44, 29, 90, 99.
2) Под каждым числом запиши следующее за

ним при счёте.

Решение:

1) 1 десяток 1 единица, 1 десяток 4 единицы, 4 десятка, 4 десятка 4 единыцы, 2 десятка 9 единиц, 9 десятков, 9 десятков 9 единиц.

2) 12, 15, 41, 45, 30, 91, 100.

Задание 4.

Поставь знак >, < или =

Решение:

19 см < 2 дм	1 дм 3 см < 30 см
40 см = 4 дм	1 дм 5 см < 50 см

Задание 5.

Юра написал в первой строке 10 цифр, а во второй — на 3 цифры меньше. Сколько цифр он написал во второй строке? Сколько всего цифр написал Юра?

Решение:

1) 10 — 3 = 7
2) 10 + 7 = 17
Ответ: во второй строке Юра написал 7 цыфр, всего Юра написал 17 цыфр.

Задание 6.

Высота письменного стола 7 дм, а высота журнального столика 5 дм. На сколько дециметров журнальный столик ниже письменного стола?

Решение:

1) 7 — 5 = 2
Ответ: журнальный столик ниже письменного стола на 2 дм.

Задание 7.

Решение:

13 — 6 = 7	9 + 9 = 18	5 + 9 = 14
12 — 7 = 5	8 + 8 = 16	4 + 7 = 11

Задание 8.

1) На сколько сантиметров каждое следующее звено ломаной больше предыдущего?
2) Какой должна быть длина следующего звена?

Решение:

1) Каждое следующее звено ломаной больше предыдущего на 1 см.
2) Длина следующего звена должна быть 6 см.

Запиши число, в котором 3 дес. 0 ед.; 6 дес. 9 ед.; 9 дес. 6 ед.

Решение:

1) 30 , 69, 96

Страница 9

Задание 1.

Выпиши в одну строку однозначные числа, а в другую — двузначные числа:
15, 51, 7, 70, 2, 13, 1, 9, 10, 99.

Решение:

1) 15, 51, 70, 13, 10, 99
2) 7, 2, 1, 9.

Задание 2.

Какие числа пропущены в каждом ряду?

Решение:

1) 41, 43, 44, 46, 47, 49, 51.
2) 90, 92, 93, 95, 97, 99, 100.

Задание 3.

Поставь знак >, < или =

Решение:

16 < 60	24 < 42	2 дм > 12 см
90 > 19	65 > 56	7 дм = 70 см

Задание 4.

Миша выиграл 6 партий в шашки, а Ваня — на 2 партии больше. Поставь вопрос и реши задачу.

Решение:

Вопрос: Сколько всего партий в шашки сыграли Миша и Ваня?

1) 6 + 2 = 8 (выиграл партий Ваня)
2) 6 + 8 = 14
Выражение: 6 + 2 + 6 = 14
Ответ: Ваня и Миша всего сыграли 14 партий в шашки.

Задание 5.

1) У Коли было 6 книг. В день рождения ему подарили ещё 4 книги. Сколько книг стало у Коли?
2) У Коли 10 книг. Он отнёс 2 книги в классную библиотеку. Сколько книг у него осталось?

Решение:

1)
- 1) 6 + 4 = 10
- Ответ: у Коли стало 10 книг.
2)
- 2) 10 — 2 = 8
- Ответ: у Коли осталось 8 книг.

Задание 6.

Решение:

11 — 8 = 3	17 — 9 = 8	6 + 6 = 12	18 — 10 = 8	70 — 30 = 40
11 — 9 = 2	17 — 8 = 9	5 + 6 = 11	13 — 10 = 3	80 — 20 = 60

Задание 7.

На столе лежат овощи:

Сколькими способами можно составить набор из двух овощей? Зарисуй эти наборы в тетради.

Задание на полях.

Ребусы

Решение:

1) 99 + 1 = 100
2) 39 + 1 = 40
3) 80 — 1 = 70
4) 89 + 1 = 90

Страинца: —>> 4 — 5 6 — 7 8 — 9

Формирование познавательных УУД на уроках математики.

| Статья по математике (9 класс):

Тема: Формирование познавательных универсальных учебных действий на уроках математики.

С 2015-2016 учебного года Российское образование в средней школе перешло на качественно новый уровень — стандарты второго поколения.

ФГОС ООО выдвигает требования к формированию у школьников метапредметных результатов – универсальных учебных действий (личностных, познавательных, регулятивных и коммуникативных), которые должны стать базой для овладения ключевыми компетенциями, «составляющими основу умения учиться».

УУД – это обобщенные действия, которые порождают мотивацию к обучению и позволяют обучающимся ориентироваться в различных предметных областях познания.

В процессе овладения УУД, обучающиеся получают возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей на основе формирования умения учиться.

Для формирования познавательных УУД на уроках математики, достаточно эффективным, является метод проектов, который применим к изучению любой школьной дисциплины и особенно эффективен на уроках, имеющих целью установление межпредметных связей, к которым по праву можно отнести математику.

Формирование познавательных универсальных учебных действий на уроках математики происходит при помощи следующих средств:

1) формирование моделирования как необходимого универсального учебного действия;

2) широкое использование продуктивных заданий, требующих целенаправленного использования и, как следствие, развития таких важнейших мыслительных операций, как анализ, синтез, классификация, сравнение, аналогия;

3) использование заданий, позволяющих научить школьников самостоятельному применению знаний в новой ситуации.

Формирование познавательных УУД на уроках математики обеспечивает приобретение учащимися опыта работы с информацией, а именно:

• уметь осуществлять поиск нужной информации с использованием различных ресурсов, в том числе и интернета;

• уметь структурировать информацию, находить наиболее эффективные способы решения;

• решать задачи с избытком или недостатком информации;

• осуществлять переработку математической информации для ее дальнейшего использования, записывать и фиксировать ее с помощью средств ИКТ и другими средствами, использовать измерительные инструменты и т. д.

К основным видам заданий, направленных на развитие познавательных УУД можно отнести:

− работу с таблицами и справочниками;

− задания на составление опорных схем, диаграмм; задание на поиск лишних элементов, поиск различий;

− задания «Лабиринты», «Цепочки»;

− все задания, сопровождаемые инструкцией: «Сравни…», «Разбей на группы…», «Найди истинное высказывание…»;

− занимательные и нестандартные задания;

− задания с моделями: самостоятельное создание и их применение при решении предметных задач;

− задания на классификацию, доказательство.

Рассмотрим несколько примеров:

1) найти лишнее число и объяснить свой выбор;

2) вычислить удобным способом и разгадать слово.

3) восстановить цепочку вычислений;

Для формирования универсальных учебных действий на уроках математики можно выделить 4 этапа:

этап — вводно-мотивационный. Чтобы ученик начал «действовать», необходимы определенные мотивы. На уроках математики необходимо создать проблемные ситуации, где ученик проявляет умение комбинировать элементы для решения проблемы. На этом этапе ученики должны осознать, почему и для чего им нужно изучать данную тему, и изучить, какова основная учебная задача предстоящей работы. (Используется технология проблемного обучения)
2-этап — открытие математических знаний. На данном этапе решающее значение имеют приемы, требующие самостоятельных исследований, стимулирующие рост познавательной потребности
3-этап — формализация знаний. Основное назначение приемов на этом этапе — организация деятельности учащихся, направленная на всестороннее изучение установленного математического факта.
4-этап — обобщение и систематизация. На этом этапе применяю приемы, которые устанавливают связь между изученными математическими фактами, приводят знания в систему.

Формирование всех составляющих учебно-познавательной компетентности происходит в процессе осуществления учебно-познавательной деятельности, соотносится с этапами ее формирования, т. е. носит деятельностный характер.

Формирование и развитие познавательных УУД на уроках происходит с помощью различных видов заданий, таких, как: «Найти отличия», «Найди закономерность», «Разгадай правило», «Поиск лишнего», составления и распознавание диаграмм и др .

В качестве примера приведу несколько заданий, которые позволяют оптимизировать уроки математики, сместив акцент с репродуктивного фронтального опроса на самостоятельную исследовательскую деятельность школьников.

1. Из всех выражений выпишите и найдите значения тех выражений, в которых сложение надо выполнить: а) первым, б) вторым, в) третьим действием:

4 * 19+3 90-58+18 76-(10+15) 2

35+26-16 17+45:(15-12) 60:15+6 3

2. Расставьте в выражениях скобки несколькими способами и вычислите значения получившихся выражений:

а) 77-27-12+8 б) 72-18:3 2

3.Поставьте скобки в выражениях так, чтобы оно имело указанное значение

16:4:2=8

24-16:4:2=1

24-16:4:2=16

4. Раздели числа на две группы: 15, 24, 25, 28, 30, 32, 35, 36, 40

Рассмотрим примеры типовых задания таких, как: «Найти отличия», «Найди закономерность», «Разгадай правило» , «Поиск лишнего». Формируемые УУД: поиск и выделение необходимой информации; анализ с целью выделения общих признаков; синтез, как составление целого из частей.

Задание

Найди закономерность и запиши ещё 2 числа.

129, 138, 147,

525, 517, 509, 501, 493,

2)Найди два первых и два последних члена данного числового ряда.

		32	64	128
		46	59	72

Задание «Лишнее число»

Даны числа: 1, 10, 6. Найдите лишнее.

Лишним может быть 1, так как это нечётное число, а 10 и 6 – чётные числа. Лишним может быть 10, так как это число двузначное, а 1 и 6 – однозначные числа. Да и число 6 можно назвать лишним в связи с тем, что для написания других чисел используется цифра 1. [13, 86].

Найдите лишнее в группе чисел: 6, 18, 81. кроме вышеизложенных признаков эти числа можно сравнить и по наличию одинаковых делителей. Числа 6 и 18 делятся на 6, а число 81 – нет. [3: 102].

Математические цепочки», «Лабиринты», Магические квадраты. Формируемые УУД: поиск и выделение информации; формирование умения выделять закономерность. Логические действия: построение логической цепи рассуждений.

Цепочки вычислений. Типовые задания:

Какое животное может обходиться без пищи несколько дней?

11 жираф

6 верблюд

12 носорог

39:1+56-5-80:1+2:6*10-14

Задание «Магический квадрат». Квадрат разделён на 9 равных клеток. В трёх из них записаны числа 1, 2, 3 так, как показано на рисунке 2.2. Запиши в свободных клетках числа 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы сумма чисел в каждом ряду и в каждом столбце равнялась 15.

Моделирование. Формируемые УУД: поиск и выделение информации; выбор критериев для сравнения; знаково- символическое моделирование.

Задача. В двух вагонах ехали пассажиры, по 36 человек в каждом. На станции из первого вагона вышло несколько человек, а из второго вагона вышло столько, сколько осталось в первом. Сколько всего пассажиров осталось в двух вагонах?

(Решить данную задачу возможно только графическим способом.)

Для повышения эффективности обучения и развития учащихся большое внимание заслуживают задачи, допускающие не одно возможное решение, а несколько ( здесь имеются в виду не разные способы нахождения одного и того же ответа, а существование разных решений-ответов и их поиск). Задача в этом случае не сковывает ученика жесткими рамками одного решения, а открывает ему возможность для поисков и размышлений, исследований и открытий, пусть на первый раз и маленьких. Например:

Задача. Незнайка пытался записать все примеры на сложение трёх однозначных чисел, чтобы в результате каждый раз получалось 20 (некоторые слагаемые могут быть одинаковыми), но он всё время ошибался. Помогите ему решить задачу.

Решение.

1) 9+9+2=20 5) 8+8+4=20

2) 9+8+3=20 6) 8+7+5=20

3) 9+7+4=20 7) 8+6+6=20

4) 9+6+5=20 8) 7+7+6=20

Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями.

Логические задачи Общеучебные действия: поиск и выделение информации; формирование умения выделять закономерность. Логические действия: построение логической цепи рассуждений.

Работа с разными видами таблиц

Формируемые УУД, общеучебные действия: поиск и выделение информации; построение логической цепи рассуждений.

Задача 1. Оля, Аня, Юля и Катя пили чай. У Ани чашка не высокая и не маленькая. Справа от Юли сидела Оля, у которой зеленая чашка. Какого цвета чашки у девочек?

Имена	Чашки
	жёлтая	красная	синяя	зелёная
Оля	—	—	—	+
Аня	—	+	—	—
Катя	+	—	—	—
Юля	—	—	+	—

Задача 2. На столе лежат овощи: свекла, морковь, огурец, помидор. Сколькими способами можно составить набор из двух овощей?

Очевидно, что конкретный тип задач можно легко решить, построив таблицу.

Занесём данные в первую колонку. Затем, подставляем каждый вид овощей в пустые ячейки каждой из строк, учитывая, что комбинация, состоящая из двух овощей, не должна повторяться. Получаем следующее (таблица 1).

Свекла	Морковь	Огурец	Помидор
Морковь	Огурец	Помидор
Огурец	Помидор
Помидор

Подсчитав результаты, дети увидят, что из 2 овощей этих видов можно составить различных 6 наборов.

Постановка и решение проблемы:

1)Прием «Проблемная ситуация». Введение в урок проблемного диалога необходимо для определения учащимися границ знания — незнания. Создание на уроке проблемной ситуации дает возможность учащемуся сформулировать цель занятия и его тему. Виды проблемного диалога: побуждающий и подводящий. Побуждающий диалог заключается в следующем: учитель побуждает учащихся высказывать различные версии решения проблемы. Подводящий диалог строится на цепочке вопросов, последовательно приводящих к правильному ответу, запланированному учителем.

При изучении нового приёма вычитания двузначных чисел учитель просит решить несколько математических выражений, одно из которых дети решить затрудняются. Возникает проблема, которую нужно решить.

2)Прием «Группировка». Суть этого приема заключается в разделение на группы ряда объектов. Основанием классификации будут внешние признаки. А вопрос «Почему имеют такие признаки?» и будет задачей урока.

При изучении темы «Прямоугольник» учитель предлагает рассмотреть на рисунке четырёхугольники. Просит объединить фигуры в группы. Затем спрашивает, по какому признаку они объединили фигуры. Основание для классификации — внешние признаки, у прямоугольника равны противоположные стороны и все углы прямые.

3)Приём «Тема-вопрос». Тема урока формулируется в виде вопроса. Учащимся необходимо построить план действий, чтобы ответить на поставленный вопрос. Дети выдвигают множество мнений, чем больше мнений, чем лучше развито умение слушать друг друга и поддерживать идеи других, тем интереснее и быстрее проходит работа. А учитель в этом случае может лишь высказывать свое мнение и направлять деятельность.

При изучении темы «Сложение трёхзначных чисел» можно тему урока сформировать вопросом «Как сложить трёхзначные числа?» Учитель спрашивает учащихся, знают ли они, как это сделать. Какие числа мы можем ужескладывать ? (Двузначные) Поможет ли нам это знание для ответа на вопрос урока? Какова же цель нашего урока? Чему будем учиться?»

4)Приём «Исключение». Данный прием заключается в том, что нужно найти лишний объект и обосновать свой выбор через анализ общего и отличного.

Учитель предлагает учащимся рассмотреть ряд выражений: 2*4, 3*6, 4*32, 7*4. Просит найти общее в этих выражениях. Общим будет являться действие. Далее учитель просит найти лишнее выражение и объяснить, почему оно лишнее. Подводит учащихся к цели урока.

Результатом формирования познавательных универсальных учебных действий является умение учащихся решать задачи. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями.

помидор , огурец, свекла и морковь. сколькими способами можно составить набор из 2 овощей?

Математика

xachik1998 · 10.06.2019 11:50

Ответов: 1 Показать ответы

0 Обсудить

Ответы

Ответ разместил: 041208katy

10.03.2019 18:48

так как нам надо получить число 2011, и в конкретно не указано, какую именно цифру надо удалить, то получим следующие числа:

-убираем первую цифру 12011, 22011, 32011, 42011, 52011, 62011, 72011, 82011,92011,- убираем вторую цифру 20011, 21011, 22011, 23011, 24011, 25011, 26011, 27011, 28011, 29011,-убираем третью цифру 20111, 20211, 20311, 20411, 20511, 20611, 20711, 20811, 20911 ,-убираем четвертую цифру 20101, 20121, 20131, 20141, 20151, 20161, 20171, 20181, 20191,

-убираем последнюю, пятую 20110, 20112, 20113, 20114, 20115, 20116, 20117, 20118, 20119

Ответ разместил: Bemjan

10. 03.2019 18:48

20 минут или 1/3 ч. они оба ехали до встречи, т.к. одновременно выехали

скорость первого — 20: 1/3=60 км/ч; скорость второго — 40: 1/3=120 км/ч

расстояние между поселками 20+40=60

за 1мин-это 1/60 часа

первый проехал 60х1/60=1 км; второй — 120х1/60=2 км

значит мотоциклисты приближались друг к другу за 1мин на расстояние

1+2=3 км

Ответ разместил: dank02

10.03.2019 18:48

сколько кругов пройдёт за двое суток часовая стрелка? — 4 круга, за сутки она прходит 2 полных круга;

минутная стрелка? — 48 кругов, так как минутная каждый час проходит полный круг, а в сутках 24часа

Ответ разместил: ThundermanMessI

10.06.2019 11:50

12 раз, п-о, п-с, п-м, о-п, с-п, м-п, о-с, с-о, о-м, м-о, с-м, м-с(вроде бы все)

Другие вопросы по Математике

.(18 кг варенья разложили в 6 банок поровну. сколько надо таках бонок чтобы разложить 24 кг варенья)….

Математика

26.02. 2019 12:00

3 ответ(ов)

Открыть

znaniyasveta

.(Для ремонта квартиры купили 8 рулонов обоев, длиною по 10метров 50сантиметров. израсходовали три четвёртых части купленных рулонов обоев. сколько метров обоев осталось?)….

Математика

26.02.2019 23:50

3 ответ(ов)

Открыть

parus27

Туристы отправились на прогулку на лодке до привала они проплыли три четвертых ч обратный путь занял у них на одну вторую ч больше сколько времени длился привал если на всю прогулк…

Математика

27.02.2019 04:30

3 ответ(ов)

Открыть

marinkaa5

От заречной до мухино я шел 0,8 ч со скоростью 5,5 к/ч , а от мухино до каменки ехал на велосипеде 1,4 ч со скоростью 12,5 км/ч. на сколько км мухино дальше от каменки , чем от зар…

Математика

27.02.2019 10:50

2 ответ(ов)

Открыть

anastassia7890

. (Семья состоит из отца, матери и двух детей. средний возраст членов семьи равен 19,75 лет. когда мама вышла из комнаты , средний возраст оставшихся в комнате членов семьи стал рав…

Математика

27.02.2019 23:10

2 ответ(ов)

Открыть

марина4442

На одной пасеке с каждого улья получили по 60 кг мёда, а со второй по 70 кг. всего собрали с двух пасек 4510 кг. сколько собрали меда с каждой пасеки? если на второй пасеке на 5 у…

Математика

28.02.2019 00:00

3 ответ(ов)

Открыть

матвей100000001357

.(Улицу длиной 1 км 250м, шириной 24м покрыли асфальтом. на каждые 100 квадратных метров расходовали 3 т 900кг асфальта. сколько всего тонн асфальта израсходовали?)….

Математика

28.02.2019 01:00

2 ответ(ов)

Открыть

Masimo1

.(Вклассе 36 ученеков. по за четвертьотметку»5″ имеют 8 человек, отметку «4» имеют 12 человек, а остальные отметку «3». постройте круговую диограмму.)….

Математика

28.02.2019 02:40

4 ответ(ов)

Открыть

Алина113111

Видеокассета дороже аудиокассеты на 40р. шесть видеокассет стоят столько же, сколько 10 аудиокассет. сколько стоит каждая кассета?…

Математика

28.02.2019 03:10

3 ответ(ов)

Открыть

vanyanazarenko1

Ход урока i. организация учащихся на выполнение работы. ii. выполнение работы по вариантам. вариант i. 1. найдите значение выражения: . 2. в трех цехах фабрики работают 480 челове…

Математика

28.02.2019 07:30

4 ответ(ов)

Открыть

Ольга198414

.(По маршруту киев- житомир- винница выехал автомобиль. каково расстояние между житомиром и винницей, если оно на 6 км меньше расстояния между киевом и житомиром, а длина этого мар…

Математика

28.02.2019 12:30

3 ответ(ов)

Открыть

Kira25112016

За книгу, ручку и тетрадь саша заплатил 11200р. ручка в три раза дороже тетради и на 700 р. дешевле книги. сколько стоит тетрадь?…

Математика

28.02.2019 13:50

3 ответ(ов)

Открыть

Alexa647

КР по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 1

Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

1) 2) 3) 4)

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1) 2) 0,5 3) 0,125 4)

7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4) 0,002

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 2

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450

4. Вычислите:

1) 2 2) 56 3) 30 4)

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

1) 2) 3) 4)

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1) 0,25 2) 3) 0,5 4) 0,125

7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 3

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

4. Сократите дробь:

1) 1 2) 3) 4)

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

1) 2) 0,5 3) 4) 0,25

6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.

1) 0,25 2) 0, 4 3) 0,48 4) 0,2

7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% — первого сорта, 40% — второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

1) 0,8 2) 0,1 3) 0,015 4) 0,35

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

1) 12650 2) 100 3) 75 4)10000

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.

1) 120 2) 30 3) 50 4) 60

4. Упростите выражение:

1) 0,5 2) 3) n 4) n -1

5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?

1) 2) 3) 4)

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?

1) 0,504 2) 0,006 3) 0,5 4) 0,3

7. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?

1) 2) 0,5 3) 4)

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 5

Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?

1) 36 2) 180 3) 720 4) 300

Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1) 14 2) 10 3) 21 4) 30

Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?

1) 80 2) 56 3) 20 4) 60

4. Упростите выражение:

1) 2) 3) 4) 0

5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?

1) 2) 3) 4)

6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида – 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.

1) 0,21 2) 0,49 3) 0,5 4) 0,09

7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

1) 0,5 2) 0,4 3) 0,6 4) 0,04

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 6

Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?

1) 12 2) 20 3) 24 4) 4

2. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?

1) 792 2) 17 3) 60 4) 300

3. В 12 – ти этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2 – Ом этаже лифт не останавливается?

1) 100 2) 720 3) 300 4) 60

4. Упростите выражение:

1) 2) 3) 4) 0

5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

1) 2) 7 3) 4)

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

1) 0,336 2) 0,452 3) 0,224 4) 0,144

7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок. Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?

1) 0,9 2) 0,5 3) 0,34 4) 0,18

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 7

В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)

1) 4 2) 24 3) 20 4) 16

2. На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

1) 75 2) 100 3) 2300 4) 3000

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600 2) 100 3) 300 4)720

4. Вычислите:

1) 1 2) 13 3) 12 4) 32

5. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на странице. Какова вероятность того, что это слово начинается на букву л?

1) 2) 3) 4)

6. Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором — 40%, в третьем – 30%. Какова вероятность поступления в лицей?

1) 0,24 2) 0,12 3) 0,18 4) 0,072

7. В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что выбранный шарик будет не зеленым?

1) 2) 0,5 3) 4)

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 8

Разложите на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?

1) 6 2) 12 3) 30 4) 3

2. Сколько можно составить из простых делителей числа 2730 составных чисел, имеющих только два простых делителя?

1) 300 2) 10 3) 150 4) 15

3. На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?

1) 18 2) 28 3) 64 4) 56

4. Вычислите:

1) 48 2) 94 3) 56 4) 96

5. Катя забыла последнюю цифру семизначного номера телефона знакомой девочки. Какова вероятность того, что Катя набрала телефон знакомой девочки?

1) 0,5 2) 0,1 3) 4) 0,7

6. Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго – 4%, третьего – 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?

1) 12 2) 0,5 3) 0,12 4) 12 ∙10

7. На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 человек, во вторую – 12, в третью – остальных. Какова вероятность того, что два друга окажутся в одной аудитории?

1) 2) 0,5 3) 4)

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 9

Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие – белым, черным, зеленым и синим? (каждый своим цветом).

1) 120 2) 360 3) 180 4) 500

Сколькими способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 группы так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой – 12 человек.

1) 60 2) 85 3) 6188 4)6000

На плоскости даны 10 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих через любую другую из данных точек?

1) 720 2) 360 3) 500 4) 100

4. Решите уравнение:

1) 4; -5 2) 4 3) -5 4) 9

5. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный?

1) 2) 0,2 3) 4) 0,5

6. Отдел технического контроля типографии «Фаворит» проверил книжную продукцию на наличие брака. Вероятность того, что книга не бракованная равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных книг только одна бракованная.

1) 0,18 2) 0,81 3) 0,5 4) 0,01

7. 25 выпускников мединститута направили работать в три села. В Хацепеевку попало 7 молодых специалистов, в Хачапуровку – 12, В Красные Огурейцы – остальные. Какова вероятность того, что три друга будут сеять разумное, доброе, вечное в одном селе?

1) 2) 3) 0,5 4) 0,35

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Вариант 10

Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) былым, черным и зеленым?

1) 180 2) 300 3) 120 4) 240

Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?

1) 210 2) 60 3) 30 4) 240

3. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете

4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

1) 1200 2) 88000 3) 11880 4)3000

4. Решите уравнение:

1) 6 2) -5; 6 3) -5 4) 30

5. На карточках выписаны числа от 1 до 10 (на одной карточке – одно число). Карточки положили на стол и перемешали. Какова вероятность того, что на вытащенной карточке окажется число 3?

1) 2) 0,1 3) 4) 0,4

6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1) 0,384 2) 0,5 3) 0,3 4) 0,4

7. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку 0,1, в восьмерку – 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберет не менее восьми очков.

1) 0,5 2) 0, 35 3) 0,04 4) 0,34

Контрольная работа № 7 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Ответы к тестам

Вариант 1

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	3	2	4	1	2	3	4

Вариант 2

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	4	1	2	2	3	1	1

Вариант 3

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	1	2	4	3	2	4	1

Вариант 4

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	2	1	4	3	2	1	1

Вариант 5

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	3	3	2	2	2	4	1

Вариант 6

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	3	1	2	3	1	2	1

Вариант 7

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	2	3	4	1	2	3	1

Вариант 8

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	1	2	4	3	2	4	1

Вариант 9

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	2	3	1	2	3	1	2

Вариант 10

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	3	1	3	1	2	1	4

Страница не найдена – портал Вашифинансы.

рф

Москва

Ваш город:

Москва

ПартнерамДля СМИ

Рус Eng

Неделя
финансовой грамотности
2021 Проверь уровень
финансовой грамотности Учись управлять
личными финансами Узнай
как защитить свои
права Финансовые
калькуляторы Как
говорить с детьми
о деньгах

С 1 октября 2021 года актуальные материалы по финансовой грамотности читайте на сайте

МОИФИНАНСЫ.РФ

В этом разделе вы можете ознакомиться с материалами, созданными в рамках совместного проекта Минфина России и Всемирного банка в период с 2010 по 2020 год.

Страница, которую вы запросили, отсутствует на нашем сайте.

Возможно, вы ошиблись при наборе адреса или перешли по неверной ссылке.

проверьте правильность написания;
воспользуйтесь главной страницей;
воспользуйтесь поиском выше;
воспользуйтесь картой сайта.

Контакты
Карта сайта
Условия использования материалов

На уровень выше

Финансы на каждый день

Вводный курс
Домашняя бухгалтерия
Долги и кредиты
Финансы и жилье
Работа и зарплата
Семья и деньги
Права и обязанности
Непредвиденные обстоятельства
Обеспеченная старость
Сохранить и приумножить
Словарь финансовых терминов
Вопрос? Ответ!

Мнение эксперта
Лайфхаки

Защита прав потребителей

Финансовые калькуляторы

Калькулятор потребительского кредита
Калькулятор личного накопительного плана
Ипотечный калькулятор
Калькулятор вклада с капитализацией процентов
Калькулятор кредита на неотложные нужды

Тесты

Финансовая арифметика для школьников
Финансовая грамотность для студентов

Финансовая грамотность для взрослых
Насколько вы финансово грамотны?
Литературная классика
Тесты сайта «ХочуМогуЗнаю»

Детям и молодежи о финансах

Архив материалов

Родителям
Педагогам
Исследователям
Детям и молодежи
Финансовым институтам
Взрослым
Пенсионерам
Для участников проекта

Для участников проекта

Методические центры
— Федеральный методический центр по финансовой грамотности системы общего и среднего профессионального образования
— Федеральный сетевой методический центр повышения квалификации преподавателей вузов и развития программ повышения финансовой грамотности студентов
— Федеральный консультационно-методический центр по повышению финансовой грамотности взрослого населения
Материалы
— Родителям
— Педагогам
— Исследователям
— Детям и молодежи
— Финансовым институтам
— Взрослым
— Пенсионерам
— Для участников проекта
Педагогам
Календарь мероприятий
Журнал «Дружи
с финансами»
Стратегия
Новые
УМК
— Описание
— Итоговый релиз
— Публикации в СМИ
— ТВ сюжеты
— Медиагалерея
— Учебно-методические материалы для учащихся 2-3 классов
— Методические материалы для учащихся 4 классов
— Методические материалы для учащихся 5–7 классов
— Методические материалы для учащихся 8–9 классов
— Методические материалы для учащихся 10–11 классов
— Учебно-методические материалы для учащихся 10–11 классов социально-экономического профиля
— Учебно-методические материалы для студентов среднего профессионального образования
— Учебно-методические материалы для воспитанников организаций для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Материалы для
региональных
и городских
порталов
— Студентам и молодым специалистам
— Подборка материалов для взрослых
— Для пенсионеров и граждан предпенсионного возраста
— Информация о COVID-19
Библиотека
Сельский
финансовый
фестиваль
Рейтинг
Регионов России

Для СМИ

Пресс-центр

Как посчитать количество комбинаций из 5 цифр.

Размещения без повторений из $n$ элементов по $k$. Перестановки, сочетания и размещения без повторений

В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Рождение комбинаторики как раздела связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.

Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну
из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.

Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.

В дальнейшем важную роль будет играть следующая

Лемма. Пусть в множестве элементов, а в множестве — элементов. Тогда число всех различных пар , где будет равно .

Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества мы можем составить таких различных пар, а всего в множестве элементов.

Размещения, перестановки, сочетания

Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .

Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по > элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .

Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно

Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:

Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?

Решение. Искомое число трехполосных флагов:

Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это

Число всех перестановок из элементов обозначается (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

Пример. k

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного -элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .

Треугольник Паскаля

В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа .

Теорема.

Доказательство. Рассмотрим множество из элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из элементов данного
множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?

1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т. д. член

2 способ. Выберем сначала элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке

Домножим числитель и знаменатель этой дроби на :

Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?

Искомое число способов

Задачи.

1. Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
2. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
3. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5?
4. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана?
5. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
6. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?
7. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?
8. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
9. Сколькими способами можно расставить в ряд числа так, чтобы числа стояли рядом и притом шли в порядке возрастания?
10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр , если каждую цифру можно использовать только один раз?
11. Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?
12. Назовем разбиением натурального числа представление его в виде суммы натуральных чисел. Вот, например, все разбиения числа :

Разбиения считаются разными, если они отличаются либо числами, либо порядком слагаемых.

Сколько существует различных разбиений числа на слагаемых?
13. Сколько существует трехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
14. Сколько существует четырехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
15. Сколькими способами можно рассадить в ряд 17 человек, чтобы и оказались рядом?
16. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
17. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы все девочки сидели рядом?

Число сочетаний

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений .

Явные формулы

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту

При фиксированном значении n производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n по k является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

Ссылки

Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990.
Вычисление числа сочетаний онлайн

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Число сочетаний» в других словарях:

70 семьдесят 67 · 68 · 69 · 70 · 71 · 72 · 73 40 · 50 · 60 · 70 · 80 · 90 · 100 Факторизация: 2×5×7 Римская запись: LXX Двоичное: 100 0110 … Википедия

Световое число, условное число, однозначно выражающее внеш. условия при фотосъёмке (обычно яркость объекта съёмки и светочувствительность применяемого фотоматериала). Любому значению Э. ч. можно подобрать неск. сочетаний диафрагменное число… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Форма числа, выделяющая два предмета как по отношению к единичному предмету, так и по отношению к множеству предметов. В современном русском языке эта форма не существует, но остатки ее влияния сохранились. Так, сочетания два стола (ср. мн. ч.… … Словарь лингвистических терминов

Комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… … Математическая энциклопедия

В комбинаторике сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания… … Википедия

Занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера

1) то же, что математический Комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов… … Большая советская энциклопедия

— (греч. paradoxos неожиданный, странный) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле два противоположных утверждения, для… … Философская энциклопедия

— (или принцип включений исключений) комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом … Википедия

Математическая теория, занимающаяся определением числа различных способов распределения данных предметов в известном порядке; имеет особенно важное значение в теории уравнений и в теории вероятностей. Простейшие задачи этого рода заключаются в… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Книги

Число судьбы. Гороскоп совместимости. Желания. Страсти. Фантазии (количество томов: 3) , Майер Максим. Число судьбы. Как составить индивидуальный нумерологический прогноз. Нумерология — одна из самых древних эзотерических систем. Невозможно точно установить времяее возникновения. Однако в…

В данной статье речь пойдет об особом разделе математики под названием комбинаторика. Формулы, правила, примеры решения задач — все это вы сможете найти здесь, прочитав статью до самого конца.

Итак, что же это за раздел? Комбинаторика занимается вопросом подсчета каких-либо объектов. Но в данном случае объектами выступают не сливы, груши или яблоки, а нечто иное. Комбинаторика помогает нам находить вероятность какого-либо события. Например, при игре в карты — какова вероятность того, что у противника есть козырная карта? Или такой пример — какова вероятность того, что из мешка с двадцатью шариками вы достанете именно белый? Именно для подобного рода задач нам и нужно знать хотя бы основы данного раздела математики.

Комбинаторные конфигурации

Рассматривая вопрос основных понятий и формул комбинаторики, мы не можем не уделить внимание комбинаторным конфигурациям. Они используются не только для формулировки, но и для решения различных Примерами таких моделей служат:

размещение;
перестановка;
сочетание;
композиция числа;
разбиение числа.

О первых трех мы поговорим более подробно далее, а вот композиции и разбиению мы уделим внимание в данном разделе. Когда говорят о композиции некого числа (допустим, а), то подразумевают представление числа а в виде упорядоченной суммы неких положительных чисел. А разбиение — это неупорядоченная сумма.

Разделы

Прежде чем мы перейдем непосредственно к формулам комбинаторики и рассмотрению задач, стоит обратить внимание на то, что комбинаторика, как и другие разделы математики, имеет свои подразделы. К ним относятся:

перечислительная;
структурная;
экстремальная;
теория Рамсея;
вероятностная;
топологическая;
инфинитарная.

В первом случае речь идет об исчисляющей комбинаторике, задачи рассматривают перечисление или подсчет разных конфигураций, которые образованы элементами множеств. На данные множества, как правило, накладываются какие-либо ограничения (различимость, неразличимость, возможность повтора и так далее). А количество этих конфигураций подсчитывается при помощи правила сложения или умножения, о которых мы поговорим немного позже. К структурной комбинаторике относятся теории графов и матроидов. Пример задачи экстремальной комбинаторики — какова наибольшая размерность графа, который удовлетворяет следующим свойствам… В четвертом пункте мы упомянули теорию Рамсея, которая изучает в случайных конфигурациях наличие регулярных структур. Вероятностная комбинаторика способна нам ответить на вопрос — какова вероятность того, что у заданного множества присутствует определенное свойство. Как нетрудно догадаться, топологическая комбинаторика применяет методы в топологии. И, наконец, седьмой пункт — инфинитарная комбинаторика изучает применение методов комбинаторики к бесконечным множествам.

Правило сложения

Среди формул комбинаторики можно найти и довольно простые, с которыми мы достаточно давно знакомы. Примером является правило суммы. Предположим, что нам даны два действия (С и Е), если они взаимоисключаемы, действие С выполнимо несколькими способами (например а), а действие Е выполнимо b-способами, то выполнить любое из них (С или Е) можно а+b способами.

В теории это понять достаточно трудно, постараемся донести всю суть на простом примере. Возьмем среднюю численность учеников одного класса — допустим, это двадцать пять. Среди них пятнадцать девочек и десять мальчиков. Ежедневно в классе назначается один дежурный. Сколько есть способов назначить дежурного по классу сегодня? Решение задачи достаточно простое, мы прибегнем к правилу сложения. В тексте задачи не сказано, что дежурными могут быть только мальчики или только девочки. Следовательно, им может оказаться любая из пятнадцати девочек или любой из десяти мальчиков. Применяя правило суммы, мы получаем достаточно простой пример, с которым без труда справится школьник начальных классов: 15 + 10. Подсчитав, получаем ответ: двадцать пять. То есть существует всего двадцать пять способов назначить на сегодня дежурного класса.

Правило умножения

К основным формулам комбинаторики относится и правило умножения. Начнем с теории. Допустим, нам необходимо выполнить несколько действий (а): первое действие выполняется с1 способами, второе — с2 способами, третье — с3 способами и так далее до последнего а-действия, выполняемого са способами. Тогда все эти действия (которых всего у нас а) могут быть выполнены N способами. Как высчитать неизвестную N? В этом нам поможет формула: N = с1 * с2 * с3 *…* са.

Опять же, в теории ничего не понятно, переходим к рассмотрению простого примера на применение правила умножения. Возьмем все тот же класс из двадцати пяти человек, в котором учится пятнадцать девочек и десять мальчиков. Только на этот раз нам необходимо выбрать двух дежурных. Ими могут быть как только мальчики или девочки, так и мальчик с девочкой. Переходим к элементарному решению задачи. Выбираем первого дежурного, как мы решили в прошлом пункте, у нас получается двадцать пять возможных вариантов. Вторым дежурным может быть любой из оставшихся человек. У нас было двадцать пять учеников, одного мы выбрали, значит вторым дежурным может быть любой из оставшихся двадцати четырех человек. Наконец, применяем правило умножения и получаем, что двоих дежурных можно избрать шестью сотнями способов. Мы данное число получили умножением двадцати пяти и двадцати четырех.

Перестановка

Сейчас мы рассмотрим еще одну формулу комбинаторики. В данном разделе статьи мы поговорим о перестановках. Рассмотреть проблему предлагаем сразу же на примере. Возьмем бильярдные шары у нас их n-ое количество. Нам нужно подсчитать: сколько есть вариантов расставить их в ряд, то есть составить упорядоченный набор.

Начнем, если у нас нет шаров, то и вариантов расстановки у нас так же ноль. А если у нас шар один, то и расстановка тоже одна (математически это можно записать следующим образом: Р1 = 1). Два шара можно расставить двумя разными способами: 1,2 и 2,1. Следовательно, Р2 = 2. Три шара можно расставить уже шестью способами (Р3=6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. А если таких шаров не три, а десять или пятнадцать? Перечислять все возможные варианты очень долго, тогда нам на помощь приходит комбинаторика. Формула перестановки поможет нам найти ответ на интересующий нас вопрос. Pn = n *P (n-1). Если попытаться упростить формулу, то получаем: Pn = n* (n — 1) *…* 2 * 1. А это и есть произведение первых натуральных чисел. Такое число называется факториалом, а обозначается как n!

Рассмотрим задачу. Вожатый каждое утро выстраивает свой отряд в шеренгу (двадцать человек). В отряде есть три лучших друга — Костя, Саша и Леша. Какова вероятность того, что они будут стоять рядом? Чтобы найти ответ на вопрос, нужно вероятность «хорошего» исхода поделить на общее количество исходов. Общее число перестановок составляет 20! = 2,5 квинтиллиона. Как посчитать количество «хороших» исходов? Предположим, что Костя, Саши и Леша — это один сверхчеловек. Тогда мы имеем всего восемнадцать субъектов. Число перестановок в данном случае равняется 18 = 6,5 квадриллионов. При всем этом, Костя, Саша и Леша могут произвольно перемещаться между собой в своей неделимой тройке, а это еще 3! = 6 вариантов. Значит всего «хороших» расстановок у нас 18! * 3! Нам остается только найти искомую вероятность: (18! * 3!) / 20! Что равняется примерно 0,016. Если перевести в проценты, то это получается всего 1,6%.

Размещение

Сейчас мы рассмотрим еще одну очень важную и необходимую формулу комбинаторики. Размещение — это наш следующий вопрос, который предлагаем вам рассмотреть в данном разделе статьи. Мы идем на усложнение. Предположим, что мы хотим рассмотреть возможные перестановки, только не из всего множества (n), а из меньшего (m). То есть мы рассматриваем перестановки из n предметов по m.

Основные формулы комбинаторики стоит не просто заучивать, а понимать их. Даже несмотря на то, что они усложняются, так как у нас не один параметр, а два. Предположим, что m = 1, то и А = 1, m = 2, то А = n * (n — 1). Если далее упрощать формулу и перейти на запись при помощи факториалов, то получится вполне лаконичная формула: А = n! / (n — m)!

Сочетание

Мы рассмотрели практически все основные формулы комбинаторики с примерами. Теперь перейдем к заключительному этапу рассмотрения базового курса комбинаторики — знакомство с сочетанием. Сейчас мы будем выбирать m предметов из имеющихся у нас n, при этом всем мы будем выбирать всеми возможными способами. Чем же тогда это отличается от размещения? Мы не будем учитывать порядок. Этот неупорядоченный набор и будет являться сочетанием.

Сразу введем обозначение: С. Берем размещения m шариков из n. Мы перестаем обращать внимание на порядок и получаем повторяющиеся сочетания. Чтобы получить число сочетаний нам надо поделить число размещений на m! (m факториал). То есть С = А / m! Таким образом, способов выбрать из n шаров немножко, равняется примерно столько, сколько выбрать почти все. Этому есть логическое выражение: выбрать немножко все равно, что выкинуть почти все. Еще в данном пункте важно упомянуть и то, что максимальное число сочетаний можно достигнуть при попытке выбрать половину предметов.

Как выбрать формулу для решения задачи?

Мы подробно рассмотрели основные формулы комбинаторики: размещение, перестановка и сочетание. Теперь наша задача — облегчить выбор необходимой формулы для решения задачи по комбинаторике. Можно воспользоваться следующей довольно простой схемой:

Задайте себе вопрос: порядок размещения элементов учитывается в тексте задачи?
Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой сочетания (С = n! / (m! * (n — m)!)).
Если ответ нет, то необходимо ответить на еще один вопрос: все ли элементы входят в комбинацию?
Если ответ да, то воспользуйтесь формулой перестановки (Р = n!).
Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой размещения (А = n! / (n — m)!).

Пример

Мы рассмотрели элементы комбинаторики, формулы и некоторые другие вопросы. Теперь перейдем к рассмотрению реальной задачи. Представьте, что перед вами лежат киви, апельсин и банан.

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить? Для этого воспользуемся формулой перестановок: Р = 3! = 6 способов.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать один фрукт? Это очевидно, у нас всего три варианта — выбрать киви, апельсин или банан, но применим формулу сочетаний: С = 3! / (2! * 1!) = 3.

Вопрос третий: сколькими способами можно выбрать два фрукта? Какие есть у нас вообще варианты? Киви и апельсин; киви и банан; апельсин и банан. То есть три варианта, но это легко проверить при помощи формулы сочетания: С = 3! / (1! * 2!) = 3

Вопрос четвертый: сколькими способами можно выбрать три фрукта? Как видно, выбрать три фрукта можно одним-единственным способом: взять киви, апельсин и банан. С = 3! / (0! * 3!) = 1.

Вопрос пятый: сколькими способами можно выбрать хотя бы один фрукт? Это условие подразумевает, что мы можем взять один, два или все три фрукта. Следовательно, мы складываем С1 + С2 + С3 =3 + 3 + 1 = 7. То есть у нас есть семь способов взять со стола хотя бы один фрукт.

Рассмотрим задачу подсчета числа выборок из данного множества в общем виде. Пусть имеется некоторое множество N , состоящее из n элементов. Любое подмножество, состоящее из m элементов можно рассматривать без учета их порядка, так и с его учетом, т.е. при изменении порядка переходим к другой m – выборке.

Сформулируем следующие определения:

Размещения без повторения

Размещением без повторения из n элементов по m N , содержащее m различных элементов .

Из определения следует, что два размещения отличаются друг от друга, как элементами, так и их порядком, даже если элементы одинаковы.

Теорема 3 . Число размещений без повторения равно произведению m сомножителей, наибольшим из которых является число n . Записывают:

Перестановки без повторений

Перестановками из n элементов называются различные упорядочения множества N .

Из этого определения следует, что две перестановки отличаются только порядком элементов и их можно рассматривать как частный случай размещений.

Теорема 4 . Число различных перестановок без повторений вычисляется по формуле

Сочетания без повторений

Сочетанием без повторения из n элементов по m называется любое неупорядоченное подмножество множества N , содержащее m различных элементов.

Из определения следует, что два сочетания различаются только элементами, порядок не важен.

Теорема 5 . Число сочетаний без повторений вычисляют по одной из следующих формул:

Пример 1 . В комнате 5 стульев. Сколькими способами можно разместить на них

а) 7 человек; б) 5 человек; в) 3 человека?

Решение: а) Прежде всего надо выбрать 5 человек из 7 для посадки на стулья. Это можно сделать
способом. С каждым выбором конкретной пятерки можно произвести
перестановок местами. Согласно теореме умножения искомое число способов посадки равно.

Замечание: Задачу можно решать, используя только теорему произведения, рассуждая следующим образом: для посадки на 1-й стул имеется 7 вариантов, на 2-й стул-6 вариантов, на 3-й -5, на 4-й -4 и на 5-й -3. Тогда число способов посадки 7 человек на 5 стульев равно . Решения обоими способами согласуются, так как

б) Решение очевидно —

в) — число выборов занимаемых стульев.

— число размещений трех человек на трех выбранных стульях.

Общее число выборов равно .

Не трудно проверить формулы
;

;

Число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов.

Размещения с повторением

Размещением с повторением из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество множества N , состоящее из m элементов так, что любой элемент ожжет входить в это подмножество от 1 до m раз, либо вообще в нем отсутствовать .

Число размещений с повторением обозначают и вычисляют по формуле, представляющей собой следствие из теоремы умножения:

Пример 2 . Пусть дано множество из трех букв N = {a, b, c}. Назовем словом любой набор из букв, входящих в это множество. Найдем количество слов длиной 2, которые можно составить из этих букв:
.

Замечание: Очевидно, размещения с повторением можно рассматривать и при
.

Пример 3 . Требуется из букв {a, b}, составить всевозможные слова длиной 3. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ :

Калькулятор комбинаций (nCr, nPr)

Количество элементов (n)

Элементы для выбора (r)

Порядок важен:
Порядок не имеет значения
Комбинации

С повторами:
Без повторов Идент.
Все предметы уникальны

ⁿ C _r =	n!
	(н-р)! р!

Комбинации Формулы

nCr formula

Number of combinations
without repetitions

= ⁿ C _r

=	n!
	(н-р)! р!

Комбинации с формулой

повторений

Количество комбинаций
с повторениями

= 900r+
		(н-1)! р!

Permutations Formulas

nPr formula

Number of permutations
without repetitions

= ⁿ P _r

=	n!
	(н-р)!

Перестановки с формулой

повторений

Количество перестановок
с повторениями

= n ^r

Калькулятор комбинаций

Что такое комбинация?

Комбинация — это выбор r элементов из набора из n элементов, порядок выбора которых не важен.

Примеры комбинаций

Комбинации без повторений

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов. 123
Сколько у нас будет уникальных комбинаций, если мы не сможем повторять шары?

3 разных способа. Наши варианты: RG, RP и GP.
121323

Мы можем подсчитать количество комбинаций без повторений, используя формулу nCr, где n равно 3, а r равно 2.

# комбинаций =	n!	=	3!	=	6	= 3
	(n-r)!r!		2!*1!		2

Примеры такого типа комбинаций мы можем увидеть при подборе команд на спортивную игру или на задание. Мы не можем выбрать члена команды более одного раза (поэтому у нас не может быть команды с Дэнни, Дэнни и мной), и нам все равно, кто будет выбран в команду первым (поэтому, если я в команде с Бобом и Томом для меня это то же самое, что быть в команде с Томом и Бобом).

Комбинации с повторениями

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цвета 123
Если каждый раз, когда мы выбираем шар, мы кладем это обратно в сумку, сколько уникальных комбинаций у нас будет?

6 разных способов. Наши варианты: RR, RG, RP, GG, GP и PP.
111213222333

Количество комбинаций с повторениями можно подсчитать математически, используя формулу комбинаций с повторениями, где n = 3 и r = 2,

# комбинаций =	(n+r-1)!	=	4!	=	24	= 6
	(n-1)!r!		(3-1)!2!		4

Примеры такого типа комбинаций можно увидеть при покупке мороженого в магазине мороженого, поскольку мы можем выбирать вкусы более одного раза (я мог бы получить две, три или даже четыре шарика шоколадного мороженого, если бы я хотел), и мне все равно, какая ложка будет сверху (поэтому шоколад сверху и ваниль снизу для меня то же самое, что ваниль сверху с шоколадной основой).

Калькулятор перестановок

Что такое перестановка?

Перестановка — это выбор r элементов из набора из n элементов, где важен порядок, в котором мы выбираем наши элементы.

Примеры перестановок

Перестановки без повторений

Допустим, мы хотели выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов 123
Сколько уникальных перестановок получится у нас есть, если мы не можем повторить шары?

6 разных способов. Наши варианты: RG, GR, RP, PR, GP и PG.
122113312332

Мы можем показать это математически, используя формулу перестановок с n = 3 и r = 2

# перестановок =	n!	=	3!	=	3!	= 6
	(н-р)!		(3-2)!		1!

Мы можем видеть примеры этого типа в реальной жизни в результатах беговых забегов (при условии, что два человека не могут занимать одно и то же место), поскольку нам явно небезразлично, придем ли мы первыми, а наш конкурент вторым или если это наоборот.

Перестановки с повторениями

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов. 123
Если каждый раз, когда мы выбираем мяч, мы кладем его обратно в мешок, сколько уникальных перестановок мы получим?

9 разных способов. Наши варианты: RR, RG, GR, RP, PR, GG, GP, PG и PP.
111221133122233233

Мы можем показать это математически, используя формулу перестановок с повторениями с n = 3 и r = 2,
# permutations = n ^r = 3 ² = 9

Мы можем видеть это в реальной жизни по количеству кодов на сейфе — мы можем повторять числа, если хотим (и иметь пароль, например, 1111) и мы заботимся о порядке чисел (поэтому, если 1234 откроет сейф, 4321 не откроет).

Объяснение формул комбинаций и перестановок

Сколько способов упорядочить n шаров?

Если у нас есть 3 шара красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цвета, то есть 6 различных способов. У нас есть 3 варианта для первого цвета, затем 2 варианта для второго цвета и один вариант для последнего цвета. Поэтому у нас есть 3*2*1 разных вариантов или 3! На 4 мяча у нас 4! доступны различные перестановки. На 5 мячей у нас 5! разные варианты и т.д. Для n шаров имеем n! опции.

Объяснение формулы перестановок

Сколько существует перестановок для выбора 3 шаров из 5 без повторений? Мы можем выбрать любой из 5 шаров в первом выборе, любой из 4 оставшихся во втором выборе и любой из 3 оставшихся в третьем выборе. Это 5 * 4 * 3, что можно записать как 5!/2! (что равно n! / (n — r)! с n=5, r=3).
Существует также альтернативный способ выбрать набор из 3 шаров. Допустим, мы хотели выбрать 123 шара. Затем мы могли бы также выбрать оставшиеся 2 шара. Это дало бы нам возможные перестановки 12345 и 12354. Мы видим, что их 2! (то есть 2) различные способы выбора 5 шаров, если мы хотим, чтобы 123 были первыми 3 вариантами выбора. Следовательно, мы можем получить количество выборов 3 шаров из 5 шаров, разделив 5! (общее количество выборов) на 2! (перестановки в списке из 5! вариантов, которые начинаются с 123 или любых других 3 шаров, которые вы можете выбрать). . Сколько 5 перестановок шара он начнет? Ну 2! потому что для этой подборки у вас осталось два шара и их можно разложить по 2! разными способами (как мы видели выше). Следовательно, чтобы получить количество перестановок 3-х шаров, выбранных из 5-ти шаров, нужно разделить 5! на 2!.

Объяснение формулы комбинаций

Каждая комбинация из 3 шаров может представлять 3! разные перестановки. Следовательно, мы можем вывести формулу комбинаций из формулы перестановок, разделив количество перестановок (5!/2!) на 3! чтобы получить 5! / (2! * 3!) = 10 разных способов. Это обобщается и на другие комбинации и дает нам формулу #combinations = n! / ((n — r)! * r!)

Объяснение перестановок с помощью формулы повторений

Если мы снова выбрали 3 из 5 шаров, но с повторениями, то у нас есть 5 вариантов для каждого выбора, что дает нам 5 * 5 * 5 = Всего 125 вариантов. Таким образом, общая формула такова: #permutations = n ^р .

Объяснение комбинаций с формулой повторений

Посмотрим, сколько существует комбинаций для выбора 3-х шаров из 5 (красный (R), зеленый (G), фиолетовый (P), бирюзовый (T) и желтый (Y)) с повторения. Вы заметите, что наш трюк с формулой обычных комбинаций не работает. Например, если мы посмотрим на комбинацию двух красных шаров и одного зеленого шара, у нас будет только 3 возможных перестановки (RGG, GRG, GGR) вместо 3! = 6, так как зеленый появляется дважды. Поэтому мы не можем просто разделить количество перестановок на 6! и быть сделано. Вместо этого мы будем использовать красивое представление, чтобы упростить нашу задачу. Мы можем представить выбор в виде таблицы, поэтому, если мы хотим выбрать 2 красных и зеленый шар, мы можем отметить это как: R | г | П | Т | Д
ООО | О | | |
Что можно записать более компактно, опустив заголовок и ненужные пробелы, как OO|O|||
и выбор одного зеленого, одного фиолетового и одного желтого шара можно записать как:
R | г | П | Т | Y
| О | О | | O
, что более компактно можно записать как |O|O||O
Наконец, выбор 3 бирюзовых шаров можно записать в виде следующей таблицы:
R | г | П | Т | Y
| | | | ООО
, которое может быть записано как ||||ООО
Каждая строка из 4 | и 3 О соответствует выбору и наоборот. Следовательно, количество способов выбрать 3 шара из 5 с повторением и там, где порядок имеет значение, такое же, как количество способов написать строки из 4 символов «|» и 3 «О». Чтобы выяснить, сколько их, мы можем начать с 7! а потом видим, что надо делить на 4! потому что мы повторяем строки 4! из-за | повторение (поскольку изначально мы рассматриваем 4 | как отдельные символы) и делим на 3! так как мы повторяем строки 3! раз из-за повторения O. Следовательно, существует 7!/(4!3!) различных комбинаций = (n + r — 1)! / ((n — 1)! * r!), что является формулой, которая нам нужна.

Комбинации и перестановки, в чем разница?

Разница в том, заботимся ли мы о заказе. В комбинациях порядок не имеет значения. Если бы нам нужно было выбрать спортивную команду, то порядок, в котором мы выбираем игроков, не имеет значения. Если мы заботимся о порядке, то мы выбираем перестановку. Если вместо спортивной команды посмотреть на результаты бегового забега, то порядок становится важным. Нам не все равно, придем ли мы первыми, а наш главный соперник вторым или наоборот, даже если они будут частью одной и той же комбинации.

Как пользоваться калькулятором комбинаций и перестановок?

Порядок важен : определяет, хотите ли вы использовать калькулятор комбинаций (когда он не активен) или калькулятор перестановок (когда он активен).

С повторениями : позволяет выбирать комбинации и перестановки с повторениями (активно) или без (неактивно).
Это относится как к калькулятору комбинаций , так и к калькулятору перестановок .

Идентичные элементы : позволяет указать, есть ли в вашей задаче повторения элементов, но не бесконечная замена (активно) или нет (неактивно). Когда он активен, вы можете указать количество повторений для каждого элемента. Обратите внимание, что в этом случае текстовое поле количества элементов будет представлять количество уникальных элементов.
Переключатель идентичных элементов актуален как для калькулятора комбинаций , так и для калькулятора комбинаций .

Фрукты и овощи — канал Better Health Channel

О фруктах и овощах

Фрукты и овощи должны составлять важную часть вашего ежедневного рациона. Они, естественно, хороши и содержат витамины и минералы, которые могут помочь сохранить ваше здоровье. Они также могут помочь защитить от некоторых заболеваний.

Большинству австралийцев полезно есть больше фруктов и овощей в рамках хорошо сбалансированной, здоровой диеты и активного образа жизни. Существует множество разновидностей фруктов и овощей и множество способов их приготовления, приготовления и подачи.

Фрукты и овощи лучше покупать в сезон. В противном случае попробуйте замороженные или консервированные овощи, поскольку они также питательны и недороги.

Вы должны съедать не менее 5 порций овощей и 2 порции фруктов каждый день. Выбирайте разные цвета и сорта.

Если вы из тех, кто не хочет есть фрукты или овощи, постепенно начните с тех, которые вам нравятся. Попробуйте подать, приправить или приготовить их по-разному. Вы также можете замаскировать их соусами, фаршем или карри.

Витамины и минералы во фруктах и овощах

Фрукты и овощи содержат много витаминов и минералов, полезных для здоровья. Многие из них являются антиоксидантами и могут снизить риск многих заболеваний:

витамин А (бета-каротин)
витамин С
витамин Е
магний
цинк
фосфор
фолиевая кислота

Фолиевая кислота может снизить уровень гомоцистеина в крови, вещества, которое может быть фактором риска ишемической болезни сердца.

Исследования показали, что употребление этих питательных веществ в составе фруктов и овощей более полезно для здоровья, чем их потребление в виде пищевых добавок.

Фрукты и овощи для хорошего здоровья

Фрукты и овощи с низким содержанием жира, соли и сахара. Они являются хорошим источником пищевых волокон, благодаря которым вы дольше чувствуете себя сытым и предотвращаете переедание. В рамках хорошо сбалансированной, здоровой диеты и активного образа жизни высокое потребление фруктов и овощей может помочь вам:

уменьшить ожирение и поддерживать здоровый вес
снизить уровень холестерина
снизить кровяное давление.

Фрукты и овощи и защита от болезней

Овощи и фрукты содержат антиоксиданты и фитохимические вещества или растительные химикаты. Эти биологически активные вещества могут помочь защитить вас от некоторых заболеваний.

Научные исследования показывают, что если вы регулярно едите много фруктов и овощей, у вас снижается риск:

диабет 2 типа
инсульт
сердечно-сосудистые заболевания
рак – некоторые формы рака, особенно рак кишечника, желудка и горла в более позднем возрасте
высокое кровяное давление (гипертония).

Виды фруктов

Плод — сладкая, мясистая, съедобная часть растения. Обычно содержит семена. Фрукты обычно едят сырыми, хотя некоторые сорта можно приготовить. Они бывают самых разных цветов, форм и вкусов. Общие типы фруктов, которые легко доступны, включают:

яблоки и груши
цитрусовые – апельсины, грейпфруты, мандарины и лаймы
косточковые плоды – нектарины, абрикосы, персики и сливы
тропические и экзотические – бананы и манго
ягоды, черника, малина, малина маракуйя
дыни – арбузы, арбузы и дыни
помидоры и авокадо.

Типы овощей

Овощи доступны во многих разновидностях и могут быть классифицированы по биологическим группам или «семействам», включая:

листовая зелень – салат, шпинат и свекла
крестоцветные – капуста, цветная капуста, брюссельская капуста и брокколи
кабачки – тыква, огурец и кабачок
корень – картофель, батат и ямс
– съедобное растение спаржа
лук – лук, чеснок и лук-шалот.

Бобовые

Бобовые или бобовые содержат особо ценные питательные вещества. Бобовые необходимо готовить перед употреблением — это улучшает их питательные качества, способствует пищеварению и устраняет любые вредные токсины. Бобовые бывают разных форм, в том числе:

соевые продукты – тофу (соевый творог) и соевые бобы
мука из бобовых – нутовая мука (бесан), чечевичная мука и соевая мука
сушеные бобы и горох – фасоль, красная фасоль, нут и чечевица
свежая фасоль и горох — зеленый горошек, зеленая фасоль, масляная фасоль, кормовые бобы и горох.

Красители для фруктов и овощей

Продукты одного цвета обычно содержат аналогичные защитные соединения. Старайтесь каждый день съедать радугу разноцветных фруктов и овощей, чтобы получить всю пользу для здоровья. Например:

красные продукты, такие как помидоры и арбуз. Они содержат ликопин, который считается важным для борьбы с раком простаты и сердечными заболеваниями
зеленые овощи, такие как шпинат и капуста. Они содержат лютеин и зеаксантин, которые могут помочь защитить от возрастных заболеваний глаз.
Синие и фиолетовые продукты, такие как черника и баклажаны. Они содержат антоцианы, которые могут помочь защитить организм от рака
белые продукты, такие как цветная капуста. Они содержат сульфорафан и могут также помочь защитить от некоторых видов рака.

Выбор фруктов и овощей

Чтобы максимизировать питательные вещества и привлекательность, покупайте и подавайте различные виды фруктов и овощей. Старайтесь покупать сезонные фрукты и овощи, отдавайте предпочтение свежести и качеству. Вам следует:

Ешьте в соответствии со временем года – это естественный способ убедиться, что наш организм получает здоровую смесь питательных веществ и растительных химикатов.
Попробуйте что-нибудь новое — попробуйте новые рецепты и купите новые фрукты или овощи в рамках еженедельных покупок.
Позвольте цветам направлять вас — получайте различные комбинации питательных веществ, положив на тарелку «радугу» цветов (зеленый, белый, желто-оранжевый, сине-фиолетовый, красный).

Приготовление и приготовление фруктов и овощей

Овощи часто готовят, хотя некоторые виды употребляют в пищу в сыром виде. Приготовление и обработка могут повредить некоторые питательные вещества и фитохимические вещества в растительных продуктах.

Рекомендации по максимальному использованию фруктов и овощей включают:

Ешьте сырые овощи и фрукты, если это возможно.
Попробуйте пюре из фруктов или овощей.
Используйте острый нож, чтобы нарезать свежие фрукты, чтобы не повредить их.
Срезайте с овощей только несъедобные части – иногда лучшие питательные вещества содержатся в кожуре, непосредственно под кожурой или в листьях.
Используйте методы обжаривания, гриля, микроволновой печи, запекания или приготовления на пару с антипригарной посудой и мононенасыщенными маслами.
Не переваривать, чтобы уменьшить потери питательных веществ.
Подавайте блюда с овощным соусом песто, сальсой, чатни и уксусом вместо сметаны, масла и сливочных соусов.

Некоторые питательные вещества, такие как каротиноиды, могут быть увеличены, если пища подвергается тепловой обработке. Например, в помидорах больше каротиноидов, особенно ликопина, когда они приготовлены — хороший повод готовить фрукты и овощи разными способами.

После того, как вы приготовили овощи и фрукты, потратьте некоторое время на презентацию. Люди с большей вероятностью получат удовольствие от еды, если она разнообразна и визуально привлекательна, а также вкусна.

Совместные приемы пищи, как правило, включают больше продуктов из 5 пищевых групп. Например, люди часто сообщают, что им неинтересно готовить овощи только для себя.

Сядьте за стол, чтобы поесть и насладиться едой, не отвлекаясь, например, на телевизор. Просмотр телевизора связан с тем, что вы едите более дискреционные продукты, такие как еда на вынос или полуфабрикаты, и меньше продуктов из 5 пищевых групп. Это также значительно затрудняет распознавание и реагирование на сигналы нашего тела о голоде и сытости (сытости).

Суточная норма фруктов и овощей

Различные фрукты и овощи содержат разные питательные вещества. Австралийские рекомендации по питанию рекомендуют взрослым ежедневно есть не менее 5 видов овощей и 2 вида фруктов.

Всемирная организация здравоохранения (ВОЗ) рекомендует взрослым съедать не менее 400 г или 5 порций фруктов и овощей (за исключением картофеля, сладкого картофеля и других крахмалистых корнеплодов) в день, чтобы снизить риск заболевания. Такое количество фруктов и овощей также обеспечивает достаточное потребление клетчатки и может снизить общее потребление сахара.

Национальное исследование питания, проведенное правительством Австралии, показало, что только 6,8% австралийцев едят рекомендуемое количество овощей, в то время как немногим более половины (54%) соответствуют рекомендациям по обычным порциям фруктов.

Дети и подростки нуждаются в особом питании, поскольку они растут и развиваются. Им также нужна дополнительная энергия для игры и большей активности. Несмотря на то, что им нужно больше энергии, у детей меньший объем желудка, чем у взрослых, и они не могут есть те же порции. Тем не менее, вы должны поощрять своих детей есть разнообразные фрукты и овощи.

При правильном питании у ваших детей будет достаточно энергии, чтобы играть, лучше концентрироваться, учиться, лучше спать и укреплять зубы и кости. Формирование хороших привычек в раннем возрасте также может обеспечить защиту здорового питания на протяжении всей жизни.

Ланч-боксы для ухода за детьми и школы, как и домашняя еда и закуски, должны по-прежнему отражать 5 пищевых групп и не включать продукты и напитки по своему усмотрению.

Австралийские рекомендации по питанию содержат рекомендации о том, сколько овощей и фруктов необходимо взрослым, детям и подросткам разного возраста.

Где получить помощь

Ваш врач общей практики
Служба охраны здоровья матери и ребенка
Ваш местный продавец свежих продуктов
Heart Foundation Тел. (03) 9329 8511
Диетологи Австралии Тел. 1800 812 942 – найдите ближайшего диетолога
Nutrition Australia

Основные методы подсчета

Университет штата Иллинойс, математический факультет

MAT 305: Темы комбинаторики для K-8 Учителя

Основные методы счета
Дополнение Принцип	Умножение Принцип	Перестановки	Комбинации
Циркуляр Перестановки		Факториал Обозначение

Здесь мы концептуализируем некоторые стратегии подсчета, которые завершаются широким использованием и применением перестановок и комбинации. Все поднятые вопросы требуют, чтобы мы считали что-то, но каждый включает в себя другой подход.

Принцип сложения

Если я закажу один овощ из меню у Блеза Бистро, сколько вариантов овощей предлагает Блейз?

Здесь мы выбираем один элемент из набора элементов. Потому что там нет общих предметов среди двух наборов, которые Блейз назвал Зелеными. и Картофель, мы можем объединить предметы в один большой набор. Мы используем Кроме того, здесь 4+5, чтобы определить общее количество элементов для выбора из.

Это иллюстрирует важный принцип подсчета.

Принцип добавления

Если выбор из группы I можно сделать n способами и выбор из группы II можно сделать m способами, тогда число возможных вариантов из группы I или группы II равно н+м .

Необходимое условие: в группе I нет одинаковых элементов. как элементы второй группы.

Это можно обобщить до одного выбора из более чем двух группы, опять же при условии, что все группы или наборы не пересекаются с , то есть не имеют ничего общего.

Примеры для иллюстрации принципа сложения:

Вот три набора букв, назовите их наборами I, II и III:

Набор I: {a,m,r}
Набор II: {b,d,i,l,u}
Набор III: {c,e,n,t}

Сколькими способами можно выбрать одну букву из наборов? I, II или III? Обратите внимание, что три набора не пересекаются, или взаимно исключительный : среди трех наборов нет общих элементов.

Вот два набора положительных целых чисел:

А={2,3,5,7,11,13}
Б={2,4,6,8,10,12}.

Сколькими способами можно выбрать одно целое число из множества А или Б? Обратите внимание, что эти два набора не являются непересекающимися. Какая модификация Можем ли мы применить принцип сложения, чтобы учесть этот случай? Пытаться написать эту модификацию.

Принцип умножения

«Обед» в бистро состоит одного супа, одного мясного блюда, одного зеленого овоща и одного десерт из меню a la carte. Если бы друг Блеза Пьер всегда заказывает такую еду, сколько разных блюд может быть созданный?

Мы можем перечислить возможные приемы пищи, предпочтительно в некоторых организованный способ убедиться, что мы рассмотрели все возможности. Вот набросок одного такого перечисления, где {V,O}, {K,R}, {S,P,B,I} и {L,A,C,F} представляют элементы, которые нужно выбрать из суповое, мясное, овощное и десертное меню соответственно.

ВКСЛ	ВКПЛ	ВКБЛ	ВКИЛ	. ..и так далее до…	ОРИЛ
ВКСА	ВКПА	ВКБА	ВКИА		ОРИА
ВКСЦ	ВКПЦ	ВКБК	ВКИЦ		ОРИК
ВКСФ	ВКПФ	ВКБФ	ВКИФ		ОРИФ

Обратите внимание на процесс нумерации, используемый в таблице. Как мог вы описываете это словами?

Как еще мы могли бы завершить счет без определение всех возможных вариантов? Карта или дерево для иллюстрации процесса перечисления обеспечивает мост к такому методу.

У нас есть два способа выбрать суп, два способа выбрать мясо блюд, четыре зеленых овоща на выбор и четыре десерта Выбери из. Сочетание одного супа с каждым мясом, затем каждого из эти пары с каждым из четырех возможных зеленых овощей, и каждый из эти тройки с каждым из четырех возможных десертов приводят к использованию умножение как быстрый способ подсчитать все возможные приемы пищи, которые мы мог собраться у Блэза.

Это предполагает, что мы используем другой принцип подсчета, чтобы описать это техника.

Принцип умножения

Если задача состоит из двух шагов и первый шаг можно пройдено n путей и второй ступени м способов, то есть n*m способов завершить задача.

Необходимое условие: Способы выполнения каждого шага являются независимыми друг от друга.

Это можно обобщить для выполнения задачи более чем за два шагов, пока выполняется условие.

Пример для иллюстрации принципа умножения:

Вспомните наши три множества I, II и III: {a,m,r}, {b,d,i,l,u} и {с, д, н, т}. Определить количество трехбуквенных наборов, которые могут быть создан таким образом, что одна буква из набора I, одна буква из набора II, и одна буква из набора III. Обратите внимание, что наш выбор в каждом наборе не зависит от нашего выбора в других множествах. При необходимости мы мог бы перечислить возможные трехбуквенные или трехэлементные, наборы.

Перестановки
Сколькими способами могут буквы только одного набора из I, II и III заказать? В наборе I у нас есть следующие возможности:

амр

рычаг

март

мра

баран

RMA

Мы используем принцип умножения, чтобы описать наш выбор. Мы иметь три буквы на выбор при заполнении первой позиции, две буквы остаются, чтобы заполнить вторую позицию, и осталась только одна буква для последней позиции: 3x2x1=6 возможны различные порядки. Точно так же для набора II есть 120 различных способов упорядочить пять буквы и есть 24 различных способа заказать буквы в наборе III.

Это вышеприведенное обсуждение иллюстрирует концепцию другого базового стратегия счета.

Перестановка

Линейное расположение элементов, для которых порядок необходимо учитывать элементы.

Также отмечаем наличие факториальная нотация для компактного представления конкретного умножение, которое мы только что выполнили: 3x2x1=3!, 5x4x3x2x1=5!, и так далее. на. Итак, n(n-1)(n-2)…(2)(1)=n!.

Обозначение факториала

Компактное представление умножения последовательные целые числа. Мы используем n! возмущаться произведение n(n-1)(n-2)…(2)(1) , где n — некоторое положительное число.

Пример, иллюстрирующий использование перестановок:

Почти каждое утро или вечер в новостях я слышу о государстве DCFS штата Иллинойс, Департамент по делам детей и семьи. я запутаться, потому что на нашем факультете математики есть комитет называется Комитетом по статусу факультета факультета, или DFSC. Видишь почему я в замешательстве? Сколько различных четырехбуквенных порядков, или перестановки существуют для набора букв {D, F, S, C}?

Думая о четырех должностях для заполнения, __ __ __ __ , у нас есть 4 буквы на выбор для первой позиции, 3 для следующей, 2 буквы для следующей позиции и 1 выбор для последней позиции. По принципу умножения получается 4x3x2x1=24 различных 4-буквенные упорядоченные расположения для набора букв {D, F, S, С}.

Мы можем расширить это приложение, чтобы рассмотреть упорядоченное расположение только некоторые элементы множества. Например, возвращение в меню напитков Blaise’s Бистро. Если Блейз опубликует только четыре возможных варианта газировки, как много разных упорядоченных композиций четырех газированных напитков?

Думаем о четырех позициях, которые нужно заполнить, __ __ __ __, у нас есть 6 газированных напитков на выбор для первой позиции, 5 для следующей, 4 газировки для следующий и 3 соды для последней позиции. Использование умножения принципе, существует 6x5x4x3=360 различных способов выбора и заказа четыре из шести газированных напитков в меню.

Обычно мы используем обозначение P(n,r) для представления число способов упорядочить r предметов из набора n предметов. в В первой задаче выше мы определили, что P(4,4)=24, а во второй мы рассчитали P(6,4)=360. Общее значение P(n,r) равно n(n-1)(n-2)…([n-(r-1)] или P(n,r)=n(n-1)(n-2)…(n-r +1). Обратите внимание, что n может быть любым неотрицательным целым числом. Есть ли какие-либо ограничения на значение r?

Есть шаг арифметики, который мы можем применить к общему шаблону для P(n,r), чтобы упростить вычисления перестановок. Во-вторых строку ниже, мы умножили на, это просто значение 1, потому что числитель и знаменатель равный. В четвертой строке ниже мы видим, как выражение может быть упрощено с использованием факториальной записи.

Таким образом, мы имеем P(6,2)=6!/4! И P(40,8)=40!/32!.

А как насчет P(4,4)? Приведенный выше результат предполагает P(4,4)=4!/0!. Мы уже знаем, что P(4,4)=4x3x2x1=4!, поэтому имеем 4!=4!/0!. Для этого быть правдой, должно быть так, что 0!=1. Как бы странно это ни было появляются, нам нужно 0!=1, чтобы поддерживать согласованность в пределах расчеты, которые мы хотим провести.

Комбинации
В чем разница между этими двумя вопросами?

(i) Сколькими способами можно раздать покерную комбинацию из 5 карт?
(ii) Сколько существует различных 5-карточных комбинаций в покере?

Первый вопрос касается порядка или расположения карт как они раздаются. Во втором вопросе конечный результат при сдаче 2H, 4D, JC, 3S, 10D в этом порядке такие же, как и при розыгрыше. 4D,3S,JC,10D,2H именно в таком порядке. В каждом случае тот же 5-карточный покер рука существует. Вопросы помогают проиллюстрировать разницу между перестановка и комбинация.

Комбинация

Набор элементов, порядок которых не имеет значения.

Мы нашли P(52,5) как решение первой задачи. То есть мы расставил 5 объектов, выбранных из 52 карт. Для второго вопрос, есть много аранжировок, которые дают одну и ту же 5-карточную рука. Мы должны учитывать это. Рассмотрим более простой проблема.

Сколько существует упорядоченных расположений букв набора {А,Б,С,Г,Е}?

Используя перестановки, мы получаем P(5,5) = 5! = 120 способов расставить пять букв.

Сколько заказанных композиций из 3-х предметов из 5-элементный набор?

Имеем P(5,3) = 543 = 5!/2! = 60 аранжировок. Например, для три буквы {A,B,C} имеют такое расположение: ABC, ACB, BAC, БКА, КАБ, КБА. Это представляет 6 из 60 аранжировок, но каждая включает в себя тот же выбор трех букв. Так же и для трех буквы {A,C,E}: у нас есть ACE, AEC, CAE, CEA, EAC, ECA.

Кажется, что для каждого 3-буквенного подмножества {A,B,C,D,E} есть 6 аранжировки из тех же трех букв. Это полезное наблюдение при изучении следующего вопроса:

Сколькими способами можно выбрать три предмета из 5-элементный набор {A,B,C,D,E}, когда порядок трех элементов игнорируется?

Одним из способов является перечисление уникальных 3-элементных подмножеств {A,B,C,D,E}: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. таких 10 3-элементные подмножества.

Еще один способ подсчета — использовать тот факт, что:

(i) существует P(5,3) = 60 упорядоченных расположений 5-элементный набор в 3-элементных подмножествах и
(ii) среди 60 упорядоченных композиций есть 10 групп по 6 аранжировки, в которых используется одно и то же трехбуквенное подмножество. То есть 60 ÷ 6 = 10 уникальных 3-элементных подмножеств. Используя комбинаторику, мы есть

В общем, у нас есть способ определить количество комбинаций из n элементов, выбранных r за раз, где порядок выбора или расположение r предметов не учитывается:

и заметим, что

Связь между перестановками и Комбинации

Если элементы r должны быть собраны или размещены из набор из n элементов, то количество комбинаций из n элементов, взятых r за раз, С(н,р) , связанные с количеством перестановок n элементов, взятых r за один раз, P(n,r) , по уравнению

Круговые перестановки

Сколькими способами можно расставить 5 детей по кругу? стол?

Если рассматривать случай линейно,

___, ___, ___, ___, ___, 906:50

имеем P(5,5) = 5! договоренности. Теперь расширьте это до круга:

Обратите внимание, что в каждом из этих случаев сидят одни и те же люди. рядом друг с другом. Хотя произошли изменения — вращение вокруг стола, пятеро детей все в том же положения относительно друг друга. Сколько существует способов поворота уникальная линейная зависимость ABCDE ? Таких способов пять, все изображен на чертеже.

Итак, у нас 5! уникальные линейные расположения детей, но мы можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе было 5 аранжировок, которые показывают дети в одинаковом положении друг относительно друга. Поэтому мы есть 5!/5 = 4! круговых перестановок из пяти детей.

Что, если мы расположим по кругу подмножество r-элементов из n-элементный набор? Предположим, мы устраиваем 3 из 5 детей. В линейном случае имеется P(5,3) = 60 аранжировок, но мы можем сгруппировать их так у каждой группы есть 3 аранжировки, которые показывают детей в одном и том же положение относительно друг друга. Следовательно, имеем P(5,3)/3 = 5!/(2!*3) круговые перестановки пяти детей в 3-детей подмножества.

Вообще,

Круговая перестановка

Круговая перестановка представляет собой круговое расположение элементы, для которых порядок элементов должен быть взят в учетную запись.

В целом:

На n элементов приходится (n-1)! круговые перестановки.
Количество круговых перестановок r — элементы из набора n — набор элементов P(n,r)/r.

Учебный план

Оценки и Оценка

Контент Примечания 906:50

Сессия Очертания

Задания и Наборы задач

Тесты и Викторины

17 Креативных способов есть больше овощей

Крайне важно включать овощи в свой рацион. Овощи богаты питательными веществами и антиоксидантами, которые укрепляют ваше здоровье и помогают бороться с болезнями.

Кроме того, они полезны для контроля веса благодаря низкой калорийности.

Органы здравоохранения во всем мире рекомендуют взрослым ежедневно потреблять несколько порций овощей, но для некоторых людей это может быть затруднительно.

Некоторым неудобно есть овощи, а другие просто не знают, как их аппетитно приготовить.

Мы расскажем об уникальных способах включения овощей в свой план питания, чтобы вам никогда не надоело их есть.

Супы — отличный способ съесть сразу несколько порций овощей.

Вы можете сделать овощи «основой», превратив их в пюре и добавив специи, например, в этот суп из киноа из брокколи и шпината.

Кроме того, из овощей можно легко приготовить бульон или крем-суп.

Добавление даже небольшого количества дополнительных овощей, таких как брокколи, в супы — отличный способ увеличить потребление клетчатки, витаминов и минералов.

Вот еще несколько рецептов вегетарианских супов, которые вы можете попробовать:

Риболлита
Суп из кухонной раковины
Рыбный суп из зеленой папайи
Суп из капусты, помидоров и белой фасоли
Фо со шпинатом и китайской капустой

Еще один творческий способ есть больше овощей без пасты кабачковая лазанья.

Традиционная лазанья — это блюдо на основе макарон, приготовленное из слоев лапши лазаньи с соусом, сыром и мясом. Это вкусно, но, как правило, содержит очень много углеводов и не содержит овощей автоматически.

Отличный способ приготовить это восхитительное блюдо с меньшим содержанием углеводов и большим количеством питательных веществ — заменить лапшу для лазаньи полосками цуккини.

Цукини является богатым источником витаминов группы В и витамина С, а также микроэлементов и клетчатки (1).

Возьмите свой любимый рецепт лазаньи и замените эту лапшу полосками цуккини, нарезанными овощечисткой. Совет: посолите кабачки, оставьте на 15 минут и промокните бумажным полотенцем, чтобы удалить лишнюю воду.

Вегетарианскую лапшу легко приготовить, и это отличный способ включить больше овощей в свой рацион. Они также являются отличной заменой продуктов с высоким содержанием углеводов, таких как макароны, с низким содержанием углеводов.

Их изготавливают, помещая овощи в спирализатор, который превращает их в лапшу. Вы также можете:

измельчить их
нарезать их с помощью терки
просто нарезать по своему усмотрению

Вы можете использовать спирализатор практически для любого типа овощей. Они обычно используются для кабачков, моркови, тыквы-спагетти и сладкого картофеля, которые содержат дополнительные питательные вещества.

После того, как «лапша» приготовлена, ее можно есть так же, как макароны, и сочетать с соусами, другими овощами или мясом.

Вот несколько рецептов вегетарианской лапши, которые вы можете попробовать:

Тыквенные спагетти в соусе из белого вина и грибов
Zoodles с чечевицей по-болонски
Zoodles с арахисом и курицей

Добавление соуса к овощам способ увеличить потребление овощей, особенно если у вас есть привередливые дети.

Пока вы готовите соусы, такие как соус маринара, просто добавьте в смесь овощи и травы по вашему выбору, например, нарезанный лук, морковь, болгарский перец и листовую зелень, такую как шпинат.

Пюрирование жареных корнеплодов позволяет приготовить насыщенные соусы с ароматом Альфредо. Подумайте о моркови, сладком картофеле, кабачках, репе, фиолетовом батате, свекле и кольраби.

Попробуйте приготовить песто из жареной свеклы, чтобы получить самое яркое блюдо.

Цветная капуста чрезвычайно универсальна. Вы можете обжарить его, поджарить, добавить в рагу, пюрировать для шелковистости и превратить в корочку для пиццы.

Заменить обычный мучной корж для пиццы коржом из цветной капусты так же просто, как смешать мелко нарезанную и высушенную цветную капусту с яйцами, миндальной мукой и некоторыми приправами.

Затем вы можете добавить собственные начинки, например, свежие овощи, томатный соус и сыр.

Чашка (100 граммов) цветной капусты содержит всего около 5 граммов углеводов и 26 калорий в дополнение к большому количеству клетчатки, витаминов, минералов и антиоксидантов (2).

Поделиться на Pinterest

Смузи — это освежающий завтрак или перекус. В частности, очень популярны зеленые смузи, так как они скрывают большое количество листовой зелени во фруктовых упаковках.

Обычно их готовят путем смешивания фруктов со льдом, молоком или водой в блендере. Тем не менее, вы также можете добавлять овощи в смузи без ущерба для вкуса.

Свежая листовая зелень является обычным дополнением к смузи, например, в этом рецепте, в котором капуста сочетается с черникой, бананами и огурцом.

Всего 1 неплотно упакованная чашка (25 граммов) шпината содержит больше рекомендуемой дневной нормы витамина К и половину рекомендуемой нормы витамина А.

В той же порции капусты содержится большое количество витамина А, витамина С и большого количества витамина К (3, 4).

Кроме того, замороженные кабачки, тыква, свекла, авокадо и сладкий картофель хорошо сочетаются со смузи. Вот некоторые из них, которые стоит попробовать:

Зеленый коктейль из асаи
Зеленый коктейль из ананаса, банана и авокадо

Добавление дополнительных овощей в запеканки — эффективный способ увеличить потребление овощей. Они добавляют объем, текстуру и вкус одновременно.

Запеканки часто сочетают мясо с овощами, сыром, картофелем и зерновыми, такими как рис или макароны. Как и следовало ожидать, традиционные запеканки обычно содержат очень много рафинированных углеводов и калорий.

Они особенно распространены во время праздников, когда овощи могут быть менее популярны, чем другие блюда.

К счастью, вы можете уменьшить количество калорий и углеводов в запеканках, заменив зерновые овощами, такими как брокколи, грибы, сельдерей или морковь. Более здоровая запеканка из зеленой фасоли особенно известна и популярна.

Помимо хорошего количества витаминов и минералов, 1 чашка сырой зеленой фасоли содержит 33 микрограмма (мкг) фолиевой кислоты, необходимого витамина B (5).

8. Приготовьте овощной омлет

Омлеты — это простой и универсальный способ добавить овощи в свой рацион. Кроме того, яйца также добавляют много полезных питательных веществ.

Приготовьте несколько взбитых яиц с небольшим количеством сливочного или растительного масла на сковороде, а затем сложите их вокруг начинки, которая часто включает сыр, мясо, овощи или их комбинацию.

Любые овощи имеют прекрасный вкус в омлетах, и вы действительно можете добавить в них много питательных веществ. Обычными добавками являются шпинат, лук, зеленый лук, китайская капуста, грибы, болгарский перец и помидоры. Вот несколько, чтобы попробовать:

Шпинат, козий сыр и chorizo Omelet
Moringa Omelet
Waffle Omelet с томатами и перца
Vegan Chackpea Omelet

9,0002

.m.maTory Omtle должны быть сладкими. Пикантная овсянка может добавить больше овощей к вашему утру.

Он прекрасно сочетается со свежими фруктами, изюмом или корицей, но вы также можете добавить яйца, специи и много овощей.

Этот рецепт пикантной овсянки включает грибы и капусту для сытного и теплого блюда.

Мы уже знаем, что капуста полезна, но грибы тоже. Они богаты белком, витамином D и витамином B12. Это делает их особенно отличным дополнением к плану питания на растительной основе (6).

10. Попробуйте обертку из салата или вегетарианскую булочку

Использование салата в качестве обертки или некоторых овощей в качестве булочек вместо лепешек и хлеба — это простой способ съесть больше овощей.

Салатные обертки могут быть частью нескольких типов блюд и часто используются для приготовления сэндвичей с низким содержанием углеводов и гамбургеров без булочек.

Кроме того, из многих видов овощей, таких как шляпки грибов портобелло, нарезанный сладкий картофель, половинки красного или желтого перца, половинки помидоров и нарезанные баклажаны, получаются отличные булочки.

Листья салата и вегетарианские булочки — это простой способ снизить потребление калорий, так как один лист салата содержит только одну калорию. Рафинированный хлеб намного калорийнее (7).

Вот несколько мест для начала с обертывания салата и вегетарианских булочек:

Перевернутые салаты. Вегетарианские шашлыки придают много вкуса палочке, готовой к вечеринке.
Для их приготовления насадите на шампур нарезанные овощи по вашему выбору и поджарьте на гриле или барбекю.
Болгарский перец, лук, грибы, кабачки и помидоры хорошо подходят для шашлыков. Попробуйте эти шашлыки из креветок и сладкого перца в каджунском стиле и добавьте все овощи, которые вы хотите.
12. Замена на вегетарианский бургер
Вегетарианские бургеры легко заменяют более тяжелые мясные бургеры и могут быть украшены еще большим количеством овощей.
Вегетарианские котлеты для бургеров можно приготовить, смешав овощи с яйцами, орехами или ореховой мукой и приправами. Сладкий картофель и черные бобы также обычно используются для приготовления вегетарианских бургеров.
Обратите внимание, что не все бургеры без мяса содержат овощи. Посмотрите на этикетки, чтобы найти те, которые содержат овощи в качестве основного ингредиента.
Вы можете усовершенствовать эти рецепты, завернув вегетарианский бургер в лист салата, а не в булочку.
13. Добавление овощей в салат из тунца
Как правило, салат из тунца (или курицы, или лосося) готовится путем смешивания тунца с майонезом, но для улучшения вкуса и содержания питательных веществ можно добавить любые нарезанные овощи.
Обычно добавляют лук, морковь, огурец, шпинат и зелень. В этом средиземноморском салате из тунца есть огурцы, виноградные помидоры, оливки, красный перец, артишоки, лук-шалот и петрушка.
Поделиться на PinterestOffset
14. Нафаршируйте болгарский перец
Фаршированный перец готовят путем начинки половинок сладкого перца вареным мясом, фасолью, рисом и приправами, а затем запекания в духовке.
Если вам нравятся сырые и хрустящие, вы можете добавить слоями сливочный сыр, нарезанную курицу или индейку и приправы для холодных блюд.
Болгарский перец является богатым источником многих витаминов и минералов, особенно витаминов А и С (8).
Вы можете увеличить содержание питательных веществ в фаршированных перцах, добавив еще больше овощей. Добавьте немного лука, шпината или цветной капусты в этот рецепт фаршированного перца в итальянском стиле.
15. Добавьте овощи в гуакамоле
Гуакамоле — соус на основе авокадо, приготовленный путем пюре из спелого авокадо и морской соли вместе с соком лимона или лайма, чесноком и дополнительными приправами. Но вы не должны останавливаться на достигнутом.
Различные овощи имеют прекрасный вкус, если их добавить в гуакамоле. Болгарский перец, помидоры, чеснок и лук — хорошие варианты. Кроме того, гуакамоле отлично подходит для салатов и запеченного сладкого или белого картофеля.
В этом рецепте гуакамоле из капусты используется хорошая зелень, а также кинза и сальса-верде.
16. Смешайте овощи с мясным рулетом
Мясной рулет также может быть средством для добавления большего количества овощей. Обычно его готовят из мясного фарша и других ингредиентов, таких как яйца, панировочные сухари и томатный соус. Затем ему придают форму буханки, откуда он и получил свое название.
В мясной рулет можно добавлять любые нарезанные овощи, включая лук, сладкий перец, морковь, кабачки и зелень, например шпинат.
Кроме того, вы можете приготовить «мясной рулет» на основе овощей, включая нут, морковь, лук и сельдерей. Нут заменит мясо и по-прежнему будет сытным.
17. Приготовление риса из цветной капусты
Рис из цветной капусты получают путем измельчения соцветий цветной капусты в кухонном комбайне до получения мелких гранул. Затем вы можете использовать его в сыром или приготовленном виде вместо обычного риса. Он служит основой для других блюд и увеличивает объем тушеных блюд и супов.
В рисе из цветной капусты значительно меньше углеводов, чем в обычном рисе: всего 5 граммов углеводов на чашку по сравнению с 53 граммами в чашке белого риса (9).
Кроме того, цветная капуста особенно богата витамином С, витамином К, фолиевой кислотой и калием (10).
Не забудьте: вы также можете «рисовать» другие овощи, такие как брокколи, свекла, морковь, кабачки и сладкий картофель.
Практический результат
Существует так много способов добавить овощи к повседневным продуктам питания. Некоторые могут проникнуть прямо в рецепты без особой драмы (например, шпинат), а некоторые добавляют цвет и аромат так, как вы никогда не ожидаете (например, свекла и сладкий картофель).
Добавление к блюду — это здорово, но иногда овощи могут стать звездой вашей бутербродной булочки или риса.
Совет: если вам не нравится какой-то овощ, который вы пробовали только в вареном виде, попробуйте его запечь. Так много людей, которые ненавидят вареную брюссельскую капусту, в конечном итоге любят жареную или тушеную капусту.
Сделав овощи частью своего рациона питания, вы значительно увеличите потребление клетчатки, питательных веществ и антиоксидантов.
Как правильно питаться: руководство
Сбалансированная диета включает продукты из пяти групп и удовлетворяет все потребности человека в питании. Сбалансированное питание помогает людям поддерживать хорошее здоровье и снизить риск заболеваний.
Рекомендации по питанию развиваются вместе с научными достижениями, поэтому может быть сложно следить за текущими рекомендациями и знать, что есть.
В этой статье мы рассмотрим актуальные рекомендации по питанию и опишем, как составить сбалансированный рацион.
Поделиться на PinterestСбалансированное питание поможет человеку оставаться здоровым.
Сбалансированная диета – это такая, которая удовлетворяет все потребности человека в питании. Людям необходимо определенное количество калорий и питательных веществ, чтобы оставаться здоровым.
Сбалансированная диета обеспечивает человека всеми необходимыми питательными веществами без превышения рекомендуемой суточной нормы калорий.
Соблюдая сбалансированную диету, люди могут получать необходимые им питательные вещества и калории и избегать употребления нездоровой пищи или продуктов, не имеющих питательной ценности.
Министерство сельского хозяйства США (USDA) рекомендовало следовать пищевой пирамиде. Однако, поскольку наука о питании изменилась, теперь они рекомендуют есть продукты из пяти групп и составлять сбалансированную тарелку.
Согласно рекомендациям Министерства сельского хозяйства США, половина тарелки человека должна состоять из фруктов и овощей.
Другая половина должна состоять из злаков и белка. Они рекомендуют сопровождать каждый прием пищи порцией обезжиренных молочных продуктов или другого источника питательных веществ, содержащихся в молочных продуктах.
Здоровое сбалансированное питание включает продукты из следующих пяти групп:
- овощи
- фрукты
- злаки
- белок
- молочные продукты
Овощи
Группа овощей включает в себя пять подгрупп:
- Листовые зеленые
- Красные или оранжевые овощи
- крахматные овощи
- и боны и в Горяче (Легкие)
- . достаточное количество питательных веществ и держать диетическую скуку в страхе, люди должны выбирать разнообразные овощи.
  Кроме того, Министерство сельского хозяйства США рекомендует каждую неделю есть овощи каждой из пяти подгрупп.
  Люди могут употреблять овощи в сыром или вареном виде. Однако важно помнить, что приготовление овощей снижает их питательную ценность. Кроме того, некоторые методы, такие как жарка во фритюре, могут добавить в блюдо вредные для здоровья жиры.
  Фрукты
  Сбалансированная диета также включает большое количество фруктов. Вместо того, чтобы получать фрукты из сока, специалисты по питанию рекомендуют есть цельные фрукты.
  Сок содержит меньше питательных веществ. Кроме того, в производственном процессе часто добавляются пустые калории из-за добавления сахара. Людям следует выбирать свежие или замороженные фрукты или фрукты, консервированные в воде, а не в сиропе.
  Зерновые
  Поделиться на PinterestЦельнозерновые продукты обычно содержат больше белка, чем рафинированные.
  Есть две подгруппы: цельные зерна и очищенные зерна.
  Цельные зерна включают все три части зерна: отруби, зародыш и эндосперм. Организм медленно расщепляет цельные зерна, поэтому они меньше влияют на уровень сахара в крови человека.
  Кроме того, цельные зерна, как правило, содержат больше клетчатки и белка, чем очищенные зерна.
  Очищенное зерно обработано и не содержит трех исходных компонентов. В рафинированных зернах также меньше белка и клетчатки, и они могут вызывать скачки сахара в крови.
  Зерновые культуры составляют основу утвержденной правительством пищевой пирамиды, а это означает, что большая часть дневного рациона питания человека приходится на зерновые. Однако обновленные рекомендации предполагают, что зерновые должны составлять только четверть тарелки человека.
  Не менее половины зерновых, которые человек ест ежедневно, должны быть цельнозерновыми. К полезным цельным зернам относятся:
  - лебеда
  - овес
  - коричневый рис
  - ячмень
  - гречка
  Белок
  В Руководстве по питанию для американцев на 2015–2020 гг. указано, что все люди должны включать в свой обычный рацион богатый питательными веществами белок.
  Руководство предполагает, что этот белок должен составлять четверть тарелки человека.
  Питательные белковые продукты включают:
  - нежирную говядину и свинину
  - курицу и индейку
  - рыбу
  - фасоль, горох и бобовые
  Молочные продукты являются жизненно важным источником кальция
  1 9000. Министерство сельского хозяйства США рекомендует по возможности употреблять обезжиренные версии.
  Нежирные молочные и соевые продукты включают:
  - рикотту или творог
  - обезжиренное молоко
  - йогурт
  - соевое молоко
  или выберите источники кальция и других питательных веществ на основе сои.
  Для получения дополнительных научных ресурсов по питанию посетите наш специальный центр.
  Поделиться на PinterestЧеловек может сжигать калории, поднимаясь по лестнице.
  Неправильное питание является распространенной причиной, по которой люди борются с потерей веса.
  В сочетании с регулярными физическими упражнениями сбалансированная диета может помочь человеку снизить факторы риска ожирения или набора веса.
  Сбалансированное питание может помочь человеку похудеть за счет:
  - увеличения потребления белка
  - отказа от чрезмерного употребления углеводов или обработанных пищевых продуктов
  - получения основных питательных веществ, включая минералы, витамины и клетчатку
  - предотвращения переедания
  Людям, заинтересованным в похудении, следует начать или усилить программу упражнений.
  Некоторым людям добавление 30 минут ходьбы каждый день и небольшие изменения, такие как ходьба по лестнице, могут помочь им сжечь калории и похудеть.
  Для тех, кто может, добавление умеренных упражнений, включающих кардио и силовые тренировки, поможет ускорить потерю веса.
  Сбалансированное питание означает употребление в пищу продуктов из пяти основных групп.
  Рекомендации по питанию со временем меняются, поскольку ученые открывают новую информацию о питании. Текущие рекомендации предполагают, что тарелка человека должна содержать в основном овощи и фрукты, немного нежирного белка, немного молочных продуктов и растворимую клетчатку.
  Людям, стремящимся похудеть, также следует подумать о введении умеренных физических упражнений в свой распорядок дня.
  10 опасных ошибок в области безопасности пищевых продуктов
  Español (испанский) | Kreyòl (креольский)
  Мы все хотим, чтобы наши семьи были в безопасности и были здоровы. Но иногда простая ошибка в том, как мы обращаемся с едой и готовим ее, может привести к серьезному заболеванию. Для некоторых микробов, таких как Salmonella , достаточно небольшого количества в недоваренной пище, чтобы вызвать пищевое отравление. И даже крошечный вкус пищи с токсином ботулизма может вызвать паралич и даже смерть.
  Вы можете защитить свою семью, избегая этих ошибок.
  Почему это ошибка: Мойка сырого мяса, курицы, индейки или яиц может привести к распространению микробов на раковину, столешницу и другие поверхности на кухне. Эти микробы могут попасть на другие продукты, такие как салаты или фрукты, и вызвать у вас заболевание.
  Решение: Не мойте мясо, курицу, индейку или яйца. Их тщательное приготовление убьет вредные микробы.
  Почему это ошибка: Сырая мука и яйца могут содержать E. coli , Salmonella или другие вредные бактерии.
  Решение: Тщательно готовьте или выпекайте муку и яйца. Не ешьте продукты, которые содержат сырые или недоваренные яйца, такие как жидкие яйца, домашний майонез, голландский соус и гоголь-моголь. Не ешьте сырое (сырое) тесто или тесто, содержащее муку или яйца. Храните сырое тесто в недоступном для детей месте, в том числе тесто для лепки. Тщательно мойте руки, рабочие поверхности и посуду после контакта с мукой, сырыми яйцами и сырым тестом.
  Почему это ошибка: Вредные микробы могут очень быстро размножаться при комнатной температуре.
  Решение: Безопасно размораживайте продукты. Можно разморозить:
  - В холодильнике,
  - В холодной воде или
  - В микроволновке.
  Всегда маринуйте продукты в холодильнике, независимо от того, какой маринад вы используете.
  Почему это ошибка: Недоваренные продукты могут содержать микробы, от которых вы можете заболеть.
  Решение: Используйте пищевой термометр, чтобы убедиться, что вы готовите пищу до безопасной внутренней температуры.
  Получите подробный список продуктов и безопасных температур. Кроме того, если вы не собираетесь подавать горячую еду сразу, держите ее горячей (при температуре 140°F или выше) до подачи.
  Почему это ошибка: На кожуре или кожуре фруктов и овощей могут быть микробы. Эти микробы легко переносятся внутрь фруктов и овощей, когда вы их режете или очищаете.
  Решение: Вымойте все фрукты и овощи под проточной водой, даже если вы собираетесь чистить их. Используйте чистую щетку для овощей, чтобы чистить твердые фрукты и овощи, такие как дыни, авокадо и огурцы. Не рекомендуется мыть фрукты и овощи с мылом, моющими средствами или промышленными моющими средствами. Не используйте растворы отбеливателя или другие дезинфицирующие средства для фруктов и овощей.
  Почему это ошибка: Микробы с рук могут попасть на пищу и сделать ее небезопасной.
  Решение: Мойте руки правильно — не менее 20 секунд с мылом под проточной водой. Мойте руки до, во время и после приготовления пищи; до еды; и после посещения туалета или смены подгузника ребенку.
  Почему это ошибка: Любой может получить пищевое отравление. Но у некоторых людей больше шансов заболеть и иметь более серьезное заболевание. Сюда входят:
  - Взрослые в возрасте 65 лет и старше
  - Дети до 5 лет
  - Люди с проблемами со здоровьем или принимающие лекарства, снижающие способность организма бороться с микробами и болезнями (ослабленная иммунная система)
  - Беременные женщины
  Решение: Людям с высокой вероятностью пищевого отравления не следует есть:
  - Недоваренные или сырые продукты животного происхождения (такие как мясо, курица, индейка, яйца или морепродукты)
  - Сырые или слегка приготовленные ростки
  - Непастеризованное (сырое) молоко и соки
  - Мягкий сыр (например, queso fresco), если на этикетке не указано, что он изготовлен из пастеризованного молока
  Узнайте, как лучше всего защитить себя от пищевого отравления дома или в ресторане.
  Почему это ошибка: Микробы из сырого мяса могут попасть на приготовленное мясо.
  Решение: Всегда используйте отдельные тарелки для сырого и приготовленного мяса. То же правило распространяется на курицу, индейку и морепродукты.
  Почему это ошибка: Вы не можете попробовать, понюхать или увидеть микробы, вызывающие пищевое отравление. Попробовав лишь небольшое количество, вы можете сильно заболеть.
  Решение: Посмотрите таблицу сроков хранения, чтобы узнать, как долго вы можете безопасно хранить продукты. Когда время истечет, выбросьте его.
  Почему это ошибка: Вредные микробы могут размножаться в скоропортящихся продуктах (включая мясо, курицу, индейку, морепродукты, яйца, нарезанные фрукты, вареный рис и остатки пищи), если вы оставите их вне холодильника на 2 часа или дольше.
  Решение: Поместите скоропортящиеся продукты в холодильник в течение 2 часов или в течение 1 часа, если продукты подвергаются воздействию температуры выше 90˚F (как в раскаленной машине).
  No related posts.