Нахождение длины вектора по его координатам: Как найти длину вектора? Ответ на webmath.ru

модуль вектора — величина вектора — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы величина вектора EN absolute value of a vector …

модуль вектора — vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value of vector vok. Vektorbetrag, m rus. длина вектора, f; модуль вектора, m pranc. module d’un vecteur, m … Fizikos terminų žodynas

— (от лат. modulus «маленькая мера»): В Викисловаре есть статья «модуль» Мо … Википедия

Модуль (от лат. modulus «маленькая мера») составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь… … Википедия

Абсолютная величина или модуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:… … Википедия

модуль волнового вектора — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN magnitude of propagation vector … Справочник технического переводчика

модуль конвольвера кодового вектора огибающей — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN shape codevector convolution module … Справочник технического переводчика

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу: . Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r. Пусть и вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда Числа … Википедия

Модуль в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число ═(корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно… … Большая советская энциклопедия

Абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… … Математическая энциклопедия

Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).

Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

1. Вычисление длины вектора по его координатам

Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a x и a y , то длину вектора можно найти по формуле

В случае вектора в пространстве добавляется третья координата

В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9 , см. файл примера ).

Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле =B8*B8+B9*B9 .

В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.

Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)) .

2. Нахождение длины вектора через координаты точек

Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.

Функция СУММКВРАЗН() в озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.

3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).

Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 — угол между ними в радианах (в долях числа ПИ() ).

Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))

Примечание : для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить , см. например, статью

Характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости) .

Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры . При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы , тензоры , однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец , тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении .

Обозначения [ | ]

Вектор, представленный набором n {\displaystyle n} элементов (компонент) a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}} обозначают следующими способами:

⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ , (a 1 , a 2 , … , a n) , { a 1 , a 2 , … , a n } {\displaystyle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right),\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}} .

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

a ¯ , a → , a , A , a . {\displaystyle {\bar {a}},\ {\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},\ {\mathfrak {a}}.}

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

a → + b → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}} .

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

k b → {\displaystyle k{\vec {b}}} ,

причём число при этом обычно пишут слева.

Общепринятых обозначений вектора не существует, используются жирный шрифт, черта или стрелка над буквой, готический алфавит и др.

В геометрии [ | ]

В геометрии под векторами понимают направленные отрезки. Эту интерпретацию часто используют в компьютерной графике , строя карты освещения , с помощью нормалей к поверхностям. Так же с помощью векторов можно находить площади различных фигур, например треугольников и параллелограммов , а также объёмы тел: тетраэдра и параллелепипеда .
Иногда с вектором отождествляют направление.

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector , несущий ). Действительно, любой направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства, и обратно, параллельный перенос однозначно определяет собой единственный направленный отрезок (однозначно — если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и длины — то есть рассматривать их как свободные векторы).

Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию сложения векторов — как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

В линейной алгебре [ | ]

Общее определение [ | ]

Наиболее общее определение вектора даётся средствами общей алгебры :

• Обозначим F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} (готическая F) некоторое поле с множеством элементов F {\displaystyle F} , аддитивной операцией + {\displaystyle +} , мультипликативной операцией ∗ {\displaystyle *} , и соответствующими нейтральными элементами : аддитивной единицей и мультипликативной единицей 1 {\displaystyle 1} .
• Обозначим V {\displaystyle {\mathfrak {V}}} (готическая V) некоторую абелеву группу с множеством элементов V {\displaystyle V} , аддитивной операцией + {\displaystyle +} и, соответственно, с аддитивной единицей 0 {\displaystyle \mathbf {0} } .

Иначе говоря, пусть F = ⟨ F ; + , ∗ ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {F}}=\langle F;+,*\rangle } и V = ⟨ V ; + ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {V}}=\langle V;+\rangle } .

Если существует операция F × V → V {\displaystyle F\times V\to V} , такая что для любых a , b ∈ F {\displaystyle a,b\in F} и для любых x , y ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V} выполняются соотношения:

Вектор как последовательность [ | ]

Вектор — (последовательность , кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства . Именно в таком виде вектор понимается в программировании , где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object ). Перечень свойств моделирует принятое в

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Ответ: a → = 49 + e .

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Ответ: a → = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A (a x ; a y) и B (b x ; b y) , отсюда вектор A B → имеет координаты (b x — a x ; b y — a y) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2

А если даны точки с заданными координатами A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2

Пример 3

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2: A B → = (- 3 — 1) 2 + (1 — 3) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = (- 3 — 1 ; 1 — 3) = (- 4 ; 1 — 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 — 3) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ: A B → = 20 — 2 3 .

Пример 4

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2 = (5 — 0) 2 + (2 — 1) 2 + (λ 2 — 2) 2 = 26 + (λ 2 — 2) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ:

26 + (λ 2 — 2) 2 = 30 26 + (λ 2 — 2) 2 = 30 (λ 2 — 2) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Решение

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Ответ: B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 или A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Оказывается, многие величины ведут себя как векторы, например, перемещение, скорость, ускорение, сила. Мы уже можем получить некоторые представление об их полезности с использованием векторов смещения. Предположим, что ваш бабушка прошла 5 км на СВ и 2 км на ЮЮВ; если позволяет местность, и, возможно, вооружившись компасом, как могла ваша бабушка шел прямо к месту назначения? Мы можем использовать векторы (и немного геометрия), чтобы ответить на этот вопрос. Начнем с того, что отметим, что поскольку векторы не включают спецификацию положения, мы можем «поместить» их в любом удобном месте. Таким образом, мы можем представить вашу бабушку путешествие в виде двух векторов смещения, проведенных лоб в лоб: 9\circ$ к северу от востока (примерно на восток-восток) доставит вашу бабушку школа. Этот вид расчетов настолько распространен, что мы удостоим его имя: мы говорим, что третий вектор является суммой двух других векторов. Есть еще один распространенный способ изобразить сумму двух векторов. \circ)$. Давайте нарисуйте его снова, но наложите систему координат. Если мы положим хвост стрелка в начале координат, конец стрелки заканчивается в точка $\ds (5/\sqrt2,5/\sqrt2)\приблизительно(3.54, 3.54)$.

стрелка, при условии, что мы знаем, что конец стрелки был помещен в $(0,0)$. Тогда на самом деле вектор всегда можно определить как $(3.54,3.54)$, где бы он ни находился; мы просто должны помнить что цифры 3.54 должны интерпретироваться как изменение от положение хвоста, а не фактические координаты наконечника стрелки; чтобы подчеркнуть это, мы будем писать $\langle 3.54,3.54\rangle$, чтобы обозначить вектор и $(3.54,3.54)$ для обозначения точки. Тогда, если вектор $\langle 3.54,3.54\rangle$ нарисован хвостом в $(1,2)$, это выглядит как это:

вектор, представляющий первую часть пути, равен $\ds \langle 5/\sqrt2,5/\sqrt2\rangle$, а вторая часть пути представлен $\langle 2\cos(-3\pi/8),2\sin(-3\pi/8)\rangle \приблизительно\угол 0,77,-1,85 \угл$. Мы можем представить сумму этих с обычной картинкой головы до хвоста:

точки $\ds (5/\sqrt2+2\cos(-3\pi/8),5/\sqrt2+2\sin(-3\pi/8))$ или приблизительно $(4. 2}$.

В трех измерениях векторы по-прежнему являются величинами, состоящими из величина и направление, но, конечно, возможно гораздо больше направления. Неясно, как мы могли бы представить направление явно, но координатная версия векторов делает столько же смысл в трех измерениях, как в двух. Под $\langle 1,2,3\rangle$ мы подразумеваем вектор, голова которого находится в $(1,2,3)$, если его хвост находится в начале координат. В качестве раньше мы могли разместить вектор где угодно; если у него есть хвост в $(4,5,6)$, то его голова находится в $(5,7,9))$. Остается верным, что арифметика легко выполняется с векторами в такой форме: $$\выравнивание{ &a\langle v_1,v_2,v_3\rangle=\langle av_1,av_2,av_3\rangle\cr &\langle v_1,v_2,v_3\rangle + \langle w_1,w_2,w_3\rangle =\langle v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3\rangle\cr &\langle v_1,v_2,v_3\rangle — \langle w_1,w_2,w_3\rangle =\лангле v_1-w_1,v_2-w_2,v_3-w_3\рангл\кр} $$ Величина вектора снова равна расстоянию от начала координат до наконечник стрелы или $\ds ​​|\langle v_1,v_2,v_3\rangle|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$.

Рисунок 12.2.1. Вектор $\langle 2,4,5\rangle$ с хвостом в начале координат.

Три особенно простых вектора оказываются весьма полезными: ${\bf i}=\langle1,0,0\rangle$, ${\bf j}=\langle0,1,0\rangle$ и ${\bf k}=\langle0,0,1\rangle$. Они играют почти ту же роль для векторы, которые оси играют за точки. В частности, обратите внимание, что $$\выравнивание{ \langle v_1,v_2,v_3\rangle &= \langle v_1,0,0\rangle + \langle 0,v_2,0\rangle + \langle 0,0,v_3\rangle\cr &=v_1\langle1,0,0\rangle + v_2\langle0,1,0\rangle + v_3\langle0,0,1\rangle\cr &= v_1{\bf i} + v_2{\bf j} + v_3{\bf k}\cr }$$

Мы часто хотим создать вектор, который указывает из одной точки другому. То есть, если $P$ и $Q$ — точки, мы ищем вектор $\bf x$ такой, что когда хвост $\bf x$ помещается в $P$, его голова находится в $Q$; мы называем этот вектор как $\ds ​​\overrightarrow{\strut PQ}$. Если мы знаем координаты $P$ и $Q$, координаты вектора легко найти.

Пример 12.2.1 Предположим, что $P=(1,-2,4)$ и $Q=(-2,1,3)$. Вектор $ \ ds \ overrightarrow {\ распорка PQ} $ является $\langle -2-1,1- -2,3-4\rangle=\langle -3,3,-1\rangle$ и $\ds ​​\overrightarrow{\strut QP}=\langle 3,-3,1\rangle$. Обратите внимание, что это то же самое, что вычитание векторов с хвостами в точках. начало координат и головы в $P$ и $Q$: $\langle -2,1,3\rangle-\langle 1,-2,4\rangle=\langle -3,3,-1\rangle$. $\квадрат$

Арифметика с векторами обладает некоторыми знакомыми свойствами, перечисленными в следующая теорема. Все это довольно легко доказать, просто представление векторов в стандартной форме.

Теорема 12.2.2. Если ${\bf u}$, ${\bf v}$ и ${\bf w}$ — векторы, а $a$ и $b$ — вещественные числа, затем

1. $\ds {\bf u}+{\bf v}={\bf v}+{\bf u}$

2. $a{\bf u}={\bf u}a$

3. $a({\bf u}+{\bf v})=a{\bf u}+a{\bf v}$

4. $(a+b){\bf u}= a{\bf u} + b{\bf u}$

5. $({\bf u}+{\bf v})+{\bf w}={\bf u}+({\bf v}+{\bf w})$

6. $|a{\bf u}|=|a||{\bf u}|$

Доказательство. Мы делаем один из них в качестве примера, часть 3. Пишем ${\bf u}=\langle x_1, y_1, z_1\rangle$, ${\bf v}=\langle x_2, y_2, z_2\rangle$. затем $$\выравнивание{ a ({\ bf u} + {\ bf v}) & = a (\ langle x_1, y_1, z_1 \ rangle + \ langle x_2, y_2, z_2 \ rangle) \ cr &=a\langle x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\rangle\cr &=\langle a(x_1+x_2),a(y_1+y_2),a(z_1+z_2)\rangle\cr &=\langle ax_1+ax_2,ay_1+ay_2,az_1+az_2\rangle\cr &=\langle ax_1,ay_1,az_1\rangle+\langle ax_2,ay_2,az_2\rangle\cr &=a\langle x_1,y_1,z_1\rangle+a\langle x_2,y_2,z_2\rangle\cr & = а {\ bf и} + а {\ bf v} \ cr }$$ $\qed$

Вы можете использовать Sage для выполнения векторной арифметики.

Пример 12.2.1 Нарисуйте вектор $\langle 3,-1\rangle$ хвостом в источник.

Пример 12.2.2 Нарисуйте вектор $\langle 3,-1,2\rangle$ хвостом в источник.

Пример 12.2.3 Пусть ${\bf A}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(1,2)$; пусть ${\bf B}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(3,1)$. Нарисуйте ${\bf A}$ и ${\bf B}$, а также вектор ${\bf C}$ с хвост в $(1,2)$ и голова в $(3,1)$. Нарисуйте $\bf C$ хвостом в начале координат.

Пример 12.2.4 Пусть ${\bf A}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(-1,2)$; пусть ${\bf B}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(3,3)$. Нарисуйте ${\bf A}$ и ${\bf B}$, а также вектор ${\bf C}$ с хвост в $(-1,2)$ и голова в $(3,3)$. Нарисуйте $\bf C$ хвостом в начале координат.

Пример 12.2.5 Пусть ${\bf A}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(5,2)$; пусть ${\bf B}$ — вектор с хвостом в начале координат и головой в $(1,5)$. Нарисуйте ${\bf A}$ и ${\bf B}$, а также вектор ${\bf C}$ с хвост в $(5,2)$ и голова в $(1,5)$. Нарисуйте $\bf C$ хвостом в начале координат.

Пример 12.2.6 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 1,3\rangle$ и ${\bf w} = \langle -1,-5\rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.7 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 1,2,3\rangle$ и ${\bf w} = \langle -1,2,-3\rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.8 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 1,0,1\rangle$ и ${\bf w} = \langle -1,-2,2 \rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.9 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 1,-1,1\rangle$ и ${\bf w} = \langle 0,0,3\rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.10 Найти $|{\bf v}|$, ${\bf v}+{\bf w}$, ${\bf v}-{\bf w}$, $|{\bf v}+{\bf w}|$, $|{\bf v}-{\bf w}|$ и $-2{\bf v}$ для ${\bf v} = \langle 3,2,1\rangle$ и ${\bf w} = \langle -1,-1,-1\rangle$. (отвечать)

Пример 12.2.11 Пусть $P=(4,5,6)$, $Q=(1,2,-5)$. Находить $\ds ​​\overrightarrow{\strut PQ}$. Найдите вектор с в том же направлении, что и $\ds \overrightarrow{\strut PQ}$ но с длиной 1. Найдите вектор с в том же направлении, что и $\ds \overrightarrow{\strut PQ}$ но с длиной 4. (отвечать)

Пример 12.2.12 Если $A, B$ и $C$ — три точки, найдите $ \ ds \ overrightarrow {\ распорка AB} + \overrightarrow{\распорка до н.э.}+ \overrightarrow{\распорка CA}$. (отвечать)

Пример 12.2.13 Рассмотрим 12 векторов, хвосты которых находятся в центре часы и их соответствующие головки на каждой из 12 цифр. Что такое сумма этих векторов? Что, если мы удалим вектор, соответствующий до 4 часов? Что, если вместо этого все векторы имеют свои решки на 12 часов, а головы на остальные цифры? (отвечать)

Пример 12.2.14 Пусть $\bf a$ и $\bf b$ — ненулевые векторы в двух измерениях. которые не параллельны и не антипараллельны. Покажите алгебраически, что если $\bf c$ — любой двумерный вектор, существуют скаляры $s$ и $t$ такое, что ${\bf c}=s{\bf a}+t{\bf b}$.

Пример 12.2.15 Верно ли утверждение из предыдущего упражнения, если векторы $\bf a$, $\bf b$ и $\bf c$ — трехмерные векторы? Объяснять.

Пример 12.2.16 Докажите остальные части Теорема 12.2.2.

Положение и смещение

Многие предметы, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, находятся в движении или состоят из частей. которые находятся в движении. Движение – это правило, а не исключение. Физические законы, управляющие движением этих объектов универсальны, т.е. все объекты движутся по одним и тем же правилам, и одна из целей этого класса состоит в том, чтобы понять эти правила.

Когда объект движется, его положение изменяется как функция времени.

Положение объекта дано относительно некоторой согласованной точки отсчета. Недостаточно просто укажите расстояние от ориентир. Мы также должны указать направление . Расстояние скаляр количество, это число, выраженное в некоторых единицах . Позиция — это вектор количество. Он также имеет величину как направление. Величина векторной величины представляет собой число (с единицами) сообщая вам, сколько есть количества, и направление говорит вам, какое как он указывает. А единичный вектор — это направление индикатор. Это безразмерный вектор с величиной 1, используемый для указания направление. В тексте векторные величины обычно выделяются жирным шрифтом. введите или со стрелкой над символом. Таким образом, хотя d = расстояние, d = смещение.

Ссылки:
Скаляры и векторы (пожалуйста, изучите!)
Направление вектора

Позиция

Удобный способ указать положение объекта это с помощью система координат . Мы выбираем фиксированную точку, называемую началом координат . и три направленные линии, которые проходят через начало координат и перпендикулярны друг другу. Эти линии называются осями координат трехмерной прямоугольной (декартовой) системы координат и помечены оси x, y и z. Три числа с единицами определяют положение точка P. Эти числа представляют собой координаты x, y и z точки P. Координаты точки P на на диаграмме справа (а, б, в).

Координаты точки P являются компонентами вектора положения. Единичный вектор указание в направлении x имеет x-компоненту 1 и y- и z-компоненты нуль. Обозначается i . Точно так же единичный вектор , указывающий в направлении y, обозначается j , а единичный вектор направление в направлении z обозначается как k . Единичные векторы являются указателями поворота.

Компоненты любого вектора в сумме образуют сам вектор. Вектор положения точки P с координатами (a, b, c) может быть записано с точки зрения его компонентов как
г = а i + б j + с к .

Величина вектора положения равна его длине r. Это зависит от выбора начала системы координат. Это — прямолинейное расстояние P от начала координат.

Ниже приведено трехмерное представление вектора положения. r = a i + b j + c k . Пожалуйста, нажмите на рисунке!
(Используйте современный браузер. 3D-приложения не работают в Internet Explorer. или более старые браузеры.)
Чтобы получить наилучший вид, измените окно просмотра, перетащив мышь и увеличить или уменьшить масштаб по мере необходимости.
Нажмите кнопки, чтобы выбрать другой вектор или другая схема добавления векторов компонентов.

Пример:

Вектор положения здания Nielsen Physics Building на небольшой карте с левым нижним углом в качестве начала координат.

Рабочий объем

Изменение положения называется смещением . На приведенной ниже диаграмме показано позиции P ₁ и P ₂ игрока в два разных момента времени.

Стрелка, указывающая от P ₁ к P ₂ , является вектор смещения .
Его величина — прямая линия расстояние между P ₁ и P ₂ .
Компоненты вектора смещения от P ₁ до P ₂ (x ₂ — x ₁ ) вдоль оси x, (y ₂ — y ₁ ) по оси Y.
Вектор смещения d  от P ₁ до P ₂ может можно записать как d = (x ₂ — x ₁ ) i + (y ₂ -у ₁ ) у .
Объем двигателя d составляет (x ₂ — x ₁ ) единиц в направление x плюс (y ₂ — y ₁ ) единицы измерения в направлении y.
Величина смещения d = ((x ₂ — х ₁ ) ₂ + (у ₂ — у ₁ ) ² ) ^½ . Это следует из пифагорейский теорема.

Расстояние между двумя точками P ₁ с координатами (x ₁ , y ₁ , я ₁ ) и P ₂ с координатами (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) равно
d = ((x ₂ — х ₁ ) ² + (у ₂ — у ₁ ) ² + (z ₂ — z1) ^{2 )½} .

• Расстояние d является величиной вектора смещения d .
• направление вектора смещения d – направленный отрезок прямой от Р ₁ к P ₂ .
• Мы называем этот направленный отрезок геометрической или графической представление вектора d .
• Мы рисуем стрелку на P ₂ , чтобы указать что сегмент линии начинается с P ₁ и заканчивается на P ₂ .

Тройка действительных чисел d _x = (x ₂ — x ₁ ), d _y = (у ₂ — у ₁ ), d _z = (z ₂ — z ₁ ) называются декартовыми компонентами числа d .

Ссылка: Расстояние и смещение  (Пожалуйста, изучите!)

Проблема:

Футбольный защитник бежит 15,0 м прямо на игровом поле (в положительное направление x) за 2,50 с. Затем его ударили и толкнули на 3,00 м. прямо назад за 1,75 с. Он ломает снасть и бежит прямо вперед еще 21,0 м за 5,20 с. Вычислите его вектор смещения и общее пройденное расстояние.

Решение:

Проблема:

Во время движения по прямому межгосударственному шоссе вы обратите внимание, что на отметке 260 миль. отметку, а затем вернитесь к отметке 175 миль. Что это величина вашего результирующего смещения от 260-мильной отметки?

Решение:

• Обоснование:
  Результирующее смещение есть вектор d , сумма двух векторов г ₁ и d ₂ , которые указывают в противоположных направлениях.
• Детали расчета:
  Результирующее смещение представляет собой вектор d , сумму двух векторов г ₁ и d ₂ , которые указывают в противоположных направлениях.

Проблема:

Кончик лопасти вертолета 5,00 м от центра вращения. За один оборот лезвия вычислить вектор смещения и общее расстояние, пройденное наконечником лезвия.

Решение:

• Обоснование:
  После одного оборота наконечник возвращается в исходное положение. Вектор его смещения d = 0.
• Детали расчета:
  Общее пройденное расстояние кончик равен окружности окружности радиусом r = 5 м.
  Окружность = 2πr = 31,42 м.
  Общее расстояние, пройденное вершина 31,42 м.

Вектор смещения имеет одинаковую величину и направление независимо от выбор начала системы координат. Величина и направление вектор смещения, однако, зависят от система отсчета , в которой система координат закреплена и находится в состоянии покоя.

Пример:

Автомобиль двинулся вперед расстояние 6 м, пока ребенок переместился с заднего сиденья на переднее сидеть на расстоянии 1 м.

• Использование автомобиля в качестве системы отсчета и привязка системы координат в машине перемещение ребенка d (автомобиль) = (1 м) i .
• Использование дороги в качестве системы отсчета и привязка системы координат на дороге перемещение ребенка d (дорога) = (6 м) i + (1 м) i = (7 м) i .

Векторная алгебра:

ВЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ

Векторы и сложение векторов:

Скаляр — это величина, подобная массе или температуре, которая имеет только величину. С другой стороны, вектор — это математический объект, который имеет величину и направление. Линия заданной длины, указывающая в заданном направлении, например стрелка, является типичным представлением вектора. Типичные обозначения для обозначить вектор жирным шрифтом, символом и стрелкой на нем, или символ с чертой под ним (т. е. ). Величина вектора его длины и обычно обозначается или А .

Сложение двух векторов выполняется сложением векторов голова к хвосту последовательно, чтобы создать треугольник, как показано на рисунке.

В векторной алгебре применяются следующие правила.

где P и Q — векторы, а a — скаляр.

Единичные векторы: 9″О сочетании с жирным шрифтом (т.е.). Следовательно,

Любой вектор может быть введен в единый вектор путем его деления на его длину.

может быть вектор. полностью представлен путем предоставления его величины и единицы измерения вектор вдоль его направления.

Базовые векторы и компоненты вектора:

Базовые векторы — это набор векторов, выбранных в качестве основы для представления всех остальных векторы. Идея состоит в том, чтобы построить каждый вектор из сложения векторов по основным направлениям. Например, вектор на рисунке можно записать в виде суммы трех векторов u ₁ , u ₂ и u ₃ , каждая вдоль направления одного из базовых векторов e ₁ , e ₂ , and e ₃ , so that

Each one of the vectors u ₁ , u ₂ , and у ₃ параллелен одному из базовых векторов и может быть записан как скаляр, кратный эта база. Пусть и ₁ , и ₂ , и и ₃ обозначим эти скалярные множители, такие что

 Исходный вектор u может now be written as

The scalar multipliers u ₁ , u ₂ , and u ₃ известны как компоненты и в базе, описываемой базой векторы e ₁ , e ₂ и e ₃ . Если базовые векторы являются единичными векторами, то компоненты представляют длины соответственно трех векторов u ₁ , u ₂ , и у ₃ . Если базовые векторы являются единичными векторами и взаимно ортогонален, то основание известно как ортонормированное, евклидово или декартово база.

Вектор можно разложить по любым двум направлениям в плоскости, содержащей его. На рисунке показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов и и b , которые в сумме дают c .

В трех измерениях вектор можно разрешить по любым трем некомпланарным линии. На рисунке показано, как вектор может быть разрешен по трем направлениям. сначала найдя вектор в плоскости двух направлений, а затем разрешение этого нового вектора вдоль двух направлений на плоскости.

Когда векторы представлены в терминах базовых векторов и компонентов, сложение двух векторов приводит к сложению компонентов векторы. Следовательно, если два вектора A и B представлены

, затем

прямоугольный компоненты в 2D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат x-y задаются формулой единичные векторы и вдоль x и y направления соответственно.

.

Прямоугольный координаты в 3D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат задаются набором три взаимно ортогональных единичных вектора, обозначенных , , и что находятся вдоль x , y и z направления координат, соответственно, как показано на рисунке.

Показанная система является правосторонней, начиная с большого пальца правой руки указывает в направлении z , если пальцы таковы, что представляют вращение вокруг оси z от x до y . Эта система может превратить в левостороннюю систему, изменив направление любого из координатные линии и связанный с ними базовый вектор.

В прямоугольной системе координат компонентами вектора являются проекции вектора вдоль x , y и z направления. Например, на рисунке проекции вектора A по направлениям x, y, и z задаются A _x , A _y , и A _z соответственно.

В силу теоремы Пифагора и ортогональности основания векторов, величина вектора в прямоугольной системе координат может быть calculated by

Direction cosines:

Direction cosines are defined as

where the angles , , and are the углы, показанные на рисунке. Как показано на рисунке, направляющие косинусы представляют собой косинусы углов между вектором и тремя согласовывать направления.

Направляющие косинусы можно вычислить из компоненты вектора и его модуль через соотношения и должно удовлетворять соотношению используя направляющие косинусы в качестве составляющих вдоль х , и и z направлений. Например, единичный вектор вдоль вектора A получается из

Следовательно,

2  

5 вектор соединение двух точек:

   

 

Вектор, соединяющий точку A с точкой Б задан

A Единый вектор вдоль линии A-B может быть получен с

A Vector F

A Vector F

8

A Vector F

8

A. F банка таким образом, можно получить из отношения

 

 

Скалярный продукт:

 

Скалярный продукт обозначается «» между двумя векторами. скалярное произведение векторов A и B дают скалярную величину, заданную отношение

 

 

 

где угол между двумя векторами. Порядок не важен в скалярный продукт, как видно из определения скалярных продуктов. В результате один получает

 

 

Скалярный продукт обладает следующими свойствами.

 

 

Поскольку косинус 90 ^o равно нулю, точечному произведению двух ортогональные векторы приведут к нулю.

 

Поскольку угол между вектором и самим собой равен нулю, а косинус нуля равно единице, величина вектора может быть записана в терминах скалярного произведения по правилу

 

 

Прямоугольные координаты:

 

При работе с векторами, представленными в прямоугольная система координат по компонентам

 

 

, то скалярное произведение можно вычислить из отношение

 

 

Это можно проверить прямым умножением векторов и отметив, что из-за ортогональности базовых векторов прямоугольная система

 

 

получается перемещением одного конца вектора на прямую и опусканием перпендикулярно линии с другого конца вектора. Результирующий отрезок на прямой является ортогональной проекцией вектора или просто его проекция.

 

 

Скалярная проекция вектора A вдоль единичный вектор – это длина ортогональной проекции A вдоль линии, параллельной , и может быть оценено с помощью скалярного произведения. соотношение для проекции:

 

 

  

Векторная проекция A вдоль единицы вектор просто умножает скалярную проекцию на единичный вектор, чтобы получить вектор вместе. Это дает соотношение

 

 

Крест произведение:

 

 

Произведение векторов a и b является перпендикулярным вектором как a , так и b и имеет величину, равную площади параллелограмм, полученный из a и b . Направление креста произведение определяется по правилу правой руки. Перекрестное произведение обозначается «» между векторами

 

В векторном произведении важен порядок. Если порядок действий изменится в векторном произведении направление результирующего вектора меняется на противоположное. То есть

Перекрестное произведение обладает следующими свойствами.

 

 

Прямоугольные координаты:

 

При работе в прямоугольных системах координат, векторное произведение векторов A и B , приведенные

можно оценить с использованием правила

Один также можно использовать прямое умножение базы. векторов с использованием соотношений произведение:

 

Тройное произведение векторов a , b и c задается как

 

 

Значение тройного произведения равно объему параллелепипеда построенный из векторов. Это можно увидеть на рисунке с

Тройной продукт имеет следующие свойства

Прямоугольные координаты:

Рассмотрены Vectors. система координат как

 

 

Тройное произведение можно вычислить с помощью отношение

 

 

Тройной вектор Продукт:

Продукт с тройным вектором обладает свойствами

направление, ориентация, добавление, умножение, скаляры

. быть двумя различными точками плоскости.

Направленный отрезок $\overrightarrow{AB}$ – это отрезок, в котором мы точно знаем, какая точка является начальной, а какая конечной.

Два направленных отрезка эквивалентны, если существует перевод, при котором один переводится в другой.

Вектор  – это набор всех направленных отрезков, которые эквивалентны друг другу.

Любой направленный отрезок мы будем называть вектором из-за простоты речи. Векторы мы будем обозначать через $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}, \ldots$ или просто как $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \ldots$.

 

Векторы однозначно определяются своей величиной, направлением и ориентацией.

Рисование векторов в двумерных декартовых координатах

Каждый вектор определяется двумя точками. Это делает их рисование в координатной плоскости довольно простым. Например, если нам даны две точки с их координатами $A=(1, 2)$ и $B = (5, 6)$ и наша задача состоит в том, чтобы нарисовать вектор $\overrightarrow{AB}$, мы должны сначала нарисовать отрезок $\overline{AB}$, а затем просто нарисуйте стрелку, обозначающую нашу конечную точку.

Каждой точке плоскости может быть поставлен в соответствие уникальный вектор, начальная точка которого находится в начале координат, а конечная точка находится в данной точке. Эти векторы очень важны в векторной геометрии, и они называются координатами или радиус-векторами .

 

Величина векторов

Величина вектора $\overrightarrow{AB}$ равна длине отрезка $\overline{AB}$.

Некоторые дополнительные имена для величин векторов, такие как: норма вектора, модуль вектора или абсолютное значение вектора.

Величина любого вектора определяется положением его начальной и конечной точки и рассчитывается точно так же, как длина отрезка. Величина вектора всегда либо положительное число, либо ноль. Величина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда начальная точка равна конечной точке.

Если у нас есть две точки с их координатами $ A = (x_1, y_1)$ и $ B = (x_2, y_2)$,  тогда величина вектора $\overrightarrow{AB}$ равна: 92}.$$

  Нулевой вектор или нулевой вектор — это вектор, длина которого равна $0$. Нулевой вектор обозначается $\overrightarrow{0}$.

Единичный вектор — это вектор, длина которого равна $1$, однако он может двигаться в любом направлении. Для вектора $\overrightarrow{a}$ длины $|\overrightarrow{a}|$ единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ определяется как

 $$\overrightarrow{a_0} = \frac{\overrightarrow {а}}{|\overrightarrow{а}|}. $$ 92} = \sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 25} = 5\sqrt{2}$.

3. $\overrightarrow{EF} = 0$, потому что $E=F$.

 

Направление векторов

Направление вектора — это мера угла, заключенного с осью $y$. Его можно наблюдать как наклон линии, на которой он лежит, потому что его наклон вычисляется так же, как мы вычисляем наклон линии. Мы будем отмечать направление вектора с помощью $\varphi$.

Если у нас есть вектор $\overrightarrow{PQ}$, $P = (x_1, y_1)$, $ Q = (x_2, y_2)$, то 9{\circ}$.

 

Ориентация векторов

Ориентация вектора относится исключительно к коллинеарным векторам. Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной прямой или параллельной одной и той же прямой. Например, если у нас есть два вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, то их ориентация может быть только равной или противоположной.

Как мы можем таким образом определить ориентацию, если предположить, что эти два вектора коллинеарны? Сначала мы должны взять один вектор и перевести его так, чтобы его начальная точка попала в начальную точку другого вектора. Это означает, что мы переносим вектор $\overrightarrow{CD}$ так, что $C = A$. Если точки $B$ и $D$ лежат по одну сторону от точки $A$, то они обе имеют одинаковую ориентацию, если же они находятся по разные стороны от точки $A$, то они имеют противоположную ориентацию. .

Векторы с одинаковой ориентацией:

Векторы с противоположной ориентацией:

Примечание. Два вектора равны, если они имеют одинаковую величину, направление и ориентацию. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковую длину, хотя и разную ориентацию, они называются противоположными векторами . Если $\overrightarrow{a}$ — вектор, который мы наблюдаем, то его противоположный вектор обозначается $\overrightarrow{- a}$.

 

Сложение векторов

Складывая векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, мы получим новый вектор $\overrightarrow{AD}$, начальная точка которого совпадает с первым слагаемым, а конец точка нового вектора совпадает со вторым слагаемым. Применяя это правило, получается треугольник. Вот почему этот метод сложения называется правилом треугольника . Когда у нас есть два вектора, которые мы должны сложить, сначала мы переводим один вектор на другой таким образом, чтобы конечная точка первого была начальной точкой второго. Затем все, что осталось, это завершить треугольник и отметить ориентацию нашего нового вектора.

 

Сложение с нулевым вектором:

$\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{0}$ + $\overrightarrow{ а}$ = $\overrightarrow{а}$.

 

Закон параллелограмма сложения векторов

Если у нас есть два вектора, имеющих одну и ту же начальную точку, то мы можем использовать закон параллелограмма вектора сложения . Мы просто рассматриваем эти два вектора как смежные стороны параллелограмма, их сумма будет диагональю параллелограмма. Начальная точка суммы этих двух векторов будет их начальной точкой.

Шаг за шагом:

Свойства сложения

Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и  $\overrightarrow{b}$ верно:

$$\overrightarrow{a}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}.$$

Это означает, что сложение векторов коммутативно.

Для любых трех векторов $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ допустимо:

$$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}).$$

Следовательно, сложение векторов ассоциативно.

Сложение более двух векторов

Сложение $n$ взаимосвязанных векторов $\overrightarrow{A_1 A_2}, \overrightarrow{A_2 A_3}, \overrightarrow{A_3 A_4}, … , \overrightarrow{ A_{n-1}A_n}$ равен вектору $\overrightarrow{A_1 A_n}$

Примечание: Как мы уже знаем, $\overrightarrow{-a}$ — это вектор, ориентация которого противоположна ориентации вектора $\overrightarrow{a}$, однако их величина и направление равны. Используя это утверждение, мы знаем, как вычитать векторы. Если у нас есть два вектора, $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, и нам нужно вычесть $\overrightarrow{b}$ из $\overrightarrow{a}$ $ (\overrightarrow{a} – \overrightarrow{b})$, мы просто меняем ориентацию вектора $\overrightarrow{b}$ и добавляем их как таковые $\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{-b})$.

Умножение векторов на действительные числа

Произведение действительного числа $ k \not = 0$ на вектор $\overrightarrow{a}$ представляет собой вектор, который мы обозначаем как $ k \overrightarrow{a}$ , с правилами:

• Векторы $\overrightarrow{a}$ и $k \vec{a}$ являются коллинеарными векторами одной ориентации, если $k > 0$, и противоположной ориентации, если $k < 0$
• Величина вектора $ k \overrightarrow{a}$ равно $\mid k \mid \cdot\mid \overrightarrow{a} \mid$
• Произведение вектора на ноль является нуль-вектором
• Произведение вектора на $1$ является одним и тем же вектором

Например, если у нас есть вектор $\overrightarrow{AB}$, где $ A = (2, 4)$, $ B = (5, 6)$, вычислить $2\overrightarrow{AB}$ и $-2\overrightarrow{AB}$, произведение вектора на действительное число всегда будет расположено на линии, на которой лежит наблюдаемый вектор. Поэтому первое, что мы должны сделать, это провести линию, на которой лежит вектор $\overrightarrow{AB}$.

Теперь нам нужно вычислить  $ 2\overrightarrow{AB}$. Его величина будет в два раза больше, чем у вектора $\overrightarrow{AB}$. Вектор будет расположен на той же прямой и будет иметь ту же ориентацию, потому что $2 > 0$. Теперь у нас есть все необходимые данные:

Теперь нам нужно вычислить  $-2 \cdot\vec{AB}$. Поскольку $-2 < 0$, этот вектор будет иметь противоположную вектору $\overrightarrow{AB}$ ориентацию, двойную величину и то же направление.

Свойства умножения вектора на вещественное число

Справедливо для любых двух действительных чисел $k$ и $l$ и для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b }$:

$ k (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k \overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}$

$ (k + l) \overrightarrow{a} = k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{a}$

$(kl) \overrightarrow{a} = k (l \overrightarrow{a})$

Линейная комбинация – линейная зависимость и независимость

Если $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ являются векторами и $\alpha$ и $\beta$ вещественными числами, то вектор

$\overrightarrow{ c} = \alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b}$

называется линейной комбинацией векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ с коэффициентами $\alpha$ и $\бета$.

Если $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два коллинеарных, а не нуль-вектора с одинаковой ориентацией, где $\overrightarrow{a}$ в $k$ раз длиннее, чем $\overrightarrow{b }$, то мы можем написать:

Это означает, что один вектор может быть представлен с помощью другого и что $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ являются линейно зависимыми .

Векторы $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2} … , \overrightarrow{a_n}$ называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа $\alpha_1, \alpha_2, … , \alpha_n$ такие, что:

$\overrightarrow{0} = \alpha_1 \overrightarrow{a_1} + \alpha_2 \overrightarrow{a_2}, … , \alpha_n \overrightarrow{a_n}$.

Если линейная комбинация $\alpha_1 \overrightarrow{a_1} + \alpha_2 \overrightarrow{a_2}, … , \alpha_n \overrightarrow{a_n}$ равна $\overrightarrow{0}$ только тогда, когда $\alpha_1, \alpha_2 , … , \alpha_n$ равны нулю, то говорят, что векторы $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2} … , \overrightarrow{a_n}$ линейно независимы .

Любые два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы, а каждые два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Каждый вектор на плоскости может быть представлен уникальным образом как линейная комбинация двух неколлинеарных векторов.

Векторы в координатной плоскости

Пусть $E$ — единичная точка на оси $x$, $F$ — единичная точка на оси $y$, а точка $O$ — начало координат. Тогда радиус-вектор $\overrightarrow{OE}$ равен единичному вектору $\overrightarrow{i}$, а радиус-вектор $\overrightarrow{OF}$ равен единичному вектору $\overrightarrow{j}$.

Используя эти два вектора, мы можем представить любой вектор на плоскости уникальным образом.

Если точка $P$ имеет координаты $(x, y)$, то радиус-вектор $\overrightarrow{OP}$ имеет представление $\overrightarrow{OP} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ .

Если $A_1 ​​= (x_1, y_1)$ и $A_2 = (x_2, y_2)$ две точки плоскости, то: $\overrightarrow{A_1A_2} = (x_2 – x_1) \overrightarrow{i} + (y_2 – y_1) \overrightarrow{j}$.

Например, если у нас есть две точки $ A = (1, 3)$ и $ B = (2 , 5)$, то вектор $\overrightarrow{AB}$ равен:

$\overrightarrow{AB} = (x_2 – x_1) \vec{i} + (y_2 – y_1) \overrightarrow{j} = (2 – 4) \overrightarrow{i} + (5 – 3) \overrightarrow{ j} = \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j}$.

Скалярное или скалярное произведение

Предположим, что на плоскости есть два вектора, оба отличные от $\overrightarrow{0}$. Если они не имеют одной и той же начальной точки, мы просто переводим один вектор в другой таким образом, чтобы у них была одна и та же начальная точка.
Угол между этими двумя векторами — это меньший угол из двух углов, заключенных между полупрямыми, на которых лежат эти два вектора.

Если $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора, отличные от $\overrightarrow{0}$, произведение

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b } = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| cos \angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$$

называется скаляром или скалярным произведением векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Свойства скалярного произведения

1. $  \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b }$

2. $ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow {c}$, для каждых трех векторов $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$

3. $(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} =  \overrightarrow{a}\cdot (\alpha \cdot \overrightarrow{b}) = \alpha \cdot (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$ , для любых двух векторов $ \overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ и $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ 92$, для каждого вектора $\overrightarrow{a}$

5. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ , если $\cos \angle(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{ b}) = 0$

Для единичных векторов $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ справедливо:

$$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{j } \cdot \overrightarrow{i} = 0. $$

Рабочие листы

   Именование вершин и векторов (419,4 КиБ, 720 совпадений)

   Vectors measurement of angles (490.3 KiB, 10,170 hits)

How to Multiply Vectors — Scalar (dot) product

How to Multiply Vectors

Key Terms

Цели

В этой статье мы рассмотрим другое представление векторов, а также основы умножения векторов.

Единичные векторы

Хотя форма координат для представления векторов ясна, мы также можем представить их в виде алгебраических выражений, используя единичные векторы. В наших стандартных прямоугольных (или евклидовых) координатах ( x, y, и z ), единичный вектор — это вектор длины 1, параллельный одной из осей. В двумерной координатной плоскости единичные векторы часто называют i и j, , как показано на графике ниже. Для трех измерений мы добавляем единичный вектор k , соответствующий направлению оси z . Эти векторы определяются алгебраически следующим образом.

i = (1, 0) или (1, 0, 0)

j = (0, 1) или (0, 1, 0)

k

= (0,135 , 1)

Перед тем, как мы представим алгебраическое представление векторов с помощью единичных векторов, мы должны ввести алгебраическое представление векторов с помощью векторов-умножений.

Умножение векторов на скаляры

Умножение с участием векторов сложнее, чем просто скаляров, поэтому мы должны относиться к этому вопросу внимательно. Начнем с самого простого случая: умножения вектора на скаляр. Ниже приведено определение умножения скаляра c на вектор a, , где a = ( x, y ). (Опять же, мы можем легко распространить эти принципы на три измерения.)

Скалярное умножение является коммутативным, поэтому . Но что означает это умножение? Как оказалось, умножение на скаляр c увеличивает длину вектора в c раз. Это лучше всего видно для единичных векторов, но это применимо к любому вектору. (Однако умножение на отрицательную скалярную величину меняет направление вектора на противоположное.) На приведенном ниже графике показаны некоторые примеры с использованием c = 2. (Напомним, что положение вектора не влияет на его значение.)

Практическая задача: , задан вектор

5 a 3, найти вектор в том же направлении, что и на , но в два раза длиннее.

 

Решение: Когда мы умножаем вектор на скаляр, направление вектора произведения совпадает с направлением множителя. Единственная разница в том, что длина умножается на скаляр. Итак, чтобы получить вектор, длина которого в два раза больше A , но в том же направлении, что и A, просто умножьте на 2.

2 A = 2 • (3, 1) = (2 • 3, 2 • • 1) = (6, 2)

Алгебраическое представление векторов

Мы можем использовать скалярное умножение с векторами для представления векторов в алгебральном плане. Заметим, что любой двумерный вектор v можно представить как сумму длины, умноженной на единичный вектор i , и другой длины, умноженной на единичный вектор j. Например, рассмотрим вектор (2, 4). Примените правила векторов, которые мы уже изучили:

 

 

 

(2, 4) = (2, 0) + (0, 4) (правило сложения для векторов)

(2, 4) = 2 • (1, 0) + 4 • (0, 1) (правило умножения скаляров и векторов)

(2, 4) = 2 i + 4 j

Графически мы добавляем два вектора в единичных направлениях, чтобы получить наши произвольные направления.

 

 

 

Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс Precalculus?

 

 

 

Обратите внимание, что единичные векторы действуют почти так же, как переменные. Таким образом, мы можем сложить два вектора a и b следующим образом.

 

 

 

a = 3 i – 2 j b = i + 3 j

 

 

 

 

 

 

 

a + b = (3 i – 2 i ) + ( i + 3 j ) = 3 i + i 3 6 9 903 1 – 5 3 9 9 0 3 10135 j = 4 i + j

Это представление координат обеспечивает большую гибкость, чем представление координат, но оно обеспечивает большую гибкость, чем представление координат.

Практическая задача: Рассчитайте сумму и разницу ( T — U ) Векторов T = -2 I + + + I + + + + + + + + + + + + + + + + + + и ).0135 u = 6 i — 4 j.

 

 

 

Решение: Мы можем довольно легко решить эту задачу алгебраически.

T + U = (-2 I + 3 J ) + (6 I — 4 J ) = I — 4 J ) = I — 4 J ) = I — 4 j ) = I — 4 j ) = I — 4 j ) = I — 4 J ) = I — 4 J ). (4, -1)

 

t — u = (-2 i + 3 j ) — (6 i — 4 j ) = -2 i + 3 j — 6 i + 4 j = -8 i 6- + 3 5 j + 3 7 , 7)

Умножение вектора: Скалярное (точечное) Продукт

Многочисленное количество. . Определены два типа умножения с участием двух векторов: так называемое скалярное произведение (или «точечный продукт») и так называемое векторное произведение (или «перекрестное произведение»). Для простоты мы обратимся только к скалярному произведению, но на этом этапе у вас должна быть достаточная математическая база, чтобы понимать и векторное произведение. 9Скалярное произведение 0135 (или скалярное произведение ) двух векторов определяется следующим образом в двух измерениях. Как всегда, это определение можно легко распространить на три измерения — просто следуйте шаблону. Обратите внимание, что операция всегда должна обозначаться точкой (•), чтобы отличить ее от векторного произведения, в котором используется символ умножения () — отсюда и названия — скалярное произведение и перекрестное произведение .

 

 

 

 

 

Однако на данный момент значение этого продукта может быть вам не совсем ясно. Мы можем проиллюстрировать это, рассмотрев простой случай: скалярное произведение произвольного вектора v и единичных векторов i и j.

0222

 

 

 

Thus, v • i is the «part» of vector v in the direction of I.

 

 

 

 

 

Однако это объяснение работает только для векторов длины 1. Когда два произвольных вектора перемножаются, скалярное произведение имеет аналогичный смысл, но величина числа немного отличается. Мы не будем углубляться в это, но мы можем рассмотреть частный случай, когда скалярное произведение дает ценную информацию.

Длина вектора

Рассмотрим случай скалярного продукта вектора V .

Посмотреть на эту ситуацию Графически.

 

 

 

 

 

 

Результатом здесь является прямоугольный треугольник с горизонтальной стороной длиной x и вертикальной стороной длиной y. Эти длины соответствуют длинам составляющих векторов x i и y j, соответственно. Но мы знаем из теоремы Пифагора, что есть квадрат длины вектора против . Не случайно это то же самое, что и скалярное произведение в сам с собой. Таким образом, длина любого вектора v, , записанного как (или иногда ), является квадратным корнем скалярного произведения.

 

 

 

 

 

 

In the simple case of the unit vectors,

 

 

 

 

 

 

 

Эти простые случаи помогают проверить эту интерпретацию скалярного произведения.

 

 

 

 

 

Практическая задача: Вычислите длины следующих векторов.

 

 

 

 

 

а. б. 3 i + 2 j – k c. (2, –1) д. 5 к

 

 

 

 

 

Решение: В каждом случае просто возьмите квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя. Результатом является длина вектора в каждом случае. Для части b просто расширьте определение скалярного произведения до трех измерений.

 

 

 

а.

 

б.

 

c.

 

д.

 

 

Операции над векторами, сложение векторов, умножение векторов на действительное число.

Рассмотрим вектор v, начальная точка которого начало координат в xy-системе координат, а конечная точка . Мы говорим, что вектор находится в стандартной позиции и называем его вектором положения. Обратите внимание, что упорядоченная пара однозначно определяет вектор. Таким образом, мы можем использовать для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы думаем о векторе, и избежать путаницы с упорядоченно-парными и интервальными обозначениями, мы обычно пишем
v = .

Координата a является скалярной горизонтальной составляющей вектора, а координата b является скалярной вертикальной составляющей вектора. Под скаляром мы подразумеваем числовую величину, а не векторную величину. Таким образом, считается компонентом формы v. Обратите внимание, что a и b НЕ являются векторами, и их не следует путать с определением компонента вектора.

Теперь рассмотрим с A = (x ₁ , y ₁ ) и C = (x ₂ , y ₂ ). Давайте посмотрим, как найти вектор положения, эквивалентный . Как вы можете видеть на рисунке ниже, начальная точка A перемещена в начало координат (0, 0). Координаты P находятся путем вычитания координат A из координат C. Таким образом, P = (x ₂ — x ₁ , y ₂ — y ₁ ), а вектор положения равен .

Можно показать, что и имеют одинаковую величину и направление и, следовательно, эквивалентны. Таким образом, = = 2 — х ₁ , у ₂ — у ₁ >.

Форма компонента с A = (x ₁ , Y ₁ ) и C = (x ₂ , Y ₂ ) —
= 2 — x _{1 1} , y _222222222). — у ₁ >.

Пример 1 Найдите компонентную форму, если C = (- 4, — 3) и F = (1, 5).

Решение У нас есть
== .

Обратите внимание, что вектор эквивалентен вектору положения, как показано на рисунке выше.

Теперь, когда мы знаем, как записывать векторы в компонентной форме, давайте переформулируем некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, если известны компоненты вектора. Для v = 1, v ₂ >, имеем
|v| ² = v ² ₁ + v ² ₂          Используя теорему Пифагора
|v| = √v ² ₁ + v ² ₂ .

длина или величина вектора v = 1, v ₂ > задается как |v| = √v ² ₁ + v ² ₂ .

Два вектора эквивалентны , если они имеют одинаковую величину и одно и то же направление.

Пусть u = 1, u ₂ > и v = 1, v ₂ >. Тогда
1, u ₂ > = 1, v ₂ >          тогда и только тогда, когда u ₁ = v ₁ и и ₂ = v ₂ .

Операции над векторами