Нахождение определителя 4 порядка: Определитель матрицы онлайн

4.1.2 Вычисление определителя — го порядка

Определение. Если в определителе -го порядка вычеркнуть строку и столбец, то оставшийся определитель -го порядка называется минором данного элемента и обозначается .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается через . Следовательно, .

Пример 3. Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента (выделен пунктиром).

Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент , получим . Тогда .

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т. е.

, (*)

Где – фиксировано.

Выражение (*) называют разложением определителя по элементам строки с номером .

Вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению одного определителя -го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

Пример 4. Вычислить определитель

Решение.

Наша задача состоит в том, чтобы, пользуясь свойствами определителя, получить максимальное число нулей в какой-нибудь строке или столбце, а затем применить теорему 1. Во второй строке уже имеются два нуля, получим еще нули в этой строке. Для этого прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на 2, а к элементам третьего столбца прибавим соответствующие элементы четвертого, умноженные на . Получим определитель, равный исходному

Применим теорему 1 ко второй строке, т. е. разложим определитель по элементам второй строки. Получим определитель 4-го порядка.

Теперь получим нули во втором столбце. Для этого к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на , а к элементам четвертой – элементы первой, умноженные на .

Получим .

Разлагая его по элементам второго столбца, получим

.

Теперь можно разложить полученный определитель, например, по первому столбцу:

.

Легко вычисляются определители квадратных матриц треугольного или диагонального видов. В этом случае определитель равен произведению элементов, расположенных на диагонали.

Квадратная матрица вида называется диагональной, а квадратные матрицы и называются матрицами треугольного вида.

Пример 5. Вычислить определитель

Решение.

Будем получать нули под главной диагональю.

1-й этап.

Берем первую строку и с ее помощью получим нули в первом столбце. Первую строку умножим на и прибавим ко второй, затем первую строку умножим на 2 и прибавим к четвертой. Получим

2-й этап. Работаем со второй строкой и получаем нули во втором столбце. Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей; вторую строку умножаем на 2 и прибавляем к четвертой:

3-й этап. Из четвертой строки вынесем и переставим третью и четвертую строки:

И последний этап.

Третью строку умножим на и прибавим к четвертой:

.

Разлагаем определитель по элементам первого столбца

.

Снова разлагаем определитель D по элементам первого столбца:

.

Действительно, определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.

Для самостоятельного решения.

1. Вычислить определители

А) . Ответ: .

Б) . Ответ 10.

Указание: Чтобы уменьшить числа, вычтите какую-нибудь строку из остальных. Эту операцию можно проделать несколько раз. Цель: сделать на каком-нибудь месте единицу.

2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду.

. Ответ: 52.

< Предыдущая		Следующая >

Определитель ⚠️ матрицы 3 порядка: как считать, формула

Содержание:

• Определитель матрицы 3 порядка, описание
• Правила для нахождения
• Нахождение методом треугольника
• Метод Саррюса
• Свойства определителя

Содержание

• Определитель матрицы 3 порядка, описание
• Правила для нахождения
• Нахождение методом треугольника
• Метод Саррюса
• Свойства определителя

Определитель матрицы 3 порядка, описание

Детерминант или определитель матрицы третьего порядка вида \(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\) является сопоставляемое с ним число

\(\left|A\right|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})\)

Для обозначения данной величины используют символы: |А|, Δ, det A.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Правила для нахождения

Для вычисления детерминанта матрицы 3×3 не нужно заучивать формулу. Данное число можно найти с помощью двух способов:

• правила треугольников;
• правила Саррюса.

Нахождение методом треугольника

Правило основывается на том, что произведение диагональных составляющих и произведения вершин двух треугольников уменьшаемой матрицы суммируются. Произведение диагональных элементов и произведения вершин треугольников в вычитаемой матрице записываются со знаком минус.

Схематическое изображение рассматриваемого правила выглядит так:

 

По схеме можно восстановить формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка, которая приведена в определении детерминанта:

\(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})\)

Пример

Найти определитель матрицы:

\(A=\begin{pmatrix}1&3&4\\0&2&1\\1&5&-1\end{pmatrix}\)

Решение

\(\left|A\right|=\begin{vmatrix}21&12&14\\21&12&56\\25&12&14\end{vmatrix}=21\times12\times14+12\times56\times25+14\times12\times21-14\times12\times25-12\times56\times21-21\times12\times14=2016\)

Метод Саррюса

Для нахождения определителя матрицы 3×3 необходимо соблюсти условия в следующей последовательности:

• два первых столбца приписать по левую сторону от детерминанта;
• произведения компонентов главной диагонали и ей параллельных записать с положительным знаком;
• произведения элементов, расположенных на побочной и параллельных ей диагоналях, записать с отрицательным знаком.

Вычисление определителя матрицы по рассматриваемому правилу схематически можно изобразить так:

 

Пример

Рассчитать по методу Сюрраса детерминант матрицы 

\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)

Решение

\(\left|A\right|=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\;=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\begin{array}{c}1\\4\\7\end{array}\begin{array}{c}2\\5\\8\end{array}=1\times5\times9+2\times6\times7+3\times4\times8-3\times5\times7-1\times6\times8-2\times4\times9=0\)

Свойства определителя

1. Преобразование столбцов и строк незначительными действиями не оказывает влияния на значение детерминанта.
2. Перемена строк и столбцов местами влечет за собой изменение значения детерминанта на противоположное.
3. Детерминант треугольной матрицы можно вычислить путем умножения составляющих, находящихся на главной диагонали.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.33 (Голосов: 3)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

линейная алгебра — определитель матрицы 4×4 методом расширения

спросил 8 лет, 8 месяцев назад

Изменено 8 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 83k раз

$\begingroup$

Найти det(B) = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 0 \\ -1 & -6 & 4 & 0 \\ \end{bmatrix}

Я выбрал 4-й столбец, потому что в нем больше всего нулей. Используя Basketweave, я нашел определители младших матриц 3×3 входа B ₁₄ и B ₂₄

.

det(B ₁₄ ) = \begin{bmatrix} -2 & -3 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \\ -1 & -6 & 4 \\ \end{bmatrix}

det(B ₁₄ )
= (-24 — 6 — 12) — (-12 — 24 — 6)
= -42 — (-42)
= 0

det(B ₂₄ ) = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & 3 & -2 \\ -1 & -6 & 4 \\ \end{bmatrix}

det(B ₂₄ )
= (24 + 10 + 18) — (20 + 24 + 9)
= 52 — 53
= -1

Я проверил с помощью матричного калькулятора, и определители младших матриц 3×3 верны.

Чтобы найти det(B), я умножил B ​​ ₁₄ на det(B ₁₄ ) и B ₂₄ на det(B ₂₄ ) и взял + — + — 9Шаблон 0014, показанный формулой здесь (прокрутите ниже, чтобы найти формулу 4×4). Остальное в любом случае будет 0s.

det(B)
= [-2(0)] — [-5(-1)] + [0] — [0]
= -5

Еще раз сверившись с матричным калькулятором, правильный ответ +5 .

Я не понимаю, как применяются знаки. Как det(B) достиг +5?

• линейная алгебра
• матрицы
• определитель
• разложение Лапласа

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Шаблон $+-+-$ работает в приведенной вами ссылке, так как они расширяются по первой строке; это будет тот же шаблон при расширении вдоль первого столбца. Но затем это меняется, когда вы меняете, какой столбец / строку вы расширяете. Для расширения по второму столбцу это будет $-+-+$, по третьему $+-+-$ и по четвертому $-+-+$. 9{i+j}a_{ij}M_{ij}$$ Таким образом, знак положительный/отрицательный, когда сумма индекса строки и индекса столбца ($i+j$) четная/нечетная.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

No related posts.